1 Instrumentos de Rendimento Fixo

Uma taxa de juro é um preço para o mais popular de todos os bens transa-cionados nas modernas economias: dinheiro. A taxa de juro de um ano, pporexemplo, representa apenas o valor que deve ser pago por tomar dinheiro em-prestado por um ano. Mercados para dinheiro são bastante desenvolvidos eo correspondente preço de mercado básico - juro - é controlado por qualqueragente que tenha um interesse sério em actividades financeiras.

Omercado associado na taxas de juro é muito amplo e complexo, abrangendomais do que contas em bancos. Um vasto leque de títulos e notas do Tesouro,obrigações, anuidades, contratos futuros e hipotecas fazem parte de merca-dos para dinheiro bem desenvolvidos. Estes instrumentos não têm um valorintrínseco como os bens reais, sendo transacionados apenas como papéis ouentradas numa base de dados informática. De uma maneira geral, s| ao referi-dos como instrumentos financeiros. O valor de um instrumento financeiro éderivado da promessa de pagamento futuro que ele incorpora.

Instrumentos de rendimento fixo são instrumentos financeiros que sãotransaccionados em mercados bem desenvolvidos e prometem uma renda fixa(isto é, bem definida) aos seus detentores, ao final de um determinado peri-odo de tempo. Estes instrumentos podem ser vistos como a propriedade deum fluxo de caixa futuro bem definido.

Instrumentos de rendimento fixo são importantes para os investidores,pois determinam o equilíbrio do mercado para dinheiro, e a maior partedos investidores participa desse mercado. Estes instrumentos são tambémimportantes como fonte de comparação na análise de oportunidades de in-vestimento que não são transaccionadas no mercado, tais como projectos deinvestigação de empresas ou direitos de royalties.

1.1 O Mercado por Dinheiro Futuro

A classificação de um instrumento como de rendimento fixo é, na verdade,um pouco vaga. Como descrito acima, esta nomenclatura significava orig-inalmente que o instrumento paga no futuro um fluxo de caixa fixo e bemdefinido ao seu detentor. A única incerteza incorporada nesse contrato seriaem relação à capacidade do emitente cumprir as obrigações associadas a esses

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pagamentos. Em caso de incumprimento, o fluxo de caixa prometido seriainterrompido. No entanto, muitos destes instrumentos hoje prometem paga-mentos futuros em função de várias contigências ou de índices que flutuam.Por exemplo, os níveis de pagamento de uma hipoteca de taxa ajustávelpode estar ligada a um índice de taxa de juro, ou os pagamentos associadosá obrigação emitida por uma empresa podem estar em parte associados aovalor das suas acções. Mas, em geral, essas variantes são geralmente incluídasnuma definição mais lata de instrumentos de rendimento fixo. A ideia é queum instrumento de rendimento fixo tem um fluxo de caixa que é fixo exceptopor variações devidas a contingências bem definidas.

1.1.1 Depósitos de Poupança

Provavelmente são os instrumentos de rendimento fixo mais popular. Corre-spondem a depósitos bancários que rendem uma taxa de juro pré-definida.São tipicamente oferecidos por bancos comerciais ou instituições de poupança.Os depósitos mais simples pagam uma taxa que depende das condições demercado. Certas contas sobre horizontes temporais mais dilatados podem in-corporar propriedades mais específicas. Por exemplo, o montante depositadoacrescido de juro pode ter que ficar depositado numa conta por um certoperiodo de tempo (por exemplo, seis meses), caso contrário pode haver umapenalidade por levantamento antecipado. Um instrumento similar é o Certi-ficado de Depósito (CD), emitido em denominações padrão (por exemplo de10.000 euros). CD’s de grande denominação podem ser transaccionados nomercado.

1.1.2 Instrumentos do Mercado Monetário

Esta categoria refere-se a empréstimos de curto prazo (um ano ou menos),feitos por empresas ou intermediários financeiros. É um mercado desenhadopara grandes volumes, mas sem maior relevância para investidores de longoprazo, dada a sua natureza. Neste mercado, classifica-se como papéis comer-ciais empréstimos não garantidos (sem colateral) a empresas. CD’s de grandedenominação discutidos acima também são classificados como papéis comer-ciais.

Uma aceitação bancária já é um instrumento mais sofisticado. Uma em-presa pode não ter (ou não querer) pagar imediatamente o seu fornecedor, e

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preferir escrever uma carta de promessa de pagamento dentro de um certo pe-riodo de tempo, digamos três meses. Um banco pode aceitar essa promessada empresa, comprometendo-se com um documento a pagar ao fonecedor.Esse documento, a aceitação bancária, pode ser revendida no mercado se-cundário até à maturidade desse contrato.

Finalmente, depósitos em eurodólares são depósitos denominados emdólares mas em bancos fors dos Estados Unidos. Do mesmo modo, CD’sem Eurodólares são CD’s denominados em dólares, mas emitidos por institu-ições fors dos Estados Unidos. A razão da existência destes intrumentos estáassociada às diferentes regulamentações dentro e fora dos Estados Unidos.

1.1.3 Títulos do Tesouro

Os governos obtem recursos ao emitir diferentes tipos de títulos. De país parapaís estes títulos podem ser ligeiramente diferentes, devido a diferenças nosmercados e nas próprias regulamentações. Aqui citamos os tipos de títulosmais relevantes, usando como exemplo o mercado dos Estados Unidos.

Bilhetes do Tesouro são emitidos em denominações de $10.000 ou mais,com maturidades de 13, 26 e 52 semanas. Novos bilhetes são vendidos todasas semanas em leilões públicos. São extremamente líquidos e têm um mer-cado secundário muito activo.

Notas do Tesouro são emitidos em denominações de $1.000, com maturi-dades entre 1 e 10 anos. Para além do valor devido no final do contrato,o detentor de tais instrumentos recebe um pagamento de cupão adicional acada seis meses até à maturidade (inclusive).

Obrigações do Tesouro são emitidos com maturidades acima de 10 anos.São similares às notas do Tesouro, no sentido em que podem pagar cupões.No entanto, algumas destas obrigações podem ser chamadas, significando istoque em certas datas, o emitente (o Governo) tem o direito de recomprar asua dívida, de acordo com a sua conveniência.

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1.1.4 Outras Obrigações

Existem outros tipos de obrigações no mercado. Alguns exemplos são osseguintes:

Obrigações emitidas por governos locais. Isto acontece em municípios nosEUA, por exemplo, sendo o recebimento de juros associado a estes instru-mentos isento de imposto federal e estadual.

Obrigações emitidas por empresas para efeito de financiamento dos seusprojectos. Variam de acordo com a qualidade das empresas e, consequente-mente, do seu risco de incumprimento dos pagamentos pressupostos. Algunsdestes instrumentos são transacionados normalmente nas bolsas, outros sãotransacionados apenas em balcões. Estes últimos são tipicamente menoslíquidos.

Uma obrigação inclui certas especificações contratuais. Alguns aspectosque podem ser incluídos são:

1. Callable: Obrigações que dão ao seu emitente o direito de as recomprarpor um valor pré-estabelecidio em certas datas.

2. Fundos: No lugar de incorrer no dever de pagar todo o valor em dívidana maturidade com grande esforço financeiro nesse momento, o emi-tente pode estabelecer um fundo no qual vai depositando gradualmentequantias que somarão no final o equivalente devido. Sob tal arranjo,o emitente pode recomprar a cada ano certa fracção das obrigações, aum valor pré -determinado.

3. Subordinação da dívida: Para proteger os detentores das obrigações,podem ser estabelecidos limites à capacidade de endividamento do emi-tente. També se pode garantir aos detentores das obrigações que, emcaso de falência do emitente, o seu pagamento terá prioridade sobreoutras dívidas pendentes, classificando-se essas outras dívidas comosubordinadas.

1.1.5 Hipotecas

Uma hipoteca parece ser exactamente o oposto de uma obrigação. A hipotecade uma casa gera, na verdade, a obrigação do pagamento de um fluxo mensal

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ao banco. Uma hipoteca usual é estruturada de modo a que os pagamentossejam todos idênticos, o que contrasta com o contrato de uma obrigação, queinclui o pagamento do valor facial (ou principal) na maturidade. Além disso,a maior parte das hipotecas admite o pagamento antecipado do remanescente.Logo, do ponto de vista do banco, o fluxo gerado não é completamente fixo.

