22-1

2 As Leis de Newton

22 Vetores

221 Conceitos baacutesicos

Nesta seccedilatildeo apresentamos os conceitos baacutesicos sobre vetores

Uma forccedila eacute um exemplo tiacutepico de grandeza que eacute representada por um vetor Outrosexemplos satildeo deslocamento e velocidade O conceito de vetor pode-se desenvolver deuma forma bem ampla de modo que por exemplo soluccedilotildees de sistemas de equaccedilotildeeslineares ou de equaccedilotildees diferenciais tambeacutem possam ser representadas por vetores

Jaacute sabemos que um vetor no espaccedilo eacute uma combinaccedilatildeo de um comprimento (nuacutemeroreal positivo) uma direccedilatildeo e um sentido (Linhas paralelas orientadas num mesmosentido definem uma uacutenica direccedilatildeo orientada naquele sentido enquanto que linhasparalelas orientadas em sentidos opostos definem duas direccedilotildees orientadas emsentidos opostos)

Dois vetores seratildeo iguais quando forem caraterizados pelo mesmo comprimentodireccedilatildeo e sentido por isso vetores iguais podem ser representados pelo mesmo

segmento de reta orientado ou por dois segmentos de reta paralelos e de mesmo comprimento e mesma orientaccedilatildeo

De modo geral vetores satildeo indicados por negritos a b v F etc ou por um siacutembolo

como

Este vetor podemos considerar como vetor deslocamento de uma partiacutecula movendo-se ao longo de uma reta P seraacute a posiccedilatildeo inicial e Q a posiccedilatildeo final

O deslocamento natildeo depende da trajetoacuteria da pertiacutecula mas apenas dos pontos iniciale final

22-2

Fig 22-1

O deslocamento c eacute equivalente aos deslocamentos sucessivos a e b isto eacute c = a + b

Aqui formamos a soma de vetores pela regra do poliacutegono vetorial Esse meacutetodoconsiste em conectar a origem de um vetor na extremidade do outro A soma ou aresultante eacute o vetor que vai do ponto de origem agrave extremidade do uacuteltimo vetoradicionado

Outro meacutetodo para a adiccedilatildeo vetorial eacute a regra do paralelogramo A soma de doisvetores que formam entre si um acircngulo qualquer pode ser representada pela diagonaldem um paralelogramo construiacutedo a partir da conexatildeo entre as origens dos vetores

222 Representaccedilatildeo de vetores

Para representar um vetor em MuPAD precisamos das coordenadas dos pontos P e Q

Na figura seguinte desenhamos o vetor onde P = (12) e Q = (255)

22-3

bull v1= plotArrow2d([1 2][255]Color=RGBRed)

plot(v1)

Fig 22-2

Compare tambeacutem a seguinte figura

bull v1= plotArrow2d([1 2][255]Color=RGBGreen)

plot(v1Axes=None)

Fig 22-3

Agora desenhamos trecircs vetores posiccedilatildeo com o mesmo origem O =(00) utilizandodiferentes estilos

bull plot(plotArrow2d([1 1] Color = RGBRed

TipStyle = Open TipLength = 10unitmm)

plotArrow2d([-1 1] Color = RGBGreen

LineWidth = 08unitmm

22-4

TipStyle = Closed TipAngle = PI2)

plotArrow2d([0 -sqrt(2)] Color = RGBBlue

LineStyle = Dashed))

Fig 22-4

A soma dos vetores com os pontos finais x1= (22) e x2 = (255) apresentamos daseguinte maneira

bull x1=matrix([[22]])x2=matrix([[255]])

x3= x1+x2

v1=plotArrow2d([x1[1]x1[2]])

v2=plotArrow2d([x2[1]x2[2]])

v3=plotArrow2d([x3[1]x3[2]]Color=RGBRedTipStyle =Open)

info1=plotText2d(Vetor 1 [x1[1]x1[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

info2=plotText2d(Vetor 2 [x2[1]x2[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

22- 5

info3=plotText2d(Soma [x3[1]x3[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

plot(v1v2v3info1info2info3)

Fig 22-5

Para MuPAD um vetor eacute uma matriz-coluna ou uma matriz-linha

A matriz-coluna eacute aquela que possui uma uacutenica coluna (n = 1) matriz-linha eacute aquelaonde m = 1(m = nuacutemero de linhas n = nuacutemero de colunas)

Exemplos

Matriz-Coluna (m = 3 n = 1)

MuPAd pede para esta matriz a forma

A= matrix([[1]][-5][7]])

22- 6

ou mais simples

A= matrix([1-57])

Matriz-Linha (m = 1 n = 3)

A notaccedilatildeo em MuPAD eacuteA= matrix([[3-21]])

223 Representaccedilatildeo analiacutetica de vetores

A representaccedilatildeo graacutefica de vetores eacute inconveniente Eacute muito mais praacutetico representaros vetores de forma analiacutetica a partir de uma base As operaccedilotildees com vetores ficamespecialmente simples se os vetores-base satildeo ortogonais entre si Assim temos o quese denomina representaccedilatildeo cartesiana de vetores

Em duas dimensotildees um vetor a teraacute a forma analiacutetica a = ax i + ay jOs vetores unitaacuterios i j satildeo a base da representaccedilatildeo Os vetores unitaacuterios possuemmoacutedulos unitaacuterios e estatildeo dirigidos nos sentidos positivos dos eixos x yrespectivamente em um sistema de coordenadas dextrogiro

ax i e ay j satildeo as componentes vetoriais de a e ax ay satildeo as suas componentesescalares (agraves vezes denominadas de coordenadas de a)As componentes escalares satildeo dadas analiticamente por

ax = a cosθ (22-1a)

ay = a senθ (22-1b)

O teorema de Pitaacutegoras permite expressar o moacutedulo de a na forma

(22-2)

22-7

A orientaccedilatildeo do vetor a achamos com

(22-3)

Exemplo

O vetor a = 4 i + 3 j tem o moacutedulo e o acircngulo

Fig 22-6

Agora mostraremos como podemos fazer essas operaccedilotildees com MuPAD

bull A=matrix([[43]])

bull norm(A2) norm informaccedilatildeo sobre a 2-norm

com o resultado 5 para o moacutedulo (que MuPAD chama de norm(A2))

Agora para o acircngulo fazemos o caacutelculo seguinte(Note que float(arctan(34)) calcula o acircngulo em rad A relaccedilatildeo entre radiano egraus eacute estabelecida por 1rad = 180degπ)

bull arctan(34)

arctan(34)

22- 8

bull float()

06435011088

bull float(180PI)

3686989765

Para multiplicar um vetor por um nuacutemero c basta multiplicar suas componentes poreste nuacutemero

ca = (cax)i + (cay)j

Para se somar dois vetores basta somar suas componentes

Se a = axi + ayj e b = bxi + byj tem-se a + b = (ax + bx)i + (ay + )j

O produto escalar dos vetores a e b define-se por

a b = a b cos θ (22-4)

onde θ (theta) ι o βngulo formado pelos dois vetores Freqόentemente usa-se a letra Φ(phi) -para a matemαtica natildeo faz diferenccedilaA partir dessa definiccedilatildeo geomeacutetrica do produto escalar natildeo eacute difiacutecil demonstrar aseguinte relaccedilatildeo

a b = ax bx + ay by (22-5)

A equaccedilatildeo (25) eacute frequumlentemente adotada como definiccedilatildeo alternativa de produtoescalar

A generalizaccedilatildeo do que vimos nesta seccedilatildeo para o caso de trecircs dimensotildees se faz semdificuldadeOs seguintes exemplos ilustram a aplicaccedilatildeo da funccedilatildeo linalgscalarProduct(uv) de MuPAD Esta funccedilatildeo pertence agrave biblioteca linalg do MuPAD que conteacutem umgrande nuacutemero de funccedilotildees da Aacutelgebra linear Acho que vale a pena dar uma olhadanesta biblioteca

bull u = matrix([-23]) v = matrix([12 -25])

bull linalgscalarProduct(u v)

-99

22- 9

Este resultado podemos tambeacutem obter utilizando as regras do produto de duasmatrizesMas soacute podemos efetuar o produto de duas matrizes se o nuacutemero de colunas daprimeira for igual ao nuacutemero de linhas da segunda As matrizes u v possuem umacoluna e trecircs linhas Entatildeo seraacute preciso escrever a matriz u como matriz-linha (-2 3)o seja matrix([[-23]])Com esta pequena operaccedilatildeo podemos calcular o produto escalar como(-2)(12)+(3)(-25) = -99

Tambeacutem MuPAD sabe fazer este caacutelculo

bull u = matrix([[-23]]) v = matrix([12 -25])

bull p=uvmatriz com um elemento soacute

bull p[11] o uacutenico elemento da matriz-produto p

[-99]

-99

Os elementos cik da matriz-produto calculam-se por meio da foacutermula cik = air brk cik eacute o elemento da i-eacutesima linha e k-eacutesima coluna da matriz-produtocik eacute obtido multiplicando os elementos da i-eacutesima linha da primeira matriz peloselementos correspondentes da k-eacutesima coluna da segunda matriz e somando estesprodutos

Observe que o nuacutemero de colunas da primeira matriz deve ser igual ao nuacutemero delinhas na segundaSe natildeo for assim natildeo seraacute possiacutevel efetuar a multiplicaccedilatildeo

Sejam

22- 10

Entatildeo a matriz-produto AB eacute a matriz 2 x 2 definida como

(22-6)

Exemplo

Sejam

duas matrizesEncontre os produtos AB e BA

bull A=matrix([[31][52][43]])

bull B=matrix([[-1-1][14]])

bull AB

bull BA

Natildeo eacute possiacutevel calcular o produto BA porque o nuacutemero de colunas da B da primeiramatriz eacute diferente do nuacutemero de linhas da matriz A da segunda

22- 11

O acircngulo entre dois vetores podemos achar usando Eq (22-4) mas o caacutelculo diretousando o MuPAD eacute bastante complicado Note que o produto das matrizes A e B eacuteuma matriz com um elemento soacute C[11] = 9

bull A=matrix([[25]])

bull B=matrix([-33])

bull a=norm(A2) moacutedulo de A

bull b=norm(B2)

bull C=AB

bull c=ab

bull aphi=arccos(C[11]c)

bull phi=float(aphi180PI) ou theacuteta

6680140949

Utilizemos agora a funccedilatildeo linalgangle da biblioteca linalg

bull phi = linalgangle(

bull matrix([2 5]) matrix([-3 3]))

bull float(phi180PI)

6680140949

Obtivemos nosso resultado esta vez bem mais raacutepido Conclusatildeo

Natildeo haacute nada pior na vida do que um caminho inadequado

O produto escalar definido pela Eq (22-4) resulta em uma grandeza escalar o quejustifica o termo produto escalar

Eacute natural a se fazer a pergunta se existe algum produto de vetores que gere umagrandeza de natureza vetorial Jaacute sabemos que na mecacircnica existe tal produto oproduto vetorial Este produto aparece especialmente com relaccedilatildeo a momentos evelocidades angulares Noacutes trataacutevamos jaacute disso na seccedilatildeo 21

O produto vetorial de a por b nessa ordem eacute um vetor c = a x b tal que c = 0 se esomente se a e b satildeo colineares (Eacute uacutetil definir um vetor-zero que tem comprimento 0O vetor-zero (ou vetor-nulo) eacute paralelo e perpendicular a qualquer vetor a )

22- 12

Se a e b natildeo forem colineares entatildeo c seraacute tal que o seu comprimento eacute

c = absen θ (22-7)

onde theta eacute o acircngulo entre a e bEq (22-7) eacute igual agrave aacuterea do paralelogramo formado pelos dois vetores

O sentido do vetor c eacute definido pela regra da matildeo direita ou regra do parafusoO vetor c tem o sentido do dedo polegar quando a matildeo direita se posiciona de tal modoque os outros dedos giram de a para b quando a matildeo se fecha

A definiccedilatildeo do produto vetorial se baseia em um conceito antroacutepico Portanto pode-sedizer que o produto vetorial eacute com efeito muito uacutetil mas que natildeo pertence inteiramenteao domiacutenio da matemaacutetica como sim eacute o caso com o produto escalar que natildeo precisade uma regra do parafuso ou de algo equivalente

Diz-se que o produto vetorial eacute um pseudovetor De fato haacute vaacuterias grandezas fiacutesicasque satildeo pseudovetores

Exemplos

Se a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 k qual eacute o vetor c = a x b

bull a = matrix([[3-40]]) b = matrix([[-2 0 3]])

bull linalgcrossProduct(a b)

Resultado -12 i - 9 j -8 k

Generalizaccedilatildeo

Calcule para os vetores a = ax i + ay j + ak k e b = bx i + by j + bz k o vetor c = a x b

a x b = (ax i + ay j + ak k) x (bx i + by j + bz k)

= ax bx (i x i) + ax by (i x j) + ax bz (i x k)

+ ay bx (j x i) + ay by (j x j) + ay bz (j x k)

+ az bx (k x i) + az by (k x j) + az bz (k x k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - aybx) k

Esse resultado pode ser escrito sob a forma de determinantes

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22-2

Fig 22-1

O deslocamento c eacute equivalente aos deslocamentos sucessivos a e b isto eacute c = a + b

