MAT-140 Funções, Limite e Continuidade

Walter T. Huaraca Vargas

11 de Agosto de 2017

Relações e FunçõesPar Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressão

da forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e bé chamada de segunda componente.

Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc ; dqsão iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:

pa; bq “ pc; dq ô a “ c ^ b “ d

ExemploAchar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq

Produto Cartesiano: Consideremos dois subconjuntos arbitrariosA;B Ă R, o produto cartesiano de A e B (nessa ordem)é o conjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:

Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu

Relações e FunçõesPar Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressão

da forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e bé chamada de segunda componente.

Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc ; dqsão iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:

pa; bq “ pc; dq ô a “ c ^ b “ d

ExemploAchar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq

Produto Cartesiano: Consideremos dois subconjuntos arbitrariosA;B Ă R, o produto cartesiano de A e B (nessa ordem)é o conjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:

Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu

Relações e FunçõesPar Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressão

da forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e bé chamada de segunda componente.

Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc ; dqsão iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:

pa; bq “ pc; dq ô a “ c ^ b “ d

ExemploAchar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq

Produto Cartesiano: Consideremos dois subconjuntos arbitrariosA;B Ă R, o produto cartesiano de A e B (nessa ordem)é o conjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:

Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu

Relações e FunçõesPar Ordenado: Um par ordenado de números reais é uma expressão

da forma pa; bq, a é chamada de primeira componente e bé chamada de segunda componente.

Igualdade de Pares Ordenados: Os pares ordenados pa; bq e pc ; dqsão iguais se suas respetivas componentes são iguais, isto é:

pa; bq “ pc; dq ô a “ c ^ b “ d

ExemploAchar x , y P R tal que p5x ` 2y ;´4q “ p´1; 2x ´ yq

Produto Cartesiano: Consideremos dois subconjuntos arbitrariosA;B Ă R, o produto cartesiano de A e B (nessa ordem)é o conjunto de todos os pares ordenados pa; bq com a P A eb P B e será denotado por Aˆ B ; isto é:

Aˆ B “ tpa; bq; a P A e b P Bu

ExemploSe A “ t1; 2; 3u e B “ tπ, 2

3u, calcular Aˆ B e B ˆ A

Representação Geometrica:

Relação Binaria: Uma relação binaria R entre os conjuntos A e B(nessa ordem) é um subconjunto do produto cartesiano entreA e B , isto é:

R Ă Aˆ B

ExemploSe A “ t1; 2; 3u e B “ tπ, 2

3u, calcular Aˆ B e B ˆ A

Representação Geometrica:

Relação Binaria: Uma relação binaria R entre os conjuntos A e B(nessa ordem) é um subconjunto do produto cartesiano entreA e B , isto é:

R Ă Aˆ B

FunçõesInformalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto Aum único elemento do conjunto B . Formalmente:

Definição

Consideremos os conjunto (não vazios) A;B Ă R, uma função entre osconjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P fentão b “ c Graficamente temos:

Observação1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .

O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.

2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.

3 Como A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.

FunçõesInformalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto Aum único elemento do conjunto B . Formalmente:

DefiniçãoConsideremos os conjunto (não vazios) A;B Ă R, uma função entre osconjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P fentão b “ c Graficamente temos:

Observação1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .

O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.

2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.

3 Como A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.

FunçõesInformalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto Aum único elemento do conjunto B . Formalmente:

DefiniçãoConsideremos os conjunto (não vazios) A;B Ă R, uma função entre osconjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P fentão b “ c Graficamente temos:

Observação1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .

O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.

2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.

3 Como A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.

FunçõesInformalmente, uma função f do conjunto A no conjunto B é uma regra,procedimento ou mecanismo que associa a cada elemento do conjunto Aum único elemento do conjunto B . Formalmente:

DefiniçãoConsideremos os conjunto (não vazios) A;B Ă R, uma função entre osconjuntos A e B é uma relação f tal que: Se pa; bq P f e pa; cq P fentão b “ c Graficamente temos:

Observação1 Uma função f de A em B será denotada por f : AÑ B ou AÑf B .

O conjunto A é chamado conjunto de partida e B é chamado deconjunto de chegada.

2 O par pa; bq P f será denotada por b “ f paq e diremos que b é aimagem de a por f ou que b “ f paq é o valor de f no ponto a.

3 Como A,B Ă R, f será chamada de função real de variável real.

Domínio, Imagem e Gráfico de uma Função

Seja f : AÑ B uma função de A em B , então:1 O domínio da função f é o conjunto:

Dpf q “ Dompf q “ ta P A; existe b P B com b “ f paqu Ă A

2 A imagem da função f é o conjunto:

I pf q “ Impf q “ tb P B; existe a P A com b “ f paqu Ă B

3 O gráfico da função f é o conjunto:

Graf pf q “ tpa; f paqq; a P Dompf qu Ă Aˆ B

Domínio, Imagem e Gráfico de uma Função

Seja f : AÑ B uma função de A em B , então:1 O domínio da função f é o conjunto:

Dpf q “ Dompf q “ ta P A; existe b P B com b “ f paqu Ă A

2 A imagem da função f é o conjunto:

I pf q “ Impf q “ tb P B; existe a P A com b “ f paqu Ă B

3 O gráfico da função f é o conjunto:

Graf pf q “ tpa; f paqq; a P Dompf qu Ă Aˆ B

Exemplo1 Quais das seguintes relações é função? Qual é seu gráfico?

1 f1 “ tp1; 4qp2; 5qp3; 6qp2; 7qu2 f2 “ tp1; 5qp2; 6qp3; 7qu

2 Achar o domínio e a imagem da função y “ f pxq “ 1x ‹

3 Achar a imagem da função y “ f pxq “ x2 ´ 4x ` 7 ‹ com x P r2; 3s

Funções Especiais

função ConstanteSeja c P R fixo a função definida por

f pxq “ c

É chamada função constante; Dompf q “ R, Impf q “ tcu com gráfico ‹

função IdentidadeA função definida por

I pxq “ x

É chamada função identidade; DompI q “ R, ImpI q “ R com gráfico ‹

Funções Especiais

função ConstanteSeja c P R fixo a função definida por

f pxq “ c

É chamada função constante; Dompf q “ R, Impf q “ tcu com gráfico ‹

função IdentidadeA função definida por

I pxq “ x

É chamada função identidade; DompI q “ R, ImpI q “ R com gráfico ‹

Funções Especiais

função LinearSe a ‰ 0, função

f pxq “ ax ` b

É chamada função linear ; Dompf q “ R, Impf q “ R com gráfico ‹

função QuadraticaA função

f pxq “ ax2 ` bx ` c

Com a ‰ 0 é chamada função quadrática ; Dompf q “ R, ImpI q “? comgráfico ‹

1a Aula

Funções Especiais

função LinearSe a ‰ 0, função

f pxq “ ax ` b

É chamada função linear ; Dompf q “ R, Impf q “ R com gráfico ‹

função QuadraticaA função

f pxq “ ax2 ` bx ` c

Com a ‰ 0 é chamada função quadrática ; Dompf q “ R, ImpI q “? comgráfico ‹

1a Aula

Funções Especiais

função Valor AbsolutoA função

f pxq “ |x | “

"

x se x ě 0´x se x ă 0

É chamada função valor absoluto; Dompf q “ R, Impf q “ r0;`8q comgráfico ‹

função Raiz n-ésimaA função

f pxq “ n?x

É chamada função raiz n-ésima; DompI q “ R, ImpI q “ R se n é impar eDompI q “ r0;`8q, ImpI q “ r0;`8q se n é par, com gráfico ‹