Há variantes nas formas contratuais das hipotecas. Exemplos são paga-mentos modestos durante um largo periodo de tempo, seguidos de um grandepagamento final que termina o contrato (mais parecido com uma obrigação);também há hipotecas com taxas ajustáveis, em que a taxa de desconto éperiodicamente ajustada de acordo com algum índice de taxa de juro.

Hipotecas não são vistas estrictamente como instrumentos financeiros. Noentanto, estes contratos fazem parte de grandes pacotes transacionados pelasinstituições financeiras. Estes instrumentos costumam ser bastante líquidos.

1.1.6 Anuidades

Uma anuidade é um contrato que paga ao seu detentor uma determinadaquantia periodicamente, de acordo com um esquema pré-determinado, du-rante um certo periodo de tempo. Um exemplo típico é o pagamento depensões.

Há inúmeras variações sobre a forma como as anuidades são pagas. Porexemplo, o valor da anuidade pode ser ligado ao rendimento de uma carteirade fundos; alternativamente, pode ser estabelecido que esse valor vai variandocom o tempo.

Anuidades não são, de facto, instrumentos financeiros, pois não são transa-cionadas (nem faz sentido que sejam). No entanto, são consideradas comooportunidades de investimento disponíveis a taxas padronizadas. Logo, doponto de vista do investidor, funciona como qualquer outro investimento derendimento fixo.

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1.2 Fórmulas de Valorização

1.2.1 Anuidade Perpétua

Uma anuidade perpétua implica o recebimento do mesmo valor A anual-mente, começando de hoje a um ano, num fluxo interminável. Descontado auma taxa r anual, o valor actual desse fluxo é:

P =∞Xk=1

A

(1 + r)k=

A

1 + r+

∞Xk=2

A

(1 + r)k=

A

1 + r+

P

1 + r.

Resolvendo-se esta expressão para P vem

P =A

r.

Por exemplo, a uma taxa de 10% ao ano, o valor actual de uma anuidadeque pague 1.000 euros por ano será

P =1.000

0, 1= 10.000.

1.2.2 Fluxos de Vida Finita

Mais útil do que o valor de uma perpetuidade será o valor de um fluxo anualdo valorA, começando de hoje a um ano, mas que dure n periodos. Chama-sea este fluxo uma anuidade. Este fluxo pode ser visto como uma perpetuidadea quem retiraram os fluxos a partir do periodo n+1. Logo o seu valor será ovalor de uma perpetuidade usual menos o valor actual de uma perpetuidadeque começaria a ser pago em n+1. O valor desta última anuidade em tempon seria A/r, de modo que o seu valor actual é expresso como

1

(1 + r)nA

r.

Logo, o valor da anuidade é dado por

P =A

r− 1

(1 + r)nA

r=A

r

"1− 1

(1 + r)n

#.

Suponha que tomou 1.000 euros emprestados de uma União de Crédito.Os termos do empréstimo são de qu a taxa de juro anual de 12% seja com-posta mensalmente. Devem ser feitos pagamentos mensais de igual magni-tude para pagar (amortizar) este empréstimo ao longo dos próximos 5 anos.

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De quanto devem ser os pagamentos mensais?

Cinco anos corresponde a 60 meses, e 12% ao ano composto mensalmentecorresponde a uma taxa mensal de 1% por mês. Logo, usamos a fórmulapara anuidade com n = 60, r = 1%, P = 1.000 e encontramos A = 22, 20euros por mês.

1.2.3 Equivalente Anual

O conceito de it equivalente anual pode ser muito útil na análise do valoractual líquido de um projecto. O equivalente anual de um projecto corre-sponde ao valor A de uma anuidade que tenha uma duração idêntica à doprojecto e que tenha o mesmo valor que o VAL desse projecto. Nesse sentido,o equivalente anual de um dado projecto corresponde ao valor médio do seufluxo de caixa.

Espera-se que a compra de uma nova máquina por 100.000 euros (emtempo zero) gere receitas adicionais de 25.000 euros por ano nos próximosdez anos. Como saber se este investimento é adequado a uma taxa de custode capital de 16% ao ano?

Para responder, apenas necessitamos de determinar como amortizar ocusto inicial uniformemente em 10 anos. Isto é, precisamos de encontrar ovalor de pagamentos anuais que, descontados à taxa de 16%, correspondama um valor actual igual ao custo da máquina. Da fórmula da anuidade,isto corresponde a 20.690 euros por ano. Isto quer dizer que o equivalenteanual do projecto é de 25.000-20.690=4.310 euros, que é positivo. Logo, oinvestimento é viável. Note que se a compra da máquina for financiada a16% por dez anos, o fluxo de caixa em cada ano corresponde exactamente aoequivalente anual.

1.3 Detalhes de Obrigações

Uma obrigação é um instrumento financeiro, em troca do qual o emissorrecebe um determinado valor e o detentor do título recebe a promessa depagamentos futuros pré-definidos até à data T de término desse contrato,denominadamaturidade da obrigação. Uma obrigação pode ser emitido tantopelo Governo como por uma empresa para efeito de seu financiamento.

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1.3.1 Valor Facial

O valor facial de uma obrigação, ou o seu valor principal F , corresponde aomontante que deve ser pago ao detentor desse instrumento na maturidade docontrato.

Em qualquer instante da vida desse contrato diz-se que a obrigação estáa desconto se o seu valor de transação for inferior ao valor facial, ou que estáa prémio caso o seu valor de transação seja superior ao valor facial. Quandoo valor de transação coincidir com o valor facial, diz-se que a obrigação estáa par.

1.3.2 Taxa de Cupão

Para além do valor facial, é comum haver pagamentos intercalares. Estespagamentos são chamados de cupões e o seu montante C é expresso de formaproporcional ao valor facial, C = αF . Por exemplo, numa obrigação comF = 1.000, um cupão de 9% corresponde ao pagamento de 90 por ano. Aessa porcentagem α dá-se o nome de taxa de cupão.

No entanto os cupões podem ser pagos a uma frequência maior do que aanual. No exemplo dado acima, se tivesse sido explicitado que o pagamentode cupões era semestral, convenciona-se que a taxa de cupão de 9% se refeririaao total anual, logo correspondendo a 45 por semestre.O valor de uma obrigação com cupão anual é então dado por

PT =F

(1 + r)T+

TXk=1

C

(1 + r)k.

O primeiro termo refere-se ao valor actual do valor facial a ser pago namaturidade, enquanto que a soma se refere à anuidade correspondente aopagamento dos cupões. Usando explicitamente a expressão da anuidade efazendo C = αF ,

PT =F

(1 + r)T+

F

(1 + r)T

h(1 + r)T − 1

i αr.

Note que o valor da obrigação é uma função linear do rácio α/r. Emparticular, quando a taxa de cupão iguala a taxa de desconto (α = r), aobrigação está a par; se a taxa de cupão estiver acima da taxa de desconto

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(α > r), a obrigação está a prémio; e, finalmente, se a taxa de cupão estiverabaixo da taxa de desconto (α < r), a obrigação está a desconto.

Uma obrigação tem valor facial de 1.000 euros, maturidade de 5 anos euma taxa de cupão de 10%, pago semestralmente. Se a taxa de desconto forde 5% ao semestre, quanto vale essa obrigação?

Se os cupões são pagos semestralmente, deve-se considerar como unidadede tempo na expressão da anuidade o semestre. Consequentemente, deve-secomparar metade da taxa de cupão com a taxa de desconto semestral. Nestecaso são iguais. Logo, a obrigação está a par e o seu valor é de 1.000 euros.

1.3.3 Juro Acrescido

O valor de uma obrigação descrito acima é calculado no pressuposto de queum cupão acabou de ser pago e estamos a um número inteiro de periodos depagamento do próximo cupão. Ou seja, assume-se que estamos em tempozero, e que o próximo cupão será pago em tempo um. Se estivermos umpouco depois de tempo zero, o valor da obrigação é um pouco maior do queem tempo zero, pois falta menos tempo para receber os cupões e o valor facial- e logo, o seu valor actual será maior!

Para qualquer 0 ≤ t < 1 o valor da obrigação será então dado por

PT (t) = (1 + r)t × PT ⇒ PT = PT (0).

Por outras palavras, para qualquer 0 ≤ t < 1,

PT (t) =F

(1 + r)T−t+

F

(1 + r)T−th(1 + r)T − 1

i αr.

Em t = 1, claramente há o pagamento de cupão C = αF e temos

PT (1) = limt→1P (t)− αF

=F

(1 + r)T−1+

F

(1 + r)T−1h(1 + r)T − 1

i αr− αF

=F

(1 + r)T−1+

F

(1 + r)T−1h(1 + r)T − 1

i αr= PT−1(0).

