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MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA
CURSOS DE BIOFÍSICA E BIOMEDICINA
2007
Gilberto Weissmüller, Nice Americano da Costa e Paulo Mascarello Bisch
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROINSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO
2
POR QUE
AS BIOCIÊNCIAS
PRECISAM
DE MATEMÁTICA?
3
• “O livro da natureza é escrito na língua da Matemática”
• Galileo (1564-1642)
• “Aqueles que querem analisar a natureza sem usar Matemática devem se contentar com uma compreensão reduzida”
Richard Feynman, (1918-1988) (People who wish to analyze nature without using mathematics
must settle for a reduced understanding)
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CONCEITOS FUNDAMENTAIS
Número
Grandezas
Constantes
Variáveis
Domínio de definição
Tipos de variáveis
5
O que é Número?Pitágoras (570-496 aC, Grécia) essência e o princípio de todas as coisas
Aristóteles (384-322 aC, Grécia) o movimento acelerado ou retardado
Euclides (360-295 aC, desconhecido) um composto da unidade
Isaac Newton (1643-1727, Inglaterra) a relação entre a quantidade e a
unidade
Condorcet (1746-1794, França) uma coleção de unidades
Benjamin Constat (1767-1830, Suiça) o resultado da comparação de
qualquer grandeza com a unidade
Schopenhauer (1788-1860, Alemanha) o conceito numérico apresenta-se
como a ciência do tempo puro
Bertrand Russel (1872-1970, Inglaterra) a classe de todas as classes
equivalente a uma dada classe
6
7
um conjunto de valores numéricos que a variável é passível de assumir (a partir de sua própria definição)
aberto, se
O domínio de definição de uma variável é sempre representado por um intervalo entre dois valores, a e b, chamados extremos do intervalo. O intervalo pode ser:
fechado, se
bxa
bxa
ou ainda um semi-intervalo aberto
bxa
ou
bxa
Domínio de definição de uma variável
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1. Uma grandeza: a área, S, de um figura limitada por uma curva fechada
O domínio de definição de S será S0
3. Uma grandeza: a variável x=cosb, para todos os valores de b
2. Outra grandeza: a área, S, dos ambientes de um edifício de 30m x 10m
EXEMPLOS DE DOMINIOS DE DEFINIÇÃO
O domínio de definição de S será 3000 S
O domínio de definição de x será 11 x
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Tipos de variáveisordenadasuma variável é ordenada se, conhecido o seu domínio de
definição, para cada par de seus valores, podemos indicar aquele antecedente e aquele conseqüente.
crescentes (ou decrescentes)
uma variável é dita crescente, se cada valor conseqüente é maior que cada valor antecedente.
limitadas
uma variável é dita limitada se existe um valor constante M>0, tal que, para todos os valores conseqüentes da variável, a partir de um determinado valor, fica satisfeita a inequação
Mx
ou
MxM
10
A NOÇÃO DE FUNÇÃO
Sejam das variáveis, x e y. Dizemos que y é uma função de x, que designamos simbolicamente por y=f(x), se a cada valor da variável x, através de uma aplicação de um conjunto ordenado de operações, fica associado um valor da variável y.
y1
y2
yn
..
x1
x3
x2
xn
x5
..
f
f
f
11
f é a representação simbólica desse conjunto ordenado de operações(potenciação, multiplicação, divisão e soma) realizadas sobre cada valor de x
1o. Tome o valor de x e quadre;
2o. Multiplique o resultado obtido por 3;
3o. Some o valor da metade x;
4o. Acrescente mais 10.
2x
Acompanhe a seguinte “receita” matemática :
23x
23 2 xx
102
3 2 x
x
102
3)( 2 x
xxfy
12
f é a representação simbólica desse conjunto ordenado de operações (seno, multiplicação, divisão e soma) realizadas sobre cada valor de x
1o. Tome o valor do seno de x ;
2o. Multiplique o resultado obtido por 3;
3o. Some o valor da metade x;
4o. Acrescente mais 10.
xsen
Agora esta :
102
3 x
xsen
102
3)( x
xsenxfy
xsen3
23
xxsen
13
DOIS IMPORTANTES CONCEITOS
Domínio de definição de uma função
conjunto de valores de x, para os quais a função tem um valor determinado
valor da função num ponto
é o valor (numérico) que a função assume para um dado valor de x
14
1
1)(
x
xxfy
x
1x
xxsenxfy )(
2)( 6 xxfy
21)( xxfy 11 x
Exemplos de Domínios de Definição
15
3
2
1
1)(
x
xxfy
1/ xp
5x
x0)( xsenfy
12)1( 6 xfy
01)1( 2 xfy 1x
Exemplos de Valor da Função
16
REPRESENTAÇÕES DE UMA FUNÇÃO
23)( xxfy xsenxfy 3)(
X y
-1 3
0 0
1 3
2 12
3 27
Analítica
A notação simbólica do conjunto de operações matemáticas conhecidas que devemos aplicar, na ordem indicada, a números e letras que exprimem as constantes e variáveis envolvidas. Por exemplo:
Tabular (tabela)
X y
- 0
-/2 -3
0 0
/2 3
0
17
y=3senx
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
x(rad)
Graficamente
y=3x2
0
5
10
15
20
25
30
-1 0 1 2 3 4
x
y
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Outras noções sobre funções
• Paridade
( ) ( ) a função é periódicaf x T f x • Periodicidade
• Positividade/Negatividade
( ) ( ) a função é par
( ) ( ) a função é ímpar
f x f x
f x f x
• Zeros (ou raízes) , / ( ) 0i i ix x f x
• Função inversa
• Função de função ( ), ( )y f u u g x
• Função implícita
( ),
( )
y f x
x g y
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FUNÇÕES ELEMENTARES
São aquelas funções cujos conjuntos de operações ordenadas se resumem à forma mais simples das operações conhecidas da álgebra e da trigonometria: potenciação, logaritmo, seno, co-seno, tangente, etc.
Os nomes pelos quais são conhecidas derivam daí, como veremos.
20
FUNÇÃO POTÊNCIA
A forma geral da função
axxfy )(Onde a é um número inteiro ou fracionário, positivo ou negativo
Qual o domínio de definição destas funções?Seria, por acaso,
x ?
21
-0,6
-0,4
-0,2
0
0,2
0,4
0,6
0,8
-1 -0,5 0 0,5 1
Série1
Série2
Série3
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA
A forma geral da função
xxfy alog)( Onde a é um número positivo 1
quando a=número de Euler=e
xxfy ln)(
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FUNÇÃO EXPONENCIAL
A forma geral da função
xaxfy )(Onde a é um número positivo 1
quando a é o número de Euler, designado por e
xexfy )(
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AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
seno xsenxfy )(
co-seno xxfy cos)(
tangente
secante
xtgxfy )(
xxfy sec)(
cotangente xxfy cot)(
xecxfy cos)( secante