1 Revisao de Matematica Apostila

Medidas e Circuitos Elétricos Prof. Christiomar de Georgio Mokdese

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1. Revisão de Matemática aplicada em Medidas e Circuitos Elétricos

1.1 Arredondamento

Na escrita ou computação de uma grandeza, por vezes, é necessário suprimir uma quantidade

qualquer de algarismos significativos, sempre nas casas de menor peso, porque um grande número deles pode trazer um excesso de informação, muitas vezes inútil. A essa supressão dá-se nome de arredondamento.

1.1.1 Critérios para arredondamento

Segue algumas regras convencionadas:

a) Se determinado algarismo significativo dever ser suprimido e ele é representado pelo 0, 1, 2, 3 ou 4, o algarismo anterior fica inalterado.

4,732 = 4,73

b) Se determinado algarismo significativo deve ser suprimido e ele é representado pelo 6, 7, 8 ou 9, o algarismo anterior deve ser acrescido de uma unidade.

4,738 = 4,74

c) Se determinado algarismo significativo deve ser suprimido e ele é representado pelo 5, há duas alternativas:

c.1. Se o algarismo 5 for seguido por um zero em qualquer casa posterior, o algarismo anterior ao 5 deve ser acrescido de uma unidade

4,7530 = 4,8 4,3502 = 4,4

4,65003 = 4,7

c.2. Se o algarismo 5 for seguido por apenas zeros ou se for o último significativo, o algarismo anterior só será acrescido de uma unidade se este for ímpar. 4,55 = 4,6 4,7500 = 4,8 4,65 = 4,6 4,8500 = 4,8

d) É vetada a realização de arredondamentos sucessivos. Quando se quer suprimir vários algarismos, o arredondamento deve ser feito uma única vez, seguindo as regras anteriores.

4,3458→4, 3 e não 4,3458→4,346→4,35→4,4

e) Qualquer operação aritmética deve ser realizada integralmente, com todos os algarismos significativos das parcelas, e só depois será realizado o arredondamento.

4,56+3,76=8,32 e não 4,6+3,8=8,4


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Exercícios:

01- Os dados abaixo são valores de tensão obtidas analiticamente. Faça os arredondamentos com um número após a vírgula:

a) 35,94 b) 18,09 c) 18,009 d) 19,55 e) 19,93 f) 29,97 g) 10,05 h) 10,55 i) 16,66 j) 18,88 l) 10,00 m) 26,06 n) 16,04 o) 17,65 p) 17,75

02 – Efetue a operação matemática e arredonde o valor final com um número após a vírgula:

a) 124,57+12,4+3,37 b) 12,346-3,24


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1.2 Triângulo retângulo

1.2.1 Razões trigonométricas no triângulo retângulo

Num triângulo retângulo ABC, reto em Â, temos:

SENO(sen) de um ângulo agudo = medida do cateto oposto ao ângulo medida da hipotenusa

COSSENO(cos) de um ângulo agudo = medida do cateto adjacente ao ângulo medida da hipotenusa

TANGENTE(tg) de um ângulo agudo = medida do cateto oposto ao ângulo medida do cateto adjacente

Observações:

i. Num triângulo a soma de seus ângulos internos mede 180° ii. Num triângulo retângulo a soma dos ângulos agudos mede 90°

iii. As razões trigonométricas são obtidas com o uso de tabelas trigonométricas ou calculadoras

a = hipotenusa b = cateto c = cateto


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Segue exemplo de tabela trigonométrica:

Exercícios: 1) No triângulo retângulo abaixo, determine as razões: a) sen A ; cos A ; tg A; sen B; cos B; tg B


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2) Nos triângulos retângulos, calcule o valor de x:

a)

b)

c)

3) Num circuito de corrente alternada RL(Resistencia e Indutância), a tensão sobre o indutor L está

adiantada de 90° em relação à tensão sobre a resistência R. Supondo VL=3V e VR=4V, determinar o ângulo de fase(Ѳ) entre a tensão sobre o indutor L e a tensão sobre a resistência R.

Representando os dados do circuito no plano cartesiano, temos:


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4) Para tornear uma peça de ferro, com a forma de tronco de cone(conforme figura), cujos diâmetros têm 20mm, 46mm e 60mm de comprimento, necessitamos do ângulo α.

5) O para raio tipo Frankilin forma um cone de proteção, cujo raio da base é sempre r= √ , onde h é

a distância do vértice do para raio ao solo. Determine o ângulo α formado no vértice do cone, conforme figura, onde h=80m.


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1.3 Arcos e ângulos

1.3.1 Arcos de circunferência

Se dois pontos A e B são tomados sobre uma circunferência, esta fica dividida em duas partes denominadas ARCOS DE CIRCUNFERÊNCIA ou simplesmente, ARCOS.

Os pontos A e B são as extremidades desses arcos.

1.3.2 Ângulos

As semi-retas OM e ON, de origem comum O, dividem o plano em duas regiões(ambas contendo as semi-retas). Cada uma dessas regiões é denominada ÂNGULO.

Na figura acima, o ângulo I é denominado CONVEXO e o ângulo II CÔNCAVO.

1.3.3 Medida de um arco

Fixando-se sobre uma circunferência um arco PQ, arco unitário de comprimento u, não nulo, define-se MEDIDA DE UM ARCO AB de comprimento l da mesma circunferência, como sendo a razão entre os comprimentos de AB e PQ. Em outros termos: é o número de vezes que o arco PQ cabe no arco AB.


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1.3.4 Medida de um ângulo

É igual à medida do arco que ele determina sobre uma circunferência. Cujo centro é vértice.