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Por outras palavras, quando um novo cupão é pago, recupera-se a ex-pressão original para o valor da obrigação, porém com um periodo a menospara a maturidade.

Durante um periodo entre dois cupões o valor da obrigação vai portantode PT (0) até ao valor máximo de PT (0)(1+ r). O valor exacto para qualquerinstante intermédio t é dado pela expressão acima para PT (t). No entanto, écomum ser usada uma interpolação linear entre estes dois valores, levando aoconceito de juros acrescidos. Neste caso, acrescenta-se a PT (0) não a variaçãototal mas uma fracção t dessa variação:

[PT (0)(1 + r)− PT (0)]× t = PT (0)× r × tA este montante dá-se o nome de juro acrescido. O valor PT (t) = PT (0)(1+r)t

é então aproximado por

PT (t) ≈ PT (0) + PT (0)rt = PT (0)[1 + rt].Considere como exemplo a obrigação da secção anterior. Imagine que os

cupões são pagos a cada 15 de Fevereiro e 15 de Agosto, e que estamos aavaliar o instrumento a 8 de Maio. Neste caso, passaram-se 83 dias sobre opagamento do último cupão, e faltam 99 dias para o próximo. Logo,

t =83

83 + 99= 0, 456.

Neste caso, a aproximação dá para a data 8 de Maio (08/05):

PT (08/05) ≈ 1.000× (1 + 0.0228) = 1.022, 8O valor correcto seria

PT (08/05) = 1.000× (1 + 0.05)0,456 = 1.022, 5.Como se vê, o erro cometido é pequeno.

1.3.4 Ratings

Embora estes instrumentos estejam associados a um fluxo de caixa pré-determinado, há que considerar a possibilidade de incumprimento. Clara-mente governos cumprem commuito maior probabilidade os seus pagamentos

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devidos do que empresas. Principalmente porque, em princípio, os governospodem emitir moeda.

Mas entre as próprias empresas umas têm maior probabilidade de in-cumprimento do que outras. O mercado faz uma classificação dessa suapercepção de diferentes riscos associados a diferentes empresas. As duasprincipais empresas que se ocupam nos Estados Unidos dessa tarefa são aMoody’s e a Standard & Poor’s.

As classificações reflectem a verossimilhança percebida de que os paga-mentos associados aos instrumentos aconteçam conforme previsto. Obri-gações com baixas classificações são usualmente vendidas por valores inferi-ores aos de obrigações comparáveis mas melhor classificadas.

1.4 Yields

As fórmulas acima permitem calcular o valor de obrigações, dados os ingre-dientes usuais: por um lado os elementos contratuais do instrumento C,αe T e, por outro lado, o parâmetro relevante do mercado, a taxa de juro r.No entanto, os valores das obrigações podem ser directamente observados nomercado, levantando a seguinte questão: Para esse dado contrato, cujo preçoobservamos, qual deveria ser a taxa de desconto do mercado constante aolongo da vida do contrato que, substituída na expressão do valor da obri-gação, daria o valor observado?

O valor da taxa que responde a esta pergunta é a yield to maturity (YTM).Se denotarmos a yield por y, em tempo zero, o valor de uma obrigação (cupãoanual) é

PT =F

(1 + y)T+

TXk=1

C

(1 + y)k.

Se o pagamento de cupões soma C num ano mas há m pagamentos decupões por ano, igualmente espaçados, convenciona-se chamar YTM desteinstrumento à solução y de

PT =F

(1 + y/m)mT+

mTXk=1

C/m

(1 + y/m)k. (1)

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Embora esta expressão seja relativamente complexa e a solução para ydeva ser obtida, em geral, por iteração numérica, pode-se ter uma compreen-são qualitativa da relação entre preço, yield, cupão e maturidade.

Como regra geral, as yields de diferentes instrumentos seguem-se umasàs outras bastante de perto. No fim de contas, a maior parte das pessoasnão compraria uma obrigação com yield de 5% se um CD bancário estivera oferecer 11%. Os mecanismos de equilibrio das taxas de juro moldam osvalores das diferentes obrigações, compatibilizando as suas yields. Note quepara uma mudança das taxas de juro, os valores de diferentes obrigações mu-dam de modo distinto, devido às diferentes estruturas das obrigações (cupõese maturidade).

Para estudarmos a relação entre as diferentes variveis, introduz-se a funçãoPT (y), a curva preço-yield. Esta curva tem algumas propriedades evidentes:

1. é positiva;

2. para α e T fixos é decrescente e convexa em y;

3. para T e y fixos, PT (y) cresce com α;

4. para α e y fixos, PT (0) cresce com T , e as diferentes PT (y) cruzam-seem y = α.

A pimeira propriedade segue por construção. A segunda, por anaáliseimediata da expressão. A terceira idem, notando que

PT (0) = F + CT.

A quarta segue deste último facto e também de que PT (α) = F para qualquerT . Abaixo, segue Tabela ilustrativa destas propriedades.

1.5 Cotações

As cotações das obrigações indicam tipicamente uma taxa, mês e ano da ma-turidade, preço de compra e de venda, e a yield correspondente.

A taxa é tipicamente a taxa de cupão anual, e os preçcos são expressoscomo percentagem do valor facial. Os preçcos de compra e de venda são

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Table 1:Preços de obrigações com α = 9%.

YieldTempo para Maturidade 5% 8% 9% 10% 15%

1 year 103,85 100,94 100,00 99,07 94,615 years 117,50 104,06 100,00 96,14 79,4110 years 131,18 106,80 100,00 93,77 69,4220 years 150,21 109,90 100,00 91,42 62,2230 years 161,82 111,31 100,00 90,54 60,52

estabelecidos em equilíbrio pelos intermediários. Finalmente, a yield indicadarefere-se geralmente ao preço de compra.

1.6 Duração

Uma obrigação promete pagar um certo montante ao seu detentor. Na ausên-cia de cupão, a data de pagamento conicide com a maturidade T do contrato.Na presença de cupões, no entanto, os pagamentos vão sendo feitos ao longoda vida do contrato, em vários instantes t1, t2, ..., tn = T , embora o valorprincipal seja pago em T . A média desses instantes será sempre inferior a T .

A duração de uma obrigação corresponde a uma forma específica de calcu-lar essa média. Trata-se damédia ponderada dos vários instantes t1, t2, ..., tn =T , sendo o peso associado a cada instante o valor actual do montante recebidodividido pelo valor do instrumento:

D =V A(t1) + V A(t2) + ...V A(tn)tn

V A

com V A(t1) + V A(t2) + ...V A(tn)tn = V A. Segue que t1 ≤ D ≤ tn. Clara-mente, uma obrigação de cupão zero tem D = tn.

Este valor é facilmente operacionalizável. Considere uma obrigação comvalor facial F = 100, taxa de cupão de 7% e 3 anos para a maturidade.Assuma que a obrigação paga cupão semestralmente e está a ser descontada

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a uma yield de 8%. O valor da obrigação é dado pela expressão (1) comC = 7,m = 2, T = 3:

PT =5Xk=1

3, 5

(1, 04)k+103, 5

(1, 04)6

= 3, 365 + 3, 236 + 3, 111 + 2, 992 + 2, 877 + 81, 798

= 97, 379

o que reflecte a soma dos valores actuais do pagamento em cada um dos seisinstantes. Os pesos associados a cada instante são esses valores divididospela soma PT : 0,035; 0,033; 0,032; 0,031; 0,030; 0,840. A soma destes pesosiguala 1 (por construção) e a duração escreve-se

D = 0, 035× 3, 365 + 0, 033× 3, 236 + 0, 032× 3, 111 + 0, 031× 2, 992+0, 030× 2, 877 + 0, 84× 81, 798 = 2, 753.

Em geral, a duração é dada por

D =1

PT

"mXk=1

T (k/m)C/m

(1 + y/m)k+ T

F

(1 + y/m)mT

#,

onde o valor da obrigação, PT , é dado pela expressão (1). Este conceito é con-hecido como duração de Macaulay. Usando-se alguma álgebra, a expressãopara D pode ser reduzida a

D =1 + y/m

y− 1 + y/m−mT (α− y/m)mα[(1 + y/m)mT − 1] + y .

Por exemplo, considere uma obrigação com valor facial F = 100, taxa decupão de 10% e 30 anos para a maturidade. Assuma que a obrigação pagacupão semestralmente e está a par. Neste caso α = y/m e a expressão acimareduz-se a

D =1 + y/m

y

"1− 1

(1 + y/m)mT

#.

