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Proposta de Resolução dos Exercícios do Subcapítulo “Limites. Continuidade. Teorema de Bolzano” Página 1
Preparar o Exame 2013 – 2017 – Matemática A
Página 146
1. Tem-se:
2
2 2
) )
21
2 2lim lim lim 1 lim
2 2 2
2 20 0 1 lim 1 0 1
2
x
x x xx x
x x x x x xx x x x
xi
x
ii
x xe
e e ex x e x x e
e e e
e
e
i) Se limx
px
a
x (limite notável), então lim 0
p
xx
x
a , com 1a e p .
ii) lim2
x
x
e
porque 1
2
e .
Resposta: D
2.
1 11
13 33 3
331 1 1 1
lim lim 1 lim 1 lim 1
nn n n
ne e
n n n n
Resposta: B
3. Tem-se que:
▪ 1
lim lim 1
n
nu en
▪ 2 2
3 3 3 3
1 1lim lim lim lim lim 0
n n n
n
n e n e ev
n n n n n
Ou seja, nu e e nv
Portanto, pela definição de limite segundo Heine:
lim lim 1lim 1 0 1 1lim
lim lim lim 1 ln 1 ln 1 1 2
x
n n x x
n nx e x e
g x eg v g v e
g u g u g x x e
Resposta: B
limite notável
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4.1. Como a reta de equação y e é assíntota horizontal do gráfico de f , quando x , então lim ( )x
f x e
.
Assim,
1ln ln ln 0 1
lim
x
x
e e e e ee
f x e e e
Resposta: A
4.2. Observando o gráfico de f , verifica-se que 2
limx
f x
. Assim,
2 2
lim lim2 0x x
f x f x
g x x
.
Resposta: D
4.3. Para que lim nf u é necessário que 2nu . A única sucessão que verifica esta condição é a
sucessão da opção A:
▪ lim 2 lim 2 2 0 22 2
n ne e
(2
lim 0
n
e
porque
20 1
e )
▪ 3
lim 2 2 0 2n
(Se
30
n
, quando n porque 3
0n , n . Portanto
32 2
n , n )
▪ 2
3 3lim 0e e e e
n
▪
2
lim lim lim limln ln ln
n n nn n
n n n
(Se ln
lim 0n
n
(limite notável), então
limln
n
n )
Resposta: A
Página 147
5.
▪ Tem-se que 2nx . Portanto 2 1 1n nx x
▪ Como 21 nx , então 2 1 1 1 2n nx x
Logo, 1 1nx , n e 11 nx . Portanto, 11 nx
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Assim, pela definição de limite segundo Heine, 1
lim limnx
f x f x
Resposta: D
6.
0
1 00
2 22 2 20 0 0 0
0
1 1lim1 1
lim lim lim lim1 11 1 1 2 1 2
2 lim2
x x
xx xx
x xx x xx x x x
x
e ee ee e e e e ex xe e e
e ee e e
x x
Resposta: B
7. Se a função f é contínua em , então também o é em 0x . Logo, 0 0
lim lim 0x x
f x f x f
.
Assim:
▪ 0
3 3 30 0
lim lim log 3 log 3 0 log 3 1 1 1 1x
x xf x a x e a e a a a
▪
0 0 0
ln 2 1lim ( ) lim lim
3x x x
x x xf x
x
3 x
0 0
ln 2 1 ln 2 1 ln 2 11 1 2lim lim
3 3 3 3 3 2x x
x x x
x x x
1 2 1 2
1 13 3 3 3
▪ 0
30 log 3 0 1f a e a
Logo, 1 1 2a a
Resposta: C
8.
