11912286 Tecnicas Digitais 1 Boa

5/10/2018 11912286 Tecnicas Digitais 1 Boa - slidepdf.com

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TÉCNICAS DIGITAIS - 1

1. Introdução à Eletrônica Digital1.1 Analógico e Digital1.2 Lógica Digital

2. Fundamentos2.1 Álgebra de Boole2.2 Níveis Lógicos2.3 Operações Lógicas2.4 Tabela Verdade

3. Funções Lógicas3.1 Lógica NÃO (inversora)3.2 Lógica E (AND)3.3 Lógica OU (OR)3.4 Lógica NÃO E (NAND)3.5 Lógica NÃO OU (NOR)3.6 Funções Lógicas com mais de 2 Variáveis

4. Expressões Booleanas4.1 Expressão Booleana obtida por Circuito Lógico4.2 Circuito Lógico obtido por Expressão Booleana4.3 Tabela Verdade obtida por Expressão Booleana4.4 Expressão Booleana obtida por Tabela Verdade4.5 Bloco Lógico OU-EXCLUSIVO (EXCLUSIVE OR) - DIFERENTE4.6 Bloco Lógico NÃO OU-EXCLUSIVO (EXCLUSIVE NOR) - COINCIDENCIA

5. Equivalência entre Blocos Lógicos5.1 Inversor a partir de NÃO E

5.2 Inversor a partir de NÃO OU5.3 NÃO OU e OU a partir de E, NÃO E e Inversores5.4 NÃO E e E a partir de OU, NÃO OU e Inversores

6. Álgebra de Boole6.1 Postulados

6.1.1 Complementação6.1.2 Adição6.1.3 Multiplicação

6.2 Propriedades6.2.1 Comutativa

6.2.2 Associativa6.2.3 Distributiva

6.3 Teoremas de DeMorgan6.3.1 Primeiro Teorema de DeMorgan6.3.2 Segundo Teorema de DeMorgan

6.4 Identidades Auxiliares

7. Exercícios Resolvidos

8. Exercícios Propostos- Famílias de Circuitos Lógicos

Transistor como chaveFamília TTL

Tensão de AlimentaçãoCorrente de Entrada e SaídaFan In e Fan Out

1



VelocidadeDissipação de PotenciaCircuitos de Saída

Open Colector Toten PoleTri-state

Família CMOSTensão de AlimentaçãoCorrente de Entrada e Saída

Fan In e Fan OutVelocidadeDissipação de PotenciaCircuitos de Saída

Open Colector Toten PoleTri-state

Interface TTL-CMOSInterface CMOS-TTL

- Lógica CombinacionalImplementação do CircuitoSimplificaçãoMapa de Veitch-Karnaugh

- Lógica Combinacional - ProjetoCircuitos com 2 VariáveisCircuitos com 3 VariáveisCircuitos com 4 Variáveis

- Sistemas de Numeração

Numeração Decimal Numeração Binária Numeração Hexadecimal

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1. Introdução à Eletrônica Digital

1.1 Analógico e Digital

Por que digital? Esta é certamente a primeira pergunta que qualquer estudante faria com o primeirocontato com nosso estudo.

Por este motivo, começamos justamente por explicar as diferenças entre as duas eletrônicas, de modo queelas fiquem bem claras. Devemos lembrar que em muitos equipamentos, mesmo classificados comoanalógicos ou digitais, encontraremos os dois tipos de circuitos. É o caso dos computadores, que mesmosendo classificados como “máquinas estritamente digitais” podem ter em alguns pontos de seus circuitosconfigurações analógicas.

Uma definição encontrada nos livros especializados atribui o nome de Eletrônica Digital aos circuitos queoperam com quantidades que só podem ser incrementadas ou decrementadas em passos finitos oudiscretos.

Um exemplo disso é dado pelos circuitos que operam com impulsos, só podemos ter números inteiros emqualquer momento e em qualquer ponto do circuito. Em nenhum lugar encontraremos “meio pulso” ou

“um quarto de pulso”.A palavra “digital” também está associada a “dígito” (do latim “digitu”, dedo) que implica narepresentação de quantidades inteiras. Não é possível usar os dedos para representar meio pulso ou umquarto de pulso.

Na eletrônica analógica trabalhamos com quantidades ou sinais que podem ter valores que variam demodo contínuo numa escala. Os valores dos sinais não precisam ser inteiros.

Por exemplo, a fig. 1 representa um sinal de áudio, que é analógico, em um intervalo de tempo qualquer e, como pode ser observado, o valor do sinal varia continuamente entre dois extremos dentro deste

intervalo.

A fig. 2 representa um sinal digital no mesmo intervalo de tempo e, como pode ser observado, variasomente entre dois valores discretos no mesmo intervalo de tempo.

Fig 1 - Representação de um sinal analógico Fig 2 - Representação de um sinal digital

Logo, podemos concluir que a diferença básica entre os dois tipos de eletrônica está associada ao tipo desinais com que elas trabalham e no que elas fazem com os sinais.De uma forma resumida podemos dizer que:

Eletrônica Analógica sinais podem assumir infinitos valores entre dois limites

3



Eletrônica Digital sinais que só podem assumir valores discretos

1.2 Lógica Digital

Os computadores e outros equipamentos que usam circuitos digitais funcionam obedecendo a um tipo decomportamento baseado no que se denomina Lógica.

Diferentemente de circuitos amplificadores comuns que simplesmente amplificam, atenuam ou realizamalgum tipo de processamento simples dos sinais, os circuitos digitais usados em computadores e outrasmáquinas não processam os sinais baseados em uma finalidade simples determinada quando sãofabricados.

Os circuitos digitais dos computadores e outros equipamentos são capazes de combinar os sinais tomandodecisões segundo um comportamento lógico.

É evidente que se o estudante deseja realmente entender como as coisas acontecem nos circuitos digitais,deve partir exatamente do aprendizado do comportamento lógico. Podemos dizer que a lógica nos permitetirar conclusões ou tomar decisões a partir de fatos conhecidos.

Por exemplo, a fig. 3a mostra a ação de “acender a lâmpada” devido à proposição “está chovendo”. Adecisão de “acender uma lâmpada porque está chovendo” não é uma decisão lógica, pois os fatosenvolvidos não estão relacionados.

No entanto, fig.3b mostra a ação “acender a lâmpada” devido à proposição “está escuro”. A decisão de“acender uma lâmpada quando está escuro” é uma decisão lógica, pois a proposição e a conclusão sãofatos relacionados.

Estáchovendo

Acender a

lampada

Estáescuro

Acender alampada

Fig. 3a - Função Não Lógica

Fig. 3b - Função Lógica

É claro que os fatos acima são simples e servem tão somente para exemplificar como a lógica funciona.

Na eletrônica dos computadores, o que temos é a aplicação da lógica digital, ou seja, de circuitos queoperam tomando decisões em função de coisas que acontecem no seu próprio interior. Os computadores eseus circuitos lógicos não conseguem entender coisas como “está escuro” ou “está chovendo” e tomar decisões com base nestas observações. Os circuitos lógicos digitais trabalham com sinais elétricos.

