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12 Vetores e a Geometria

do Espaço

James Stewart – Cálculo – Volume 2

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12.3 O Produto Escalar

3

O Produto Escalar

4

O Produto Escalar

A fórmula do Teorema 3 nos permite ainda determinar o

ângulo entre dois vetores.

5

O Produto Escalar

Se 0 /2, cos >0 e, portanto, a b é positivo para /2.

Se /2 , cos 0 e, portanto, a b é negativo para /2.

Podemos pensar que a b mede o quão próxima está a

direção de a e b.

O produto escalar a b é: positivo se a e b apontam para

direções próximas, 0 se eles são perpendiculares, e

negativo se apontam em direções próximas, mas com sentidos

opostos (veja a Figura 2).

Figura 2

6

Ângulos Diretores e Cossenos Diretores

Os ângulos diretores de um vetor não nulo a são os

ângulos , e (no intervalo [0, ]) que a faz com os eixos

coordenados positivos x, y e z. (Veja a Figura 3.)

Figura 3

7

Ângulos Diretores e Cossenos Diretores

Os cossenos desses ângulos de direção, cos , cos e

cos , são chamados cossenos diretores do vetor a.

Usando o Corolário 6 com b substituído por i, obtemos

Da mesma forma, temos

8

Ângulos Diretores e Cossenos Diretores

Elevando as expressões nas Equações 8 e 9 ao quadrado

e somando, obtemos

cos2 + cos2 + cos2 = 1

Podemos ainda usar as Equações 8 e 9 para escrever

a = a1, a2, a3 = | a | cos , | a | cos , | a | cos

= | a | cos , cos , cos

9

Ângulos Diretores e Cossenos Diretores

Portanto

que diz que os cossenos diretores de a são as

componentes do versor de a.

10

Exemplo 7

Determine os ângulos diretores do vetor a = 1, 2, 3.

SOLUÇÃO: Como as

Equações 8 e 9 fornecem

e também

11

Projeções

A Figura 4 mostra as representações PQ e PR de dois

vetores a e b com a mesma origem P. Se S é o pé da

perpendicular a partir de R à reta que contém PQ, então o

vetor com representação PS é chamado vetor projeção

de b sobre a e é denotado pela proja b.

Figura 4

Projeção de vetores

12

Projeções

A projeção escalar de b sobre a (também chamada

componente de b ao longo de a) é definida como o

módulo com sinal do vetor projeção, cujo valor é dado pelo

número | b | cos , em que é o ângulo entre a e b. (eja a

Figura 5.

Figura 5

Projeção escalar

13

Projeções

Isso é indicado por compa b. Observe que esse número é

negativo se /2 . A equação

a b = | a | | b | cos = | a |(| b | cos )

mostra que o produto escalar de a por b pode ser

interpretado como o módulo de a multiplicado pela

projeção escalar de b sobre a. Uma vez que

a componente de b ao longo de a pode ser calculada

tomando-se o produto escalar de b pelo versor de a.

14

Projeções

Resumindo, temos:

Observe que o vetor projeção é a projeção escalar vezes o

versor de a.

15

Exemplo 8

Determine a projeção escalar de b = 1, 1, 2 em

a = –2, 3, 1.

SOLUÇÃO: Como a projeção

escalar de b em a é

O vetor de projeção é esse escalar multiplicado pelo versor

de a:

16

Projeções

O trabalho exercido por uma força constante F movendo

um objeto por uma distância d como W = Fd, mas isso só

se aplicava quando a força era exercida ao longo da reta

de deslocamento do objeto. Suponha agora que a força

constante seja um vetor F = PR com direção diferente da

reta de deslocamento do objeto, como indicado na

Figura 6.

Figura 6

17

Projeções

Se a força move o objeto de P a Q, então o vetor

deslocamento é D = PQ. O trabalho realizado é definido

como o produto da componente da força ao longo de D

pela distância percorrida:

W = (| F | cos ) | D |

Do Teorema 3, temos

W = | F | | D | cos = F D

Assim, o trabalho realizado por uma força constante F é o

produto escalar F D, onde D é o vetor deslocamento.

18

Exemplo 9

Um carrinho é puxado uma distância de 100 m ao longo de

um caminho horizontal por uma força constante de 70 N. A

alça do carrinho é mantida a um ângulo de 35 acima da

horizontal. Encontre o trabalho feito pela força.

