ALGUMAS NOÇÕES DE MATEMÁTICA FINANCEIRA- – JUROS COMPOSTOS – - ESTUDO DAS TAXAS- equivalência entre taxas– SÉRIES DE PAGAMENTOS (ANUIDADES OU RENDAS CERTAS)– SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO - ANUIDADES ANTECIPADAS, DIFERIDAS E PERPÉTUAS

I-JUROS COMPOSTOSExercícios clássicos:Existem basicamente quatro tipos de exercícios de juros compostos, conforme o item que se deseja calcular em problemas de aplicação de um capital a uma certa taxa de juros (em termos de uma certa unidade de tempo ) , durante um certo período (em termos da mesma unidade de tempo). :1)QUERO O MONTANTE (VALOR FUTURO): Qual o montante gerado por um capital de $2000 que rende 3% am por 4 meses?Solução:S = 2000 (1 + 0,03)4= 2251,0172) QUERO O CAPITAL (VALOR PRESENTE): Qual o capital que gera $2251,017 se aplicado a 3% am por 4 meses?Solução:2251,017 = C (1 + 0,03)4 ; C = 20003) QUERO O PRAZO: Em quanto tempo um capital de $2000 gera um montante de$2251,017 se ele rende 3%am? Solução:2251,017 = 2000 (1 + 0,03)n

1,125509 = 1,03n n log 1,03= 0,0514388 .Logo n=44) QUERO A TAXA: Qual a rentabilidade de um capital de $2000 que gera um montante de $2251,017 em 4 meses?Solução:2251,017 = 2000 (1 + i)4 1,125509 = (1 + i)4 (1,125509)1∕4= (1 + i). Logo i = 0,03 ou 3%Exercícios 1-Uma pessoa toma R$ 1.000,00 emprestado a taxa de 2% ao mês,pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o montante a ser devolvido?R$1218,99.2-Qual o capital que aplicad oá taxa composta de 2% ao mês durante um semestre gera um montante de $ 225.232,40 ? R:200.000,003- Determinar o tempo necessário para o capital de R$ 20.000,00 gerar um montante de $28.142,00 quando aplicado à taxa composta de 5 % ao mês. Resposta: 7 meses4- A que taxa mensal de juros compostos devemos aplicar R$ 40.000,00 para obtermos montante igual a R$ 56.197,12 ao fim de um trimestre? Resposta: 12 % ao mês 5. Em que prazo um capital de R$ 18.000,00 acumula um montante de R$ 83.743,00 à taxa efetiva de 15% am?Resposta: 11 meses6. A rentabilidade efetiva de um investimento è de 10% aa. Se os juros ganhos foremde R$27.473,00, sobre um capital investido de R$ 83.000,00, quanto tempo o capital ficará aplicado?Resposta: 3 anos7. Um investidor aplica um capital e obtém um montante após n períodos segundo o regime de capitalização composta. Calcule o valor de n em cada operação:2,25Ca) 0 n períodosC i = 50 % a.p Resp.: 2 períodos 8-Vera comprou um aparelho e vai pagá-lo em duas prestações; a l ª, de R$ 180,00, um mês após a compra e a 2 ª, de R$ 200,00, de dois meses após a compra Sabendo-seque estão sendo cobrados juros compostos de 25 % ao mês, qual era o preço à vista do aparelho ?Resp. : R$ 272,005. 9-Dois capitais C1e C2 que estão na razão de três para cinco foram aplicados a juroscompostos e a juros simples, respectivamente. Se a aplicação foi de cinco meses à taxa de 4 % ao mês,determine a razão entre os montantes S1e S2.Resp. : 0,60836.

II -ESTUDO DAS TAXAS -Conceitos de taxas equivalentes.- -Conceitos de taxa nominal e taxa efetivaNos exercícios anteriores, até agora, a relação entre o período n e a taxa i sempre estava sendo mantida, ou seja, se a taxa era apresentada ao mês (por exemplo) a resposta do período era em meses e vice versa TAXAS EQUIVALENTESDenominamos taxas equivalentes àquelas que são fornecidas em relação a tempos diferentes e produzem um mesmo montante ao final de um determinado prazo.