Assim, os circuitos lógicos digitais nada mais fazem do que receber sinais com determinadas

características e, em função destes, tomar decisões que nada mais são do que a produção de um outrosinal elétrico.

Mas, se os sinais elétricos são digitais, ou seja, representam quantidades discretas e se a lógica é baseadaem tomadas de decisões, o próximo passo no entendimento da Eletrônica Digital é partir para o modocomo as quantidades discretas são representadas e entendidas pelos circuitos eletrônicos.

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2. Fundamentos Básicos

2.1 Álgebra de Boole

Em 1854, o matemático inglês George Boole (1815 – 1864), através da obra intitulada “An Investigationof de Laws of Thougt” (Uma Investigação das Leis do Pensamento) apresentou um sistema matemáticode análise lógica conhecido como Álgebra de Boole. Apenas em 1938 que o engenheiro americanoClaude Elwood Shannon utilizou as teorias da álgebra de Boole para a solução de problemas de circuitosde telefonia com relés, publicando um trabalho denominado “Symbolic Analysis of Relay and Switching”(Análise Simbólica de Relés e Comutação), introduzindo na área o campo da eletrônica digital.

A teoria proposta por Boole consistia em uma série de postulados e operações simples para resolver umainfinidade de problemas, isto é, no Universo só existem duas condições possíveis (ou estados) paraqualquer coisa que se deseje analisar, e estes dois estados são opostos.

Assim, uma lâmpada só pode estar acesa ou apagada, uma torneira só pode estar aberta ou fechada, umafonte só pode ter ou não ter tensão na sua saída, uma pergunta só pode ter como resposta verdadeira oufalsa.

Dizemos que na álgebra de Boole as variáveis lógicas só podem adquirir dois estados:

0 ou 1Verdadeiro ou FalsoAberto ou FechadoAlto ou Baixo (HI ou LO)Ligado ou Desligado

Na eletrônica digital partimos justamente do fato de que um circuito só pode trabalhar com dois estados possíveis, ou seja, encontraremos presença do sinal ou a ausência do sinal, o que se adapta perfeitamente

aos princípios da álgebra de Boole.

Tudo que um circuito lógico digital pode fazer está previsto pela álgebra de Boole. Desde as mais simplesoperações ou decisões, como acender um LED quando dois sensores são ativados de uma determinadamaneira ou quando uma tecla é pressionada, até girar no espaço uma imagem tridimensional.

2.2 Níveis Lógicos

Partimos então do fato de que nos circuitos digitais só encontraremos duas condições possíveis: presençaou ausência de sinal, para definir alguns pontos importantes para o nosso entendimento.

A fig. 4 mostra que nos circuitos digitais, a presença de uma tensão (Vcc) será indicada como 1 ou HI (deHigh ou Alto) enquanto que a ausência de uma tensão (0 V) será indicada por 0 (zero) ou LO (de Low ouBaixo). O 0 (zero) ou LO será sempre uma tensão nula ou ausência de sinal num ponto do circuito, mas onível lógico 1 ou HI pode variar de acordo com o circuito ou componente considerado.

Fig. 4 - Níveis de Tensão que representam Nível Lógico

Vcc →HI →1 (Nível Alto)

0 V →LO →0 (Nível Baixo)

Nos Desk Top (PC de mesa) a tensão usada para a alimentação de todos os circuitos lógicos, por exemplo,é de 5 V. Assim, o nível 1 ou HI de seus circuitos será sempre uma tensão de 5 V, conforme mostra a fig.5.

5




5V →HI →1 (Nível Alto)

Fig. 5 - Níveis de Tensão de componentes em Desk Top

Nos Lap Top é usada uma tensão de alimentação menor, da ordem de 3,2 V, portanto, nestes circuitos umnível 1 ou HI sempre corresponderá a uma tensão deste valor, conforme a fig. 6.


3,2V →HI →1 (Nível Alto)

Fig. 6 - Níveis de Tensão de componentes em Lap Top

Existem ainda circuitos digitais que empregam componentes de tecnologia CMOS e que são alimentadostipicamente por tensões entre 3 e 15 V. Nestes casos, conforme vemos na fig. 7, um nível lógico 1 ou HI

poderá ser qualquer tensão entre 3 e 15 V, dependendo apenas da tensão de alimentação usada.


3 a 18V →HI →1 (Nível Alto)

Fig. 7 - Níveis de Tensão de componentes tipo CMOS

Na verdade, a idéia de associar a presença de tensão ao nível 1 e a ausência ao nível 0 é mera questão deconvenção. Nada impede que adotemos um critério inverso e projetemos os circuitos, pois elesfuncionarão perfeitamente.

Assim, quando dizemos que ao nível alto (1) associamos a presença de tensão e ao nível baixo a ausência

de tensão (0), estamos falando do que se denomina “lógica positiva”.Se associarmos o nível baixo (0) a presença de tensão e o nível alto (1) a ausência de tensão, estaremosfalando de uma “lógica negativa”, conforme ilustra a fig. 8.

0 V →HI →1 (Nível Alto)

Vcc →LO →0 (Nível Baixo)

Fig. 8 - Níveis de Tensão para Lógica Negativa

Para que não haja nenhum tipo de confusão, todo o material adiante tratará exclusivamente da lógica positiva, o mesmo acontecendo com os dispositivos eletrônicos tomados como exemplo.

6



Portanto, em nossa lógica, é possível associar os seguintes estados de um circuito, conforme indica atabela abaixo:

Valor 0

0 VFalso

DesligadoNível Baixo ou LO

Valor 1

1 - 5 V (ou outra tensão positiva, conforme o circuito)Verdadeiro

LigadoNível Alto ou HI

2.3 Operações Lógicas

No dia-a-dia estamos acostumados a realizar diversos tipos de operações lógicas, as mais comuns são asque envolvem números, ou seja, quantidades que podem variar ou variáveis.

Assim, podemos representar uma soma como:

B AS +=

Onde o valor que vamos encontrar para S depende dos valores atribuídos às letras A e B.

Dizemos que temos neste caso uma função algébrica e que o valor S é a variável dependente, pois seuvalor dependerá justamente dos valores de A e B, que são variáveis independentes.

Na eletrônica digital, entretanto, existem operações mais simples do que a soma, e que podem ser perfeitamente implementadas levando em conta a utilização da álgebra booleana.

É interessante observar que com um pequeno número destas operações conseguimos chegar a umainfinidade de operações mais complexas, como por exemplo, as utilizadas nos computadores e que,repetidas em grande quantidade ou levadas a um grau de complexidade muito grande, nos fazem atéacreditar que a máquina seja “inteligente”!

Na verdade, é a associação de determinada forma das operações simples que nos leva ao comportamentomuito complexo de muitos circuitos digitais, conforme fica demonstrado na figura 8:

7



Entrada 1

Entrada 2

Entrada 3

Entrada 4Operação

2Entrada 5

Operação

3

Operação

4

Operação

5

Resultado

Fig. 8 - Circuitos simples que se associam para realizar Funções Lógicas Complexas

Operação1

Assim, como observamos na fig. 9, um computador é formado por um grande número de pequenos blocossimples denominados funções ou portas lógicas onde existem entradas e saídas.