Aqui formamos a soma de vetores pela regra do poliacutegono vetorial Esse meacutetodoconsiste em conectar a origem de um vetor na extremidade do outro A soma ou aresultante eacute o vetor que vai do ponto de origem agrave extremidade do uacuteltimo vetoradicionado

Outro meacutetodo para a adiccedilatildeo vetorial eacute a regra do paralelogramo A soma de doisvetores que formam entre si um acircngulo qualquer pode ser representada pela diagonaldem um paralelogramo construiacutedo a partir da conexatildeo entre as origens dos vetores

222 Representaccedilatildeo de vetores

Para representar um vetor em MuPAD precisamos das coordenadas dos pontos P e Q

Na figura seguinte desenhamos o vetor onde P = (12) e Q = (255)

22-3

bull v1= plotArrow2d([1 2][255]Color=RGBRed)

plot(v1)

Fig 22-2

Compare tambeacutem a seguinte figura

bull v1= plotArrow2d([1 2][255]Color=RGBGreen)

plot(v1Axes=None)

Fig 22-3

Agora desenhamos trecircs vetores posiccedilatildeo com o mesmo origem O =(00) utilizandodiferentes estilos

bull plot(plotArrow2d([1 1] Color = RGBRed

TipStyle = Open TipLength = 10unitmm)

plotArrow2d([-1 1] Color = RGBGreen

LineWidth = 08unitmm

22-4

TipStyle = Closed TipAngle = PI2)

plotArrow2d([0 -sqrt(2)] Color = RGBBlue

LineStyle = Dashed))

Fig 22-4

A soma dos vetores com os pontos finais x1= (22) e x2 = (255) apresentamos daseguinte maneira

bull x1=matrix([[22]])x2=matrix([[255]])

x3= x1+x2

v1=plotArrow2d([x1[1]x1[2]])

v2=plotArrow2d([x2[1]x2[2]])

v3=plotArrow2d([x3[1]x3[2]]Color=RGBRedTipStyle =Open)

info1=plotText2d(Vetor 1 [x1[1]x1[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

info2=plotText2d(Vetor 2 [x2[1]x2[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

22- 5

info3=plotText2d(Soma [x3[1]x3[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

plot(v1v2v3info1info2info3)

Fig 22-5

Para MuPAD um vetor eacute uma matriz-coluna ou uma matriz-linha

A matriz-coluna eacute aquela que possui uma uacutenica coluna (n = 1) matriz-linha eacute aquelaonde m = 1(m = nuacutemero de linhas n = nuacutemero de colunas)

Exemplos

Matriz-Coluna (m = 3 n = 1)

MuPAd pede para esta matriz a forma

A= matrix([[1]][-5][7]])

22- 6

ou mais simples

A= matrix([1-57])

Matriz-Linha (m = 1 n = 3)

A notaccedilatildeo em MuPAD eacuteA= matrix([[3-21]])

223 Representaccedilatildeo analiacutetica de vetores

A representaccedilatildeo graacutefica de vetores eacute inconveniente Eacute muito mais praacutetico representaros vetores de forma analiacutetica a partir de uma base As operaccedilotildees com vetores ficamespecialmente simples se os vetores-base satildeo ortogonais entre si Assim temos o quese denomina representaccedilatildeo cartesiana de vetores

Em duas dimensotildees um vetor a teraacute a forma analiacutetica a = ax i + ay jOs vetores unitaacuterios i j satildeo a base da representaccedilatildeo Os vetores unitaacuterios possuemmoacutedulos unitaacuterios e estatildeo dirigidos nos sentidos positivos dos eixos x yrespectivamente em um sistema de coordenadas dextrogiro

ax i e ay j satildeo as componentes vetoriais de a e ax ay satildeo as suas componentesescalares (agraves vezes denominadas de coordenadas de a)As componentes escalares satildeo dadas analiticamente por

ax = a cosθ (22-1a)

ay = a senθ (22-1b)

O teorema de Pitaacutegoras permite expressar o moacutedulo de a na forma

(22-2)

22-7

A orientaccedilatildeo do vetor a achamos com

(22-3)

Exemplo

O vetor a = 4 i + 3 j tem o moacutedulo e o acircngulo

Fig 22-6

Agora mostraremos como podemos fazer essas operaccedilotildees com MuPAD

bull A=matrix([[43]])

bull norm(A2) norm informaccedilatildeo sobre a 2-norm

com o resultado 5 para o moacutedulo (que MuPAD chama de norm(A2))

Agora para o acircngulo fazemos o caacutelculo seguinte(Note que float(arctan(34)) calcula o acircngulo em rad A relaccedilatildeo entre radiano egraus eacute estabelecida por 1rad = 180degπ)

bull arctan(34)

arctan(34)

22- 8

bull float()

06435011088

bull float(180PI)

3686989765

Para multiplicar um vetor por um nuacutemero c basta multiplicar suas componentes poreste nuacutemero

ca = (cax)i + (cay)j

Para se somar dois vetores basta somar suas componentes

Se a = axi + ayj e b = bxi + byj tem-se a + b = (ax + bx)i + (ay + )j

O produto escalar dos vetores a e b define-se por

a b = a b cos θ (22-4)

onde θ (theta) ι o βngulo formado pelos dois vetores Freqόentemente usa-se a letra Φ(phi) -para a matemαtica natildeo faz diferenccedilaA partir dessa definiccedilatildeo geomeacutetrica do produto escalar natildeo eacute difiacutecil demonstrar aseguinte relaccedilatildeo

a b = ax bx + ay by (22-5)

A equaccedilatildeo (25) eacute frequumlentemente adotada como definiccedilatildeo alternativa de produtoescalar

A generalizaccedilatildeo do que vimos nesta seccedilatildeo para o caso de trecircs dimensotildees se faz semdificuldadeOs seguintes exemplos ilustram a aplicaccedilatildeo da funccedilatildeo linalgscalarProduct(uv) de MuPAD Esta funccedilatildeo pertence agrave biblioteca linalg do MuPAD que conteacutem umgrande nuacutemero de funccedilotildees da Aacutelgebra linear Acho que vale a pena dar uma olhadanesta biblioteca

bull u = matrix([-23]) v = matrix([12 -25])

bull linalgscalarProduct(u v)

-99

22- 9

Este resultado podemos tambeacutem obter utilizando as regras do produto de duasmatrizesMas soacute podemos efetuar o produto de duas matrizes se o nuacutemero de colunas daprimeira for igual ao nuacutemero de linhas da segunda As matrizes u v possuem umacoluna e trecircs linhas Entatildeo seraacute preciso escrever a matriz u como matriz-linha (-2 3)o seja matrix([[-23]])Com esta pequena operaccedilatildeo podemos calcular o produto escalar como(-2)(12)+(3)(-25) = -99

Tambeacutem MuPAD sabe fazer este caacutelculo

bull u = matrix([[-23]]) v = matrix([12 -25])

bull p=uvmatriz com um elemento soacute

bull p[11] o uacutenico elemento da matriz-produto p

[-99]

-99

Os elementos cik da matriz-produto calculam-se por meio da foacutermula cik = air brk cik eacute o elemento da i-eacutesima linha e k-eacutesima coluna da matriz-produtocik eacute obtido multiplicando os elementos da i-eacutesima linha da primeira matriz peloselementos correspondentes da k-eacutesima coluna da segunda matriz e somando estesprodutos

Observe que o nuacutemero de colunas da primeira matriz deve ser igual ao nuacutemero delinhas na segundaSe natildeo for assim natildeo seraacute possiacutevel efetuar a multiplicaccedilatildeo

Sejam

22- 10

Entatildeo a matriz-produto AB eacute a matriz 2 x 2 definida como

(22-6)

Exemplo

Sejam

duas matrizesEncontre os produtos AB e BA

bull A=matrix([[31][52][43]])

bull B=matrix([[-1-1][14]])

bull AB

bull BA

Natildeo eacute possiacutevel calcular o produto BA porque o nuacutemero de colunas da B da primeiramatriz eacute diferente do nuacutemero de linhas da matriz A da segunda

22- 11

O acircngulo entre dois vetores podemos achar usando Eq (22-4) mas o caacutelculo diretousando o MuPAD eacute bastante complicado Note que o produto das matrizes A e B eacuteuma matriz com um elemento soacute C[11] = 9

bull A=matrix([[25]])

bull B=matrix([-33])

bull a=norm(A2) moacutedulo de A

bull b=norm(B2)

bull C=AB

bull c=ab

bull aphi=arccos(C[11]c)

bull phi=float(aphi180PI) ou theacuteta

6680140949

Utilizemos agora a funccedilatildeo linalgangle da biblioteca linalg

bull phi = linalgangle(

bull matrix([2 5]) matrix([-3 3]))

bull float(phi180PI)

6680140949

Obtivemos nosso resultado esta vez bem mais raacutepido Conclusatildeo

Natildeo haacute nada pior na vida do que um caminho inadequado

O produto escalar definido pela Eq (22-4) resulta em uma grandeza escalar o quejustifica o termo produto escalar

Eacute natural a se fazer a pergunta se existe algum produto de vetores que gere umagrandeza de natureza vetorial Jaacute sabemos que na mecacircnica existe tal produto oproduto vetorial Este produto aparece especialmente com relaccedilatildeo a momentos evelocidades angulares Noacutes trataacutevamos jaacute disso na seccedilatildeo 21

O produto vetorial de a por b nessa ordem eacute um vetor c = a x b tal que c = 0 se esomente se a e b satildeo colineares (Eacute uacutetil definir um vetor-zero que tem comprimento 0O vetor-zero (ou vetor-nulo) eacute paralelo e perpendicular a qualquer vetor a )

22- 12

Se a e b natildeo forem colineares entatildeo c seraacute tal que o seu comprimento eacute

c = absen θ (22-7)

onde theta eacute o acircngulo entre a e bEq (22-7) eacute igual agrave aacuterea do paralelogramo formado pelos dois vetores

O sentido do vetor c eacute definido pela regra da matildeo direita ou regra do parafusoO vetor c tem o sentido do dedo polegar quando a matildeo direita se posiciona de tal modoque os outros dedos giram de a para b quando a matildeo se fecha

A definiccedilatildeo do produto vetorial se baseia em um conceito antroacutepico Portanto pode-sedizer que o produto vetorial eacute com efeito muito uacutetil mas que natildeo pertence inteiramenteao domiacutenio da matemaacutetica como sim eacute o caso com o produto escalar que natildeo precisade uma regra do parafuso ou de algo equivalente

Diz-se que o produto vetorial eacute um pseudovetor De fato haacute vaacuterias grandezas fiacutesicasque satildeo pseudovetores

Exemplos

Se a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 k qual eacute o vetor c = a x b

bull a = matrix([[3-40]]) b = matrix([[-2 0 3]])

bull linalgcrossProduct(a b)

Resultado -12 i - 9 j -8 k

Generalizaccedilatildeo

Calcule para os vetores a = ax i + ay j + ak k e b = bx i + by j + bz k o vetor c = a x b

a x b = (ax i + ay j + ak k) x (bx i + by j + bz k)

= ax bx (i x i) + ax by (i x j) + ax bz (i x k)

+ ay bx (j x i) + ay by (j x j) + ay bz (j x k)

+ az bx (k x i) + az by (k x j) + az bz (k x k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - aybx) k

Esse resultado pode ser escrito sob a forma de determinantes

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22-3

bull v1= plotArrow2d([1 2][255]Color=RGBRed)

plot(v1)

Fig 22-2

Compare tambeacutem a seguinte figura

bull v1= plotArrow2d([1 2][255]Color=RGBGreen)

plot(v1Axes=None)

Fig 22-3

Agora desenhamos trecircs vetores posiccedilatildeo com o mesmo origem O =(00) utilizandodiferentes estilos

bull plot(plotArrow2d([1 1] Color = RGBRed

TipStyle = Open TipLength = 10unitmm)

plotArrow2d([-1 1] Color = RGBGreen

LineWidth = 08unitmm

22-4

TipStyle = Closed TipAngle = PI2)

plotArrow2d([0 -sqrt(2)] Color = RGBBlue

LineStyle = Dashed))

Fig 22-4

A soma dos vetores com os pontos finais x1= (22) e x2 = (255) apresentamos daseguinte maneira

bull x1=matrix([[22]])x2=matrix([[255]])

x3= x1+x2

v1=plotArrow2d([x1[1]x1[2]])

v2=plotArrow2d([x2[1]x2[2]])

v3=plotArrow2d([x3[1]x3[2]]Color=RGBRedTipStyle =Open)

info1=plotText2d(Vetor 1 [x1[1]x1[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

info2=plotText2d(Vetor 2 [x2[1]x2[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

22- 5

info3=plotText2d(Soma [x3[1]x3[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

plot(v1v2v3info1info2info3)

Fig 22-5

Para MuPAD um vetor eacute uma matriz-coluna ou uma matriz-linha

A matriz-coluna eacute aquela que possui uma uacutenica coluna (n = 1) matriz-linha eacute aquelaonde m = 1(m = nuacutemero de linhas n = nuacutemero de colunas)

Exemplos

Matriz-Coluna (m = 3 n = 1)

MuPAd pede para esta matriz a forma

A= matrix([[1]][-5][7]])

22- 6

ou mais simples

A= matrix([1-57])

Matriz-Linha (m = 1 n = 3)

A notaccedilatildeo em MuPAD eacuteA= matrix([[3-21]])

