Princípio Fundamental da Contagem Análise Combinatória

Prof.: Denilson Miranda

Princípio Fundamental da Contagem

(Análise Combinatória)

1 - Contagem e análise combinatória

Exemplo: Imagine que você possui em seu armário

3 calças, 4 camisetas e 2 pares de tênis. De quantas

maneiras diferentes você pode se vestir?

O Princípio Fundamental da Contagem nos diz que para

obter a quantidade total de maneiras de se vestir basta

multiplicar o numero de calças pelo número de

camisetas e pelo número de tênis. Em outras palavras,

quando temos acontecimentos sucessivos e

independentes, bastas multiplicar as quantidades

de possibilidades de cada acontecimento.

Exemplo: Quantos números de 3 algarismos

podemos formar utilizando apenas os algarismos 1,

2, 3, 4, 5 e 6?

*E se o exemplo dissesse que os números de 3

algarismos formados devem ter os 3 algarismos

distintos?

**E se o exemplo houvesse dito que, além de

formar números com algarismos distintos, o

algarismo 2 sempre deve estar presente na

primeira, segunda ou terceira posição?

Uma dica para você saber quando somar e quando

multiplicar é perceber a presença das expressões

“E” e “OU”.

Fique atento!!!!

- O princípio multiplicativo é utilizado no caso de

eventos independentes (a escolha da camiseta

independe da escolha da calça, que independe da

escolha do tênis);

- O princípio aditivo é utilizado no caso de eventos

mutuamente excludentes (a presença do 2 em uma

posição exclui a possibilidade de ele estar nas

demais posições).

1. (ESAF – STN – 2008) Ana possui em seu closed

90 pares de sapatos, todos devidamente

acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90.

Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de

sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira

do closed quatro caixas de sapatos. O número de

retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo

que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é

igual a:

a) 681384 c) 43262 b) 382426

d) 7488 e) 2120

2 - Permutação simples

Analisemos agora o seguinte exemplo: temos 5

pessoas que devem se sentar em uma fileira do

cinema, uma ao lado da outra. De quantas

maneiras diferentes podemos sentar essas

pessoas?

Quantos anagramas podemos formar utilizado

todas as letras da palavra BRASIL?

Obs.: Anagrama é uma “palavra” formada pela

transposição (troca ou “embaralhamento”) das

letras de outra palavra.

O Princípio Fundamental da Contagem também é

chamado de Princípio Multiplicativo, pois o

número total de possibilidades é o produto dos

números de possibilidades em cada etapa.

A permutação simples é um caso

particular de arranjo, onde os elementos

formam agrupamentos que se

diferenciarão somente pela ordem, ou seja,

n! = n x (n-1) x (n-2) x ... x 1

Princípio Fundamental da Contagem Análise Combinatória

Prof.: Denilson Miranda

Atenção !!!!

0! = 1 e 1! = 1

𝑛!

(𝑛! − 1)=

𝑛 . 𝑛 − 1 !

𝑛 − 1 != 𝑛

n! + x! = (n + x)! e n! - x! = (n - x)!

n! . x! = (n . x)!

3 - Permutação com repetição

Quantos anagramas podemos formar com a

palavra B R A S I L E I R O ?

Note que no exemplo anterior temos 2 letras

repetidas 2 vezes (R e I), neste caso temos que

contar somente uma vezes cada letra, pois

independe da posição dela.

Neste caso, quando há repetição devemos usar a

fórmula da permutação simples, porém dividir o

resultado pelo número de permutação de cada

letra repetida.

PR(10 ; 2 e 2) = 5!

2!𝑥 2!= 10 anagrama

Generalizando, temos que:

PR(n ; m e p) = 𝑛 !

𝑚 !𝑥 𝑝!

4 - Permutação Circular

Ocorre quando temos grupos com m elementos

distintos formando uma circunferência.

PC = ( m – 1 )!

Exemplo: Seja um conjunto com 10 cientistas. De

quantos modos distintos estes cientistas podem sentar-

se junto a uma mesa circular para realizar uma

experiência sem que haja repetição das posições?

P(10) = (10-1)! = 9! = 362880

Exemplo: 5 crianças desejam brincar de roda. De

quantos modos distintos estas crianças podem formar a

roda sem que haja repetição?

P(5) = (5-1)! = 4! = 24

1. (ESAF – AFRE/MG – 2005) Sete modelos, entre

elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de

um desfile de modas. A promotora do desfile

determinou que as modelos não desfilarão

sozinhas, mas sempre em filas formadas por

exatamente quatro das modelos. Além disso, a

última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou

Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não

poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de

diferentes filas que podem ser formadas é igual a:

a) 420 b) 480 c) 360

d) 240 e) 60

2. (CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Quatro

crianças devem ficar uma ao lado da outra para

uma fotografia. Se a criança mais alta deve ficar em

uma das extremidades, o número de arrumações

possíveis dessas crianças é:

a) 4 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12

3. (FDC – MAPA – 2010) O número máximo

possível de placas de automóvel em nosso país,

com três letras e quatro algarismos, começadas

pela letra B e terminadas pelo algarismo 9, é:

a) 650.000 b) 676.000 c) 175.760

d) 10.000 e) 26.000