Fig 9 - Funções ou Portas Lógicas

O que irá aparecer na saída é determinado pela função e pelo que acontece nas entradas. Em outras palavras, a resposta que cada circuito lógico dá para uma determinada entrada ou entradas depende do queele é ou de que “regra booleana” ele segue.

Isso significa que para entender como o computador realiza as mais complexas operações, teremos quecomeçar entendendo como ele faz as operações mais simples coma as denominadas portas e quais sãoelas.

2.4. Tabela Verdade

A Tabela Verdade mostra o valor de uma função para todas as possíveis combinações que as variáveis deentrada podem assumir.

Como visto anteriormente, as variáveis de entrada são também chamadas de variáveis independentesenquanto que o resultado final dos valores assumidos pelas variáveis de entrada chama-se de variáveldependente.

Assim, podemos representar a função abaixo:

B AS +=

Onde o valor que vamos encontrar para S depende dos valores atribuídos às letras A e B. Logo, valor S é avariável dependente, pois seu valor dependerá justamente dos valores de A e B, que são variáveisindependentes.

8



Conseqüentemente, para n variáveis independentes (entradas), o número possível de combinações é finitoe pode ser calculado por:

2n

Ou seja, a Tabela Verdade para uma função com n variáveis independentes (entradas) terá no máximo 2n

linhas.

3. Funções Lógicas3.1 Lógica NÃO (inversora)

A função NÃO é aquela que inverte ou complementa o estado da variável, ou seja, se a variável estiver em 0, a saída será 1, e se estiver em 1, a saída será 0. É representada algebricamente da seguinte forma:

AS =

onde se lê: S igual a NÃO A ou “A barra”.

O símbolo adotado para representar esta função é mostrado na fig. 10, enquanto na fig. 11 mostra umcircuito simples para simular a operação da função.

Fig 10 - Função NÃO (Inversora)

A S

Fig 11 - Circuito Simulador da Função NÃO

V S A

R

No circuito da fig. 11 a chave A representa a variável independente ou sinal de entrada, enquanto que alâmpada S representa a variável dependente ou o sinal de saída.

Como na álgebra booleana as variáveis só podem assumir dois níveis distintos, vamos estabelecer paraefeito de raciocínio as seguintes situações, que serão padrão para outras conclusões à frente:

Estado Chave A Nível LógicoAberta 0

Fechada 1

De posse destes elementos, podemos estudar o funcionamento do circuito da fig. 11:

a) com a Chave A aberta (0), circula corrente pela Lâmpada e esta acende (1):

10 ==⇒= AS A

b) com a Chave A fechada (1), não circula corrente pela Lâmpada e portanto, permanece apagada (0):

01 ==⇒= AS A

9

Estado Lâmpada S Nível LógicoApagada 0

Acesa 1



Para escrever as conclusões em uma Tabela Verdade, deve-se calcular o número de linhas que a tabeladeve ter observando-se que temos apenas uma variável de entrada, isto é, 1 sinal de entrada, então ocálculo será feito de acordo com:

2n onde n=1, portanto 21 = 2 linhas

A Tabela Verdade da Função Lógica NÃO fica:

A S0 11 0

3.2 Lógica E (AND)

A função E (AND) é aquela que executa a multiplicação de 2 ou mais variáveis booleanas. Suarepresentação algébrica para 2 variáveis é:

B AS •=

onde se lê: S igual a A e B.


Fig 12 - Função E (AND)

AS

B

Fig 13 - Circuito Simulador da Função E (AND)

V S

A B

Utilizando as mesmas convenções anteriores (Função NÃO), vamos analisar o circuito da fig. 13:

a) com a Chave A aberta (0) e a Chave B aberta (0), não circula corrente pela Lâmpada e esta permaneceapagada (0):

00,0 =•=⇒== B AS B A

b) com a Chave A aberta (0) e a Chave B fechada (1), não circula corrente pela Lâmpada e esta

permanece apagada (0): 01,0 =•=⇒== B AS B A

c) com a Chave A fechada (1) e a Chave B aberta (0), não circula corrente pela Lâmpada e esta permaneceapagada (0):

00,1 =•=⇒== B AS B A

d) com a Chave A fechada (1) e a Chave B fechada (1), circula corrente pela Lâmpada e esta permaneceacesa (1):

11,1 =•=⇒== B AS B A

Analisando as situações acima, concluímos que a Lâmpada só permanece acesa quando as Chaves A e Bestiverem fechadas.

10



Para escrever as conclusões em uma Tabela Verdade, deve-se calcular o número de linhas que a tabeladeve ter observando-se que existem duas variáveis de entrada, isto é, 2 sinais de entrada, então o cálculoserá feito de acordo com:


A Tabela Verdade da Função Lógica E (AND) fica:

A B S0 0 00 1 01 0 01 1 1

3.3 Lógica OU (OR)

A função OU (OR) é aquela que executa a soma de 2 ou mais variáveis booleanas. Sua representaçãoalgébrica para 2 variáveis é:

B AS +=

onde se lê: S igual a A ou B.


Fig 14 - Função OU (OR)

A

S

B

Fig 15 - Circuito Simulador da Função OU (OR)

V

B

S

A

Utilizando as mesmas convenções utilizadas na Função NÃO, vamos analisar o circuito da fig. 15:

a) com a Chave A aberta (0) e a Chave B aberta (0), não circula corrente pela Lâmpada e esta permaneceapagada (0):

00,0 =+=⇒== B AS B A

b) com a Chave A aberta (0) e a Chave B fechada (1), circula corrente pela Lâmpada e esta permaneceacesa (1):

11,0 =+=⇒== B AS B A

c) com a Chave A fechada (1) e a Chave B aberta (0), circula corrente pela Lâmpada e esta permaneceacesa (1):

10,1 =+=⇒== B AS B A

d) com a Chave A fechada (1) e a Chave B fechada (1), circula corrente pela Lâmpada e esta permanece

acesa (1):11,1 =+=⇒== B AS B A

Analisando as situações acima, concluímos que a Lâmpada permanece apagada quando as Chaves A e Bestiverem abertas.

11





A Tabela Verdade da Função Lógica OU (OR) fica:

A B S0 0 00 1 11 0 11 1 1

3.4 Lógica NÃO E (NAND)

A função NÃO E (NAND) é uma composição da função E (AND) com a função NÃO, isto é, teremos afunção E (AND) invertida. Sua representação algébrica para 2 variáveis é:

)( B AS •=

onde se lê: S igual a A e B invertido ou Não (A e B) – a barra representa a inversão do produto B A• .


