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Modelagem Matemática e as Discussões Técnicas1

Jonson Ney Dias da Silva2

Orientador: Jonei Cerqueira Barbosa3

Programa de Pós – Graduação em Ensino, Filosofia e História das Ciências –

UFBA/UEFS4

Resumo

No presente artigo, apresento parte de uma pesquisa que analisa como são produzidas

as discussões técnicas em um ambiente de Modelagem Matemática. Por discussão técnica,

entendo como aquela que se refere à tradução de uma situação-problema com referência na

realidade (dia-a-dia ou das ciências) para a linguagem matemática. O contexto desta

pesquisa foi um grupo de alunos da sala de aula de um professor do Curso de Licenciatura

em Matemática de uma Universidade Pública. Adotando uma abordagem qualitativa, os

1 O presente texto origina-se do projeto de pesquisa “As Discussões Técnicas num Ambiente de Modelagem Matemática”, financiado pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado da Bahia (FAPESB). Processo BOL 1644/2007. 2 Mestrando do Programa de Pós – Graduação em Ensino, Filosofia e História das Ciências da Universidade Federal da Bahia (UFBA – Salvador/ Ba) e Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS – Feira de Santana/ Ba); Núcleo de Pesquisa em Modelagem Matemática sediado na Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS – Feira de Santana/ Ba). Home: www.uefs.br/nupemm; Bolsista da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado da Bahia (FAPESB) 3 Professor do Departamento de Ciências Exatas da UEFS e do Programa de Pós – Graduação em Ensino, Filosofia e História das Ciências da Universidade Federal da Bahia (UFBA – Salvador/ Ba) e Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS – Feira de Santana/ Ba); Coordenador do Núcleo de Pesquisa em Modelagem Matemática sediado na Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS – Feira de Santana/ Ba). Home: www.uefs.br/nupemm 4 Programa inter-institucional entre a Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS) e a Universidade Federal da Bahia (UFBA)

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dados foram coletados através da observação, a qual foi registrada através da filmagem.

Em especial, para este artigo, apresento um debate sobre a concepção de discussão técnica,

ilustrando através de um episodio.

Para começar...

Nos estudos, sempre me interessei no desenvolvimento das atividades de

Modelagem Matemática pelos alunos e pude perceber que os diálogos desenvolvidos entre

o professor e os alunos nesse ambiente podem interferir no andamento de uma atividade de

Modelagem5 (ARAÚJO; BARBOSA, 2005).

Barbosa (2007b) reconhece que os discursos produzidos, nos momentos de

interação social entre alunos e alunos e entre estes e o professor, são aspectos fundamentais

para compreender a prática de Modelagem na sala de aula. Porém, é possível perceber que

há lacunas na literatura sobre esse assunto, principalmente, no que se refere aos aspectos

sobre organização e condução das tarefas de Modelagem (ARAÚJO; BARBOSA, 2005).

Acredito que compreender as ações que os participantes desenvolvem no ambiente

de Modelagem tem o objetivo de gerar conceitos teóricos, que reflitam como essas ações

ocorrem ou podem ocorrer (BARBOSA, 2007b). Por isso, considero que as maneiras como

os alunos interpretam uma atividade de Modelagem, é uma questão que demanda mais

pesquisas (ARAÚJO; BARBOSA, 2005). Assim, este um dos propósitos que justifica o

meu projeto de pesquisa, o qual pretende investigar e analisar como são produzidas as

discussões técnicas num ambiente de Modelagem, na tentativa de contribuir com o debate

sobre a utilização da Modelagem na Educação Matemática.

Para esse artigo, deter-me-ei em apresentar o que considero como discussões

técnicas, bem como ilustrar com um episódio de uma atividade de Modelagem

desenvolvida por um grupo de alunos.

O ambiente de Modelagem

5 Para evitar repetições do termo Modelagem Matemática, quando utilizar o termo Modelagem estarei referindo-me a Modelagem Matemática.

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Barbosa (2001) ressalta que, nas atividades de Modelagem, os alunos podem

compreender como a Matemática é utilizada nas praticas sociais. Este argumento enfatiza a

atuação do aluno na sociedade, analisando o papel da Matemática nos debates sociais. Essa

perspectiva, denominada pelo mesmo de sócio-crítica, de acordo com Kaiser e Sriraman

(2006), destaca como a Modelagem pode oportunizar ao aluno a reflexão sobre a função da

matemática na sociedade, através da análise da natureza dos modelos matemáticos, e o

pensamento crítico sobre o papel da Matemática e dos modelos na sociedade.