223 Representaccedilatildeo analiacutetica de vetores

A representaccedilatildeo graacutefica de vetores eacute inconveniente Eacute muito mais praacutetico representaros vetores de forma analiacutetica a partir de uma base As operaccedilotildees com vetores ficamespecialmente simples se os vetores-base satildeo ortogonais entre si Assim temos o quese denomina representaccedilatildeo cartesiana de vetores

Em duas dimensotildees um vetor a teraacute a forma analiacutetica a = ax i + ay jOs vetores unitaacuterios i j satildeo a base da representaccedilatildeo Os vetores unitaacuterios possuemmoacutedulos unitaacuterios e estatildeo dirigidos nos sentidos positivos dos eixos x yrespectivamente em um sistema de coordenadas dextrogiro

ax i e ay j satildeo as componentes vetoriais de a e ax ay satildeo as suas componentesescalares (agraves vezes denominadas de coordenadas de a)As componentes escalares satildeo dadas analiticamente por

ax = a cosθ (22-1a)

ay = a senθ (22-1b)

O teorema de Pitaacutegoras permite expressar o moacutedulo de a na forma

(22-2)

22-7

A orientaccedilatildeo do vetor a achamos com

(22-3)

Exemplo

O vetor a = 4 i + 3 j tem o moacutedulo e o acircngulo

Fig 22-6

Agora mostraremos como podemos fazer essas operaccedilotildees com MuPAD

bull A=matrix([[43]])

bull norm(A2) norm informaccedilatildeo sobre a 2-norm

com o resultado 5 para o moacutedulo (que MuPAD chama de norm(A2))

Agora para o acircngulo fazemos o caacutelculo seguinte(Note que float(arctan(34)) calcula o acircngulo em rad A relaccedilatildeo entre radiano egraus eacute estabelecida por 1rad = 180degπ)

bull arctan(34)

arctan(34)

22- 8

bull float()

06435011088

bull float(180PI)

3686989765

Para multiplicar um vetor por um nuacutemero c basta multiplicar suas componentes poreste nuacutemero

ca = (cax)i + (cay)j

Para se somar dois vetores basta somar suas componentes

Se a = axi + ayj e b = bxi + byj tem-se a + b = (ax + bx)i + (ay + )j

O produto escalar dos vetores a e b define-se por

a b = a b cos θ (22-4)

onde θ (theta) ι o βngulo formado pelos dois vetores Freqόentemente usa-se a letra Φ(phi) -para a matemαtica natildeo faz diferenccedilaA partir dessa definiccedilatildeo geomeacutetrica do produto escalar natildeo eacute difiacutecil demonstrar aseguinte relaccedilatildeo

a b = ax bx + ay by (22-5)

A equaccedilatildeo (25) eacute frequumlentemente adotada como definiccedilatildeo alternativa de produtoescalar

A generalizaccedilatildeo do que vimos nesta seccedilatildeo para o caso de trecircs dimensotildees se faz semdificuldadeOs seguintes exemplos ilustram a aplicaccedilatildeo da funccedilatildeo linalgscalarProduct(uv) de MuPAD Esta funccedilatildeo pertence agrave biblioteca linalg do MuPAD que conteacutem umgrande nuacutemero de funccedilotildees da Aacutelgebra linear Acho que vale a pena dar uma olhadanesta biblioteca

bull u = matrix([-23]) v = matrix([12 -25])

bull linalgscalarProduct(u v)

-99

22- 9

Este resultado podemos tambeacutem obter utilizando as regras do produto de duasmatrizesMas soacute podemos efetuar o produto de duas matrizes se o nuacutemero de colunas daprimeira for igual ao nuacutemero de linhas da segunda As matrizes u v possuem umacoluna e trecircs linhas Entatildeo seraacute preciso escrever a matriz u como matriz-linha (-2 3)o seja matrix([[-23]])Com esta pequena operaccedilatildeo podemos calcular o produto escalar como(-2)(12)+(3)(-25) = -99

Tambeacutem MuPAD sabe fazer este caacutelculo

bull u = matrix([[-23]]) v = matrix([12 -25])

bull p=uvmatriz com um elemento soacute

bull p[11] o uacutenico elemento da matriz-produto p

[-99]

-99

Os elementos cik da matriz-produto calculam-se por meio da foacutermula cik = air brk cik eacute o elemento da i-eacutesima linha e k-eacutesima coluna da matriz-produtocik eacute obtido multiplicando os elementos da i-eacutesima linha da primeira matriz peloselementos correspondentes da k-eacutesima coluna da segunda matriz e somando estesprodutos

Observe que o nuacutemero de colunas da primeira matriz deve ser igual ao nuacutemero delinhas na segundaSe natildeo for assim natildeo seraacute possiacutevel efetuar a multiplicaccedilatildeo

Sejam

22- 10

Entatildeo a matriz-produto AB eacute a matriz 2 x 2 definida como

(22-6)

Exemplo

Sejam

duas matrizesEncontre os produtos AB e BA

bull A=matrix([[31][52][43]])

bull B=matrix([[-1-1][14]])

bull AB

bull BA

Natildeo eacute possiacutevel calcular o produto BA porque o nuacutemero de colunas da B da primeiramatriz eacute diferente do nuacutemero de linhas da matriz A da segunda

22- 11

O acircngulo entre dois vetores podemos achar usando Eq (22-4) mas o caacutelculo diretousando o MuPAD eacute bastante complicado Note que o produto das matrizes A e B eacuteuma matriz com um elemento soacute C[11] = 9

bull A=matrix([[25]])

bull B=matrix([-33])

bull a=norm(A2) moacutedulo de A

bull b=norm(B2)

bull C=AB

bull c=ab

bull aphi=arccos(C[11]c)

bull phi=float(aphi180PI) ou theacuteta

6680140949

Utilizemos agora a funccedilatildeo linalgangle da biblioteca linalg

bull phi = linalgangle(

bull matrix([2 5]) matrix([-3 3]))

bull float(phi180PI)

6680140949

Obtivemos nosso resultado esta vez bem mais raacutepido Conclusatildeo

Natildeo haacute nada pior na vida do que um caminho inadequado

O produto escalar definido pela Eq (22-4) resulta em uma grandeza escalar o quejustifica o termo produto escalar

Eacute natural a se fazer a pergunta se existe algum produto de vetores que gere umagrandeza de natureza vetorial Jaacute sabemos que na mecacircnica existe tal produto oproduto vetorial Este produto aparece especialmente com relaccedilatildeo a momentos evelocidades angulares Noacutes trataacutevamos jaacute disso na seccedilatildeo 21

O produto vetorial de a por b nessa ordem eacute um vetor c = a x b tal que c = 0 se esomente se a e b satildeo colineares (Eacute uacutetil definir um vetor-zero que tem comprimento 0O vetor-zero (ou vetor-nulo) eacute paralelo e perpendicular a qualquer vetor a )

22- 12

Se a e b natildeo forem colineares entatildeo c seraacute tal que o seu comprimento eacute

c = absen θ (22-7)

onde theta eacute o acircngulo entre a e bEq (22-7) eacute igual agrave aacuterea do paralelogramo formado pelos dois vetores

O sentido do vetor c eacute definido pela regra da matildeo direita ou regra do parafusoO vetor c tem o sentido do dedo polegar quando a matildeo direita se posiciona de tal modoque os outros dedos giram de a para b quando a matildeo se fecha

A definiccedilatildeo do produto vetorial se baseia em um conceito antroacutepico Portanto pode-sedizer que o produto vetorial eacute com efeito muito uacutetil mas que natildeo pertence inteiramenteao domiacutenio da matemaacutetica como sim eacute o caso com o produto escalar que natildeo precisade uma regra do parafuso ou de algo equivalente

Diz-se que o produto vetorial eacute um pseudovetor De fato haacute vaacuterias grandezas fiacutesicasque satildeo pseudovetores

Exemplos

Se a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 k qual eacute o vetor c = a x b

bull a = matrix([[3-40]]) b = matrix([[-2 0 3]])

bull linalgcrossProduct(a b)

Resultado -12 i - 9 j -8 k

Generalizaccedilatildeo

Calcule para os vetores a = ax i + ay j + ak k e b = bx i + by j + bz k o vetor c = a x b

a x b = (ax i + ay j + ak k) x (bx i + by j + bz k)

= ax bx (i x i) + ax by (i x j) + ax bz (i x k)

+ ay bx (j x i) + ay by (j x j) + ay bz (j x k)

+ az bx (k x i) + az by (k x j) + az bz (k x k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - aybx) k

Esse resultado pode ser escrito sob a forma de determinantes

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22-4

TipStyle = Closed TipAngle = PI2)

plotArrow2d([0 -sqrt(2)] Color = RGBBlue

LineStyle = Dashed))

Fig 22-4

A soma dos vetores com os pontos finais x1= (22) e x2 = (255) apresentamos daseguinte maneira

bull x1=matrix([[22]])x2=matrix([[255]])

x3= x1+x2

v1=plotArrow2d([x1[1]x1[2]])

v2=plotArrow2d([x2[1]x2[2]])

v3=plotArrow2d([x3[1]x3[2]]Color=RGBRedTipStyle =Open)

info1=plotText2d(Vetor 1 [x1[1]x1[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

info2=plotText2d(Vetor 2 [x2[1]x2[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

22- 5

info3=plotText2d(Soma [x3[1]x3[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

plot(v1v2v3info1info2info3)

Fig 22-5

Para MuPAD um vetor eacute uma matriz-coluna ou uma matriz-linha

A matriz-coluna eacute aquela que possui uma uacutenica coluna (n = 1) matriz-linha eacute aquelaonde m = 1(m = nuacutemero de linhas n = nuacutemero de colunas)

Exemplos

Matriz-Coluna (m = 3 n = 1)

MuPAd pede para esta matriz a forma

A= matrix([[1]][-5][7]])

22- 6

ou mais simples

A= matrix([1-57])

Matriz-Linha (m = 1 n = 3)

A notaccedilatildeo em MuPAD eacuteA= matrix([[3-21]])

223 Representaccedilatildeo analiacutetica de vetores

A representaccedilatildeo graacutefica de vetores eacute inconveniente Eacute muito mais praacutetico representaros vetores de forma analiacutetica a partir de uma base As operaccedilotildees com vetores ficamespecialmente simples se os vetores-base satildeo ortogonais entre si Assim temos o quese denomina representaccedilatildeo cartesiana de vetores

Em duas dimensotildees um vetor a teraacute a forma analiacutetica a = ax i + ay jOs vetores unitaacuterios i j satildeo a base da representaccedilatildeo Os vetores unitaacuterios possuemmoacutedulos unitaacuterios e estatildeo dirigidos nos sentidos positivos dos eixos x yrespectivamente em um sistema de coordenadas dextrogiro

ax i e ay j satildeo as componentes vetoriais de a e ax ay satildeo as suas componentesescalares (agraves vezes denominadas de coordenadas de a)As componentes escalares satildeo dadas analiticamente por

ax = a cosθ (22-1a)

ay = a senθ (22-1b)

O teorema de Pitaacutegoras permite expressar o moacutedulo de a na forma

(22-2)

22-7

A orientaccedilatildeo do vetor a achamos com

(22-3)

Exemplo

O vetor a = 4 i + 3 j tem o moacutedulo e o acircngulo

Fig 22-6

Agora mostraremos como podemos fazer essas operaccedilotildees com MuPAD

bull A=matrix([[43]])

bull norm(A2) norm informaccedilatildeo sobre a 2-norm

com o resultado 5 para o moacutedulo (que MuPAD chama de norm(A2))

Agora para o acircngulo fazemos o caacutelculo seguinte(Note que float(arctan(34)) calcula o acircngulo em rad A relaccedilatildeo entre radiano egraus eacute estabelecida por 1rad = 180degπ)

bull arctan(34)

arctan(34)

22- 8

bull float()

06435011088

bull float(180PI)

3686989765

Para multiplicar um vetor por um nuacutemero c basta multiplicar suas componentes poreste nuacutemero

ca = (cax)i + (cay)j

Para se somar dois vetores basta somar suas componentes

Se a = axi + ayj e b = bxi + byj tem-se a + b = (ax + bx)i + (ay + )j

O produto escalar dos vetores a e b define-se por

a b = a b cos θ (22-4)

onde θ (theta) ι o βngulo formado pelos dois vetores Freqόentemente usa-se a letra Φ(phi) -para a matemαtica natildeo faz diferenccedilaA partir dessa definiccedilatildeo geomeacutetrica do produto escalar natildeo eacute difiacutecil demonstrar aseguinte relaccedilatildeo

a b = ax bx + ay by (22-5)

A equaccedilatildeo (25) eacute frequumlentemente adotada como definiccedilatildeo alternativa de produtoescalar

A generalizaccedilatildeo do que vimos nesta seccedilatildeo para o caso de trecircs dimensotildees se faz semdificuldadeOs seguintes exemplos ilustram a aplicaccedilatildeo da funccedilatildeo linalgscalarProduct(uv) de MuPAD Esta funccedilatildeo pertence agrave biblioteca linalg do MuPAD que conteacutem umgrande nuacutemero de funccedilotildees da Aacutelgebra linear Acho que vale a pena dar uma olhadanesta biblioteca

bull u = matrix([-23]) v = matrix([12 -25])

bull linalgscalarProduct(u v)

