MAT-140 Derivadas

Walter T. Huaraca Vargas

31 de Julho de 2017

A Regra da Cadeia

LemaSe f : RÑ R é uma função derivável em a, então existe ma função Nphqtal que f pa` hq ´ f paq “ hNphq para todo pa` hq P Dompf q comlimhÑ0

Nphq “ 0 “ Np0q.

Teorema (Regra da Cadeia)Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções tais que Impf q Ă B . Se f éderivável no ponto a P Dompf q e g é derivável em b “ f paq P B , entãog ˝ f é derivável em a e temos que:

pg ˝ f q1

paq “ g1

pf paqqf1

paq

A Regra da Cadeia

LemaSe f : RÑ R é uma função derivável em a, então existe ma função Nphqtal que f pa` hq ´ f paq “ hNphq para todo pa` hq P Dompf q comlimhÑ0

Nphq “ 0 “ Np0q.

Teorema (Regra da Cadeia)Sejam f : AÑ R e g : B Ñ R duas funções tais que Impf q Ă B . Se f éderivável no ponto a P Dompf q e g é derivável em b “ f paq P B , entãog ˝ f é derivável em a e temos que:

pg ˝ f q1

paq “ g1

pf paqqf1

paq

Observação1 Se y “ yptq e t “ tpxq são funções deriváveis, então:

dy

dx“

dy

dt

dt

dx

2 Se y “ f pxq é uma função derivável e tem inversa x “ f ´1pyq, então:

dx

dy“

1dydx

Se dydx ‰ 0.

3 Se y “ yptq e x “ xptq são duas funções deriváveis, então:

dy

dx“

dydtdxdt

Se dxdt ‰ 0.

Observação1 Se y “ yptq e t “ tpxq são funções deriváveis, então:

dy

dx“

dy

dt

dt

dx

2 Se y “ f pxq é uma função derivável e tem inversa x “ f ´1pyq, então:

dx

dy“

1dydx

Se dydx ‰ 0.

3 Se y “ yptq e x “ xptq são duas funções deriváveis, então:

dy

dx“

dydtdxdt

Se dxdt ‰ 0.

Observação1 Se y “ yptq e t “ tpxq são funções deriváveis, então:

dy

dx“

dy

dt

dt

dx

2 Se y “ f pxq é uma função derivável e tem inversa x “ f ´1pyq, então:

dx

dy“

1dydx

Se dydx ‰ 0.

3 Se y “ yptq e x “ xptq são duas funções deriváveis, então:

dy

dx“

dydtdxdt

Se dxdt ‰ 0.

Observação1 Se y “ f pxq “ rupxqsn e upxq é derivável, então:

f1

pxq “ nrupxqsn´1u1

pxq

2 Se y “ f pxq “a

upxq e upxq é derivável com upxq ą 0, então:

f1

pxq “u1

pxq

2a

upxq

3 Se y “ f pxq “ |upxq| e upxq é derivável com upxq ‰ 0, então:

f1

pxq “upxq

|upxq|u1

pxq

Observação1 Se y “ f pxq “ rupxqsn e upxq é derivável, então:

f1

pxq “ nrupxqsn´1u1

pxq

2 Se y “ f pxq “a

upxq e upxq é derivável com upxq ą 0, então:

f1

pxq “u1

pxq

2a

upxq

3 Se y “ f pxq “ |upxq| e upxq é derivável com upxq ‰ 0, então:

f1

pxq “upxq

|upxq|u1

pxq

Observação1 Se y “ f pxq “ rupxqsn e upxq é derivável, então:

f1

pxq “ nrupxqsn´1u1

pxq

2 Se y “ f pxq “a

upxq e upxq é derivável com upxq ą 0, então:

f1

pxq “u1

pxq

2a

upxq

3 Se y “ f pxq “ |upxq| e upxq é derivável com upxq ‰ 0, então:

f1

pxq “upxq

|upxq|u1

pxq

Exemplos1 Se f pxq “ px3 ` 12x ` 666q200, achar g

1

pxq

2 Se y “ x4 ´ x2 ` x e x “ pt2 ` 1q4. Achar dydt

3 Se f pxq “”

x`2x´2

ı16, achar f

1

pxq.