Bean (2007) argumenta que o objetivo da Modelagem é a transformação da

realidade6, ou seja, o autor entende que as atividades da comunidade se transformam, de

maneira que sua interação com o mundo seja norteada por conceituações e modelos, os

quais se fundamentam em premissas e hipóteses diferenciadas daquelas que fundamentam

os modelos tradicionais.

Este argumento nos remete à Educação Matemática Crítica, que, segundo Alr∅ e

Skovsmose (2006), preocupa-se com o modo que a Matemática influencia nosso ambiente

cultural, tecnológico e político, ou seja, de que maneira ela pode fundamentar o

desenvolvimento da cidadania e como o individuo pode ser habilidoso através da mesma.

Desta maneira, compreendo a Modelagem, como um ambiente de aprendizagem7, o

qual parte de uma situação/tema e sobre ela decorrem questões, que terão de ser

respondidas através do uso ferramental matemático e da investigação sobre o tema. O que,

segundo Barbosa (2001), desenvolverá as habilidades gerais de exploração, pois os alunos

desenvolvem habilidades de investigação. Para Burak (2004), a Modelagem propícia o

ensino e a pesquisa, pois trabalha com temas diversos, favorecendo a ação investigativa

como forma de conhecer, compreender e atuar em determinada realidade.

Então, posso dizer que a Modelagem trata-se de um ambiente de aprendizagem, no

qual os alunos são convidados a indagar e estimulados a investigar, por meio da

matemática, situações originadas de outras áreas da realidade (BARBOSA, 2003). Deste

conceito, considero que no desenvolvimento das atividades, os alunos se envolvem em

6 Conforme sugerido por Bean (2007), realidade refere-se à nossa interação com o mundo 7 Conforme sugerido por Skovsmose (2000), ambiente de aprendizagem refere-se às condições propiciadas aos alunos para desenvolverem suas ações.

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várias discussões, já que esse ambiente se desenvolve em contextos sociais repletos de

interações interpessoais. Essas discussões ocorrem nos espaços de interação, os quais

Barbosa (2006), denomina a todo o encontro entre alunos ou entre estes e o professor com

o propósito de discutir os encaminhamentos referentes ao desenvolvimento da atividade de

Modelagem, visando estruturar uma resolução à situação proposta, bem como uma

possível produção de um modelo matemático, que retrate a situação estudada.

Bean (2007) considera modelo como estruturas conceituais cuja aceitação

sociocultural numa comunidade ou sociedade é devida a sua capacidade de direcionar

atividades da comunidade, de forma que essas atividades atendam às necessidades,

interesses e aspirações dos membros da comunidade ou sociedade mais ampla. O autor

ainda diz que a construção de modelos também ocorre, numa “escala menor”, num passo

necessário para a resolução de um problema maior, de forma, que o modelo sirva para

nortear o pensamento e as ações na continuidade da resolução.

Para Biembengut (1999) e Bassanezi (2002), um modelo matemático é um conjunto

de símbolos e relações matemáticas que procura representar, de alguma forma, um

fenômeno em questão ou problema de situação real estudada. Refletindo esses conceitos

posso levantar a seguinte questão: poderíamos dizer então, que um modelo matemático

pode ser considerado apenas como um conjunto de símbolos e relações matemáticas?

Bean (2007) argumenta que os modelos são construídos utilizando uma variedade

de linguagens, além da matemática. Por linguagem, o autor compreende como meios de

expressão e comunicação, ou seja, utilizamos linguagens para nos expressarmos e

comunicarmos.

Remetendo-se aos argumentos de Bean (2007) e por compreender que um modelo

matemático é produzido em contextos sociais repletos de interações interpessoais, onde o

discurso (linguagem) é peça fundamental, considero assim como Barbosa (2007b) que

modelo matemático pode ser qualquer representação matemática da situação pesquisada.

Neste caso, ele considera a representação escrita, ou seja, as idéias que os alunos ou

professor registram no papel, através de objetos matemáticos (símbolos, idéias,

algoritmos). Segundo este autor, para ser um modelo matemático é necessário ser um

discurso escrito que utilize objetos matemáticos de alguma maneira.