-99

22- 9

Este resultado podemos tambeacutem obter utilizando as regras do produto de duasmatrizesMas soacute podemos efetuar o produto de duas matrizes se o nuacutemero de colunas daprimeira for igual ao nuacutemero de linhas da segunda As matrizes u v possuem umacoluna e trecircs linhas Entatildeo seraacute preciso escrever a matriz u como matriz-linha (-2 3)o seja matrix([[-23]])Com esta pequena operaccedilatildeo podemos calcular o produto escalar como(-2)(12)+(3)(-25) = -99

Tambeacutem MuPAD sabe fazer este caacutelculo

bull u = matrix([[-23]]) v = matrix([12 -25])

bull p=uvmatriz com um elemento soacute

bull p[11] o uacutenico elemento da matriz-produto p

[-99]

-99

Os elementos cik da matriz-produto calculam-se por meio da foacutermula cik = air brk cik eacute o elemento da i-eacutesima linha e k-eacutesima coluna da matriz-produtocik eacute obtido multiplicando os elementos da i-eacutesima linha da primeira matriz peloselementos correspondentes da k-eacutesima coluna da segunda matriz e somando estesprodutos

Observe que o nuacutemero de colunas da primeira matriz deve ser igual ao nuacutemero delinhas na segundaSe natildeo for assim natildeo seraacute possiacutevel efetuar a multiplicaccedilatildeo

Sejam

22- 10

Entatildeo a matriz-produto AB eacute a matriz 2 x 2 definida como

(22-6)

Exemplo

Sejam

duas matrizesEncontre os produtos AB e BA

bull A=matrix([[31][52][43]])

bull B=matrix([[-1-1][14]])

bull AB

bull BA

Natildeo eacute possiacutevel calcular o produto BA porque o nuacutemero de colunas da B da primeiramatriz eacute diferente do nuacutemero de linhas da matriz A da segunda

22- 11

O acircngulo entre dois vetores podemos achar usando Eq (22-4) mas o caacutelculo diretousando o MuPAD eacute bastante complicado Note que o produto das matrizes A e B eacuteuma matriz com um elemento soacute C[11] = 9

bull A=matrix([[25]])

bull B=matrix([-33])

bull a=norm(A2) moacutedulo de A

bull b=norm(B2)

bull C=AB

bull c=ab

bull aphi=arccos(C[11]c)

bull phi=float(aphi180PI) ou theacuteta

6680140949

Utilizemos agora a funccedilatildeo linalgangle da biblioteca linalg

bull phi = linalgangle(

bull matrix([2 5]) matrix([-3 3]))

bull float(phi180PI)

6680140949

Obtivemos nosso resultado esta vez bem mais raacutepido Conclusatildeo

Natildeo haacute nada pior na vida do que um caminho inadequado

O produto escalar definido pela Eq (22-4) resulta em uma grandeza escalar o quejustifica o termo produto escalar

Eacute natural a se fazer a pergunta se existe algum produto de vetores que gere umagrandeza de natureza vetorial Jaacute sabemos que na mecacircnica existe tal produto oproduto vetorial Este produto aparece especialmente com relaccedilatildeo a momentos evelocidades angulares Noacutes trataacutevamos jaacute disso na seccedilatildeo 21

O produto vetorial de a por b nessa ordem eacute um vetor c = a x b tal que c = 0 se esomente se a e b satildeo colineares (Eacute uacutetil definir um vetor-zero que tem comprimento 0O vetor-zero (ou vetor-nulo) eacute paralelo e perpendicular a qualquer vetor a )

22- 12

Se a e b natildeo forem colineares entatildeo c seraacute tal que o seu comprimento eacute

c = absen θ (22-7)

onde theta eacute o acircngulo entre a e bEq (22-7) eacute igual agrave aacuterea do paralelogramo formado pelos dois vetores

O sentido do vetor c eacute definido pela regra da matildeo direita ou regra do parafusoO vetor c tem o sentido do dedo polegar quando a matildeo direita se posiciona de tal modoque os outros dedos giram de a para b quando a matildeo se fecha

A definiccedilatildeo do produto vetorial se baseia em um conceito antroacutepico Portanto pode-sedizer que o produto vetorial eacute com efeito muito uacutetil mas que natildeo pertence inteiramenteao domiacutenio da matemaacutetica como sim eacute o caso com o produto escalar que natildeo precisade uma regra do parafuso ou de algo equivalente

Diz-se que o produto vetorial eacute um pseudovetor De fato haacute vaacuterias grandezas fiacutesicasque satildeo pseudovetores

Exemplos

Se a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 k qual eacute o vetor c = a x b

bull a = matrix([[3-40]]) b = matrix([[-2 0 3]])

bull linalgcrossProduct(a b)

Resultado -12 i - 9 j -8 k

Generalizaccedilatildeo

Calcule para os vetores a = ax i + ay j + ak k e b = bx i + by j + bz k o vetor c = a x b

a x b = (ax i + ay j + ak k) x (bx i + by j + bz k)

= ax bx (i x i) + ax by (i x j) + ax bz (i x k)

+ ay bx (j x i) + ay by (j x j) + ay bz (j x k)

+ az bx (k x i) + az by (k x j) + az bz (k x k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - aybx) k

Esse resultado pode ser escrito sob a forma de determinantes

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 5

info3=plotText2d(Soma [x3[1]x3[2]]

HorizontalAlignment = Left

VerticalAlignment = BaseLine)

plot(v1v2v3info1info2info3)

Fig 22-5

Para MuPAD um vetor eacute uma matriz-coluna ou uma matriz-linha

A matriz-coluna eacute aquela que possui uma uacutenica coluna (n = 1) matriz-linha eacute aquelaonde m = 1(m = nuacutemero de linhas n = nuacutemero de colunas)

Exemplos

Matriz-Coluna (m = 3 n = 1)

MuPAd pede para esta matriz a forma

A= matrix([[1]][-5][7]])

22- 6

ou mais simples

A= matrix([1-57])

Matriz-Linha (m = 1 n = 3)

A notaccedilatildeo em MuPAD eacuteA= matrix([[3-21]])

223 Representaccedilatildeo analiacutetica de vetores

A representaccedilatildeo graacutefica de vetores eacute inconveniente Eacute muito mais praacutetico representaros vetores de forma analiacutetica a partir de uma base As operaccedilotildees com vetores ficamespecialmente simples se os vetores-base satildeo ortogonais entre si Assim temos o quese denomina representaccedilatildeo cartesiana de vetores

Em duas dimensotildees um vetor a teraacute a forma analiacutetica a = ax i + ay jOs vetores unitaacuterios i j satildeo a base da representaccedilatildeo Os vetores unitaacuterios possuemmoacutedulos unitaacuterios e estatildeo dirigidos nos sentidos positivos dos eixos x yrespectivamente em um sistema de coordenadas dextrogiro

ax i e ay j satildeo as componentes vetoriais de a e ax ay satildeo as suas componentesescalares (agraves vezes denominadas de coordenadas de a)As componentes escalares satildeo dadas analiticamente por

ax = a cosθ (22-1a)

ay = a senθ (22-1b)

O teorema de Pitaacutegoras permite expressar o moacutedulo de a na forma

(22-2)

22-7

A orientaccedilatildeo do vetor a achamos com

(22-3)

Exemplo

O vetor a = 4 i + 3 j tem o moacutedulo e o acircngulo

Fig 22-6

Agora mostraremos como podemos fazer essas operaccedilotildees com MuPAD

bull A=matrix([[43]])

bull norm(A2) norm informaccedilatildeo sobre a 2-norm

com o resultado 5 para o moacutedulo (que MuPAD chama de norm(A2))

Agora para o acircngulo fazemos o caacutelculo seguinte(Note que float(arctan(34)) calcula o acircngulo em rad A relaccedilatildeo entre radiano egraus eacute estabelecida por 1rad = 180degπ)

bull arctan(34)

arctan(34)

22- 8

bull float()

06435011088

bull float(180PI)

3686989765

Para multiplicar um vetor por um nuacutemero c basta multiplicar suas componentes poreste nuacutemero

ca = (cax)i + (cay)j

Para se somar dois vetores basta somar suas componentes

Se a = axi + ayj e b = bxi + byj tem-se a + b = (ax + bx)i + (ay + )j

O produto escalar dos vetores a e b define-se por

a b = a b cos θ (22-4)

onde θ (theta) ι o βngulo formado pelos dois vetores Freqόentemente usa-se a letra Φ(phi) -para a matemαtica natildeo faz diferenccedilaA partir dessa definiccedilatildeo geomeacutetrica do produto escalar natildeo eacute difiacutecil demonstrar aseguinte relaccedilatildeo

a b = ax bx + ay by (22-5)

A equaccedilatildeo (25) eacute frequumlentemente adotada como definiccedilatildeo alternativa de produtoescalar

A generalizaccedilatildeo do que vimos nesta seccedilatildeo para o caso de trecircs dimensotildees se faz semdificuldadeOs seguintes exemplos ilustram a aplicaccedilatildeo da funccedilatildeo linalgscalarProduct(uv) de MuPAD Esta funccedilatildeo pertence agrave biblioteca linalg do MuPAD que conteacutem umgrande nuacutemero de funccedilotildees da Aacutelgebra linear Acho que vale a pena dar uma olhadanesta biblioteca

bull u = matrix([-23]) v = matrix([12 -25])

bull linalgscalarProduct(u v)

-99

22- 9

Este resultado podemos tambeacutem obter utilizando as regras do produto de duasmatrizesMas soacute podemos efetuar o produto de duas matrizes se o nuacutemero de colunas daprimeira for igual ao nuacutemero de linhas da segunda As matrizes u v possuem umacoluna e trecircs linhas Entatildeo seraacute preciso escrever a matriz u como matriz-linha (-2 3)o seja matrix([[-23]])Com esta pequena operaccedilatildeo podemos calcular o produto escalar como(-2)(12)+(3)(-25) = -99

Tambeacutem MuPAD sabe fazer este caacutelculo

bull u = matrix([[-23]]) v = matrix([12 -25])

bull p=uvmatriz com um elemento soacute

bull p[11] o uacutenico elemento da matriz-produto p

[-99]

-99

Os elementos cik da matriz-produto calculam-se por meio da foacutermula cik = air brk cik eacute o elemento da i-eacutesima linha e k-eacutesima coluna da matriz-produtocik eacute obtido multiplicando os elementos da i-eacutesima linha da primeira matriz peloselementos correspondentes da k-eacutesima coluna da segunda matriz e somando estesprodutos

Observe que o nuacutemero de colunas da primeira matriz deve ser igual ao nuacutemero delinhas na segundaSe natildeo for assim natildeo seraacute possiacutevel efetuar a multiplicaccedilatildeo

Sejam

22- 10

Entatildeo a matriz-produto AB eacute a matriz 2 x 2 definida como

(22-6)

Exemplo

Sejam

duas matrizesEncontre os produtos AB e BA

bull A=matrix([[31][52][43]])

bull B=matrix([[-1-1][14]])

bull AB

bull BA

Natildeo eacute possiacutevel calcular o produto BA porque o nuacutemero de colunas da B da primeiramatriz eacute diferente do nuacutemero de linhas da matriz A da segunda

22- 11

O acircngulo entre dois vetores podemos achar usando Eq (22-4) mas o caacutelculo diretousando o MuPAD eacute bastante complicado Note que o produto das matrizes A e B eacuteuma matriz com um elemento soacute C[11] = 9

bull A=matrix([[25]])

bull B=matrix([-33])

bull a=norm(A2) moacutedulo de A

bull b=norm(B2)

bull C=AB

bull c=ab

bull aphi=arccos(C[11]c)

bull phi=float(aphi180PI) ou theacuteta

6680140949

Utilizemos agora a funccedilatildeo linalgangle da biblioteca linalg

bull phi = linalgangle(

bull matrix([2 5]) matrix([-3 3]))

bull float(phi180PI)

6680140949

Obtivemos nosso resultado esta vez bem mais raacutepido Conclusatildeo

Natildeo haacute nada pior na vida do que um caminho inadequado

O produto escalar definido pela Eq (22-4) resulta em uma grandeza escalar o quejustifica o termo produto escalar

Eacute natural a se fazer a pergunta se existe algum produto de vetores que gere umagrandeza de natureza vetorial Jaacute sabemos que na mecacircnica existe tal produto oproduto vetorial Este produto aparece especialmente com relaccedilatildeo a momentos evelocidades angulares Noacutes trataacutevamos jaacute disso na seccedilatildeo 21

O produto vetorial de a por b nessa ordem eacute um vetor c = a x b tal que c = 0 se esomente se a e b satildeo colineares (Eacute uacutetil definir um vetor-zero que tem comprimento 0O vetor-zero (ou vetor-nulo) eacute paralelo e perpendicular a qualquer vetor a )

22- 12

Se a e b natildeo forem colineares entatildeo c seraacute tal que o seu comprimento eacute

c = absen θ (22-7)

onde theta eacute o acircngulo entre a e bEq (22-7) eacute igual agrave aacuterea do paralelogramo formado pelos dois vetores

O sentido do vetor c eacute definido pela regra da matildeo direita ou regra do parafusoO vetor c tem o sentido do dedo polegar quando a matildeo direita se posiciona de tal modoque os outros dedos giram de a para b quando a matildeo se fecha