Funções Especiais

função Valor AbsolutoA função

f pxq “ |x | “

"

x se x ě 0´x se x ă 0

É chamada função valor absoluto; Dompf q “ R, Impf q “ r0;`8q comgráfico ‹

função Raiz n-ésimaA função

f pxq “ n?x

É chamada função raiz n-ésima; DompI q “ R, ImpI q “ R se n é impar eDompI q “ r0;`8q, ImpI q “ r0;`8q se n é par, com gráfico ‹

Funções Especiais

função PolinomialSe an ‰ 0, função

f pxq “ anxn ` an´1x

n´1 ` ¨ ¨ ¨ a0

É chamada função polinomial de grau n ; Dompf q “ R, Impf q “? ‹

função RacionalA função

f pxq “anx

n ` an´1xn´1 ` ¨ ¨ ¨ a0

bmxm ` bm´1xm´1 ` ¨ ¨ ¨ b0

Com an ‰ 0 é chamada função racional; Dompf q “?, ImpI q “ ? ‹

Funções Especiais

função PolinomialSe an ‰ 0, função

f pxq “ anxn ` an´1x

n´1 ` ¨ ¨ ¨ a0

É chamada função polinomial de grau n ; Dompf q “ R, Impf q “? ‹

função RacionalA função

f pxq “anx

n ` an´1xn´1 ` ¨ ¨ ¨ a0

bmxm ` bm´1xm´1 ` ¨ ¨ ¨ b0

Com an ‰ 0 é chamada função racional; Dompf q “?, ImpI q “ ? ‹

Funções Especiais

função SinalSe an ‰ 0, função

f pxq “

$

’

’

&

’

’

%

´1 se x ă 00 se x “ 0

1 se x ą 0

É chamada função sinal; Dompf q “ R, Impf q “ t´1; 0; 1u com gráfico ‹

Função Máximo InteiroA Função f pxq “ vxw “ n se, e somente se, n ď x ă n ` 1 é chamadafunção Máximo Inteiro; Dompf q “ , ImpI q “ Z com gráfico ‹

Funções Especiais

função SinalSe an ‰ 0, função

f pxq “

$

’

’

&

’

’

%

´1 se x ă 00 se x “ 0

1 se x ą 0

É chamada função sinal; Dompf q “ R, Impf q “ t´1; 0; 1u com gráfico ‹

Função Máximo InteiroA Função f pxq “ vxw “ n se, e somente se, n ď x ă n ` 1 é chamadafunção Máximo Inteiro; Dompf q “ , ImpI q “ Z com gráfico ‹

Funções Exponencial

DefiniçãoA função exponencial de base a é a função real definida por: ‹

f pxq “ ax

Com a um número real fixo a ą 0 e a ‰ 1 Com Dompf q “ R eImpf q “ p0;`8q

paxqy “ axy

ax ¨ ay “ ax`y

pa ¨ bqx “ ax ¨ ay

paxqy “ axy

ax ¨ ay “ ax`y

pa ¨ bqx “ ax ¨ ay

Função Par e Função Impar

Seja f : RÑ R, f pxq é chamado de:Função Par: ‹ Se temos as seguintes condições:

1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ f pxq

Função Impar: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ ´f pxq

Exemplo‹ f pxq “ x4

‹ f pxq “ x1`x2

Função Par e Função Impar

Seja f : RÑ R, f pxq é chamado de:Função Par: ‹ Se temos as seguintes condições:

1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ f pxq

Função Impar: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ ´f pxq

Exemplo‹ f pxq “ x4

‹ f pxq “ x1`x2

Função Par e Função Impar

Seja f : RÑ R, f pxq é chamado de:Função Par: ‹ Se temos as seguintes condições:

1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ f pxq

Função Impar: ‹ Se temos as seguintes condições:1 x P Dompf q, então ´x P Dompf q2 f p´xq “ ´f pxq

Exemplo‹ f pxq “ x4

‹ f pxq “ x1`x2

Função Periódica

Uma função f : RÑ R é periódica de período T P Rzt0u ‹ se para todox P Dompf q:

1 px ` tq P Dompf q

2 f px ` tq “ f pxq

ExemplosVerificar se a função é períodica, em caso afirmativos achar o período. ‹

f pxq “ x ´ vxw

Função Periódica

Uma função f : RÑ R é periódica de período T P Rzt0u ‹ se para todox P Dompf q:

1 px ` tq P Dompf q

2 f px ` tq “ f pxq

ExemplosVerificar se a função é períodica, em caso afirmativos achar o período. ‹

f pxq “ x ´ vxw

Função Crescente e Função decrescente

Seja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ă f px2q.Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ą f px2q.

Exemplo:Achar os intervalos de crescimento e decrescimento da função:

f pxq “ |x2 ´ 4|

2a Aula

Função Injetiva, Sobrejetora e Bijetiva

Seja f : AÑ B uma função, diremos que ela é:Injetiva: Se f px1q “ f px2q ñ x1 “ x2.

Sobrejetora: Se para todo y P B existe x P A tal que f pxq “ y .Bijetiva: Se for injetiva e sobrejetora.

Exemplos:f pxq “ 2´ 3x é bijetiva?gpxq “ x

1`x2 é injetiva?

Função Injetiva, Sobrejetora e Bijetiva

Seja f : AÑ B uma função, diremos que ela é:Injetiva: Se f px1q “ f px2q ñ x1 “ x2.

Sobrejetora: Se para todo y P B existe x P A tal que f pxq “ y .Bijetiva: Se for injetiva e sobrejetora.

Exemplos:f pxq “ 2´ 3x é bijetiva?gpxq “ x

1`x2 é injetiva?

