1.1. MAGA III_Elipses Ec General

8/15/2019 1.1. MAGA III_Elipses Ec General

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UNIDAD 4 ELIPSE, CIRCUNFERENCIA Y SUS ECUACIONES CARTESIANAS

GRUPO 401C 218

Los extremos del eje menor son los puntos

1 20 0 2 B , b B , y 2 20 0 2 B , b B ,

La anchura focal o longitud del lado recto es:

2 2 42 2

4b LRa

Su excentricidad:2 3 3

0.864 2

ce

a

Y el área: 24 2 8 25.13 A ab u

Ecuación general de la elipse horizontal

Para obtener la forma general de la ecuación de la elipse, simplemente se desarrollan los productosinvolucrados y se reduce a una expresión de la forma

2 2 0 Ax By Dx Ey F

Esto es, la ecuación en su forma ordinaria o clásica es

2 2

2 21

x h y k

a b

Al desarrollar la expresión racional se tiene:

2 22 2

2 2 1

a x h b y k

a b

Al desarrollar los productos notables y multiplicar por2 2

a b se tiene:

2

2 2 2 2 2 2 2 22 2a x xh h b y yk k a b

de donde:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0a x a xh a h b y b yk b k a b

Al ordenar términos en forma descendente de monomios de grado mayor en las variables se tiene:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 0a x b y a hx b ky a h b k a b

Al definir los coeficientes

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ; ; 2 ; 2 y A a B b C a h D b k F a h b k a b


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GRUPO 401C 219

Se escribe:2 2 0 Ax By Dx Ey F

Una ecuación cuadrática de la forma2 2 0 Ax By Dx Ey F con A B , representa

(lugar geométrico), una elipse horizontal o un punto o no representa ningún conjunto de puntos en losnúmeros reales

La transformación de la forma general a la forma ordinaria (o clásica), se obtiene factorizando laexpresión general.

Ejemplos para encontrar la ecuación general de una elipse

Ejemplo 4.24. Transformar la ecuación de la elipse

2 24 4

1289 64

x y a su forma general.

Solución:

Efectuar la operación racional

2 264 4 289 4

1289 64

x y

de donde:

2 2

225 4 289 4 289 225 x y

Al desarrollar los binomios cuadráticos

2 2225 8 16 289 8 16 65025 x x y y

se multiplica y se iguala a cero

2 2225 1800 289 2312 56801 0 x x y y

Y al ordenar se obtiene la forma general

2 2225 289 1800 2312 56801 0 x y x y


2 2

4 4

149 24

x y

a su forma general.

Solución:


2 224 4 49 4

149 24

x y


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GRUPO 401C 220

de donde:

2 2

24 4 49 4 24 49 x y

Al desarrollar los binomios cuadráticos

2 224 8 16 49 8 16 1176 x x y y

se multiplica y se iguala a cero

2 224 192 384 49 392 384 1176 =0 x x y y

Y al ordenar se obtiene la forma general

2 224 49 192 392 8 0 x y x y


2 2

1 2 136 18

x y

a su forma general.

Solución:

Multiplicando la ecuación por 36 se tiene

2 2( - 1) 2( 2) 36 x y

Al desarrollar e igualar a cero se tiene

2 22 1 2 +8 8 36 0 x x y y

La ecuación en su forma general es:

2 2 2 2 8 27 0 x y x y

Ejemplos con ecuaciones de elipse con centro en el origen. Observar que no contienen términoslineales.


2 2

149 25

x y a su forma general.

Solución:


2 2

25 49 149 25 x y

de donde:2 225 +49y 1225 x

La ecuación general es:

2 225 49 1225 0 x y


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GRUPO 401C 221

Ejemplos para transformar la ecuación cuadrática en forma general en formaclásica a partir de su ecuación general y determinar si pertenece a una elipse.

Ejemplo 4.28. Transformar a su forma clásica (ordinaria) la ecuación

2 24 9 36 0 x y

Solución:

La expresión se puede escribir como2 24 9 36 x y al pasar el término independiente al

segundo miembro.

Y al dividir la ecuación entre 36 se tiene:2 24 9

136 36

x y

Y al simplificar, se tiene la ecuación en su forma clásica2 2

19 4

x y

Ejemplo 4.29. Transformar a su forma ordinaria la ecuación

2 29 16 36 96 36 0 x y x y Solución:

1°) Agrupar los términos en x y los términos en y , el término independiente se pasa al segundo miembro

2 29 36 16 96 36 x x y y 2°) En los términos que contienen a la variable x se factoriza el coeficiente del término cuadrático y y deigual manera para los que contienen la variable y.