A definiccedilatildeo do produto vetorial se baseia em um conceito antroacutepico Portanto pode-sedizer que o produto vetorial eacute com efeito muito uacutetil mas que natildeo pertence inteiramenteao domiacutenio da matemaacutetica como sim eacute o caso com o produto escalar que natildeo precisade uma regra do parafuso ou de algo equivalente

Diz-se que o produto vetorial eacute um pseudovetor De fato haacute vaacuterias grandezas fiacutesicasque satildeo pseudovetores

Exemplos

Se a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 k qual eacute o vetor c = a x b

bull a = matrix([[3-40]]) b = matrix([[-2 0 3]])

bull linalgcrossProduct(a b)

Resultado -12 i - 9 j -8 k

Generalizaccedilatildeo

Calcule para os vetores a = ax i + ay j + ak k e b = bx i + by j + bz k o vetor c = a x b

a x b = (ax i + ay j + ak k) x (bx i + by j + bz k)

= ax bx (i x i) + ax by (i x j) + ax bz (i x k)

+ ay bx (j x i) + ay by (j x j) + ay bz (j x k)

+ az bx (k x i) + az by (k x j) + az bz (k x k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - aybx) k

Esse resultado pode ser escrito sob a forma de determinantes

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 6

ou mais simples

A= matrix([1-57])

Matriz-Linha (m = 1 n = 3)

A notaccedilatildeo em MuPAD eacuteA= matrix([[3-21]])

223 Representaccedilatildeo analiacutetica de vetores

A representaccedilatildeo graacutefica de vetores eacute inconveniente Eacute muito mais praacutetico representaros vetores de forma analiacutetica a partir de uma base As operaccedilotildees com vetores ficamespecialmente simples se os vetores-base satildeo ortogonais entre si Assim temos o quese denomina representaccedilatildeo cartesiana de vetores

Em duas dimensotildees um vetor a teraacute a forma analiacutetica a = ax i + ay jOs vetores unitaacuterios i j satildeo a base da representaccedilatildeo Os vetores unitaacuterios possuemmoacutedulos unitaacuterios e estatildeo dirigidos nos sentidos positivos dos eixos x yrespectivamente em um sistema de coordenadas dextrogiro

ax i e ay j satildeo as componentes vetoriais de a e ax ay satildeo as suas componentesescalares (agraves vezes denominadas de coordenadas de a)As componentes escalares satildeo dadas analiticamente por

ax = a cosθ (22-1a)

ay = a senθ (22-1b)

O teorema de Pitaacutegoras permite expressar o moacutedulo de a na forma

(22-2)

22-7

A orientaccedilatildeo do vetor a achamos com

(22-3)

Exemplo

O vetor a = 4 i + 3 j tem o moacutedulo e o acircngulo

Fig 22-6

Agora mostraremos como podemos fazer essas operaccedilotildees com MuPAD

bull A=matrix([[43]])

bull norm(A2) norm informaccedilatildeo sobre a 2-norm

com o resultado 5 para o moacutedulo (que MuPAD chama de norm(A2))

Agora para o acircngulo fazemos o caacutelculo seguinte(Note que float(arctan(34)) calcula o acircngulo em rad A relaccedilatildeo entre radiano egraus eacute estabelecida por 1rad = 180degπ)

bull arctan(34)

arctan(34)

22- 8

bull float()

06435011088

bull float(180PI)

3686989765

Para multiplicar um vetor por um nuacutemero c basta multiplicar suas componentes poreste nuacutemero

ca = (cax)i + (cay)j

Para se somar dois vetores basta somar suas componentes

Se a = axi + ayj e b = bxi + byj tem-se a + b = (ax + bx)i + (ay + )j

O produto escalar dos vetores a e b define-se por

a b = a b cos θ (22-4)

onde θ (theta) ι o βngulo formado pelos dois vetores Freqόentemente usa-se a letra Φ(phi) -para a matemαtica natildeo faz diferenccedilaA partir dessa definiccedilatildeo geomeacutetrica do produto escalar natildeo eacute difiacutecil demonstrar aseguinte relaccedilatildeo

a b = ax bx + ay by (22-5)

A equaccedilatildeo (25) eacute frequumlentemente adotada como definiccedilatildeo alternativa de produtoescalar

A generalizaccedilatildeo do que vimos nesta seccedilatildeo para o caso de trecircs dimensotildees se faz semdificuldadeOs seguintes exemplos ilustram a aplicaccedilatildeo da funccedilatildeo linalgscalarProduct(uv) de MuPAD Esta funccedilatildeo pertence agrave biblioteca linalg do MuPAD que conteacutem umgrande nuacutemero de funccedilotildees da Aacutelgebra linear Acho que vale a pena dar uma olhadanesta biblioteca

bull u = matrix([-23]) v = matrix([12 -25])

bull linalgscalarProduct(u v)

-99

22- 9

Este resultado podemos tambeacutem obter utilizando as regras do produto de duasmatrizesMas soacute podemos efetuar o produto de duas matrizes se o nuacutemero de colunas daprimeira for igual ao nuacutemero de linhas da segunda As matrizes u v possuem umacoluna e trecircs linhas Entatildeo seraacute preciso escrever a matriz u como matriz-linha (-2 3)o seja matrix([[-23]])Com esta pequena operaccedilatildeo podemos calcular o produto escalar como(-2)(12)+(3)(-25) = -99

Tambeacutem MuPAD sabe fazer este caacutelculo

bull u = matrix([[-23]]) v = matrix([12 -25])

bull p=uvmatriz com um elemento soacute

bull p[11] o uacutenico elemento da matriz-produto p

[-99]

-99

Os elementos cik da matriz-produto calculam-se por meio da foacutermula cik = air brk cik eacute o elemento da i-eacutesima linha e k-eacutesima coluna da matriz-produtocik eacute obtido multiplicando os elementos da i-eacutesima linha da primeira matriz peloselementos correspondentes da k-eacutesima coluna da segunda matriz e somando estesprodutos

Observe que o nuacutemero de colunas da primeira matriz deve ser igual ao nuacutemero delinhas na segundaSe natildeo for assim natildeo seraacute possiacutevel efetuar a multiplicaccedilatildeo

Sejam

22- 10

Entatildeo a matriz-produto AB eacute a matriz 2 x 2 definida como

(22-6)

Exemplo

Sejam

duas matrizesEncontre os produtos AB e BA

bull A=matrix([[31][52][43]])

bull B=matrix([[-1-1][14]])

bull AB

bull BA

Natildeo eacute possiacutevel calcular o produto BA porque o nuacutemero de colunas da B da primeiramatriz eacute diferente do nuacutemero de linhas da matriz A da segunda

22- 11

O acircngulo entre dois vetores podemos achar usando Eq (22-4) mas o caacutelculo diretousando o MuPAD eacute bastante complicado Note que o produto das matrizes A e B eacuteuma matriz com um elemento soacute C[11] = 9

bull A=matrix([[25]])

bull B=matrix([-33])

bull a=norm(A2) moacutedulo de A

bull b=norm(B2)

bull C=AB

bull c=ab

bull aphi=arccos(C[11]c)

bull phi=float(aphi180PI) ou theacuteta

6680140949

Utilizemos agora a funccedilatildeo linalgangle da biblioteca linalg

bull phi = linalgangle(

bull matrix([2 5]) matrix([-3 3]))

bull float(phi180PI)

6680140949

Obtivemos nosso resultado esta vez bem mais raacutepido Conclusatildeo

Natildeo haacute nada pior na vida do que um caminho inadequado

O produto escalar definido pela Eq (22-4) resulta em uma grandeza escalar o quejustifica o termo produto escalar

Eacute natural a se fazer a pergunta se existe algum produto de vetores que gere umagrandeza de natureza vetorial Jaacute sabemos que na mecacircnica existe tal produto oproduto vetorial Este produto aparece especialmente com relaccedilatildeo a momentos evelocidades angulares Noacutes trataacutevamos jaacute disso na seccedilatildeo 21

O produto vetorial de a por b nessa ordem eacute um vetor c = a x b tal que c = 0 se esomente se a e b satildeo colineares (Eacute uacutetil definir um vetor-zero que tem comprimento 0O vetor-zero (ou vetor-nulo) eacute paralelo e perpendicular a qualquer vetor a )

22- 12

Se a e b natildeo forem colineares entatildeo c seraacute tal que o seu comprimento eacute

c = absen θ (22-7)

onde theta eacute o acircngulo entre a e bEq (22-7) eacute igual agrave aacuterea do paralelogramo formado pelos dois vetores

O sentido do vetor c eacute definido pela regra da matildeo direita ou regra do parafusoO vetor c tem o sentido do dedo polegar quando a matildeo direita se posiciona de tal modoque os outros dedos giram de a para b quando a matildeo se fecha

A definiccedilatildeo do produto vetorial se baseia em um conceito antroacutepico Portanto pode-sedizer que o produto vetorial eacute com efeito muito uacutetil mas que natildeo pertence inteiramenteao domiacutenio da matemaacutetica como sim eacute o caso com o produto escalar que natildeo precisade uma regra do parafuso ou de algo equivalente

Diz-se que o produto vetorial eacute um pseudovetor De fato haacute vaacuterias grandezas fiacutesicasque satildeo pseudovetores

Exemplos

Se a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 k qual eacute o vetor c = a x b

bull a = matrix([[3-40]]) b = matrix([[-2 0 3]])

bull linalgcrossProduct(a b)

Resultado -12 i - 9 j -8 k

Generalizaccedilatildeo

Calcule para os vetores a = ax i + ay j + ak k e b = bx i + by j + bz k o vetor c = a x b

a x b = (ax i + ay j + ak k) x (bx i + by j + bz k)

= ax bx (i x i) + ax by (i x j) + ax bz (i x k)

+ ay bx (j x i) + ay by (j x j) + ay bz (j x k)

+ az bx (k x i) + az by (k x j) + az bz (k x k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - aybx) k

Esse resultado pode ser escrito sob a forma de determinantes

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22-7

A orientaccedilatildeo do vetor a achamos com

(22-3)

Exemplo

O vetor a = 4 i + 3 j tem o moacutedulo e o acircngulo

Fig 22-6

Agora mostraremos como podemos fazer essas operaccedilotildees com MuPAD

bull A=matrix([[43]])

bull norm(A2) norm informaccedilatildeo sobre a 2-norm

com o resultado 5 para o moacutedulo (que MuPAD chama de norm(A2))

Agora para o acircngulo fazemos o caacutelculo seguinte(Note que float(arctan(34)) calcula o acircngulo em rad A relaccedilatildeo entre radiano egraus eacute estabelecida por 1rad = 180degπ)

bull arctan(34)

arctan(34)

22- 8

bull float()

06435011088

bull float(180PI)

3686989765

Para multiplicar um vetor por um nuacutemero c basta multiplicar suas componentes poreste nuacutemero

ca = (cax)i + (cay)j

Para se somar dois vetores basta somar suas componentes

Se a = axi + ayj e b = bxi + byj tem-se a + b = (ax + bx)i + (ay + )j

O produto escalar dos vetores a e b define-se por

a b = a b cos θ (22-4)

onde θ (theta) ι o βngulo formado pelos dois vetores Freqόentemente usa-se a letra Φ(phi) -para a matemαtica natildeo faz diferenccedilaA partir dessa definiccedilatildeo geomeacutetrica do produto escalar natildeo eacute difiacutecil demonstrar aseguinte relaccedilatildeo

a b = ax bx + ay by (22-5)

A equaccedilatildeo (25) eacute frequumlentemente adotada como definiccedilatildeo alternativa de produtoescalar

A generalizaccedilatildeo do que vimos nesta seccedilatildeo para o caso de trecircs dimensotildees se faz semdificuldadeOs seguintes exemplos ilustram a aplicaccedilatildeo da funccedilatildeo linalgscalarProduct(uv) de MuPAD Esta funccedilatildeo pertence agrave biblioteca linalg do MuPAD que conteacutem umgrande nuacutemero de funccedilotildees da Aacutelgebra linear Acho que vale a pena dar uma olhadanesta biblioteca

bull u = matrix([-23]) v = matrix([12 -25])

bull linalgscalarProduct(u v)

-99

22- 9

Este resultado podemos tambeacutem obter utilizando as regras do produto de duasmatrizesMas soacute podemos efetuar o produto de duas matrizes se o nuacutemero de colunas daprimeira for igual ao nuacutemero de linhas da segunda As matrizes u v possuem umacoluna e trecircs linhas Entatildeo seraacute preciso escrever a matriz u como matriz-linha (-2 3)o seja matrix([[-23]])Com esta pequena operaccedilatildeo podemos calcular o produto escalar como(-2)(12)+(3)(-25) = -99

Tambeacutem MuPAD sabe fazer este caacutelculo

bull u = matrix([[-23]]) v = matrix([12 -25])

bull p=uvmatriz com um elemento soacute

bull p[11] o uacutenico elemento da matriz-produto p

[-99]

-99

Os elementos cik da matriz-produto calculam-se por meio da foacutermula cik = air brk cik eacute o elemento da i-eacutesima linha e k-eacutesima coluna da matriz-produtocik eacute obtido multiplicando os elementos da i-eacutesima linha da primeira matriz peloselementos correspondentes da k-eacutesima coluna da segunda matriz e somando estesprodutos

Observe que o nuacutemero de colunas da primeira matriz deve ser igual ao nuacutemero delinhas na segundaSe natildeo for assim natildeo seraacute possiacutevel efetuar a multiplicaccedilatildeo