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:

Soma: Dompf ` gq “ Dompf q X Dompgqpf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq para cada x P Dompf ` gq

Diferença: Dompf ´ gq “ Dompf q X Dompgqpf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq para cada x P Dompf ´ gq

Produto: Dompfgq “ Dompf q X Dompgqpfgqpxq “ f pxqgpxq para cada x P Dompfgq

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:

Soma: Dompf ` gq “ Dompf q X Dompgqpf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq para cada x P Dompf ` gq

Diferença: Dompf ´ gq “ Dompf q X Dompgqpf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq para cada x P Dompf ´ gq

Produto: Dompfgq “ Dompf q X Dompgqpfgqpxq “ f pxqgpxq para cada x P Dompfgq

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:

Soma: Dompf ` gq “ Dompf q X Dompgqpf ` gqpxq “ f pxq ` gpxq para cada x P Dompf ` gq

Diferença: Dompf ´ gq “ Dompf q X Dompgqpf ´ gqpxq “ f pxq ´ gpxq para cada x P Dompf ´ gq

Produto: Dompfgq “ Dompf q X Dompgqpfgqpxq “ f pxqgpxq para cada x P Dompfgq

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0u

pf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq

Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q

Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf qpcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q

Exemplo:

Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “

?x2 ´ 1 achar as funçães

pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0u

pf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq

Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q

Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf qpcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q

Exemplo:

Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “

?x2 ´ 1 achar as funçães

pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0u

pf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq

Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q

Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf qpcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q

Exemplo:

Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “

?x2 ´ 1 achar as funçães

pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.

operações com Funções

Sejam f , g : RÑ R funções e c P R com domínios Dompf q e Dompgqrespetivamente. Definamos a função:Quociente: Dompf {gq “ Dompf q X tx P Dompgq; gpxq ‰ 0u

pf {gqpxq “ f pxq{gpxq para cada x P Dompf {gq

Valor Absoluto: Domp|f |q “ Dompf q|f |pxq “ |f pxq| para cada x P Domp|f |q

Produto por uma Constante: Dompcf q “ Dompf qpcf qpxq “ cf pxq para cada x P Dompcf q

Exemplo:

Considere as funções f pxq “?16´ x2 e gpxq “

?x2 ´ 1 achar as funçães

pf ` gqpxq, pf ´ gqpxq, pf {gqpxq e p3f qpxq.

Composição de funções

Sejam f : AÑ B e g : B Ñ C funções reais tais queImpf q X Dompgq ‰ H. A composição de g com f (nessa ordem),denotado por g ˝ f é a função pg ˝ f q : AÑ C tal queDompg ˝ f q “ tx P DompAq; f pxq P Dompgqu e pg ˝ f qpxq “ gpf pxqq

Exemplo:Considere as funções f pxq “ x`5

2 e gpxq “?x . Achar pf ˝ gqpxq e

pg ˝ f qpxq.

Composição de funções

Sejam f : AÑ B e g : B Ñ C funções reais tais queImpf q X Dompgq ‰ H. A composição de g com f (nessa ordem),denotado por g ˝ f é a função pg ˝ f q : AÑ C tal queDompg ˝ f q “ tx P DompAq; f pxq P Dompgqu e pg ˝ f qpxq “ gpf pxqq

Exemplo:Considere as funções f pxq “ x`5

2 e gpxq “?x . Achar pf ˝ gqpxq e

pg ˝ f qpxq.

Propriedades da Composição

Se f , g , h são funções reais de variável real, então:

1 pf ˝ gq ˝ h “ f ˝ pg ˝ hq f ˝ Id “ Id ˝ f “ f

2 pf ` gq ˝ h “ f ˝ g ` f ˝ h pf ´ gq ˝ h “ f ˝ g ´ f ˝ h

3 pf ¨ gq ˝ h “ pf ˝ hq ¨ pg ˝ hq fg ˝ h “

f ˝hg˝h

Função Inversa

Seja f : AÑ B uma função, entãof não é injetivaf é injetiva, neste caso podemos definir g : Impf q Ñ A tal quef ˝ g “ Id e g ˝ f “ Id , esta função é chamada função inversa e édenotada por f ´1 : Impf q Ñ A. Graficamente.

Propriedades1 Dompf ´1q “ Impf q e Impf ´1q “ Dompf q

2 Os gráficos de f e f ´1 são simétricos em relação ã reta y “ x

3 f tem inversa se, e somente se, é injetiva.4 Se f e g são inversíveis então pf ˝ gq´1 “ g´1 ˝ f ´1.

Exemplo‹ Se f pxq “ 3x´1

2 , achar f ´1.

Função Inversa

Seja f : AÑ B uma função, entãof não é injetivaf é injetiva, neste caso podemos definir g : Impf q Ñ A tal quef ˝ g “ Id e g ˝ f “ Id , esta função é chamada função inversa e édenotada por f ´1 : Impf q Ñ A. Graficamente.

Propriedades1 Dompf ´1q “ Impf q e Impf ´1q “ Dompf q

2 Os gráficos de f e f ´1 são simétricos em relação ã reta y “ x

3 f tem inversa se, e somente se, é injetiva.4 Se f e g são inversíveis então pf ˝ gq´1 “ g´1 ˝ f ´1.

Exemplo‹ Se f pxq “ 3x´1

2 , achar f ´1.

Função Inversa

Seja f : AÑ B uma função, entãof não é injetivaf é injetiva, neste caso podemos definir g : Impf q Ñ A tal quef ˝ g “ Id e g ˝ f “ Id , esta função é chamada função inversa e édenotada por f ´1 : Impf q Ñ A. Graficamente.

Propriedades1 Dompf ´1q “ Impf q e Impf ´1q “ Dompf q

2 Os gráficos de f e f ´1 são simétricos em relação ã reta y “ x

3 f tem inversa se, e somente se, é injetiva.4 Se f e g são inversíveis então pf ˝ gq´1 “ g´1 ˝ f ´1.

Exemplo‹ Se f pxq “ 3x´1

2 , achar f ´1.

Função Logaritmo de base a

Dado um número real a ą 0 e a ‰ 1, a função logaritmo de base a é afunção inversa da função exponencial de base a f pxq “ ax e esta defininapor:

y “ f ´1pxq “ logapxq ô x “ ay

Com Dompf ´1q “ p0;`8q, Impf ´1q “ R e gráfico.Se A,B P R`. Para a ą 0, a ‰ 1, temos:

logap1q “ 0logapa

xq “ x , @x P Ralogapxq “ x , @x ą 0logapA

r q “ rlogapAq, @r P R

logapABq “ logapAq ` logapBq

logapAB q “ logapAq ´ logapBq

logapxq “logc pxlogc paq

, x ą 0, c ą 0 ec ‰ 1

3a Aula

Exercicios Resolvidos

Exemplo1 Considere a relação definida por:

T “ tpx ; yq P R; |x | ě |y3| e |y | ě x2u

Esboçar o gráfico desta relação.2 Determine os domínios, as imagens e esboçe o gráfico da funções

definidas por:

f pxq “a

9´ x2 e gpxq “b

3x ´ |x2 ´ 4|

3 Dadas as funções

f pxq “

"

vx ´ 1w se 4 ď x ă 7a

|x | se x ă 4e gpxq “ Sgnp|x2 ´ 3| ´ 1q

Esboçe os gráficos das mesmas.

