1) (UFRGS- 91) Todos os valores reais de para os … · Web viewUma medalha de ouro contém 92,5% de prata e 1,34% de ouro, com o restante em cobre. Nessa olimpíada, os Estados Unidos

UFRGS 2013 UFRGS 2013 26)(UFRGS-2013) Um adulto humano saudável abriga cerca de 100 bilhões de bactérias, somente em seu trato digestivo.

Esse número de bactérias pode ser escrito como

(A) (B) .(C) .(D) .(E) .

SOLUÇÃO

Observe o desenvolvimento

Dez =

Cem =

Mil =

Dez mil =

Cem mil 100.000 =

Um milhão 1000.000 =

Um bilhão 1000. 000. 0000 =

Quer cem bilhões

100 1000 000 000

100. 000. 000. 000 =

ALTERNATIVA C

28)(UFRGS-2013) A nave espacial Voyager,

27)(UFRGS-2013) O algarismo das unidades da soma

é

(A) 0(B ) 1(C) 2(D) 3(E) 4

SOLUÇÃO

Quer o algarismo das unidades

Observe

unidade 4 unidade 6

unidade 4 unidade 6

.................. unidade 4

.................. unidade 6

Observe quando o índice impar a unidade é 4 quando o índice par a unidade é 6

logo o algarismo das unidade é 6

Observe

unidade 5 unidade 5

unidade 5 ............ unidade 5

Observe: o algarismo das unidades é 5

Que a soma

a soma é então o algarismo das unidades é

ALTERNATIVA B

29)(UFRGS-2013) A massa das medalhas olímpicas de Londres 2012 está entre 375 g e 400

1

UFRGS 2013 UFRGS 2013 criada para estudar planetas do Sistema Solar, lançada da Terra em 1977 e ainda em movimento, possui computadores com capacidade de memória de 68 kB (quilo bytes). Atualmente, existem pequenos aparelhos eletrônicos que possuem 8 GB (giga bytes) de memória.

Considerando as informações do enunciado e os dados do quadro, a melhor estimativa, entre as alternativas abaixo, para a razão da memória de um desses aparelhos eletrônicos e da memória dos computadores da Voyager, é(A) 100.

(B) 1.000.

(C) 10.000.

(D) 100.000.

(E) 1.000.000.

SOLUÇÃO

Razão é divisão

=

117.0000 LOGO a melhor estimativa é a letra D

ALTERNATIVA D

30)(UFRGS-2013) O gráfico e os dados

g. Uma medalha de ouro contém 92,5% de prata e 1,34% de ouro, com o restante em cobre. Nessa olimpíada, os Estados Unidos ganharam 46 medalhas de ouro. Supondo que todas as medalhas de ouro obtidas pelos atletas estadunidenses tinham a massa máxima, a quantidade de ouro que esses atletas ganharam em conjunto

(A) é menor do que 0,3 kg. (B) está entre 0,3 kg e 0,5 kg. (C) está entre 0,5 kg e 1 kg, (D) está entre 1 kg e 2 kg. (E) é maior do que 2 kg.

SOLUÇÃO

Vamos calcular quantas gramas de ouro temos em cada medalha, montando uma regra de três

400 g ................100% .................1,34%

Logo cada medalha tem 5,36 gramas de ouro, 46 medalhas devem ter

As alternativas estão em Kg, montar uma regra de três para passar de gramas para quilos

1Kg......................1000g ......................246,56

É menor que 0,3

ALTERNATIVA A

SOLUÇÃO Vamos verificar cada alternativa

2

UFRGS 2013 UFRGS 2013 abaixo mostram a precipitação de chuva que ocorreu nos meses de setembro, outubro e novembro no ano de 2011 e a previsão para os mesmos meses em 2012. Também apresentam a média histórica dessa precipitação, para as regiões leste e sul do Estado do Rio Grande do Sul.

Com base nesses dados, é correto afirmar que

(A) a previsão de chuvas para o mês de novembro de 2012, na região leste, é exatamente 25% superior à média histórica da região.

(B) a quantidade de chuvas, na região sul, foi igual à média histórica da região, nos meses de setembro dos anos de 2011 e 2012.

(C) a previsão de chuvas para a região leste, no mês de outubro de 2012, é 60% da quantidade de chuvas, na mesma região, no mesmo mês de 2011.

(D) a quantidade de chuvas, na região sul, em outubro de 2011, superou a média histórica dessa região em 26%.

(E) a quantidade de chuvas prevista para o mês de novembro de 2012, na região leste, supera exatamente em 150% a quantidade de chuvas da região, no mesmo mês, em 2011.