2 29( 4 ) 16( 6 ) 36 x x y y

3°) Completar los trinomios cuadrados perfectos dentro de los paréntesis

2 2 2 2

2 24 4 6 69 4 16 6 362 2 2 2

x x y y

2 22 2

9 4 2 4 16 6 3 9 36 x x y y

4°) Factorizar los trinomios cuadrados perfectos correspondientes aplicando la propiedad distributiva

2 2

9 2 4 16 3 9 36 x y

2 2

9 2 36 16 3 144 36 x y


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GRUPO 401C 222

Pasar los términos independientes al segundo miembro y simplificar

2 2

9 2 16 3 144 x y

5°) Dividir la ecuación entre el término independiente (144)

2 2

9 2 16 3 144

144 144 144

x y

Finalmente en el miembro del lado izquierdo se divide el numerador y el denominador del primer términoentre 9 y el del segundo entre 16

2 2

2 31

16 9

x y

Ejemplo 4.31. Transformar a su forma ordinaria la ecuación2 23 4 18 40 127 0 x y x y

Solución:


2 23 18 4 40 127 x x y y

2°) En los términos que contienen a la variable x se factoriza el coeficiente del término cuadrático y y y de igual manera para los que contienen la variable y.

2 23( 6 ) 4( 10 ) 127 x x y y


2 22 23 6 3 9 4 10 5 25 127 x x y y


2 2

3 3 9 4 5 25 127 x y


2 2

3 3 27 4 5 100 127 x y

2 2

3 3 4 5 0 x y


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GRUPO 401C 223

Observar que esta ecuación solamente se cumple cuando 3, 5 x y , es decir la ecuación dada

sólo se cumple para el punto ( 3, 5).

Ejemplo 4.32. Transformar a su forma ordinaria la ecuación

2 2

3 14 30 130 0 x y x y

Solución:


2 2 14 3 30 130 x x y y

2°) En los términos que contienen a la variable x se factoriza el coeficiente del término cuadrático y y y de igual manera para los que contienen la variable y.

2 2 14 3( 10 ) 130 x x y y


2 22 214 7 49 3 10 5 25 130 x x y y


2 2

7 49 3 5 25 130 x y


2 2

7 49 3 5 75 130 x y

2 2

7 3 5 6 x y

Observar que esta ecuación no se cumple en los números reales para ninguna pareja de números reales

x, y .

Ecuación de la elipse vertical (eje mayor paralelo al eje Y) con centro en el puntoC(h, k)

De manera análoga a como se obtuvo la ecuación de la elipse horizontal se obtiene la ecuación de laelipse vertical, esto es a partir de la definición de lugar geométrico de elipse.


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GRUPO 401C 224

La ecuación en su forma ordinaria o clásica es:

2 2

2 21

x h y k

b a

Y su ecuación general de la elipse vertical es de la forma

2 2 0 Ax By Dx Ey F con A B

Recordar que la ecuación puede no representar la ecuación de una elipse.

Los elementos de una elipse vertical con centro en el punto ( , )C h k están localizados en los puntos

dados por las siguientes expresiones:

Focos: 1 2( , - , ), ( , )F h k c k F h k c

Extremos del eje mayor (vértices):

1 2( , - ) ; ( , ) A h k a A h k a

Extremos del eje menor:

1 2( - , ) ; ( , ) B h b k B h b k

Anchura focal:

22b LR

a

Excentricidad: cea

Area: A ab

Figura de elipse vertical con centro en C(h,k)

Ecuación de la elipse vertical con centro en el origen de coordenadas C(0, 0)

En este caso, los valores deyh k

son igual a cero, por lo tanto la ecuación ordinaria o clásica

de la elipse vertical se convierte en:

2 2

2 21

x y

b a

La forma general en este caso es2 2 0 Ax By F en donde A B . Observar que no

contiene términos lineales.


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GRUPO 401C 225

Ejemplos donde se gráfica la elipse a partir de su ecuación y se determinan sus elementos.