4 Dada f pxq “a

5` |3x2 ´ 8|, achar f1

pxq.5 Se f

1

pxq “ xx´1 e y “ f p x´1

x`1q, achardydx .

1a Aula

Derivadas de ordem superior

1 Seja y “ f pxq uma função diferenciável, a derivada da função f1

pxq échamada de segunda derivada de f e é denotada por f

2

, D2x f pxq,

d2f pxqdx2 , f ¨¨pxq ou dy

dx .

2 Se f2

px0q existe, diremos que f é duas vezes derivável em x0 e onúmero f

2

px0q é chamado de segunda derivada de f em x0.3 De forma análoga, derivando sucessivamente a função f (sempre que

possível), obtemos a n-ésima derivada ou derivada de ordem n de f

que denotaremos por: f pnq, Dnx f pxq,

dnf pxqdxn , ou dny

dxn .

Derivadas de ordem superior

1 Seja y “ f pxq uma função diferenciável, a derivada da função f1

pxq échamada de segunda derivada de f e é denotada por f

2

, D2x f pxq,

d2f pxqdx2 , f ¨¨pxq ou dy

dx .2 Se f

2

px0q existe, diremos que f é duas vezes derivável em x0 e onúmero f

2

px0q é chamado de segunda derivada de f em x0.

3 De forma análoga, derivando sucessivamente a função f (sempre quepossível), obtemos a n-ésima derivada ou derivada de ordem n de f

que denotaremos por: f pnq, Dnx f pxq,

dnf pxqdxn , ou dny

dxn .

Derivadas de ordem superior

1 Seja y “ f pxq uma função diferenciável, a derivada da função f1

pxq échamada de segunda derivada de f e é denotada por f

2

, D2x f pxq,

d2f pxqdx2 , f ¨¨pxq ou dy

dx .2 Se f

2

px0q existe, diremos que f é duas vezes derivável em x0 e onúmero f

2

px0q é chamado de segunda derivada de f em x0.3 De forma análoga, derivando sucessivamente a função f (sempre que

possível), obtemos a n-ésima derivada ou derivada de ordem n de f

que denotaremos por: f pnq, Dnx f pxq,

dnf pxqdxn , ou dny

dxn .

Derivação Implícita

DefiniçãoSeja E px , yq “ 0 uma equação das variáveis x e y . Se ao reemplazarmos ypor f pxq, a equação transforma-se numa identidade, então diremos que afunção y “ f pxq esta definida implicitamente pela equação E px , yq.

Exemplos1 y “ f pxq “

?x ´ 1 e y “ gpxq “ ´

?x ´ 1 estão definidas

implicitamente pela equação y2 ´ x ` 1 “ 0.2 y7 ` cospyq ´ x2 ` senpxq ` 4 “ 03 x2 ` y2 ` 4 “ 0

A obtenção da derivada de uma função y “ f pxq definida em formaimplicita por uma equação E px , yq “ 0 é chamada de derivação implicita epode ser obtida com:

dy

dx“ ´

E1

x

E 1y

ExemplosAs seguintes equações definem implicitamente uma função y “ f pxq, achary1

“dydx .

1 x2 ` y2 “ 252 4x2 ´ 9y2 “ 36

36x ` 8x2y ´ y3 ` y5

x2 “ 4

A obtenção da derivada de uma função y “ f pxq definida em formaimplicita por uma equação E px , yq “ 0 é chamada de derivação implicita epode ser obtida com:

dy

dx“ ´

E1

x

E 1y

ExemplosAs seguintes equações definem implicitamente uma função y “ f pxq, achary1

“dydx .