Com m = 2, T = 30 e y = 0, 10, segue que

14

D =1, 05

0, 10

"1− 1

(1, 05)60

#= 9, 938.

Mas porque calcular duração? A utilidade maior do conceito de duraçãovem do facto de que se relaciona directamente com a sensibilidade do valordas obrigações a pequenas variações da yield. Da expressão (1):

dPTdy

= −"T

F

(1 + y/m)mT+1+

mTXk=1

(k/m)C/m

(1 + y/m)k+1

#

= − 1

1 + y/m

"T

F

(1 + y/m)mT+1+

mTXk=1

(k/m)C/m

(1 + y/m)k+1

#

= − DPT1 + y/m

Introduzindo o conceito de duração modificada como

DM =D

1 + y/m,

a derivada acima em relação à yield escreve-se

dPTdy

= −DMPT .

Note que, para grandes valores de m ou pequenos valores para y, DM ≈ D.A expressão acima pode ser reescrita como

1

PT

dPTdy

= −DM ,

possibilitando a interpretação da duração (modificada) como uma medidada mudança relativa de preço por unidade de mudança de yield. Por outraspalavras, se a yield muda de ∆y, o valor da obrigação vai mudar (aproxi-madamente) de

∆PT ≈ −DMPT∆y. (2)

No último exemplo analisamos uma obrigação com T = 30. Uma subidade ∆y = 1% na taxa de desconto fará o valor dessa obrigação baixar do valor

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original de 100. De quanto? A duração modificada é DM = 9, 938/1, 05 =9, 47. Logo,

∆PT ≈ −947× 100×∆y = −9, 47e o valor final da obrigação será aproximadamente de 100− 9, 47 = 90, 53.

A duração de um instrumento é fácil de calcular. Do mesmo modo,quando se considera uma carteira de instrumentos de rendimento fixo, pode-se calcular a duração dessa carteira. Supondo que ho.is instrumentos, A e B,com durações respectivamente

DA =1

PAT

nXk=1

tkV AA(tk)

e

DB =1

PBT

nXk=1

tkV AB(tk)

segue que

PAT DA + PBT D

B =nXk=1

tk[V AA(tk) + V A

B(tk)],

de onde

D =PAT D

A

P+PBT D

B

P

onde P = PAT +PBT . Em geral, a duração de uma carteira é a média ponderada

das durações dos seus componentes.

1.7 Imunização

Temos neste momento os instumentos necessários para estruturar uma carteirade instrumentos que seja robusta a pequenas variações da taxa de juro. Aeste processo chama-se imunização.

Para entender este processo, considere a seguinte situação: nos próximosanos compremeteu-se a fazer uma série de pagamentos periódicos (este é umproblema típico de companhias de seguros ou de fundos de pensões). A ideiaé investir numa carteira com o valor actual desses compromissos futuros. Amaneira mais fácil seria de investir em obrigações de cupão zero com maturi-dades correspondentes ao instantes em que pagamentos são devidos. Esta

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carteira deve ter exactamente o valor pretendido e permite os pagamentosdesejados. Na realidade dos mercados, no entanto, é complicado encontrarexactamente os instrumentos com essas características. A ideia mais geral éa de ter uma carteira que possa ser vendida quando for necessário fazer umpagamento, reinvestindo o restante, tendo em vista os próximos pagamen-tos. Se a taxa de desconto não variar no tempo, esses procedimento devefuncionar para mercados suficientemente líquidos, e o valor da carteira quesobra coincidirá com o valor dos pagamentos por fazer.

O problema é que as taxas de desconto mudam, reajustando os valoresdos componentes da carteira de maneira distinta, fazendo com que a carteirapossa não mais permitir os pagamentos devidos. O processo de imunizaçãoresolve este problema ao ajustar, não apenas o valor actual da carteira, mastambém a sua duração. De facto, se a duração da carteira coincidir com a dofluxo de pagamentos devidos, a sensibilidade do valor de ambos a variaçõesda taxa de juro será idêntica.

Considere o caso de uma empresa que deve pagar 1 milhão de eurosem 10 anos. Essa empresa deseja investir agora de modo a garantir essemontante nessa data. Há três obrigações no mercado. A primeira tem α1 =0, 06, T = 30, P1 = 69, 04,D1 = 11.44; a segunda tem α1 = 0, 11, T =10, P1 = 113, 01, D2 = 6, 54; finalmente, a terceira tem α1 = 0, 09, T =20, P1 = 100, 00,D3 = 9, 61. Todas são descontadas a uma yield de 9%. Ovalor actual do montante a ser pago em 10 anos é de VA=414.643. Vamosconsiderar uma carteira com obrigações do primeiro e segundo tipo. SejamV1 e V2 os valores investidos nessas obrigações. Então, devemos ter:

V1 + V2 = V A

D1V1 +D2V2 = 10,

o que leva a V1 = 292.788, 73 e V2 = 121.854, 27. Aos preços vigentes,isto significa que devem ser compradas 4.241 obrigações do primeiro tipo e1.078 obrigações do segundo tipo, dando um valor total de 414.623,42 paraa carteira, próximo do valor actual do pagamento em 10 anos, 414.642,86.É simples verificar que se a yield cair para 8%, o valor dos pagamentosfuturos sobe para 456.386,95, enquanto que o valor da carteira vai para457.949,00. Caso a yield suba para 10%, o valor dos pagamentos futuroscai para 376.889,48 enquanto que o valor da carteira vai para 378.051.68.

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Logo, qualquer que seja o sinal da variação da yield, a carteira estarásegura numa primeira etapa. Note no entanto que, após uma mudança deyield, uma carteira que estivesse imunizada deixa de o estar: de facto, emb-ora o valor da carteira possa estar ajustado, a sua duração não mais estaráajustada. Assim, após cada mudança, a carteira deveria ser rebalanceadapara se manter imunizada.

1.8 Convexidade

O conceito de duração permite não apenas ter acesso a uma medida de riscocomo também permite controlá-lo. No entanto, esse conceito está associadoa uma aproximação linear da curva preço-yield. O facto desta curva ser con-vexa faz com que as carteiras imunizadas subestimem o valor dos pagamentosfuturos sob uma variação da yield. Por outras palavras, sob variação da yield,o valor da carteira imunizada será sempre maior do que o valor actual dospagamentos futuros.

Para corrigir essa distorção, pode-se introduzir um termo de segundaordem na expressão (2), levando em conta a convexidade da curva:

∆PT ≈ −DMPT∆y + C2PT (∆y)

2,

onde

C =1

P

d2PTdy2

=1

PT (1 + y/m)2

mXk=1

Tk(k + 1)

m2

C/m

(1 + y/m)k.

Para se levar em conta a convexidade numa estratégia de imunização,deve-se estruturar a carteira imunizada de tal forma que o seu valor, duraçãoe convexidade coincidam com os valores dos pagamentos futuros. Em geral,para se conseguir isto são necessárias pelo menos três obrigações.

1.9 Exercícios

1. Uma dívida de 25.000 euros deve ser amortizada em 7 anos a uma taxade 7%. Qual deve ser o valor da mensalidade correspondente?

2. O avô do Pedro Miguel, o Sr. Gantois, acabou da completar 90 anose contratou uma anuidade que lhe paga 10.000 euros por ano até ele

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morrer, iniciando os pagamentos daqui a um ano.Ele pediu que o netoanalisasse a anuidade. Das estatísticas das companhias de seguro, oPedro Miguel descobriu que a probabilidade do avô morrer no próx-imo ano é de 0,07; no ano subsequente, 0,08; no outro, 0,09; e nossubsequentes 0,10; 0,10; 0,10; 0,10; 0,10; 0,10; 0,07; 0,05 e 0,04.

(a) Qual a expectativa de vida do Sr. Gantois?

(b) Qual o valor actual de uma anuidade descontada a 8% e com umavida igual ã expectativa de vida do Sr. Gantois?

(c) Qual o valor actual esperado dessa anuidade?

3. A empresa Z emite uma obrigação a 20 anos com taxa de cupão de10%, quando as yields são de 10%. A obrigação pode ser chamada aovalor facial mais 5%. Após 5 anos, a empresa acha vantajoso chamara obrigação. Assumindo que os cupões são pagos anualmente, o que sepode deduzir sobre a yield após os 5 anos?

