0303200 – Probabilidade – Aula 05

Magno T. M. Silva

Escola Politecnica da USP

Abril de 2017A maior parte dos exemplos dessa aula foram extraıdos de Jay

L. Devore, Probabilidade e Estatıstica para engenharia e

ciencias, traducao da 8a edicao americana, Cengage, 2014

Sumario

3.2 Variaveis aleatorias discretas e distribuicoes de probabilidade

4 Variaveis aleatorias contınuas e distribuicoes de probabilidade4.1 Funcoes densidade de probabilidade4.2 Funcoes de distribuicao acumuladas

3.2 Funcao de distribuicao de uma v.a. discreta

A funcao de distribuicao acumulada F (x) de uma v.a. discreta Xcom funcao de probabilidade P [X = x] e definida para todos osvalores x como

F (x) = P (X ≤ x) =∑

y:y≤x

P [X = y]

Para qualquer valor x, F (x) e a probabilidade do valor de Xobservado ser no maximo x.

3.2 Exemplo 3.13

Uma loja vende pendrives de 1GB, 2GB, 4GB, 8GB e 16GB dememoria. A tabela a seguir mostra a funcao de probabilidade de

X = quantidade de memoria de um pendrive adquirido

x 1 2 4 8 16

P [X = x] 0,05 0,10 0,35 0,40 0,10

Determine a funcao de distribuicao de X.

3.2 Exemplo 3.13

F (1) = P (X ≤ 1) = P [X = 1] = 0,05

F (2) = P (X ≤ 2)=P (X = 1 ouX = 2) = P [X = 1]+P [X = 2]=0,15

F (4) = P (X ≤ 4) = P (X = 1 ou 2 ou 4)

= P [X = 1] + P [X = 2] + P [X = 4] = 0,50

F (8)=P (X≤8)

=P [X=1]+P [X=2]+P [X=4]+P [X=8]=0,90

F (16) = P (X ≤ 16) = 1

3.2 Exemplo 3.13

Para qualquer outro valor de x, F (x) sera igual ao valor de F novalor mais proximo possıvel de X a esquerda de x.Por exemplo,

F (2,7) = P (X ≤ 2,7) = P (X ≤ 2) = F (2) = 0,15

F (7,999) = P (X ≤ 7,999) = P (X ≤ 4) = F (4) = 0,50

3.2 Exemplo 3.13

A expressao de F (x) e dada por

F (x) =

0, x < 10,05, 1 ≤ x < 20,15, 2 ≤ x < 40,50, 4 ≤ x < 80,90, 8 ≤ x < 16

1, 16 ≤ x

3.2 Exemplo 3.13

10 2 4 8 16

x

F (x)

0,1500,050

0,500

0,9001,000

}

P [X = 4]

Note que P [X = 4] = F (4)− F (2) = 0,50− 0,15 = 0,35

3.2 Proposicao P (a ≤ X ≤ b)No Exemplo 3.13, se quisermos calcular

P (2 ≤ X ≤ 8) = P [X = 2] + P [X = 4] + P [X = 8]

= {P [X = 1] +P [X = 2] +P [X = 4] +P [X = 8]}− {P [X = 1]}

= P (X ≤ 8)− P (X ≤ 1) = F (8)− F (1)

Note que:

◮ P (2≤X ≤ 8) 6=F (8)− F (2) porque o valor de X = 2 estaincluıdo no intervalo 2 ≤ X ≤ 8.

◮ P (2<X ≤ 8)=F (8)− F (2) porque X = 2 nao esta incluıdono intervalo 2 < X ≤ 8

Dessa forma, chega-se a proposicao:Para quaisquer dois numeros a e b com a ≤ b,

P (a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a−)

em que a− representa o maior valor possıvel de X,necessariamente inferior a a.

3.2 Exemplo 3.15

Seja X o numero de dias de licenca por doenca de um funcionariode uma empresa, selecionado aleatoriamente em um certo ano. Seo numero maximo de dias permitidos por ano e 14, os valorespossıveis de X sao 0,1,2, · · · , 14.Sabendo-se que

F (0) = 0,58 F (1) = 0,72

F (2) = 0,76 F (3) = 0,81

F (4) = 0,88 F (5) = 0,94

DetermineP (2 ≤ X ≤ 5) e P [X = 3]

3.2 Exemplo 3.15

Resolucao:

P (2 ≤ X ≤ 5) = P (X = 2,3,4 ou 5) = F (5)− F (1) = 0,22

P [X = 3] = F (3)− F (2) = 0,05.

4.1 Exemplo 4.1 – variaveis aleatorias contınuas

Se no estudo de ecologia de um lago, fizermos medidas deprofundidade em locais selecionados aleatoriamente, entao

X = a profundidade nesse local

e uma v.a. contınua distribuıda no intervalo [A, B], sendo A aprofundidade mınima e B a profundidade maxima.

4.1 Exemplo 4.2 – variaveis aleatorias contınuas

Se um composto quımico for selecionado aleatoriamente edeterminarmos seu pH X, entao X e uma v.a. contınua porquequalquer valor de pH entre 0 e 14 e possıvel. Caso se saiba maissobre o composto selecionado para analise, o conjunto de valorespossıveis pode ser um subintervalo de [0, 14], como 5,5 ≤ X ≤ 6,5,mas X ainda seria contınua.