Fig 16 - Função NÃO E (NAND)

A

SB

V S

B

A

R

Fig 17 - Circuito Simulador da Função NÃO E (NAND)


a) com a Chave A aberta (0) e a Chave B aberta (0), circula corrente pela Lâmpada e esta permaneceacesa (1):

1)(0,0 =•=⇒== B AS B A

b) com a Chave A aberta (0) e a Chave B fechada (1), circula corrente pela Lâmpada e esta permaneceacesa (1):

1)(1,0 =•=⇒== B AS B A

c) com a Chave A fechada (1) e a Chave B aberta (0), circula corrente pela Lâmpada e esta permaneceacesa (1):

1)(0,1 =•=⇒== B AS B A

d) com a Chave A fechada (1) e a Chave B fechada (1), não circula corrente pela Lâmpada e esta permanece apagada (0):

0)(1,1 =•=⇒== B AS B A

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Analisando as situações acima, concluímos que a Lâmpada permanece apagada quando as Chaves A e Bestiverem fechadas.



A Tabela Verdade da Função Lógica NÃO E (NAND) fica:

A B S0 0 10 1 11 0 11 1 0

3.5 Lógica NÃO OU (NOR)

A função NÃO OU (NOR) é uma composição da função OU (OR) com a função NÃO, isto é, teremos a

função OU (OR) invertida. Sua representação algébrica para 2 variáveis é:

)( B AS +=

onde se lê: S igual a A ou B invertido ou Não (A ou B) – a barra representa a inversão da adição B A+ .


Fig 18 - Função NÃO OU (NOR)

A

S

B

R

Fig 19 - Circuito Simulador da Função NÃO OU (NOR)

V S A B


a) com a Chave A aberta (0) e a Chave B aberta (0), circula corrente pela Lâmpada e esta permaneceacesa (1):1)(0,0 =+=⇒== B AS B A

b) com a Chave A aberta (0) e a Chave B fechada (1), não circula corrente pela Lâmpada e esta permanece apagada (0):

0)(1,0 =+=⇒== B AS B A

c) com a Chave A fechada (1) e a Chave B aberta (0), não circula corrente pela Lâmpada e esta permaneceapagada (0):

0)(0,1 =+=⇒== B AS B A

d) com a Chave A fechada (1) e a Chave B fechada (1), não circula corrente pela Lâmpada e esta permanece apagada (0):

0)(1,1 =+=⇒== B AS B A

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Analisando as situações acima, concluímos que a Lâmpada permanece acesa quando as Chaves A e Bestiverem abertas.

Para escrever as conclusões em uma Tabela Verdade, deve-se calcular o número de linhas que a tabeladeve ter observando-se que exisem duas variáveis de entrada, isto é, 2 sinais de entrada, então o cálculoserá feito de acordo com:


A Tabela Verdade da Função Lógica NÃO OU (NOR) fica:

A B S0 0 10 1 01 0 01 1 0

3.6 Funções Lógicas com mais de 2 Variáveis

Até agora todas as funções lógicas foram descritas para apenas 2 variáveis. O mesmo conceito pode ser estendido para qualquer número de variáveis em qualquer das portas lógicas.

Exemplificando o conceito, representaremos uma porta lógica com a função E com 3 variáveis de entrada.Para escrever a Tabela Verdade, deve-se calcular o número de linhas que a tabela deve ter observando-seque existem, agora, 3 variáveis de entrada portanto, o cálculo será feito de acordo com:


Sua representação algébrica para 3 variáveis é:

C B AS ••=

O símbolo para representar esta função é mostrado na fig. 20 enquanto a Tabela Verdade mostra as 8 possíveis combinações das variáveis de entrada e seus respectivos resultados na saída:

ASB

C

Fig 20 - Função E (AND) com3 Variáveis

4. Expressões Booleanas

4.1 Expressão Booleana obtida por Circuito Lógico

Todo circuito lógico executa uma expressão booleana e, por mais complexo que seja, é formado pelainterligação das portas lógicas básicas. Podemos obter a expressão booleana que é executada por umcircuito lógico qualquer.

Para mostrar o procedimento, vamos obter a expressão que o circuito da fig. 21 executa:

14

A B C S0 0 0 00 0 1 00 1 0 00 1 1 0

1 0 0 01 0 1 01 1 0 01 1 1 1



A

B

C

S1

S

Fig 21 - Circuito Lógico

Para facilitar, vamos dividir o circuito em 2 partes, conforme mostra a fig. 22:

Fig 22 - Circuito Lógico Sub-dividido

A S1

B

C

S

1

2

Na primeira parte do circuito, a Saída S1 é o produto B A • , pois sendo este bloco uma porta E suaexpressão de saída será B AS •=1 . Como S1 é uma das entradas da porta OU pertencente à segunda

parte do circuito e na outra entrada está a variável C, a expressão de saída será C S S += 1 .

Para determinarmos a expressão final, basta substituirmos a expressão S1 na expressão acima obtendo:

C B AS +•=

que é a expressão que o circuito da fig. 21 executa.

Outra maneira mais simples para resolver o problema é a de escrever nas saídas dos diversos blocos básicos do circuito as expressões executadas por estes blocos, conforme mostra a fig. 23:

A

B

C

A•B

S=A•B+C

Fig 23 - Expressão Lógica obtida de Circuito Lógico

4.2 Circuito Lógico obtido por Expressão Booleana

No item anterior foi visto que é possível obter uma expressão booleana que um circuito lógico executa.Da mesma forma, pode-se desenhar um circuito lógico que executa uma expressão booleana qualquer a

partir de sua expressão característica.

O método para resolução consiste em identificar as portas lógicas na expressão e desenha-las com asrespectivas ligações a partir das variáveis de entrada. Para exemplificar, desenhar o circuito que executa a

expressão )()( D BC B AS +••+=

A solução deve respeitar a hierarquia das funções de aritmética elementar, isto é, iniciaremos a solução primeiramente pelos parênteses. Para o primeiro parêntese temos a soma booleana B A+ logo, o circuito

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que o executa será uma porta OU. Para o segundo temos a soma booleana D B + logo, o circuito que oexecuta será também uma porta OU, conforme mostra a fig. 24:

A

B

B

(A+B)=S1

S1

(B+D)=S2

Fig 24 - Primeira Parte da Solução

S2D

A seguir temos uma multiplicação booleana dos dois parênteses juntamente com a variável C através deuma porta E que executa esta operação:

SS1CS2

Fig 25 - Segunda Parte da Solução

Substituindo as variáveis de entrada S1 e S2 no bloco da fig. 25 pelos blocos da fig. 24, apresenta-se ocircuito lógico completo conforme mostra a fig. 26:

Fig 26 - Solução Final

SC

D

B

A

4.3 Tabela Verdade obtida por Expressão Booleana

Para extrair a tabela verdade de uma expressão, acompanhamos o seguinte procedimento:

a) Montar o quadro de possibilidades com todas as variáveis de entrada.

b) Montar colunas para os vários membros da expressão.c) Preencher estas colunas com seus resultados.d) Montar uma coluna para o resultado final.e) Preencher esta coluna com os resultados finais.