Ejemplo 4.32. Graficar y obtener los elementos de la elipse cuya ecuación es

2 2

7 4 125 50

x y

Solución

Comparamos la ecuación dada con la ecuación

2 2

2 21

x h y k

b a

Al hacerlo, se tiene que el centro de la elipse se localiza en el punto (- 7, 4)C y los valores de2 2

ya b son respectivamente 50 y 25 , por lo tanto:

50= 5 2a y 25 5b

Al usar la relación2 2 2 a b c se tiene:

250 25 c

por lo que la distancia del centro al foco es

50 25 25 5c

Los focos se localizan en los puntos

1 1 1( , - ) (- 7, 4 -5) (-7,-1)F h k c F F y 2 2 2( , ) (-7, 4 5) (-7,9)F h k c F F

Los extremos del eje mayor (vértices) son:

1 1 1( , - ) (-7, 4 - 5 2) (-7, -3.07) A h k a A A

y 2 2 2( , ) (- 7, 4 5 2 ) (-7, 11.07) A h k a A A

Los extremos del eje menor se localizan en los puntos:

1 1 1( - , ) (- 7-5,4) (-12,4) B h b k B B

y2 2 2( , ) (-7 5,4) (-2,4) B h b k B B

La anchura focal o longitud del lado recto es: 2 2 252

5 2 7.075 2

b LR

a


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GRUPO 401C 226

Su excentricidad es:5 1

0.75 2 2

ce

a

Y su área: 25 2 5 25 2 111.07 A ab u

Su gráfica es:

Ejemplo 4.33. Graficar y obtener los elementos de la elipse cuya ecuación es

2 2

164 289

x y

Solución

Observar que la ecuación representa una elipse vertical con centro en el origen de coordenadas, esto es:

El centro de la elipse es el punto (0,0)C

Los valores de 2 2ya b son respectivamente 298 y 64 , por lo tanto:

289 17 y 64 8a b


2289 64 c


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GRUPO 401C 227


289 64 225 15c


1 1 1( , - ) (0, 0-15) (0, 15)F h k c F F y 2 2 2( , ) (0, 0 15) (0,15)F h k c F F


1 1 1( , - ) (0, 0 17) (0. 17) A h k a A A

y 2 2 2( , ) (0,0 17 ) (0,17) A h k a A A


1 1 1( - , ) (0 8, 0) (-8, 0) B h b k B B

y 2 2 2( , ) (0 8,0) (8,0) B h b k B B

La anchura focal o longitud del lado recto es: 2 2 642

7.52917

b LR

a

Su excentricidad es:15

0.8817

ce

a

Y su área: 217 8 427.25 A ab u

Su gráfica es:

Ejemplo 4.34. Obtener los elementos de la elipse vertical cuya ecuación es:

2 2

8 51

8 24

x y


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GRUPO 401C 228

Solución

Comparamos la ecuación dada con la ecuación

2 2

2 21

x h y k

b a

Al hacerlo, se tiene que el centro de la elipse se localiza en el punto ( 8, 5)C y los valores de2 2ya b son respectivamente 24 y 8 , por lo tanto:

24 y 8a b


224 8 c


24 8 16 4c


1 1 1( , - ) ( 8, 5 4) ( 8, 9)F h k c F F y

2 2 2( , ) ( 8, 5 4) ( 8, 1)F h k c F F


1 1 1( , - ) ( 8, 5 24) ( 8. 5 24) A h k a A A

y 2 2 2( , ) ( 8, 5 24 ) ( 8, 5 24) A h k a A A


1 1 1( - , ) ( 8 8, 5) ( 8 8, 5) B h b k B B

y 2 2 2( , ) ( 8 8, 5) ( 8 8, 5) B h b k B B

La anchura focal o longitud del lado recto es: 2 2 82 16 3.26

24 24

b LR

a

Su excentricidad es:4

0.81624

ce

a

Y su área es: 224 8 192 43.53 A ab u


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GRUPO 401C 229

Ejemplos donde se encuentra la ecuación de una elipse vertical a partir deconocer algunos de sus elementos.

Ejemplo 4.35. Obtener la ecuación general de la elipse vertical en la cual el centro en el punto

(3,2),C un foco en el punto2

(3, 7)F y un vértice en el punto1

(3,-5). A

Solución

Localizar los puntos en el plano cartesiano

Observar que la elipse es vertical, por lo que suecuación es de la forma

2 22 2

1 x h y k

b a

El centro es el punto (3,2),C entonces los

valores de los parámetros yh k son

3, 2h k

En la gráfica se observa que la semilongitud deleje mayor es

1 7a A C

y la semilongitud focal es

2 5c CF

Al sustituir en la expresión

2 2 2

a b c

2 2 27 = b + 5

se tiene el valor de la semilongitud del ejemenor, es decir

2 24 24b b

La ecuación de la elipse en su forma clásica es

2 2

3 21

24 49

x y

para transformarla a su forma generalmultiplicamos la ecuación por el mínimo comúnmúltiplo de 49 y 24

2 249 3 24( 2) 1176 x y

2 249 24 294 96 639 0 x y x y


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GRUPO 401C 230

La gráfica de la elipse es:

Ejemplo 4.36. Hallar la ecuación de la elipse vertical con centro en el origen y que pasa por los puntos