▪ A função g é contínua em 4x porque 4 4
lim lim 4x x
g x g x g
:
202
0
4 4 4 4 4
22 2 2 4lim lim lim lim lim
4 4 2 4 2x x x x x
xx x x xg x
x x x x x
4x
4
2
1 1 1lim
42 4 2x
x
x
Se 0x então 2 0x (limite notável)
limite notável
Se 0x então 2 0x (limite notável)
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4 0
4 4
5 5 5 1lim lim 1
4 4 4 4
x
x xg x e e
0 5 14
4 4g e
Mas a função g não é contínua em 5x , sendo apenas contínua à esquerda do ponto 5, uma vez que
5
lim 5x
g x g
mas 5
lim 5x
g x g
:
4
5 5
5 5lim lim
4 4
x
x xg x e e
5 5
3 3lim lim
1 4x xg x e e
x
5 4 5 55
4 4g e e
Assim, as opções A e C ficam excluídas. A função g é contínua em 3,5 , pois é contínua em 0, \ 5 , sendo
contínua à esquerda do ponto 5. Tem-se que:
3 2
3 3 2 0,273 4
g
e 5
5 1,474
g e
Logo, 5
1 3 2 5 1 44
e g g , e como g é contínua em 3,5 , pelo teorema de Bolzano,
3,5 : 1c g c
Resposta: B
9. Em todas as opções a função h é contínua em 0,5 , pois é diferença, soma ou módulo entre funções contínuas
em 0,5 . Assim, para garantir a existência de pelo menos uma solução da equação 0h x em 0,5 , ou seja,
para que h tenha pelo menos um zero em 0,5 , é necessário que 0h e 5h tenham sinais contrários. A única
opção que verifica esta condição é a C:
▪ 0 3 0 0 3 1 4h f e 5 3 5 0 3 4 5 2h f
▪ 0 3 0 0 3 1 4h f e 5 3 5 5 3 4 5 12h f
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▪ 0 3 0 0 3 1 3 1 2h f e 5 3 5 5 3 4 5 3 9 3 9 6h f
▪ 0 3 0 0 3 1 3 1 2h f e 5 3 5 5 3 4 5 3 1 3 1 2h f
Resposta: C
Página 148
10.
10.1. 4 2
4 2 5 5 5
5 5 5 3 5
6 3 6 1 3lim 6 3 lim 1 lim 1x x x
x xx x x x x
x x x x x x
6 1 3
1 0 0 1 0
Outra resolução:
54 2 5 5lim 6 3 lim
x xx x x x
10.2.
0
4 3 0
24 4)
44 4lim lim
2 7 4 ix x
xx x x
x x
3 1
4
x
x
3 3
4
1 4 1 63lim 7
2 1 2 4 1 92 1 x
x
xx
i) Utilizando a regra de Ruffini podemos decompor os polinómios 4 34 4x x x e 22 7 4x x :
1 4 0 1 4 2 7 4
4 4 0 0 4 4 8 4
1 0 0 1 0 2 1 0
Logo, 4 3 34 4 4 1x x x x x Logo, 22 7 4 4 2 1x x x x
10.3.
4
4 4 4 3 4
2 3 23
33 3
2 1 2 1 2 11 1 1
2 1lim lim lim
10 4 10 410 4 10 4 1 11x x x
xx x
x x x x x x
x x xx
x xx x
1 0 0
0 1 0 1
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Outra resolução: 4 4
2 3 3
2 1lim lim lim
10 4x x x
x x xx
x x x
10.4.
20
0
2 2 21 1 1 1
11 1 1 1lim lim lim lim
1 1 1 1 1x x x x
xx x x x
x x x x x
1 1x x 1x
1 )
1 1 1lim
2 0 01 1 ix x x
i) 1
lim 1 1 1 0x
x
porque 1 0x , 1x .
10.5. 2 2 2 2
2 2
2 2
2 3 2 3lim 2 3 lim
2 3x x
x x x x x x x xx x x x
x x x x
2 22 2 2 2 2
2 2 2 2
2 3 2 3lim lim lim
2 3 2 3x x x
x x x x x x x x x
x x x x x x x x
22x x
2 2
3
2 3
x
x x x x
2 22 2
22 2 2
3 3lim lim
2 1 32 31 11 1
x x
x x
x x
x xx xx x
x x xx x x
)
limi x
x
31
x
x
22
3 31 1
lim2 1 3 2 1 32 1 3
1 1 1 11 1x
x
x x xx x x
1 0 1
21 0 1 0 0
i) 20
0
x se xx x
x se x
. Como x pode assumir-se que x é positivo, logo 2x x x .
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10.6.
