1/37 Regressão Modelagem Estatística. 2/37 Regressão l Estudo da forma do relacionamento entre variáveis quantitativas. l Exemplos: –Peso e altura. –Renda

1/37

Regressão

ModelagemEstatística

2/37

Regressão

Estudo da forma do relacionamento entre variáveis quantitativas.

Exemplos:– Peso e altura.– Renda familiar e número de filhos.– Renda e consumo.– Volume de produção e custos.– Risco e rentabilidade de ações.– Gastos com prevenção de defeitos e falhas

nos produtos.

3/37

Regressão - Objetivos

Predizer (estimar) uma variável dependente (Y) em função de uma variável independente (X).

Conhecer o quanto variações de X podem afetar Y.

4/37

Exemplos

Variável independente, X

Variável dependente, Y

Temperatura do forno (0C) Resistência mecânica da cerâmica (MPa)

Quantidade de aditivo (%) Octanagem da gasolina

Renda (R$) Consumo (R$)

Memória RAM do computador (Gb)

Tempo de resposta do sistema (s)

Área construída do imóvel (m2)

Preço do imóvel (R$)

5/37

Exemplo de Regressão

A Agência Meteorológica Japonesa ganhou o prêmio IgNobel de Física (1994) por causa de um estudo de sete anos verificando se terremotos são causados por peixes (catfish) balançando seus rabos.

6/37

Exemplo 11.2:

X = % de aditivo

Y = Índice de octanagem da gasolina

X Y1 80,52 81,63 82,14 83,75 83,96 85,0

Resultados de n = 6 ensaios experimentais:

7/37

Exemplo 11.2:

80,0

81,0

82,0

83,0

84,0

85,0

86,0

0 1 2 3 4 5 6 7

quantidade de aditivo (%)

índi

ce d

e oc

tana

gem

8/37

Regressão - Modelo

Y =Predito por X, se-gundo uma função Efeito aleatório+

yi .xi ei Regressão

LinearSimples

Parâmetros

9/37Modelo de regressão linear

simples

Em termos das variáveis: XYE

Em termos dos dados: Yi = + xi + i

Suposições:– os termos de erro (1, 2, ..., n) são variáveis

aleatórias independentes;– E{i} = 0;– V{i} = 2; e i tem distribuição normal (i = 1, 2, ..., n).

10/37

Pressupostos

Para qualquer valor de xi, os erros (ei) são independentes e variam aleatoriamente segundo uma distribuição (normal) com média zero e variância constante.

yi .xi ei

11/37

Método dos Mínimos QuadradosY

X

ponto iyi

xi

y = a +b.x^

yi

ei

O método dos míni-mos quadrados sele-ciona os valores de a e b de tal forma que o somatório dos quadrados dos erros (ei

2) é minimizado.

reta de regressão estimada:

12/37

Método dos mínimos quadrados para

estimar e

Minimizar em relação a e :

yi

xi

i

22iii xYS

0S

0S

13/37

Resultado das derivadas parciais:

22

ii

iiii

x xn.

yx yxn.b =

nxby

a = ii

Estimativa de :

Estimativa de :

Reta de regressão construída com os dados:

bxay ˆ

Método dos mínimos quadrados para

estimar e

14/37

Exemplo

i xi yi i xi yi 1 20 96 11 30 109 2 20 92 12 30 100 3 20 106 13 35 112 4 20 100 14 35 105 5 25 98 15 35 118 6 25 104 16 35 108 7 25 110 17 40 113 8 25 101 18 40 112 9 30 116 19 40 127 10 30 106 20 40 117

idadetempo de reação a certo estímulo

15/37

Regressão Linear Simples

70

107,5

10 30X

Ydiagrama de dispersão

16/37


70

107,5

10 30X

Yreta de regressãoestimaday = 80,5 + 0,9x^

17/37

Teste para o Parâmetro

Ho: = o H1: = o

Distribuição de referência: t de Student, com (n-2) graus de liberdade.

Estatística: t =(a - o)

Sa

(yi - a - bxi)2

n - 2( 1

n+ X2

(xi - )2X)Sa =

Valor especificado pelo pesquisador

18/37

Teste para o Parâmetro

Ho: = o H1: = o

Distribuição de referência: t de Student, com (n-2) graus de liberdade.