Exercicios Resolvidos

Exemplo

1 Dada a função f pxq “b

x´2x`2 , Determinar Dompf q, provar que esta

função é injetiva e determinar Impf q.2 prove que a função definida por f pxq “ ´

?x2 ` 6x ´ 7 com

x P p´8;´7sq possui inversa e achar f ´1pxq

3 Se f e g funções definidas por f pxq “ x2 ´ 2x ` 5 com x P p´2; 6s egpxq “

?x2`2x com x P r5; 20q. Achar a regra de formação de g ˝ f e

o domíno da mesma.

Exercicios Resolvidos

ExemploDeterminar a regra de formação, o dominio e a imagem da função cujográfico é:

45

45 2

1

5

parábola

15

Limites

1 Calcular a reta tangente a uma circunferencia.

2 Calcular a reta tangente a y “ x2 em p1; 1q: Deverá existir uma únicasolução de

"

y “ x2

y ´ 1 “ mpx ´ 1q

3 O método acima falha para y “ x3 em p1; 1q, Fermat resolve assim: Ainclinção no ponto é x3´1

x´1

4 O método real de Fermat para y “ x2?

Limites

1 Calcular a reta tangente a uma circunferencia.2 Calcular a reta tangente a y “ x2 em p1; 1q: Deverá existir uma única

solução de"

y “ x2

y ´ 1 “ mpx ´ 1q

3 O método acima falha para y “ x3 em p1; 1q, Fermat resolve assim: Ainclinção no ponto é x3´1

x´1

4 O método real de Fermat para y “ x2?

Limites

1 Calcular a reta tangente a uma circunferencia.2 Calcular a reta tangente a y “ x2 em p1; 1q: Deverá existir uma única

solução de"

y “ x2

y ´ 1 “ mpx ´ 1q

3 O método acima falha para y “ x3 em p1; 1q, Fermat resolve assim: Ainclinção no ponto é x3´1

x´1

4 O método real de Fermat para y “ x2?

Limites

1 Calcular a reta tangente a uma circunferencia.2 Calcular a reta tangente a y “ x2 em p1; 1q: Deverá existir uma única

solução de"

y “ x2

y ´ 1 “ mpx ´ 1q

3 O método acima falha para y “ x3 em p1; 1q, Fermat resolve assim: Ainclinção no ponto é x3´1

x´1

4 O método real de Fermat para y “ x2?

P

Q

A

B

a

e

c

C

1 4CBQ „ 4CAP , então a`ea “ BQ

AP

2 c “ pAPq2 e e ` c “ pBQq2

3pa`eq2

a2 “ e`cc , resolvendo, dividendo por e e fazendo e “ 0 temos

a “ 2c “ 2pAPq2 de onde

a

AP“ 2AP A pendente é duas vezes a abcisa

DefiniçãoSeja a P R uma vizinhança ou uma bola aberta de centro a e raior ą 0, denotada por Bpa; rq, é o conjunto:

Bpa; rq “ tx P R; a´ r ă x ă a` ru “ pa´ r ; a` rq

ExemplosConsidere os exemplos:

f pxq “ x ` 3 com Dompf q “ Rzt2u

gpxq “

"

x ` 3 se x ‰ 27 se x “ 2

DefiniçãoSeja a P R uma vizinhança ou uma bola aberta de centro a e raior ą 0, denotada por Bpa; rq, é o conjunto:

Bpa; rq “ tx P R; a´ r ă x ă a` ru “ pa´ r ; a` rq

ExemplosConsidere os exemplos:

f pxq “ x ` 3 com Dompf q “ Rzt2u

gpxq “

"

x ` 3 se x ‰ 27 se x “ 2

DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função e a um ponto que não necessariamentepertence a Dompf q, mais tal que toda vizinhança de a contem pontos deDompf q. Diremos que o limite de f pxq é L; quando x tende aonúmero a, e escreveremos lim

xÑaf pxq “ L, quando:

@ε ą 0, Dδ ą 0{@x P Dompf q, 0 ă |x ´ a| ă δ ñ |f pxq ´ L| ă ε

ProblemaQuão perto do número a deve ficar x de modo que f pxq fique a umadistança prefixada de L

Se limxÑ1

p2x ` 1q “ 3. Quão perto deve ficar x de 1 tal que

|f pxq ´ 3| ă 0.01

DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função e a um ponto que não necessariamentepertence a Dompf q, mais tal que toda vizinhança de a contem pontos deDompf q. Diremos que o limite de f pxq é L; quando x tende aonúmero a, e escreveremos lim

xÑaf pxq “ L, quando:

@ε ą 0, Dδ ą 0{@x P Dompf q, 0 ă |x ´ a| ă δ ñ |f pxq ´ L| ă ε

ProblemaQuão perto do número a deve ficar x de modo que f pxq fique a umadistança prefixada de L

Se limxÑ1

p2x ` 1q “ 3. Quão perto deve ficar x de 1 tal que

|f pxq ´ 3| ă 0.01

ExemploEsboçe o gráfico e determine (caso exista):

1 limxÑ0

1x

2 limxÑ2

px ´ 2q2

x ´ 23 lim

xÑ0

x

x2

ExemploDetermine os limites

1 limyÑ3

1y ´

13

y ´ 3

2 limhÑ0

px ` hq3 ´ x3

h3 lim

xÑ´1f pxq se

f pxq “

#

x6´1x`1 ; x ‰ ´14; x “ ´1

4 Esboçe o gráfico da seguinte função e determine o limite limxÑ3

|x2 ´ 9|x ` 3

Comprovar o Limite Por Definição

1 Inicialmente devemos descompor |f pxq ´ L| em dois fatores, um dosquais deve ser |x ´ a|:

|f pxq ´ L| “ |x ´ a||gpxq| (1)

2 A seguir, escolher um valor inicial δ “ δ1, para acotar |gpxq| tal que:

Se 0 ă |x ´ a| ă δ1 ñ |gpxq| ă MpM ą 0q (2)

3 Finalmente, de p1q e p2q e tomando δ “ mintδ1;εM u, temos:

0 ă |x ´ a| ă δ ñ |f pxq ´ L| “ |x ´ a||gpxq| ăε

M¨M “ ε

ExemplosSe f pxq “ 3x2 ` 2x ` 1, prove que lim

xÑ1f pxq “ 6

Se f pxq “ k k constante, prove que limxÑa

f pxq “ k para qualquer

a P R. Se f pxq “ 1x , prove que lim

xÑ0f pxq não existe.

Se f pxq “ 12`?x, comprove que lim

xÑ4f pxq “

14

Se f pxq “ 5´3x5x`7 , comprove que lim

xÑ´1f pxq “ 4

Proposição(Propriedades dos Limites)

1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.