22 2 2 2
22
2 2
9 9 9lim 9 lim lim lim
9 9x x x x
x x x x x x xx x
x x x x
29 x
2 9x x
2 2
9 9 9 9lim 0
9 9x x x
10.7.
20 2
0
21 1 1 2
2 3 2 12 3 2 3
2 3
2 1
2 1
2 3lim lim lim
2 1 2 1 2 1 2 3x x x
x x xxx
x x x xxx
x
1 1
4 3 2 1 1lim lim
2 1 2 3x x
x x x
x x
2 1
1
x
x
1
2 1 1 2 1 2 1lim
4 22 3 2 3 12 3 x
x
xx
10.8.
0
0
02 2 20 )0
4 2 2 2lim lim 2 lim 2 1 2
1 1 1xx x xx ix
x x x
e e e
i) Se 0
1lim 1
x
x
e
x
(limite notável), então
0
1lim 1
1 1xx
x
e
. Se 0x então 2 0x .
10.9.
0
1 1 10
1 1 1 1
2 12 3 1 2 2 1lim lim lim lim
1 1 1 1
x x x
x x x x
xe x e x e
x x x x
1x
1
1
12 lim
1
x
x
e
x
) 0
12 lim 2 1 3
yi
ye
y
i) Mudança de variável: Se 1x então 1 0x Seja 1 1y x x y , 0y .
10.10
0
0
0 0 0
1 31 3
1 3lim lim lim
ln 1ln 1
xx
x
x x x
e xe x
e x xx
xx
x
x
0
0
0
1 13 3 lim
3 1lim 4
ln 1 ln 1 ln 1 1lim
x x
x
x
x
e e
x x
x x x
x x x
limite notável
limite notável
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10.11.
0
2 0
2 10 4 2 10 4 2 10 4 2 3 10) 43 3 )3 3 0
3 26 3lim lim lim lim 2 5 lim
i iix x x yx x x x y
x xx x x yx
e e e e e e e e
4 2 4 4 2 4 4 20 0 0
5 lim 5 lim 5 lim1
y y yy y y
y y y
e e e e e e e
4 2 4 40 )
5 5 5lim 1
1 2 2
2
2 y iiiy
y
e e e e
i) Tem-se que 2 6 0 2 3x x x x . Logo 2 6 3 2x x x x .
ii) Mudança de variável: Se 3x então 3 0x Seja 3 3y x x y , 0y .
iii) Se 0
1lim 1
x
x
e
x
(limite notável), então
0lim 1
1xx
x
e
. Se 0y então 2 0y .
10.12.
0
03
0 0 0 0
ln 3 1
log 3 1 ln 3 1 ln 3 1 3 3ln3lim lim lim lim 18 8 8 ln3 8ln3 8ln3 8l
3
3 n3x x x x
x
x x x
x x x x
10.13.
0ln 41 ln 40
1 ) 0 0 0
14 1 4 1 1lim lim lim lim ln 4 1ln 4
lnln 4
1 4
yx y y
x i y y y
e e
x y y y
10.14.
0
0
2 ) 0 0 0
ln 3 2 7ln 3 7 ln 3 6 7 ln 3 1lim lim lim lim
5 10 5 2 10 5 10 10 5x y yi y
yx y y
x y y y
0
ln 3 1 3 3lim 1
5 3 5 5
3
y
y
y
i) Mudança de variável: Se 2x então 2 0x Seja 2 2y x x y , 0y .
Se 0x então 3 0x (limite notável)
Se 0y então ln4 0y (limite notável)
Se 0y então 3 0y (limite notável)
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limite notável
10.15. 11
5 5 55
4
)4 40 0 0
4
6 66lim 6 lim lim lim
1 1
yxx
x
yx x x ix
y
x x
i) Mudança de variável: Se 0x então 1
x Seja
1 1y x
x y , y .
10.16. 2 2ln ln ln
lim ln lim 1 lim 1 lim lim 1x x x x
x x xx x x x x
x x x x x xe x x e e e
e xe e x
)
1 0 0 1i
e
i) Se limx
px
a
x (limite notável), então lim 0
p
xx
x
a , com 1a e p .
lnlim 0x
x
x (limite notável).
10.17.