Estatística: Valor especificado pelo pesquisadort =

(b - o)Sb

(yi - a - bxi)2

(n - 2) [ (xi - )2 ]XSb =

19/37

Qualidade do ajuste

Ajustou-se uma equação de regressão entre X e Y. E a qualidade do ajuste?

– análise de variância do modelo– análise dos resíduos

20/37

Reta de regressão e resíduos Valores preditos:

Resíduos:

ii bxay ˆ

iii yye ˆ

yi

xi

ei

iy bxay ˆ

21/37Análise de

variância do modelo

yi

xi

eidi bxay ˆ

y

yyd ii

iii yye ˆ

Desvio em relação à média aritmética:

Desvio em relação à reta de regressão(resíduo da regressão):

22/37

Somas de quadrados

SQT

variação total

SQR

variação explicada

pela equação de

regressão

SQE

variação nãoexplicada

2yyi = 2ˆ yyi + 2ˆ ii yy

23/37

Somas de quadrados

ny

yyySQT iii

222

iiiiii yxbyayyySQE 22ˆ

SQESQTSQR

Coeficiente de determinação:SQTSQE

SQTSQR

R 12

24/37

Medida da qualidade do

ajuste:Coeficiente de determinação (R2)

R2 = Variação

total

Variaçãoexplicada

= (yi - y)2

(yi - y)2^

0 R2 1 Matematicamente, R2 é o quadrado do Coef. de Correlaçãode Pearson.

25/37Teste de significância do

modelo

H0: = 0 e H1: 0 Distribuição de referência para a

razão f : distribuição F com gl = 1 no numerador e gl = n – 2 no denominador.

XYE .

26/37

Análise da Variância

fonte de somas de quadrados razão nível de variação quadrados GL médios F probab.Regressão 810,000 1 810,0000 25,897 ,000077Residuo 563,000 18 31,2778Total 1373,000

r2 = 0,59

27/37


70

107,5

10 30X

Y

r2 = 0,59

reta de regressãoestimaday = 80,5 + 0,9x^

28/37

Suposições do modelo

– os termos de erro (1, 2, ..., n) são variáveis aleatórias independentes;

– E{i} = 0;– V{i} = 2; e i tem distribuição

normal (i = 1, 2, ..., n).

Modelo: Yi = + xi + i

x

E{Y}= +x y

29/37

Exercício Analisar cada conjunto de dados (X,Y)

X1 Y1 X2 Y2 X3 Y3 X4 Y410 8,04 10 9,14 10 7,46 8 6,588 6,95 8 8,14 8 6,77 8 5,76

13 7,58 13 8,74 13 12,74 8 7,719 8,81 9 8,77 9 7,11 8 8,84

11 8,33 11 9,26 11 7,81 8 8,4714 9,96 14 8,1 14 8,84 8 7,046 7,24 6 6,13 6 6,08 8 5,254 4,26 4 3,1 4 5,39 19 12,5

12 10,84 12 9,13 12 8,15 8 5,567 4,82 7 7,26 7 6,42 8 7,915 5,68 5 4,74 5 5,73 8 6,89

30/37

Análise dos resíduos:um diagnóstico das

suposições do modelo

Valores preditos:ii bxay ˆ

iii yye ˆ

Resíduos:

yi

xi

ei

iy bxay ˆ

31/37Análise dos resíduos

x

y e

x

Gráfico dos dados:(xi, yi)

Gráfico dos resíduos:(xi, ei)

As suposições do modelo parecem satisfeitas?




x

y


resíduo

0x





x

y e

0x


Gráfico dos resíduos: (xi, ei)


resíduo

0 x





x

y e

0x

36/37

RegressãoModelos Linearizáveis

y = + log(x) y = + .log(x)

y

x log(x)

y

37/37

RegressãoModelos Linearizáveis

y = .x log(y) = log( + log(.x

y

x x

log(y)

Documents

1/37 Regressão Modelagem Estatística. 2/37 Regressão l Estudo da forma do relacionamento entre variáveis quantitativas. l Exemplos: –Peso e altura. –Renda