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07/Mar/2018 – Aula 4

9/Mar/2018 – Aula 5

Segunda lei da termodinâmicaMáquinas térmicas; eficiência. Formulação de KelvinMáquinas frigoríficas (e bombas de calor): princípiode funcionamento e eficiênciaFormulação de ClausiusSegunda lei e irreversibilidade

Processos termodinâmicosCapacidades caloríficas dos gasesEnergia interna de um gás idealCapacidades caloríficas dos sólidosTransformações termodinâmicas e gases ideaisTipos de transformações termodinâmicasExpansão quase-estática; trabalho realizado pelaexpansão adiabática quase-estática

2

Aula anterior

Calor específico a volume e a pressão constantes

Capacidade caloríficaTaxa de absorção de calor necessária para aumentar a temperatura.

[C] = J K-1

Como o calor absorvido depende do processo, é necessário especificar as restrições:

Volume constante ⇒⇒⇒⇒ Cv = dQv/dT

Pressão constante ⇒⇒⇒⇒ Cp = dQp/dT

Calor específico mássico: cv = Cv /m cp = Cp /m

dTdQ

C =

O calor específico depende da substância

Isotérmicas

Calor específico molar: ='V Vc C n ='

P Pc C n

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Aula anterior

Capacidades caloríficas dos gases

CV para um gás ideal monoatómico

Calor transferido para um sistema mantendo o volume constante (trabalho nulo):

A energia interna é dada pela energia total de translação das moléculas:

TRn23

UU transint ==

Q = n cV dT = dUint

dTRn23

dU int =

CV =1n

dU int

dT=

32

R =12,47 J.mol −1.K −1

⇒⇒⇒⇒

4

Aula anterior

Calor transferido para um sistema mantendo a pressão constante:

γγγγ = CP / CV = 1,667

CP para um gás ideal monoatómico

Q = n cP dT = dUint + W

dTRn23

dU int = dTRndVPW ==

CP =52

R = 20,79 J.mol −1.K −1

⇒⇒⇒⇒

CP −CV =R = 8,315 J.mol −1.K −1

5

Aula anterior

Energia interna de um gás ideal diatómico

Graus de liberdadeTranslação do CM: 3 graus (direcções x, y e z)Rotações: 2 graus (em torno dos eixos x, y ou z)Vibrações: 2 graus (energia cinética e potencial associada às vibrações ao longo do eixo molecular)

Energia interna de um gás ideal monoatómico

Movimento translacional: cada grau de liberdade corresponde ao movimento segundo um eixo e cada eixo contribui com uma energia de ½kBT (Teorema da Equipartição de energia)

U= 3/2 nRT = 3/2NkBT

6

Aula anterior

Tipos de transformações termodinâmicas

Isotérmicas- a temperatura constante

Isobáricas- a pressão constante

Isocóricas- a volume constante

Adiabáticas- sem trocas de calor com o exterior Adiabática

Isotérmica

Isobárica

Isocórica

7

Aula anterior

Trabalho realizado num processo = área no diagrama PV

Embora o calor transferido e o trabalho realizado dependam do percurso efectuado, a quantidade “ Q – W ” é independente do percurso, só depende dos estados inicial e final.

Variáveis (ou grandezas) de estadoQuantidades termodinâmicas que só dependem dos estados inicial e final (ex. energia interna).

Expansão Compressão P constante

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Trabalho realizado pela expansão adiabática quase-estática de um gás

Q = 0 ⇒⇒⇒⇒ dU = Q - W = - W = - P dV⇒⇒⇒⇒

γγγγ > 1 ⇒⇒⇒⇒

Expansão adiabática : dV > 0 ⇒⇒⇒⇒ dT < 0Compressão adiabática : dV < 0 ⇒⇒⇒⇒ dT > 0

Trabalho realizado :

Transformação adiabática

Para um gás ideal, quando uma isotérmicae uma adiabáticapassam no mesmoponto, a inclinação da adiabática é maior

1 1

a a b b

a a b b

T V T V

P V P V

γ− γ−

γ γ

=

=

PV γγγγ = constante

( )

( )1

1

V V b a

a a b bV

a a b b

W n c T n c T T

P V P Vn c

nR nR

P V P V

= − ∆ = − −

= −

= −γ −

Aula anterior

9

Processo Característica Trabalho CalorVariação da energia

interna

Isocórico

Isobárico

Isotérmico

Adiabático

Resumo para um gás ideal

0V∆ =

0p∆ =

0T∆ =

0Q =

0

p V∆

2

1

V

V

p dV∫2

1

V

V

p dV∫

Vn c T− ∆

Vnc T∆

Vn c T∆

Vnc T∆

0

Vnc T∆

pnc T∆

0

Aula anterior

dU = Q - W

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Máquinas térmicas

Máquina térmicaDispositivo que converte calor em energia mecânica (trabalho)

