Correlação e Regressão Linear

Bioestatística

2º BimestreFarmácia /2011

Profa Dra Leila Ribeiro

Introdução Introdução

Em pesquisas, frequentemente, procura-se verificar se existe relação entre duas ou mais variáveis, isto é, saber se as alterações sofridas por uma das variáveis são acompanhadas por alterações nas outras.

Por exemplo, peso vs. idade, consumo vs. renda, altura vs. peso, de um indivíduo.

O termo correlação significa relação em dois sentidos (co + relação), e é usado em estatística para designar a força que mantém unidos dois conjuntos de valores.

A verificação da existência e do grau de relação entre as variáveis é o objeto de estudo da correlação.

Coeficiente de Correlação LinearCoeficiente de Correlação Linear

O instrumento empregado para a medida da correlação linear é o coeficiente de correlação.

Esse coeficiente deve indicar o grau de intensidade da correlação entre duas variáveis e, ainda, o sentido dessa correlação (positivo ou negativo).

O coeficiente de correlação determinado por Pearson considera:

ny

ynx

x

nyx

xyr

22

22 )(

.)(

.

y padrão desvio . x padrão desvio

y)(x, acovariânci, yxr

onde n é o número de observações

A partir de X e Y são determinadas todas as somas necessárias para este cálculo:

O coeficiente de correlação rxy linear é um número puro que varia de –1 a +1 e sua interpretação dependerá do valor numérico e do sinal, como segue:

rxy = -1 -1< rxy <0rxy = 00 < rxy <1rxy = 1

Correlação perfeita negativa Correlação negativa Correlação nula Correlação positiva Correlação perfeita positiva

O diagrama de dispersão mostrará que a correlação será tanto mais forte quanto mais próximo estiver o coeficiente de –1 ou +1, e será tanto mais fraca quanto mais próximo o coeficiente estiver de zero.

a) Correlação perfeita negativa (rxy = -1):Quando os pontos estiverem perfeitamente alinhados, mas em sentido contrário, a correlação é denominada perfeita negativa.

b) Correlação negativa (-1 < rxy < 0):A correlação é considerada negativa quando valores crescentes da variável X estiverem associados a valores decrescentes da variável Y, ou valores decrescentes de X associados a valores crescentes de Y.

c) Correlação nula (rxy = 0): Quando não houver relação entre as variáveis X e Y, ou seja, quando os valores de X e Y ocorrerem independentemente, não existe correlação entre elas.

d) Correlação positiva (0 < rxy < 1):Será considerada positiva se os valores crescentes de X estiverem associados a valores crescentes de Y.

e) Correlação perfeita positiva (rxy = 1):A correlação linear perfeita positiva corresponde ao caso anterior, só que os pontos (X, Y) estão perfeitamente alinhados.

Correlação nula (rxy = 0)Correlação positiva (0 < rxy < 1) Correlação negativa (-1 < rxy < 0)

PaísConsumo

individual diário de proteínas

Coeficiente de Natalidade

Formosa 4,7 45,6Malásia 7,5 39,7Índia 8,7 33,0Japão 9,7 27,0Iugoslávia 11,2 25,9Grécia 15,2 23,5Itália 15,2 23,4Bulgária 16,8 22,2Alemanha 37,3 20,0Irlanda 46,7 19,1Dinamarca 56,1 18,3Austrália 59,9 18,0Estados Unidos 61,4 17,9Suécia 62,6 15,0

ny

ynx

x

nyx

xyr

22

22 )(

.)(

.

r= -0,77

Correlação negativa (-1 < rxy < 0)

Isso ocorre quando os valores crescentes da variável X estão associados a valores decrescentes da variável Y,

Exemplo:Exemplo:

Regressão LinearRegressão Linear

Quando duas variáveis possuem certo grau de relacionamento (verificado pela correlação), podemos aplicar a análise de regressão que vai nos permitir descrever através de um modelo matemático, a relação entre duas variáveis, partindo de n observações das mesmas.

Para executarmos a regressão, as variáveis serão divididas em variável dependente e variável independente.

Para o eixo x, indicamos a variável independente e para o eixo y, a dependente.

No Diagrama de Dispersão, unindo os pontos correspondentes para cada par de valores de X e Y obtemos um segmento de reta (reta de regressão)

Dessa forma temos: xY

xY

é o coeficiente linear, que dá a altura em que a reta corta o eixo das ordenadas

é o coeficiente angular, que é a tangente trigonométrica do ângulo , formado pela reta Y=+X e uma paralela ao eixo das abscissas, de ordenada igual a .

O coeficiente angular () é dado por:

O coeficiente linear () é dado por:y de valoresdos média a é

xde valoresdos média a é

sobservaçõe de número o é

:

y

x

n

onde

Exemplo:Exemplo:

Para entendermos melhor regressão, veja o exemplo da quantidade de procaína hidrolisada no plasma humano em função do tempo decorrido após a sua administração.

x y Xy X2

2 3,5 7,0 4 3 5,7 17,1 9 5 9,9 49,5 25 8 16,3 130,4 6410 19,3 193,0 10012 25,7 308,4 14414 28,2 394,8 19615 32,6 489,0 22569 141,2 1589,2 767

x y xy x2

Tempo (Minutos)

Quantidade Hidrolisada

2 3,53 5,75 9,98 16,3

10 19,312 25,714 28,215 32,6

Aplicando as fórmulas , temos:

98,08

6916,2

8

2,141 16,2

88,171

35,371

869

767

82,691412,1589

2

xY 16,298,0 Assim, a equação da reta de regressão é:

A equação da reta de regressão, permite calcular os valores de Y para quaisquer valores de X dentro do intervalo estudado, mesmo que estes valores não existam na amostra.

Por exemplo:

Para x=13

10,2713.16,298,0 Y

O valor de Y = 27,10 é uma previsão para a quantidade de procaína que estaria hidrolisada 13 minutos após a sua administração.

Referências BibliográficasReferências Bibliográficas

Bioestatística : Princípios e Aplicações,Callegari-Jaques, S. M., Editora artmed, 2003

Introdução à Bioestatística: para simples mortais, Doria Filho, U., Editora Elsevier, 1999

Apostila Capitulo 14 - Estatística e Pesquisa UVB