140 Questoes de Mat EM

QUESTES DE MATEMTICAEste CD contm 302 questes de vestibulares sobre os seguintes contedos:

lgebra Geometria

Porcentagem Geometria Analtica

Trigonometria Noes de estatstica

Esse banco de questes subsdio aos professores para elaborar reviso eavaliao de contedos.

Jos Roberto Bonjorno

SumrioUnidade A: lgebra ............................................................ 1Cap. 1: Reviso ................................................................... 1Cap. 2: Conjuntos numricos ............................................ 3Cap. 3: Funes .................................................................. 3Cap. 4: Funo polinomial do 1 grau ............................... 5Cap. 5: Funo polinomial do 2 grau ............................... 6Cap. 6: Funo modular ..................................................... 7Cap. 7: Funo exponencial ............................................... 8Cap. 8: Funo logartmica ................................................ 9Cap. 9: Sucesso ou seqncia ........................................ 11Cap. 10: Progresses aritmticas ..................................... 12Cap. 11: Progresses geomtricas ................................... 13Cap. 12: Estudo das matrizes ........................................... 13Cap. 13: Determinantes ................................................... 14Cap. 14: Sistemas lineares ............................................... 14Cap. 15: Anlise combinatria ......................................... 16Cap. 16: Binmio de Newton ........................................... 17Cap. 17: Teoria das probabilidades ................................... 17Cap. 18: O conjunto dos nmeros complexos ................. 18Cap. 19: Polinmios ......................................................... 20Cap. 20: Equaes polinomiais ou algbricas ................. 21

Unidade B: Porcentagem ................................................. 21

Unidade C: Trigonometria ............................................... 23Cap. 1: A trigonometria no tringulo retngulo ............. 23Cap. 2: Conceitos bsicos ................................................. 24Cap. 3: As funes circulares ........................................... 24

Cap. 4: Relaes e identidades trigonomtricas .............. 25Cap. 5: Transformaes trigonomtricas ........................ 25Cap. 6: Equaes trigonomtricas ................................... 25Cap. 7: Inequaes trigonomtricas ................................ 26Cap. 8: Resoluo de tringulos quaisquer ..................... 26

Unidade D: Geometria ..................................................... 28Cap. 1: Semelhana de figuras geomtricas planas ........ 28Cap. 2: Relaes mtricas no tringulo retngulo .......... 28Cap. 3: Polgonos regulares inscritos na circunferncia .... 29Cap. 4: rea das figuras geomtricas planas ................... 29Cap. 5: Noes sobre poliedros ........................................ 32Cap. 6: Estudo do prisma ................................................. 32Cap. 7: Estudo da pirmide .............................................. 34Cap. 8: Estudo do cilindro ............................................... 35Cap. 9: Estudo do cone .................................................... 35Cap. 10: Estudo da esfera ................................................. 36

Unidade E: Geometria analtica ...................................... 37Cap. 1: Introduo Geometria analtica plana .............. 37Cap. 2: Estudando a reta no plano cartesiano ................. 37Cap. 3: Estudando a circunferncia no plano cartesiano .... 40

Unidade F: Noes de estatstica ..................................... 42Cap. 1: Organizando dados em tabelas ............................ 42Cap. 2: Mdia e mediana .................................................. 43

Respostas das questes .................................................... 46

1QUESTES DE MATEMTICA

Unidade A: lgebra

Captulo 1: Reviso

1. (PUC-SP) No esquema abaixo, o nmero14 o resultado que se pretende obterpara a expresso final encontrada ao efe-tuar-se, passo a passo, a seqncia de ope-raes indicadas, a partir de um dado n-mero x.

O nmero x que satisfaz as condies do pro-blema :a) divisvel por 6b) mltiplo de 4c) um quadrado perfeitod) racional no inteiroe) primo

2. (UFP-RS) Dois usurios da mesma opera-dora de celular, um do plano A e outro doplano B, gastaram, respectivamente,R$ 43,50 e R$ 46,10 durante o ms de outu-bro. A conta desses usurios, nesse ms, foicomposta apenas pela mensalidade, ligaeslocais fixas e nacionais. Sabendo que ambosutilizaram o mesmo tempo em minutos paraligaes locais fixas e nacionais, e de possedas tarifas dos dois planos (tabela abaixo),calcule o tempo de uso, no ms de outubro,para esses usurios.

Plano A

o plano para quem mais recebe do que fazligaes.

Mensalidade ................................. R$19,90

Custo das ligaes p/min

Local Fixo ...................................... R$ 0,58Local Mvel .................................... R$ 0,58Estadual ......................................... R$ 0,90Nacional ......................................... R$ 1,00

Plano B

Ideal para quem faz chamadas locais.Mensalidade ................................. R$ 27,50

Custo das ligaes p/minLocal Fixo .................................... R$ 0,33Local Mvel .................................. R$ 0,44Estadual ....................................... R$ 0,86Nacional ....................................... R$ 1,00

3. (UEL-PR) O percurso de Londrina a Flores-ta, passando por Arapongas e Mandaguari, se-r feito em um automvel cujo consumo m-dio de 1 litro de gasolina para cada 10 km.Considere o preo de R$ 1,30 por litro degasolina e as informaes contidas na tabe-la abaixo.

Ento, uma expresso para o clculo do to-tal de despesas, em reais, com combustvele pedgios, para fazer essa viagem, :a) (40 2,30) 0,13 (38 2,30) 0,13

(60 3,60) 0,13b) 138 0,13 2,30 2,30 3,60c) 138 10 1,30 8,20d) 40 1,30 2,30 38 1,30 2,30

60 1,30 3,60e) 138 1,30 2,30 3,60

4. (UFRN) Uma pessoa que pesa 140 quilossubmete-se a um regime alimentar, obten-do o seguinte resultado: nas quatro primei-ras semanas, perde 3 quilos por semana; nasquatro seguintes, 2 quilos por semana; da

em diante, apenas 12

quilo por semana.

Calcule em quantas semanas a pessoa esta-r pesando:a) 122 quilosb) 72 quilos

Na questo 5 a resposta dada pela soma dasafirmativas corretas.

5. (UFAL) Analise as afirmativas abaixo, sendox e y nmeros reais no-nulos e distintosentre si.

(00) x 7 x 7 x 72 ( ) ( )(01) 2

3x 1

2x 1

x2

multiplicarpor 6

X 14

subtrairpor 5

multiplicarpor 2

dividirpor 7

Distncia entre Tarifa do pedgioas cidades (km) no trecho (R$)

Londrina Arapongas: 40 2,30

Arapongas Mandaguari: 38 2,30

Mandaguari Floresta: 60 3,60

55

7 semanas

104 semanas

32,4 min

x

x

2Jos Roberto Bonjorno

(02) 8x y

: 4x xy

2x2

(03) x3y

2xy

3x2y

19x6y

(04) x3y2 x2y3 x2y2 x2y2(x y)

6. (UFSC) A soma dos dgitos do nmero in-teiro m, tal que 5 m 24 5 500 e8

5m 700 42 m, :

7. (UFSCar-SP) Para as apresentaes de umapea teatral (no sbado e no domingo, noi-te) foram vendidos 500 ingressos e a arreca-dao total foi de R$ 4 560,00. O preo doingresso no sbado era de R$ 10,00 e nodomingo, era de R$ 8,00. O nmero de in-gressos vendidos para a apresentao do s-bado e para a do domingo, nesta ordem, foi:a) 300 e 200 d) 270 e 230b) 290 e 210 e) 260 e 240c) 280 e 220

8. (UERJ) Utilize os dados abaixo para respon-der questo:

a) Com os dados apresentados no textointrodutrio da tabela, calcule a popula-o do Brasil considerada pela ReceitaFederal.

b) Suponha que cada uma das 9 pessoascom renda anual de mais de 10 milhesde reais ganhem, exatamente, 12 milhesde reais em um ano.Com a quantia total recebida por essas9 pessoas nesse ano, determine o n-mero aproximado de trabalhadores quepoderiam receber um salrio mensal deR$ 151,00, tambm durante um ano.

9. (UERJ) Para a realizao de um baile, foiveiculada a seguinte propaganda:

Os ricos da receita

Entre os brasileiros, h 2 745 com rendimento su-perior a meio milho de reais por ano. Apenas umem cada 60 000 brasileiros est nessa categoria.Veja como eles se dividem.

Renda anual Total Patrimnio(em reais) de pessoas mdio (em reais)

Mais de 10 milhes 9 200 milhes

Entre 5 milhes 27 31 milhese 10 milhes

Entre 1 milho616 23 milhese 5 milhes

Entre meio milho 2 093 6 milhese 1 milho

Fonte: Receita Federal

(Adaptado de Veja, 12/07/2000)

Aps a realizao do baile, constatou-se que480 pessoas pagaram ingressos, totalizandouma arrecadao de R$ 3 380,00.Calcule o nmero de damas e de cavalhei-ros que pagaram ingresso nesse baile.

10. (UFPE) Em uma festa de aniversrio cadaconvidado deveria receber o mesmo nme-ro de chocolates. Trs convidados maisapressados se adiantaram e o primeiro co-meu 2, o segundo 3 e o terceiro 4 chocolatesalm dos que lhes eram devidos, resultandono consumo de metade dos chocolates dafesta. Os demais chocolates foram divididosigualmente entre os demais convidados ecada um recebeu um a menos do que lheera devido. Quantos foram os chocolatesdistribudos na festa?a) 20 c) 28 e) 36b) 24 d) 32

11. (Unama-AM) Um executivo contrata um txipara lev-lo a uma cidade que fica a 200 kmdo local onde se encontra. Na metade da via-gem, ao parar em um posto de gasolina,encontra um amigo que lhe pede carona eviaja com ele os ltimos 100 km. Na viagemde volta, retorna com o amigo, deixando-ono mesmo local onde o tinha apanhado.Chegando de volta a sua cidade, entrega aomotorista a importncia de R$ 240,00. Sa-bendo-se que o executivo e seu amigo con-triburam para a despesa, proporcionalmen-te aos respectivos percursos, calcule o valorque cada um pagou.

12. (Vunesp-SP) Dois produtos qumicos P e Qso usados em um laboratrio. Cada 1 g (gra-ma) do produto P custa R$ 0,03 e cada 1 gdo produto Q custa R$ 0,05. Se 100 g de umamistura dos dois produtos custam R$ 3,60,a quantidade do produto P contida nessamistura :a) 70 g c) 60 g e) 30 gb) 65 g d) 50 g

16

x

164 700 000 habitantes

59 602 pessoas

d 230; c 250

executivo: 4x R$ 160,00;amigo: 2x R$ 80,00

x

x


Captulo 2: Conjuntos numricos

Nas questes 13 e 14 a resposta dada pela somadas afirmativas corretas.

13. (UFBA) Numa academia de ginstica que ofe-rece vrias opes de atividades fsicas, foifeita uma pesquisa para saber o nmero depessoas matriculadas em alongamento,hidroginstica e musculao, chegando-seao resultado expresso na tabela a seguir.

(02) moas que trabalham e no estudam 9

(03) rapazes que trabalham e estudam 9(04) moas que estudam e no trabalham

4

15. (Unifor-CE) Indica-se por n(X) o nmero deelementos do conjunto X. Se A e B so con-juntos tais que n(A 6 B) 24, n(A B) 13e n(B A) 9, ento:a) n(A 6 B) n(A 5 B) 20b) n(A) n(B) n(A B)c) n(A 5 B) 3d) n(B) 11e) n(A) 16

Captulo 3: Funes

16. (Uepa-PA) O empregado de uma empresa ga-nha mensalmente X reais. Sabe-se que ele

paga de aluguel R$ 120,00 e gasta 34

de seu

salrio em sua manuteno, poupando orestante.a) Encontre uma expresso matemtica que

defina a poupana P em funo do seusalrio X.

b) Para poupar R$ 240,00, qual dever sero seu salrio mensal?

