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Acetatos sobre Probabilidades, Estatística
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PROBABILIDADES
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 2
Introduo
Um fenmeno pode ser:
Determinstico:
A relao funcional entre variveis dependentes e variveis independentes est
bem definida. possvel prever com exactido os valores das variveis
dependentes.
Exemplo: E = mc2
Probabilstico ou Estocstico:
O valor das variveis dependentes depende do factor sorte. No possvel prever
com exactido os valores das variveis dependentes.
Exemplo: resultado do prximo jogo de futebol entre Porto e Benfica.
Em estatstica estuda-se os fenmenos probabilsticos.
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 3
Introduo
Def: Uma experincia aleatria qualquer processo que pode
gerar um resultado diferente de cada vez que executado nas
mesmas condies.
Exemplo 1: Lanar um dado e observar o nmero da face de cima
Exemplo 2: Lanar uma moeda 3 vezes e observar o nmero de faces
obtidas
Def: Designa-se por observao o resultado de uma experincia
aleatria.
Exemplo 1: Sai o nmero 5 (no lanamento do dado)
Exemplo 2: Saem 2 faces (no lanamento da moeda)
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 4
Introduo
Def: O espao amostral, S, o conjunto de todos os resultados
possveis de uma experincia aleatria. Tambm se designa por
espao de resultados.
Exemplo 1: {1,2,3,4,5,6}
Exemplo 2: {0,1,2,3}
Def: Um evento ou acontecimento um subconjunto do espao
amostral.
Exemplo: A:Sai um nmero par (no lanamento do dado)
A = {2,4,6}
A
S
Diagrama
de
Venn
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 5
Introduo
Def: Um evento simples ou elementar um conjunto com apenas
um dos resultados possveis da experincia aleatria.
Exemplo: B:Sai o nmero 5 (no lanamento do dado)
B = {5}
Def: Um evento composto um conjunto com mais do que um dos
resultados possveis da experincia aleatria.
Exemplo: A:Sai um nmero par (no lanamento do dado)
A = {2,4,6}
O espao amostral, S, o evento certo.
O conjunto vazio, , o evento impossvel.
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 6
Introduo
Def: O complemento de um evento A (em S) o conjunto ,
constitudo por todos os elementos de S que no pertencem a A,
isto
Exemplo:
Nota:
A
ASA xx :
6,5,4,3,2,1S
6,4,3,2,15 BB
A
S
A
AASS ,,
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 7
Def: A interseco de dois eventos, A e B, designada por AB, o
conjunto de todos os elementos comuns a A e a B, isto
Exemplo:
Introduo
BASBA xxx :
3,2,1A
5,3,1B
S
BA
A B
3,1BA
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 8
Def: Dois eventos, A e B, so mutuamente exclusivos ou disjuntos
ou incompatveis se no tm elementos comuns, isto
Exemplo:
Introduo
BA
3,2,1A
7,5B
S
A B
BA
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 9
Def: A diferena entre dois eventos, A e B, designada por A-B ou
A \ B, o conjunto de todos os elementos de A que no pertencem
a B, isto
Exemplo:
Nota:
Introduo
BASBA xxx :\
3,2,1A
5,3,1B
2\ BA
BABA \
S
A B
BA \ AB \
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 10
Def: A reunio de dois eventos, A e B, designada por AB, o
conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B, isto
Exemplo:
Introduo
BASBA xxx :
3,2,1A
5,3,1B
S
A B
5,3,2,1BA
BA
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 11
Introduo
Leis de De Morgan:
Def: O cardinal de um conjunto finito, A, designado por #A, o
nmero de elementos de A.
Exemplo:
BABAi )
BABAii )
3#3,2,1 AA
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 12
Def: B1, B2, ..., Br constituem uma partio do espao amostral, S,
sse:
Introduo
rBABABAA 21
jiBBi ji ,)
r
i
i SBii1
)
S
A
1B 2B
3B
rB
2BA1BA
3BA
rBA
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 13
Probabilidade de um evento
Existem vrias definies de probabilidade:
Clssica (devida a Laplace)
Geomtrica
Frequencista
Axiomtica
Def. clssica: Seja uma experincia aleatria com N resultados
possveis mutuamente exclusivos e igualmente provveis. Se um
acontecimento A contiver NA desses resultados (NA N), ento a
probabilidade de A dada por
o n de casos favorveis a A sobre o n de casos possveis.
N
NAP A
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 14
Probabilidade de um evento
Exemplo: Retira-se uma carta de uma baralho de 40. Qual a probabilidade
de sair uma espada?
Exemplo menos trivial: Usando o mesmo baralho de cartas, qual a
probabilidade de sair uma figura em duas cartas tiradas com reposio.