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As discussões formadas pelos alunos na busca da construção de um modelo

matemático, nos espaços de interação, compõem as rotas de Modelagem. Borromeo Ferri

(2006) propõe a noção de rotas de Modelagem para denota as ações dos alunos através dos

processos, nos níveis interno e externo, que os mesmos realizam durante as atividades de

Modelagem. Referindo-se ao nível externo, Barbosa (2007b) considera essas rotas de

Modelagem como de natureza discursiva, focalizando assim os discursos produzidos nesse

ambiente. Fazem parte dessas rotas, segundo o autor:

- as discussões matemáticas que se referem aos conceitos e idéias integralmente

pertencente à disciplina matemática;

- as discussões técnicas que se referem ao processo de matematização da situação em

estudo;

- a s discussões reflexivas que se referem à conexão entre os pressupostos utilizados na

construção do modelo matemático e os resultados, bem como a utilização destes últimos na

sociedade.

A seguir, aprofundarei o estudo sobre as discussões técnicas, já que o objetivo

desse artigo é discutir o conceito das discussões técnicas num ambiente de Modelagem.

As Discussões Técnicas

Nos estudos de Barbosa (2001, 2003, 2006), é relatado que Skovsmose (1990) tem

apresentado a natureza do processo de Modelagem em termos de conhecimento

matemático, técnico e reflexivo. Sobre conhecimento técnico, Skovsmose (1990) apresenta

como o que se refere a como construir e usar um modelo matemático. Envolto por essa

consideração de Skovsmose acerca de conhecimento técnico, Barbosa (2003) conceitua as

discussões técnicas, inicialmente, como as que se referem à construção do modelo

matemático, em particular à transição da situação para a representação matemática.

Nessa definição de Barbosa (2003), os termos “construção” e “transição”, chamam

a atenção. De acordo com Ferreira (2004), o termo “construção” vem do latim

constructione e pode assumir alguns significados dentre eles: ação, efeito, modo ou arte de

construir; maneira como algo é formado; estrutura; o objeto construído, edifício; e

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matematicamente, esse termo representa: tratado metódico das construções geométricas.

Ainda segundo Ferreira (2004), o termo “transição” surgiu do latim transitione e

representa ato, efeito ou modo de passar lenta e suavemente de um lugar, estado ou assunto

para outro; trajeto; trânsito; passagem. Observo nesse conceito, a preocupação de Barbosa

(2003) com a construção “do modelo”, o qual venha a representar a situação estudada, já

que discussões técnicas se referem à estruturação de um modelo, através da passagem a

situação para a representação matemática.

No conceito apresentado por Barbosa (2007a), a palavra “translação” substitui os

dois termos “construção” e “transição”, definido discussões técnicas como as que se

referem à translação do fenômeno eleito para estudo em termos matemáticos. Em Ferreira

(2004), o termo “translação” origina-se do latim translatione e indica ato ou efeito de

transladar; trasladação; transporte.

Imbuído dessas definições, percebo que o termo translação abarca, ou seja,

compreende tanto o efeito de construção, construir como o de transição, além do que seu

uso não evidencia tanto a produção “do modelo”, mas sim de um estudo, o qual retrate a

situação de alguma maneira. Daí, as discussões técnicas assumem o papel de transporta

uma situação para termos matemáticos.

Já em estudos recentes, como Barbosa (2007b) conceitua as discussões técnicas

como o processo de matematização da situação em estudo. Sendo assim, analisando as

definições de Ferreira (2004) sobre os termos “processo”, o qual indica maneira de operar,

de agir; método. E “matematização” que é reportado pelo autor, como ato ou efeito de

matematizar; aplicação de métodos matemáticos a um domínio do saber. Posso então dizer

que as discussões técnicas envolvem um processo de reduzir, através da matemática, a

situação em estudo.

Depreendendo-se da definição no parágrafo acima, considero as discussões técnicas

como referente à tradução da situação-problema para a linguagem matemática, como

apresentado em Silva (2006). Para Ferreira (2004), o termo “tradução” vem do latim

traductione e representa ato ou efeito de traduzir, ou seja, interpretar, representar,

simbolizar, transladar, explicar; transpor de uma língua ou linguagem para outra. Baseado

nessa definição, assumo o termo “tradução” como ação-processo de transpor de uma

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linguagem para outra. Considerando, assim, discussões técnicas como essa ação-processo

de transpor da linguagem real (realidade) para a linguagem matemática, ou seja, explicar a

situação através da matemática.

Deixo claro, também, que considero linguagem matemática como àquilo que os

participantes (alunos ou professor) falam ou escrevem por meio de signos ou símbolos ou

sons cujos significados são estabelecidos por convenção, neste caso a matemática. De

forma mais clara, compreendo a linguagem matemática, como o uso da matemática

(objetos matemáticos) articulada (discurso) ou escrita (modelo matemático) como meio de

expressão e de comunicação entre pessoas.