Utilizam uma substância de trabalho(água, gasolina, etc.) através de um processo cíclico, durante o qual:

o a substância de trabalho absorve calor QH de um reservatório a TH ,

o parte do calor absorvido é convertido em trabalho W,

o a energia térmica restante QL é expelida para um reservatório a TL

Reservatório a alta temperatura TH

Reservatório a baixa temperatura TL

W

QH

QL

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= ≅v

Q∆T 0

mc

Reservatório de calor Sistema fechado (com capacidade energética térmica mCv elevada) donde se pode remover ou adicionar calor sem que a sua temperatura se altere significativamente

Exemplos de reservatórios de calor“Objectos” que conseguem absorver ou fornecer quantidades finitasde calor isotermicamente

oceanos, lagos, rios, atmosfera, …

Fornalhas, reactores nucleares, centrais de carvão, …

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Primeira Lei da Termodinâmicaaplicada a um processo cíclico

Q-W = ∆∆∆∆U = Uf –Ui = 0

W = Q = QH – QL

Percurso 2

Percurso 1TH

TL

W

QH

QL

H

L

H

LH

H QQ

1Q

QQQW

ε −=−

===consumido

produzido

Q

W

Eficiência εεεε (ou rendimento ηηηη ) das máquinas térmicas

Eficiência das máquinas térmicas

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Segunda Lei da Termodinâmica (formulação de Kelvin)

“É impossível remover energia térmica de um sistema a uma dada temperatura e convertê-la em trabalho mecânico sem, de algum modo, interferir no sistema ou no Universo”

Heat

engine

Reservatório a alta temperatura TH

Reservatório a baixa temperatura TL

W

QH

O calor (energia térmica) não pode ser completamente convertido em trabalho (energia mecânica)

QL > 0 , QH > W

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Máquinas frigoríficas (e bombas de calor)

As máquinas frigoríficas trabalham emciclo inverso

Utilizam uma substância de trabalho(água, gasolina, etc.) através de um processo cíclico, durante o qual:

o a substância de trabalho absorve calor QL de um reservatório a TL ,

o essa energia térmica é transferida para um reservatório a TH, através de trabalho W fornecido externamente

Reservatório a alta temperatura TH

Reservatório a baixa temperatura TL

W

QH

QL

Verão - rua / Inverno - casa

Verão - casa / Inverno - rua

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Princípio de funcionamento dos frigoríficos e bombas de calor

Compressor

Gás a baixa pressão

Gás a alta pressão

Condensador CEvaporador E

Líquido a baixa pressão

Líquido a alta pressão

Válvula de passagem

1. O compressor força a passagem dum gás, (CCl2F2 ou outro do tipo do “Freon”), a temperatura e pressão elevadas através do condensador C

2. O calor é removido do gás em Cpor meio de água ou ar frio, provocando a condensação do gás em líquido, ainda a pressão elevada.

3. O líquido passa pela válvula como uma mistura de líquido e vapor a temperatura mais baixa

4. No evaporador E, o calor é fornecido e converte o líquido restante emvapor, que entra no compressor e o ciclo repete-se.

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Temperatura mais baixa no exterior

Bomba de

calor

Temperatura mais alta no interior

Bombas de calor

Ar condicionado: E no compartimento; C fora do edifício

Bomba de calor: E fora do edifício; C no compartimento

Frigorífico: E no compartimento frio; C fora do frigorífico E : evaporador

C : condensador

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Eficiência das máquinas frigoríficas

Modo de arrefecimento:

LH

Lc QQ

Qε

−==

consumido

extraído

W

Q

Eficiência εεεε das máquinas frigoríficas Reservatório a alta temperatura TH

Reservatório a baixa temperatura TL

W

QH

QL

Modo de aquecimento (bombas de calor):

obtido

consumido

QW

= == == == =−−−−

Hh

H L

Qε

Q Q

18

W

QCP =

LH

LL

QQ

Q

W

QCP

−==

LH

Lideal TT

TCP

−=

Modelo dum Frigorífico real

Coeficiente de desempenho (CoP)

19

Fonte térmica fria

Fonte térmica quente

Representação dos ciclos

20

Reservatório a alta temperatura TH

Reservatório a baixa temperatura TL

Bombade

calor

QH

QL

“É impossível construir uma máquina cíclica cujo único efeito seja transferir continuamente o calor de um objecto para outro a uma temperatura mais elevada sem que lhe seja fornecida energia (sob a forma de trabalho)”

O calor não flui espontaneamente de um objecto frio para um objecto quente

|W |> 0

Segunda Lei da Termodinâmica (formulação de Clausius)

21

A Segunda Lei (ou Segundo Princípio) da Termodinâmica(experimental) pode ser considerado uma manifestação dos seguintes processos irreversíveis:

1. Quando dois objectos a temperaturas diferentes são colocados em contacto térmico, o calor flui sempre do que estiver a temperatura mais elevada para o de temperatura mais baixa.