17. (Furg-RS) Seja g uma funo do tipog(x) ax b, com x R. Se g(2) 4 e2g(3) 12, os valores de a e b so, respecti-vamente:

a) 12

e 0 d) 12

e 0

b) 0 e 12

e) 2 e 0

c) 0 e 2

18. (UFOP-MG) Seja a funo f: R R, dadapor:

10x 5, se x 1f(x) x2 1, se 1 x 1

5x, se x 1

Ento, o valor de f 2 f 2 2 f 22

( ) ( )

um nmero:a) inteirob) parc) racionald) mpare) irracional

Com base nessas informaes, pode-se con-cluir:(01) A pesquisa envolveu 500 pessoas.(02) 61 pessoas estavam matriculadas ape-

nas em alongamento.(04) 259 pessoas estavam matriculadas em

alongamento ou musculao. (08) 89 pessoas estavam matriculadas em

pelo menos duas das atividades indi-cadas na tabela.

(16) O nmero de pessoas matriculadasapenas em hidroginstica correspondea 28,4% do total de pessoas envolvidasna pesquisa.

14. (UFAL) O resultado de uma pesquisa mos-trou que, em um grupo de 77 jovens, h:

um total de 32 moas 4 moas que trabalham e estudam 13 moas que no estudam nem trabalham 15 rapazes que trabalham e no estudam 10 rapazes que estudam e no trabalham 25 jovens que no trabalham nem estudam 15 jovens que estudam e no trabalhamNesse grupo, o nmero de:(00) rapazes 50(01) rapazes que no trabalham nem estu-

dam 12

Atividade Nmero de pessoasmatriculadas

Alongamento 109

Hidroginstica 203

Musculao 162

Alongamento e hidroginstica 25

Alongamento e musculao 28

Hidroginstica e musculao 41

As trs atividades 5

Outras atividades 115

14243

19

11

x

x

x

x R$ 1 440

P x4

120


19. (UFMG) Observe a figura.

Ela representa o grfico da funo y f(x),que est definida no intervalo [3, 6].A respeito dessa funo, incorreto afirmarque:a) f(3) f(4)b) f(f(2)) 1,5c) f(x) 5,5 para todo x no intervalo [3, 6]d) o conjunto {3 x 6 f(x) 1,6} con-

tm exatamente dois elementos20. (EEM-SP) Uma funo f: R* R satisfaz

seguinte propriedade: f(a b) f(a) f(b).a) Determine f(1).b) Sabendo-se que f(2) 1, determine f(8).

Na questo 21 a resposta dada pela soma dasafirmativas corretas.21. (UFAL) Tem-se abaixo parte da tabela de pre-

os da postagem de cartas em uma Agnciados Correios.

(04) a funo que ao peso x de uma carta,0 x 50, associa o preo de sua pos-tagem, em reais, tem o grfico abaixo:

22. (UFAC) O grfico mostrado na figura deuma funo f definida no intervalo [2, 4].Observe-o atentamente e considere as afir-maes.

Nessa agncia:(00) para postar duas cartas, com pesos de

25 g e 12 g, deve-se pagar R$ 2,70(01) para postar trs cartas, com pesos de

10 g, 30 g e 45 g, deve-se pagar R$ 5,70(02) se uma pessoa pagou R$ 3,50 pela

postagem de duas cartas, uma delaspode ter pesado 45 g

(03) paga-se R$ 5,40 para postar trs cartasde 32 g cada

I A funo crescente somente no in-tervalo [2, 1].

II A funo g(x) f(x) 2, 2 x 4, tal que g(2) 0.

III No intervalo [1, 1] a funo cons-tante.

IV A funo possui exatamente trs razesno intervalo [2, 4].

Com relao s afirmaes I, II, III e IV, correto afirmar que:a) todas so verdadeirasb) todas so falsasc) apenas a IV falsad) apenas a I falsae) a I e a II so falsas

23. (UFSM-RS) Sendo as funes f: R R defi-nida por f(x 5) 3x 8 e g: R R defi-nida por g(x) 2x 1, assinale verdadeira(V) ou falsa (F) em cada uma das afirmaesa seguir.

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

3 2 1 1 2 3 4 5 6

y

x

preo

x

3,50

2,50

1,70

1,00

0,50

10 20 30 40 500

2

2

1 1 4

4

0

x

f(1) 0

f(4) 2; f(8) 3

Peso x da carta Preo da postagem(gramas) (reais)

0 x 10 0,50

10 x 20 1,00

20 x 30 1,70

30 x 40 2,50

40 x 50 3,50

44

x


f(x 6) 3x 11

g x 12

x 12

1( ) f(2) g1(7) 10A sequncia correta :a) F V F d) V V Fb) F V V e) V F Vc) F F V

24. (UFF-RJ) Dada a funo real de varivel real

f, definida por f x x 1x 1

,( )

x 1:

a) determine (fo f)(x)b) escreva uma expresso para f1(x)

25. (UFOP-MG) Sejam as funes:

f: 43

V V

e g: 23

V V

x f(x) 2x 33x 4

x g(x) 3 4x2 3x

Ento, resolva a equao:(f og)(x) 1 x

Captulo 4: Funo polinomial do1o grau

26. (UFF-RJ) Um motorista de txi cobra, emcada corrida, o valor fixo de R$ 3,20 maisR$ 0,80 por quilmetro rodado.a) Indicando por x o nmero de quilme-

tros rodados e por P o preo a pagar pelacorrida, escreva a expresso que relacio-na P com x.

b) Determine o nmero mximo de quil-metros rodados para que, em uma corri-da, o preo a ser pago no ultrapasseR$ 120,00.

27. (Unitau-SP) O grfico mostra o custo de umalinha de produo de determinada pea emfuno do nmero de unidades produzidas.Sabendo-se que o preo de venda de cadapea de R$ 5,00, determine o nmero m-nimo de peas que precisam ser comerciali-zadas para que haja lucro.

28. (UERJ) Utilize o texto abaixo para respon-der questo.Uma calculadora apresenta, entre suas te-clas, uma tecla D, que duplica o nmerodigitado, e uma outra T, que adiciona umaunidade ao nmero que est no visor. As-sim, ao digitar 123 e apertar D, obtm-se246. Apertando-se, em seguida, a tecla T,obtm-se 247.a) Uma pessoa digita um nmero N, e, aps

apertar, em seqncia, D, T, D e T, obtmcomo resultado 243. Determine N.

b) Determine o resultado obtido pela cal-culadora se uma pessoa digitar 125 eapertar, em seqncia, D, T, D.

29. (FGV-SP) A receita mensal de vendas de umaempresa (y) relaciona-se com os gastos men-sais com propaganda (x) por meio de umafuno do 1o grau. Quando a empresa gastaR$ 10 000,00 por ms de propaganda suareceita naquele ms de R$ 80 000,00; se ogasto mensal com propaganda for o dobrodaquele, a receita mensal cresce 50% emrelao quela.a) Qual a receita mensal se o gasto mensal

com propaganda for de R$ 30 000,00?b) Obtenha a expresso de y em funo de x.

30. (UFMG) A funo contnua y f(x) est de-finida no intervalo [4, 8] por

x 6 se 4 x 0f(x) ax b se 0 x 4

2x 10 se 4 x 8

sendo a e b nmeros reais.

Calcule os valores de a e b e esboce o grficoda funo dada no plano cartesiano repre-sentado na figura abaixo.

14243

R$

0 2 4

1 500

1 506

1 512

Nmero depeasproduzidas

0 1

1

2

3

4

5

6

7

8

2 3 4 5 6 7 81

1

2

3

4

234

y

x

(fo f)x x

D(251) 502

y R$ 160 000,00

y 4x 40 000

a 2; b 6Ver resoluo.

x

P 3,20 0,80x

x 146 O nmero mximo 146 km.

x 750 peas

N 60

f (x) x 1x 1

1

x 12


31. (Unicamp-SP) Trs planos de telefonia ce-lular so apresentados na tabela abaixo:a) Qual o plano mais vantajoso para al-

gum que utilize 25 minutos por ms?b) A partir de quantos minutos de uso men-

sal o plano A mais vantajoso que osoutros dois?

Desejando-se destru-lo num ponto B, queest a uma distncia horizontal de 40 km deA, utiliza-se um outro mssil que se movi-menta numa trajetria descrita, segundo ogrfico da funo g(x) kx. Ento, para queocorra a destruio no ponto determinado,deve-se tomar k igual a:a) 20 d) 50b) 30 e) 60c) 40

O custo mnimo , em reais:a) 500 c) 660 e) 690b) 645 d) 675

35. (UFAL) Sejam a parbola p e a reta r, repre-sentadas na figura abaixo.

Determine os pontos Q e R, interseces dep e r.


36. (UFG) Uma agncia de turismo deseja fre-tar um nibus de 50 lugares. Duas empresas,A e B, candidatam-se para fazer a viagem.Se for contratada a empresa A, o custo daviagem ter uma parte fixa de R$ 280,50,mais um custo, por passageiro, de R$ 12,00.Se for contratada a empresa B, o custo te-r um valor fixo de R$ 250,00, mais umcusto (C), por passageiro, dado porC(n) 35 0,5n, onde n o nmero depassageiros que far a viagem.

y

y f(x)

y g(x)

A 40 x

B

C(R$)

0 10 40

700

900

1 300

x

p

Q

4

13 0 1

1

r

R

x

y

12

Plano C

51 minutos

x

Q(2, 3) e R(2,5)

PlanoCusto fixo Custo adicional

mensal por minuto

A R$ 35,00 R$ 0,50

B R$ 20,00 R$ 0,80

C 0 R$ 1,20

Captulo 5: Funo polinomial do2o grau

32. (UFSCar-SP) Uma bola, ao ser chutada numtiro de meta por um goleiro, numa partidade futebol, teve sua trajetria descrita pelaequao h(t) 2t2 8t(t 0), onde t otempo medido em segundos e h(t) a alturaem metros da bola no instante t. Determi-ne, aps o chute:a) o instante em que a bola retornar ao

solo.b) a altura mxima atingida pela bola.

33. (UFPB) Um mssil foi lanado acidental-mente do ponto A, como mostra a figura,tendo como trajetria o grfico da funof(x) x2 70x, onde x dado em km.

34. (UFSM-RS) Na produo de x unidadesmensais de um certo produto, uma fbricatem um custo, em reais, descrito pela fun-o de 2o grau, representada parcialmentena figura.

t 4 h(2) 8

x


De acordo com essas informaes, julgue ositens a seguir.(01) Se todos os lugares do nibus forem

ocupados, ser mais caro contratar aempresa B.

(02) Caso contrate a empresa B, o custo m-ximo da viagem ser de R$ 862,50.

(03) Para um mesmo nmero de passagei-ros, os valores cobrados pelas empre-sas A e B sero diferentes.

(04) Para um custo de R$ 700,50, a empre-sa A levar mais que o dobro de passa-geiros que a empresa B.

37. (UFMG) A seo transversal de um tnel tema forma de um arco de parbola, com 10 mde largura na base e altura mxima de 6 m,que ocorre acima do ponto mdio da base.De cada lado, so reservados 1,5 m para pas-sagem de pedestres, e o restante divididoem duas pistas para veculos.As autoridades s permitem que um vecu-lo passe por esse tnel caso tenha uma altu-ra de, no mximo, 30 cm a menos que a al-tura mnima do tnel sobre as pistas paraveculos.Calcule a altura mxima que um veculopode ter para que sua passagem pelo tnelseja permitida.

38. (UEL-PR) Sejam f e g funes tais que, paraqualquer nmero real x, f(x) x2 e g(x) f(x a) a2. O grfico de g uma par-bola, conforme a figura a seguir. Ento, ovalor de a :a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

39. (Furg-RS) Dadas as funes reais definidaspor f(x) x 2 e g(x) x2 x 12,podemos dizer que o domnio da funo

h(x) f(x)g(x)

:

a) {x R x 2}b) {x R x 2}c) {x R 2 x 2}d) {x R x 2}e) {x R x 2}

40. (UFPE) Uma mercearia anuncia a seguintepromoo: Para compras entre 100 e 600

reais compre (x 100) reais e ganhe x10

%

(01) Sendo o vrtice da parbola o pontoV(p, q), o valor de p 3.

(02) A soma das razes da equao y 0 4.(04) A rea do tringulo ABV, sendo V o vr-

tice da parbola, dada porS 29a 3 b c.