SOLUÇÃO: Se F e D são os

vetores força e deslocamento,

respectivamente, como

mostrado na Figura 7, então

o trabalho realizado é

W = F D = | F | | D | cos 35

= (70)(100) cos 35 5.734 Nm = 5.734 J

Figura 7

19

Exercícios recomendados

Seção 12.3: 1 ao 10, 15, 17, 23, 26

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12.4 O Produto Vetorial

James Stewart – Cálculo – Volume 2

21

O Produto Vetorial

Dado dois vetores diferentes de zero a = a1, a2, a3 e

b = b1, b2, b3, é muito útil poder encontrar um vetor

diferente não nulo c que é perpendicular a a e b. Se

c = c1, c2, c3 for tal vetor, então, a c = 0 e b c = 0, e

assim

a1c1 + a2c2 + a3c3 = 0

b1c1 + b2c2 + b3c3 = 0

Para eliminarmos c3, multiplicamos por b3 e por a3 e

subtraímos:

(a1b3 – a3b1)c1 + (a2b3 – a3b2)c2 = 0

22

O Produto Vetorial

A Equação 3 tem a forma pc1 + qc2 = 0, para o qual uma

solução óbvia é c1 = q e c2 = –p. Então, uma solução de

é

c1 = a2b3 – a3b2 c2 = a3b1 – a1b3

Substituindo estes valores em e , obtemos então

c3 = a1b2 – a2b1

Isso significa que um vetor perpendicular a ambos a e b é

c1, c2, c3 = a2b3 – a3b2, a3b1 – a1b3, a1b2 – a2b1

O vetor resultante é chamado produto vetorial de a e b e é

denotado por a b.

23

O Produto Vetorial

O produto vetorial a b de dois vetores a e b, diferente

do produto escalar, é um vetor.

Atenção: a b só é definido para a e b vetores em V3.

24

O Produto Vetorial

A fim de tornarmos a Definição 4 mais fácil de lembrar,

usamos a notação de determinantes.

Um determinante de ordem 2 é definido por

Por exemplo,

25

O Produto Vetorial

Um determinante de ordem 3 pode ser definido em

termos dos determinantes de segunda ordem como:

Observe que cada termo do lado direito da Equação 5

envolve um número ai da primeira linha do determinante, e

ai é multiplicado por um determinante de segunda ordem

obtido do determinante do lado esquerdo pela remoção da

linha e da coluna em que aparece o elemento ai .

26

O Produto Vetorial

Observe também que o sinal de menos aparece no

segundo termo. Por exemplo,

= 1(0 – 4) – 2(6 + 5) + (–1)(12 – 0) = –38

27

O Produto Vetorial

Se reescrevermos a Definição 4 utilizando determinantes

de segunda ordem e a base canônica de vetores i, j e k,

veremos que o produto vetorial do vetor

a = a1 i + a2 j + a3 k por b = b1 i + b2 j + b3 k é

Em vista da semelhança entre as Equações 5 e 6,

geralmente escrevemos

28

Exemplo 1

Se a = 1, 3, 4 e b = 2, 7, –5, então

= (–15 – 28)i – (–5 – 8)j + (7 – 6)k = –43i + 13j + k

29

O Produto Vetorial

Definimos o produto vetorial a b de modo que seja

um vetor perpendicular a ambos a e b. Esta é uma das

propriedades mais importantes de um produto vetorial.

30

O Produto Vetorial

Se a e b são representados por segmentos de retas

orientados com mesma origem (como na Figura 1), então o

Teorema 8 diz que a b resulta é um vetor perpendicular

ao plano que passa por a e b.

A regra da mão direita fornece a direção de a b.

Figura 1

31

O Produto Vetorial

O sentido da direção de a b é dado pela regra da mão

direita: Se os dedos de sua mão direita se curvarem na

direção (através de um ângulo inferior a 180) de a para b,

então seu polegar está apontado na direção e sentido de

a b.

Conhecendo o sentido e a direção do vetor a b, resta a

descrição geométrica de seu comprimento | a b |. Isso é

dado pelo teorema seguinte.