3 32 2lim lim lim lim lim 2 lim
ln ln ln ln ln ln ln
x x x x x
x x x x x x
e e x e e x xe e x
x x x x x xx
) )
0lim lim 2 0
ln
x
x xi i
e x
x x
i) Se ln
lim 0x
x
x
(limite notável), então lim
lnx
x
x .
Outra resolução:
4
34
21
2 2lim lim lim lim 1
ln ln ln
x x
x x xxx
xx x x x
xe e
e e x e xee
x x x e
)
lim
lim 1 2 lim 1 0 2 0 1ln ln 0
limi
x x
x
xx x
x
e e
xx xex xe
x x
i) Se limx
px
a
x (limite notável), então lim 0
p
xx
x
a , com 1a e p .
limite notável
limite notável
limite notável
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10.18. 2
)
2 2
lim lim lim lim lim2 2 2 2 2
x x x x y y
xx x x yi y
e e e e e e
xe x x y y
i) Mudança de variável: Se x então x Seja y x x y , y .
10.19.
3 3
30
0 3 30
3 3 30 0
3 0
)
3
1 1lim
1 1 1lim lim
3 1 3ln 3 1 ln 3 1 ln 3 1li
3m3
x x
xx
x x
x
i
e e
e x x
x x x
x x
i) Se 0x então 3 0x e se 0x então 33 0x .
10.20. 2 2 2 2
) )
2 5 2 5 2 5lim lim lim 2 lim 5 lim 2 0 5 0 0
3 3 3 3 3 3x y y y y yx y yi iiy y
x x y y y y y y
i) Mudança de variável: Se x então x Seja y x x y , y .
ii) Se limx
px
a
x (limite notável), então lim 0
p
xx
x
a , com 1a e p .
10.21.
0
0
1 ) 0 0
ln 3 ln 2 1 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2lim lim lim
1 ix y y
x x y y y y y
x y y
0
limy
y
ln 2y
y
0 0
2ln ln 1
ln 2 ln 2 2 2ln 0 2 lim ln 2 lim
y y
y y
y
y y y
1
2
0
1
2
2
ln 11 1 22
ln 2 lim ln 2 1 ln 2 ln 2 ln ln2 2y
y
ey e
i) Mudança de variável: Se 1x então 1 0x Seja 1 1y x x y , 0y .
11.
11.1. A afirmação é verdadeira. De facto, 0
limx
f x
e 0
limx
f x
e portanto f não admite limite em
0x . No entanto, 0 0
lim lim 0x x
g x g x
e portanto g admite limite em 0x .
Se y então 2y (limite notável)
Se 0y então 02
y (limite notável)
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11.2. Tem-se que 24nx n . Portanto 2
4 4nx quando n .
Logo, pela definição de limite segundo Heine:
lim lim lim lim lim 2 3 1n n n n n nx x
f x g x f x g x f x g x
11.3. Tem-se que 2 2
1lim lim lim lim 0
1n
n nv
n n n n
, isto é, 0nv .
Logo, pela definição de limite segundo Heine:
0
ln 0ln lnlim lim
0 0 0 0
n n
xn
f v v f x x
g v g x
11.4.
a)
0lim
0x
f x
g x
b)
2
2 3 5lim 5
1 1 0 1xx
f x g x
e e
c)
ln lnlim
2 2 2 0x
x
f x
d)
0
cos cos0 1lim
0 0x
x
g x
e) )0 0 0
1 1lim lim lim 1
1 01xxx x x i
x x
g x eg x e
i) Se 0
1lim 1
x
x
e
x
(limite notável), então
0lim 1
1xx
x
e
.
f)
0
0lim
0ln 1 ln 0 1 ln 1x
x f x
g x
11.5. Seguindo a sugestão, seja h a função de domínio , definida por h x f x g x e vejamos que h tem
pelo menos um zero em .
▪ As funções f e g são contínuas em . Logo, h é contínua em , pois é diferença entre duas funções contínuas
em 0, .