Estudos como o de Christensen, Skovsmose e Yasukawa (2008), apresentam essa

“tradução” como um processo de matematização de transformações matemáticas, as quais

reduzem a situação estudada em descrições matemáticas. Essas transformações, segundo

esses autores, podem conter influências dos seus criadores, pois os mesmos durante o seu

desenvolvimento podem inferir interesses implícitos e explícitos.

Remetendo-se a idéia apresentada pelos autores sobre esse processo de

matematização, focalizando nos discursos produzidos no ambiente de Modelagem,

compreendo que essas transformações matemáticas, a nível de discussões técnicas, por sua

vez também podem sofrer influencias dos seus criadores, pois os mesmos refletem em seus

discursos interesse ou intencionalidades implícitas e explicitas durante todo o

desenvolvimento da atividade.

Isso é visível no estudo de Araújo e Barbosa (2005), o qual foi realizado com um

grupo de alunas da disciplina Cálculo Diferencial e Integral, aonde o grupo conduziu a

atividade de Modelagem por meio de uma estratégia inversa àquela proposta pelo

professor, tomando como ponto de partida da atividade um conteúdo matemático. Pode-se

perceber, no episódio apresentado nesse estudo, a intencionalidade na discussão das alunas

durante a interpretação da situação.

Por isso, compreendo que cada modelo traz, em si, uma estrutura baseada em

diversas experiências, intuições e concepções sobre a situação estudada e também sobre

tópicos matemáticos utilizados, e esta estrutura é influenciada pelas interpretações dos

indivíduos sobre a situação-problema. Isso pode ocorrer, pelo fato dos participantes

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trabalharem com situações do dia-a-dia ou das ciências, as quais podem, direta ou

indiretamente, exercer influencia durante os pressupostos usados na produção do modelo.

Como argumentam Araújo e Barbosa (2005) nesse mesmo estudo, que o contexto

influencia sobre a forma que os alunos interpretam a tarefa de desenvolver atividades de

Modelagem.

Metodologia

Como meu objeto de análise refere-se aos discursos produzidos por um grupo de

alunos durante o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem, a abordagem

qualitativa torna-se a mais adequada, já que segundo Bogdan e Biklen (1994), esta

abordagem tem o interesse de investigar problemas e verificar como eles se manifestam

nas atividades, nos procedimentos e nas interações cotidianas, por isso a fonte direta de

dados é o ambiente natural.

Para acompanhar o desenvolvimento desta atividade, foi selecionado um grupo para

observação, a qual se deu através do contato direto com os autores envolvidos, ou seja,

ocorreu no ambiente natural onde os discursos dos alunos foram produzidos, sendo estes

registrados através de filmagens. Conforme Adler e Adler (1994), a observação consiste

assim em recolher impressões do mundo circunvizinho através de todas as faculdades

humanas relevantes, ou seja, a observação possibilita um contato pessoal e estreito do

pesquisador com o fenômeno pesquisado (LÜDKE e ANDRÉ, 1986). Também foi

fotocopiado dos alunos todo material escrito desenvolvido por eles durante a atividade.

Neste estudo, utilizo a observação de natureza não-estruturada, onde, de acordo

com Alves-Mazzotti (1998), os comportamentos a serem observados não são

predeterminados, são observados e relatados da forma como ocorrem, visando descrever e

compreender o que está ocorrendo numa dada situação. Tendo em vista os objetivos da

pesquisa, interesso-me pelas interações verbais realizadas entre os alunos e entre estes e o

professor durante o desenvolvimento de uma atividade de Modelagem.

Contexto do estudo

Os dados que utilizarei para ilustrar o meu estudo, foram coletados na disciplina

Instrumentalização para o Ensino da Matemática (INEM) VI – com foco nos Temas

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Transversais, numa turma do 6º semestre do curso de Licenciatura em Matemática da

Universidade Estadual de Feira de Santana – Bahia, ministrada pelo orientador deste

artigo. A turma era composta por 15 alunos de diversos semestres.

Essa disciplina visa potencializar os estudantes para a organização de situações

didáticas voltadas para a compreensão da realidade social e dos direitos e

responsabilidades em relação à vida pessoal, coletiva e ambiental. Temas Transversais

busca promover o “encaixe” das disciplinas, e no caso especial da Matemática, tentando

conectá-la a outras disciplinas. Nesse contexto, o ambiente de Modelagem é utilizado, pois

a Matemática é trabalhada para estudar e entender fenômenos de outras disciplinas,

abrindo espaço para a inclusão de saberes extra-escolares, possibilitando a referência a

sistemas de significados construídos na realidade dos alunos.