Sejam

22- 10

Entatildeo a matriz-produto AB eacute a matriz 2 x 2 definida como

(22-6)

Exemplo

Sejam

duas matrizesEncontre os produtos AB e BA

bull A=matrix([[31][52][43]])

bull B=matrix([[-1-1][14]])

bull AB

bull BA

Natildeo eacute possiacutevel calcular o produto BA porque o nuacutemero de colunas da B da primeiramatriz eacute diferente do nuacutemero de linhas da matriz A da segunda

22- 11

O acircngulo entre dois vetores podemos achar usando Eq (22-4) mas o caacutelculo diretousando o MuPAD eacute bastante complicado Note que o produto das matrizes A e B eacuteuma matriz com um elemento soacute C[11] = 9

bull A=matrix([[25]])

bull B=matrix([-33])

bull a=norm(A2) moacutedulo de A

bull b=norm(B2)

bull C=AB

bull c=ab

bull aphi=arccos(C[11]c)

bull phi=float(aphi180PI) ou theacuteta

6680140949

Utilizemos agora a funccedilatildeo linalgangle da biblioteca linalg

bull phi = linalgangle(

bull matrix([2 5]) matrix([-3 3]))

bull float(phi180PI)

6680140949

Obtivemos nosso resultado esta vez bem mais raacutepido Conclusatildeo

Natildeo haacute nada pior na vida do que um caminho inadequado

O produto escalar definido pela Eq (22-4) resulta em uma grandeza escalar o quejustifica o termo produto escalar

Eacute natural a se fazer a pergunta se existe algum produto de vetores que gere umagrandeza de natureza vetorial Jaacute sabemos que na mecacircnica existe tal produto oproduto vetorial Este produto aparece especialmente com relaccedilatildeo a momentos evelocidades angulares Noacutes trataacutevamos jaacute disso na seccedilatildeo 21

O produto vetorial de a por b nessa ordem eacute um vetor c = a x b tal que c = 0 se esomente se a e b satildeo colineares (Eacute uacutetil definir um vetor-zero que tem comprimento 0O vetor-zero (ou vetor-nulo) eacute paralelo e perpendicular a qualquer vetor a )

22- 12

Se a e b natildeo forem colineares entatildeo c seraacute tal que o seu comprimento eacute

c = absen θ (22-7)

onde theta eacute o acircngulo entre a e bEq (22-7) eacute igual agrave aacuterea do paralelogramo formado pelos dois vetores

O sentido do vetor c eacute definido pela regra da matildeo direita ou regra do parafusoO vetor c tem o sentido do dedo polegar quando a matildeo direita se posiciona de tal modoque os outros dedos giram de a para b quando a matildeo se fecha

A definiccedilatildeo do produto vetorial se baseia em um conceito antroacutepico Portanto pode-sedizer que o produto vetorial eacute com efeito muito uacutetil mas que natildeo pertence inteiramenteao domiacutenio da matemaacutetica como sim eacute o caso com o produto escalar que natildeo precisade uma regra do parafuso ou de algo equivalente

Diz-se que o produto vetorial eacute um pseudovetor De fato haacute vaacuterias grandezas fiacutesicasque satildeo pseudovetores

Exemplos

Se a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 k qual eacute o vetor c = a x b

bull a = matrix([[3-40]]) b = matrix([[-2 0 3]])

bull linalgcrossProduct(a b)

Resultado -12 i - 9 j -8 k

Generalizaccedilatildeo

Calcule para os vetores a = ax i + ay j + ak k e b = bx i + by j + bz k o vetor c = a x b

a x b = (ax i + ay j + ak k) x (bx i + by j + bz k)

= ax bx (i x i) + ax by (i x j) + ax bz (i x k)

+ ay bx (j x i) + ay by (j x j) + ay bz (j x k)

+ az bx (k x i) + az by (k x j) + az bz (k x k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - aybx) k

Esse resultado pode ser escrito sob a forma de determinantes

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 8

bull float()

06435011088

bull float(180PI)

3686989765

Para multiplicar um vetor por um nuacutemero c basta multiplicar suas componentes poreste nuacutemero

ca = (cax)i + (cay)j

Para se somar dois vetores basta somar suas componentes

Se a = axi + ayj e b = bxi + byj tem-se a + b = (ax + bx)i + (ay + )j

O produto escalar dos vetores a e b define-se por

a b = a b cos θ (22-4)

onde θ (theta) ι o βngulo formado pelos dois vetores Freqόentemente usa-se a letra Φ(phi) -para a matemαtica natildeo faz diferenccedilaA partir dessa definiccedilatildeo geomeacutetrica do produto escalar natildeo eacute difiacutecil demonstrar aseguinte relaccedilatildeo

a b = ax bx + ay by (22-5)

A equaccedilatildeo (25) eacute frequumlentemente adotada como definiccedilatildeo alternativa de produtoescalar

A generalizaccedilatildeo do que vimos nesta seccedilatildeo para o caso de trecircs dimensotildees se faz semdificuldadeOs seguintes exemplos ilustram a aplicaccedilatildeo da funccedilatildeo linalgscalarProduct(uv) de MuPAD Esta funccedilatildeo pertence agrave biblioteca linalg do MuPAD que conteacutem umgrande nuacutemero de funccedilotildees da Aacutelgebra linear Acho que vale a pena dar uma olhadanesta biblioteca

bull u = matrix([-23]) v = matrix([12 -25])

bull linalgscalarProduct(u v)

-99

22- 9

Este resultado podemos tambeacutem obter utilizando as regras do produto de duasmatrizesMas soacute podemos efetuar o produto de duas matrizes se o nuacutemero de colunas daprimeira for igual ao nuacutemero de linhas da segunda As matrizes u v possuem umacoluna e trecircs linhas Entatildeo seraacute preciso escrever a matriz u como matriz-linha (-2 3)o seja matrix([[-23]])Com esta pequena operaccedilatildeo podemos calcular o produto escalar como(-2)(12)+(3)(-25) = -99

Tambeacutem MuPAD sabe fazer este caacutelculo

bull u = matrix([[-23]]) v = matrix([12 -25])

bull p=uvmatriz com um elemento soacute

bull p[11] o uacutenico elemento da matriz-produto p

[-99]

-99

Os elementos cik da matriz-produto calculam-se por meio da foacutermula cik = air brk cik eacute o elemento da i-eacutesima linha e k-eacutesima coluna da matriz-produtocik eacute obtido multiplicando os elementos da i-eacutesima linha da primeira matriz peloselementos correspondentes da k-eacutesima coluna da segunda matriz e somando estesprodutos

Observe que o nuacutemero de colunas da primeira matriz deve ser igual ao nuacutemero delinhas na segundaSe natildeo for assim natildeo seraacute possiacutevel efetuar a multiplicaccedilatildeo

Sejam

22- 10

Entatildeo a matriz-produto AB eacute a matriz 2 x 2 definida como

(22-6)

Exemplo

Sejam

duas matrizesEncontre os produtos AB e BA

bull A=matrix([[31][52][43]])

bull B=matrix([[-1-1][14]])

bull AB

bull BA

Natildeo eacute possiacutevel calcular o produto BA porque o nuacutemero de colunas da B da primeiramatriz eacute diferente do nuacutemero de linhas da matriz A da segunda

22- 11

O acircngulo entre dois vetores podemos achar usando Eq (22-4) mas o caacutelculo diretousando o MuPAD eacute bastante complicado Note que o produto das matrizes A e B eacuteuma matriz com um elemento soacute C[11] = 9

bull A=matrix([[25]])

bull B=matrix([-33])

bull a=norm(A2) moacutedulo de A

bull b=norm(B2)

bull C=AB

bull c=ab

bull aphi=arccos(C[11]c)

bull phi=float(aphi180PI) ou theacuteta

6680140949

Utilizemos agora a funccedilatildeo linalgangle da biblioteca linalg

bull phi = linalgangle(

bull matrix([2 5]) matrix([-3 3]))

bull float(phi180PI)

6680140949

Obtivemos nosso resultado esta vez bem mais raacutepido Conclusatildeo

Natildeo haacute nada pior na vida do que um caminho inadequado

O produto escalar definido pela Eq (22-4) resulta em uma grandeza escalar o quejustifica o termo produto escalar

Eacute natural a se fazer a pergunta se existe algum produto de vetores que gere umagrandeza de natureza vetorial Jaacute sabemos que na mecacircnica existe tal produto oproduto vetorial Este produto aparece especialmente com relaccedilatildeo a momentos evelocidades angulares Noacutes trataacutevamos jaacute disso na seccedilatildeo 21

O produto vetorial de a por b nessa ordem eacute um vetor c = a x b tal que c = 0 se esomente se a e b satildeo colineares (Eacute uacutetil definir um vetor-zero que tem comprimento 0O vetor-zero (ou vetor-nulo) eacute paralelo e perpendicular a qualquer vetor a )

22- 12

Se a e b natildeo forem colineares entatildeo c seraacute tal que o seu comprimento eacute

c = absen θ (22-7)

onde theta eacute o acircngulo entre a e bEq (22-7) eacute igual agrave aacuterea do paralelogramo formado pelos dois vetores

O sentido do vetor c eacute definido pela regra da matildeo direita ou regra do parafusoO vetor c tem o sentido do dedo polegar quando a matildeo direita se posiciona de tal modoque os outros dedos giram de a para b quando a matildeo se fecha

A definiccedilatildeo do produto vetorial se baseia em um conceito antroacutepico Portanto pode-sedizer que o produto vetorial eacute com efeito muito uacutetil mas que natildeo pertence inteiramenteao domiacutenio da matemaacutetica como sim eacute o caso com o produto escalar que natildeo precisade uma regra do parafuso ou de algo equivalente

Diz-se que o produto vetorial eacute um pseudovetor De fato haacute vaacuterias grandezas fiacutesicasque satildeo pseudovetores

Exemplos

Se a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 k qual eacute o vetor c = a x b

bull a = matrix([[3-40]]) b = matrix([[-2 0 3]])

bull linalgcrossProduct(a b)

Resultado -12 i - 9 j -8 k

Generalizaccedilatildeo

Calcule para os vetores a = ax i + ay j + ak k e b = bx i + by j + bz k o vetor c = a x b

a x b = (ax i + ay j + ak k) x (bx i + by j + bz k)

= ax bx (i x i) + ax by (i x j) + ax bz (i x k)

+ ay bx (j x i) + ay by (j x j) + ay bz (j x k)

+ az bx (k x i) + az by (k x j) + az bz (k x k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - aybx) k

Esse resultado pode ser escrito sob a forma de determinantes

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 9

Este resultado podemos tambeacutem obter utilizando as regras do produto de duasmatrizesMas soacute podemos efetuar o produto de duas matrizes se o nuacutemero de colunas daprimeira for igual ao nuacutemero de linhas da segunda As matrizes u v possuem umacoluna e trecircs linhas Entatildeo seraacute preciso escrever a matriz u como matriz-linha (-2 3)o seja matrix([[-23]])Com esta pequena operaccedilatildeo podemos calcular o produto escalar como(-2)(12)+(3)(-25) = -99

Tambeacutem MuPAD sabe fazer este caacutelculo

bull u = matrix([[-23]]) v = matrix([12 -25])

bull p=uvmatriz com um elemento soacute

bull p[11] o uacutenico elemento da matriz-produto p

[-99]

-99

Os elementos cik da matriz-produto calculam-se por meio da foacutermula cik = air brk cik eacute o elemento da i-eacutesima linha e k-eacutesima coluna da matriz-produtocik eacute obtido multiplicando os elementos da i-eacutesima linha da primeira matriz peloselementos correspondentes da k-eacutesima coluna da segunda matriz e somando estesprodutos

Observe que o nuacutemero de colunas da primeira matriz deve ser igual ao nuacutemero delinhas na segundaSe natildeo for assim natildeo seraacute possiacutevel efetuar a multiplicaccedilatildeo

Sejam

22- 10

Entatildeo a matriz-produto AB eacute a matriz 2 x 2 definida como

(22-6)

Exemplo

Sejam

duas matrizesEncontre os produtos AB e BA

bull A=matrix([[31][52][43]])

bull B=matrix([[-1-1][14]])

bull AB

bull BA

Natildeo eacute possiacutevel calcular o produto BA porque o nuacutemero de colunas da B da primeiramatriz eacute diferente do nuacutemero de linhas da matriz A da segunda

22- 11

O acircngulo entre dois vetores podemos achar usando Eq (22-4) mas o caacutelculo diretousando o MuPAD eacute bastante complicado Note que o produto das matrizes A e B eacuteuma matriz com um elemento soacute C[11] = 9

bull A=matrix([[25]])

bull B=matrix([-33])

bull a=norm(A2) moacutedulo de A

bull b=norm(B2)

bull C=AB

bull c=ab

bull aphi=arccos(C[11]c)

bull phi=float(aphi180PI) ou theacuteta

6680140949

Utilizemos agora a funccedilatildeo linalgangle da biblioteca linalg

bull phi = linalgangle(

bull matrix([2 5]) matrix([-3 3]))

bull float(phi180PI)

6680140949

Obtivemos nosso resultado esta vez bem mais raacutepido Conclusatildeo

Natildeo haacute nada pior na vida do que um caminho inadequado

O produto escalar definido pela Eq (22-4) resulta em uma grandeza escalar o quejustifica o termo produto escalar