4. Uma proposta feita para economizar no pagamento de hipotecas foi aseguinte: em vez de se pagar x por mês, podia-se pagar x/2 quinzenal-mente, correspondendo a 26 pagamentos anuais. Chama-se a isto umahipoteca quinzenal. Este esquema paga a hipoteca mais rapidamente,podendo economizar drasticamente o montante pago como juro. As-suma a hipoteca de um montante de 100.000 euros por 30 anos a umataxa de juro de 10%, composta mensalmente.

(a) Se a hipoteca implicar pagamentos mensais, de quanto deverá sera mensalidade e qual o montante pago como juro durante os 30anos?

(b) Numa hipoteca quinzenal, ao fim de quanto tempo estará o mon-tante pago e quanto será economizado como juro pago quandocomparado com a questão anterior? (considere a taxa de jurocomposta quinzenalmente).

5. A família Silva acabou de contrair uma hipoteca de taxa varivel na suanova casa, com pagamentos anuais. O valor da hipoteca é de 100.000euros, dura 30 anos e inicialmente a taxa de juro é de 8%. Essa taxa égarantida por 5 anos, após o que a taxa será ajustada pelos valores demercado. A nova taxa poderá ser aplicada à hipoteca numa de duasmaneiras: mudando a prestação ou mudando a maturidade do contrato.

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(a) Qual o pagamento anual original?

(b) Qual o valor remanescente a pagar da hipoteca ao final de 5 anos?

(c) Se a taxa muda para 9% ao fim de 5 anos, qual o novo valor apagar anualmente de modo a manter a maturidade?

(d) Sob a nova taxa de juro, qual a nova maturidade da hipoteca sequisermos manter o valor pago anualmente?

6. Considere uma obrigação que tem maturidade no início de Fevereiro de2021 (de hoje a 18 anos) com taxa de cupão de 8% e descontada a umayield de 9%.

(a) Qual o valor dessa obrigação hoje?

(b) Qual o valor dessa obrigação calculada de hoje a seis meses, todosos parâmetros fixos, usando a aproximação de interpolação acimapara juros acrescidos?

(c) Qual o valor exacto para a alínea acima, e qual o erro cometido?

7. Qual o valor e a duração de uma obrigação a 10 anos com taxa de cupãode 8%, transacionada com uma yield de 10%?

8. Calcule a duração D e a duração modificada DM de uma anuidadeperpétua que pague a partir de hoje a um ano o montante A no iníciode cada ano. Assuma uma taxa de juro r anual, constante.

9. Considere as quatro seguintes obrigações de valor facial 1000 e cupãoanual transacionadas a uma yield de 15%: a) T = 3;α = 0, 10; b)T = 3;α = 0, 05; c) T = 3;α = 0; d) T = 1;α = 0.

(a) Qual o valor de cada obrigação?

(b) Qual a duração de cada obrigação?

(c) Que obrigação é mais sensível a mudanças na yield?

(d) Suponha que deve 2.000 euros de hoje a dois anos. Que equaçõesrepresentam as restrições para se construir uma carteira imunizadacom as quatro obrigações acima? (não as resolva).

(e) Para criar uma carteira imunizada, decide usar a obrigação Ce mais uma outra. Que outra obrigação escolhe? Encontre omontante a investir em cada uma destas obrigações para constituira carteira.

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2 A Estrutura Temporal das Taxas de Juro

A evidência de que as taxas de juro variam no tempo exige uma teoria paraexplicar como essas mudanças são incorporadas nos valores dos instrumentosde rendimento fixo.

2.1 A Estrutura Temporal

A estrutura temporal das taxas de juro denota a curva das yields implícitasno valor de obrigações transaccionadas, como função das suas diferentes ma-turidades.

Essa estrutura é usualmente inferida a partir de uma classe de obrigaçõessimilares, do ponto de vista do risco de incumprimento e de exposição fiscal.Normalmente usam-se para esse efeito obrigações do Tesouro, na medida emque são consideradas isentas de risco de incumprimento.

O conjunto de pontos obtidos pode ser ligado por uma expressão fun-cional, como se se tratasse de uma regressão. Essa forma funcional depen-derá de alguns parâmetros que, uma vez estimados em função dos pontosapresentados, darão uma imagem do comportamento das taxas de descontofuturas, implícitas nos preços. Essa imagem pode ser crescente, sugerindoque as taxas de juro vão subir, decrescente, sugerindo o oposto, ou de com-portamento misto, incluindo partes crescentes e partes decrescentes.

Quem tem a seu cargo a gestão de carteiras de obrigações, tem nestafunção um instrumento crucial de informação para trabalhar. De facto, nessecaso o objectivo seria colocar a carteira num ponto óptimo da curva. Por ex-emplo, se lidar com uma curva decrescente para os primeiros cinco anos quese estabiliza relativamente dessa maturidade em diante, deveria concentrara sua carteira em obrigações com maturidades inferiores a cinco anos. Naverdade, a pergunta crucial é se não deveria concentrar a carteira em obri-gações de curto prazo, de modo a aproveitar melhor as yields mais elevadas,e quão concentrada deveria ser essa carteira. Essa decisão, no entanto nãoé clara. Uma curva decrescente é normalmente consistente com expectativasde mercado de declínio nas taxas de juro no futuro. Se isso acontece, significaque os preços dessas obrigações vão subir. Embora neste exemplo o valor dasobrigações de longo prazo seja determinado hoje para dar um rendimento

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Table 2:Preços de obrigações do Tesouro Americano (18 de Janeiro 1999).

MaturidadeTaxa mês/ano bid ask chg ask yield8 7/8 Feb 99n 100:09 100:11 ... 4.025 7/8 Feb 00n 101:06 101:08 -3 4.665 3/8 Feb 01n 101:16 101:18 -4 4.58

médio durante a sua vida ao nível mais baixo, esse não será necessariamenteo seu rendimento se revendidas no curto prazo.

Para responder à questão de como posicionar a carteira da melhor maneira,é necessário entender completamente quais as forças que moldam a evoluçãoda curva da estrutura temporal das taxas de juro no tempo.

Para se estimar a curva num dado instante, temos que usar dados domercado. Um exemplo típico, tirado de uma página do Wall Street Journalaparece na tabela acima. Na primeira coluna temos a taxa de cupão, ouseja, o valor anual pago como cupão dividido pelo valor facial a ser pago namaturidade. O valor facial destas obrigações é de 1000. Logo, uma taxade 9% indica um pagamento anual de 90. A segunda coluna indica a ma-turidade do instrumento. A letra “n” significa que se trata de uma nota dotesouro. As duas colunas seguintes indicam o preço de compra e de vendadas obrigações. Estes dois valores são expressos em porcentagem do valorfacial dos respectivos instrumentos. É importante notar que os algarismosapós os dois pontos não são decimais. Os preços são dados em 32-avos, demodo que um valor de 80:30 significa 80%mais 30/32 porcento do valor facial1000, ou 809,375. O número na penúltima coluna é a variação do preço bid.Finalmente, a última coluna indica a yield da obrigação, calculada a partirdo preço ask.

A forma funcional sugerida para ajustar estes dados é:

YJ = (a1 + a2tJ)e−a3tJ + a4.

Nesta expressão YJ é a yield da obrigação, tJ a sua maturidade, e os co-

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eficientes a1, a2, a3 e a4 devem ser estimados por regressão não linear.

Da expressão note que

limtJ→∞

YJ = a4

elimtJ→0

YJ = a1 + a4

Assim, o coeficiente a4 pode ser interpretado como a yield das obrigaçõescom maior maturidade, de tal forma que, sendo tJ muito grande, o termoexponencial pequeno torne a primeira parte da expressão insignificante. Poroutro lado, o termo a1 pode ser visto como a diferença entre a yield deobrigações de curto prazo e a yield de obrigações de longo prazo. Os termosa2 e a3 moldam a curvatura da função entre o curto e o longo prazo.

2.2 Explicações para a Estrutura Temporal

Nesta secção discutimos a relação entre a estrutura temporal das taxas dejuro e as taxas de desconto futuro que nela estão embutidas. Três factorespodem influenciar a forma da estrutura temporal das taxas de juro.

• O que o mercado espera em relação aos futuros movimentos das taxasde juro;

• A possibilidade de prémios de liquidez;• Alguma relativa inefeciência dos mercados de rendimento fixo.

2.2.1 Teoria das Expectativas de Mercado

A primeira das teorias para justificar a estrutura temporal das taxas de juroobservada é conhecida como a Teoria das Expectativas do Mercado. Sob estateoria, o único determinante da forma seria o primeiro factor. Para ilustrareste caso, consideremos a seguinte estrutura temporal de taxas de juro, paramaturidades respectivamente de 1,2,3,4,5 e 6 anos:

0, 03; 0, 05; 0, 0667; 0, 08; 0, 084; 0, 0833.