2 (Unicidade do Limite) Se limxÑa

f pxq “ L1 e limxÑa

f pxq “ L2, entãoL1 “ L2

3 (Conservação do Sinal) Se limxÑa

f pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma

vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim

xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M

para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:

§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim

xÑaf pxq “ L e lim

xÑagpxq “ M

Então L ď M.

Proposição(Propriedades dos Limites)

1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim

xÑaf pxq “ L1 e lim

xÑaf pxq “ L2, então

L1 “ L2

3 (Conservação do Sinal) Se limxÑa

f pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma

vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim

xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M

para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:

§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim

xÑaf pxq “ L e lim

xÑagpxq “ M

Então L ď M.

Proposição(Propriedades dos Limites)

1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim

xÑaf pxq “ L1 e lim

xÑaf pxq “ L2, então

L1 “ L2

3 (Conservação do Sinal) Se limxÑa

f pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma

vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.

4 Se limxÑa

f pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M

para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:

§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim

xÑaf pxq “ L e lim

xÑagpxq “ M

Então L ď M.

Proposição(Propriedades dos Limites)

1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim

xÑaf pxq “ L1 e lim

xÑaf pxq “ L2, então

L1 “ L2

3 (Conservação do Sinal) Se limxÑa

f pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma

vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim

xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M

para todo x P Bpa; rq.

5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim

xÑaf pxq “ L e lim

xÑagpxq “ M

Então L ď M.

Proposição(Propriedades dos Limites)

1 Se |x | ă ε para todo ε ą 0, então x “ 0.2 (Unicidade do Limite) Se lim

xÑaf pxq “ L1 e lim

xÑaf pxq “ L2, então

L1 “ L2

3 (Conservação do Sinal) Se limxÑa

f pxq “ L e L ‰ 0 então existe uma

vizinhança de a, Bpa, rq, tal que f pxq ¨ L ą 0 para todo x P Bpa; rq.4 Se lim

xÑaf pxq “ L então existe Bpa; rq e M ą 0 tal que |f pxq| ă M

para todo x P Bpa; rq.5 Se f pxq e gpxq são funçães tais que:

§ f pxq ď gpxq para todo x P Bpa; rq, com x ‰ a§ Se lim

xÑaf pxq “ L e lim

xÑagpxq “ M

Então L ď M.

Proposição(Propriedades dos Limites)

(Teorema do Confronto) Seja f , g , h funçães tais que:§ f pxq ď gpxq ď hpxq para todo x P Bpa; rq com x ‰ a.§ lim

xÑaf pxq “ lim

xÑahpxq “ L

Então limxÑa

gpxq “ L.

Sejam f e g funçães tais que:§ lim

xÑaf pxq “ 0

§ Existe M ą 0 tal que |gpxq| ă M para todo x P Bpa; rq com x ‰ a.Então lim

xÑaf pxqgpxq “ 0

1o Limite Fundamental

Teorema‹

limxÑ0

senpxq

x“ 1

P

T

AO R

x

x

1 Ap4OPAq ă ApSec OAPq ă Ap4OAT q, então (Senx ą 0)Cosx ă Senx

x ă 1.

2 Como dpA;Pq ă xAP , então 1´ x2

2 ă Cosx

3 Se x ă 0, ´x ą 0 e tambem temos

1´x2

2ă Cosx ă

Senx

xă 1

4 Assim limxÑ0

senpxq

x“ 1 e lim

xÑ0Cosx “ 1.

Propriedades Operacionais do Limite

Se f e g são funçães tais que limxÑa

f pxq “ L e limxÑa

gpxq “ M, e c P R,então:

limxÑa

c “ c

limxÑa

rcf pxqs “ c limxÑa

f pxq “ cL

limxÑa

rf pxq ˘ gpxqs “ limxÑa

f pxq ˘ limxÑa

gpxq “ L˘M

limxÑa

rf pxq ¨ gpxqs “ limxÑa

f pxq ¨ limxÑa

gpxq “ L ¨M

limxÑa

f pxq

gpxq“

limxÑa

f pxq

limxÑa

gpxq“

L

MSe M ‰ 0

limxÑa

rf pxqsk “ r limxÑa

f pxqsk “ Lk , (L ă 0 ou L ě 0)

Exemplos:Calcular os seguintes limites:

1 limxÑ´1

3

c

3x2 ´ 2x ` 3x5 ` 2

2 limxÑ1

6x ´ 6x2 ´ 3x ` 2

3 limxÑ3

?x ` 6´ 3

?4´ x ´ 1

4 limxÑ1

5?x2 ´ 3

?x

1´ 4?x

Exemplo1 lim

xÑ0Senx “ 0

2 limxÑ0

Tgx “ 0

3 limxÑ0

Tgx

x“ 1, (Tgx “ Senx

Cosx )

4 limxÑ0

1´ Cosx

x“ 0 (p1´ Cosxqp1` Cosxq “ 1´ Cos2x)

Limites Laterais

DefiniçãoConsidere f : RÑ R e c P R tal que qualquer vizinhança de c intersetaDompf q. Dizemos que o lmiite de f pxq quando x tende a c pela direita(esquerda) é igual a L, denotado por lim

xÑc`f pxq “ L ( lim

xÑc´f pxq “ L) se

para todo ε ą 0 existe δ ą 0 tal que se 0 ă x ´ c ă δ então |f pxq ´ L| ă ε(0 ă c ´ x ă δ então |f pxq ´ L| ă ε)

TeoremalimxÑc

f pxq “ L existe se, e somente se, limxÑc`

f pxq e limxÑc´

f pxq existem e

limxÑc`

f pxq “ limxÑc´

f pxq “ L

Limites No Infinito

DefiniçãoSeja f : pa;`8q Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quandox tende a `8 e escreveremos lim

xÑ`8f pxq “ L se:

@ε ą 0, DN ą 0{x ą N ñ |f pxq ´ L| ă ε

DefiniçãoSeja g : p´8; aq Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quandox tende a ´8 e escreveremos lim

xÑ´8gpxq “ L se:

@ε ą 0, DM ą 0{x ă ´M ñ |gpxq ´ L| ă ε

Limites No Infinito

DefiniçãoSeja f : pa;`8q Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quandox tende a `8 e escreveremos lim

xÑ`8f pxq “ L se:

@ε ą 0, DN ą 0{x ą N ñ |f pxq ´ L| ă ε

DefiniçãoSeja g : p´8; aq Ñ R e L P R, diremos que L é o limite de f pxq quandox tende a ´8 e escreveremos lim

xÑ´8gpxq “ L se:

@ε ą 0, DM ą 0{x ă ´M ñ |gpxq ´ L| ă ε

ExemplosSe n P N, provar que:

1 ‹ limxÑ`8

1xn“ 0

2 ‹ limxÑ´8

1xn“ 0

ProposiçãoSejam f : pa;`8q Ñ R e g : pb;`8q Ñ R, se lim

xÑ`8f pxq “ L e

limxÑ`8

gpxq “ M, então:

1 limxÑ`8

rcf pxqs “ c limxÑ`8

f pxq “ cL, com c P R.