Por exemplo, a aplicação por três meses, à taxa de 10% a.m., proporciona um rendimento igual a 33,1% a.t. aplicada por um trimestre

a)SAINDO DE UM PERÍODO MENOR PARA OUTRO MAIOR: Uma taxa de 10% ao mês equivale a quantos % ao quadrimestre?1º passo:Representar por (1 + i) é o fator que quero ( para taxa ao quadrimestre) e por (1 +0,1), ou melhor, (1,1) , o fator para 10% ao mês.Igualo (1+i) a (1+0,1)4. Resposta:i=46,41% ao quadrimestre.

b)SAINDO DE UM PERÍODO MAIOR PARA OUTRO MENOR: Uma taxa de 50% ao semestre equivale a quantos % ao mês?i- taxa ao mês(1+0,5)=(1+i)6

R:i=6,99% ao mes

Exercícios1-Um corretor de títulos propõe a seu cliente uma aplicação cuja rentabilidade é de 40% ao ano. O investidor soube de um outro investimento, onde pode ganhar 9 % ao trimestre. Qual será sua escolha?Resposta:aplicar a 9 % a.t. é melhor do que aplicar a 40 % a.a.

2- O preço de uma mercadoria é de R$ 2.000,00, sendo financiada até 3 meses. Caso opte por pagar a vista, a loja oferece um desconto de 10 %. Sabendo-se que a taxa de mercado é de 40 % a..a., vale a pena comprar a prazo?Solução: i=% ao ano, logo a taxa de financiamento da loja é maior do que a taxa de juros do mercado. É melhor comprar a vista.

TAXAS NOMINAIS Chamamos TAXA NOMINAL, a taxa de juros cuja unidade de referência do período de tempo não coincide com o período de capitalização, como, por exemplo, 12% a.a. capitalizados mensalmente. Observe que a taxa é anual, mas é informado que a capitalização é mensal.

Suponhamos que um banco informe que uma certa aplicação financeira renda 6% a.a., com capitalização mensal de 0,5% a.m. Uma dessas duas taxas é apenas NOMINAL Se essa taxa mensal im= 0,5% for uma taxa efetiva, .a taxa anual efetiva equivalente é obtida da seguinte forma: Fator de acumulação após 1 ano com taxa i :(1 + i)Fator de acumulação após 1 ano=12 meses com taxa mensal de 0,05% :(1 + 0.005)12

= (1,005)12 Solução i = 0,061678 ou 6,1678% ao ano 6,1678% seria a taxa efetiva anual da aplicação. No caso, a informação do banco não prejudica o cliente pois ele receberá mais do que 6% ao ano.No entanto, se esse for o plano de financiamento de um bem, por exemplo, de um carro, o cliente pagará muito mais que os 6% de juros anuais proclamados pela loja.

Por outro lado, se uma loja tem um plano de financiamento de um carro e essa taxa mensal for apenas nominal, e a taxa anual 6% a.a. for a Taxa Efetiva, a capitalização mensal ocorreria com a taxa efetiva im, calculada da seguinte forma:(1+im)12=1+i= 1.06→(1+im)=(1.06)1/12→ im=(1.06)1/12 -1=1.004868-1=0.004868

TAXA EFETIVA São muitos os fatores que mascaram o valor efetivo das transações financeiras. Um deles, como acabamos de ver, é exprimir a taxa praticada no formato nominal. Nesse caso, o custo efetivo será maior do que o expresso nominalmente. Por exemplo, qual o custo efetivo anual de uma taxa de 36% a.a. com capitalização mensal? Primeiro, dividimos por 12 para calcular quanto ela representa em termos

mensais.36% / 12 = 3% ao mês . Compondo esta taxa por 12 meses, verifica-se que a taxa efetiva anual é : 42,576%