Eacute natural a se fazer a pergunta se existe algum produto de vetores que gere umagrandeza de natureza vetorial Jaacute sabemos que na mecacircnica existe tal produto oproduto vetorial Este produto aparece especialmente com relaccedilatildeo a momentos evelocidades angulares Noacutes trataacutevamos jaacute disso na seccedilatildeo 21

O produto vetorial de a por b nessa ordem eacute um vetor c = a x b tal que c = 0 se esomente se a e b satildeo colineares (Eacute uacutetil definir um vetor-zero que tem comprimento 0O vetor-zero (ou vetor-nulo) eacute paralelo e perpendicular a qualquer vetor a )

22- 12

Se a e b natildeo forem colineares entatildeo c seraacute tal que o seu comprimento eacute

c = absen θ (22-7)

onde theta eacute o acircngulo entre a e bEq (22-7) eacute igual agrave aacuterea do paralelogramo formado pelos dois vetores

O sentido do vetor c eacute definido pela regra da matildeo direita ou regra do parafusoO vetor c tem o sentido do dedo polegar quando a matildeo direita se posiciona de tal modoque os outros dedos giram de a para b quando a matildeo se fecha

A definiccedilatildeo do produto vetorial se baseia em um conceito antroacutepico Portanto pode-sedizer que o produto vetorial eacute com efeito muito uacutetil mas que natildeo pertence inteiramenteao domiacutenio da matemaacutetica como sim eacute o caso com o produto escalar que natildeo precisade uma regra do parafuso ou de algo equivalente

Diz-se que o produto vetorial eacute um pseudovetor De fato haacute vaacuterias grandezas fiacutesicasque satildeo pseudovetores

Exemplos

Se a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 k qual eacute o vetor c = a x b

bull a = matrix([[3-40]]) b = matrix([[-2 0 3]])

bull linalgcrossProduct(a b)

Resultado -12 i - 9 j -8 k

Generalizaccedilatildeo

Calcule para os vetores a = ax i + ay j + ak k e b = bx i + by j + bz k o vetor c = a x b

a x b = (ax i + ay j + ak k) x (bx i + by j + bz k)

= ax bx (i x i) + ax by (i x j) + ax bz (i x k)

+ ay bx (j x i) + ay by (j x j) + ay bz (j x k)

+ az bx (k x i) + az by (k x j) + az bz (k x k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - aybx) k

Esse resultado pode ser escrito sob a forma de determinantes

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 10

Entatildeo a matriz-produto AB eacute a matriz 2 x 2 definida como

(22-6)

Exemplo

Sejam

duas matrizesEncontre os produtos AB e BA

bull A=matrix([[31][52][43]])

bull B=matrix([[-1-1][14]])

bull AB

bull BA

Natildeo eacute possiacutevel calcular o produto BA porque o nuacutemero de colunas da B da primeiramatriz eacute diferente do nuacutemero de linhas da matriz A da segunda

22- 11

O acircngulo entre dois vetores podemos achar usando Eq (22-4) mas o caacutelculo diretousando o MuPAD eacute bastante complicado Note que o produto das matrizes A e B eacuteuma matriz com um elemento soacute C[11] = 9

bull A=matrix([[25]])

bull B=matrix([-33])

bull a=norm(A2) moacutedulo de A

bull b=norm(B2)

bull C=AB

bull c=ab

bull aphi=arccos(C[11]c)

bull phi=float(aphi180PI) ou theacuteta

6680140949

Utilizemos agora a funccedilatildeo linalgangle da biblioteca linalg

bull phi = linalgangle(

bull matrix([2 5]) matrix([-3 3]))

bull float(phi180PI)

6680140949

Obtivemos nosso resultado esta vez bem mais raacutepido Conclusatildeo

Natildeo haacute nada pior na vida do que um caminho inadequado

O produto escalar definido pela Eq (22-4) resulta em uma grandeza escalar o quejustifica o termo produto escalar

Eacute natural a se fazer a pergunta se existe algum produto de vetores que gere umagrandeza de natureza vetorial Jaacute sabemos que na mecacircnica existe tal produto oproduto vetorial Este produto aparece especialmente com relaccedilatildeo a momentos evelocidades angulares Noacutes trataacutevamos jaacute disso na seccedilatildeo 21

O produto vetorial de a por b nessa ordem eacute um vetor c = a x b tal que c = 0 se esomente se a e b satildeo colineares (Eacute uacutetil definir um vetor-zero que tem comprimento 0O vetor-zero (ou vetor-nulo) eacute paralelo e perpendicular a qualquer vetor a )

22- 12

Se a e b natildeo forem colineares entatildeo c seraacute tal que o seu comprimento eacute

c = absen θ (22-7)

onde theta eacute o acircngulo entre a e bEq (22-7) eacute igual agrave aacuterea do paralelogramo formado pelos dois vetores

O sentido do vetor c eacute definido pela regra da matildeo direita ou regra do parafusoO vetor c tem o sentido do dedo polegar quando a matildeo direita se posiciona de tal modoque os outros dedos giram de a para b quando a matildeo se fecha

A definiccedilatildeo do produto vetorial se baseia em um conceito antroacutepico Portanto pode-sedizer que o produto vetorial eacute com efeito muito uacutetil mas que natildeo pertence inteiramenteao domiacutenio da matemaacutetica como sim eacute o caso com o produto escalar que natildeo precisade uma regra do parafuso ou de algo equivalente

Diz-se que o produto vetorial eacute um pseudovetor De fato haacute vaacuterias grandezas fiacutesicasque satildeo pseudovetores

Exemplos

Se a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 k qual eacute o vetor c = a x b

bull a = matrix([[3-40]]) b = matrix([[-2 0 3]])

bull linalgcrossProduct(a b)

Resultado -12 i - 9 j -8 k

Generalizaccedilatildeo

Calcule para os vetores a = ax i + ay j + ak k e b = bx i + by j + bz k o vetor c = a x b

a x b = (ax i + ay j + ak k) x (bx i + by j + bz k)

= ax bx (i x i) + ax by (i x j) + ax bz (i x k)

+ ay bx (j x i) + ay by (j x j) + ay bz (j x k)

+ az bx (k x i) + az by (k x j) + az bz (k x k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - aybx) k

Esse resultado pode ser escrito sob a forma de determinantes

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 11

O acircngulo entre dois vetores podemos achar usando Eq (22-4) mas o caacutelculo diretousando o MuPAD eacute bastante complicado Note que o produto das matrizes A e B eacuteuma matriz com um elemento soacute C[11] = 9

bull A=matrix([[25]])

bull B=matrix([-33])

bull a=norm(A2) moacutedulo de A

bull b=norm(B2)

bull C=AB

bull c=ab

bull aphi=arccos(C[11]c)

bull phi=float(aphi180PI) ou theacuteta

6680140949

Utilizemos agora a funccedilatildeo linalgangle da biblioteca linalg

bull phi = linalgangle(

bull matrix([2 5]) matrix([-3 3]))

bull float(phi180PI)

6680140949

Obtivemos nosso resultado esta vez bem mais raacutepido Conclusatildeo

Natildeo haacute nada pior na vida do que um caminho inadequado

O produto escalar definido pela Eq (22-4) resulta em uma grandeza escalar o quejustifica o termo produto escalar

Eacute natural a se fazer a pergunta se existe algum produto de vetores que gere umagrandeza de natureza vetorial Jaacute sabemos que na mecacircnica existe tal produto oproduto vetorial Este produto aparece especialmente com relaccedilatildeo a momentos evelocidades angulares Noacutes trataacutevamos jaacute disso na seccedilatildeo 21

O produto vetorial de a por b nessa ordem eacute um vetor c = a x b tal que c = 0 se esomente se a e b satildeo colineares (Eacute uacutetil definir um vetor-zero que tem comprimento 0O vetor-zero (ou vetor-nulo) eacute paralelo e perpendicular a qualquer vetor a )

22- 12

Se a e b natildeo forem colineares entatildeo c seraacute tal que o seu comprimento eacute

c = absen θ (22-7)

onde theta eacute o acircngulo entre a e bEq (22-7) eacute igual agrave aacuterea do paralelogramo formado pelos dois vetores

O sentido do vetor c eacute definido pela regra da matildeo direita ou regra do parafusoO vetor c tem o sentido do dedo polegar quando a matildeo direita se posiciona de tal modoque os outros dedos giram de a para b quando a matildeo se fecha

A definiccedilatildeo do produto vetorial se baseia em um conceito antroacutepico Portanto pode-sedizer que o produto vetorial eacute com efeito muito uacutetil mas que natildeo pertence inteiramenteao domiacutenio da matemaacutetica como sim eacute o caso com o produto escalar que natildeo precisade uma regra do parafuso ou de algo equivalente

Diz-se que o produto vetorial eacute um pseudovetor De fato haacute vaacuterias grandezas fiacutesicasque satildeo pseudovetores

Exemplos

Se a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 k qual eacute o vetor c = a x b

bull a = matrix([[3-40]]) b = matrix([[-2 0 3]])

bull linalgcrossProduct(a b)

Resultado -12 i - 9 j -8 k

Generalizaccedilatildeo

Calcule para os vetores a = ax i + ay j + ak k e b = bx i + by j + bz k o vetor c = a x b

a x b = (ax i + ay j + ak k) x (bx i + by j + bz k)

= ax bx (i x i) + ax by (i x j) + ax bz (i x k)

+ ay bx (j x i) + ay by (j x j) + ay bz (j x k)

+ az bx (k x i) + az by (k x j) + az bz (k x k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - aybx) k

Esse resultado pode ser escrito sob a forma de determinantes

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 12

Se a e b natildeo forem colineares entatildeo c seraacute tal que o seu comprimento eacute

c = absen θ (22-7)

onde theta eacute o acircngulo entre a e bEq (22-7) eacute igual agrave aacuterea do paralelogramo formado pelos dois vetores

O sentido do vetor c eacute definido pela regra da matildeo direita ou regra do parafusoO vetor c tem o sentido do dedo polegar quando a matildeo direita se posiciona de tal modoque os outros dedos giram de a para b quando a matildeo se fecha

A definiccedilatildeo do produto vetorial se baseia em um conceito antroacutepico Portanto pode-sedizer que o produto vetorial eacute com efeito muito uacutetil mas que natildeo pertence inteiramenteao domiacutenio da matemaacutetica como sim eacute o caso com o produto escalar que natildeo precisade uma regra do parafuso ou de algo equivalente

Diz-se que o produto vetorial eacute um pseudovetor De fato haacute vaacuterias grandezas fiacutesicasque satildeo pseudovetores

Exemplos

Se a = 3 i - 4 j e b = -2 i + 3 k qual eacute o vetor c = a x b

bull a = matrix([[3-40]]) b = matrix([[-2 0 3]])

bull linalgcrossProduct(a b)

Resultado -12 i - 9 j -8 k

Generalizaccedilatildeo

Calcule para os vetores a = ax i + ay j + ak k e b = bx i + by j + bz k o vetor c = a x b

a x b = (ax i + ay j + ak k) x (bx i + by j + bz k)

= ax bx (i x i) + ax by (i x j) + ax bz (i x k)

+ ay bx (j x i) + ay by (j x j) + ay bz (j x k)

+ az bx (k x i) + az by (k x j) + az bz (k x k) = (ay bz - az by) i + (az bx - ax bz) j + (ax by - aybx) k

Esse resultado pode ser escrito sob a forma de determinantes

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 13

(22-8)

Esta equaccedilatildeo podemos interpretar como sendo a expansatildeo de um determinante

(22-9)

A verificaccedilatildeo destes resultados podemos efetuar utilizando MuPAD

a = matrix([[ax ay az]]) b = matrix([[bx by bz]])

linalgcrossProduct(a b)

Resultado

(ay bz - az by - ax bz + bx az ax by - ay bx)

224 Vetores e Curvas parameacutetricas

Se uma curva for dada sob a forma parameacutetrica

x = x(t) y = y(t) alt= t lt=b (22-10)

entatildeo o paracircmetro t pode ser interpretado como sendo tempo e o comprimento s daparte de curva entre a e b como sendo a distacircncia percorrida pelo ponto x(t) = (xy)nesse intervalo de tempo

As quantidades dxdt e dydt podem ser interpretadas como sendo as componentes x ey do vetor-velocidade do ponto moacutevel (xy) O vetor-velocidade eacute tangente agrave curvadefinida pelas equaccedilotildees parameacutetricas (210) O comprimento (moacutedulo) do vetor-velocidade eacute dsdt

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22-14

(22-11)

Na seguinte figura o vetor x(t+h)-x(t) representa uma secante que aproxima-sequando h tende a 0 do vetor-velocidade x(t)A tangente a uma curva definimos como sendo a posiccedilatildeo-limite de uma secanteO vetor dxdt representa a tangente agrave curva no ponto x(t)

Fig 22-7

Se x (t) for o vetor-posiccedilatildeo no instante t com as coordenadas (22-10) entatildeo o vetor-velocidade eacute definido por o seguinte limite

(22-12)

A quantidade (x(t+h)-x(t))h eacute o vetor x(t+h)-x(t) vezes o escalar 1hPortanto (x(t+h)-x(t))h eacute um vetor e seu limite eacute um vetor dxdt compare com adefiniccedilatildeo (22-12) x(t) eacute uma funccedilatildeo vetorial