2 limxÑ`8

pf ˘ gqpxq “ limxÑ`8

f pxq ˘ limxÑ`8

gpxq “ L˘M

3 limxÑ`8

pf ¨ gqpxq “ limxÑ`8

f pxq ¨ limxÑ`8

gpxq “ L ¨M

4 limxÑ`8

pf

gqpxq “

limxÑ`8

f pxq

limxÑ`8

gpxq“

L

M, se M ‰ 0.

Observação1 Quando x Ñ ´8 obtemos resultados semelhantes à proposição

anterior.

2 Quando se calcula o limite no infinito de uma função racional,dividimos o numerador e denominador pela potência maior dodenominador e usamos os resultados anteriores.

ExemplosCalcular os seguites limites:

1 limxÑ`8

3x2 ´ 6x ` 2x2 ` 2x ´ 3

2 limxÑ´8

9´ 7x ` 12x4

4` 5x6

3 limxÑ`8

9x ` 47´ 5x

Observação1 Quando x Ñ ´8 obtemos resultados semelhantes à proposição

anterior.2 Quando se calcula o limite no infinito de uma função racional,

dividimos o numerador e denominador pela potência maior dodenominador e usamos os resultados anteriores.

ExemplosCalcular os seguites limites:

1 limxÑ`8

3x2 ´ 6x ` 2x2 ` 2x ´ 3

2 limxÑ´8

9´ 7x ` 12x4

4` 5x6

3 limxÑ`8

9x ` 47´ 5x

Observação1 Quando x Ñ ´8 obtemos resultados semelhantes à proposição

anterior.2 Quando se calcula o limite no infinito de uma função racional,

dividimos o numerador e denominador pela potência maior dodenominador e usamos os resultados anteriores.

ExemplosCalcular os seguites limites:

1 limxÑ`8

3x2 ´ 6x ` 2x2 ` 2x ´ 3

2 limxÑ´8

9´ 7x ` 12x4

4` 5x6

3 limxÑ`8

9x ` 47´ 5x

Limites Infinitos

DefiniçãoSeja f uma função definida no intervalo I que contem o ponto a (a podeou não estar no dominio de f ).

1 Diremos que o limite da função f pxq é `8 quando x tende paraa, e denotaremos por lim

xÑaf pxq “ `8 se:

@K Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ą K

2 Diremos que o limite da função f pxq é ´8 quando x tende paraa, e denotaremos por lim

xÑaf pxq “ ´8 se:

@M Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ă ´M

Limites Infinitos

DefiniçãoSeja f uma função definida no intervalo I que contem o ponto a (a podeou não estar no dominio de f ).

1 Diremos que o limite da função f pxq é `8 quando x tende paraa, e denotaremos por lim

xÑaf pxq “ `8 se:

@K Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ą K

2 Diremos que o limite da função f pxq é ´8 quando x tende paraa, e denotaremos por lim

xÑaf pxq “ ´8 se:

@M Ï 0, Dδ ą 0{0 ă |x ´ a| ă δ ñ f pxq ă ´M

ExemplosSe n P Z e é par, então:

1 limxÑ0

1xn“ `8

2 Calcule limxÑ1´

f pxq, limxÑ1`

f pxq e limxÑ1

f pxq se f pxq “ 3x3`12´x´x2

Assintotas

DefiniçãoConsideremos uma curva C qualquer sobre o plano R2 e A um ponto quemove-se sobre esta curva. Diremos que:

1 o ponto A tende ao infinito se a distancia entre A e a origem decoordenadas tende ao infinito.

2 A reta L Ă R2 é assintota da curva C se a distancia entre a reta L eo ponto A, que move-se ao longo da curva, tende a cero quando Atende ao infinito, isto é, lim

AÑ8dpA; Lq “ 0.

Assintotas

DefiniçãoConsideremos uma curva C qualquer sobre o plano R2 e A um ponto quemove-se sobre esta curva. Diremos que:

1 o ponto A tende ao infinito se a distancia entre A e a origem decoordenadas tende ao infinito.

2 A reta L Ă R2 é assintota da curva C se a distancia entre a reta L eo ponto A, que move-se ao longo da curva, tende a cero quando Atende ao infinito, isto é, lim

AÑ8dpA; Lq “ 0.

Proposição1 A reta x “ a é uma assintota vertical (reta vertical) do grafico de

y “ f pxq se temos uma das seguintes condições:1 lim

xÑaf pxq “ ˘8

2 limxÑa`

f pxq “ ˘8

3 limxÑa´

f pxq “ ˘8

2 A reta y “ b é uma assintota horizontal (reta horizontal) do graficode y “ f pxq se temos uma das seguintes condições:

1 limxÑ`8

f pxq “ b

2 limxÑ´8

f pxq “ b

6a Aula

Exercicios Resolvidos

Exemplo

1 Considere a função hpxq “

$

&

%

4´ x2 se x ď 22 se 2 ă x ď 5

|x ` 5| se x ą 5Esboçar o

gráfico de hpxq, calcular limxÑ2

hpxq e limxÑ5

hpxq

2 Calcular limxÑ0

˜

x

c

14x2 ´ 16

¸

, se existir.

3 Calcular limxÑ3´

3x ` 1x2 ´ x ´ 6

Exercicios Resolvidos

Exemplo

1 Calcular limxÑ3´

3?15´ x2

x ´ 42 Esboçe o gráfico da função

f pxq “

$

’

’

&

’

’

%

b

x`3x se x ą 0

x3´xpx`1qpx`4q se ´3 ă x ď 0´?1` x2 se x ď ´3

indicando suas assintotas.

ContinuidadeDefiniçãoSeja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto ase:

C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.C2 : lim

xÑaf pxq existe, e

C3 : limxÑa

f pxq “ f paq

Observação:Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .Se a é um ponto de discontinuidade de f e lim

xÑaf pxq existe, então a é

chamada de discontinuidade removível.Se a é um ponto de discontinuidade de f e lim

xÑaf pxq não existe ou não

é finito, então a é chamada de discontinuidade essencial.Son exemplos de funções contínuas : n

?x , Senpxq, Cospxq, Tgpxq,

Lnpxq, ex , ArcSenpxq, ArcCospxq, etc.

ContinuidadeDefiniçãoSeja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto ase:

C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.C2 : lim

xÑaf pxq existe, e

C3 : limxÑa

f pxq “ f paq

Observação:Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .

Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa

f pxq existe, então a échamada de discontinuidade removível.Se a é um ponto de discontinuidade de f e lim

xÑaf pxq não existe ou não

é finito, então a é chamada de discontinuidade essencial.Son exemplos de funções contínuas : n

?x , Senpxq, Cospxq, Tgpxq,

Lnpxq, ex , ArcSenpxq, ArcCospxq, etc.