Utilizando a expressão abaixo como exemplo:

D B A D AC B AS ••+•+••=

A expressão tem 4 variáveis: A, B, C e D portanto, o número de possibilidades pode ser calculado como

segue: 2n onde n=4, portanto 24 = 16 linhas

16



A tabela verdade será montada com 4 colunas para as possibilidades de 4 variáveis (A, B, C e D), mais 3colunas para cada membro da expressão{ )( C B A •• , )( D A• , )( D B A •• } e mais 1 coluna para oresultado final (S).

A B C D )( C B A •• )( D A• )( D B A •• S

0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 1 10 1 1 0 0 0 0 00 1 1 1 0 0 1 11 0 0 0 0 1 0 11 0 0 1 0 0 0 01 0 1 0 1 1 0 11 0 1 1 1 0 0 11 1 0 0 0 1 0 1

1 1 0 1 0 0 0 01 1 1 0 0 1 0 11 1 1 1 0 0 0 0

Na coluna relativa ao primeiro membro são colocados os resultados da expressão )( C B A •• . Na coluna

do segundo membro, os resultados da expressão )( D A• , e na coluna do terceiro membro, os resultados

da expressão )( D B A •• . Na coluna relativa ao resultado final (S), colocamos o valor da expressão

D B A D AC B AS ••+•+••=

Outro modo de resolução porém, mais prático, consiste no preenchimento direto da coluna com oresultado final, de acordo com o procedimento abaixo:

a) montar o quadro de possibilidades conforme o número de variáveis b) reconhecer na expressão operações notáveis que permitem a conclusão do resultado final de

imediatoc) por exclusão, executar as operações até o preenchimento total da tabela

Usando a expressão abaixo para melhor compreensão deste método mais prático:

C B A B AS ••++=

Primeiramente, montar o quadro de possibilidade para as 3 variáveis da expressão:

A B C S0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 0

1 0 11 1 01 1 1

Preencher a tabela utilizando os casos notáveis que permitem a conclusão do resultado final imediato:

17



1- Nos casos onde )1(0 == A A temos 1=S pois, sendo 1= A a expressão

11 =••++= C B A BS quaisquer que sejam os valores assumidos pela variável B ou pelo

termo C B A •• .

2- Nos casos remanescentes onde 1= B , temos 1=S pois, da mesma forma que no casoanterior 11 =••++= C B A AS .

3- O termo C B A••

será igual a 1 somente no caso de remanescente 100, levando a expressão para o valor 1 ( 1=S ).

4- Por exclusão, concluímos que no caso 101, a saída da expressão será 0=S .

Portanto, a tabela verdade apresenta o seguinte resultado com todos os casos preenchidos e assinaladosconforme a análise efetuada:

A B C S0 0 0 10 0 1 1

0 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 1

4.4 Expressão Booleana obtida por Tabela Verdade

A obtenção de expressões booleanas e circuitos lógicos a partir da tabelas verdade é o caso mais comum

em projetos práticos pois, geralmente necessitamos representar situações através de tabelas verdade e a partir destas, obter a expressão booleana e o circuito lógico.

Para demonstrar este procedimento, vamos obter a expressão booleana da tabela verdade abaixo:

A B S0 0 10 1 01 0 11 1 1

Observando a tabela, notamos que a expressão é verdadeira ( 1=S ) nos casos:110100 ====== Be Aou Be Aou Be A

Para obter a expressão, basta montar os termos relativos aos casos onde a expressão for verdadeira esoma-los:

Caso 00: B A Be A Be AquandoS •⇒===== )11(001

Caso 10: B A Be A Be AquandoS •⇒===== )11(011

Caso 11: B A Be AquandoS •⇒=== 111

Somando os termos individuais, a expressão fica:

B A B A B AS •+•+•=

18



Notamos que o método permite obter, qualquer que seja a tabela, uma expressão padrão formada sempre pela soma dos produtos.

Da expressão acima podemos desenhar o circuito lógico conforme mostra a fig. 27:

S

A B

Fig 27 - Solução de Expressão obtida de Tabela Verdade

4.5 Bloco Lógico OU-EXCLUSIVO (EXCLUSIVE OR) - DIFERENTE

O bloco lógico OU-EXCLUSIVO (EXCLUSIVE OR) é considerado um bloco elementar dentro dossistemas digitais, juntamente com outras portas lógicas. Embora sejam blocos básicos, pode-se considera-los também como circuitos combinacionais pois sua obtenção provém de uma tabela verdade que gerauma expressão característica de onde esquematizamos o circuito.

A função OU-EXCLUSIVO consiste em fornecer 1 à saída quando as variáveis de entrada foremdiferentes entre si, ou seja, a função é um detetor de DIFERENÇA. Desta forma, pode-se montar a tabelaverdade e obter a sua expressão característica, como mostra abaixo:

B A B A B AS ⊕=•+•=

A partir da expressão característica, o circuito lógico correspondente bem como o símbolo básico dafunção OU-EXCLUSIVO ficam de acordo com a fig.28 e fig. 29 respectivamente abaixo:

B

A

S

Fig 28 - Diagrama Representativo da funçãoOU-EXCLUSIVO (EXCLUSIVE OR)

A

Fig 29 - Função Lógica OU-EXCLUSIVO(EXCLUSIVE OR)

B

S

Ao contrário dos demais blocos lógicos, o circuito OU-EXCLUSIVO só pode ter 2 variáveis de entrada,conforme se pode observar da sua própria definição.

19

A B S0 0 00 1 11 0 11 1 0



4.6 Bloco Lógico NÃO OU-EXCLUSIVO (EXCLUSIVE NOR) - COINCIDENCIA

A função NÃO OU-EXCLUSIVO consiste em fornecer 1 à saída quando as variáveis de entrada foremiguais, ou seja, a função é um detetor de COINCIDENCIA. Desta forma, pode-se montar a tabela verdadee obter a sua expressão característica, como mostra abaixo:

B A B A B AS ⊗=•+•=

A partir da expressão característica, o circuito lógico correspondente bem como o símbolo básico dafunção NÃO OU-EXCLUSIVO ficam de acordo com a fig.30 e fig. 31 respectivamente abaixo:

B

A

S

Fig 30 - Diagrama Representativo da função NÃO OU-EXCLUSIVO (EXCLUSIVE NOR)

A

Fig 31 - Função Lógica NÃOOU-EXCLUSIVO (EXCLUSIVE NOR)

B

S

Ao contrário dos demais blocos lógicos, o circuito NÃO OU-EXCLUSIVO só pode ter 2 variáveis deentrada, conforme se pode observar da sua própria definição.

5. Equivalência entre Blocos Lógicos

5.1 Inversor a partir de NÃO E

Analisando a tabela verdade da função NÃO E:

A B S0 0 1

0 1 11 0 11 1 0

Podemos notar que no caso 00 == Be A , a saída assume valor 1, e no caso 11 == Be A , a saídaassume o valor 0, exatamente como ocorre com a tabela verdade de uma função inversora, como vistaabaixo:

A=B S0 1

1 0

20

A B S0 0 10 1 01 0 01 1 1



Interligando os terminais de entrada da porta conforme mostra a fig. 32, estaremos fornecendo o mesmonível às duas entradas ( B A = ). Sendo este nível igual a 0, a saída é igual a 1; se este nível é igual a 1, asaída é igual a 0 formando assim, um inversor.