1.3.5 Unidade de arcos

As unidades usuais de arcos são:

a) GRAU é um arco unitário igual e 1/360 da circunferência que contém o arco a ser medido b) RADIANO é um arco unitário cujo comprimento l é igual ao do raio r da circunferência que

contém o arco a ser medido.

1.3.6 Círculo trigonométrico ou Circunferência Trigonométrica

É uma circunferência orientada que satisfaz as seguintes condições: a) O centro da circunferência será o ponto de interseção dos eixos cartesianos; b) O raio é tomado como unidade de comprimento(r=1); c) A origem dos arcos é o ponto A(1;0).


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1.3.6.1 SENO

Chama-se FUNÇÃO SENO, de um arco x, aquela que associa a todo arco x real, o número real y=senx

sen AM = sen x = OP

X grau 0 90 180 270 360

rad 0 π/2 π 3 π/2 2 π

Y=sen x 0 1 0 -1 0

1.3.6.2 COSSENO

Chama-se FUNÇÃO COSSENO, de um arco x, aquela que associa a todo arco x real, o número real y=cosx.

cosAM = cos x = OQ

X grau 0 90 180 270 360

rad 0 π/2 π 3 π/2 2 π

Y=cos x 1 0 -1 0 1


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1.3.6.3 TANGENTE Eixo das tangentes é o eixo(t), tangente ao ciclo no ponto A, e orientado no mesmo sentido do eixo

das ordenadas(y). Tangente de um arco AM(tg AM), é a medida algébrica do segmento AT, que tem origem em A e

extremidade na interseção T do eixo t com o suporte do raio OM

tgAM=tg x=AT Se representarmos por ε, um arco positivo, suficientemente pequeno, isto é, ε tendendo a zero,

temos:

X grau 0 90- ε 90 90+ ε 180 270- ε 270 270+ ε 360

rad 0 π/2- ε π/2 π/2+ ε π (3 π/2)-ε 3 π/2 (3 π/2)+ε 2π

Y=tg x 0 +∞ -∞ 0 +∞ -∞ 0


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1.4 Matrizes

Matriz é, por definição, um conjunto de elementos dispostos em linhas e colunas. Sua representação mais comum é:

(

) uma matriz quadrada 3X3, ou seja, de ordem 3

Podemos representar uma matriz genérica indicando cada um dos seus elementos por uma letra

minúscula, de 2 índices i e j . O primeiro índice i indica e linha e o segundo j a coluna. Exemplo:

(

) uma matriz quadrada 3x3


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1.5 Determinante

Determinante de uma matriz quadrada M é um número associado a esta matriz, obtido seguindo-se as regras previamente estabelecidas.

1.5.1 Notação

Representa-se o determinante de uma matriz:

M=(

) por :

det [

] ou det M

1.5.2 Cálculo de um determinante

Para o cálculo do determinante e uma matriz M de ordem n, temos:

a) Se M for de ordem 1:

M=( ), então detM=-5

b) Se M for de ordem 2:

M=(

), então ( ) ( )

Exemplo:

M=(

) ( ) ( )

c) Se M for de ordem 3, calcula-se o determinante de terceira ordem através da regra de Sarrus, que consiste em: 1. Repetir as duas primeiras colunas à direita da matriz ou as duas primeiras linhas abaixo da

matriz; 2. Multiplicar os elementos da diagonal principal e os que aparecem dispostos paralelamente

em grupos de 3; 3. Multiplicar os elementos da diagonal secundária e os que aparecem dispostos paralelamente

em grupos de 3; 4. Determinar a diferença da soma dos produtos do item 2 pela soma dos produtos do item 3.

Então, para:

M=(

), temos:

det M = [

]

det M [( ) ( ) ( )]

[( ) ( ) ( )]


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Se M é de ordem 4 ou superior, o determinante M é calculado através do abaixamento da ordem da matriz. Para o curso de Medidas e Circuitos elétricos as matrizes que trabalharemos será no máximo de ordem 3.

Exercícios: Calcular o determinante das matrizes abaixo:

a) M=(

)

b) M=(

)

c) M= (

)

d) M=(

)


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1.6 Sistemas lineares

Um sistema de equação linear, é dito assim porque em todas as equações do sistema cada termo é um monômio do 1º grau; isto é: em cada termo aparece uma única incógnita e seu expoente é igual a 1.

Sistema de equações lineares é um conjunto de m equações lineares com n incógnitas. Seja S um destes sistemas, então:

S=

{

Outro exemplo:

S= {

A resolução deste sistema, quando m=n(número de equações é igual ao número de incógnitas), se faz através da regra prática de Cramer, que consiste em (será considerado uma matriz de 3ª ordem):

1. Calcular o determinante D da matriz dos coeficientes:

D = [

]

2. Se D≠0,o sistema admite uma única solução, dada por:

, onde:

Dx1 = [

] Dx2= [

] Dx3 = [

] , ou seja:

Dx é o determinante que se obtém substituindo-se, na matriz dos coeficientes, a coluna dos

coeficientes de x pelos termos independentes das respectivas equações.

3. Se D=0 e todos os Dx forem nulos, o sistema é indeterminado. 4. Se D=0 e existir pelo menos um Dx=0, o sistema é impossível.

Exercícios:

1. Resolva os sistemas pela Regra de Cramer:

a) {


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b) {

2. O circuito abaixo, foi analisado pelo método das malhas e resultou no sistema de equações S. Encontre os valor das correntes de malha I1, I2 e I3.

S = {

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