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Cálculo Diferencial e Integral III
Profª Ma. Polyanna Possani da Costa Petry
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Sequências e Séries – Breve contextualização
Para 𝑥 ∈ ℝ , podemos em geral, obter sen 𝑥, 𝑒𝑥 , ln 𝑥, arctg 𝑥 e
valores de outras funções transcendentes utilizando uma
calculadora ou uma tabela.
Um problema fundamental consiste em determinar como as
calculadoras calculam esses números, ou como se constrói uma
tabela.
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Sequências e Séries – Breve contextualização
As séries numéricas infinitas (somas infinitas) podem ser usadas
para obter valores funcionais de uma certa função 𝑓 𝑥 , ou seja,
valores aproximados para 𝑓 𝑐 , 𝑐 ∈ ℝ .
Portanto, temos que interpretar essas “somas infinitas” e saber o
seu significado preciso.
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Sequências e Séries – Breve contextualização
Lidar com o infinito sempre foi um problema difícil e os
matemáticos sabem disso há mais de dois milênios. E para que
nós tenhamos uma ideia das dificuldades que podem surgir,
vamos logo dar um exemplo simples e bastante esclarecedor.
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Sequências e Séries – Breve contextualização
S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
Se escrevermos S = (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + · · · , teremos S = 0.
Mas podemos também escrever
S = 1 − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) − (1 − 1) − · · · e agora concluímos que S = 1.
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Sequências e Séries – Breve contextualização
Ainda há uma terceira possibilidade, tão legítima como as
anteriores:
S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · · ) = 1 − S ⇒ 2S = 1 ⇒ S = 1/2 .
Afinal, S = 0, S = 1 ou S = 1/2? Por que três respostas diferentes?
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Sequências e Séries – Breve contextualização
Claro que não podemos aceitar nenhuma delas em detrimento
das outras.
Este exemplo aponta para a necessidade de se conceituar o que
significa “soma infinita”. Como veremos, essa conceituação
excluirá a possibilidade de somas infinitas do tipo que acabamos
de considerar.
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Sequências e Séries – Breve contextualização
E para chegar a essa conceituação devemos primeiro estudar as
chamadas “sequências numéricas” .
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Sequências Numéricas
Informalmente, sequência é uma sucessão interminável de
números, chamados termos. Entende-se que os termos têm uma
ordem definida, isto é, há um primeiro termo 𝒂𝟏, um segundo
termo 𝒂𝟐 e assim por diante.
Tipicamente uma sequência é escrita como 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, … , 𝒂𝒏, …
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Sequências Numéricas
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Definição 1: Sequência é uma função cujo domínio é o conjunto de
todos os números inteiros positivos → {1, 2, 3, … , 𝑛, … } . Nesse
contexto, os números que representam a imagem de uma
sequência são chamados elementos da sequência.
Sequências Numéricas
Exemplo: Seja a função 𝑓 𝑛 =1
𝑛
A função 𝑓 𝑛 tem como domínio os números naturais:
𝐷 = {1, 2, 3, … , 𝑛, … }
E como imagem: 𝐼 = {1,1
2,
1
3, … ,
1
𝑛, … }
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Sequências Numéricas
Observações:
1. Uma sequência pode ser representada identificando seu
elemento genérica 𝑎𝑛 .
2. A sequência 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, 𝒂𝟑, … , 𝒂𝒏, … é igual à sequência
𝒃𝟏, 𝒃𝟐, 𝒃𝟑, … , 𝒃𝒏, … se e somente se 𝒂𝒊 = 𝒃𝒊 para todo 𝒊
inteiro e positivo, isto é, se apresentam a mesma imagem.
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Sequências Numéricas
Por exemplo,
Considere os termos da sequência 1
2,
1
4,
1
8,
1
16, … . Qual o termo
geral 𝑎𝑛 da sequência?
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Sequências Numéricas
1. Obtenha o termo geral das sequências abaixo:
𝑎) 2, 4, 8, 16, 32, … 𝑏) 1, 4, 9, 16, 25, …
𝑐) 0, 2, 0, 2, … 𝑑)3
4,
9
10,27
28,81
82, …
𝑒) 0, −1, 0, 1, 0, −1, … 𝑓) 0, 1, 0, 1, …
𝑔) 3
5,
−4
25,
5
125,
−6
625, …
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Sequências Numéricas h) Sequência de Fibonacci 𝑓𝑛 : Esta sequência surgiu quando o matemático italiano conhecido como Fibonacci resolveu, no século XIII, um problema envolvendo a reprodução de coelhos.
