Plano Tangente eAproximações Lineares

Plano Tangente

Seja S a superfície que é o gráfico de uma função z = f(x, y).

Suponha que f tem derivadas parciais deprimeira ordem contínuas.

Seja P(xo, yo, zo) um ponto em S.

Plano Tangente

O ponto P pertence à interseção de C1 com C2.

Sejam T1 e T2 as retas tangentes às curvas C1 e C2, no ponto P.

O plano tangente à superfície S, no ponto P, é definido como o plano que contém as duas retas tangentes T1 e T2.

Sejam C1 e C2 as curvas obtidas pela interseção de S com os planosverticais y = y0 e x = x0.

Plano Tangente

O plano tangente a S em P é o plano que mais se aproxima da

superfície S, perto do ponto P.

Como a = fx(x0, y0) e b = fy(x0, y0), temos que a equação do

plano tangente a S, em P, é:

z − z0 = fx(x0,y0)(x− x0) + fy(x0,y0)(y

− y0)

A equação cartesiana de uma reta com inclinação a e que passa pelo ponto (x0,y0) é

y - y0 = a(x - x0)

Equação do Plano Tangente

A equação cartesiana de um plano que passa pelo ponto P(x0,y0,z0) é

z - z0 = a(x - x0) + b(y - y0)

z - z0 = a(x - x0), quando y = y0

z - z0 = b(y - y0), quando x = x0

Equação do Plano Tangente

Suponha que f tenha derivadas parciais contínuas.

Uma equação do plano tangente à superfície z = f(x,y), no ponto P(x0,y0,z0) é dada por

z - z0 = fx(x0,y0)(x − x0) + fy(x0,y0)(y − y0)

Exemplo 1

Determine o plano tangente ao parabolóide elípticoz = 2x2 + y2,

no ponto (1, 1, 3).

Exercício 4 p. 928

Determine uma equação do plano tangente à superfíciez = y ln x,

no ponto (1,4,0).

z = 4x − 4

Aproximação Linear

Seja f uma função de duas variáveis que tem derivadas parciais contínuas em um ponto Q(a,b,f (a,b)). Então a equação do plano tangente ao gráfico de f em Q é

ou seja,

z − f (a,b) = fx(a,b)(x −a) + fy(a,b)(y − b)

z = f (a,b) + fx(a,b)(x − a) + fy(a,b)(y − b)

• é chamada linearização de f em (a,b).

• é chamada aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente de f em (a,b).

( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )x yL x y f a b f a b x a f a b y b= + - + -

( , ) ( , ) ( , )( ) ( , )( )x yf x y f a b f a b x a f a b y b + - + -

Aproximação Linear

Aproximação Linear

Como vimos, a equação do plano tangente ao gráfico da função f(x,y) = 2x2 + y2, no ponto (1,1,3) é

z = 4x + 2y − 3

Portanto, a função linear de duas variáveis L(x, y) = 4x + 2y − 3é uma boa aproximação de f(x, y) quando (x, y) está próximo de (1,1).

Por exemplo, no ponto (1,1; 0,95), a aproximação linear fornecef(1,1; 0,95) = 4(1,1) + 2(0,95) − 3 = 3,3

Aproximação Linear

O valor exato de f(1,1; 0,95) éf(x,y) = 2(1,1)2 + (0,95)2 = 3,3225

Portanto, pela aproximação linear temos:f(1,1; 0,95) = 4(1,1) + 2(0,95) − 3 = 3,3

2 2 se ( , ) (0,0)( , )

0 se (x,y)=(0,0)

xy x yx yf x y

+=

(0,0) (0,0) 0x yf f= =

( , ) 0f x y 1mas ( , ) para 2

f x y y x= =

e não são contínuas em (0,0).x yf f

Exemplo 2

Gráfico

• Gráfico da função

2 2 se ( , ) (0,0)( , )

0 se (x,y)=(0,0)

xy x yx yf x y

+=

Definição

Quando o plano tangente a uma superfície S, em um ponto P(a,b,f(a,b)),

é uma boa aproximação para S na vizinhança de P, dizemos que f é

diferenciável em (a,b).

Definição

Em outros termos, uma função diferenciável em (a,b) é aquela para a qual

a aproximação linear é uma boa aproximação quando (x, y) está próximo de

(a, b).Nesse caso, como dissemos, o plano

tangente aproxima bem o gráfico de f perto do ponto de tangência.

Pergunta

Se z = f(x,y), como saber se f é diferenciável em um ponto (a,b) de seu domínio?

Em outros termos:Como saber se o plano tangente aproxima bem o gráfico de f perto do ponto de tangência?

Teorema

Se as derivadas parciais e existem perto do ponto e forem contínuas em , então é diferenciável em .

xf yf( , )a b ( , )a b

f ( , )a b

Exemplo 3• Mostre que é diferenciável em

(1,0) e determine sua linearização ali. Em seguida, use a linearização para aproximar .

( , ) xyf x y xe=

(1,1 , 0,1)f -

f(1,1;-0,1)=0,9854