4.1 Distribuicoes de probabilidade para variaveis contınuas

◮ X = a profundidade de um ponto aleatorio da superfıcie deum lago

◮ qualquer numero no intervalo [0, M ] e um valor possıvel paraX

◮ se tomarmos X discreta, a distribuicao resultante e ilustradapor um histograma de probabilidade com retangulos cujasareas sao proporcoes do lago com profundidade k

◮ o total da area dos retangulos e 1.

000 MMM

Area= 1

4.1 Distribuicoes de probabilidade para variaveis contınuasConsidere que X e uma v.a. contınua. Entao, a funcao densidadede probabilidade (f.d.p.) e uma funcao f(x) tal que

◮ f(x) ≥ 0 para todo x

◮

∫ ∞

−∞

f(x) = 1 (area sob o grafico de f(x))

◮ P (a ≤ X ≤ b) =

∫ b

a

f(x)dx, com a ≤ b

a b

x

P (a ≤ X ≤ b)f(x)

4.1 Exemplo 4.4O angulo medido no sentido horario entre a linha de referencia queliga a valvula de um pneu ate o ponto central e o local daimperfeicao e uma variavel aleatoria cuja f.d.p. e dada por

x

f(x)

360o

1360o

0

Determine:

◮ a probabilidade do angulo estar entre 90o e 180o.

◮ a probabilidade do angulo estar dentro de 90o da linha dereferencia.

◮ a probabilidade do angulo ser maior que 180o dado que ele emaior que 90o

4.1 Exemplo 4.4Resolucao:

xx

f(x)f(x)

360o360o 90o 180o

1360o

1360o

00

P (90o≤X≤180o)

◮ A probabilidade do angulo estar entre 90o e 180o vale:

P (90o ≤ X ≤ 180o) =

∫ 180

90

1

360dx =

x

360

∣∣∣

180

90=

1

4

◮ A probabilidade do angulo estar dentro de 90o da linha dereferencia vale:

P (0 ≤ X ≤ 90o) + P (270o ≤ X < 360o) =1

2

4.1 Exemplo 4.4Resolucao:

x

f(x)

360o

1360o

0

◮ A probabilidade do angulo ser maior que 180o dado que ele emaior que 90o vale:

P (X > 180o|X > 90◦) =P (X > 180o e X > 90o)

P (X > 90o)

=P (X > 180o)

P (X > 90o)=

1/2

3/4= 2/3

4.1 Exemplo 4.5

O “tempo de avanco” no fluxo do trafego e definido como tempoentre o instante em que o carro termina de passar por um pontofixo e o instante em que o proximo carro comeca a passar por esseponto. Seja a v.a.X = o tempo de avanco para dois carros consecutivos escolhidosao acaso na Marginal Pinheiros em um perıodo de trafego intenso.Suponha que a f.d.p. de X e dada por

f(x) =

{ke−0,15(x−0,5), x ≥ 0,5

0, caso contrario

sendo k uma constante.Determine:

◮ o valor de k.

◮ a probabilidade do tempo de avanco ser no maximo 5segundos.

4.1 Exemplo 4.5Resolucao:

◮ Para que f(x) seja uma f.d.p., a area sob o grafico deve serigual a 1, ou seja∫ ∞

−∞

f(x)dx =

∫ ∞

0,5ke−0,15(x−0,5)dx = ke0,075

∫ ∞

0,5e−0,15xdx

= ke0,075(

−1

0,15

)

e−0,15x∣∣∣

∞

0,5︸ ︷︷ ︸

−e−0,075

=k

0,15⇒ k = 0,15

x

f(x)

50,5

0,15

0

4.1 Exemplo 4.5Resolucao:

x

f(x)

50,5

0,15

0

◮ a probabilidade do tempo de avanco ser no maximo 5segundos vale:

P (X ≤ 5) =

∫ 0,5

−∞

0,15e−0,15(x−0,5)dx = 0,15e0,075∫ 5

0,5e−0,15xdx

= 0,15e0,075(

−1

0,15

)

e−0,15x∣∣∣

5

0,5= 0,491 = P (X < 5)

4.2 Funcoes de distribuicao acumuladasA funcao de distribuicao acumulada F (x) para uma v.a. contınuaX e definida como

F (x) = P (X ≤ x) =

∫ x

−∞

f(λ)dλ

aa bb

xx

F (b)f(x) F (x)

F (b)1

Note que

f(x) =dF (x)

dx= F ′(x)

4.2 Exemplo de f.d.p. e funcao de distribuicao

Suponha que uma v.a. tenha f.d.p dada por

f(x) =

1

B −A, A ≤ x ≤ B

0, caso contrarioF (x) =

0, x < Ax−A

B −A, A ≤ x < B

1, x ≥ B

xx

F (x)f(x)

AA BB

1B−A

1

00

4.2 Uso de F (x) para calcular probabilidades

Seja X uma v.a. contınua com f.d.p. f(x) e funcao de distribuicaoacumulada F (x), entao

P (X > a) = 1− F (a)

e para b > aP (a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a)

a aa bbbxxx

f(x)f(x)f(x)

F (b) F (a)