1, 1 , 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
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Sequências Convergentes e divergentes
Algumas sequências apresentam uma propriedade de que quando
𝑛 cresce arbitrariamente, 𝑎𝑛 se aproxima de um número real 𝐿, ou
seja, a diferença |𝑎𝑛 − 𝐿| é tão pequena quanto se deseja,
desde que 𝑛 seja suficientemente grande.
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Sequências Convergentes e divergentes
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Definição 2: Seja {𝑎𝑛}uma sequência numérica e 𝐿 um número real.
Dizemos que:
i. lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 ∀ 𝜀 > 0; ∃ 𝑁 ∈ ℕ: ∀ 𝑛 > 𝑁 𝑎𝑛 − 𝐿 < 𝜀 .
ii. lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = +∞ ∀ 𝑀 > 0; ∃ 𝑁 ∈ ℕ: ∀ 𝑛 > 𝑁 𝑎𝑛 > 𝑀.
iii. lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = −∞ ∀ 𝑀 > 0; ∃ 𝑁 ∈ ℕ: ∀ 𝑛 > 𝑁 𝑎𝑛 < −𝑀.
Sequências Convergentes e divergentes
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Definição 3: Se existe um número real (finito) 𝐿 tal que lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 a
sequência 𝑎𝑛 é dita convergente. Caso contrário, a sequência é dita
divergente.
Alguns Teoremas para convergência de sequências
+ Teorema 1 : Teorema do Confronto
Sejam 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 e 𝑐𝑛 sequências tais
que lim𝑛→∞
𝑎𝑛 = 𝐿 = lim𝑛→∞
𝑐𝑛 .
Se existe 𝑛1 ∈ ℕ tal que 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 ≤ 𝑐𝑛,
para todo 𝑛 > 𝑛1, então lim𝑛→∞
𝑏𝑛 = 𝐿
Alguns Teoremas para convergência de sequências
Exemplo: Determine o limite da sequência cos2 𝑛
3𝑛
+ Teorema 2: Se 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0 então 𝑙𝑖𝑚𝑛→∞
𝑎𝑛= 0.
Alguns Teoremas para convergência de sequências Exercícios:
1. Discuta a convergência da sequência 𝑎𝑛 =𝑛!
𝑛𝑛 ,
onde 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ … ∙ 𝑛. 2. Determine se as sequências convergem ou divergem.
a) 4𝑛2
2𝑛2+1 b) −1 𝑛
𝑛 c) −1 𝑛 d) ln 𝑛
𝑛
Alguns Teoremas para convergência de sequências + Teorema 3: A sequência 𝑟𝑛 é convergente para −1 < 𝑟 ≤ 1 e
diverge para todos os outros valores de 𝑟.
Demonstração: f aremos em sala.
Sequência Crescente e Decrescente
• A sequência é dita monótona se for crescente ou decrescente.
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Definição 4: Uma sequência 𝑎𝑛 é denominada crescente se 𝑎𝑛 <
𝑎𝑛+1 para todo 𝑛 ≥ 1 e é denominada decrescente se 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 para
todo 𝑛 ≥ 1 .
Sequência Crescente e Decrescente Exemplos:
1. A sequência 𝑛
2𝑛+1 é crescente ou decrescente?
2. Mostre que a sequência 3
𝑛+5 é decrescente.
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Sequência Limitada Exemplos:
1. A sequência 𝑛
2𝑛+1 é crescente ou
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Definição 5: Uma sequência 𝑎𝑛 é limitada superiormente se existir
um número M tal que 𝒂𝒏 ≤ 𝑴 para todo 𝒏 ≥ 𝟏. É limitada
inferiormente se existir um número m tal que
m ≤ 𝒂𝒏 para todo 𝒏 ≥ 𝟏.
Se ela for limitada superiormente e inferiormente, então 𝑎𝑛 é uma
sequência limitada.
Sequência Limitada Exemplos:
1. 𝑎𝑛 = 𝑛 (limitada inferiormente, pois 0 < 𝑎𝑛).
2. 𝑎𝑛 =𝑛
𝑛+5 (limitada, pois 0 < 𝑎𝑛 < 1).
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Sequência Limitada
Observação
+ Nem toda sequência limitada é convergente.
Por exemplo, a sequência 𝑎𝑛 = −1 𝑛 é limitada pois
− 1 ≤ 𝑎𝑛 ≤ 1), porém divergente.
+ Nem todo sequência monótona é convergente
Por exemplo 𝑎𝑛 = 𝑛 → ∞ .
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Sequência Limitada
+ Teorema 4: Teorema da Sequência Monótona
Toda sequência 𝑎𝑛 monótona e limitada é convergente.
Exemplo: Mostre que a sequência 𝟐𝒏
𝒏! é monótona e
limitada e portanto, convergente.
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