1 x2 ` y2 “ 252 4x2 ´ 9y2 “ 36

36x ` 8x2y ´ y3 ` y5

x2 “ 4

Derivada da função inversa

Se uma função f é derivável e possui inversa perto de a com inversacontínua perto de b “ f paq e f

1

paq ‰ 0, então a função inversa f ´1 éderivável em b e

pf ´1q1

pbq “1

f 1pf ´1pbqq“

1f 1paq

ExemploCalcular as derivadas de:

1 gpyq “ arctanpyq

2 gpyq “ arcsenpyq

2a Aula

Derivada da função inversa

Se uma função f é derivável e possui inversa perto de a com inversacontínua perto de b “ f paq e f

1

paq ‰ 0, então a função inversa f ´1 éderivável em b e

pf ´1q1

pbq “1

f 1pf ´1pbqq“

1f 1paq

ExemploCalcular as derivadas de:

1 gpyq “ arctanpyq

2 gpyq “ arcsenpyq

2a Aula

2o limite fundamental

Teorema

O limite limhÑ0

p1` hq1h existe e

limhÑ0

p1` hq1h “ lim

xÑ˘8p1`

1xqx “ e “

`8ÿ

i“0

1i !“ 2.718281828459045 ¨ ¨ ¨

Exemplo

1 limxÑ0

p1`a

xqx “ ea

2 limxÑ0

ax ´ 1x

“ Lnpaq a ą 0; a ‰ 1

3 limxÑ0

px ´ 1x ` 3

qx`2

2o limite fundamental

Teorema

O limite limhÑ0

p1` hq1h existe e

limhÑ0

p1` hq1h “ lim

xÑ˘8p1`

1xqx “ e “

`8ÿ

i“0

1i !“ 2.718281828459045 ¨ ¨ ¨

Exemplo

1 limxÑ0

p1`a

xqx “ ea

2 limxÑ0

ax ´ 1x

“ Lnpaq a ą 0; a ‰ 1

3 limxÑ0

px ´ 1x ` 3

qx`2

Em geral: L “ limxÑarf pxqsgpxq

Caso I: Existem limxÑa

f pxq “ A e limxÑa

gpxq “ B , então L “ AB (Caso

A=0 e B=0)Caso II: Existem lim

xÑaf pxq “ A ‰ 1 e lim

xÑagpxq “ ˘8, então:

Se A ą 1, então L “ A`8 “ `8 e L “ A´8 “ 0Se 0 ă A ă 1, então L “ A`8 “ 0 e L “ A´8 “ `8

Caso II: Existem limxÑa

f pxq “ A “ 1 e limxÑa

gpxq “ ˘8, então se faz

f pxq “ 1` hpxq de onde limxÑa

hpxq “ 0, então

L “ limxÑa

tr1` hpxqs1

hpxq uhpxqgpxq “ eu

Onde u “ limxÑa

hpxqgpxq “ limxÑa

rf pxq ´ 1sgpxq

Exemplo

1 limxÑ0

px2 ´ 4

x ´ 3x ` 2q

2x´58´3x

2 limxÑ`8

p2x ` 1x ´ 3

qx

3 limxÑ0

ax ´ bx

x

4 limÑ`8

rx3 ` 3x2 ` 2x ´ 1

x3 ` 2x ´ 5sx`1

5 limxÑ0

rsenpaq ` senp3xqsenpaq ´ senp3xq

s1

senp3xq

Taxas Relacionadas

DefiniçãoSeja f : RÑ R função definida por y “ f pxq.

1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a`∆x P Dompf q,então ∆x é chamado de incremento de x , observe que o incremento∆x é a mudança que experimenta a vairável independente x ao passarde a até a`∆x .

2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y , denotado por ∆y e esta definido por∆y “ f pa`∆xq ´ f paq.

3 A diferencial da variável independente x , denotada por dx é definidocomo dx “ ∆x .

4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento∆x , denotada por dy é definido como dy “ f

1

paq∆x “ f1

paqdx , emgeral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,correspondente ao incremento ∆x é dy “ f

1

pxqdx (dy „ δy)

Taxas Relacionadas

DefiniçãoSeja f : RÑ R função definida por y “ f pxq.