As aulas aconteciam uma vez por semana com carga horária de 4 horas e eram

divididas em três momentos. No primeiro momento, o professor discutia com os alunos

sobre um tema proposto por ele. Às vezes, o mesmo trazia reportagens e dados sobre o

tema a ser abordado. No segundo momento, os alunos eram convidados a trabalhar uma

determinada questão em grupo, finalizando com a exposição e discussão das conclusões da

atividade, fechando assim o terceiro momento do encontro.

Durante a observação, foram coletados dados em diferentes grupos, tendo em vista

que nessa disciplina, o professor teve a oportunidade de desenvolver atividade de

Modelagem, caso 18 e também um projeto de Modelagem, caso 3. Para esse artigo trago os

dados vindos de uma atividade do projeto de Modelagem caso 3, desenvolvido pelo grupo

formado pelos alunos: Crispiniana, Índio, Mamá, Marcela e Vivian 9. Essa atividade era

dividida em três momentos: o primeiro refere-se aos encontros entre o professor e o grupo

de alunos, o segundo trata-se das conclusões pelos alunos elaboradas e discutidas sem a

presença do professor e o terceiro a exposição pelo grupo dos resultados do estudo ao

restante da turma.

O episódio, a seguir, refere-se a uma atividade desenvolvida pelo professor, na

turma de INEM VI. Para um maior contato com este grupo, visando compreender, através

dos discursos produzidos pelos mesmos, a atividade desenvolvida, houve a necessidade de 8 Para maiores informações acerca dos casos 1 e 3 de Modelagem, ver Barbosa (2003). 9 Pseudônimos adotados pelos integrantes do grupo observado.

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um contato direto com os alunos através da observação do encontro, para o

desenvolvimento da atividade, realizado por eles. Por esse fato, foi selecionado apenas um

grupo, pois dessa forma pude acompanhar todas as etapas do desenvolvimento da

atividade.

Para esse artigo, destaquei um trecho de um episódio, referente à apresentação dos

resultados encontrados pelo grupo ao professor e a turma, que retrata as discussões técnicas

dos alunos num ambiente de Modelagem.

Episodio: Qual o valor da passagem em 2008?

O episódio, apresentado a seguir, refere-se ao dia de aula, no qual os alunos

apresentaram para o restante da turma o projeto de Modelagem desenvolvido por eles. O

grupo observado decidiu desenvolver um estudo sobre aumento recente na tarifa do ônibus

urbano da cidade de Feira de Santana (Bahia), tendo em vista que esse assunto estava

sendo bastante discutido pela população da cidade, devido o recente aumento do valor da

passagem de R$ 1,70 para R$ 1,85. Então, o grupo se propôs a resolver a seguinte

pergunta: “Qual será o valor da passagem no ano de 2008?” Após reunião com o

professor, tentaram coletar dados e informações no SIT - Sistema Integrante de Transporte

da cidade de Feira de Santana, que é responsável pelo sistema de transporte da cidade para

desenvolver o estudo.

A apresentação foi dividida em dois momentos, no primeiro houve apresentação de

um histórico sobre o desenvolvimento do sistema de transporte na cidade de Feira de

Santana, bem como o motivo que levou o grupo a escolher esse tema. No segundo

momento, após essa discussão inicial, sobre a justificativa e a importância de investigar a

problemática apresentada, o grupo seguiu sua apresentação da possível solução encontrada

por eles para a situação investigada.

O recorte abaixo mostra os discursos dos alunos, enquanto estes socializam suas

conclusões acerca do aumento do valor da passagem do ônibus urbano na cidade de Feira

de Santana com o restante da turma:

(1) Marcela: A gente resolveu assim... Que a mudança foi mais ou menos em fevereiro e março [referindo-se ao ano de 2006] e como aqui a gente só tem até outubro [ainda

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referindo-se ao ano de 2006], a gente colocou entre fevereiro e março entre setembro e outubro... Esse dois mil... A gente pegou esse e foi somando aqui até o mês de outubro... daí dividiu por oito e achou aquele número ali de vermelho[referindo-se ao slide 1].

Cálculos

2006 - Passageiros

Fevereiro-março →setembro-outubro

2051316 + 2514550 + 2131621 + 2509507 + 2336786 + 2469375 + 2596174 + 2513267 + 2581616 = 21704212

21704212 : 8 = 2713026,5

Na enunciação (1), nota-se que Marcela apresentou os dados, os quais o grupo

considerou para o desenvolvimento da atividade, bem como a estratégia inicial, que

consistiu em achar uma média referente aos meses, os quais eles possuíam que no caso

foram oito meses. Então, eles decidiram achar à média dos oito meses.