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Table 3:Teoria de Expectativas do Mercado: Relação entre taxas de rendibilidadeesperadas e a estrutura temporal das taxas de juro.

1 ano 2 anos 3 anos 4 anos 5 anos 6 anosAgora 3% 3 3 3 3 3

de hoje a 1 ano 7% 7 7 7 7 7de hoje a 2 anos 10% 10 10 10 10 10de hoje a 3 anos 12% 12 12 12 12 12de hoje a 4 anos 10% 10 10 10 10 10de hoje a 5 anos 8% 8 8 8 8 8yield aritmética 3% 5 6,67 8 8,4 8,33yield geométrica 3% 4,98 6,63 7,95 8,35 8,29

Isto quer dizer que a taxa de desconto para este próximo ano é de 0,03ou de 3%. E qual será a taxa para o segundo ano? Como a obrigação a doisanos tem uma yield de 5%, isto significa que

(1 + 0, 05)2 = (1 + 0, 03)(1 + f2)⇒ f2 = 7, 04%

onde f2 é a taxa de desconto procurada. Esta taxa, assim calculada, échamada de taxa forward para o segundo periodo.

Dados os níveis das taxas envolvidas, para efeito de simplificação con-sideramos yields como médias aritméticas. Neste caso temos a yield a umano de 3% e a de dois anos 5%. Determinar a taxa de desconto do segundoperiodo equivale a perguntar qual é a taxa cuja média com 3% daria os 5%observados. Se usarmos a média aritmética a resposta seria 7%, não muitodistante da resposta anterior. Note também que a média geométrica usual-mente tomada com taxas de juro 7 e 3% se escreve comoq

(1 + 0, 03)(1 + 0, 07)− 1 = 0, 0498o que se reflecte na última linha da Tabela.

A Tabela acima perfaz todos os cálculos estabelecendo as taxas de de-sconto esperadas para cada periodo, que podem ser lidas na primeira coluna.

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Digamos que os mercados esperam que as actuais taxas de juro de 3% cresçamatingindo um pico de 12% em três anos e que depois decresçam para cercade 8% ao fim de 5 anos.

O que é particular desta teoria é que a rendibilidade de cada um destesinstrumentos num determinado periodo é assumida como independente dasua maturidade. Assim, espera-se obter a mesma rendibilidade mantendo-seum instrumento com maturidade de dois anos até ao fim, ou mantendo-sepor dois anos um instrumento de maturidade de quatro anos, revendendo-oao fim de dois anos. Neste sentido pode-se dizer que a yield de uma obri-gação com T anos para a maturidade é igual à média esperada das yields deobrigações anuais nos próximos T anos.

Segundo esta teoria, o mercado exige para o próximo ano amesma rendibil-idade de uma obrigação com maturidade de um ano e de outra com maturi-dade de quatro anos, porque os vê como substitutos perfeitos. Isto implicaque pelo menos uma das três coisas seguintes deve ser verdade:

• há certeza sobre o valor futuro das obrigações;• investidores são neutros ao risco;• risco de incerteza sobre taxas de juro futuras pode ser diversificado.

Estas são as condições segundo as quais não há prémio de risco associadoà estrutura temporal de taxas de juro, e as taxas forward reflectem a taxaesperada de desconto para os futuros periodos.

Uma questão importante é mostrar que as taxas forward na verdade sãosempre inferiores ao valor esperado da taxa de juro futura, mesmo sob ahipótese da expectativa de mercados. Na verdade, seguindo o nosso exemploacima, se descontarmos o cashflow da obrigação de dois anos devemos usaro factor

1

(1 + r2)2,

onde a taxa média anual é dada por r2 = 0, 05. Para descontar cashflows dehoje a um ano, deve-se usar a taxa de r1 = 0, 03 ou o factor

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1

1 + r1.

Ora, descontar a dois aanos é a mesma coisa que descontar à taxa dopróximo ano e depois descontar à taxa do ano seguinte. Seja x essa taxa doano seguinte, uma variável aleatória cuja realização será conhecida em umano. Logo,

1

(1 + r2)2=

1

1 + r1× 1

1 + x.

Dizermos que o lado esquerdo reflecte o valor esperado do lado direitosignifica que

1

(1 + r2)2=

1

1 + r1×E

·1

1 + x

¸,

enquanto que a taxa forward é construída satisfazendo

1

(1 + r2)2=

1

1 + r1× 1

1 + f2.

Logo1

1 + f2= E

·1

1 + x

¸>

1

1 +E(x)⇒ f2 < E(x).

O passo da desigualdade acima decorre do facto que 1/(1 + x) decresce ataxas decrescentes (é conhecida como desigualdade de Jensen).

2.2.2 Teoria da Preferência de Liquidez

Foi discutido atrs que ateoria de expectativas seria válida apenas se os in-strumentos fossem substitutos perfeitos ou se o risco de taxa de juro pudesseser ignorado. Caso não possa, a incerteza sobre o valor futuro das taxas dedesconto deve introduzir um prémio de risco.

Um exemplo pode ilustrar essa ideia com facilidade. Suponha que temum instrumento com maturidade de 1 ano e sem risco de incumprimento. Oseu resultado é certo e a sua rendibilidade (yield) é uma variável aleatória

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com variância zero. Imagine um instrumento com quatro anos para a ma-turidade. Suponhamos que a rendibilidade esperada seja a mesma que a doinstrumento anterior. No entanto, se a taxa de juro do próximo ano subir,o valor do instrumento desce. A perda de capital pode não ser compensadapelo pagamento de juros e a rendibilidade pode ser negativa. Por outro lado,se a taxa de juro descer, o valor do instrumento sobe e, dependendo do bal-anço entre o pagamento de juro e os ganhos de capital, a rendibilidade podeser grande.

Essa incerteza na rendibilidade do instrumento de quatro anos, com omesmo valor esperado, quando comparada com a alternativa de investir noinstrumento de um ano, faz com que o valor do instrumento de quatro anosdeva ter uma redução de valor, de modo a torná-lo competitivo. Isso faz comque a sua rendibilidade esperada aumente.

A teoria aqui apresentada assume que os valores das obrigações de ondeas yields são calculadas incorporam um prémio de risco. Logo, se os preçossão menores do que deveriam ser, as yields serão maiores do que na teoriaanterior. Ou seja, as yields reflectem o prémio de risco e a estrutura temporaldas taxas de juro estaria acima dos valores descritos anteriormente.

Vamos ver um exemplo que ilustre esta ideia. Considere as mesmas obri-gações do exemplo anterior. A expectativa do mercado em relação às taxasde juro para obrigações de um ano, são iguais às do exemplo anterior. Noentanto, agora assumimos que para investir numa obrigação com dois anospara a maturidade, os investidores exigem um prémio de 2% sobre o queeles exigem de uma obrigação com apenas um ano para a maturidade. Logo,embora esperem 3% de rendibilidade em um ano ao comprar uma obrigaçãocom maturidade de um ano, esperam uma rendibilidade de 5% pelo mesmoperiodo de um ano ao comprar uma obrigação com maturidade de dois anos.Vamos supor que para maturidades superiores a dois anos, esse prémio deliquidez suba para 3%.

O comportamento da estrutura temporal das taxas de juro deve reflectirestes prémios de liquidez. Assim, note que a taxa a dois periodos deve ser amédia de uma taxa de 5% no primeiro ano e de 7% no segundo ano, quandoa obrigação inicialmente com dois anos para maturidade terá apenas um anopara a maturidade, não incorporando, portanto, nenhum prémio de liquidez.

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Table 4:Teoria de Preferência de Liquidez: Relação entre taxas de rendibilidade es-peradas e a estrutura temporal das taxas de juro.

1 ano 2 anos 3 anos 4 anos 5 anos 6 anosAgora 3% 5 6 6 6 6

de hoje a 1 ano 7% 9 10 10 10 10de hoje a 2 anos 10% 12 13 13 13 13de hoje a 3 anos 12% 14 15 15 15 15de hoje a 4 anos 10% 12 13 13 13 13de hoje a 5 anos 8% 10 11 11 11 11yield aritmética 3% 6 8,33 10 10,6 10,67yield geométrica 3% 6 8,32 9,97 10,56 10,62

Do mesmo modo, uma obrigação inicialmente com 3 anos para a maturi-dade deve render: 6% no primeiro ano (3% do ano mais 3% de prémio); 9%no segundo ano (7% do ano mais 2% de prémio porque, nessa altura, faltam-lhe apenas dois anos para a maturidade); 10% no terceiro ano (sem prémio,pois está no ano em que matura). A média dá 8,33%, a yield observada naestrutura temporal das taxas de juro.