1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a`∆x P Dompf q,então ∆x é chamado de incremento de x , observe que o incremento∆x é a mudança que experimenta a vairável independente x ao passarde a até a`∆x .

2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y , denotado por ∆y e esta definido por∆y “ f pa`∆xq ´ f paq.

3 A diferencial da variável independente x , denotada por dx é definidocomo dx “ ∆x .

4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento∆x , denotada por dy é definido como dy “ f

1

paq∆x “ f1

paqdx , emgeral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,correspondente ao incremento ∆x é dy “ f

1

pxqdx (dy „ δy)

Taxas Relacionadas

DefiniçãoSeja f : RÑ R função definida por y “ f pxq.

1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a`∆x P Dompf q,então ∆x é chamado de incremento de x , observe que o incremento∆x é a mudança que experimenta a vairável independente x ao passarde a até a`∆x .

2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y , denotado por ∆y e esta definido por∆y “ f pa`∆xq ´ f paq.

3 A diferencial da variável independente x , denotada por dx é definidocomo dx “ ∆x .

4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento∆x , denotada por dy é definido como dy “ f

1

paq∆x “ f1

paqdx , emgeral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,correspondente ao incremento ∆x é dy “ f

1

pxqdx (dy „ δy)

Taxas Relacionadas

DefiniçãoSeja f : RÑ R função definida por y “ f pxq.

1 Se a P Dompf q e ∆x ‰ 0 é um número tal que a`∆x P Dompf q,então ∆x é chamado de incremento de x , observe que o incremento∆x é a mudança que experimenta a vairável independente x ao passarde a até a`∆x .

2 A mudança que experimenta y (quando x ao passar de a até a`∆x .)é o incremento de y , denotado por ∆y e esta definido por∆y “ f pa`∆xq ´ f paq.

3 A diferencial da variável independente x , denotada por dx é definidocomo dx “ ∆x .

4 A diferencial da função f no ponto a, correspondente ao incremento∆x , denotada por dy é definido como dy “ f

1

paq∆x “ f1

paqdx , emgeral a A diferencial da função f em qualquer ponto x P Dompf q,correspondente ao incremento ∆x é dy “ f

1

pxqdx (dy „ δy)

Exemplo1 Se f pxq “ x2 calcule ∆y e dy para a “ 3 e ∆x “ 0.3

2 Se o comprimento do raio de um círculo é 8, 25cm e o erro máximopossível é de ˘0, 05 Qual é o erro cometido ao calcular à área?

3 Se y “ 6 3?x4, calcule dy em qualquer ponto x .

4 Um quadro de 1m de altura é colocado em uma parede de tal formaque sua base esteja no mesmo nível dos olhos de um observador queestá se aproximando da parede a uma velocidade de 3m{s. Com quevelocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará variandoquando o observador estiver a 2m da parede?

Exemplo1 Se f pxq “ x2 calcule ∆y e dy para a “ 3 e ∆x “ 0.32 Se o comprimento do raio de um círculo é 8, 25cm e o erro máximo

possível é de ˘0, 05 Qual é o erro cometido ao calcular à área?

3 Se y “ 6 3?x4, calcule dy em qualquer ponto x .

4 Um quadro de 1m de altura é colocado em uma parede de tal formaque sua base esteja no mesmo nível dos olhos de um observador queestá se aproximando da parede a uma velocidade de 3m{s. Com quevelocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará variandoquando o observador estiver a 2m da parede?

Exemplo1 Se f pxq “ x2 calcule ∆y e dy para a “ 3 e ∆x “ 0.32 Se o comprimento do raio de um círculo é 8, 25cm e o erro máximo

possível é de ˘0, 05 Qual é o erro cometido ao calcular à área?3 Se y “ 6 3

?x4, calcule dy em qualquer ponto x .