(2,-5)P y (- 4, 1).Q

Solución

La representación de los puntos dados es:

La ecuación de una elipse vertical es de la forma

2 2

2 21

x y

b a

Como el punto (2,-5)P pertenece a la elipse entonces, sus coordenadas satisfacen la ecuación, estoes:

22

2 2

521

b a

De donde2 2

4 251

b a .......( 1 E )


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GRUPO 401C 231

El punto (- 4, 1).Q también pertenece a la elipse por lo tanto

2 2

2 2

4 11

b a

Desarrollando se tiene2 2

16 11

b a .......( 2 E )

Al resolver el sistema de ecuaciones

Para encontrar2a , se realizan las operaciones

1 24 E E

2 2

16 1004

b a

2 2

16 11

b a

_________________

2

993

a

de donde2 33a

Para encontrar2b , se realizan las operaciones

1 225 E E

2 2

4 251

b a

2 2

400 2525

b a

_________________

2

39624

b

De donde2 33

2b

La ecuación en su forma ordinaria o clásica es

2 2

133 33

2

x y

Para transformarla a su forma general, se realiza lo siguiente:

Efectuar la división del primer sumando del lado izquierdo de la ecuación

2 221

33 33

x y

Y multiplicando por 33 la ecuación e igualando a cero se tiene

2x2 + y

2 – 33 = 0


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GRUPO 401C 232

La gráfica es:

Transformar la ecuación de una elipse vertical de su forma general a su formaordinaria

Ejemplo 4.37. Escribir en su forma ordinaria la ecuación de la elipse

2 23 2 24 - 12 60 0 x y x y

Solución

1°) Agrupar los términos en x y los términos en y , el término independiente lo pasamos al segundo

miembro

2 23 24 2 - 12 - 60 x x y y

2°) En los términos que contienen x se factoriza el coeficiente del término cuadrático y en formaanáloga se factoriza el coeficiente del término cuadrático en y .

2 23( 8 ) 2( - 6 ) - 60 x x y y

3°) Dentro de los paréntesis completamos los trinomios cuadrados perfectos

2 2 2 2

2 28 8 6 63 8 2 6 602 2 2 2

x x y y

2 22 23 8 4 16 2 6 3 9 60 x x y y


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GRUPO 401C 233

4°) Se factorizan los trinomios cuadrados perfectos

2 2

3 4 16 2 3 9 60 x y

Y se aplica la propiedad distributiva

2 2

3 4 48 2 3 18 60 x y

Al pasar al segundo miembro los términos independientes y simplificar se tiene

2 2

3 4 2 3 6 x y

5°) Y al dividir la ecuación entre el término independiente (6)

2 2

3 4 2 3 6

6 6 6

x y

Y al simplificar

2 2

4 31

2 3

x y

Ejemplo 4.38. Transformar la ecuación2 29 4 - 54 8 49 0 x y x y a la forma

2 2

2 21

x h y k

b a

e indicar si la ecuación determina una elipse.

Solución


miembro

2 29 54 4 8 49 x x y y

2°) En los términos que contienen x se factoriza el coeficiente del término cuadrático y en formaanáloga se factoriza el coeficiente del término cuadrático en y .

2 29( 6 ) 4( 2 ) - 49 x x y y


2 2

2 22 26 69 6 4 2 1 1 492 2

x x y y

2 22 29 6 3 9 4 2 1 1 49 x x y y


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GRUPO 401C 234

4°) Se factorizan los trinomios cuadrados perfectos

2 2

9 3 9 4 1 1 49 x y


2 2

9 3 81 4 1 4 49 x y

Al pasar al segundo miembro los términos independientes y simplificar se tiene

2 2

9 3 4 1 81 4 49 36 x y

5°) Y al dividir la ecuación entre el término independiente (36)

2 2

9 3 4 1 361

36 36 36

x y

Y al simplificar

2 2

3 11

4 9

x y

Ejemplo 4.39. Transformar la ecuación2 2

8 5 - 80 200 0 x y x a la forma

2 2

2 21

x h y k

b a

y decir si la ecuación determina una elipse.

Solución


miembro

2 2

8 80 5 200 0 x x y

2°) En los términos que contienen x se factoriza el coeficiente del término cuadrático.

2 28 10 5 200 x x y


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GRUPO 401C 235


2 22 28 10 5 5 5 200 x x y

4°) Se factoriza el trinomio cuadrado perfecto

2 28 5 25 5 200 x y


2 28 5 200 5 200 x y

2 28 5 + 5 0 x y

la ecuación se cumple sólo para el punto (5, 0). No hay elipse.

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