ContinuidadeDefiniçãoSeja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto ase:

C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.C2 : lim

xÑaf pxq existe, e

C3 : limxÑa

f pxq “ f paq

Observação:Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .Se a é um ponto de discontinuidade de f e lim

xÑaf pxq existe, então a é

chamada de discontinuidade removível.

Se a é um ponto de discontinuidade de f e limxÑa

f pxq não existe ou nãoé finito, então a é chamada de discontinuidade essencial.Son exemplos de funções contínuas : n

?x , Senpxq, Cospxq, Tgpxq,

Lnpxq, ex , ArcSenpxq, ArcCospxq, etc.

ContinuidadeDefiniçãoSeja f : RÑ R e a P R, diremos que a função f é continua no ponto ase:

C1 : a P Dompf q ou, dito de outra forma f paq existe.C2 : lim

xÑaf pxq existe, e

C3 : limxÑa

f pxq “ f paq

Observação:Se f não é continua em a diremos que a é um ponto dediscontinuidade de f .Se a é um ponto de discontinuidade de f e lim

xÑaf pxq existe, então a é

chamada de discontinuidade removível.Se a é um ponto de discontinuidade de f e lim

xÑaf pxq não existe ou não

é finito, então a é chamada de discontinuidade essencial.Son exemplos de funções contínuas : n

?x , Senpxq, Cospxq, Tgpxq,

Lnpxq, ex , ArcSenpxq, ArcCospxq, etc.

Exemplos:1 Dada la função

f pxq “

$

&

%

Sgnpx2 ´ 4q ´ 3 se x ď ´3xv x3 w ` 5Sgnpx ´ 2q se ´3 ă x ă 0

x´3x2´x´6 se x ě 0

§ Determinar os pontos de discontinuidade§ Determine o tipo de discontinuidade e, se for possível, redefina afunção de forma que a evitar a discontinuidade.

2 Dada la função

hpxq “

$

’

&

’

%

?x`3´

?3x`1?

x´1 se x ą 1ax ` b se ´2 ď x ď 1x2`2xx2`x´2 se x ă ´2

Determinar os números a e b de forma que h seja continua em 1 e ´2.

Exemplos:1 Dada la função

f pxq “

$

&

%

Sgnpx2 ´ 4q ´ 3 se x ď ´3xv x3 w ` 5Sgnpx ´ 2q se ´3 ă x ă 0

x´3x2´x´6 se x ě 0

§ Determinar os pontos de discontinuidade§ Determine o tipo de discontinuidade e, se for possível, redefina afunção de forma que a evitar a discontinuidade.

2 Dada la função

hpxq “

$

’

&

’

%

?x`3´

?3x`1?

x´1 se x ą 1ax ` b se ´2 ď x ď 1x2`2xx2`x´2 se x ă ´2

Determinar os números a e b de forma que h seja continua em 1 e ´2.

Propriedades

Sejam f , g : RÑ R funções continuas em a e c P R, então:1 cf é continua em a.2 f ˘ g é continua em a.3 f ¨ g é continua em a.4 f

g é continua em a, sempre que gpaq ‰ 0.5 |f | é continua em a.

Exemplos1 Toda função polinomial é contínua.2 Toda função racional é continua no seu dominio.

Propriedades

Sejam f , g : RÑ R funções continuas em a e c P R, então:1 cf é continua em a.2 f ˘ g é continua em a.3 f ¨ g é continua em a.4 f

g é continua em a, sempre que gpaq ‰ 0.5 |f | é continua em a.

Exemplos1 Toda função polinomial é contínua.2 Toda função racional é continua no seu dominio.

propriedades

1 Se f : AÑ R é continua no ponto a e g : B Ñ R é continua no pontob “ f paq P B , então g ˝ f é continua em a.

2 Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções, com Impf q Ă B tais que:

§ limxÑa

f pxq “ b

§ g é contínua em b

EntãolimxÑa

gpf pxqq “ gp limxÑa

f pxqq “ gpbq

Exemplo

1 Achar o limite limxÑ2

a

3x2 ` 4

2 Provar que, para todo n P N, limxÑ˘8

1xn“ 0

propriedades

1 Se f : AÑ R é continua no ponto a e g : B Ñ R é continua no pontob “ f paq P B , então g ˝ f é continua em a.

2 Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções, com Impf q Ă B tais que:

§ limxÑa

f pxq “ b

§ g é contínua em b

EntãolimxÑa

gpf pxqq “ gp limxÑa

f pxqq “ gpbq

Exemplo

1 Achar o limite limxÑ2

a

3x2 ` 4

2 Provar que, para todo n P N, limxÑ˘8

1xn“ 0

Funções contínuas em Intervalos fechados

1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0. (Usar o método daBisseção).

2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs

3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.

4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d

Funções contínuas em Intervalos fechados

1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0. (Usar o método daBisseção).

2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs

3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.

4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d

Funções contínuas em Intervalos fechados

1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0. (Usar o método daBisseção).

2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs

3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.

4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d

Funções contínuas em Intervalos fechados

1 Se f : RÑ R é contínua em ra; bs e f paqf pbq ă 0, então existe pelomenos um ponto c P pa; bq tal que f pcq “ 0. (Usar o método daBisseção).

2 Se f é contínua em ra; bs, então f é limitada em ra; bs

3 (Teorema de Weierstrass) Se f é contínua em ra; bs, então f possuium ponto de máximo e um ponto de mínimo.

4 (Teorema do Valor Intermediario) Seja f : ra; bs Ñ R uma funçãocontínua, m e M os valores mínimo e máximo de f em ra; bsrespetivamente. Se m ă d ă M, então existe c P pa; bq tal quef pcq “ d

Exemplo1 Prove que existe x P R tal que x11 ` 3x8 ´ Senpxq “ 100π2 Prove que existe x P p2; 3q tal que D

x´2 `E

x´3 “ ´π com D,E ą 03 Dado n P N e c P R`, prove que a equação xn “ c tem uma e só uma

solução positiva.

Derivada de uma função num ponto

DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função definida no ponto a P Dompf q, diremos que fé derivável no ponto a se existe o seguinte limite:

f1

paq “ limhÑ0

f pa` hq ´ f paq

h

Se a função f é derivável em a, f1

paq é chamada de derivada de f em a.

Observação

1 Existem outras notação para a derivada de f em a: Dx f paq,df pxqdx |x“a

e f ¨pxq.2 Uma forma equivalente ao limite anterior é:

f1

paq “ limxÑa

f pxq ´ f paq

x ´ a

ExemploAchar a derivada da função f pxq “

?x em a “ 4

DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função tal que

f1

pxq “ limhÑ0

f px ` hq ´ f pxq

h

exista, é chamada função derivada de f ou simplesmente derivada de f .Obviamente Dompf

1

q “ tx P Dompf q; f1

pxq exista u.