31)(UFRGS-2013) A interseção dos gráficos

Alternativa (A) é FALSA observe

Logo 104 + 26 = 130 Deveria ter dado 120

Alternativa (B) é FALSA observe

Por simples observação do gráfico

Alternativa (C) é FALSA observe

Deveria ter dado 50

Alternativas (D) é VERDADEIRA observe

Logo 100 +26 =126

Alternativa (E) é FALSA observe

Logo é 14 + 21 = 35

(deveria ter dado 120)

ALTERNATIVA D

Desenhando os gráficos no mesmo sistema de coordenadas cartesianas temos

3

UFRGS 2013 UFRGS 2013 das funções e , definidas por e

, os quais são desenhados no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, determina um polígono.

A área desse polígono é

(A) 0,125(B) 0,25(C) 0,5(D) 1(E) 2 SOLUÇÃO

Vamos montar os gráficos e após sobrepô-los

0 0 1 1 2 2 -1 1 -2 2

0 1 – 0 = 1 1 1 – 1 = 0 2 1 – 2 = -1 -1 1 – 1 = 0 -2 1 – 2 = -1

32)(UFRGS-2013)Dada a função , definida por o numero de valores de que satisfazem a

0

O polígono formado pelas funções sobrepostas e um quadrado cuja diagonal mede 1 unidade

1

diagonal

0

Área do quadrado = =

ALTERNATIVA C

33)(UFRGS-2013) Se

4

UFRGS 2013 UFRGS 2013 igualdade é

(A) 0.(B) 1.(C) 2(D) 3(E) 4

SOLUÇÃO

Resolvendo

Temos duas raízes reais e iguais , logo temos um só valor que satisfaz a igualdade

ALTERNATIVA B

SOLUÇÃOPara resolver temos que ter conhecimento da função modular.

1- O gráfico acima do eixo das abscissas

É o gráfico da função definida por então, das alternativas abaixo, a que pode representar o gráfico da função , definida por

é

(A) (B)

(C) (D)

(E)

34)(UFRGS-2013) Denominando P a soma dos números pares de 1 a 100 e I a soma dos números ímpares de 1 a 100, P – I é

5

UFRGS 2013 UFRGS 2013 permanece o mesmo

2- A parte abaixo do eixo das abscissas sofre uma reflexão (rebatimento) para cima do eixo das abscissas iniciando este rebatimento no ponto da abscissa onde o gráfico começa a descer.

ALTERNSTIVA D

COMENTÁRIO SOBRE FUNÇÃO MODULAR

35)(UFRGS-2013) A sequência representada, na figura abaixo, é formada por infinitos triângulos equiláteros. O lado do primeiro triângulo mede 1, e a medida do lado de cada

(A) 49(B) 50(C) 51(D) 52(E) 53

SOLUÇÃO

Atenção de 1 a 100 temos 100 números

P = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ... + 100

É uma soma de uma P A finita

= = =

Logo P =

I= 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99

É uma soma de uma P A finita

= = =

Logo I =

P - I

ALTERNATIVA B

Triangulo 3 cálculo do lado

6

UFRGS 2013 UFRGS 2013

um dos outros triângulos é da medida do

lado do triângulo imediatamente anterior.

A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é

(A) 9(B) 12(C) 15(D) 18(E) 21

SOLUÇÃO

Triângulo 1

1 1

1

Perímetro 1 + 1 + 1 = 3

Triângulo 2 Cálculo do lado

Perímetro

36)(UFRGS-2013) Se é uma progressão aritmética de razão , a sequência

, , ,...,, é uma progressão

Perímetro

Seqüência de perímetros

Esta sequencia de perímetros é uma P G de razão

Calcular a soma infinita

ALTERNATIVA A

Outra maneira para a questão 36

A outra maneira é colocar em função da razão

7


(A) geométrica de razão 2r.

(B) geométrica de razão r.

(C) aritmética de razão - r

(D) aritmética de razão r

(E) aritmética de razão 2r

SOLUÇÃO

é uma PA

Vamos montar uma sequência (não é necessário ir ate 100)

( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9 10)

R= = 1 ou r

conforme a questão a razão é r

Quer saber

( 1 – 10, 2 – 9 , 3 – 8, 4 – 7, 5 – 6 )

( -9 , -7 , -5, -3, -1 )

R = = -7 – (-9) = 2 ou 2r

Conforme a questão esta razão deve ser 2r

ALTERNATIVA E

37(UFRGS-2013) Dez bactérias são cultivadas para uma experiência, e o número de bactérias dobra a cada 12 horas.