(08) O nmero b negativo.(16) O produto ac positivo.(32) Se o ponto P(6, 2) pertencesse par-

bola, o valor de c seria 2.

Captulo 6: Funo modular

42. (UFF-RJ) Considere a funo f definida por4x, x 4

f(x) x3, x 4

Pede-se:a) f(0)b) (f o f)(2)c) o valor de m tal que f(m) 125

d) f 14

1

43. (UERJ) O volume de gua em um tanquevaria com o tempo de acordo com a seguin-te equao:

V 10 4 2t 2t 6, t R

Nela, V o volume medido em metros cbi-cos aps t horas, contadas a partir de 8 h deuma manh. Determine os horrios iniciale final dessa manh em que o volume per-manece constante.

123

2

4

x

y

0A B

1 5V

x

y

8

de desconto na sua compra. Qual a maiorquantia que se pagaria mercearia nestapromoo?a) R$ 300,50 d) R$ 304,50b) R$ 302,50 e) R$ 305,50c) R$ 303,50


41. (UEM-PR) Considere uma parbola de equa-o y ax2 bx c, sendo a, b e c nme-ros reais e a 0. Se o seu grfico o dado aseguir, assinale o que for correto.

2,76 m

x

x

x

61

f(0) 0

512

m 5

entre 10 h e 11 h

116


44. (UFSC) Determine a soma dos nmeros as-sociados (s) proposio(es) verdadeira(s).

(01) O domnio da funo f : D R, D 3 R,

definida por f(x) x 3x 10x 6

2

,

D {x R x 2 ou x 5} {6}.

(02) A funo inversa da funo

g(x) 2x 1x 3

definida por

g (x) 3x 1x 2

1

.

(04) A funo f: R R, definida porf(x) x 2, uma funo decres-cente.

(08) Sejam h e k duas funes dadas porh(x) 2x 1 e k(x) 3x 2. Ento,h(k(1)) igual a 9.

(16) A funo g: R R, definida porg(x) x2 1, uma funo par.

(32) O conjunto-imagem da funo h:R R, definida por h(x) x2 4x 3, Im(h) {y R y 1}.

45. (UFAC) Qualquer soluo real da inequaox 1 3 tem uma propriedade geomtri-ca interessante, que :a) A sua distncia a 1 maior que 3.b) A sua distncia a 1 maior que 3.c) A sua distncia a 1 menor que 3.d) A sua distncia a 1 menor que 3.e) A sua distncia a 3 menor que 1.


46. (UFBA) Com base no grfico da funof : R R, pode-se afirmar:

(01) A imagem de f o intervalo ]0, 1].(02) A equao f(x) 1 tem infinitas solu-

es.(04) A equao f(x)

2 2 no tem soluo.

Captulo 7: Funo exponencial

47. (Vunesp-SP) Uma instituio bancria ofe-rece um rendimento de 15% ao ano para de-psitos feitos numa certa modalidade de apli-cao financeira. Um cliente deste banco de-posita 1 000 reais nessa aplicao. Ao finalde n anos, o capital que esse cliente ter emreais, relativo a esse depsito, :a) 1 000 0,15nb) 1 000 0,15nc) 1 000 0,15n

d) 1 000 1,15n

e) 1 000 1,15n

48. (UFSM-RS) Um piscicultor construiu umarepresa para criar traras. Inicialmente, co-locou 1 000 traras na represa e, por um des-cuido, soltou 8 lambaris. Suponha que oaumento das populaes de lambaris e tra-ras ocorre, respectivamente, segundo as leisL(t) L010

t e T(t) T02t, onde L0 a popu-

lao inicial de lambaris, T0, a populao ini-cial de traras, e t, o nmero de anos que seconta a partir do ano inicial.Considerando-se log 2 0,3, o nmero delambaris ser igual ao de traras depois dequantos anos?a) 30 c) 12 e) 3b) 18 d) 6

49. (Vunesp-SP) Uma frmula matemtica parase calcular aproximadamente a rea, emmetros quadrados, da superfcie corporal de

uma pessoa, dada por: S(p) 11100

p23 , em

que p a massa da pessoa em quilogramas.

1

1

20 3 x

y

1123

1

20 3 x

y

(08) A funo f admite inversa.(16) O ponto (0, 2) pertence ao grfico de

g(x) 1 f(x 1).(32) O grfico da funo f(x)

x

x

x

50

27


Considere uma criana de 8 kg. Determine:a) a rea da superfcie corporal da criana.b) a massa que a criana ter quando a rea

de sua superfcie corporal duplicar (usea aproximao 2 1,4 ).

50. (UERJ) Utilize os dados abaixo para respon-der s questes.

Em um municpio, aps uma pesquisa de opinio,constatou-se que o nmero de eleitores dos can-didatos A e B variava em funo do tempo t, emanos, de acordo com as seguintes funes:

A(t) 2 105(1,6)t B(t) 4 105(0,4)t

Considere as estimativas corretas e que t 0 re-fere-se ao dia 1o de janeiro de 2000.

a) Calcule o nmero de eleitores dos can-didatos A e B em 1o de janeiro de 2000.

b) Determine em quantos meses os can-didatos tero o mesmo nmero de elei-tores.

c) Mostre que, em 1o de outubro de 2000, arazo entre os nmeros de eleitores de Ae B era maior que 1o.

51. (UNI-RIO-ENCE-RJ) Conforme dados obti-dos pelo IBGE, relativos s taxas de analfa-betismo da populao brasileira de 15 anosou mais, a partir de 1960, foi possvel ajus-tar uma curva de equao y 30kx 10,onde k 0, representada a seguir:

a) Determine o valor de k.b) Obtenha as taxas relativas aos anos de

1960 e 2020 (valor estimado), usando ogrfico e a equao anterior.

52. (Unifor-CE) No universo R, a equao3x 33x 6 admite:a) duas razes positivasb) duas razes de sinais contrriosc) uma nica raiz, que negativad) uma nica raiz, que um quadrado per-

feitoe) uma nica raiz, que um nmero primo

Captulo 8: Funo logartmica

Nas questes 53 e 54 a resposta dada pela somadas afirmativas corretas.

53. (UFAL) Analise as afirmaes seguintes.

(00) Se 5 52x5

5 2x5

, ento 5 x 8.

(11) Para todo x real, logx x 1.(22) A funo dada por f(x) 4x decres-

cente para todo x real.(33) log4 9 log2 3.(44) Um domnio para a funo dada por

f(x) logx (x2 4) o conjunto

{x R x 2}.

54. (UFMT) (...) A van-tagem de lidar comos logaritmos queeles so nmerosmais curtos do queas potncias. Imagi-ne que elas indi-quem a altura deum foguete que, de-pois de lanado,atinge 10 metrosem 1 segundo, 100metros em 2 segun-dos e assim por di-ante. Nesse caso, otempo (t) em segun-

dos sempre o logaritmo decimal da altura(h) em metros.

(Adaptado da Revista SuperInteressante,

maio de 2000, p. 86)

A partir das afirmaes dadas, julgue ositens.

(00) Pode-se representar a relao descritapor meio da funo h log t.

(01) Se o foguete pudesse ir to longe, atin-giria 1 bilho de metros em 9 segun-dos.

(02) Em 2,5 segundos o foguete atinge 550metros.

55. (UFRN) Os habitantes de um certo passo apreciadores dos logaritmos em basespotncia de dois. Nesses pas, o Banco ZIGoferece emprstimos com a taxa (mensal)de juros T log8 225, enquanto o Ban-co ZAG trabalha com a taxa (mensal)S log2 15.

Taxa (%)

Tempo (anos)

20

20100 30 40 50

104 10 000 metros

103 1 000 metros

segundos aps o lanamento

102 100 metros

101 10 metros

a) 0,44 m2

b) 22,4 kg

candidato A: 200 000 eleitores; candidato B: 400 000 eleitores

6 meses

40%; 13,33%

01

x

99

2 1

13

30

10


Com base nessas informaes:a) estabelea uma relao entre T e S.b) responda em qual dos bancos um cida-

do desse pas, buscando a menor taxade juros, dever fazer emprstimo. Jus-tifique.

56. (UFAC) Dadas as funes f(x) 2x, x real, eg(x) log x,1

2

x 0. Os grficos de f e g

interceptam-se em um nico ponto. Assim,a equao f(x) g(x) possui uma nica so-luo real. O intervalo a que a soluo daequao pertence :a) ]2, ) c) ]1, 2[ e) ( , 0[

b) ]12

, 1] d) ]0, 12

[

57. (UFP-RS) A intensidade de um terremo-to, medida na escala Richter, uma fun-o logartmica determinada por

I 23

log E7 10 3

, em que E a energia

liberada no terremoto, em kWh.

Analise o texto abaixo, adaptado do jornal OEstado de S. Paulo, 1999.

Com base no clculo da intensidade (mag-nitude) do terremoto, a ser medida pela es-cala Richter, verifique se o valor da energialiberada, citado no texto, corresponde aosefeitos descritos pela notcia.

58. (UFOP-MG) Se f(x) log x

2 1

, ento

o domnio de f :a) ]1, [b) ]0, [c) ] , 0[6]0, [d) ] , 0[6[1, [e) ] , 1[

59. (UFSCar-SP) A altura mdia do tronco decerta espcie de rvore, que se destina pro-duo de madeira, evolui, desde que plan-tada, segundo o seguinte modelo matem-tico:

h(t) 1,5 log3 (t1),com h(t) em metros e t em anos. Se umadessas rvores foi cortada quando seu tron-co atingiu 3,5 m de altura, o tempo (emanos) transcorrido do momento da planta-o at o do corte foi de:a) 9 c) 5 e) 2b) 8 d) 4

Nas questes 60 e 61 a resposta dada pela somadas afirmativas corretas.60. (UFBA) Considerando-se as funes

f(x) log3 (1 x2) e g(x) 27x 1, cor-

reto afirmar:(01) O domnio da funo f R*.

(02) f 33

1 log 23

(04) f(x) log (1 x )

log 3

2

(08) O conjunto-soluo da inequaog(x) 2 o intervalo [0, [.

(10) A funo g crescente em todo o seudomnio.

(32) g (x) log x 11 33 ( )

(64) g(f(x)) (x 1)

27

2 3

61. (UEM-PR) Dadas as funes f e g definidaspor f(x) log x e g(x) x2 1, corretoafirmar:(01) A imagem da funo g o conjunto

[1, ).

(02) g(x) x g 1x

2

, para todo x real, tal

que x 0.

Magnitude Richter

Menor que 3,5

Entre 3,5 e 5,4

Entre 5,5 e 6,0

Entre 6,1 e 6,9

Entre 7,0 e 7,9

8,0 ou mais

Efeitos

Geralmente no sentido, masgravado.

s vezes sentido, mas rara-mente causa danos.

No mximo causa pequenosdanos a prdios bem cons-trudos, mas pode danificarseriamente casas mal cons-trudas em regies prximas.

Pode ser destrutivo em reasem torno de at 100 quilme-tros do epicentro.

Grande terremoto; pode cau-sar srios danos numa gran-de faixa de rea.

Enorme terremoto; pode cau-sar grandes danos em muitasreas, mesmo que estejam acentenas de quilmetros.

Um dos mais fortes terremotos das ltimas dca-das atingiu a Turquia na madrugada de ontem, causan-do a morte de pelo menos 2 mil pessoas e ferimentosem outras 10 mil segundo clculos iniciais [...] O tre-mor liberou uma energia de 7 102,4 kWh, de acordocom o registro nos EUA, e foi sentido em vrias cidadesvizinhas... Em pnico, a populao da capital turca, de7,7 milhes de pessoas, foi para as ruas. Cerca de 250pequenos abalos se seguiram ao primeiro e mais inten-so, que durou 45 segundos... pontes ruram e fendas noasfalto dificultaram a chegada do socorro...

banco ZIG

I 3,6 no corresponde aosefeitos descritos pela notcia.

71

54

x

x

x

T 23

S

11

QUESTES DE MATEMTICA

(04) f1 (0) 1(08) f(g(3)) 10(16) Os grficos de f e g se interceptam no

ponto de abscissa x 10.(32) (go f)(x) (2 log x) 1

(64) f xy

f(x) f(y)

, para todos x e y

reais, tais que x 0 e y 0.