4 Um quadro de 1m de altura é colocado em uma parede de tal formaque sua base esteja no mesmo nível dos olhos de um observador queestá se aproximando da parede a uma velocidade de 3m{s. Com quevelocidade a medida do ângulo de visão do quadro estará variandoquando o observador estiver a 2m da parede?

propriedades do diferencial

Sejam u “ f pxq e v “ gpxq duas funções deriváveis e c uma constante,então:

1 dpcq “ 02 dpcuq “ cdu

3 dpu ˘ vq “ du ˘ dv

4 dpu ¨ vq “ vdu ` udv

5 dpuv q “vdu´udv

v2 sempre que v ‰ 0.

ExemploSe f pxq “ 4x?

x2`x2 , achar df pxq.

3a Aula

Teorema de Rolle e Teorema do Valor MédioDefinição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.

1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:

f pxq ď f paq,@x P D

2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:

f paq ď f pxq,@x P D

3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f pxq ď f paq,@x P pa´ δ; a` δq

4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f paq ď f pxq,@x P pa´ δ; a` δq

Teorema de Rolle e Teorema do Valor MédioDefinição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.

1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:

f pxq ď f paq,@x P D

2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:

f paq ď f pxq,@x P D

3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f pxq ď f paq,@x P pa´ δ; a` δq

4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f paq ď f pxq,@x P pa´ δ; a` δq

Teorema de Rolle e Teorema do Valor MédioDefinição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.

1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:

f pxq ď f paq,@x P D

2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:

f paq ď f pxq,@x P D

3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f pxq ď f paq,@x P pa´ δ; a` δq

4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f paq ď f pxq,@x P pa´ δ; a` δq

Teorema de Rolle e Teorema do Valor MédioDefinição (Valores Máximos e Mínimos de uma função)Seja f : RÑ R uma função com dominio D Ă R e seja a P D.

1 Diremos que f apresenta valor máximo global em x “ a se:

f pxq ď f paq,@x P D

2 Diremos que f apresenta valor mínimo global em x “ a se:

f paq ď f pxq,@x P D

3 Diremos que f apresenta valor máximo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f pxq ď f paq,@x P pa´ δ; a` δq

4 Diremos que f apresenta valor mínimo local em x “ a se existe δ ą 0tal que:

f paq ď f pxq,@x P pa´ δ; a` δq

Exemplo1 Se f pxq “

?9´ x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.

2 Se f pxq “ |2x |1`x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.

Observação1 Se f pcq é um valor máximo ou mínimo, então ele será chamado de

valor extremos de f .

Exemplo1 Se f pxq “

?9´ x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.

2 Se f pxq “ |2x |1`x2 Determine os valores máximos e mínimos globais.

Observação1 Se f pcq é um valor máximo ou mínimo, então ele será chamado de

valor extremos de f .

LemaSeja f : RÑ R uma função tal que:

1 f pcq é um extremo local de f

2 f é derivável em c

Então f1

pcq “ 0.

Definição (Ponto Crítico)Seja f : RÑ R uma função derivável em c P Dompf q. O número c échamado de ponto crítico de f ou ponto singular de f se f

1

pcq “ 0

LemaSeja f : RÑ R uma função tal que:

1 f pcq é um extremo local de f

2 f é derivável em c

Então f1

pcq “ 0.

Definição (Ponto Crítico)Seja f : RÑ R uma função derivável em c P Dompf q. O número c échamado de ponto crítico de f ou ponto singular de f se f

1

pcq “ 0

ExemplosCarcular os pontos críticos das seguintes funções:

1 16p2x

3 ` 3x2 ´ 36x ` 6q

2 f pxq “|2x |

1` x2

3 f pxq “x

7`

7x

4a Aula

Teorema (Teorema de Rolle)Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:

1 f é contínua em ra; bs

2 f é derivável em pa; bq

3 f paq “ f pbq “ 0Então existe c P pa; bq f

1

pcq “ 0.

ExemploEn cada caso, dada f pxq, verifique se ela satisfaz o Teorema de Rolle noIntervalo I :

1 f pxq “ x43 ´ 3x

13 , I “ r0; 3s

2 f pxq “ x2´9xx´3 , I “ r0; 3s

Teorema (Teorema de Rolle)Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:

1 f é contínua em ra; bs

2 f é derivável em pa; bq

3 f paq “ f pbq “ 0Então existe c P pa; bq f

1

pcq “ 0.