Uma outra maneira de realizar a mesma equivalência consiste em fixar uma das entradas da porta no nível1 e a outra como entrada do inversor como mostra a fig. 33. As duas últimas linhas da tabela verdade dafunção NÃO E explica como funciona este modo de ligação.

AS

AS

Fig 33 - Inversor com porta NÃO E

(1)

Fig 32 - Inversor com porta NÃO E

5.2 Inversor a partir de NÃO OU

Analisando a tabela verdade da função NÃO OU:

A B S0 0 10 1 01 0 01 1 0

Podemos notar que no caso 00 == Be A , a saída assume valor 1, e no caso 11 == Be A , a saídaassume o valor 0, exatamente como ocorre com a tabela verdade de uma função inversora, como vistaabaixo:

A=B S0 11 0

Interligando os terminais de entrada da porta conforme mostra a fig. 34, estaremos fornecendo o mesmonível às duas entradas ( B A = ). Sendo este nível igual a 0, a saída é igual a 1; se este nível é igual a 1, asaída é igual a 0 formando assim, um inversor.

Uma outra maneira de realizar a mesma equivalência consiste em fixar uma das entradas da porta no nível1 e a outra como entrada do inversor como mostra a fig. 35. As duas últimas linhas da tabela verdade da

função NÃO OU explica como funciona este modo de ligação.

Fig 34 - Inversor com porta NÃO OU

AS

AS

(0)

Fig 35 - Inversor com porta NÃO OU

5.3 NÃO-OU e OU a partir de E, NÃO E e Inversores

A equivalência entre uma porta NÃO- OU e uma porta E com Inversores nas entradas pode ser demonstrada na fig. 36:

21



A

B

S

Fig 36 - Função NÃO OU a partir da função E + Inversores

A

B

S

A tabela verdade prova a igualdade:

A B B A+ B A•0 0 1 10 1 0 01 0 0 01 1 0 0

Colocando um Inversor na saída de cada bloco da fig. 36, obtemos uma nova equivalência entre uma porta OU e uma porta NÃO-E com dois inversores na entrada., conforme mostra a fig.37:

B

A

S

A

B

S

Fig 37 - Função OU a partir da função NÃO E + Inversores

A tabela verdade prova novamente a igualdade:

A B B A+ B A•

0 0 1 10 1 0 01 0 0 01 1 0 0

As equivalências podem ser estendidas para portas com mais de 2 variáveis.

5.4 NÃO E e E a partir de OU, NÃO OU e Inversores

A equivalência entre uma porta NÃO- E e uma porta OU com Inversores nas entradas pode ser demonstrada na fig. 38:

B

A

S

A

B

S

Fig 38 - Função NÃO E a partir da função OU + Inversores

A tabela verdade prova a igualdade:

A B B A• B A+0 0 1 10 1 1 11 0 1 1

22



1 1 0 0

Colocando um Inversor na saída de cada bloco da fig. 36, obtemos uma nova equivalência entre uma porta E e uma porta NÃO-OU com dois inversores na entrada., conforme mostra a fig.37:

B

AS

A

B

S

Fig 39 - Função E a partir da função NÃO OU + Inversores

A tabela verdade prova novamente a igualdade:

A B B A• B A+0 0 1 10 1 0 01 0 0 0

1 1 0 0As equivalências podem ser estendidas para portas com mais de 2 variáveis.

6. Álgebra de Boole

6.1 Postulados

6.1.1 Complementação

Este postulado determina as regras de complementação na álgebra de Boole. Chamando de A o

complemento de A , podemos escrever que:

1) Se 10 =→= A A

2) Se 01 =→= A A

Através deste postulado da complementação podemos estabelecer a seguinte identidade:

A A =

6.1.2. Adição

Este postulado determina como são as regras da adição dentro da álgebra de Boole:

1) 000 =+

2) 110 =+

3) 101 =+

4) 111 =+

Através deste postulado podemos estabelecer as seguintes identidades:

A A =+ 0 a variável A pode ser 0 ou 1, logo:

23



0000 =+→= A

1011 =+→= A

O resultado será sempre igual à variável A.

11 =+ A a variável A pode ser 0 ou 1, logo:1100 =+→= A

1111 =+→= A

O resultado será sempre igual a 1.

A A A =+ a variável A pode ser 0 ou 1, logo:0000 =+→= A

1111 =+→= A

Se somarmos uma variável a ela mesma, o resultado será ela mesma.

1=+ A A a variável A pode ser 0 ou 1, logo:

11010 =+→=→= A A

10111 =+→=→= A A

Se somarmos uma variável ao seu complemento, o resultado será sempre 1.

6.1.2. Multiplicação

Este postulado determina como são as regras da multiplicação dentro da álgebra de Boole:

1) 000 =•

2) 110 =•

3) 101 =•

4) 111 =•

Através deste postulado podemos estabelecer as seguintes identidades:

00 =• A a variável A pode ser 0 ou 1, logo:0000 =•→= A

0011 =•→= A

O resultado será sempre igual a 0.

A A =•1 a variável A pode ser 0 ou 1, logo:

0100 =•→= A

1111 =•→= A

O resultado será sempre igual à variável A.

A A A =• a variável A pode ser 0 ou 1, logo:0000 =•→= A

1111 =•→= A

Se multiplicarmos uma variável a ela mesma, o resultado será ela mesma.

0=• A A a variável A pode ser 0 ou 1, logo:

01010 =•→=→= A A

00111 =•→=→= A A

Se multiplicarmos uma variável ao seu complemento, o resultado será sempre 0.

24



6.2. Propriedades

6.2.1 Comutativa

Esta propriedade é válida tanto na adição quanto na subtração:

Adição A B B A +=+

Multiplicação A B B A •=•

6.2.2 Associativa

Esta propriedade também é válida tanto na adição quanto na subtração:

Adição C B AC B A ++=++ )()(

Multiplicação C B AC B A ••=•• )()(

6.2.3 Distributiva

Esta propriedade pode ser observada em dois sentidos nas equações algébricas:

C A B AC B A •+•=+• )(

)( C B AC A B A +•=•+•

Esta propriedade pode ser verificada através da análise da tabela verdade:

A B C )( C B A +• C A B A •+•

0 0 0 0 00 0 1 0 00 1 0 0 00 1 1 0 01 0 0 0 01 0 1 1 11 1 0 1 11 1 1 1 1

6.3 Teoremas de DeMorgan

Os teoremas de DeMorgan são muito empregados na prática em simplificações de expressões booleanase, ainda, no desenvolvimento de circuitos digitais, como será visto adiante.