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▪ Tem-se que:
0 0
lim lim 0x x
h x f x g x
lim lim 2 3 1x x
h x f x g x
Assim, como h é contínua em 0, e como 0
limx
h x
e limx
h x
têm sinais contrários, pelo corolário do
teorema de Bolzano, 0, : 0 0c h c f c g c f c g c . Portanto, os gráficos das
funções f e g intersetam-se pelo menos uma vez em .
Página 149
12.
12.1. Como a função f é contínua em , então também o é em 1x , logo 1 1
lim lim 1x x
f x f x f
. Assim:
▪ 1 1
)1 1 1 0
1 1 1lim lim lim lim 1
1 1
x x y
ix x x y
e e ef x k k k k
x x y
i) Mudança de variável: Se 1x então 1 0x Seja 1 1y x x y , 0y .
▪ 1 1
lim lim ln 1 ln1 1 0 1x x
f x x x
▪ 1 1 ln1 1 0 1f
Portanto, 1 1 0k k
12.2.
a) 11 1 1 0
lim lim 01
x
x x
e ef x
x
b) )
ln lnlim lim ln lim 1 lim lim 1 1 0x x x ix x
x xf x x x x x
x x
i) Se ln
lim 0x
x
x (limite notável).
limite notável
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13. Para que a função f seja contínua em 0, , também tem de o ser em x a . A função f é continua em
x a se lim limx a x a
f x f x f a
. Assim:
▪ 2 2lim lim 2 2x a
x a x af x e x e a
▪ 2 2lim lim 2 2x a
x a x af x e x x e a a
▪ 2 2af a e a a
Portanto, ae 22 aa e 2 22 2 0 2 1a a a a a a . Como 0a , então 2a .
14. Seja g a função de domínio definida por 2g x f x x .
▪ A função g é contínua em pois é diferença entre duas funções contínuas em . Logo, a função g é contínua em
0,3 .
Como o contradomínio da função f é 2,5 , então 2 5f x , x . Assim, tem-se:
▪ 20 0 0 0g f f . Como 2 0 5f , vem 2 0 5g e portanto 0 0g .
▪ 23 3 3 3 9g f f . Como 2 3 5f , vem:
2 3 5 2 9 3 9 5 9 7 3 4f f g
Portanto, 3 0g .
Assim, como g é contínua em 0,3 e como 0g e 3g têm sinais contrários ( 0 3 0g g ), pelo corolário
do teorema de Bolzano, 2 20,3 : 0 0c g c f c c f c c .
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Página 150
15.
15.1. A função g tem limite em 0x se 0 0
lim limx x
g x g x
. Assim:
▪
0
2 0
30 0 0
2lim lim limx x x
x x xg x
x x
( 2)x
x
2 22
0
2 0 2lim 2
1 0 1( 1) x
x
xx
▪
02 20
20 0 0
3 ln 1 3lim lim limx x x
x x x xg x
x
2x
x
2
ln 1x
x
0
ln 13 lim 3 1 2
x
x
x
Como 0 0
lim lim 2x x
g x g x
, então existe 0
limx
g x
e 0
lim 2x
g x
.
15.2.
▪ No intervalo ,0 a função g é contínua pois é uma função racional.
▪ No intervalo 0, a função g é contínua pois é o quociente entre duas funções contínuas: uma que é a diferença
entre uma função quadrática com o produto de uma função afim com a composta da função logaritmo com uma
função afim; e outra que é uma função quadrática.
▪ Em 0x a função g é contínua, pois 0
lim 0 2x
g x g
.
Portanto, a função g é contínua em .
15.3.
▪ A função g é contínua em , então também é contínua em 3,3 .
▪
2
3
3 2 3 9 6 13
27 3 103 3g
▪ 2
2
3 3 3ln 3 2 27 3ln53 2,46
3 9g
limite notável
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Assim, como g é contínua em 3,3 e como 3g e 3g têm sinais contrários ( 3 3 0g g ), pelo
corolário do teorema de Bolzano, 3,3 : 0c g c , ou seja, a função g tem pelo menos um zero em 3,3 .
16. Seguindo a sugestão, consideremos a função h definida por h x g x a g x a .
▪ Tem-se que o domínio da função y g x a é , ,2a b a a b a b a b e que o domínio da
função y g x a é , 2 ,a b a a b a a b b . Logo:
,2 2 ,h g x a g x aD D D b a b a b b
, com 0 a b
Como 0 a b , então 2 2a b b b a b :
Portanto, ,hD b b
▪ A função h é contínua em ,b b pois é a diferença entre duas funções contínuas no seu domínio.