ExemploEn cada caso, dada f pxq, verifique se ela satisfaz o Teorema de Rolle noIntervalo I :

1 f pxq “ x43 ´ 3x

13 , I “ r0; 3s

2 f pxq “ x2´9xx´3 , I “ r0; 3s

Teorema do valor médioTeorema (T.V.M.)Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:

1 f é contínua em ra; bs

2 f é derivável em pa; bq

Então existe c P pa; bq tal que f1

pcq “ f pbq´f paqb´a

ObservaçãoSejam f , g : ra; bs Ñ R funções

1 Se f é contínua em ra; bs e diferenciável em pa; bq tal que f1

pxq “ 0para todo x P pa; bq, então f pxq “ k para todo x P ra; bs.

2 Se f e g são contínuas em ra; bs e diferenciáveis em pa; bq tal quef1

pxq “ g1

pxq para todo x P pa; bq, então f pxq “ gpxq ` K para todox P ra; bs

5a Aula

Teorema do valor médioTeorema (T.V.M.)Seja f : ra; bs Ñ R uma função tal que:

1 f é contínua em ra; bs

2 f é derivável em pa; bq

Então existe c P pa; bq tal que f1

pcq “ f pbq´f paqb´a

ObservaçãoSejam f , g : ra; bs Ñ R funções

1 Se f é contínua em ra; bs e diferenciável em pa; bq tal que f1

pxq “ 0para todo x P pa; bq, então f pxq “ k para todo x P ra; bs.

2 Se f e g são contínuas em ra; bs e diferenciáveis em pa; bq tal quef1

pxq “ g1

pxq para todo x P pa; bq, então f pxq “ gpxq ` K para todox P ra; bs

5a Aula

Funções Crescentes e Decrescentes

Seja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:Não Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ě f px2q.

Não Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2,então f px1q ď f px2q.

Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, entãof px1q ă f px2q.

Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, entãof px1q ą f px2q.

Funções Crescentes e Decrescentes

Seja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:Não Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ě f px2q.Não Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2,

então f px1q ď f px2q.

Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, entãof px1q ă f px2q.

Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, entãof px1q ą f px2q.

Funções Crescentes e Decrescentes

Seja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:Não Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ě f px2q.Não Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2,

então f px1q ď f px2q.Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ă f px2q.

Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, entãof px1q ą f px2q.

Funções Crescentes e Decrescentes

Seja f : RÑ R uma função, diremos que f pxq é:Não Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ě f px2q.Não Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2,

então f px1q ď f px2q.Crescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ă f px2q.Descrescente: Se para cada par x1, x2 P Dompf q com x1 ă x2, então

f px1q ą f px2q.

TeoremaSeja f : RÑ R contínua em ra; bs e derivável em pa; bq.

1 Se f1

pxq ą 0 para todo x P pa; bq, então f é crescente em ra; bs.

2 Se f1

pxq ă 0 para todo x P pa; bq, então f é decrescente em ra; bs.

TeoremaSeja f : RÑ R contínua em ra; bs e derivável em pa; bq.

1 Se f1

pxq ą 0 para todo x P pa; bq, então f é crescente em ra; bs.2 Se f

1

pxq ă 0 para todo x P pa; bq, então f é decrescente em ra; bs.

Teste de 1ra Derivada

Seja f uma função definida numa vizinhança Bpc ; δq do ponto c e é:Contínua em Bpc ; δq “ pc ´ δ; +̧δq,Derivável em Bpc ; δq (excepto talves em c)

Logo1 Se f

1

pxq ą 0 para todo x P pc ´ δ; cq e f1

pxq ă 0 para todox P pc ; c ` δq, então f pcq é um valor de máximo local de f .

2 Se f1

pxq ă 0 para todo x P pc ´ δ; cq e f1

pxq ą 0 para todox P pc ; c ` δq, então f pcq é um valor de mínimo local de f .

