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GRÁFICOS E MODELAGEM MATEMÁTICA
ANALISANDO DADOS EXPERIMENTAIS
PROF. MARTINHO
Gráfico?
Experimentos Medidas Dados
Visualização da relação entre os dados
Tabelas Gráficos Funções
Experimento
Fenômeno Real
Fenômeno Representado em Laboratório
Instrumentos/ equipamentos para medir as
grandezas
Possíveis Grandezas envolvidas no
fenômenoDados
Experimentais
Analisar Dados Experimentais
Visualização dos Dados
Eu sou a mosca....
Drosophila melanogaster
Visualização dos dados experimentais
Tabela de dados
Apresenta os resultados das medidas das grandezas envolvidas no processo em intervalos estipulados pelo experimentador.
Tabela 1 - Mortalidade de Drosophila melanogaster expostasao inseticida carbofuran.Concentração Mortalidade (%)* Desvio padrão(mg.mL-1)2,50 04 1,73,75 39 2,35,00 57 1,86,25 83 1,87,50 94 2.6
Gráfico
Visualização dos dados experimentais em forma de “desenho”, o qual representa a relação direta ou inversa entre os mesmos.
Construção do Gráfico
Plano de Referência: Cartesiano
Bidimensional Percentual
ConcentraçãoRelaciona 2 grandezas
Tridimensional
Relaciona 3 grandezas envolvidas no processo
Percentual
Concentração
Temperatura
Escalas - Linear
L – comprimento do eixo
∆G – Valor máximo – Valor mínimo (experimental)
Fator de Escala (f)
Fator de escala - cada unidade de comprimento passará a corresponder a um dado valor da grandeza pertencente à tabela de dados.
Tabela 1 - Mortalidade de Drosophila melanogaster expostas ao inseticida carbofuran.
Concentração Mortalidade (%)* X Y2,50 04 3,75 39 5,00 57 6,25 83 7,50 94
mmg/cm 625,08
00,5f
Gf
x
xx
xL
Lx = 8cm Ly = 5cm
∆Gx = 7,50 – 2,50 = 5,00∆Gy = 94 – 4 = 90
Qual o valor do fator de escala?
cmf
Lf
y
yy
/%185
90
G y
P.S.: é aconselhável, para facilitar as contas, utilizar-se sempre um fator de escala arredondado múltiplo de 2 ou 5 (sempre para mais). Caso f seja menor do que 1 deixá-lo com apenas um algarismo significativo. Por exemplo: f = 0,59444 deve-se usar 0,6.
fx = 1,00 mg/cm fy = 20 %/cm
Mortalidade de Drosophila melanogaster expostas ao inseticida carbofuran
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
% de mortalidade
C(mg/mL)
Qual a melhor função que representa a relação entre as grandezas?
Análise Gráfica
Descobrir a dependência funcional entre as variáveis plotadas nos eixos; isto é, achar a fórmula matemática que descreva a sua inter-relação.
• Permite, em muitos casos, descobrir a lei que rege um fenômeno;• O conhecimento dessas leis é muito importante para a elaboração de modelos teóricos que expliquem o fenômeno.
Relação Linear
Obedece a função: y = ax + b
O gráfico será uma reta:
Percentual
Concentração
Percentual
Concentração
Relação direta Relação inversa
Como determinar a melhor função?
Método?
Método da Regressão Linear
Serve para obtermos a reta que melhor relaciona os dados experimentais.
Consiste em minimizar os desvios (dispersões) em torno da reta média.
Como fazer então?
y = ax +b
Quem é o y?
Quem é o x?
Percentual
Concentraçãopercentual
concentração
Quem é o a? Relação entre percentual e a concentração: % de mortalidade/mmg de toxina
Quem é o b?Representa o Percentual de mortalidade quando a concentração é igual a zero.
Como calcular a e b?
Tabela 1 - Mortalidade de Drosophila melanogaster expostas ao inseticida carbofuran. Concentração Mortalidade (%)*
X Y2,50 04 3,75 39 5,00 57 6,25 83 7,50 94
Somatório de x = 25,00 Somatório de y = 277
00,25 ix 277iy
Em linguagem matemática trocamos a palavra somatório pelo símbolo:
1º Passo n (número de dados) = 5
2ºpasso
xi . yi xi2
10,00 6,25
146,25 14,06
285,00 25,00
518,75 39,06
705,00 56,25
00,1665. ii yx 63,1402ix
Tabela 1 - Mortalidade de Drosophila melanogaster expostas ao inseticida carbofuran. Concentração Mortalidade (%)*
X Y2,50 04 3,75 39 5,00 57 6,25 83 7,50 94
Problema de junta......
n = 5 número de dados
00,25 ix 277iy
00,1665. ii yx 63,1402ix
22 )x(xn
)y)(x(yxna
ii
iiii
Finalmente calculando a e b:
22
2
)(
))(())((
ii
iiiii
xxn
xyxxyb
22 )x(xn
)y)(x(yxna
ii
iiii
22
2
)(
))(())((
ii
iiiii
xxn
xyxxyb
mmga
a
a
a
/%91,17
15,78
1400
62515,703
69258325
)25(63,140.5
277 . 251665 . 52
%17,34
15,78
49,2670
62515,703
4162551,38954
)25(63,140.5
25 . 1665140,63 . 2772
b
b
b
b
Finalmente a equação da Reta:
Y = 17,91.x - 34,17, onde:
y porcentagem de mortalidade
x concentração da toxina
E o gráfico.......