(2) Aluna: Mas por que dividiu por oito? (3) Marcela: Na verdade é uma média que a gente achou...entre esses

meses aqui que no caso foram oito meses que a gente pegou... Ai, aqui é a quilometragem... Por que tem dois gráfico ali passageiro e quilometragem [referindo-se aos gráfico do slide 1]... A gente fez a mesma coisa dividiu por oito, que foi a quantidade de meses e achou esse valor.... Ai, aqui 2007 passageiros fez a mesma coisa, dividiu por oito e achou o valor... Calculando a passagem 2008... A gente resolveu fazer uma regra de três composta com o número de passageiros, a quilometragem e o valor da passagem [slide 2]... A gente colocou que o número de passageiros é inversamente proporcional a valor da

Figura 1: Slide 1

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passagem, não é isso... Pois se eu tenho uma quantidade de passageiros... O valor é aquele se aumenta (passageiros) o valor vai ser aquele mesmo. E a quilometragem é proporcional ao valor da passagem, pois enquanto mais o ônibus roda mais gastos ele tem então o valor da passagem tende a aumentar... Ai aqui aqueles valores que achamos ali, a gente colocou 2006 e 2007... Então qual será?... Por que aqui tem 2006 o aumento foi pra quanto?.. 1,70... e aqui em 2007 qual será pra 2008? Vai ter que se ver ai.

↓Nº de passageiros ↑Quilometragem ↑Valor da passagem2713026,5 1071382,7 R$1,702574700,5 1226928,2 P

Calculando a passagem de 2008

Após o questionamento de uma colega da turma, Marcela, na enunciação (2),

explicou o motivo de o grupo ter considerado apenas oito meses. Em seguida, ela explicou

que o grupo decidiu fazer uma regra de três composta entre número de passageiros,

quilometragem e valor da passagem, afinal de tentar projeta um novo valor da passagem.

Marcela, também deixou claro, a relação existente entre o número de passageiros e a

quilometragem, ambos com o valor da passagem.

(4) Marcela: Daí a gente relacionou de 2 em 2... Quilometragem e o valor da passagem ai achou o primeiro ali... R$ 1,95 aproximadamente [slide 3] e o numero de passageiros com o valor da passagem vai acha outro valor q é possível que é 2,00 [slide 4].

Figura 2: Slide 2

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Quilometragem V. da passagem1071382,7 R$1,701226928,2 P1

1071382,7P1 = 1,70X1226928,21071382,7P1 = 2085777,9

P1 = 2085777,9/1071382,7P1 = 1,9468093P1 = R$1,95 (aproximadamente)

Relacionando o valor da passagem à quilometragem

↓nºde passageiros ↑V. da passagem27130265/10 R$1,7025747005/10 P2

10/27130265 1,7010/25747005 P2

10/27130265P2 = 1,70X10/257470050,0000003P2 = 0,0000006P2 = 0,0000006/0,0000003P2 = R$2,00

Relacionando o valor da passagem ao nº de passageiros

Nesse momento, pela enunciação (4), Marcela mostrou que o grupo decidiu fazer

uma relação 2 a 2, ou seja, uma relação entre a quilometragem e o valor da passagem e em

seguida esta ultima com o número de passageiro. Dessa forma, o grupo achou um valor em

relação a quantidade de usuários e outro valor referente a relação entre valor e quilômetros

rodados pelo ônibus.

Euforia de todos os alunos com a apresentação dos resultados obtidos pelo grupo.

(5) Índio: Como em qualquer pesquisa sempre é possível uma margem de erro, né?... Você pode até questionar o valor maior do que o que está sendo discutido hoje... Dessa

Figura 3: Slide 3

Figura 4: Slide 4

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forma, a passagem no ano de 2008 considerando a evolução da quilometragem pode ser de aproximadamente R$1,95, e relacionando ao número de passageiros pode ser de R$2,00. Percebemos que há uma diferença pequena, portanto a passagem no ano de 2008 poderá estar entre R$1,95 e R$2,00. Sabemos que se considerássemos os gastos anuais... Aos quais não tivemos acesso como foi dito por Vivian... Poderíamos ter chegado a um resultado diferente para a passagem em 2008, porém acreditamos que a maneira como calculamos seja uma possibilidade... Considerando os dados que a gente tinha a gente consegui isso ai.