.Exercícios:1) Calcular a taxa efetiva anual da taxa nominal de 60 % ao ano com capitalização mensal.2) ) Calcular a taxa efetiva anual da taxa nominal de 60 % ao ano com capitalização bimestral. Como 1 ano = 6 bimestres então, a taxa efetiva será debimestreao%10 660=.3

3) Calcular a taxa efetiva anual da taxa nominal 60 % ao ano com capitalização trimestral.4) Numa compra efetuada, o cliente teve o saldo devedor financiado em 3 prestações quadrimestrais de R$ 5.000,00. Contudo, para evitar esta concentração de desembolso, o cliente solicitou a transformação do financiamento em 12 prestações mensais. Se a taxa de juros da loja for de 2 % ao mês, qual deverá ser o valor das prestações? Resp.: R$ 1.213,129) 5) Na compra de um equipamento de valor à vista igual a587,57R$, um cliente propos pagar o valor da entrada no decorrer do financiamento e combinou que esse valor seria corrigido a juros compostos de 7 % ao mês. O valor financiado será pago em seis prestações mensais iguais e consecutivas de R$,100,00 com a primeira vencendo em trinta dias, e a taxa de financiamento de 60 % ao ano, capitalizados mensalmente. Qual o valor a ser pago na quarta prestação, se o valor relativo à entrada for pago nesse momento? Resp.: Aproximadamente R$ 212,0010) Tabelas prontas:Nas lojas de departamento não é possível pagar um curso de Matemática Financeira para todos os funcionários. Assim, é comum o gestor criar tabelas de multiplicadores para que os vendedores possam calcular os valores de prestações. :

III-SERIES-DE-PAGAMENTOS-ANUIDADES-OU-RENDAS-CERTAS Classificação das AnuidadesAs anuidades, também chamadas rendas certas, são séries de pagamentos ou recebimentos que objetivam a liquidação de uma dívida ou a constituição de um capital.Existem vários tipos de anuidades.Elas diferem entre si quanto ao início do primeiro pagamento ou recebimento, a periodicidade,a duração e aos valores das séries.

Quanto ao início do primeiro pagamento ou recebimento elas podem ser:1• vencidas=postecipadas – quando os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro período2• imediatas= antecipadas –quando os fluxos começam no início do primeiro período; A série de pagamentos correspondente a uma compra de um bem financiado “sem entrada” é uma série vencida=postecipada Se a compra é “com entrada”, então a série de pagamento é uma série imediata=antecipada.

3• diferidas - há prazo de carência antes do início do fluxo de pagamentos ou recebimentos. Muitos pedidos de financiamento se referem a projetos que precisam de um tempo de funcionamento até começarem a produzir retornos financeiros. Durante esse tempo de maturação, o agente financeiro oferece um prazo de carência, possibilitando que o pagamento do principal só comece após o projeto apresentar os primeiros retornos.

 

Quanto à periodicidade as séries de pagamentos podem ser:• periódicas – quando os intervalos de tempo entre os pagamentos ou os recebimentos são constantes ( mensais, anuais, diárias etc);• aperiódicas – se os fluxos de caixa não obedecem a um intervalo de tempo pré-determinado.

Quanto à duração, as anuidades podem ser:• finitas – quando o prazo total do fluxo de pagamentos ou recebimentos é previamente conhecido;• perpétuas – se o prazo for indeterminado (ou infinito). Tal tipo é utilizado no cálculo de formação de fundos de pensão e na avaliação do preço das ações das empresas.

Quanto aos valores, as anuidades podem ser::• constantes – se os pagamentos ou recebimentos são iguais em todos os períodos; • variáveis – quando os pagamentos ou recebimentos mudam de valor nos diferentes períodos.(quando um imóvel é financiado,normalmente são solicitadas parcelas intermediárias, fazendo com que o fluxo de pagamentos seja variável).

