Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer

1 Problem

Pro sestrojenı vybusniny pouzije MacGyver zvykacku pripevnenou na okraje ctvercoveho ramecku o hranach

delky 1, jehoz rohy jsou v bodech (0,0), (1,0), (1,1), (0,1). V termodynamicke rovnovaze zvykacka zaujme

minimalnı povrch. Nicmene z povetrnostnıch duvodu ma omezenı

∫ 1

0

∫ 1

0

u(x, y) sin(πx) sin(πy) dx dy =1

100, (1)

kde u(x, y) oznacuje vysku povrchu zvykacky nad rovinou ramecku. Jaky priblizne tvar zvykacka zaujme?

2 Resenı

Povrchovy element dS je v prıpade funkce dvou promennych u(x, y) roven

dS =√

1 + u2x + u2

y dx dy. (2)

Celkovou plochu pak dostavame integracı po cele mnozine:

∫Ω

dS =

∫ 1

0

∫ 1

0

√1 + u2

x + u2y dx dy. (3)

Cılem je tedy najıt minimum integralnıho funkcionalu (3) s vazbou. S vyuzitım tvaru Euler-Lagrangeovy

rovnice pro funkcional jedne funkce o vıce promennych [1]

Fu − ∂

∂xFux

− ∂

∂yFuy

(4)

pisme v souladu s vetou o Lagrangeovych multiplikatorech pro integralnı funkcionaly [1]

Fu − λGu − ∂

∂x(Fux − λGux) − ∂

∂y

(Fuy − λGuy

)= 0 (5)

pro G rovno vazebnı podmınce ze zadanı.

Mame

Fu = 0 (6)

Fux=

ux√1 + u2

x + u2y

(7)

1

Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer

Fuy=

uy√1 + u2

x + u2y

(8)

Gu = sin(πx)sin(πy) (9)

Gux= 0 (10)

a

Guy= 0. (11)

Parcialnı derivace podle x, resp. y prıslusnych vyrazu (7, 8) jsou (po uprave) rovny

∂

∂x(Fux

− λGux) =

uxx(1 + u2

y

)− uxuyuyx(

1 + u2y + u2

z

) 32

(12)

a∂

∂y

(Fuy

− λGuy

)=uyy

(1 + u2

x

)− uxuyuxy(

1 + u2y + u2

z

) 32

, (13)

dosazenım a upravou tedy dostavame

−uxx(1 + u2

y

)+ uxuyuyx − uyy

(1 + u2

x

)+ uxuyuxy = λ sin(πx) sin(πy)

(1 + u2

y + u2z

) 32 , (14)

nehomogennı nelinearnı parcialnı diferencialnı rovnici druheho radu.

Proved’me nynı Ansatz resenı: hledejme je ve specialnım tvaru

u(x, y) = A sin(πx) sin(πy), (15)

ktere vyhovuje stanovenym hranicnım podmınkam.

Hodnotu konstanty A zjistıme dosazenım do (1):

∫ 1

0

∫ 1

0

A sin2(πx) sin2(πy) dx dy =A

4=

1

100. (16)

A je tedy v tomto prıpade rovno 4100 . Odpovıdajıcı prubeh funkce vykresluje graf 1.

2

Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer

Graf 1: Ansatz: u(x, y) = 4100 sin(πx) sin(πy).

Proved’me nynı pozorovanı: kvadrat derivace ux (resp. uy symetricky v (x, y)) je roven

u2x = A2π2 cos2(πx) sin2(πy) =

16π2

1000cos2(πx) sin2(πy) (17)

Na mnozine (0, 1) × (0, 1) nabyva maxima v bodech (0, 12 ) a (1, 1

2 ), ve kterych je rovno

max u2x ≈ 0.016. (18)

Graficky vykresluje prubeh funkce u2x graf 2.

Graf 2: prubeh u2x.

Pro srovnanı vykresleme chovanı funkce uyy:

3

Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer

Graf 3: prubeh uyy.

Vidıme tedy, ze tedy v clenu PDR −uyy(1 + u2

x

)dochazı ke skalovanı uyy faktorem nejvyse rovnym ≈ 1.016

(pro nas konkretnı Ansatz) – navıc jeste na hranici (!), kde jsou cleny uyy, jak patrno z grafu 3, velmi blızke

nule. V ramci priblızenı muzeme tedy clen(1 + u2

x

)polozit roven 1.

Analogicka argumentace muze byt provedena pro cleny se smısenymi derivacemi, ktere muzeme navıc ze

zamennosti druhych derivacı (pro nas hladky Ansatz) spojit do jednoho vyrazu

2uxuyuxy, (19)

ktery je roven po provedenı prıslusnych derivacı 2( 4100

3)π4 sin(πx) sin(πy) cos2(πx) cos2(πy), graficky viz graf 4.

Graf 4: prubeh 2xuyuxy.

Clen dosazuje v maximech ≈ 10% hodnoty clenu s uxx, resp. uyy, opet vsak v mıstech, kde jsou prıslusne

4

Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer

hodnoty blızke nule. Muzeme jej tedy polozit roven nule celkove.

Obe tyto aproximace vedou na rovnici

uxx + uyy = λ sin(πx) sin(πy). (20)

Dosazenım dostavame8

100π2 sin(πx) sin(πy) = λ sin(πx) sin(πy) (21)

λ =8π2

100. (22)

S tımto multiplikatorem λ tak dostavame resenı Euler-Lagrangeovy rovnice splnujıcı prıslusnou vazbu a tedy

prıslusne (priblizne) resenı naseho problemu.

3 Odpoved’

Zvykacka priblizne zaujme tvar dany rovnicı

u(x, y) =4

100sin(πx) sin(πy) (23)

pro u(x, y) rovno vysce povrchu od roviny ramecku.

Graf 5: Priblizny tvar Macovy zvykacky.

Odchylky od exaktnıho resenı budou nejvetsı ”pri upatı” nami nalezeneho resenı.

5

Domacı uloha 2 – MacGyver Lubos Plamitzer

4 Zdroje

[1] Gelfand, I. M., Fomin, S. V., Calculus of Variations, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1963

6