6.3.1 Primeiro Teorema de DeMorgan

O complemento do produto é igual à soma dos complementos:

B A B A +=•

Para provar este teorema, vamos montar a tabela verdade de cada membro e comparar os resultados:

A B B A• B A+0 0 1 10 1 1 11 0 1 11 1 0 0

25



Notamos a igualdade de ambas as colunas da solução. O teorema pode ser estendido para mais de duasvariáveis:

N DC B A N DC B A .............)..........( ++++=••••

6.3.2 Segundo Teorema de DeMorgan

O complemento da soma é igual ao produto dos complementos:

B A B A •=+

Para provar este teorema, vamos montar a tabela verdade de cada membro e comparar os resultados:

A B B A+ B A•0 0 1 10 1 0 01 0 0 01 1 0 0

Da mesma maneira, o teorema pode ser estendido para mais de duas variáveis:

N DC B A N DC B A .............)..........( ••••=++++

6.4 Identidades Auxiliares

6.4.1 A B A A =•+

Provando a identidade utilizando a propriedade distributiva, colocamos em evidencia a variável A no

primeiro termo:

)1( B A B A A +•=•+

Do postulado da adição temos que 1)1( =+ B :

1)1( •=+• A B A

Do postulado da multiplicação temos que A A =•1

Portanto, comprovamos que a identidade A B A A =•+ é válida.

6.4.2 C B AC A B A •+=+•+ )()(

Para provar a identidade, utilizamos a propriedade distributiva no primeiro termo, multiplicando )( B A+ por )( C A+ :

)()()()( C B B AC A A AC A B A •+•+•+•=+•+

Utilizando postulado da multiplicação A A A =• fica:

)()()()( C B B AC A AC B B AC A A A •+•+•+=•+•+•+•

Usando a propriedade distributiva novamente colocando a variável A em evidencia:

C B BC AC B B AC A A •+++•=•+•+•+ )1()(

26



Usando o postulado da adição no termo: 1)1( =++ BC

C B AC B BC A •+•=•+++• 1)1(

Como o postulado da multiplicação diz que A A =•1 , o resultado final fica:

C B AC B A •+=•+•1

Ou seja, comprovamos que a identidade C B AC A B A •+=+•+ )()( é verdadeira.

6.4.3 B A B A A +=•+

Para provar esta identidade, utilizaremos de uma outra identidade no primeiro termo: X X =

)( B A A B A A •+=•+

Aplicando o Segundo Teorema de DeMorgan: Y X Y X •=+ à expressão, fica:

])([)( B A A B A A ••=•+

Aplicando o Primeiro Teorema de DeMorgan: Y X Y X +=• apenas na expressão entre parênteses,temos:

])([])([ B A A B A A +•=••

Agora, aplicando a propriedade distributiva:

][])([ B A A A B A A •+•=+•

De acordo com o postulado da multiplicação, 0=• A A

][]0[][ B A B A B A A A •=•+=•+•

Aplicando novamente o Primeiro Teorema de DeMorgan: Y X Y X +=• temos:

)(][ B A B A +=•

Logo, concluímos que a identidade B A B A A +=•+ é verdadeira.

7. PROBLEMAS RESOLVIDOS

7.1 Expressão Booleana obtida por Circuito Lógico

7.1.1 Escreva a expressão booleana executada pelo circuito da fig. 7.1.1.1:

27



S

C

D

B

A

Fig. 7.1.1.1

Escrevendo as expressões de saída de cada bloco básico do circuito da fig. 7.1.1.2:

Encontramos a solução: )()( DC B AS +•+=

7.1.2 Determine a expressão booleana do circuito da fig. 7.1.2.1:

D

C S

B

A

Fig. 7.1.2.1

Seguindo o processo descrito, isto é, escrevendo as expressões de saída de cada bloco lógico dafig. 7.1.2.2:

28

C

D

B

A

Fig. 7.1.1.2

B A +

DC +

)()( DC B A +•+

D

C S

B

A

Fig. 7.1.2.2

)( B A•

)()( DC C B A •++•C



Encontramos a solução )()( DC C B AS •++•=

7.1.3 Determine a expressão booleana do circuito da fig. 7.1.3.1:

D

C

S

B

A

Fig. 7.1.3.1

Antes da solução , convém lembrar que os círculos colocados nos terminais de entrada junto às portas representam inversores.

Solucionando o problema de acordo com a fig. 7.1.3.2:

A solução final fica )()()( D BC B B AS ++•+•=

7.1.4 Escreva a expressão booleana executada pelo circuito da fig. 7.1.4.1:

29

)( DC •

D

C

S

B

A

Fig. 7.1.3.2

)( B A•

)( C B •

)( D B +

)()()( D BC B B A ++•+•



D

C

B

A

S

Fig. 7.1.4.1

Solucionando o problema de acordo com a fig. 7.4.1.2:

Encontramos a expressão )(])()([ DC C B A B AS +•+•+•=

7.2 Circuito Lógico obtido por Expressão Booleana

7.2.1 Desenhe o circuito que executa a expressão booleana C B AC B AS •++••= )( .

Primeiro, para identificar as portas lógicas enumerar cada termo da expressão:

4

3

21)( C B AC B AS •++••=

Assim temos:1) porta E com A, B e C2) porta OU com A e B3) porta E com (1) e C4) porta OU com (1) e (3)

Para facilitar as ligações, pode-se utilizar uma rede ou barra de variáveis de entrada. A fig. mostrao circuito final:

30

D

C

B

A

Fig

S

)( B A•

)( DC +

)( B A•

C B A B A +•+• )()(

)(])()([ DC C B A B A +•+•+•



BA

(3)

C

(2)

(1)

S

(4)

Fig. 7.2.1

7.2.2 Determine o circuito lógico que realize a função D DC B AS ••++= )]()[(

Tratando a expressão de acordo com o procedimento já visto:

4

3

21

)]()[( D DC B AS ••++=

Desenhando e interligando as portas a partir de uma rede de variáveis de entrada, obtemos ocircuito da fig.

BA

(4)(2)

C D

(1)

(3)

S

Fig. 7.2.2

7.2.3 Determine o circuito lógico que realize a função

)()]()[( E DC E D A A E DC B AS ••+•••+••++=

Solucionando de acordo com o procedimento já visto:

31



9

8

6

43

7

5

21

)(])()([ E DC E D A A E DC B AS ••+•••+••++=

B

(3)

(2)

C D

(1)

(4)

S

A E

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Fig.7.2.3

7.3 Tabela Verdade por Expressão Booleana

7.3.1 Prove as identidades abaixo relacionadas:

a) B A B A •≠•

b) B A B A +≠+

c) B A B A +=•

c) B A B A •=+

Podemos provar estas identidades, levantando as respectivas tabelas verdade. Para facilitar, vamoscolocar um quadro de possibilidades (2 variáveis: A e B) e colunas para os termos comuns entre asexpressões:

A B B A • B A• B A+ B A+0 0 1 1 1 10 1 0 1 1 01 0 0 1 1 01 1 0 0 0 0

Como se pode notar pela tabela, a desigualdade B A B A •≠• está comprovada para as mesmas possibilidades de entrada, o mesmo ocorrendo com B A B A +≠+ . O mesmo pode ser observado

para as igualdades B A B A +=• e B A B A •=+ .