FORMAÇÃO DE CAPITALO cálculo de anuidades também é útil na determinação de montantes futuros. Quanto se deve depositar periodicamente uma prestação em uma aplicação de forma a obter ao final de um certo tempo um determinado valor, ou seja, um capital? 9.CALCULANDO ANUIDADES:

ANUIDADE PADRÃO - (Série Vencida Postecipada=vencida , periódica, finita e constante) (Tabela Price)A)CÁLCULO DO VALOR ATUAL (no tempo t=0) DE UMA SÉRIE DE PRESTAÇOES IGUAISSe uma quantia R será depositada OU PAGA em um tempo t= k, sob uma taxa de juros i referente ao período, o valor no tempo t=0 desta quantia,(seu valor atual ou presente) é, como já visto antes, igual a R(1+i)-k=Rvk , onde v representa a taxa de desconto referente a um período, quando a taxa de juros vigente é

i, isto é :

Desta forma, o valor atual C correspondente a uma série de n pagamentos vencidos de uma quantia R , nos tempos t=1,2,3...n, corresponderá a soma dos valores presentes de R, para cada um destes tempos, sendo portanto o produto do valor R pela soma de uma progressão geométrica de razão v igual ao seu primeiro termo, com n termos,

Esta relação pode ser escrita de várias outras formas, levando e conta a definição de v:

Por exemplo, o termo pode ser desenvolvido como abaixo:

Então, o valor presente da série de n prestações de valor constante R, pagas periodicamente será:

Este fator que permite encontrar o valor atual (no tempo 0 ) de uma série vencida de n pagamentos

iguais a uma certa quantia R , através da sua multiplicação por R é de grande importância na prática comercial e é chamado de fator de atualização, tendo um símbolo que lembra a taxa de desconto (v) e o número n de períodos em que se faz o pagamento R. Este símbolo é vn┐i

e é denominado -fator de valor atual: vn┐i=

Como

pode-se escrever ainda as seguintes expressões alternativas para o fator de

atualização vn┐=

É comum que funcionários de lojas que vendem produtos financiados possuam impressa uma tabela de valores deste fator de atualização, para diversos valores de n, com a taxa de juros i usada pela empresa.

B)CÁLCULO DO MONTANTE ,AO FI NAL DE n PAGAMENTOS IGUAIS DE UMA QUANTIA R, vencidos.

Se o interesse for o de saber que quantia M estará disponível em uma aplicação financeira de n prestações ou aplicações de uma quantia fixa R , sob uma taxa de juros i por período, o raciocínio é o seguinte:A primeira parcela R será aplicada no tempo 1, a juros compostos i por período, de modo que no n-ésimo período terá o valor de R(1+i)n-1

A segunda parcela R será aplicada no tempo 2, a juros compostos i por período, de modo que no n-ésimo período terá o valor de R(1+i)n-2 e assim sucessivamente, de modo que a última parcela , no tempo n, não terá acréscimo de juros e valerá R(1+i)n-n=RO montante adquirido será, pois, M=R((1+i)n-1+(1+i)n-2+(1+i)n-3+....(1+i)n-n)=R(an-1+ an-2+.....+ 1), onde a=(1+i) é o fator de acumulação de um período.

Logo:

O fator an┐i= onde a=1+i, é o fator de acumulação de capital de uma série de n parcelas imediatas de mesmo valor nominal R.

A fórmula de anuidade padrão envolve 3 variáveis (por ex , R,i,v) que permitem conhecer uma quarta (por ex C): (ou em outra notação (PMT,i,v,) conhecidos determinam o valor de PV)Exercícios QUERO O VALOR PRESENTE: Qual o preço à vista de uma geladeira que foi vendida em 2 prestações iguais de R$350, sem entrada, sabendo que a loja cobra jurosde 2% am? R679,55.QUERO A PRESTAÇÃO: Qual prestação cobrar por uma geladeira que custa R$679,55 à vista, e que será vendida em 2 vezes com juros de 2% ?