Mortalidade de Drosophila melanogaster expostas ao inseticida carbofuran
y = 17,91x - 34,17
0,00
20,00
40,00
60,00
80,00
100,00
120,00
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00
% de mortalidade
C(mg/mL)
Finalmente a Melhor Reta com respectiva Função
Vamos treinar....
A tabela abaixo relaciona os valores mais comuns de altura de árvores e o diâmetro médio.
Altura (m) Diâmetro (mm)
1,5 3,0
3,0 8,0
9,0 40,0
18,0 120,0
36,0 350,0
72,0 1000,0
144,0 2800,0
288,0 8000,0
a) Identifique pictoricamente a escala e os pontos da tabela em escala linear.
b) Identifique escrevendo a função linear que representa a relação entre os dados experimentais.
c) A partir da função no item b, desenhe a reta.
Resolvendo
Altura (m) Diâmetro (mm)
1,5 3,0
3,0 8,0
9,0 40,0
18,0 120,0
36,0 350,0
72,0 1000,0
144,0 2800,0
288,0 8000,0 mm 429,11427
0,7997f
Gf
x
yy
yL
a) Construindo a escala:
∆H = 288,0 -1,5 = 286,5m
∆D = 8000,0 -3,0 = 7997,0mm
X Y
Fator de escala em X e Y:
m65,2810
5,286f
Gf
x
xx
xL
1200,0 mm
30,0 m
X Y0,05 0,000,10 0,010,30 0,030,60 0,101,20 0,292,40 0,834,80 2,33
Localização dos pontos no Gráfico
Altura (m) Diâmetro (mm)
1,5 3,0
3,0 8,0
9,0 40,0
18,0 120,0
36,0 350,0
72,0 1000,0
144,0 2800,0
288,0 8000,0
X Y
Qual a melhor curva que representa a relação entre os pontos?
Vamos tentar a regressão linear .....
Diâmetro de árvore X altura
0
1200
2400
3600
4800
6000
7200
8400
0,0 30,0 60,0 90,0 120,0 150,0 180,0 210,0 240,0 270,0 300,0 330,0
Altura (m)
Diâ
met
ro (
mm
)
Aplicando o método da regressão Linear
X Y X.Y X2 NÚMERO
DE PARES
DE DADOS
(n)
a( coefiente da equação da
reta)
B(coeficiente da reta)
Y Teórico
1,5 3 4,5 2,3 8 27,443366 -420,360461 -379,1953,0 8 24 9,0 -338,039,0 40 360 81,0 -173,37
18,0 120 2160 324,0 73,6201336,0 350 12600 1296,0 567,600772,0 1000 72000 5184,0 1555,562
144,0 2800 403200 20736,0 3531,484288,0 8000 2304000 82944,0 7483,329
x y x.y x2
110576,3571,5 12321 2794348,5
Diâmetro de árvore X altura
y = 27,443x - 420,36
0
1200
2400
3600
4800
6000
7200
8400
0,0 30,0 60,0 90,0 120,0
150,0
180,0
210,0
240,0
270,0
300,0
330,0
Altura (m)
Diâ
met
ro (
mm
)
Será a reta a melhor representação?
Precisamos de outro parâmetro......
Função Potencial
Y = a.xn
n>0 n<0
X Y X.Y X2 NÚMERO
DE PARES
DE DADOS
(n)
a( coefiente da equação da
reta)
B(coeficiente da reta)
Y Teórico Linear
Y Teórico Polinomial
1,5 3 4,5 2,3 8 27,443366 -420,360461 -379,195 2,853773,0 8 24 9,0 -338,03 8,1216289,0 40 360 81,0 -173,37 42,61587
18,0 120 2160 324,0 73,62013 121,281836,0 350 12600 1296,0 567,6007 345,159472,0 1000 72000 5184,0 1555,562 982,2993
144,0 2800 403200 20736,0 3531,484 2795,555288,0 8000 2304000 82944,0 7483,329 7955,952
x y x.y x2
110576,3571,5 12321 2794348,5
Diâmetro de árvore X altura
y = 1,5478x1,5089
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0,0 30,0 60,0 90,0 120,0 150,0 180,0 210,0 240,0 270,0 300,0 330,0
Altura (m)
Diâ
me
tro
(m
m)
y = 1,5478.x1,5089
Diâmetro de árvore X altura
y = 1,5478x1,5089
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
0,0 30,0 60,0 90,0 120,0 150,0 180,0 210,0 240,0 270,0 300,0 330,0
Altura (m)
Diâ
me
tro
(m
m)
Coeficiente de correlação quadrático
CC – varia entre 0 e 1
Quando =1 o ajuste da curva é perfeito
Quando = 0 – horrível ajuste
2
22 )(.)(
)).((
yyxx
yyxxCC
Para os modelos utilizados:
Regressão Linear:
2
22 )(.)(
)).((
yyxx
yyxxCC
2
22 )(.)(
)).((
yyxx
yyxxCC CC=0,973
Função Potencial: CC = 0,999
Melhor aproximação
Fazendo média....
mx 4,718
0,2880,1440,720,360,180,90,35,1
dados de número -n
dados dos média - x
msx 82,9918
)4,71.(83,110576 2
n
xx i
Média Aritmética:
n
yy i
mmy 125,15408
8000280010003501204083
Desvio Padrão (s)
1
22
n
xnxs
mmsy 5,277718
)125,1540.(872978573 2