Pouco se sabe sobre a natureza dos prémios de risco na estrutura tempo-ral das taxas de juro. Note que assumimos que as obrigações de curto prazonão tem prémio de risco e as de longo prazo têm. Isto assume implicitamenteque os investidores têm horizontes de curto prazo. Se fossem investidores delongo prazo, teriam necessidade de reinvestir os resultados de investimentosem instrumentos de curto prazo repetidamente. Caso tenham instrumentosde longo prazo à disposição, seriam agora estes instrumentos de curto prazoque incorporariam risco e os de longo que teriam pagamento certo na ma-turidade de interesse.

A conclusão é ambígua. São os instrumentos de curto ou os de longoprazo que têm rendibilidades incertas? A resposta depende do horizontetemporal dos investidores.O modo como a estrutura temporal de taxa de

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juros é afectada também.

2.2.3 Teoria da Segmentação de Mercado

Esta teoria vê o mercado por obrigações como segmentado entre investidoresde diferentes horizontes. Imaginemos uma economia onde os investidoresessencialmente querem imunizar as suas carteiras. Neste caso, activos e pas-sivos devem ter a mesma duração, e os investidores vão procurar obrigaçõesque lhes permitam isso.

Isto significa que um banco comercial, por exemplo, sempre investirá emobrigações de curto prazo, pois querem equilibrar a duração dos seus depósi-tos, tipicamente de curto prazo. Por razões similares, um fundo de pensõesinvestirá em obrigações de longo prazo.

No cruzamento da procura e da oferta de obrigações com diferentes ma-turidades é que se vai desenhar a forma da estrutura temporal das taxas dejuro. Se os investimentos saairem de fundos para bancos comerciais, haveráuma pressão para subida nas taxas de longo prazo e um pressão para descidanas taxas de curto prazo.

Nesta perspectiva a estrutura temporal das taxas de juro é moldada, nãopelas expectativa dos mercados sobre o movimento futuro das taxas de juro,nem pela estrutura dos prémios de liquidez, mas pelos movimentos dos fluxosde investimentos entre instituições financeiras e pela intensidade e naturezados investimentos económicos.

Considerando-se as ideias aqui discutidas, devemos reconhecer que es-tratégias de imunização são, de facto, muito seguidas pelas instituições fi-nanceiras. No entanto seria difícil aceitar que este é o único critério de inves-timento. Empresas não querem apenas sobreviver cobrindo risco. Queremgerar valor. Empresas que não se empenhem em maximizar o valor para osseus accionistas, rapidamente se podem ver alvo fácil de aquisição por partede outras empresas que ficarão felizes em maximizar o valor do seu capital erealizar mais-valias.

Além do mais, muitos investidores simplesmente não se interessam porimunização, preferindo maximizar a riqueza. A teoria de segmentação é, so-

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bretudo, uma teoria de inefeciência dos mercados. Se a estrutura temporalé determinada não de maneira a optimizar a riqueza dos investidores, qual-quer especulador poderá tirar proveito disso. Imaginemos que temos todasas informações no mercado consistente com uma queda das taxas de juro.No entanto, a estrutura é crescente, pois é determinada por procura e ofertabaseada em imunização. Neste caso, as rendibilidades esperadas das obri-gações de longo prazo serão maiores do que as das obrigações de curto prazo.Os especuladores deveriam nesse caso aumentar a procura de obrigações delongo prazo para se aproveitarem dessas rendibilidades em excesso, pression-ando o seu preço para cima, reduzindo a sua rendibilidade esperada até aosníveis esperados pelo mercado.

É razoável concluirmos que a estrutura temporal de taxas de juro émoldada principalmente pelas expectativas de movimentos futuros das taxas.Os prémios de liquidez terão certamente um papel relevante, mas o seu papelpode ser muito ambíguo, conforme discutido. Em certos momentos, tanto asimperfeições do mercado como o padrão dos fluxos de investimento podemter uma influência relevante, forçando a estrutura a desvios da sua forma deequilíbrio original. É nessas alturas que cabe aos analistas agir activamente,gerando lucros e ajudando a voltar ao estado de normalidade.

2.3 Dinâmica das Espectativas

Na medida em que os mercados forem relativamente eficientes, a estruturatemporal das taxas de juro reflectirá a melhor estimativa do comportamentofuturo das taxas de juro.

Para ver como isso se faz, vamos dar a seguinte estrutura temporal dastaxas de juro:

0, 05; 0, 08; 0, 09; 0, 08; 0, 07; 0, 07

O primeiro número é claramente a taxa de desconto do primeiro periodo.Desse modo, pode-se preencher a primeira linha, primeira coluna da Tabelaabaixo com um 5.

Para termos mais números necessitamos de uma estrutura para os prémiosde liquidez. Vamos assumir que obrigações com maturidades maior que um

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Table 5:Expectativas do mercado a partir da estrutura temporal das taxas de juro.

1 ano 2 anos 3 anos 4 anos 5 anos 6 anosAgora

de hoje a 1 anode hoje a 2 anosde hoje a 3 anosde hoje a 4 anosde hoje a 5 anosyield aritmética 5 8 9 8 7 7yield geométrica

ano têm um prémio de 1%. Logo, a obrigação com dois anos deverá render6% no primeiro ano, assim como todas as outras obrigações. A primeira linhaé completada com 6.

E no segundo ano? No segundo ano a obrigação inicialmente com doisanos deverá render 10%, de tal maneira que, na média, dê os 8% relativosà yield das obrigações com maturidade de dois anos. Preenche-se a Tabelacom o 10, na segunda linha primeira coluna.

A obrigação inicialmente com três anos para a maturidade tem no iníciodo segundo ano apenas dois anos de maturidade. Deve pagar um prémiode 1% sobre a rendibilidade desse ano, que é 10%, como acabamos de ver.Portanto, a segunda linha, segunda coluna, deve ser preenchida com 11%.Do mesmo modo para todas as maturidades superiores, preenchendo todo oresto da linha.

Se a yield inicial dessa obrigação é de 9%, se ela rende 6% no primeiroano, 11% no segundo, quanto deve render no terceiro para a média coincidircom a sua yield? A resposta é 10%, a ser colocada na terceira linha, primeiracoluna.

De forma análoga preenchem-se as outras casas. Esta estrutura permite-

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nos desenhar a estrutura temporal de taxas de juro esperadas para os próx-imos periodos. Por exemplo, de hoje a um ano, sabemos que as obrigaçõescom um ano vão render 10%. As com dois anos, (inicialmente com três) vãorender 10%+1% nesse ano e 10% no subsequente, gerando uma média de10,5%. Dessa forma a estrutura esperada é desenhada.

2.4 Exemplo com yield to maturity

Considere três obrigações com um, dois e três anos para a maturidade, todasa par. O valor facial de cada um deles é de 1000 euros e as suas yield tomaturity são de 10%, 12% e 13%, respectivamente.

Da primeira obrigação decorre que a taxa de juro no primeiro ano é de10%. Da segunda, o preço satisfaz a definiç ao de yield,

1000 =120

1, 12+1120

1, 122.

Para encontrarmos a expectativa da taxa de juro para o segundo periodo,temos que modificar esta expressão lembrando que a taxa de juro no primeiroano é de 10%. Além disso, cabe perguntar se hálgum prémio de liquidez.Vamos assumir que húm prémio de 1% no primeiro ano para a rendibilidadedas obrigações com mais de um ano de maturidade. Assim, a taxa esperadapara o segundo ano, f2, satisfaz:

1000 =120

1, 10+

1120

1, 11(1 + f2),

o que leva a f2 = 13, 26%. A taxa esperada para o terceiro periodo, f3, podeser calculada do mesmo modo.

1000 =130

1, 10+

130

1, 11(1 + f2)+

1130

1, 11(1 + f2 + 0, 01)(1 + f3).

Substituindo o valor de f2 chega-se a f3 = 14, 46%.