62. (UFOP-MG) Resolva o sistema 2x 8y 32

log xy 38

1

63. (UFF-RJ) Considere loga

x,b1 sendo

a 0, a 1, b 0 e b 1. Calcule o valorde loga b

2.

64. (PUC-SP) A energia nuclear, derivada deistopos radioativos, pode ser usada em ve-culos espaciais para fornecer potncia. Fon-tes de energia nuclear perdem potncia gra-dualmente, no decorrer do tempo. Isso podeser descrito pela funo exponencial

P P e0t

250

, na qual P a potncia ins-

tantnea, em watts, de radioistopos de umveculo espacial; P0 a potncia inicial do ve-culo; t o intervalo de tempo, em dias, apartir de t0 0; e a base do sistema delogaritmos neperianos. Nessas condies,quantos dias so necessrios, aproximada-mente, para que a potncia de um veculoespacial se reduza quarta parte da potn-cia inicial? (Dado: n2 0,693)a) 336 c) 340 e) 346b) 338 d) 342

65. (Vunesp-SP) O corpo de uma vtima de as-sassinato foi encontrado s 22 horas. s 22h30min o mdico da percia chegou e imedi-atamente tomou a temperatura do cadver,que era de 32,5 C. Uma hora mais tarde,tomou a temperatura outra vez e encontrou31,5 C. A temperatura do ambiente foimantida constante a 16,5 C. Admita que atemperatura normal de uma pessoa viva seja36,5 C e suponha que a lei matemtica quedescreve o resfriamento do corpo dada por

D(t) D0 2(2t),

onde t o tempo em horas; D0 a diferenade temperatura do cadver com o meio am-biente no instante t 0; D(t) a diferena

14243

de temperatura do cadver com o meio am-biente num instante t qualquer; e umaconstante positiva. Os dados obtidos pelomdico foram colocados na tabela seguinte.

Considerando os valores aproximadoslog2 5 2,3 e log2 3 1,6, determine:a) a constante b) a hora em que a pessoa morreu

66. (Unicamp-SP) As populaes de duas cida-des, A e B, so dadas em milhares de habi-tantes pelas funes A(t) log8 (1 t)

6 eB(t) log2 (4t 4), onde a varivel t repre-senta o tempo em anos.a) Qual a populao de cada uma das ci-

dades nos instantes t 1 e t 7?b) Aps certo instante t, a populao de uma

dessas cidades sempre maior que a daoutra. Determine o valor mnimo desseinstante t e especifique a cidade cuja po-pulao maior a partir desse instante.

67. (UFRJ) Resolvendo a inequao logartmicalog (x 3) 1

2

3, qual a soluo encontrada?

Captulo 9: Sucesso ou seqncia


68. (UFAL) Se n um nmero natural no-nulo,o termo geral da seqncia

(00) 1, 12

, 13

, 14

... a 1nn

,

(11) 12

, 14

, 16

18

... a 12nn

,

(22) 12

, 23

, 34

45

, ... a nn 1n

,

(33) 12

, 14

, 18

116

, ... a 12

n n,

(44) 1, 14

, 19

, 116

125

, ... ,

a ( 1)n

n

n

2

Temperatura Temperatura Diferena deHorado corpo (C) do quarto (C) temperatura (C)

t ? morte 36,5 16,5 D(t) 20

t 0 22h 30min 32,5 16,5 D(0) D0 16

t 1 23h 30min 31,5 16,5 D(1) 15x 2 e y 1 ou

x

0,05

19h 30min

Ver resoluo.

66

x 3 e y 23

2x

3 x 258

12


Captulo 10: Progresses aritmticas

69. (UFRJ) A concessionria responsvel pelamanuteno de vias privatizadas, visando ainstalar cabines telefnicas em uma rodo-via, passou a seguinte mensagem aos seusfuncionrios: As cabines telefnicas devemser instaladas a cada 3 km, comeando noincio da rodovia. Quantas cabines seroinstaladas ao longo da rodovia, se a mesmatem 700 quilmetros de comprimento?

70. (UFMT) Suponha que a cada trs meses onmero de cabeas de gado aumenta emquatro. Em quantos trimestres sero obti-das 340 reses a partir de uma dzia?

71. (UERJ) Utilize a tabela abaixo para respon-der s questes,

a) Considere que o acrscimo na produoB, de maio para junho, seja estendido aosmeses subseqentes.Calcule a quantidade de produtos B quesero fabricados em dezembro de 2000.

b) Todos os produtos A, B e C produzidosnos meses de maio e junho foram vendi-dos pelos preos da tabela.Calcule o total arrecadado nessa venda,em reais.

72. (UFSM-RS) Tisiu ficou sem parceiro parajogar bolita (bola de gude); ento pegou suacoleo de bolitas e formou uma seqnciade T (a inicial de seu nome), conforme afigura:

FBRICA Y ANO 2000

Produo Preos unitrios de vendaProdutos(em mil unidades) (em R$)

maio junho maio junho

A 100 50 15 18

B 80 100 13 12

C 90 70 14 10

a) mais de 300 bolitasb) pelo menos 230 bolitasc) menos de 220 bolitasd) exatamente 300 bolitase) exatamente 41 bolitas

73. (Unifor-CE) Uma pessoa comprou certo ar-tigo a prazo e efetuou o pagamento dando100 reais de entrada e o restante em parce-las mensais que, sucessivamente, tiveramseu valor acrescido de 20 reais em relaoao do ms anterior. Se a primeira parcelafoi de 15 reais e o montante de sua dvidaficou em 3 430 reais, quantas parcelas elapagou?a) 12 c) 20 e) 36b) 18 d) 24

74. (Furg-RS) Sendo g: R R, definido por g(x) 2x 3, ento g(1) g(2) .... g(30) igual a:a) 525 c) 1 020 e) 2 040b) 725 d) 1 375

75. (UEL-PR) Qual o menor nmero de ter-mos que deve ter a progresso aritmtica derazo r 8 e primeiro termo a1 375,para que a soma dos n primeiros termos sejapositiva?a) 94 c) 48 e) 750b) 95 d) 758


76. (UFBA) Um agricultor plantou uma srie demamoeiros, distando 3 m um do outro eformando uma fila, em linha reta, com72 m de comprimento. Alinhado com os ma-moeiros, havia um depsito, situado a 20 mde distncia do primeiro. O agricultor, parafazer a colheita, partiu do depsito e,margeando sempre os mamoeiros, colheuos frutos do primeiro e levou-os ao depsi-to; em seguida, colheu os frutos do segun-do, levando-os para o depsito; e, assim,sucessivamente, at colher e armazenar osfrutos do ltimo mamoeiro.Considere que o agricultor anda 50 metrospor minuto, gasta 5 minutos para colher osfrutos de cada mamoeiro, e mais 5 paraarmazen-los no depsito.Nessas condies, pode-se concluir que oagricultor:(01) plantou 25 ps de mamo(02) plantou o 12o mamoeiro a 56 metros

do depsito

Supondo que o guri conseguiu formar 10T completos, pode-se, seguindo o mesmopadro, afirmar que ele possua:

...

x

x

x

x

234 cabines

83 trimestres

220 produtos

R$ 6 600,00

25

13


(04) quando fez a colheita dos frutos do 10o

mamoeiro, havia passado 6 vezes pelo5o mamoeiro

(08) ao completar a tarefa de colheita e ar-mazenamento dos frutos de todos osmamoeiros, tinha andado 2 800 metros

(16) para realizar toda a tarefa de colheita earmazenamento, gastou 5 horas e 6minutos

Captulo 11: Progresses geom-tricas

77. (Mack-SP) A seqncia de nmeros reais epositivos dada por (x 2, x 11,2 2x 2, ...) uma progresso geomtricacujo stimo termo vale:a) 96 c) 484 e) 384b) 192 d) 252

78. (PUC-SP) A soma dos n primeiros termosda seqncia (6, 36, 216, ..., 6n, ...) 55 986.Nessas condies, considerando log 2 0,30e log 3 0,48, o valor de log n :a) 0,78 c) 1,26 e) 1,68b) 1,08 d) 1,56

79. (UFSM-RS) Assinale verdadeira (V) ou falsa(F) em cada afirmativa. No primeiro semestre do ano 2000, a pro-

duo mensal de uma fbrica de sapatoscresceu em progresso geomtrica. Emjaneiro, a produo foi de 3 000 pares e,em junho, foi de 96 000 pares. Ento,pode-se afirmar que a produo do msde maro e abril foi de 12 000 e 18 000pares, respectivamente.

A sequncia (xn4, xn2, xn, xn2), x 0, uma progresso geomtrica de razo x2.

Uma progresso geomtrica de razo q,com 0 q 1 e a1 0, uma progressogeomtrica crescente.

A seqncia correta :a) V F F d) V V Fb) F V F e) V F Vc) F V V

80. (UFSC) Determine a soma dos nmeros as-sociados (s) proposio(es) verdadeira(s).

(01) Existem 64 mltiplos de 7 entre 50 e500.

(02) O valor de x que satisfaz a equao(x 1) (x 4) (x 7) ... (x 28) 155 x 1.

(04) O oitavo termo da P.G. 2, 2, ...( ) a8 16.

(08) A soma dos termos da P.G. 13

, 29

,

427

, ... igual a 1.

81. (Furg-RS) Um quadrado tem lado m. Unin-do-se os pontos mdios de seus lados, ob-tm-se um segundo quadrado e assim su-cessivamente. Sabe-se que a rea do dcimo

quadrado vale 18

. Ento o lado m do primei-

ro quadrado vale:

a) 4 cm c) 4 2 cm e) 16 cm

b) 8 cm d) 8 2 cm

82. (UFOP-MG) Sendo a, b, 10 uma progresso

aritmtica e 23

, a, b uma progresso geo-

mtrica, em que a e b so nmeros inteirospositivos, calcule a e b.

Captulo 12: Estudo das matrizes

83. (UEL-PR) Sabendo-se que a matriz

5 x 2 y

49 y 3x

1 21 0

2

igual sua transposta, o valor de x 2y :

a) 20 c) 1 e) 20b) 1 d) 13


84. (UFMT) Um projeto de pesquisa sobre die-tas envolve adultos e crianas de ambos ossexos. A composio dos participantes noprojeto dada pela matriz

Masculino

Feminino

80 120

100 200

O nmero dirio de gramas de protenas, degorduras e de carboidratos consumidos porcada criana e cada adulto dado pela matriz

20 20 20

10 20 30

Adultos

Crianas

Adultos Crianas

GordurasProtenas Carboidratos

x

x

x

x

x

15

2

a 2 e b 6

14


A partir dessas informaes, julgue os itens.

(00) 6 000 g de protenas so consumidosdiariamente por adultos e crianas dosexo masculino.

(01) A quantidade de gorduras consumidadiariamente por adultos e crianas dosexo masculino 50% menor que aconsumida por adultos e crianas dosexo feminino.

(02) As pessoas envolvidas no projeto conso-mem diariamente um total de 13 200 gde carboidratos.

Captulo 13: Determinantes

85. (UFF-RJ) Numa progresso aritmtica, de

termo geral an e razo r, tem-se a r 121

.

Calcule o determinante da matriz a a

a a5 4

4 12

86. (UFRJ) Dada a matriz A (aij)22, tal que

aij 2, se i j3i j, se i j, encontre o determi-

nante da matriz At.

87. (UFAC) Considere as afirmaes:I O inteiro a 615, quando dividido pelo

inteiro b 3, deixa resto zero.II Seja qual for o valor de a, a real, o

determinante da matriz a 1

1 a

nun-

ca se anula.III Os valores que a funo f(x) x2 1,

x real, assume so todos os nmerosdo intervalo [1, ).

