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Integral Dupla - Conceitos e Propriedades
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Ensino Superior7. Integrais DuplasConceitos e PropriedadesAmintas Paiva AfonsoClculo 2
Integrais DuplasIntegral dupla uma extenso natural do conceito de integral definida para as funes de duas variveis. Sero utilizadas para analisar diversas situaes envolvendo clculo de reas e volumes, determinao de grandezas fsicas e outros.
f :IR2IR contnua noretngulo R = [a,b] x [c,d]ybaxdcRIntegrais Duplas
f 0 em RQ = {(x,y,z)/(x,y) R e 0 z f(x,y)}xyzQRVolume de Q = V = ?Integrais Duplas
Partio de RxixbaxdcRyx1x2xi-1y1y2yj-1yjyRij(xij , yij)Integrais Duplas
V = xyzQRf (xij , yij) (xij , yij )VijIntegrais Duplas
Integral Dupla de f sobre o retngulo RIntegrais Duplas
Integrais IteradasIntegrais Duplas
Integrais Duplas em Regies Genricas1) Regies inscritas em faixas verticaisD = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }xy0bay = g1(x)y = g2(x)DIntegrais Duplas
Integrais Duplas em Regies Genricas1) Regies inscritas em faixas horizontaisxy0dcx = h1(y)x = h2(y)DIntegrais DuplasD = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }
Propriedades das Integrais Duplas Integrais Duplas
Massa e Centro de Massa de uma Lmina(x,y) : densidade no ponto (x,y)D : local ocupado pela lminam : massa da lminaIntegrais Duplas
Centro de Massa : (X,Y)onde X = My/m e Y = Mx/mpara:eIntegrais Duplas
Exemplo 1
Exemplo 2dx
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Exemplo 6
Exemplo 7Calcule , onde R = [1, 2] x [0, ].
Exemplo 8Calcule a integral Iterada D = {(x, y) / 0 y 1, 0 x y}D = {(x, y) / 0 x 1, x y 1}
Exemplo 8
Exerccios3) Integrar a funo f(x,y), considerando o domnio definido pelas retas x = 0, y = 0 e y = x. .
Propriedades das Integrais Duplas
Integrais Dupla para Domnios No Retangulares Mltiplo constante:
Soma e diferena:
Aditividade: (R = R1 + R2)
Clculo de Integrais DuplasSef(x,y) contnuano retngulo R = [a, b] [c, d], a integral duplaigualaintegral iterada.xyfixofixo
Clculo de Integrais Duplasabxyh(x)g(x)xASef(x,y) contnuaemA ={(x, y) / xem [a,b]eh(x)y g(x)}, a integral duplaigualaintegral iterada.
Clculo de Integrais Duplasdxych(y)g(y)yASef(x,y) contnuaemA ={(x, y) / yem [c,d]eh(y)x g(y)}, a integral duplaigualaintegral iterada.
Clculo de Integrais Duplas
Integrais Duplas para Domnios No Retangulares
Clculo de Integrais Duplas
Integrais Dupla para Domnios No Retangulares
Clculo de Integrais Duplas
Integrais Iteradas Definio
ExercciosCalcule , onde D a regio limitada pelas parbolas y = 2x2 e y = 1 + x2.
ExercciosResposta: 36
Exerccios Calcule , onde D a regio limitada pela reta y = x 1 e pela parbola y2 = 2x + 6.
Exerccios Calcule , onde D a regio limitada pela reta y = x 1 e pela parbola y2 = 2x + 6.
Exerccios
Exerccios
Exerccios
Exerccios
Exerccios
Exerccios
Exerccios
Exerccios
Valor Mdio de f(x,y) sobre o domnio R
Valor Mdio de f(x,y) sobre o domnio RExemplo: Calcular o valor mdio da funo f(x,y) = sen(x + y), no retngulo 0 x e 0 x /2.