Claro que, tendo obrigações suficientes, pode-se estimar a taxa forwardde qualquer periodo. Tendo essa série de taxas pode-se calcular a médiageométrica das yields para a maturidade dessas obrigações. Por exemplo,essa média geométrica para a obrigação com dois periodos para a maturidadepode ser calculada como

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[(1, 10 + 0, 01)1, 1326]1/2 − 1 = 0, 1212.Para a obrigação com três periodos paraa maturidade,

[(1, 10 + 0, 01)(1, 1326 + 0, 01)1, 1446]1/3 − 1 = 0, 1323.Note que a média geométrica é maior que a yield usual. Isto é devido

às diferentes hipóteses subjacentes a estas diferentes maneiras de tomar arendibilidade média. A yield usual assume que o juro é reinvestido à taxaactual de yield para a maturidade da obrigação. Já a média geométricapressupõe que o juro é reinvestido na obrigação e acumula às taxas futurasesperadas implicitamente no valor da obrigação.

2.5 Medidas de risco

2.5.1 Duração

Na presença de uma estrutura temporal de taxas de juro, o conceito deduração pode ser adaptado pela expressão

DF = 1× C1/(1 + r1)V

+ 2× C2/[(1 + r1)(1 + r2)]V

+ ·+ n× Cn/Πi(1 + ri)V

conhecida como a duração de Fisher-Weil.Para uma obrigação com dois anos de maturidade que paga cupão anual

de 10% e valor principal de 1000, uma estrutura temporal flat (constante)de 10% reduz a definição acima à definição anterior de duração:

DF = 1× 100/(1, 1)V

+ 2× 1100/(1, 1)2

V

ondeV =

100

1, 1+1100

(1, 1)2= 1000⇒ DF = D = 1, 909.

Se tivermos uma estrutura temporal de taxas de juro menos trivial, aduração muda. Suponha, por exemplo, que a taxa no primeiro periodo sejade 8% e a taxa forward do segundo periodo seja de 12,24%. O valor V daobrigação agora escreve-se como

V =100

1, 08+

1100

(1, 08)(1, 1224)= 1000.

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Por outro lado, a duração agora escreve-se:

DF = 1× 100/(1, 08)1000

+ 2× 1100/[(1, 08)(1, 1224)]1000

= 1, 907.

A relação entre a medida de duração e elasticidade mantém-se aqui. Defacto, uma boa aproximação para mudanças na yield é

D ≈ (V2 − V1)/[(V2 + V1)/2](Y2 − Y1)/[1 + (Y2 + Y1)/2] ,

onde V1 e V2 são os valores do instrumento calculados respectivamentecom a yield Y1 e Y2. Por exemplo, no exemplo anterior com estrutura flat,assuma que as taxas sobem instantaneamente de 10 para 12%. Neste caso,o valor da obrigação cai de 1000 para 966,20:

966, 20 =100

1, 12+1100

1, 122,

e a elasticidade será aproximadamente dada por:

(966, 20− 1000)/[(966, 20 + 1000)/2](1, 12− 1, 10)/[1 + (1, 12 + 1, 10)/2] = −1, 908

que, como vemos, é muito próximo da duração exacta.

2.5.2 Rendibilidades Esperadas e Risco de Mercado

Até há pouco tempo não havia facilidade em conseguir valores exactos detransacção de obrigações. Estimativas desses valores estavam disponíveis,porém não eram suficientemente precisas para se poder estimar uma estru-tura de covariância para estudar o risco desses instrumentos. Hoje já há umnúmero suficientemente robusto de dados para se fazer essa análise.

Para tal, necessitamos de usar essa série de dados para perceber como osvalores desses instrumentos covariam com os de outros instrumentos no mer-cado. Assim podemos dizer se a variabilidade dos valores (risco, no fundo)das obrigações está associada de alguma maneira ã variabilidade do mercadoou não.

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Ao fazer este tipo de tabalho para pequenos intervalos de tempo, não háproblema. No entanto, se usarmos periodos de tempo comparáveis à maturi-dade de uma dada obrigação, as suas características de risco podem mudarsubstancialmente durante esse periodo. A estimativa de risco desse instru-mento reflectirá um quadro composto de riscos muito diferentes: quando oinstrumento era jovem, com grande tempo para maturidade, e quando o in-strumento está já muito perto de maturar. Em particular as durações desemesmo instrumento - que também medem risco (de taxa de juro) - vão sercompletamente diferentes.

Para ter uma visão mais cuidadosa desse risco de mercado, convém con-struir um índice de obrigações de várias maturidades. Suponha que o seuhorizonte de investimento é de um mês. Para construir um índice que rep-resente uma obrigação de 10 anos, pode-se ajustar uma curva de estruturatemporal de taxas de juro para uma série de meses. Estamos interessados nasérie de taxas de rendibilidade geradas por uma obrigação que tenha 10 anosde maturidade no início de cada mês e 9 anos e 11 meses ao final de cada mês.

Suponha que, no primeiro mês da amostra, a curva ajustada indica umayield interna de 12% para uma obrigação com 10 anos de maturidade. No fi-nal desse periodo a curva indica que a obrigação com 9 anos e onze meses deveter uma yield de 11,5%. A fórmula abaixo representa uma boa aproximaçãopara a rendibilidade da obrigação nesse periodo:

rt = Y1 +µ1− D

t

¶(Y2 − Y1).

O simbolo t representa o intervalo de tempo sobre o qual a taxa derendibilidade é calculada, neste caso acima 1/12 do ano. Os símbolos D,Y1e Y2 são respectivamente a duração, a yield no início e a yield no fim do mês.

Assumindo que as obrigações tomadas da curva de yield ajustada estãoaa par, a duração de uma obrigação de 10 anos com yield para a maturidadede 12% e pagamento de cupão anual de 120, é de 6,328 anos. Substituindoestes números acima obtem-se

0, 4947 = 0, 12 +

Ã1− 6, 328

1/12

!(0, 115− 0, 12).

Fazendo isto para cada mês na série, produz-se uma série de rendibilidadesde obrigações com maturidades cde 10 anos no início de cada periodo. Estas

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rendibilidades podem ser usadas para estudara estrutura de covariância comas rendibilidades dos outros instrumentos no mercado, permitindo assim umadescrição do risco de mercado dessas obrigações.

2.6 Exercícios

1. Assuma a seguinte estrutura temporal de taxa de juro (médias arit-méticas):

9, 62%; 9, 12%; 8, 72%; 8, 42%; 8, 17%

(a) Assumindo a teoria de expectativas de mercado, estima as taxasde desconto nos próximos anos;

(b) Para as obrigações inicialmente com dois e três anos de maturi-dade, calcule as suas rendibilidades esperadas anuais de hoje a umano;

(c) Calcule a estrutura temporal de taxas de juro esperada para daquia um ano;

(d) Suponha que há um prémio de liquidez de 1% para todas as obri-gações com maturidades maior que um ano. Calcule as taxas dedesconto nos vários periodos futuros.

2. Calcule a estimativa de mercado para as taxas de desconto futuras nospróximos três anos utilizando a tabela abaixo e assumindo que há umprémio de liquidez de 1% para maturidades maiores que 1 ano. As yieldmédias (aritméticas) são

8%; 11%; 13%; 14%

3. Como no problema anterior (incluindo prémio de liquidez), mas os da-dos são yield to maturity. Qual a yield esperada para uma obrigaçãocom um ano para maturidade, de hoje a um ano, se a obrigação está aser vendida a par (1000 euros)?

4. Uma nova obrigação do Tesouro com um ano de maturidade tem cupãosemianual de 9,5%, um valor de mercado de 1050 e um valor esperadode mercado ao fim de 6 meses de 1075.

(a) Calcula a taxa esperada de rendibilidade ao fim de 6 meses.

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(b) Se mantiver a posição nesse instrumento até à sua maturidade,qual a taxa esperada para a yield?

5. Qual a taxa esperada de rendibilidade de uma obrigação de uma em-presa com cupão anual de 12%, um valor de nercado actual de 1050 euma probabilidade de incumprimento no pagamento de juro de 5%? Oinstrumento matura no final do ano a par.

6. Assuma que as yields de duas obrigações que pagam cupões anuais esão hoje transaccionadas pelo seu valor facial de 1000 são 10% e 14%para maturidades de 1 e 2 anos, respectivamente.

(a) Calcule as durações de Macaulay e de Fisher-Weil para ambos osinstrumentos, assumindo a teoria de expectativas de mercado paraa estrutura temporal das taxas de juro.

(b) Explique as diferenças dos números encontrados.

7. Suponha que a yield de uma obrigação com duração de 10 anos é de11% no início do mês e 10,9% no final do mesmo mês. Qual a taxaanualizada de rendibilidade dessa obrigação durante esse mês?

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