32

O Produto Vetorial

Como um vetor fica completamente determinado se

conhecermos seu módulo, direção e sentido, podemos

dizer que a b é o vetor perpendicular aos vetores a e b,

cuja orientação é determinada pela regra da mão direita, e

cujo comprimento é | a | | b |sen . De fato, é exatamente

assim que os físicos definem a b.

33

O Produto Vetorial

A interpretação geométrica do Teorema 9 pode ser vista

na Figura 2.

Se a e b são tomados como segmentos de reta orientados

com o mesmo ponto inicial, determinam um paralelogramo

com base é | a |, altura | b |sen e com área

A = | a |(| b |sen ) = | a b |

Figura 2

34

O Produto Vetorial

Então temos a seguinte forma de interpretar o módulo do

produto escalar.

35

Exemplo 4

Encontre a área do triângulo com vértices P (1, 4, 6),

Q (–2, 5, –1) e R (1, –1, 1).

Solução: No Exemplo 3 calculamos que

PQ PR = –40, –15, 15. A área do paralelogramo com

lados adjacentes PQ e PR é o comprimento do produto

vetorial:

A área A do triângulo PQR é metade da área desse

paralelogramo, ou seja, .

36

O Produto Vetorial

Se aplicarmos os Teoremas 8 e 9 aos vetores da base

canônica i, j e k usando = /2, obtemos

i j = k j k = I k i = j

j i = –k k j = –i i k = –j

Observe que

i j j i

37

O Produto Vetorial

Portanto, o produto vetorial não é comutativo. Também,

i (i j) = i k = –j

Enquanto

(i i) j = 0 j = 0

Logo, a propriedade associativa da multiplicação também

não vale obrigatoriamente aqui; ou seja, em geral, temos

(a b) c a (b c)

Entretanto, algumas das propriedades usuais da álgebra

ainda valem para o produto vetorial.

38

O Produto Vetorial

O teorema a seguir resume as propriedades dos produtos

vetoriais.

39

O Produto Vetorial

Podemos demonstrar essas propriedades escrevendo os

vetores em termos de suas componentes e usar a

definição de produto vetorial.

Se a = a1, a2, a3, b = b1, b2, b3 e c = c1, c2, c3, então

a (b c) = a1(b2c3 – b3c2) + a2(b3c1 – b1c3) + a3(b1c2 – b2c1)

= a1b2c3 – a1b3c2 + a2b3c1 – a2b1c3 + a3b1c2 – a3b2c1

= (a2b3 – a3b2) c1 + (a3b1 – a1b3) c2 + (a1b2 – a2b1 ) c3

= (a b) c

40

Produtos Triplos

O produto a (b c) que ocorre na Propriedade 5 é

chamado produto misto ou produto triplo escalar dos

vetores a, b e c. Observe, a partir da Equação 12, que

podemos escrever o produto escalar triplo como um

determinante:

41

Produtos Triplos

O significado geométrico do produto misto pode ser visto

considerando-se o paralelepípedo determinado pelos

vetores a, b e c. (Veja a Figura 3.)

A área da base do paralelogramo é A = | b c |.

Figura 3

42

Produtos Triplos

Se é o ângulo entre a e b c, então a altura h do

paralelepípedo é h = | a | | cos |. (Devemos utilizar | cos |

em vez de | cos | caso > /2.) Por conseguinte, o

volume do paralelepípedo é

V = Ah = | b c || a || cos | = | a (b c) |

Assim, demonstramos a seguinte fórmula.

43

Produtos Triplos

Se usarmos a Fórmula e descobrirmos que o volume do

paralelepípedo determinado por a, b e c é 0, os três

vetores precisam pertencer ao mesmo plano; isso quer

dizer que eles são coplanares.

44

Exemplo 5

Utilize o produto misto para mostrar que os vetores

a = 1, 4, –7, b = 2, –1, 4 e c = 0, –9, 18 são

coplanares.

Solução: Se usarmos a Equação 13 para calcular o

produto misto, teremos:

= 1(18) – 4(36) – 7(–18) = 0

45

Exemplo 5 – Solução

Portanto, por , o volume do paralelepípedo determinado

por a, b e c é 0. Isso significa que a, b e c são coplanares.

O produto a (b c) que ocorre na Propriedade 6 é

chamado triplo produto vetorial de a, b e c.

continuação

46

Exercícios recomendados

Seção 12.4: 1, 2, 6, 9, 17, 19, 20, 28, 33