Do enunciado, conclui-se que g b a g b a e que g a b g a b . Assim:
h b g b a g b a g a b g b a g b a g b a h b
Como g b a g b a , então h b e h b têm sinais contrários, ou seja, 0h b h b . Portanto, pelo
corolário do teorema de Bolzano, , : 0 0c b b h c g c a g c a g c a g c a .
17.
▪ A função g é contínua em 1,2 pois é a diferença entre duas funções contínuas em 1,2 .
▪ 1 2 1 1 1g f f f . Como 1 0f então 1 0g .
▪ 2 2 2 1 2 2 3 2 1g f f f f f . Como 1 0f então 1 0f e portanto ▪ 2 0g .
b b 2a b2a b 0
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Assim, como g é contínua em 1,2 e como 1g e 2g têm sinais contrários ( 1 2 0g g ), pelo corolário
do teorema de Bolzano, 1,2 : 0c g c , ou seja, a função g tem pelo menos um zero em 1,2 .
18.
18.1. Sejam , fa b D tais que f a f b . Tem-se:
2 2 2
ln 2 3 8 ln 2 3 8 2 3 8f a f b a b a 2
2 3 8b
2 2
2 3 2 3 2 3a b a
2 3b 2 3 2 3
2 2 2 3 2 3 2 2 6
3
a b
a b a b a b a b
a b a b
Como a e b são distintos, então 3a b .
18.2. Consideremos a função g, definida em 0,1 por 31g x f x x (ver nota).
▪ A função g é contínua em 0,1 pois é composição e diferença entre funções contínua no seu domínio.
▪ 230 1 0 0 1 ln 2 1 3 8 ln17g f f
Como a função lny x é estritamente crescente e como 2 17e , então 2 217 ln ln17 ln17 2e e .
Portanto, 0 2g .
▪ 231 1 1 1 0 1 ln 2 0 3 8 1 ln 1 1 0 1 1g f f . Portanto, 1 2g
Assim, como g é contínua em 1,2 e como 1 2 0g g , pelo teorema de Bolzano,
30,1 : 2 1 2c g c f c c .
Nota: Tem-se que 2 23 3 31 ln 2 1 5 8 ln 7 2 8f x x x x x x . Assim:
3
2
1
7 7: 7 2 8 0 , 2 2,
2 2f x xD x x
Logo, 7 7
0,1 , 2 2,2 2
e portanto, pode-se definir uma função g de domínio 0,1 tal que 31g x f x x .
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18.3. Para a função g ser contínua em , terá de o ser em 3x . Portanto, é necessário que:
3 3
lim lim 3x x
g x g x g
▪
0 2 220
2 2 2 23 3 3 3 3
ln 2 3 8 ln 4 3 1ln 4 12 1( )lim lim lim lim lim
3 3 3 3x x x x x
x x xx xf xg x
x x x x x x x x
0 0)
ln 4 1 ln 4 1lim l
4m 44 i 4 1
y yi
y y
y y
i) Mudança de variável: Se 3x então 2 3 0x x . Seja 2 3y x x , 0y .
▪
03 23 3 3 3 3 3 30
3 3 333 3 3 3 3
99 9 9lim lim lim lim lim
36 36 36 1 36 136 1x x xxx x x x x
x xkx k x k x k x k x x kg x
e e ee
3 3
3 33 3 3
3 3 3lim lim 3 lim
36 1 36 1x xx x x
x x xk k xx x
e e
3
0) )
3 3183 3 3 lim 1
36 1 36 2yi iiy
k y k k
e
i) Mudança de variável: Se 3x então 3 0x . Seja 3 3y x x y , 0y .
ii) Se 0
1lim 1
x
x
e
x
(limite notável), então
0lim 1
1xx
x
e
.
▪ 23f k
Então, 3
2 34 4 2 2 8 2 2 22
kk k k k k k k .
Portanto, 2k .
Se 0y então 4 0y (limite notável)