12 set 2007 Métodos baseados em Modelos

EE-240/2007 – Métodos Baseados em Modelos

set 2007

12 set 2007Métodos baseados

em Modelos


set 2007

Modelo:

“Representação das características essenciais do sistema em estudo”

EstadoMedidas

OuSaída

Entrada ouExcitação

)Ms()v(DuCxy)Ha()Gw(Bux)AA(x

kkkkk

kkkk1k

Ruído deEstado

Ruído deMedida

Falha deAtuador

Falha deSensor

FalhaInterna


set 2007

k1nknk11k uy...yy

knk

2nk2k

1nk1k

yx

yx

yx

k1kn

1nk2

nk1

n1k

3k

21k

2k

11k

uxxxx

xx

xx


set 2007

k1kn

1nk2

nk1

n1k

3k

21k

2k

11k

uxxxx

xx

xx

k

nk

1nk

2k

1k

12n1nnn

1k

1n1k

21k

11k

u0

00

xx

xx

1000

01000010

xx

xx

A B


set 2007

kk

kk1kCxy

BuAxx

12n1nn

1000

01000010

A

0

00

B 1000C

k1nknk11k uy...yy

ou

Obs: • Transformada Z Função de Transferência• u = Delta de Kronecker Resposta Pulso


set 2007

Como utilizar Modelos noPrognóstico de Falhas?

Observadores de Estado

IdentificaçãoParamétrica

Equaçõesde Paridade


set 2007

Observadores de Estado(ou Estimadores de Estado)

)xCCx(LBuBu)xx(Axx kkkkkk1k1k

)xx)(LCA(xx kk1k1k

kk

kk1kCxy

BuAxx

Planta:

kk

kkkk1kxCy

)yy(LBuxAx

Observador:

( – )

ke1ke

unitáriodisconovaloresepossuiéLCAse0ek


set 2007

kkk

kkk1k

vx100y

w111

u001

x5.11074.001

12.000x

Exemplo:

9.062.0

112.0L

E-valores do observador em 0.1 e 0.2 (mult 2)


set 2007


set 2007

kkk yyy~


set 2007


set 2007

kkk yyy~


set 2007

Exemplo:

kkk

kkk1k

vx125100

y

w111

u001

x5.11074.001

12.000x

9.062.0

112.0L

E-valores do observador em 0.1 e 0.2 (mult 2)

Observador utilizandoapenas 1

ky


set 2007


set 2007

amareloy~magentay~

2k

1k


set 2007

Falha A Falha B


set 2007


set 2007

Equações de Paridade

kk

kk1kCxy

BuAxx

Sem falhas:

1ikk1i

ki

ik

1kkk2

1k1k2k2k

kk1k1k

kk

CBuBuCAxCAy

CBuCABuxCACBuCAxCxy

CBuCAxCxyCxy


set 2007

ik

2k

1k

k

2i1i

k

1i

2

ik

2k

1k

k

u

uuu

0CBBCABCA

00CBCAB000CB0000

x

CA

CACAC

y

yyy

Y T Q U

QUTxY k

0WT.q.tW

0WQUWY:r


set 2007

kkk

kkk1k

vx100y

w111

u001

x5.11074.001

12.000x

Exemplo:

W = [-0.12 0.74 -1.5 1.0]

275.151.15.151.15.115.110

100

T


set 2007


set 2007

Resíduo


set 2007


set 2007

Resíduo


set 2007

Identificador

kk UYE ,ˆ

SistemaParcialmenteConhecido

ku ky

kkk wCxfx ,1

kkk vGxHy

kw

Identificação Paramétrica


set 2007

Dados: qy Rp ,,

Taentecorrespondy

Obter: um estimador g, tal que g( y ) se aproxime de T

1. Estimador:

1,yp 2,yp

y

Exemplo:

a

ayseayse

yg

2

1)(

Identificação Paramétrica


set 2007

LSE

2. Estimador Não - Polarizado:

dpgygE yR ,)(

Exemplo: Seja ),0(~ INeeAy

mínimosejaAyquetalyg2ˆ)(ˆ Obter

yAAA

yAAA

AAAyyydd

AyAydd

Aydd

TT

TT

TTTT

T

1

ˆ

2

ˆ

022

02

0

0


set 2007

eAAAEAAAAE

eAAAAAAAE

eAAAAE

yAAAEygE

poispolarizadonãoéyAAA

TTTT

TTTT

TT

TT

TT

11

11

1

1

1

)()(

)()(

)()(

)()(

,ˆ

3. Teorema de Gauss-Markov:

LSE é ótimo na classe de estimadores lineares não-polarizados

covˆcov,EquetalBy


set 2007

covˆcov,EquetalBy

T

TT

T

T

T

BB

BBeeE

EeABEeABE

EByEByE

EEE

IBABAE

BeEBAEeABE

ByEE

))()()((

))((

))((cov

)(


set 2007

covˆcov,EquetalBy

1

11

11

11

1

1

1

)(

)()(

)()(

)()(

])ˆ[ˆ])(ˆ[ˆ(ˆcov

)(

)()(

)(

ˆ]ˆ[ˆ

AA

AAAAAA

AAAeeEAAA

AAAeeAAAE

EEE

eAAA

eAAAA

yAAA

E

T

TTT

TTTT

TTTT

T

TT

TT

TT


set 2007

covˆcov,EquetalBy

TT BBAA

covˆcov1

ˆcov~~)(~~

)()(~)()(~~~)(~)(~

cov

1

1111

11

T

TT

TTTTTTTT

TTTTT

T

BB

AABB

AAAAAABAAAAAABBB

AAABAAAB

BB

0~,

~

1

1

AAAABAAB

IBAComoAAABBSeja

TT

TT

0


set 2007

Matriz deInformação

de Fisher

4. Limitante Inferior de Cramér-Rao: 1)(cov Myg

onde

),(log),(log ypypEm yj

yi

ij

dpgouygE

polarizadonãoégComo

yRm ),()()(

,(.)

i

yRi

dpgm ),()(

ijseijse

10


set 2007

IpgE

Idppg

Idpg

y

yyR

yR

m

m

),(log)(

),(),(log)(

),()(

0),(log

0),(),(log

0),(

1),(

y

yR y

R y

R y

pE

dpp

dp

dp

m

m

m

Por outro lado,


set 2007

Ty

T

y

pg

p

gE ),(log

),(log

cov

),(log yp

gSe então,

1

1

11

cov

0cov

0cov

0cov

cov

Mg

Mg

MI

MIIg

MI

MIIg


set 2007

5. Eficiência: g(y) é dito ser eficiente se 1)(cov Myg

6. Teorema: eficienteéyAAAyg TT 1ˆ

1ˆcov

AAT

AyAyp T

my 21exp

21),( 2/

AyAymp Ty 2

12log2

),(log

AAAeeAEM

eAyAAAp

TTT

TTTy

),(log

1ˆcov M


set 2007

7. Propriedades do LSE:

eficienteéyAAAyg TT 1ˆ e não polarizado

8. Identificação de Modelos ARMAX:

kmkmknknkk euuyyy 1111

N

n

n

n

m

n

mNNnNN

mnnn

mnnn

mnnn

N

n

n

n

e

eee

uuyy

uuyyuuyyuuyy

y

yyy

2

1

1

1

11

2121

11

101

2

1

y = A + e


set 2007

1. Lema de Inversão de Matrizes:

1111111 AbcAbAcAbcA TTT

2. Estimação Recursiva:

1111

N

NTN

N

N

NeE

aA

yY

medidasN

11

1

111ˆ

N

NT

TN

NTN

NT

TN

NN y

YaA

aA

aA

11

1

111ˆ

N

NN

TNT

N

NN

TNN y

YaA

aA

aA

111

111ˆ

NNN

TN

TNNN

TNN yaYAaaAA

NTNN

TNNNNN YAAAondeAYmedidasN 1)(ˆˆ,,

Identificação Paramétrica Recursiva


set 2007

1 NTNN AAP

T

N

NN a

AA

11

111

1

11

1111

T

NNNTNT

N

NT

TN

NN

TNN aaAA

aA

aA

AAP

1111111 AbcAbAcAbcA TTT

1111

111

TNNN

TNNN

TNN aaPaaAAP

NTNNNNN

TNN PaaPaPaP 11

1111

111

11

1

NN

NNTN

N aPaPa

K

NTNNN PaKIP 111


set 2007

111

111ˆ

NNN

TN

TNNN

TNN yaYAaaAA

1111ˆ NNN

TNNN yaYAP

NTNNNNN

TNNN PaaPaPaPP 11

1111 1

1111

11111

111

111

1

1ˆ

NNNTNNNNN

TNNNN

NTNN

TNNNNN

TNN

TNNN

yaPaaPaPayaP

YAPaaPaPaYAP

NTNNN YAP 1

1111

1

NN

NNTN

N aPaPa

K

NTNNNNN ayK ˆˆˆ 1111


set 2007

NTNNNNN ayK ˆˆˆ 1111

111

11

1

NN

NNTN

N aPaPa

K

NTNNN PaKIP 111

mNNnNNTN uuyya 111

NmNmNnNnNN euuyyy 1111

Identificador

kk UYE ,ˆ

SistemaParcialmenteConhecido

ku ky

ke

Tmn 11

3. Identificação de Modelos ARX:


set 2007

kkk

kkk1k

vx100y

w111

u001

x5.11074.001

12.000x

Exemplo:

k1nkkk1k u00.1y12.0y74.0y50.1y


set 2007


set 2007

k1nkkk1k u00.1y12.0y74.0y50.1y


set 2007


set 2007

Muito Obrigado!

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