Teste de 2da Derivada

Seja f uma função tal que:Existem suas derivadas até de sugunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq do ponto c

f1

pcq “ 0f2

pcq ‰ 0Logo

1 Se f2

pxq ă 0 então f pcq é um valor de máximo local de f .2 Se f

2

pxq ą 0 então f pcq é um valor de mínimo local de f .

ExemplosDetermine os intervalos de crescimento e os valores extremos locais dasfunções:

1 f pxq “ x3 ´ x2 ´ 9x ` 2

2 gpxq “5x`

x

53 hpxq “ 1

1`|x | `1

1`|x´a| com a ą 0

4 f pxq “ x3 ` 3x2 ´ 24x ´ 10 no intervalo r0; 4s.

ObservaçãoSe f é definido em ra; bs, então ele tem máximo global e mínimo global(Teorema de Weierstrass), para achar eles, achamos os extremos locaisinteriores, calculamos os valores nos extremos do intervalo para finalmentecompararlos.

6a Aula

Concavidade e Pontos de inflexãoDefiniçãoSeja f : RÑ R uma função derivável no ponto c interior a Dompf qlembremos que a equação da reta tangente ao gráfico de f no pontoPpc , f pcqq éT pxq “ f pcq ` f

1

pcqpx ´ cq

1 Diremos que f é cóncava para cima no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ą 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c

2 Diremos que f é cóncava para baixo no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ă 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c

3 Diremos que f é concava para cima (baixo) em pa; bq se for concavapara cima (baixo) em todo ponto de pa; bq.

Concavidade e Pontos de inflexãoDefiniçãoSeja f : RÑ R uma função derivável no ponto c interior a Dompf qlembremos que a equação da reta tangente ao gráfico de f no pontoPpc , f pcqq éT pxq “ f pcq ` f

1

pcqpx ´ cq

1 Diremos que f é cóncava para cima no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ą 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c

2 Diremos que f é cóncava para baixo no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ă 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c

3 Diremos que f é concava para cima (baixo) em pa; bq se for concavapara cima (baixo) em todo ponto de pa; bq.

Concavidade e Pontos de inflexãoDefiniçãoSeja f : RÑ R uma função derivável no ponto c interior a Dompf qlembremos que a equação da reta tangente ao gráfico de f no pontoPpc , f pcqq éT pxq “ f pcq ` f

1

pcqpx ´ cq

1 Diremos que f é cóncava para cima no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ą 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c

2 Diremos que f é cóncava para baixo no ponto c , se existe umavizinhança Bpc; δq Ă Dompf q tal que

upxq “ f pxq ´ T pxq ă 0,@x P Bpc; δq, x ‰ c

3 Diremos que f é concava para cima (baixo) em pa; bq se for concavapara cima (baixo) em todo ponto de pa; bq.

DefiniçãoSeja f uma função contínua no ponto c , diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de inflexão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nosintervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.

TeoremaSeja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq Ă Dompf q.

1 Se f2

‰ 0 e f2

ą 0, então f é concava para cima no ponto c .2 Se f

2

‰ 0 e f2

ă 0, então f é concava para baixo no ponto c .3 Se f

2

pcq “ 0 e f3

pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de inflexão def .

DefiniçãoSeja f uma função contínua no ponto c , diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de inflexão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nosintervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.

TeoremaSeja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq Ă Dompf q.

1 Se f2

‰ 0 e f2

ą 0, então f é concava para cima no ponto c .

2 Se f2

‰ 0 e f2

ă 0, então f é concava para baixo no ponto c .3 Se f

2

pcq “ 0 e f3

pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de inflexão def .

DefiniçãoSeja f uma função contínua no ponto c , diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de inflexão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nosintervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.

TeoremaSeja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq Ă Dompf q.

1 Se f2

‰ 0 e f2

ą 0, então f é concava para cima no ponto c .2 Se f

2

‰ 0 e f2

ă 0, então f é concava para baixo no ponto c .