Com relao a tais afirmaes, correto di-zer que:a) todas so verdadeirasb) todas so falsasc) a afirmao I falsad) as afirmaes I e II so verdadeirase) as afirmaes II e III so verdadeiras

88. (UEL-PR) O determinante 1 0 10 x 0

x 0 1

po-

sitivo sempre que:a) x 0 d) x 3b) x 1 e) x 3c) x 1

123

89. (Vunesp-SP) Dadas as matrizes

A 1 3

2 4 e B

1 2

3 1

o determinante da matriz A B :a) 1 c) 10 e) 14b) 6 d) 12

90. (Unifor-CE) Seja a matriz A (aij)33, com

aij x j, se i ji, se i j

Os nmeros reais x que anulam o determi-nante de A:a) so 4 e 9b) so menores do que 6c) tm soma igual a 9d) tm produto igual a 14e) tm sinais contrrios

91. (UFOP-MG) Considere a matriz

S

S S S

S S S

S S S

11 12 13

21 22 23

31 32 33

dada por0, se i j

sij i j, se i ji j, se i j

Ento, resolva a inequao det S 3x2.

92. (UFP-RS) No tringulo retngulo isscelesabaixo, a rea 8 u a e os vrtices estonumerados no sentido horrio.

123

14243

14243

Associe a essa figura uma matriz A, 3 3,sendo aij igual distncia entre os vrtices ie j, e calcule det (A).

Captulo 14: Sistemas lineares

93. (UEM-PR) Dado o sistema de equaes li-neares

4x 3y z 98x 6y 2z 18

x 3y z 6

sabe-se que (a, b, 20) soluo do mesmo.Nessas condies, o valor a 4b ...

1

3 2

x

x

x

x

S {x R 4 x 4}

7

11

18

det A 128 2

15


94. (UFRGS) Durante os anos oitenta, uma die-ta alimentar para obesos ficou conhecidacomo Dieta de Cambridge por ter sido de-senvolvida na Universidade de Cambridgepelo Dr. Alan H. Howard e sua equipe. Paraequilibrar sua dieta, o Dr. Howard teve querecorrer matemtica, utilizando os siste-mas lineares.Suponha que o Dr. Howard quisesse obterum equilbrio alimentar dirio de 3 g deprotenas, 4 g de carboidratos e 3 g de gor-dura.No quadro abaixo esto dispostas as quanti-dades em gramas dos nutrientes menciona-dos acima, presentes em cada 10 gramas dosalimentos: leite desnatado, farinha de soja esoro de leite.

Obs.: as quantidades so fictcias para simplificar as contas.

Calcule as quantidades dirias em gramasde leite desnatado, farinha de soja e soro deleite, para que se obtenha a dieta equilibra-da, segundo Dr. Howard, verificando a ne-cessidade de cada um desses alimentos nadieta em questo.

95. (Unicamp-SP) Uma empresa deve enlataruma mistura de amendoim, castanha de cajue castanha-do-par. Sabe-se que o quilo deamendoim custa R$ 5,00, o quilo da casta-nha de caju, R$ 20,00, e o quilo de casta-nha-do-par, R$ 16,00. Cada lata deve con-ter meio quilo da mistura e o custo total dosingredientes de cada lata deve ser de R$ 5,75.Alm disso, a quantidade de castanha de cajuem cada lata deve ser igual a um tero dasoma das outras duas.a) Escreva o sistema linear que representa

a situao descrita acima.b) Resolva o referido sistema, determinan-

do as quantidades, em gramas, de cadaingrediente por lata.

96. (UFSM-RS) Duas vacas e um touro foramtrocados por oito porcos. Em outra ocasio,uma vaca foi trocada por um touro e umporco. De acordo com a regra desses doisnegcios, uma vaca deve ser trocada por *porcos; um touro, por * porcos.

Nmero de gramas de nutrientes em cada 10 gramas de alimento

Alimento Leite Farinha SoroNutrientes desnatado de soja de leite

Protena 3 5 2

Carboidrato 5 3 1

Gordura 0 1 7

Assinale a alternativa que preenche corre-tamente os espaos.a) 3; 2 c) 2; 3 e) 5; 2b) 2; 5 d) 3; 4

97. (UFBA) Um teatro colocou venda ingressospara um espetculo, com trs preos diferen-ciados de acordo com a localizao da poltro-na. Esses ingressos, a depender do preo,apresentavam cores distintas: azul, brancoe vermelho. Observando-se quatro pessoasna fila da bilheteria, constatou-se o seguinte:a primeira comprou 2 ingressos azuis, 2brancos e 1 vermelho e gastou R$ 160,00; asegunda comprou 2 ingressos brancos e 3vermelhos e gastou R$ 184,00; e a terceirapessoa comprou 3 ingressos brancos e 2 ver-melhos, gastando R$ 176,00.Sabendo-se que a quarta pessoa comprouapenas 3 ingressos azuis, calcule, em reais,quanto ela gastou.

98. (UNI-RIO-ENCE-RJ) No Censo 2000, umaequipe era formada por um supervisor e trsrecenseadores, Joo, Maria e Paulo, cada umdestes com uma produo horria mdia di-ferente (nmero de formulrios preenchi-dos, em mdia, por hora).O supervisor observou que:

I se Joo, Maria e Paulo trabalhassempor dia, respectivamente, 6, 8 e 5 ho-ras, a produo total diria seria de 78formulrios preenchidos, em mdia.

II se trabalhassem, respectivamente, 7, 6e 8 horas diariamente, esta produototal j seria de 83 formulrios.

III se trabalhassem 6 horas, diariamente,cada um deles, este total seria de 72.

a) Calcule a produo horria mdia deMaria.

b) Determine a menor carga horria diriade trabalho (valor inteiro), comum aostrs recenseadores, para que a produototal diria supere 100 formulriospreenchidos.

99. (Vunesp-SP) Dado o sistema de equaes li-neares S:

x 2y cz 1y z 2

3x 2y 2z 1,onde c R, determine:a) a matriz A dos coeficientes de S e o

determinante de Ab) o coeficiente c, para que o sistema admi-

ta uma nica soluo

14243

x

Ver resoluo.

Ver resoluo.

R$ 84,00

4 h

9 h

c 2

A

1 2 C

0 1 1

3 2 2

det A 6 3c

16


100.(UFMG) Considerando o sistemax y z 82x 4y 3z a3x 7y 8z 254x 6y 5z 36

determine o valor de a para que o sistematenha soluo.Usando esse valor de a, resolva o sistema.

101.(UFSC) Considere as matrizes:

A

1 1 1

1 2 2

1 4 4

, B

0 0 0

1 2 3

1 2 3

,

C (1) A e determine a soma dos nme-ros associados (s) proposio(es) verdadei-ra(s).

(01) A matriz A inversvel.(02) (A B)t Bt At, onde At significa a

matriz transposta de A.(04) A C a matriz nula de ordem 3.(08) O sistema homogneo, cuja matriz dos

coeficientes a matriz A, determi-nado.

(16) A C C A.

102.(Furg-RS)2x ky z 0

O sistema x y kz 0 :x ky z 0

a) determinado para k 1b) determinado para todo k Rc) impossvel para k 1d) indeterminado para k 1e) indeterminado para k 1

Captulo 15: Anlise combinatria

103.(UFSC) Num camping existem 2 barracasdisponveis. O nmero de modos como sepode alojar 6 turistas, ficando 3 em cadauma, ...

104.(Uespi-PI) Resolvendo a equao An, 4 12 An, 2, temos:a) n 21 d) 2n 1 17b) n2 25 e) 5n 1 4c) n2 36

105.(UFMG) Um aposentado realiza, diariamen-te, de segunda a sexta-feira, estas cinco ati-vidades:a) leva seu neto, Pedrinho, s 13 horas, pa-

ra a escolab) pedala 20 minutos na bicicleta ergom-

tricac) passeia com o cachorro da famliad) pega seu neto, Pedrinho, s 17 horas,

na escolae) rega as plantas do jardim de sua casa

Cansado, porm, de fazer essas atividadessempre na mesma ordem, ele resolveu que,a cada dia, vai realiz-las em uma ordemdiferente.Nesse caso, o nmero de maneiras poss-veis de ele realizar essas cinco atividades,em ordem diferente, :a) 60 c) 120b) 72 d) 24

106.(UFRJ) A mala do Dr. Z tem um cadeadocujo segredo uma combinao com cin-co algarismos, cada um dos quais podendovariar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinaoque escolhera como segredo, mas sabe queatende s condies:a) Se o primeiro algarismo mpar, ento

o ltimo algarismo tambm mpar.b) Se o primeiro algarismo par, ento o

ltimo algarismo igual ao primeiro.c) A soma dos segundo e terceiro algaris-

mos 5.Quantas combinaes diferentes atendems condies estabelecidas pelo Dr. Z?

107.(Unifor-CE) Pretende-se selecionar 4 pes-soas de um grupo constitudo de 3 profes-sores e 5 alunos, para tirar uma fotografia.Se pelo menos 1 dos professores deve apa-recer na foto, de quantos modos poder serfeita a seleo?a) 65 c) 330 e) 1 680b) 70 d) 1 560

108.(ITA-SP) Considere os nmeros de 2 a 6 al-garismos distintos formados utilizando-seapenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes n-meros so mpares e comeam com um d-gito par?a) 375 c) 545 e) 625b) 465 d) 585

14243

14243

x

x

x

x

x

a 20

22

20 modos

1 800

17


109. (Vunesp-SP) Uma grande firma ofereceraos seus funcionrios 10 minicursos dife-rentes, dos quais s 4 sero de informtica.Para obter um certificado de participao,o funcionrio dever cursar 4 minicursosdiferentes, sendo que exatamente 2 delesdevero ser de informtica. Determine dequantas maneiras distintas um funcion-rio ter a liberdade de escolher:a) os minicursos que no so de inform-

ticab) os 4 minicursos, de modo a obter um

certificado

110. (UFSM-RS) Analise as afirmativas a seguir.I. O nmero de comisses de 3 pessoas

que se pode formar num grupo de 5pessoas 60.

II. Com os dgitos 1, 2, 3, 4 e 5, podem-seformar 125 nmeros de 3 algarimos.

III. A quantidade de 7 bombons iguais podeser repartida de 6 maneiras diferentes,em duas caixas idnticas, sem que ne-nhuma caixa fique vazia.

Est(ao) correta(s):a) apenas I d) apenas II e IIIb) apenas II e) I, II e IIIc) apenas I e III

111. (Uepa-PA) Um organizador de eventos tem sua disposio 15 auxiliares, sendo 7 mu-lheres e 8 homens. Quantas comisses de3 mulheres e 4 homens poder formar?

112. (Furg-RS) Existem cinco livros diferentesde Matemtica, sete livros diferentes de F-sica e dez livros diferentes de Qumica. Onmero de maneiras que podemos escolherdois livros com a condio de que eles nosejam da mesma matria :a) 35 c) 70 e) 350b) 50 d) 155

113. (UFSCar-SP) Num acampamento, esto 14jovens, sendo 6 paulistas, 4 cariocas e 4mineiros. Para fazer a limpeza do acampa-mento, ser formada uma equipe com 2paulistas, 1 carioca e 1 mineiro, escolhidosao acaso. O nmero de maneiras possveispara se formar essa equipe de limpeza :a) 96 c) 212 e) 256b) 182 d) 240

114. (Mack-SP) Unindo-se de todos modos pos-sveis 4 vrtices de um cubo, obtm-se npirmides distintas, sendo distintas as pi-rmides que tenham pelo menos um vr-tice no comum. O valor de n :a) 54 c) 58 e) 62b) 56 d) 60

Captulo 16: Binmio de Newton

115. (UERJ) Na potncia, n um nmero natu-ral menor do que 100.

x 1x5

n

Determine o maior valor de n, de modo queo desenvolvimento dessa potncia tenha umtermo independente de x.