Para derivar uma funccedilatildeo vetorial derivamos cada componente separadamente

Um ciacuterculo com radio r eacute descrito em forma parameacutetrica por

x(t) = r sen (t) y(t) = r cos (t) e 0lt= t lt 2PI (22-13)

Uma elipse com semi-eixos a e b eacute descrita por

x(t) = a cos (t) y(t) = b sen (t) e 0lt= t lt 2PI (22-14)

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 15

Usando MuPAD 3 vamos desenhar um ciacuterculo com raio = 2 unidades e um ponto quecorresponde ao valor t= t1= PI4As coordenadas da posiccedilatildeo desse ponto para r =2 seratildeo x (PI4) = y (PI4) = 14142

Nesse ponto traccedilamos o vetor-velocidade (= vetor- tangente) e o vetor-aceleraccedilatildeoCom um fator de escala scale reduzimos o tamanho do vetor com relaccedilatildeo agrave curvaNa seguinte figura vemos os vetores velocidade e aceleraccedilatildeo para uma partiacutecula emmovimento circular uniforme no sentido horaacuterio Ambos possuem moacutedulos constantesmas variam continuamente em direccedilatildeo

O vetor aceleraccedilatildeo (verde) estaacute dirigido ao longo do raio r no sentido do centro dociacuterculo(Com x(t) = r cos (t) y(t) = r sen (t) resulta um movimento anti-horaacuterio)

(Eacute interessante plotar outras curvas por exemplo com x (t) = t2 e y (t) = t + cos(3 t)0 lt= t lt= PI)

Agora desenvolvemos uns programas para representar os vetores velocidade eaceleraccedilatildeo para uma partiacutecula em movimento circular uniforme utilizando MuPAD 3que tambeacutem permite criar representaccedilotildees animadas

Primeiramente traccedilamos os vetores v e a para um ponto fixo no instante t1=PI4

Programa 1

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

t1=PI4instante elegido

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22-16

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d(x1y1Color=RGBGreenPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]Color=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-8

Com a instruccedilatildeo Scaling = Constrained vetores ortogonais tambeacutem apareceratildeosendo ortogonais na tela e um ciacuterculo seraacute um ciacuterculo

(MuPAD 3 criaraacute um plot de tal forma que ele caiba no plot window ajustando asdimensotildees horizontais em forma independente das dimensotildees verticais Muitas vezesnatildeo queremos isso mas com Scaling = Constrained eacute faacutecil de evitar asdistorccedilotildees resultantes No entanto compare o Programa 4 onde natildeo utilizamos estecomando)

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 17

O valor absoluto de velocidade e aceleraccedilatildeo traccediladas com plotFunction2dO graacutefico mostra que o moacutedulo de velocidade e aceleraccedilatildeo a = v2r satildeo constantesCalculamos o moacutedulo por meio dos produtos escalar vv e aa

Programa 2

bull x=t-gt2sin(2t)

y=t-gt2cos(2t)

v=matrix([[x(t)y(t)]])vector-velocidade

a=matrix([[x(t)y(t)]])vector-aceleraccedilatildeo

v0=sqrt(linalgscalarProduct(v v))valabs daveloidade

a0=sqrt(linalgscalarProduct(a a))valabs daaceleraccedilatildeo

v1=plotFunction2d(v0(t)t=02PI Color=RGBRed)

a1=plotFunction2d(a0(t)t=02PIColor=RGBGreen)

plot(v1a1)

Fig 22-9

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22-18

Animaccedilatildeo

Agora vamos animar o graacutefico dos vetores de velocidade e aceleraccedilatildeo do Programa 1(Somente a partir da Versatildeo 3 pode-se fazer graacuteficos animados Note que soacute eacutenecessaacuterio introduzir o domiacutenio do tempo t = 02PI nas trecircs instruccedilotildees plotClique duas vezes com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a figura criada Feito istoentre no menu Animation Na janela que surgir clique em Start)

Programa 3

x=t-gt2sin(t)

y=t-gt2cos(t)Elipse y=t-gt3cos(t)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 02PI)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

y1=pos(t1)[2]

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y3=y1+a2scale

p=plotPoint2d([x1y1]t1=02PIColor=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=02PIColor=RGBRed)

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22-19

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=02PIColor=RGBGreen)

plot(curvepacveScaling = Constrained)

Fig 22-10

Agora vocecirc deveria fazer um estudo do movimento de uma partiacutecula ao longo de umatrajetoacuteria eliacuteptica em um plano xy horizontal Vocecirc veraacute que o vetor-velocidade natildeofica perpendicular ao vetor-aceleraccedilaotilde Os moacutedulos dos vetores tambeacutem mudam com aposiccedilatildeo do ponto Mas o vetor-aceleraccedilaotilde permaneceraacute mostrando sempre para ocentroO plot do moacutedulo dos vetores jaacute natildeo mostra linhas horizontais e sim variaccedilotildees entreum maacuteximo e um miacutenimo Os moacutedulos de v e a satildeo agora funccedilotildees oscilatoacuteriasTudo isso pode ser verificado muito facilmente modificando um pouco os programasanteriores

Finalmente consideraremos a questatildeo de como representar o movimento de umprojeacutetil (no vaacutecuo) Neste caso a aceleraccedilatildeo eacute a aceleraccedilatildeo constante da gravidade a= g O projeacutetil natildeo possui aceleraccedilatildeo horizontal e a nossa animaccedilatildeo do movimento vaimostrar que o vetor aceleraccedilatildeo eacute sempre dirigido verticalmente para baixoQuando a aceleraccedilatildeo eacute constante a trajetoacuteria eacute uma paraacutebola e como veremos noproximo capiacutetulo (231) as coordenadas satildeo dadas por as seguintes equaccedilotildeesparameacutetricas

x(t) = v0 t cos (α) (22-15a)

y(t) = -g t22 + v0 t sen (α) (22-15b)

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 20

O projeacutetil eacute lanccedilado com uma velocidade inicial de moacutedulo v0 = 70 ms a um acircngulo de300 (= acircngulo de tiro) com a horizontal Eacute soacute modificar um pouco o nosso Programa 1para mostrar a trajetoacuteria que o projeacutetil percorre junto com os vetores v e a Pode-secalcular que o moacutevil retorna ao solo (altura de lanccedilamento) depois de 7136 sOlhe no vetor-velocidade e observe que ele varia continuamente

(Sua componente horizontal permanece constante mas a componente vertical varia aolongo da trajetoacuteria e sendo nula no ponto mais alto)Insira as seguintes linhas para ver tambeacutem as componentes de v

vx=plotArrow2d([x1y1][x2y1]t1=0713

Color=RGBBlack)

vy=plotArrow2d([x1y1][x1y2]t1=0713

Color=RGBBlue)

plot(curvepacvevxvy)

Note que no programa tiramos o comando Scaling = Constrained Porquecirc

Programa 4 (projeacutetil)

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

curve=plotCurve2d([x(t)y(t)]t= 0713)

pos=t-gt(x(t)y(t))vetor posiccedilatildeo

vel=t-gt(x(t)y(t))vetor velocidade

acel=t-gt(x(t)y(t))aceleraccedilatildeo

scale=06determina o tamanho do vetor

x1=pos(t1)[1]iniacutecio do vetor (x(t)y(t))

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 21

y1=pos(t1)[2]para t=t1

v1=vel(t1)[1]velocidade do ponto (x(t)y(t))

v2=vel(t1)[2]para t=t1

a1=acel(t1)[1]aceleraccedilatildeo

a2=acel(t1)[2]

x2=x1+v1scaleextremo do vetor (x(t)y(t))

y2=y1+v2scale

x3=x1+a13scale o fator escala foi aumentado paraalongar

y3=y1+a23scale o vetor-aceleraccedilatildeo

p=plotPoint2d([x1y1]t1=0713Color=RGBBlackPointSize=3unitmm)

ve=plotArrow2d([x1y1][x2y2]t1=0713Color=RGBRed)

ac=plotArrow2d([x1y1][x3y3]t1=0713Color=RGBGreen)

plot(curvepacve)

Fig 22-11

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 22

Para acharmos o tempo do vocirco (tempo decorrido ateacute o projeacutetil atingir o solo) pomosy =0

bull v0=70g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

solve(y(t)=0t)[2]

tv = 71356 s eacute o segundo elemento da lista das soluccedilotildees

Tambeacutem pode-se calcular o tempo total como veremos um pouco mais adiantepor meio da foacutermula

2v0sin(alpha)g

O tempo de subida equivale ao intervalo de tempo decorrido desde o instante dolanccedilamento ateacute o instante em que o moacutevel atinge o veacutertice da paraacutebolaNeste instante a componente vertical da velocidade eacute nula Entatildeo podemos escrever

vy=y(t)

solve(vy=0t)

O tempo de descida eacute igual ao de subida

A altura maacutexima de 6244 m eacute obtida por meio de

solve(vy=0t)

y(solve(vy=0t)[1])

Para o alcance maacuteximo obtemos 43257 m

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 23

Estes valores podem-se controlar inspecionando diretamente a curva Fig 22-11

(Para isso clique com o botatildeo esquerdo do mouse sobre a curva e oprima ao mesmotempo a tecla Ctrl Vai surgir uma caixinha com as coordenadas do ponto)

Agora faremos uma tabela das coordenadas da trajetoacuteria do projeacutetilPrimeiramente usamos o comando outputtableForm

Tabela de valores de t x y usando outputtableForm

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[t $ t = 15t]])

outputtableForm([[float(x(t)) $ t = 15x]])

outputtableForm([[float(y(t)) $ t = 15y]])

[1 2 3 4 5 t]

[606218 121244 181865 242487 303109 x]

[30095 5038 60855 6152 52375 3342 y]

Eacute possiacutevel simplificar o programa

bull v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

outputtableForm([[TXY] $ t=00]Column=1Unique)

outputtableForm([[tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=05]

Column=1 Unique)

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 24

[T X Y]

[0 00 00]

[1 606218 30095]

[2 121244 5038]

[3 181865 60855]

[4 242487 6152]

[5 303109 52375]

O meacutetodo mais simples para criar uma tabela de valores computados eacute usar umamatriz (agradeccedilo a Wolfgang Lindner por indicar esse caminho)

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS =6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-gt^22+v0tsin(alpha)

matrix([[TXY][tfloat(x(t))float(y(t))] $ t=08])

Natildeo podemos deixar de ficar impressionados com um meacutetodo tatildeo simples

Claro poderiacuteamos ser mais exigentes e escrever um programa na linguagem deprogramaccedilatildeo do MuPAD O procedimento (procedure) consiste em encher um arraydos valores de t x e yO seguinte procedure faz isso passos-vezes Para deixar o nuacutemero de operaccedilotildeesaberto utilizamos a variaacutevel passos Tudo funciona como em Basic ou Pascal

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22-25

(Usamos agora as ferramentas da computaccedilatildeo sem grandes explicaccedilotildeesAs noccedilotildees array e procedure seratildeo tema de outras seccedilotildees Se vocecirc sabe programarem Pascal entatildeo natildeo vai ter problemas com o seguinte programa escrito na linguagemde programaccedilatildeo do MuPAD)

O nome do procedimento eacute Projetil Para arrancar este procedure temos de dar-lhe o valor inicial do tempo t0 e os nuacutemeros de passos a computarproc(t0passos) Na uacuteltima linha do programa vocecirc vecirc a instruccedilatildeoProjetil(08)onde entregamos t0 = 0 e passos = 8

Programa 5

Tabela como procedimento (procedure)

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 26

A primeira coluna conteacutem o tempo a segunda as coordenadas x e a terceira as yDepois de 8 segundos o corpo jaacute penetrou no solo a uma profundidade de -3392 mNa proacutexima versatildeo do programa incluiacutemos tambeacutem um tiacutetulo para as colunas (note ouso das instruccedilotildees if then else )

Programa 6

bull Projetil=proc(t0passos)

local txytabela

begin

v0=70g=981alpha=PI6

DIGITS=6

t=t0

tabela=array(0passos 13)

for t from t0 to passos do

x=float(v0tcos(alpha))

y=float(-gt^22+v0tsin(alpha))

if t = t0 then

tabela[t1]=Ts

tabela[t2]=Xm

tabela[t3]=Ym

else

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 27

tabela[t1]=t

tabela[t2]=x

tabela[t3]=y

end_if end_for

return(tabela)

end_proc

Projetil(08)

Comprimento da trajetoacuteria (comprimento de arco)

Agora gostariacuteamos de computar o comprimento da trajetoacuteria por meio da Eq (211)Natildeo existindo soluccedilatildeo analiacutetica para esse problema temos de usar o comandonumericint para obter a soluccedilatildeo numeacuterica de 455525 m

Programa 7

bull v0=70

g=981

alpha=PI6

x=t-gtv0tcos(alpha)

y=t-gt-g2t^2+v0tsin(alpha)

numericint(sqrt(x(t)^2+y(t)^2) t = 0713558)

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea

22- 28

Explicaccedilatildeo

Da propriedade (22-11) obtemos

e daiacute segue para a distacircncia percorrida desde o ponto inicial (t = a) ateacute o ponto final(t = b)

(22-16)

Esta integral definida eacute aplicaacutevel a uma curva dada sob forma parameacutetrica x = x(t)y = y(t)Trata-se de um caso especial de uma integral curviliacutenea