Na enunciação (5), o aluno Índio relatou que os valores encontrados tiveram base

nas informações e nos dados encontrados por eles durante a pesquisa.

Observando esse episódio, posso analisar que as discussões dos alunos decorrem

em torno de estabelecer uma estratégia para encontra o valor de passagem através do

número de usuário do transporte urbano, bem como a quantidade de quilômetro percorrido

pelo ônibus em seu trajeto, além do valor atual da passagem.

A parte em destaque nas enunciações dos alunos, denota-se o que considero como

discussões técnicas, pois nessas partes podemos perceber como eles interpretaram, ou seja,

traduziram a situação estudada em termos matemáticos. Nas enunciações (1) e (3), por

exemplo, vimos que o grupo através do cálculo das médias referente aos dados de oito

meses e aos dados do número de passageiros conseguiu uma base para começa o estudo.

Depois com essas informações, segundo a aluna, o grupo tentou através de uma regra de

três compostas encontra um valor. Daí em seguida, os alunos decidiram fazer duas

relações, como relata a aluna na enunciação (4), uma relacionando o valor da passagem e a

quilometragem do ônibus e outra usando o valor da passagem e o número de usuário, o que

levou o grupo a encontra dois valores.

Considerações finais

Através da ilustração desse trecho de episódio, as discussões estabelecidas pelo

grupo observado tinham o intuito de interpretar a situação proposta. Fazendo o uso de

experiências de conceitos matemáticos, ou seja, uma linguagem matemática para

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compreender e assim desenvolver a atividade. Essas discussões realizadas pelos mesmos

podem ser denominadas de discussões técnicas, já que os conceitos matemáticos foram

responsáveis pela estruturação da estratégia a ser seguida, seleção de variáveis

responsáveis pela tradução da situação estudada para a linguagem matemática.

Percebe-se também, que a situação do dia-a-dia sobre as quais os alunos estão

trabalhando nesse caso o aumento de tarifa de ônibus, pode ser considerada um tipo

específico de discurso, que será “interpretado” e por que não dizer traduzido por outro

discurso, que nesse caso será a discussão técnica. Compreendo que essas situações, seja

elas do dia-a-dia ou de até mesmo de outras ciências, serão o ponto de referência para o

desenvolvimento e a produção das discussões técnicas e futuramente a estruturação do

modelo, pois as mesmas forneceram um “limite”, ou seja, os pressupostos que serão ou não

permitidos considerar de fato, já que se tratam de situações reais, situações com impressões

de sentido.

Além do que como considero o modelo matemático desenvolvido durante a

atividade um discurso escrito, isso me remete a considerar que o mesmo pode vim a ser

modificado com interferências de outras discussões como as reflexivas, as matemáticas ou

até mesmo as técnicas.

Por exemplo, as discussões reflexivas, que se referem à conexão entre os

pressupostos utilizados na construção do modelo matemático e os resultados, bem como a

utilização destes últimos na sociedade, podem questionar esse modelo, esse discurso

escrito, levando os participantes a reinterpretá-los ou readequá-lo pormenorizadamente

com outra perspectiva, que reflita como os pressupostos utilizados na produção desse

modelo, podem afetar a sociedade. Isso é visto na fala do aluno Índio, ele deixa claro que

os resultados obtidos são vindo dos dados utilizados e que os mesmos podem até serem

questionados, tendo em vista que o valor encontrado pelo grupo foi bem maior que o valor

realmente estipulado pela prefeitura da cidade.

Vimos no extrato apresentado que os alunos desenvolveram as discussões técnicas.

Entretanto outras questões surgem: Como surgem essas discussões? Como elas se

desenvolvem nesse ambiente? Essas perguntas que fazem parte dos objetivos do meu

estudo, o qual visa investigar e analisar como são produzidas as discussões técnicas num

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ambiente de Modelagem Matemática. Nesta pesquisa pretendo tratar sobre as discussões

técnicas, tentado entender como são realizadas e formadas no ambiente de Modelagem

Matemática.

Próximos Passos

A análise e a interpretação inicial estão sendo feitas de forma interativa com os

dados. A pesquisa está em fase de qualificação. Posteriormente, à análise inicial, voltarei à

atenção para a análise dos dados discutindo com a literatura.

Agradecimentos

Gostaria de agradecer aos membros do Núcleo de Pesquisas em Modelagem

Matemáticas (NUPEMM) pelas contribuições dadas no processo de revisão deste artigo.

Além disto, agradeço à Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado da Bahia (FAPESB)

pelo financiamento oferecido ao projeto de pesquisa de onde se originou este artigo.