Tomando como aproximação para o log 2 o valor 0,3, decorrida exatamente uma semana, o número de bactérias esta entre

observe

Voltando ao problema

=

=

Montando a sequência temos uma PA

Razão =

Sabendo que o log 2 = 0,3 devemos colocar logaritmo dos dois lados da desigualdade

8


(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

SOLUÇÃO

Observações Gerais

Bactérias dobra a cada 12 horas

Dez Bactérias seguem uma sequência de PG (10, 20, 40, 80, . . . )

Razão da PG é 2

Uma semana 7 dias

Cada dia 24 horas

Uma semana 168 horas

Teremos 168 horas dividido por 12 teremos 14 duplicações

Queremos saber a 15ª duplicação

Nossa PG terá 15 termos

Vamos Resolver o Problema

( 10, 20, 40, 80, . . . )

38)(UFRGS-2013) As raízes do polinômio são

(A) -4, -1 e 0

(B) -4, 0 e 1

(C) -4, 0 e 4

resolvendo

Logo esta entre

ALTERNATIVA B

39)(UFRGS-2013) A função é definida por = sen 2x e é uma função cujo gráfico não intercepta o gráfico de , quando representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. Entre as alternativas que seguem, a única que pode representar é

(A) (B) (C) (D) (E)

SOLUÇÃO

9

UFRGS 2013 UFRGS 2013 (D) -1, 0 e 1

(E) 0, 1 e 4

SOLUÇÃO

Este polinômio não possui termo independente devemos colocar o em evidencia

Resolver a equação de 2º grau

Suas raízes são -4 , -1 e 0

ALTERNATIVA A

OBS. Sempre que um polinômio não tem seu termo independente uma raiz será nula

40)(UFRGS-2013) Os lados de um losango medem 4 e um de seus ângulos . A medida da diagonal menor do losango é

(A) (B) (C) (D) (E)

Vamos montar o gráfico

Imagem período =

ALTERNATIVA A interceptaALTERNATIVA B intercepta ALTERNATIVA C intercepta ALTERNATIVA D intercepta

ALTERNATIVA E NÃO intercepta imagem

ALTERNATIVA E

41)(UFRGS-2013) Na figura abaixo, os triângulos retângulos são congruentes e possuem catetos com medidas e

10


SOLUÇÃO

A soma dos ângulos internos de losango é 360° sendo iguais dois a dois

Em um triângulo qualquer quando temos dois lados e um ângulo e devemos determinar o outro lado usamos a lei dos cossenos

Colocar 16 em evidência

ALTERNATIVA C

42)(UFRGS-2013) Observe a figura abaixo

No quadrado ADCD de lado 2, os lados AB e BC são diâmetros dos semicírculos. A área da região sombreada é

(A) (B) (C)

A área da região sombreada é

(A) (B) .(C) (D) (E)

SOLUÇÃO

b

a a

a b b

Observa que o quadrado sombreado tem lado

A área do quadrado sombreado é

Área =

ALTERNATIVA C

43)(UFRGS-2013)Dois círculos tangentes e de mesmo raio têm seus respectivos centros em vértices opostos de um quadrado, como mostra a figura abaixo

11


(D) (E)

SOLUÇÃO

Observe a figura abaixo

Para solucionar o problema devemos:

lado = 2

ALTERNATIVA E

Observe a figura abaixo Atenção o lado mede 2

A C

B 2

2

Quanto mede AC ?

Mede o valor do lado menos o raio

Se a medida do lado do quadrado é 2, então a área do triângulo ABC mede

(A)

(B)

(C) (D)

(E) SOLUÇÃO

raio Metade da diagonal ou raio

Vamos calcular esta diagonal e dividir por dois

como é a metade

logo o raio também 44)(UFRGS-2013)Considere as seguintes proposições de modelos de planificação de um cubo

12


AC =

Quanto mede AB ?

Mede o valor do lado menos o raio

AB =

Vamos calcular sua Área

=

evidência

=

ALTERNATIVA A

Observe a proposição II

X X

X

Não forma um cubo, se dobrarmos suas faces para formar um cubo as marcadas com X ficaram sobrepostas.

Com isso eliminamos as alternativas A, C D

Entre essas proposições de modelos de planificação, quais podem resultar em um cubo?

(A) I, II e V

(B) III, IV e V

(C) II, III e IV

(D) II, IV e V

(E) I, III e V

45)(UFRGS-2013) Um sólido geométrico foi construído dentro de um cubo de aresta 8, de maneira que dois de seus vértices, P e Q, sejam os pontos médios respectivamente das arestas AD e BC, e os vértices da face superior desse sólido

13


Observe a proposição IV

Não forma um cubo, pois um cubo planificado podemos ter no máximo 3 arestas

E em um cubo pronto só podem se unir 3 arestas

Com isso eliminamos as alternativas B C D

ALTERNATIVA E

46)(UFRGS-2013) Considere os gráficos das funções f e g, definidas por e , representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, interseção dos gráficos das funções f e g, como na figura abaixo.