116. (Uepi-PI) O valor que deve ser atribudo ak, de modo que o termo independente de

x, no desenvolvimento de x kx

6

, seja

igual a 160, igual a:a) 1 d) 8b) 2 e) 10c) 6

117. (UECE) Quando simplificado, o terceiro ter-

mo de a

x x

a2

6

:

a) 6xa

2

9c) 15

x

b) 6xa

2

9d) 15

x

Captulo 17: Teoria das probabili-dades

118. (Mack-SP) A probabilidade de se obter umtringulo retngulo, quando se unem demodo aleatrio trs vrtices de um hex-gono regular, :

a) 16

d) 56

b) 14

e) 320

c) 35

x

x

x

x

x

x

x

15

90

2 450 comisses

96

18


119. (Vunesp-SP) Em um colgio foi realizadauma pesquisa sobre as atividades extracur-riculares de seus alunos. Dos 500 alunosentrevistados, 240 praticavam um tipo deesporte, 180 freqentavam um curso de idi-omas, e 120 realizavam estas duas ativida-des, ou seja, praticavam um tipo de espor-te e freqentavam um curso de idiomas.Se, nesse grupo de 500 estudantes, um escolhido ao acaso, a probabilidade de queele realize pelo menos uma dessas duas ati-vidades, isto , pratique um tipo de espor-te ou freqente um curso de idiomas, :

a) 1825

c) 1225

e) 25

b) 35

d) 625

120. (UFSCar-SP) Gustavo e sua irm Carolineviajaram de frias para cidades distintas. Ospais recomendam que ambos telefonemquando chegarem ao destino. A experin-cia em frias anteriores mostra que nemsempre Gustavo e Caroline cumprem essedesejo dos pais. A probabilidade de Gustavotelefonar 0,6, e a probabilidade de Carolinetelefonar 0,8. A probabilidade de pelo me-nos um dos filhos contactar os pais :a) 0,20 c) 0,64 e) 0,92b) 0,48 d) 0,86

121. (FCAP-PA) Uma pesquisa sobre grupossangneos ABO, na qual foram testados6 000 pessoas de uma mesma raa, reve-lou que 2 527 tm o antgeno A, 2 234 oantgeno B, e 1 846 no tm nenhum ant-geno. Nestas condies, qual aproxima-damente a probabilidade de que uma des-sas pessoas, escolhida aleatoriamente, te-nha os dois antgenos?a) 10% c) 15% e) 8%b) 12% d) 22%

122. (Unicamp-SP) O sistema de numerao nabase 10 utiliza, normalmente, os dgitosde 0 a 9 para representar os nmeros na-turais, sendo que o zero no aceito comoo primeiro algarismo da esquerda. Pergun-ta-se:a) Quantos so os nmeros naturais de

cinco algarismos formados por cinco d-gitos diferentes?

b) Escolhendo-se ao acaso um desses n-meros do item a, qual a probabilidadede que seus cinco algarismos estejamem ordem crescente?

123. (UFF-RJ) Os cavalos X, Y e Z disputam umaprova final na qual no poder ocorrer em-pate. Sabe-se que a probabilidade de X ven-cer igual ao dobro da probabilidade de Yvencer. Da mesma forma, a probabilidadede Y vencer igual ao dobro da probabili-dade de Z vencer.Calcule a probabilidade de:a) X vencer c) Z vencerb) Y vencer

124. (UFPE) Os times A, B e C participam de umtorneio. Suponha que as probabilidades deA ganhar e perder de B so respectivamen-te 0,6 e 0,2, e as probabilidades de A ganhare perder de C so respectivamente 0,1 e 0,6.Jogando com B e em seguida com C, quala probabilidade de A empatar os dois jogos?a) 0,5 c) 0,06 e) 0,03b) 0,05 d) 0,04

Captulo 18: O conjunto dos nme-ros complexos

125. (UFSCar-SP) Sejam x, y R e z x yium nmero complexo.a) Calcule o produto (x yi) (1 i).b) Determine x e y, para que se tenha

(x yi) (1 i) 2.

126. (Furg-RS) Os valores reais de x, de modoque a parte real do nmero complexo

z x ix i

seja positiva, :

a) {x R x 1 ou x 1}b) {x R 1 x 1}c) {x R x 1}d) {x R x 1}e) {x R x 1}

127. (Cesupa) Dados os nmeros complexosw a bi e z 2 i, e sendo z o conju-gado de z, encontre a e b de modo quez w z.

x

x

x

x

x

27 216

(x y) (x y)i

x 1 e y 1

1216

p(X) 47

p(Y) 27

p(Z) 17

a 35

e b 45

19



128. (UFMS) Com relao s propriedades e re-presentaes dos nmeros complexos, correto afirmar que:(01) se z o nmero complexo represen-

tado no plano complexo da figura 1,ento z 3 3 i.

(02) o nmero 12

12

i24

real

(04) o lugar geomtrico dos pontos z x yido plano complexo, tais que a partereal do nmero (z 1) igual a 2, uma reta paralela ao eixo horizontal

(08) se z1 e z2 so os nmeros complexosrepresentados no plano complexo dafigura 2, ento z1 z2 6 2i

A partir das informaes dadas, julgue ositens.

(00) A forma trigonomtrica de z

2 cos 53

i sen 53

(01) Se Q o afixo do nmero complexow z i, sendo i a unidade imaginria,ento o ngulo PQ reto.

(02) Sendo z o conjugado de z, 4zz

z2

( ) .

129. (UFPB) O nmero complexo z a ib,onde a, b Z, tal que (a, b) pertence reta 2x y 1 0. Sabendo-se quez 2 , determine z.

130. (UEM-PR) Seja a matriz

A z z i

zz z z

342

, onde z a bi um

nmero complexo.

Sendo det A 27, o valor de a2 b2 iguala...

131. (UFSC) Determine a soma dos nmerosassociados (s) proposio(es) verdadei-ra(s).

(01) O argumento principal do nmero

complexo z 1 3 i 23 .

(02) O nmero racional representado por 13

tambm pode ser representado na for-ma decimal finita.

(04) O valor absoluto de um nmero realmenor que zero o oposto dele.

(08) O nmero 437 primo.(16) A operao de subtrao definida no

conjunto dos nmeros inteiros possuia propriedade comutativa.

(32) A diferena entre os nmeros reais

75 e 5 3 um nmero racional.

Nas questes 132 e 133 a resposta dada pelasoma das afirmativas corretas.

132. (UFMT) Na figura, o ponto P o afixo de umnmero complexo z, no plano de Argand-Gauss.

Im

Re

z

Figura 1

30

2 3

1

2

3

z1

z2

2

Im

ReFigura 2

0x

y

P1

3

03

z 1 i

27

37

01

20


Use os dados da figura para a anlise dasafirmaes que seguem.

(00) O mdulo de z1 8.(11) A forma algbrica de z2 1 i 3.

(22) O argumento principal de z1 135.(33) O conjugado de z2 3 i.(44) z1

2 um nmero imaginrio puro.

134. (UEL-PR) A potncia (cos 60 i sen 60)601

igual a:

a) 12

1 i 3( ) d) 12 i3 ( )b) 1

21 i 3( ) e) 12 i3 ( )

c) 12

1 i 3( )Captulo 19: Polinmios

135. (UFPE) Determine p e q reais, tais quex(x 1)(x 2)(x 3) 1 (x2 px q)2.

Indique p2 q2.

136. (UFMG) Suponha que a equao8ax

2bxc 43x5 25x2x8

seja vlida para todo nmero real x, em quea, b e c so nmeros reais.

Ento, a soma a b c igual a:

a) 173

b) 283

c) 12 d) 53

137. (UFSC) Sendo a e b dois nmeros tais queo polinmio P(x) 2x3 ax2 bx 6 divisvel por (x 3) e por (2x 1). Calcule(a b).

138. (UFF-RJ) Considere os polinmios p(x) 2x3 2x2 7x 1 e q(x) 2x2 x 1.

Calcule:a) os valores do nmero complexo z tais

que p(z) q(z)

b) o nmero real k e o polinmio do pri-meiro grau r(x), tais quep(x) (x k) q(x) r(x)

139. (Furg-RS) Se o polinmiop(x) x4 2x3 ax2 bx c divisvel por q(x) x2 x 2, entoa b vale:a) 11 c) 0 e) 11b) 1 d) 1

140. (Unifor-CE) Sabe-se que o polinmiof 2x3 x2 4x 2 admite uma raizracional. As outras razes desse polinmioso nmeros:a) divisveis por 2b) fracionriosc) no-reaisd) primose) irracionais

141. (UEL-PR) Considere os polinmiosp(x) x 1 e q(x) x3 x. corretoafirmar:a) Os polinmios p(x) e q(x) no possuem

raiz em comum.b) O grfico de p(x) intercepta o grfico de

q(x).c) O polinmio p(x) possui uma raiz du-

pla.d) O resto da diviso de q(x) por p(x) di-

ferente de zero.e) O polinmio q(x) possui uma raiz du-

pla.

142. (UFP-RS) Dada a matriz real A (aij)22,

com a (i j) , se i j

ln e , se i jij

log

5i Rj

2

3

, determine

o polinmio real de 4o grau que admitedet A, det At e (1 i)2 como razes.

143. (UFF-RJ) Os grficos da funo polinomialp e da reta r esto representados na figura.

0

P1P2

2

2

2

Im(z)

Re(z)

60

x

x

x

x

x

133. (UFAL) Na figura abaixo, os pontos P1 e P2so, respectivamente, as imagens dos n-meros complexos z1 e z2, representadas noplano de Argand-Gauss.

0 1 3

2

4

4

r

p

x

y

55

10

14

z 0 ou z 2i ou z 2i

Ver resoluo.

k 23

r(x) 19x2

12

21


b) Prove que p(x) 0 para todo nmeroreal x 2.

149. (UFRJ) Determine todas as razes dex3 2x2 1 0.

150. (PUC-RJ) Quais as solues dex(x2 4x 4) 1?

151. (Furg-RS) O polinmiox3 7x2 16x 12 tem:a) uma raiz real com multiplicidade 3b) uma raiz real com multiplicidade 2c) razes reais e distintasd) uma raiz complexae) duas razes complexas


152. (UEM-PR) Considere o polinmiop(x) x4 ax3 bx2 8x c,

com x R, e a, b e c constantes reais.Sabe-se que p(x) tambm pode ser escritocomo p(x) q(x)(x 2)(x 2) e, alm dis-so, p(0) 16.Nessas condies, correto afirmar:(01) q(0) 4.(02) q(x) um polinmio de grau 2.(04) p(2) p(2)(08) a soma das razes de p(x) 0 2i, onde

i a unidade imaginria.(16) b2 8a c 0.(32) x 2 uma raiz de multiplicidade 2

de p(x) 0.(64) p(x) tem dois zeros complexos.

Unidade B: Porcentagem

153. (EEM-SP) Uma lanchonete vende cadaquibe por R$ 0,19 e um copo com 300 mde refrigerante por R$ 1,00. Com o obje-tivo de estimular as vendas, a empresapretende vender um combinado consti-tudo de 10 quibes e um copo com 480 mde refrigerante. Qual deve ser o preo aser cobrado, se a lanchonete deseja dar10% de desconto?

14243

a) Calcule o resto da diviso de p(x) porx 3.

b) Escreva a equao de r.c) Determine a expresso que define p, sa-

bendo que as trs nicas razes de p soreais.

Captulo 20: Equaes polinomiaisou algbricas

144. (UFSM-RS) Se 1 e 5 so duas razes daequao x3 ax2 3x b 0, ento a e bvalem, respectivamente, * e *, e a outraraiz da equao *.Assinale a alternativa que completa corre-tamente as lacunas.a) 6; 10; 2b) 6; 10; 2c) 6; 10; 2d) 6; 10; 2e) 6; 10; 2

145. (UERJ) As equaes a seguir, em que x C,tm uma raiz comum. Determine todas asrazes no-comuns.

x3 x 10 0

x3 19x 30 0

146. (Cesupa) A funo polinomialP(x) x3 6x2 3x k tem P(1) 8 e asrazes em progresso aritmtica. Determi-ne essas razes.

147. (ITA-SP) Seja m R, m 0. Considere osistema

2x (log4 m)y 5z 0 (log2 m)x y 2z 0 x y (log2 m

2)z 0

O produto dos valores de m para os quais osistema admite soluo no-trivial :a) 1 c) 4 e) 2log25b) 2 d) 8

148. (Unicamp-SP) Considere o polinmiop(x) x3 2x2 5x 26.a) Verifique se o nmero complexo 2 3i

raiz desse polinmio.

x

x

x

4

3y 2x 6

Ver resoluo.

Ver resoluo.

Ver resoluo.

86

R$ 3,15sim

5; 2; 1

1a equao:{1 2i}

2a equao:{3, 5}

p(x) 13

(x 1)(x 3)(x 4)

22


154. (UFAL) As quantias que Aldo, Bruno e Csartinham em suas carteiras totalizavamR$ 179,00. Aldo deu 20% do que tinha aBruno e ficou com a mesma quantia deCsar. Se Bruno ficou com R$ 51,00, de-termine as quantias que cada um tinhainicialmente.