32



7.3.2 Levantar a tabela verdade da expressão:

)()( C B B AS ••+=

Analisando os termos da expressão temos:

1) O termo )( B A+ será sempre 0 para 0== B A logo, conclui-se que 0=S para esta condição

para qualquer valor assumido pelo termo )( C B • porque

0)()00()()( =••+=••+= C BC B B AS sempre.

2) Nos casos em que 1= A e 0= B ou 0=C , temos 1=S pois o termo )( C B • será sempre 1

devido a 1)0( =•C ou 1)0( =• B que, multiplicado por 1)( =+ B A sempre resulta em 1=S .

3) Nos casos em que 1== C B não importando o valor de A, 0=S porque 0)11()( =•=•C B ,

logo 0)11()()()( =••+=••+= B AC B B AS

Montando a tabela com todas as possibilidades para três variáveis de entrada conforme análise:

A B C S Análise0 0 0 0 (1)0 0 1 0 (1)0 1 0 1 (2)0 1 1 0 (3)1 0 0 1 (2)1 0 1 1 (2)1 1 0 1 (2)1 1 1 0 (3)

7.3.3 Monte a Tabela Verdade da expressão:

)()( C B DC B AS +•+•+=

Analisando os termos da expressão temos:

1) Para 0=C teremos sempre 1=S porque o termo 10)()( =•+=•+ B AC B A para qualquer

valor de A ou B logo, conclui-se que 1)(1)()( =+•+=+•+•+= C B DC B DC B AS .

2) O mesmo ocorre para o caso 0= D , onde teremos sempre 1=S porque o termo1)(0)( =+•=+• C BC B D para qualquer valor de B ou C logo, conclui-se que

11)()()( =+•+=+•+•+= C B AC B DC B AS .

3) Para 1= B temos que 0=S para qualquer valor de A ou C pois, tendo a variável B presente nosdois termos 000)1()1()()( =+=+•+•+=+•+•+= C DC AC B DC B AS .

4) Para 1= B e 0= A temos que 1=S pois000)1()10()()( =+=+•+•+=+•+•+= C DC C B DC B AS .

5) No último caso onde 1= A , 0= B , 1=C e 1= D temos 0=S por simples substituição.

Montando a tabela com todas as possibilidades para três variáveis de entrada conforme análise:

33



A B C D S Análise0 0 0 0 1 (1)0 0 0 1 1 (1)0 0 1 0 1 (2)0 0 1 1 1 (4)0 1 0 0 1 (1)0 1 0 1 1 (1)

0 1 1 0 1 (1)0 1 1 1 0 (3)1 0 0 0 1 (1)1 0 0 1 1 (1)1 0 1 0 1 (2)1 0 1 1 0 (5)1 1 0 0 1 (1)1 1 0 1 1 (1)1 1 1 0 1 (2)1 1 1 1 0 (3)

7.3.4 Analise o comportamento do circuito da fig. Abaixo:

BA C D

S

Fig. 7.3.4

Para estudar o comportamento de um circuito lógico utilizamos a tabela verdade. Necessitamosobter, primeiramente, a expressão que o circuito executa. Logo, utilizando o mesmo diagrama:

34



Portanto, a expressão fica:

)(])([ DC AC B DC AS •••+++•=

Nesta expressão, para facilitar a obtenção do resultado final, vamos utilizar colunas auxiliares para obter os resultados relativos ao primeiro e segundo termos. A tabela abaixo apresenta a conclusão dosresultados:

A B C D ])([ D BC A ++• )( DC AC ••• S

0 0 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0 00 0 1 0 0 1 10 0 1 1 0 1 10 1 0 0 0 0 00 1 0 1 0 0 00 1 1 0 0 1 10 1 1 1 0 1 11 0 0 0 0 0 01 0 0 1 0 0 0

1 0 1 0 1 1 11 0 1 1 0 0 01 1 0 0 0 0 01 1 0 1 0 0 01 1 1 0 0 1 11 1 1 1 0 0 0

8. PROBLEMAS PROPOSTOS

8.1 Determine a expressão característica do circuito da fig. 8.1:

35

BA C D

S

Fig. 7.3.4.1

C A•

)( DC A ••

)( DC AC •••

])([ B DC A ++•

)(][( DC AC B DC A •••+++•



D

B

C

A

S

Fig. 8.1


DB CA

S

Fig. 8.2


36



DB CA

S

Fig. 8.3

8.4 Desenhe o circuito que executa a expressão:

D B DC B DC AC B AS •+••++•+••= ])([

8.5 Desenhe o circuito que executa a expressão:

DC B AC B DC D B B A B AS •••+•+•+++••⊗= ])()([)(

8.6 Levante a tabela verdade da expressão:

])([ C A B B AC S +•+••=

8.7 Escreva a expressão característica do circuito da fig. 8.7 e levante sua respectiva tabela verdade.

D

C S

B

A

Fig. 8.7

8.8 Desenhe o circuito a partir da expressão e levante sua tabela verdade:

)(])()([ C A BC B AC C B A DC BS +•+••++++•++=

37



8.9 Levante a tabela verdade a expressão:

])()[( C B A DC B A D BS ••++•+⊕=

8.10 Prove que:

)()( C B AC B A ⊗⊕=⊕⊗

8.11 Determine a expressão booleana a partir da tabela abaixo:

A B C S0 0 0 10 0 1 00 1 0 00 1 1 11 0 0 11 0 1 01 1 0 0

1 1 1 1

8.12 Desenhe o circuito que executa a tabela seguinte:

A B C D S0 0 0 0 00 0 0 1 10 0 1 0 10 0 1 1 00 1 0 0 00 1 0 1 00 1 1 0 00 1 1 1 11 0 0 0 01 0 0 1 11 0 1 0 01 0 1 1 01 1 0 0 11 1 0 1 01 1 1 0 01 1 1 1 1

8.13 Desenhe o sinal na saída S do circuito da fig. 8.13.

38



A

C

B

C

B

A

S

Fig. 8.13

8.14 Mostre que o circuito abaixo é um OU EXCLUSIVO:

B

S

A

Fig. 8.14

8.15 Mostre que o circuito abaixo é um circuito COINCIDENCIA

B

S

A

Fig. 8.15

8.16 Levante a tabela verdade e esquematize o circuito que executa a seguinte expressão:

C B AC B A ⊗+⊕+• ]}[]{[

8.17 Esquematize o circuito COINCIDENCIA utilizando apenas portas NÃO OU (NOR).

8.18 Esquematize o circuito OU EXCLUSIVO utilizando apenas 4 portas NÃO E (NAND).

8.19 Esquematize o circuito COINCIDENCIA utilizando apenas 4 portas NÃO OU (NOR).

8.20 Desenhe o circuito da expressão abaixo somente com portas NÃO E (NAND):

39



D B DC B DC AC B AS •+••++•+••= ])([

8.21 Desenhe o circuito da expressão abaixo somente com portas NÃO OU(NOR):

DC B AC B DC D B B A B AS •••+•+•+++••⊗= ])()([)(

8.22 Refazer o circuito da fig. 8.22 somente com portas NÃO OU (NOR):

DB CA

S

Fig. 8.22

40

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