ExemplosProve que:

1 Se f pxq “ k , k constante; então f1

pxq “ 0 para todo x P R.2 Se f pxq “ ax ` b com a, b P R e a ‰ 0, então f

1

pxq “ a para todox P R.

3 Se f pxq “ xn com n P N, então f1

pxq “ nxn´1.4 Se f pxq “ a|x |, então f não é derivável no 0. (f phq ď h2)5 Se

f pxq “

"

x2; x P Q0; x P Q

Calcular f1

p0q

Interpretação Geométrica

7a Aula

Derivadas laterais

DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função e a P Dompf q.

1 A derivada pela esquerda de f em a é definida e denotada por

f1

pa´q “ limhÑ0´

f pa` hq ´ f paq

h“ lim

xÑa´

f pxq ´ f paq

x ´ a

se o limite existir.

2 A derivada pela direita de f em a é definida e denotada por

f1

pa`q “ limhÑ0`

f pa` hq ´ f paq

h“ lim

xÑa`

f pxq ´ f paq

x ´ a

se o limite existir.

Derivadas laterais

DefiniçãoSeja f : RÑ R uma função e a P Dompf q.

1 A derivada pela esquerda de f em a é definida e denotada por

f1

pa´q “ limhÑ0´

f pa` hq ´ f paq

h“ lim

xÑa´

f pxq ´ f paq

x ´ a

se o limite existir.2 A derivada pela direita de f em a é definida e denotada por

f1

pa`q “ limhÑ0`

f pa` hq ´ f paq

h“ lim

xÑa`

f pxq ´ f paq

x ´ a

se o limite existir.

ProposiçãoA função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,existem e são iguais f

1

pa`q e f1

pa´q.

ProposiçãoSe uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua ema.

O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:

ExemploA função definida por:

f pxq “

"

2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2

é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?

ProposiçãoA função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,existem e são iguais f

1

pa`q e f1

pa´q.

ProposiçãoSe uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua ema.

O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:

ExemploA função definida por:

f pxq “

"

2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2

é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?

ProposiçãoA função f : RÑ R é derivável no ponto a P Dompf q se, e somente se,existem e são iguais f

1

pa`q e f1

pa´q.

ProposiçãoSe uma função é derivável no ponto a P Dompf q, então ela é contínua ema.

O reciproco não é verdadeiro, como mostra o exemplo a seguir:

ExemploA função definida por:

f pxq “

"

2´ x2 se x ď 2x2 ´ 4x ` 2 se x ą 2

é contínua no ponto a “ 2? é diferenciável no ponto a “ 2?

Reta Tangente e Reta Normal

Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto x “ a, com a interpretaçãogeométrica dada anteriormente, temos:

Definição (Reta Tangente)A reta definida por:

LT : y ´ f paq “ f1

paqpx ´ aq

é chamada de reta tangente ao gráfico de f no ponto Ppa; f paqq.

Definição (Reta Normal)A reta que passa pelo ponto Ppa; f paqq e perpendicular à reta tangente aográfico de f no ponto P é chamada de reta normal ao gráfico de f noponto Ppa; f paqq.

Reta Tangente e Reta Normal

Seja f : RÑ R uma função derivável no ponto x “ a, com a interpretaçãogeométrica dada anteriormente, temos:

Definição (Reta Tangente)A reta definida por:

LT : y ´ f paq “ f1

paqpx ´ aq

é chamada de reta tangente ao gráfico de f no ponto Ppa; f paqq.

Definição (Reta Normal)A reta que passa pelo ponto Ppa; f paqq e perpendicular à reta tangente aográfico de f no ponto P é chamada de reta normal ao gráfico de f noponto Ppa; f paqq.

observação1 Se f

1

paq ‰ 0 a equação da reta normal é:

LN : y ´ f paq “1

f 1paqpx ´ aq

2 Se f1

paq “ 0 a equação da reta normal é:

LN : px ´ aq “ 0

Exemplos1 Dada f pxq “ x2 ´ 2x ` 3, achar LT e LN ao gráfico de f em Pp2; 3q2 Dada f pxq “ 2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 1, determine as equações das

tangentes horizotais ao gráfico de f .

observação1 Se f

1

paq ‰ 0 a equação da reta normal é:

LN : y ´ f paq “1

f 1paqpx ´ aq

2 Se f1

paq “ 0 a equação da reta normal é:

LN : px ´ aq “ 0

Exemplos1 Dada f pxq “ x2 ´ 2x ` 3, achar LT e LN ao gráfico de f em Pp2; 3q2 Dada f pxq “ 2x3 ` 3x2 ´ 36x ` 1, determine as equações das

tangentes horizotais ao gráfico de f .

Regras Básicas

TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f

g são deriváveis em x e temos:

1 pKf q1

pxq “ Kf1

pxq

2 pf ˘ gq1

pxq “ f1

pxq ˘ g1

pxq

3 pfgq1

pxq “ f1

pxqgpxq ` f pxqg1

pxq

4 pf

gq1

pxq “f1

pxqgpxq ´ f pxqg1

pxq

rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.

Regras Básicas

TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f

g são deriváveis em x e temos:

1 pKf q1

pxq “ Kf1

pxq

2 pf ˘ gq1

pxq “ f1

pxq ˘ g1

pxq

3 pfgq1

pxq “ f1

pxqgpxq ` f pxqg1

pxq

4 pf

gq1

pxq “f1

pxqgpxq ´ f pxqg1

pxq

rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.

Regras Básicas

TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f

g são deriváveis em x e temos:

1 pKf q1

pxq “ Kf1

pxq

2 pf ˘ gq1

pxq “ f1

pxq ˘ g1

pxq

3 pfgq1

pxq “ f1

pxqgpxq ` f pxqg1

pxq

4 pf

gq1

pxq “f1

pxqgpxq ´ f pxqg1

pxq

rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.

Regras Básicas

TeoremaSejam f e g funções deriváveis em x e K uma constante, então as funçõesKf , f ˘ g , fg f

g são deriváveis em x e temos:

1 pKf q1

pxq “ Kf1

pxq

2 pf ˘ gq1

pxq “ f1

pxq ˘ g1

pxq

3 pfgq1

pxq “ f1

pxqgpxq ` f pxqg1

pxq

4 pf

gq1

pxq “f1

pxqgpxq ´ f pxqg1

pxq

rgpxqs2Se gpxq ‰ 0.

Exemplos1 Se f pxq “ 5x5 ` x4 ´ 2x3 ` 1, calcular f

1

pxq e f1

p1q.2 Dada f pxq “ x´n, x ‰ 0 e n P N, calcular f 1pxq.3 Se f pxq “ x`3

2´x , x ‰ 2 calcular f1

pxq.

4 Provar que psenpxqq1

“ cospxq

5 Provar que pcospxqq1

“ ´senpxq

6 Sem Prova pLnpxqq1

“ 1x

8a Aula