A distancia entre os pontos A e B é

coincidam com os vértices da face superior do cubo, como indicado na figura abaixo.

O volume desse sólido é

(A) 64 (B) 128 (C) 256 (D) 512 (E) 1024

SOLUÇÃO

O sólido construído dentro do cubo é um prisma de base triangular

A área da base é um triângulo de base 8 e altura 8

e a altura do prima é 8

Logo

ALTERNATIVA C

Observação: O cubo e o prisma tem a mesma base. Quando temos esta situação o volume do prisma é igual ao volume do cubo dividido por 2

Ponto

14

UFRGS 2013 UFRGS 2013 (A) (B) (C) (D) (E)

SOLUÇÃO

Como as funções se interceptam vamos montar um sistema para determinar o ponto A e B

Vamos resolver pelo método da comparaçãoQue é igualar as funções

Substitui as raízes em qual quer uma equação acima

Ponto

47)(UFRGS-2013) Um círculo tangencia a reta r, como na figura abaixo.

O centro do círculo é o ponto (7 , 2) e a reta r é definida pela equação 3x – 4y + 12 = 0

A equação do círculo é

(A)

Agora devemos calcular a distancia entre os pontos pela fórmula

ALTERNATIVA E

Centro ( 7 , 2) raio = ?????

Vamos determinar o raio através da formula da distancia entre ponto e reta

15

UFRGS 2013 UFRGS 2013 (B) (C) (D) (E)

SOLUÇÃO

Temos o centro (7 , 2) falta o raio

(7 ,2)

Vamos usar a equação reduzida do círculo

centro centro raio

48)(UFRGS-2013) O sistema de equações

possui

(A) nenhuma solução

(B) uma solução

(C) duas soluções

(D) três soluções

(E) infinitas soluções

SOLUÇÃO

Vamos determinar o determinante do sistema

(7 , 2) 3x – 4y + 12 = 0

= = = 5

Centro ( 7 , 2) raio = 5

ALTERNATIVA A

49)(UFRGS-2013) Sobre uma mesa, há doze bolas numeradas de 1 a 12; seis bolas são pretas, e seis, brancas. Essas bolas serão distribuídas em 3 caixas indistinguíveis, com quatro bolas cada uma.

Escolhendo aleatoriamente uma caixa de uma dessas distribuições, a probabilidade de que essa caixa contenha apenas bolas pretas é

(A) (B) (C) (D) (E)

SOLUÇÃO

16


-12 – 20 = - 32

Multiplica Multiplica não Troca sinal Troca sinal

Atenção: como o determinante é diferente de zero o sistema é determinado e possui uma única solução

sistema possível admite uma única solução

ALTERNATIVA B

50)(UFRGS-2013) Observe a figura abaixo

Na figura, um triângulo equilátero está inscrito em um círculo, e um hexágono regular está circunscrito ao mesmo círculo. Quando se lança um dardo aleatoriamente, ele atinge o desenho.

A probabilidade de que o dardo não tenha atingido a região triangular é

(A) 32,5 % (B) 40 % (C) 62,5 % (D) 75 % (E) 82,5 %

SOLUÇÃO

Logo

TOTAL DE 12 BOLAS

6 BOLAS PRETAS

6 BOLAS BRANCAS

DISTRIBUIR AS BOLAS EM 4 CAIXAS POSSIBILIDADE DE TER 4 BOLAS PRETAS EM UMA CAIXA

SÃO EVENTOS INDEPENDENTES Vamos levar em conta só as bolas PRETAS

COMO PODEMOS COLOCAR AS BOLAS PRETAS EM UMA CAIXA

ALTERNATIVA A

Vamos determinar o lado do triângulo

Vamos calcular a área do hexágono

Vamos determinar a área do hexágono usando o

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área do hexágono – área do triângulo

área do hexágono

Vamos determinar a área do triângulo usando o raio da circunferência

raio da circunferência

O hexágono é formado por 6 triângulos eqüiláteros Observe que o raio é a altura do eqüilátero Vamos determinar o lado do hexágono

Calcular a are de um triângulo e após multiplicar por 6

Área do hexágono

Cálculo de área do hexágono – área do triângulo

=

Finalmente

ALTERNATIVA C

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1) (UFRGS- 91) Todos os valores reais de para os … · Web viewUma medalha de ouro contém 92,5% de prata e 1,34% de ouro, com o restante em cobre. Nessa olimpíada, os Estados Unidos