10AN
A: Sai uma espada
40N
4
1
40
10AP
F: Sai uma figura na extraco de uma carta
40
28
40
122 FFPFFPBP
FFFFB ,
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 15
Probabilidade de um evento
Propriedades:
10) APi
10100: APN
NNNDemo AA
1) SPii
1#: N
NSPNSDemo
BPAPBAPBAiii :adio da Regra)
BPAPN
N
N
N
N
NN
N
BABAP
NNBABADemo
BABA
BA
#
#:
1) APAPiv
1
:
SPAPAPSAA
APAPAAPAADemo
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 16
Probabilidade de um evento
Propriedades:
0) Pv
011: PSPPPPDemo
BAPBPAPBAPvi )
BAPBPAPBAP
ABPBAPBPABBAB
ABPAPBAPABABADemo
:
S
A B
BA ABBA
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 17
Probabilidade de um evento
Propriedades:
CBAPCBP
CAPBAPCPBPAPCBAPvii
)
CBAPCBPAPCBAP
CBD
DAPDPAPDAPDemo
ento se Logo,
:
CABAP
CBPCPBPAP
CBAPCAP
BAPCBPCPBPAP
S
B
1
A
C
1
1
2
223
CBA
CBCABACBACBA
####
#### :Nota
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 18
Exerccio
Considere que a uma dada experincia aleatria esto associados 2 acontecimentos,
A e B. A probabilidade de que s A ocorra de 0.3, a probabilidade de que ambos
ocorram 0.15 e a probabilidade de ocorrncia de B de 0.5. Determine a
probabilidade de:
a) ocorrer pelo menos um dos acontecimentos;
b) nenhum dos acontecimentos ocorrer.
A: Ocorre o acontecimento A a)
B: Ocorre o acontecimento B
3.0 BAP 15.0BAP
5.0BP
45.015.03.0 BAPBAPAPBABAA
8.015.05.045.0 BAPBPAPBAP
b) 2.08.011 BAPBAPBAP
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 19
Probabilidade condicional
Def: A probabilidade condicional de A dado B designa-se por
P(A|B) e dada por
Nota: O efeito de saber que B ocorreu B tornar-se o espao amostral.
0,|
BPBP
BAPBAP
B
BA
S
BS
BA
BP
BAPBAP
#
#
#
##
#
|
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 20
Exerccio
Tira-se uma carta de um baralho de 40.
a) Qual a probabilidade de ter sado o rei de copas?
b) Sabendo que saiu copas, qual a probabilidade de ter sido o rei?
A: Sai o rei de copas a)
B: Sai copas
40
1AP
b)
10
1
40
1040
1
|
BP
AP
BP
BAPBAP
ABAB :Nota A
Nota: O espao amostral passou a ser B, sendo #B = 10.
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 21
Independncia de eventos
Def: A e B so eventos independentes sse
Teor: Se A e B so eventos independentes, com P(A)>0 e P(B)>0,
ento
BPAPBAP
BPAP
BPAP
AP
BAPABP
APBP
BPAP
BP
BAPBAP
BADemo:
|
|
tesindependen so e
BPABPAPBAP |e|
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 22
Regra da multiplicao e probabilidade total
Teorema da regra da multiplicao: A probabilidade conjunta dos
eventos A e B
Teorema da probabilidade total: Se os eventos B1, B2, ..., Br
constituem uma partio do espao amostral S, ento, para qualquer
evento A, temos
BAPBPABPAPBAP ||
r
i
ii BAPBPAP1
|
rBABABAA 21
S
A
1B 2B
3B
rB
2BA1BA
3BA
rBA
:Demo
rBAPBAPBAPAP 21
r
i
ii
r
i
i BAPBPBAP11
|
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 23
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes: Se os eventos B1, B2, ..., Br constituem uma
partio do espao amostral S, ento, para qualquer evento A,
temos
rk
BAPBP
BAPBP
AP
ABPABP
r
i
ii
kkk
k ,,2,1,
|
||
1
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 24
Exerccio
Num sector industrial, 30% das empresas so de pequena dimenso, 60% so de
mdia dimenso e as restantes so de grande dimenso. Sabe-se que 50% das
empresas de mdia dimenso e 20% das empresas de grande dimenso esto em
situao econmica difcil. A probabilidade de uma empresa escolhida ao acaso ser
de pequena dimenso e estar em situao econmica difcil 0.25.
a) Qual a probabilidade de uma empresa deste sector, escolhida aleatoriamente, se
encontrar em situao econmica difcil?
b) Escolheu-se, ao acaso, uma empresa daquele sector e verificou-se que est em
situao econmica difcil. Qual a probabilidade desta empresa ser de pequena
dimenso?
A: A empresa de pequena dimenso a)
B: A empresa de mdia dimenso
C: A empresa de grande dimenso
D: A empresa est em situao econmica difcil
Rui Rocha ISEP - DMA 2014/2015 Probabilidades 25
Exerccio
Diagrama em rvore:
A
B
C
AD |
AD |
BD |
CD |
BD |
CD |
DA
DC
DB
DA
DC
DB
3.0
6.0
1.0
5.0
5.0
2.0
8.0
1.01 BPAPCP
5.0|1| BDPBDP
8.0|1| CDPCDP
8333.03.0
25.0|
AP
DAPADP
8333.0
1667.0
1667.0|1| ADPADP
3.0AP 6.0BP 5.0| BDP 2.0| CDP
25.0DAP
DCDBDAPDP
DCPDBPDAP
CDPCPBDPBPADPAP |||
5700.02.01.05.06.08333.03.0
4386.0
5700.0
8333.03.0||
DP
ADPAPDAPb)