155. (UERJ) Um grupo de alunos de uma escoladeveria visitar o Museu de Cincia e o Mu-seu de Histria da cidade. Quarenta e oitoalunos foram visitar pelo menos um dessesmuseus; 20% dos que foram ao de Cinciavisitaram o de Histria, e 25% dos que fo-ram ao de Histria visitaram tambm o deCincia.Calcule o nmero de alunos que visitaramos dois museus.

156. (FGV-SP) No Brasil, quem ganha um sa-lrio mensal menor ou igual a R$ 900,00est isento do pagamento de imposto derenda (IR). Quem ganha um salrio men-sal acima de R$ 900,00 at R$ 1 800,00paga um IR igual a 15% da parte de seusalrio que excede R$ 900,00; quem ganhaum salrio mensal acima de R$ 1 800,00paga um IR igual a R$ 135,00 (corres-pondente a 15% da parte do salrio entreR$ 900,00 e R$ 1 800,00) mais 27,5% daparte do salrio que excede R$ 1 800,00.a) Qual o IR pago por uma pessoa que re-

cebe um salrio mensal de R$ 1 400,00?b) Uma pessoa pagou um IR de R$ 465,00,

num determinado ms. Qual o seu sa-lrio nesse ms?

157. (UFRN) Dois supermercados (X e Y) ven-dem leite em p, de uma mesma marca, aopreo de R$ 4,00 a lata. Numa promoo, osupermercado X oferece 4 latas pelo preode 3, e o supermercado Y d um descontode 20% em cada lata adquirida.Responda, justificando, em qual dessas pro-moes voc economizaria mais, se com-prasse:a) 12 latasb) 11 latas

158. (UFPE) O custo da cesta bsica aumentou1,03% em determinada semana. O aumen-to foi atribudo exclusivamente variaodo preo dos alimentos que subiram 1,41%.

Qual o percentual de participao dos ali-mentos no clculo da cesta bsica (indiqueo valor mais prximo)?a) 73% c) 75% e) 77%b) 74% d) 76%

159. (Unifor-CE) Tico resolveu economizar guar-dando, a cada semana, uma parcela de suamesada. Na primeira semana ele guardou40 reais e, a partir de ento, 10 reais porsemana. Se ele no usou o dinheiro guarda-do, a quantia que ele acumulou em 20 se-manas corresponde a que porcentagem daquantia que guardou na primeiro semana?a) 575% d) 400%b) 500% e) 375%c) 475%


160. (UFG) De uma torneira, a gua est pin-gando a uma freqncia constante de umagota a cada 25 segundos. Durante o pero-do de 21h 30min at 6h 15min do diaseguinte, um recipiente coletou 120 mili-litros (mL) de gua.Conforme as informaes apresentadas,julgue os itens a seguir.(01) No perodo mencionado, caiu no reci-

piente um total de 1 290 gotas dgua.(02) Mantendo-se a mesma freqncia, o

volume de gua coletado, durante 17 ho-ras, ser superior a 240 mL.

(03) O volume de cada gota dgua me-nor que 0,1 mL.

(04) Se a freqncia fosse de duas gotas porminuto, o volume de gua coletado,no mesmo perodo, seria 20% maior.

161. (Vunesp-SP) Os dados publicados na revistaVeja de 12/4/2000 mostram que, de cada 100pessoas com o ensino mdio, apenas 54conseguem emprego. Se num determina-do grupo de 3 000 pessoas, 25% tm ensi-no mdio, o nmero provvel de pessoasdo grupo, com ensino mdio, que, de acor-do com os dados da pesquisa, iro conse-guir emprego, :a) 375 c) 450 e) 1 620b) 405 d) 750

x

x

x

Ver resoluo.

6

a) R$ 75,00b) R$ 3 000,00

Supermercado X

Supermercado Y

03

23


Unidade C: Trigonometria

Captulo 1: A trigonometria no trin-gulo retngulo

162. (UFAC) Uma pessoa sobe uma rampa, queforma com a horizontal um ngulo de 30.Admitindo que o terreno sob a rampa pla-no, a que altura do solo se encontrar essapessoa quando tiver caminhando 15 m so-bre ela?a) 8,5 m c) 9 m e) 7,5 mb) 8 m d) 7,9 m

163. (UFAC) Se a medida do ngulo BC iguala 60, AB AC e BC 10, ento a rea dotringulo ABC, da figura abaixo, vale:

165. (UFMG) No tringulo ABC, o ngulo ABC

reto, BC 5 6 e cos (BC) 3

15 .

Considerando esses dados, calcule o com-primento do cateto AB.

166. (UFRN) Ao se tentar fixar as extremidadesde um pedao de arame reto, de 30 m decomprimento, entre os pontos M e P deum plano, o arame, por ser maior do queo esperado, entortou, como mostra a figu-ra abaixo.

A partir desses dados, calcule, em metros:a) o comprimento dos segmentos MS e SPb) quanto o arame deveria medir para que

tivesse o mesmo tamanho do segmentoMP

167. (Fuvest-SP) No quadriltero ABCD da fi-gura abaixo, E um ponto sobre o lado AD ,tal que o ngulo ABE mede 60 e os ngu-

los EBC e BCD so retos. Sabe-se ainda queAB CD 3 e BC 1. Determine amedida de AD .

a) 10 d) 10 3

b) 3 e) 5 3

c) 25 3

164. (UEL-PR) Com respeito aos pontos A, B, C,D e E, representados na figura abaixo, sabe-se que CD 2 BC e que a distncia de D aE 12 m. Ento, a distncia de A a C, emmetros, :

30

60A

B

CD

E

30

60

20

10

N

M R S

T

P

60

A

CB 10

60

CB 1

A

E

D

3

3

a) 6 c) 3 e) 1b) 4 d) 2

168. (UEM-PR) No problema a seguir, considereque qualquer trajetria do ciclista feitaem linha reta e com velocidade constante eigual a 10 m/s.

x

x

x

x 15

6 km

a) MS 10 ;5 3

SP 5 10 3

b) 10 5 2 3

7

24


Duas rodovias H e R cruzam-se em um pon-to A, segundo um ngulo de 60. Um ci-clista parte do ponto A pela rodovia H e,aps um tero de hora, atinge um ponto B,de onde possvel seguir para a rodovia R,percorrendo o menor caminho, atingindo-a no ponto C. Para retornar de C ao pontoA de origem, pela rodovia R, a distncia queo ciclista deve percorrer, em quilmetros,...

Captulo 2: Conceitos bsicos

169. (Fabrai-MG) Em uma competio de ciclis-mo eliminatria para as olimpadas, umatleta possua uma bicicleta cujas rodas ti-nham 40 cm de raio.Se o percurso percorrido na prova foi de9 420 m, o nmero mnimo de voltas dadaspela roda, considerando 3,14, :a) 3 700 c) 3 800b) 3 750 d) 3 850

170. (UFSCar-SP) Se o ponteiro dos minutos deum relgio mede 12 centmetros, o nme-ro que melhor aproxima a distncia em cen-tmetros percorrida por sua extremidadeem 20 minutos : (considere 3,14)a) 37,7 cm c) 20 cm e) 3,14 cmb) 25,1 cm d) 12 cm

171. (PUC-MG) Uma carta martima circular graduada com 32 arcos iguais. A medidade cada arco :a) 8 13 c) 10 18 e) 12 20b) 9 14 d) 11 15

172. (Uneb-BA) Correndo numa praa circularde raio igual a 117 metros, um garoto des-creve um arco de 78 metros de compri-mento.A medida desse arco, em radianos, :

a) 32 c)

3e)

4

b) 23 d) 3

5

173. (UCS-RS) O menor ngulo formado pelosponteiros de um relgio quando marca3 horas e 15 minutos :a) 0 c) 5b) 3 9 d) 7 30

Captulo 3: As funes circulares

174. (UFRJ) Determine os valores reais de k, demodo que a equao 2 3 cos x k 4admita soluo.

175. (UFP-RS)

Josiane Soares, de Blumenau, a dona damarca no lanamento de dardo, com 53,1 m,estabelecida durante a primeira etapa do trofuBrasil de atletismo, encerrada neste domingo, emCuritiba. Trs outros recordes do campeonato fo-ram quebrados e uma marca sul-americana juve-nil tambm. (Sydney 2000)

Zero Hora, 2000.

Numa prova olmpica de lanamento dedardo, a trajetria descrita representadagraficamente por uma parbola. A distn-cia atingida pelo dardo dada por:

x v sen 2g

2

em que o angulo de lanamento, v avelocidade inicial, x, a distncia em rela-o horizontal e g, o valor da gravidade(considere g 10 m/s2).Com uma velocidade inicial de 20 m/s, quala maior distncia obtida em trs lanamen-tos consecutivos, sabendo-se que os ngu-los de lanamento foram 30, 45 e 60?

176. (UEL-PR) O grfico abaixo corresponde funo:

a) y 2 sen x d) y sen x2

b) y sen (2x) e) y sen (4x)c) y sen x 2

x

y

2

2

1

21

177. (UFPB) Um objeto desloca-se, de tal modoque sua posio x em funo do tempo t

dada pela funo x(t) 4 cos 2t 2

,

onde t dado em segundos e x, em metros.Acerca deste movimento so feitas as se-guintes afirmaes:

x

x

x

x

x

x

3 k 9

45

25


I No instante t 0 o objeto ocupa aposio x 4 m.

II O valor mximo que a posio x podeassumir 5 m.

III O valor mnimo que a posio x podeassumir 4 m.

IV O mvel passa pela posio x 4 nos

tempos t n 4

com n 1, 2,3, ...

Esto corretas:a) I e III d) II e IIIb) II e IV e) III e IVc) I e II

178. (Vunesp-SP) Uma equipe de mergulhadores,dentre eles um estudante de cincias exa-tas, observou o fenmeno das mars emdeterminado ponto da costa brasileira econcluiu que o mesmo era peridico e podiaser aproximado pela expresso:

P(t) 212

2 cos 6

t 54

,

em que t o tempo (em horas) decorridoaps o incio da observao (t 0) e P(t) a profundidade da gua (em metros) noinstante t.

a) Resolva a equao cos 6

t 54

1

,

para t 0.b) Determine quantas horas aps o incio

da observao ocorreu a primeira maralta.

Captulo 4: Relaes e identidadestrigonomtricas

179. (Furg-RS) As relaes sen x 1 k2

e

tg x 1 kk 1

so satisfeitas para valores

de k. O produto desses valores de k :a) 2 c) 0 e) 2b) 1 d) 1

180. (Fuvest-SP) O dobro do seno de umngulo , 0

2, igual ao triplo do

quadrado de sua tangente. Logo, o valorde seu cosseno :

a) 23

c) 22

e) 33

b) 32

d) 12


181. (UEM-PR) Assinale a(s) alternativa(s) cor-reta(s).

(01) sen 2

4 cos 43

cos ( ) 0

(02) Em um tringulo no qual dois de seus

ngulos medem 3

rad e 40, o ter-

ceiro ngulo mede 49

rad .

(04) (1 cos x)(1 cos x)tgx cos x, para

x 2

k , k Z.

(08) (sen x cos x) 12

2 , para x 15

(16) tg 54

0

(32) 2 sen 53 cos 37cos 37

1

Captulo 5: Transformaes trigo-nomtricas

182. (UEL-PR) Para qualquer nmero real x,

sen x 2

igual a:

a) sen x d) 2 cos xb) 2 sen x e) cos xc) (sen x)(cos x)

183. (UFOP-MG) Considere a matriz

M

0 0 2

sen 75 sen 15 1

cos 75 cos 15 1

Ento, podemos afirmar que:

a) M inversvel e det M 32

b) M inversvel e det M 3

c) M inversvel e det M 0d) M inversvel e det M 1

e) M inversvel e det M 12

Captulo 6: Equaes trigonom-tricas

184. (UFOP-MG) Resolva a equao trigonom-

trica sen x 4

sen x 4

22

.

x

x

x

x

x

4,5 horas

Ver resoluo.