QUERO O PRAZO: Em quantas prestações mensais deve ser financiada uma geladeira que custa R$679,55, se for para pagar R$350,00 com uma taxa de 2%am? QUERO A TAXA: Qual a taxa cobrada em um financiamento de uma geladeira que custa R$679,55, se for paga em 2 vezes de R$350,00?

Tabelas prontas:Nas lojas de departamento não é possível pagar um curso de Matemática Financeira para todos os funcionários. Assim, é comum o gestor criar tabelas de multiplicadores para que os vendedores possam calcular os valores de prestações. A metodologia é a seguinte:Se a empresa que está criando a tabela usa uma taxa de financiamento de i=2%am, a tabela deverá conter os multiplicadores para todas as propostas de financiamento que ela aceita (2vezes, 3 vezes , n vezes).Os multiplicadores,ou fatores de atualização para séries uniformes e vencidas são definidos por

vn┐= = =

Para 1 mês , conhecendo-se i=0.02, o fator de atualização é =

Uma parcela de $50,00 paga 1 mês após o contrato, tem o valor presente0.98*50,00=49,02

Se alguém desejar saber quanto deve ser a prestação mensal PMTde uma dívida PV a ser paga em 3 prestações mensais, a uma taxa efetiva de juros de 2%, ele deve usar a expressão abaixo, deduzindo dela a expressão de PMT:

Se i=2%,

Exercício:Qual é o valor atual de uma anuidade periódica de R$ 1.000,00, nas hipóteses abaixo: a) 1 % a.m. 24 meses b) 5 % a.b. 12 bimestres c) 8 % a.t.. 10 trimestres d) 10 % a.s. 20 semestres) 30 % a.a. 30 anos Resposta s R: R$ 21.243,39; R$ 8.863; R$ 6.710,08; R$ 8.513,56e R$ 3.332,06

Tabela1: Cálculo do fator de atualização : vn┐i= para a taxa de juros i=0.02

I nvn=

 1-vn

  vn┐i=

0.021 0.9803920.019608 0.9803922 0.9611690.038831 1.9415613 0.9423220.057678 2.8838834 0.9238450.076155 3.8077295 0.9057310.094269 4.713466 0.8879710.112029 5.6014317 0.87056 0.12944 6.471991

  8 0.85349 0.14651 7.325481

Tabela 2: Cálculo do fator de acumulação an┐i= para a taxa de juros i=0.02

I n an=(1+i)n an┐i =0.02 1 1.02 1

2 1.0404 2.023 1.061208 3.06044 1.082432 4.1216085 1.104081 5.204046 1.126162 6.3081217 1.148686 7.434283

  8 1.171659 8.582969

– SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO

I_ Tabela Price =Sistema Francês (prestações iguais)Um carro no valor de R$20.000,00 deve ser pago em 10 anos, com 1 prestação anual fixa,(Tabela Price) , sob a taxa anual de juros compostos igual a 5%.Qual o valor de cada prestação?

PLANO DE AMORTIZAÇÃO DA DÍVIDA PELA TABELA PRICE

Ano Dívida inicialJuros devidos Total devido Prestação

SALDO De DÍVIDA Amortização

0        20000.0000 1 20000.0000 1000.0000 21000.0000 2590.0910 18409.9090 1590.09102 18409.9090 920.4955 19330.4045 2590.0910 16740.3135 1669.59563 16740.3135 837.0157 17577.3291 2590.0910 14987.2381 1753.07534 14987.2381 749.3619 15736.6000 2590.0910 13146.5090 1840.72915 13146.5090 657.3255 13803.8345 2590.0910 11213.7435 1932.76556 11213.7435 560.6872 11774.4307 2590.0910 9184.3397 2029.40387 9184.3397 459.2170 9643.5566 2590.0910 7053.4656 2130.87408 7053.4656 352.6733 7406.1389 2590.0910 4816.0479 2237.41779 4816.0479 240.8024 5056.8503 2590.0910 2466.7593 2349.2886

10 2466.7593 123.3380 2590.0973 2590.0910 0.0063 2466.7530  0.0063        19999.9937