Referências

ADLER, P. A.; ADLER, P. Observational techniques. In: DENZIN, N. K.; LINCOLN, Y.

S. (Ed.). Handbook of qualitative research. Thousand Oaks: Sage, 1994. cap. 23, p. 377-

392.

ALVES-MAZZOTTI, A. J. O método nas ciências sociais. In: ALVES-MAZZOTTI, A. J.;

GEWANDSZNAJDER, F. O método das ciências naturais e sociais: pesquisa

quantitativa e qualitativa. 2. ed. São Paulo: Pioneira, 1998. Parte II, cap. 6-7, p. 129-178.

ARAÚJO, J. L.; BARBOSA, J. C. Face a face com a Modelagem Matemática: como os

alunos interpretam essa atividade? Bolema - Boletim de Educação Matemática, Rio

Claro, n. 23, p. 79-95, 2005.

ARL∅, H; SKOVSMOSE, O. Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática;

tradução de Orlando Figueiredo. Belo Horizonte: Autêntica, 2006.

BARBOSA, J.C. Modelagem Matemática e os professores: a questão da formação.

Bolema - Boletim de Educação Matemática, Rio Claro, n. 15, p. 5-23, 2001.

17

BARBOSA, J. C. Modelagem matemática e a perspectiva sócio-crítica. In: SEMINÁRIO

INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 2., 2003, Santos.

Anais... São Paulo: SBEM, 2003. 1 CD-ROM.

BARBOSA, J. C. A dinâmica das discussões dos alunos no ambiente de Modelagem

Matemática. In: SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA, 3., 2006, Águas de Lindóia. Anais... Recife: SBEM, 2006. 1 CD-ROM.

BARBOSA, J. C. Mathematical modelling and parallel discussions. In: CONGRESS OF

THE EUROPEAN SOCIETY FOR RESEARCH IN MATHEMATICS EDUCATION, 5,

Larnaca (Cyprus). Paper presented at WG13 (Applications and Modelling). 2007a.

BARBOSA, J. C. A prática dos alunos no ambiente de Modelagem Matemática: o esboço

de um framework. In: BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAÚJO, J. L. (Org.).

Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas

educacionais. Recife: SBEM, 2007b. p. 161-174.

BASSANEZI, R. C. Ensino-Aprendizagem com modelagem matemática: Uma Nova

Estratégia. São Paulo: Contexto, 2002.

BIEMBENGUT, M. S. Modelagem Matemática & Implicações no Ensino e Aprendizagem

de Matemática. Blumenau: Ed. Da Furb, 1999.

BEAN, Dale . Modelagem matemática: uma mudança de base conceitual. In:

CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA, 5., 2007, Ouro Preto. Anais... Ouro Preto: UFOP/UFMG, 2007a. 1 CD-

ROM, p. 35-58.

BOGDAN, R. C.; BIKLEN, S. K. Investigação qualitativa em educação: uma introdução

à teoria e aos métodos. Porto: Porto Editora, 1994.

BORROMEO, F. Theoretical and empirical differentiations of phases in the modeling

process. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik , v. 38, n. 2, p 86-95, 2006.

BURAK, D. . Modelagem Matemática e a Sala de Aula. In: EPEM-Encontro Paranaense

da Modelagem Na Educação Matemática, 1., 2004, Londrina. Anais do I EPMEM, 2004.

18

CHRISTENSEN, O. R.; SKOVSMOSE, O.; YASUKAWA, K. The mathematical state of

the world - explorations into the characteristics of mathematical descriptions. Alexandria

Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v. 1, n. 1, p. 77-90, 2008.

FERREIRA, A. B. H.. Novo dicionário da língua portuguesa. 3. ed. Curitiba: Positivo,

2004.

KAISSER, G.; SIRIRAMAN, B. A global survey of international of perspectives on

modelling in mathematics education. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik , v. 38,

n. 3, p. 302-310, 2006.

LÜDKE, Marli E.D.A. André. Pesquisa em Educação: Abordagem Qualitativa, São

Paulo: EPU, 1986.

SILVA, J. N. D. . As Discussões Técnicas num Ambiente de Modelagem Matemática. In:

Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-Graduação em Educação Matemática, 10, 2007,

Curitiba. Anais... Curitiba : SETOR DE EDUCACAO - UFPR, 2007. CD-ROM

SKOVSMOSE, O. Cenários para Investigação. Bolema - Boletim de Educação

Matemática, Rio Claro, n. 14, p. 66-91, 2000.