43

S x x 6

2k ou x 56

2k , k 7 R 7 Z

26


185. (UFSM-RS) A soma das razes da equaocos2 x cos x 0, no intervalo 0 x 2,:

a) c) 3 e) 52

b) 4 d) 72

186. (Vunesp-SP) Considere a funof(x) 9(sen

2 x) 27(1 cos x), para x R.

a) Mostre que f(x) 3(2 cos2 x3 cos x1).

b) Resolva a equao f(x) 1, parax [0, ].

187. (Cesupa) Sendo a a soluo da equaosen x 1 cos x 0 , no intervalo

2

, 32

, escreva a matriz

M sen

2 cos

tg sec

e calcule det M2.

188. (UFSM-RS) Considere f: R R, dada porf(x) 4x2 4x tg2 , onde 0 2.Os valores de , para os quais f assume ovalor mnimo 4, so:

a) 3

, 23

, 43

, 53

b) 4

, 34

, 54

, 74

c) 5

, 25

, 35

, 45

d) 6

, 46

, 56

, 43

e) 7

, 27

, 37

, 57

189. (UFPA) Sendo a e b dois ngulos tais que a

tg a 12

e tg b 13

, encontre, em graus,

o valor do ngulo a b.

190. (Unama-AM) Com relao ao sistema

x cos y sen cos x sen y cos sen , pede-se:

a) os valores de x e yb) resolver a equao x y para 0 2

191. (UEL-PR) Em relao equaocos x cos 2x, com x [0, 2], corretoafirmar:

a) Possui uma soluo no 3o quadrante.b) Possui duas solues no 2o quadrante.c) Possui somente a soluo nula.d) Uma das suas solues .

e) A nica soluo no-nula 23 .

Captulo 7: Inequaes trigonom-tricas

192. (UNI-RIO) Obtenha o conjunto-soluo dainequao sen x

2 1 , sendo 0 x 2.

193. (Unic-MT) A soluo da inequao 2 sen x

1 0 para x pertencente ao intervalo[0, 2] :

a) x 6

x 56

7 R

b) x 6

x 56

ou

76

x 116

7 R

c) {x 7 R 0 x }

d) x 3

x 23

7 R

e) x 3

x 23

ou

43

x 3

7 R

5

194. (Unicamp-SP)a) Encontre todos os valores reais de x para

os quais 1 x 44x

2

1.

b) Encontre todos os valores reais de x e ysatisfazendo x2 4x cos y 4 0.

Captulo 8: Resoluo de tringuloquaisquer

195. (UERJ) Um tringulo acutngulo ABC tm4 cm2 de rea e seus lados AB e AC me-dem, respectivamente, 2 cm e 5 cm.Matendo-se as medidas desses dois lados edobrando-se o ngulo interno , calcule oaumento percentual de sua rea.

123

x

x

x

x

Ver resoluo.

x cos 2 e y sen 2

45 180 k, k 7 Z

20%

y h2, h 7 Z

x 2 ou x 2

Ver resoluo.S 0, 3

M 1 1

0 1;

27


ItensPreo por quilo

Quantidadeem Recife (R$)

sal 0,30 2 kg

tomate 1,20 5 kg

batata 1,50 2 kg

a) Calcule a velocidade mdia de um barcoque faz a travessia entre Recife e Fer-nando de Noronha.

b) Considere os pontos N, R e F para desig-nar, respectivamente, Natal, Recife eFernando de Noronha.Sabendo-se que o ngulo NFR igual a30, calcule a medida aproximada dosegmento NR, distncia entre as cida-des de Natal e Recife.

c) A tabela abaixo apresenta uma lista deprodutos a serem comprados e seus pre-os na cidade de Recife.

B

A

D

h

C

Horizontal

Qual altura do morro (h), em metros, en-contrada pelo topgrafo?

198. (UFP-RS) Num relgio, o ponteiro quemarca minutos mede 10 cm, e o que mar-ca horas mede 5 cm.Se f(x) determina a distncia entre as ex-tremidades livres dos ponteiros, em funodo ngulo x entre eles, conforme a figura,ento:a) obtenha a expresso analtica para f(x)

e calcule f(270)b) determine o domnio e a imagem dessa

funo

f(x)x

197. (UFMT) Para determinar a altura de ummorro, um topgrafo adotou o seguinteprocedimento:

Escolheu dois pontos A e B, situados nomesmo plano vertical que passa por C.

Mediu a distncia AB encontrando 162 m.

Com auxlio de um teodolito mediu osngulos , e , encontrando, respecti-vamente, 60, 90 e 30.

A figura ilustra o procedimento descrito.

196. (UERJ) Utilize os dados abaixo para respon-der s questes:

A vida l mais cara...S possvel chegar a Fernando de Noronhade barco ou avio. Por isso, tudo fica maiscaro. Veja alguns exemplos:Produto Diferena em

relao a RecifeMilheiro de tijolosMercurocromoQuilo de salQuilo de tomateBotijo de gsQuilo de batataLitro de gasolina

+ 840%+ 600%+ 300%+ 190%+ 140%

Recife

Natal

PE

RN

PB

CE

ALBA

Fernando de Noronha

Distncia de Recife545 quilmetrosTempo debarco: 50 horasavio: 1h 35min

Distncia de Natal360 quilmetrosTempo debarco: 36 horas avio: 1h 10min

+ 82%+ 68%

(Veja, 12/07/2000)

10,9 km/h

x 295 km

R$ 15,66

Ver resoluo.

81 m

Considere que duas pessoas, uma emFernando de Noronha e outra em Reci-fe, tenham feito essa compra.Determine a diferena, em reais, entrea maior e a menor despesa.

28


Unidade D: Geometria

Captulo 1: Semelhana de figurasgeomtricas planas

199. (EEM-SP) Pelas extremidades A e B de umsegmento AB , traam-se perpendicula-res, e sobre elas tomam-se os segmentosAC 2 cm e BD 3 cm. Em AB toma-seo ponto E tal que os ngulos AC e BDsejam congruentes. Calcule os compri-mentos dos segmentos AE e BE, saben-do-se que AB 10 cm.

200. (UFSC) Na figura abaixo, AC paralelo aDE. Nessas condies, determine o valorde x y.

a) 1,0 c) 3 e) 2,0

b) 2 d) 1,8

204. (UFOP-MG) O valor de x na figura, onde b conhecido, dado por:

a) b 30 c) b 306

e) b 56

b) b 2 d) 2b

201. (UFMG) Observe a figura.

18

15

10

10

C

D BA

E

x

y

Nessa figura, as retas r, s e t so paralelas; adistncia entre r e s 1; a distncia entre se t 3; EF 2 e FG 5.Calcule a rea do quadriltero ABCD.

202. (Faap-SP) O proprietrio de uma rea querdividi-la em trs lotes, conforme figura aseguir. Os valores de a, b e c, em metros,sabendo-se que as laterais dos terrenos soparalelas e que a b c 120 m, so,respectivamente:

r

s

tC

A B

E F G

D

20 24 36

ab

c

Rua A

Rua B

0 1

A

D

B

C

E r

b

b

b

b b

b

x

a) 40, 40 e 40 m d) 30, 36 e 54 mb) 30, 30 e 60 m e) 30, 46 e 44 mc) 36, 64 e 20 m

Captulo 2: Relaes mtricas notringulo retngulo

203. (UFSM-RS) Na construo proposta, o pon-to A representa o nmero zero e o ponto B,o nmero 1. Ao construir BC de forma per-pendicular a AB e de comprimento 1, ob-tm-se AC. Aps, ao construir CD, tambmde comprimento 1 e perpendicular a AC,obtm-se AD . Marcando, na reta r, AE demesmo comprimento que AD , o ponto Erepresentar o nmero:

x

x

x

AE 4 cm e BE 6 cm

29

883

29


a) (5,338) 102 kmb) (5,338) 103 kmc) (5,338) 104 kmd) (5,338) 105 kme) (5,338) 106 km

208. (Unitau-SP) Um terreno tem forma retan-gular. Sabe-se que seus lados so dois n-meros inteiros consecutivos e sua rea de20 m2. Quais as dimenses desse terreno?

209. (UEL-PR) O comprimento de um retngu-lo 10% maior que o lado de um quadra-do. A largura desse retngulo 10% me-nor que o lado do mesmo quadrado. A ra-zo entre as reas do retngulo e do qua-drado :

a) 201200

d) 199200

b) 101100

e) 99100

c) 90110

210. (Unicamp-SP) Um terreno tem a forma deum trapzio retngulo ABCD, conformemostra a figura, e as seguintes dimenses:AB 25 m, BC 24 m, CD 15 m.

205. (PUC-SP) Uma estao de tratamento degua (ETA) localiza-se a 600 m de uma es-trada reta. Uma estao de rdio localiza-se nessa mesma estrada, a 1 000 m da ETA.Pretende-se construir um restaurante, naestrada, que fique mesma distncia dasduas estaes. A distncia do restaurantea cada uma das estaes dever ser de:a) 575 m c) 625 m e) 750 mb) 600 m d) 700 m

Captulo 3: Polgonos regulares ins-critos na circunferncia

206. (UFMG) Observe esta figura:

Nessa figura, o tringulo ABC est escritoem um crculo.Os lados AC e BC medem, cada um deles,

4 14 , e o lado AB mede 8 10 .

Considerando esses dados, determine amedida do raio desse crculo.

Captulo 4: rea das figuras geo-mtricas planas

207. (UFSCar-SP) A Folha de S. Paulo, na suaedio de 11/10/2000, revela que o bura-co que se abre na camada de oznio so-bre a Antrtida a cada primavera no He-misfrio Sul formou-se mais cedo nesteano. o maior buraco j monitorado porsatlites, com o tamanho recorde de(2,85) 107 km2. Em nmeros aproxima-dos, a rea de (2,85) 107 km2 equivale rea de um quadrado cujo lado mede:

a) Se cada metro quadrado desse terre-no vale R$ 50,00, qual o valor do ter-reno?

b) Divida o trapzio ABCD em quatro par-tes de mesma rea, por meio de trs seg-mentos paralelos ao lado BC. Faa umafigura para ilustrar sua resposta, indi-cando nela as dimenses das divises nolado AB.

211. (UFMT) Dado que um hectare correspondea 10 000 m2, determine o nmero de quil-metros quadrados que correspondem a umafazenda com 1 000 hectares.

A

CB

A B

CD

x

x

x

r 14

4 m e 5 m

R$ 24 000,00

Ver resoluo.

10 km2

30


212. (UFMG) Observe as figuras: Sabe-se que a medida do lado do quadrado 2 m e que a do segmento AB 1 m.

Determine:

a) o raio do crculo

b) a rea, em m2, a ser colorida de azul

214. (UERJ) Utilize os dados abaixo para res-ponder questo.

Uma piscina, cujas dimenses so 4 me-tros de largura por 8 metros de compri-mento, est localizada no centro de umterreno ABCD, retangular, conforme in-dica a figura abaixo.

110 12

Azul

A

VerdeVerde

Azul

Cinza

B

a) Calcule a razo entre a rea ocupada pelapiscina e a rea ABCD.

b) Considere que uma pessoa se deslocasempre do ponto M, mdio de CD, emlinha reta, numa nica direo, a umponto qualquer do terreno.Determine a probabilidade de essa pes-soa no cair na piscina.

215. (UFRN) Em cada um dos subitens abaixo,faa o que se pede.

a) Calcule a altura de um tringulo eqi-ltero em funo do lado.

b) Calcule a rea de um tringulo eqil-tero em funo do lado.

c) Use o Teorema de Pitgoras para mos-trar que, num tringulo retngulo, area do tringulo eqiltero cons-trudo sobre a hipotenusa igual so-ma das reas dos tringulos eqi-lteros construdos sobre os catetos(veja figura).

A B

D M1 m

1 m

16 m

10 m

C

4040

90

30

Nessas figuras, esto representadas as vis-tas frontal e lateral de uma casa de madeirapara um cachorrinho, com todas as medi-das indicadas em centmetros. Observe queo telhado avana 12 cm na parte da frenteda casa.Considerando-se os dados dessas figuras,a rea total do telhado dessa cas

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