2. O trabalho mecânico pode ser totalmente convertido em calor, mas não o contrário.

Segunda Lei da Termodinâmica e irreversibilidade

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Os processos naturais são irreversíveis :

1. os gases fluem espontaneamente sempre da zona depressão mais elevada para a pressão mais baixa;

2. os gases (e os líquidos) em contacto sem intervençãoexterior tendem a misturar-se e não a separar-se (gota detinta na água, sal na água, etc.).

Os processos reversíveis, embora não existindo na natureza, constituem um limite idealizado (teórico) para a eficiência das máquinas térmicas reais.

Água

23

h

21tot Q

WWε

+=Eficiência das 2 máquinas em série :

h

11 Q

Wε =

m

22 Q

Wε =Eficiência de cada máquina :

Considere duas máquinas térmicas ligados em série, de tal modo que ocalor expelido pela primeira é usado como calor absorvido da segunda.As eficiências de cada uma são εεεε1 e εεεε2 , respectivamente. Mostre que aeficiência total da combinação é igual a ( ) 211tot εε1εε −+=

⇒⇒⇒⇒ 2h

m1

h

m2h1tot ε

QQ

εQ

QεQεε +=

+=

h

m1 Q

Q1ε −= 1

h

mε1

QQ

−=Como ou

( ) 211tot εε1εε −+=⇒⇒⇒⇒

24

Um gás ideal efectua o ciclo termodinâmico ABCDA representado nafigura. O ciclo consiste em dois processos isobáricos e doisisotérmicos. Determine, em termos de P0 e V0 , o calor transferido parao gás num ciclo completo.

A

CD

B

V

3Po

Po

P

Vo 2Vo

T1T2

A →→→→ B: W1 = PA(VB – VA)

B →→→→ C: W2 = nRT2 ln(VC /VB)

C →→→→ D: W3 = PC(VD – VC)

D →→→→ A: W4 = nRT1 ln(VA /VD)

Como PAVB = PCVC (isotérmica T2 ) e

PAVA = PCVD (isotérmica T1 )

W = ΣΣΣΣ Wi = W2 + W4 = nRT2 ln(VC /VB) + nRT1 ln(VA /VD) ⇒⇒⇒⇒

W = nRT2 ln(VC /VB) - nRT1 ln(VD /VA) = nRT2 ln(PA /PC) - nRT1 ln(PA /PC) = PCVC ln(PA /PC) - PDVD ln(PA /PC) = 2PoVo ln(3) - PoVo ln(3) =

= PoVo ln(3)⇒⇒⇒⇒

25

Uma central de vapor debita 50 MW de potência (trabalho por unidade de

tempo) enquanto queima combustível para produzir 150 MW potênciade calor (calor por unidade de tempo na fonte quente). Determine:

a) a eficiência do ciclo

b) o calor rejeitado para o exterior

H

W 50 MW×s 50 MJε= = = = 0,333

Q 150 MW×s 150 MJa) eficiência

H L

L H

W =Q -Q

Q =Q -W

=(150-50)MW×s =100MW×s =100MJ

b) calor rejeitado

(Energia = Potência×∆t)

(1 J = 1 W×1s)

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Um gás passa de um estado 1 (Ti) para 2 estados finais com a mesmatemperatura (Tf ), através de processos lineares. Determine qual dosdois processos necessita de absorver mais calor.

WQ∆U −=P2

P3

1

23

Ti

Tf

Pi

P

Vi V2 V3 V

i33

i22

W∆UQ

W∆UQ

+=

+=

( )( )

( )( )i33ii3

i22ii2

VVPP21

W

VVPP21

W

−+=

−+=

⇒⇒⇒⇒ i2i323 WWQQ −=−

( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )i22iii2i2

i2i2i2i

VVPP21

PPPVV

PPVV21

VV0PÁrea

−+=

+−−=

=−−+−−=

2

1

P2

Pi

V2Vi

⇒⇒⇒⇒ ⇒⇒⇒⇒ (((( )))) (((( )))) − = − = − + − >− = − = − + − >− = − = − + − >− = − = − + − > 3 2 i3 i2 i 3 2 2 3 i1

Q Q W W P V V P P V 02

⇒⇒⇒⇒ 23 QQ >