3 Se f2

pcq “ 0 e f3

pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de inflexão def .

DefiniçãoSeja f uma função contínua no ponto c , diremos que o ponto Ppc , f pcqq éum ponto de inflexão de f se existe δ ą 0 tal que as concavidades nosintervalos pc ´ δ; cq e pc ; c ` δq são diferentes.

TeoremaSeja f : RÑ R derivável ate a segunda ordem numa vizinhançaBpc ; δq Ă Dompf q.

1 Se f2

‰ 0 e f2

ą 0, então f é concava para cima no ponto c .2 Se f

2

‰ 0 e f2

ă 0, então f é concava para baixo no ponto c .3 Se f

2

pcq “ 0 e f3

pcq ‰ 0 então Ppc ; f pcqq é um ponto de inflexão def .

ExemploDetermine os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão dasseguintes funções:

1 f pxq “ x4 ´ 3x3 ´ x ` 12 f pxq “ x`3

x´3

7a Aula

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .

2 Determinar as interseções com os eixos.3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da

função.5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .2 Determinar as interseções com os eixos.

3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limiteslaterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.

4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos dafunção.

5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .2 Determinar as interseções com os eixos.3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.

4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos dafunção.

5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .2 Determinar as interseções com os eixos.3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da

função.

5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.

Traçado de Curvas

1 Determinar o dominio Dompf q de f .2 Determinar as interseções com os eixos.3 Verificar simetrias da função, existência de assintotas, calcular limites

laterais nos extremos do dominio e nos pontos de discontinuidade.4 Determinar os intervalos de crescimento e os valores extremos da

função.5 Determinas os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.6 Construir o grafico com o auxilio das informações anteriores.

Exemplo1 f pxq “ x2´x´2

x´52 f pxq “ x

x´4

Problemas de OptimizaçãoA solução de problemas práticos que implicam no seu enunciado aoptimização dos resultados requer:

1 Expressar o enunciado como uma função de uma variável (talves,geometricamente), achar o dominio da mesma.

2 Identificar o tipo de extremo a calcular.3 Aplicar os criterios da primeira ou segunda derivada para achar o

extremo solicitado.

Exemplo1 Achar dois números positivos tal que sua soma seja igual a 60 e o

produto seja máximo.2 Um arame de comprimento L é dividido em duas partes de forma tal

que com uma parte forma-se um quadrado e com a outra umacircunferencia. Como deve ser esta divisão de forma tal que a somasdas áreas seja máxima?

8a Aula

Problemas de OptimizaçãoA solução de problemas práticos que implicam no seu enunciado aoptimização dos resultados requer:

1 Expressar o enunciado como uma função de uma variável (talves,geometricamente), achar o dominio da mesma.

2 Identificar o tipo de extremo a calcular.

3 Aplicar os criterios da primeira ou segunda derivada para achar oextremo solicitado.

Exemplo1 Achar dois números positivos tal que sua soma seja igual a 60 e o

produto seja máximo.2 Um arame de comprimento L é dividido em duas partes de forma tal

que com uma parte forma-se um quadrado e com a outra umacircunferencia. Como deve ser esta divisão de forma tal que a somasdas áreas seja máxima?

8a Aula

Problemas de OptimizaçãoA solução de problemas práticos que implicam no seu enunciado aoptimização dos resultados requer:

1 Expressar o enunciado como uma função de uma variável (talves,geometricamente), achar o dominio da mesma.

2 Identificar o tipo de extremo a calcular.3 Aplicar os criterios da primeira ou segunda derivada para achar o

extremo solicitado.

Exemplo1 Achar dois números positivos tal que sua soma seja igual a 60 e o

produto seja máximo.2 Um arame de comprimento L é dividido em duas partes de forma tal

que com uma parte forma-se um quadrado e com a outra umacircunferencia. Como deve ser esta divisão de forma tal que a somasdas áreas seja máxima?

8a Aula

Problemas de OptimizaçãoA solução de problemas práticos que implicam no seu enunciado aoptimização dos resultados requer:

1 Expressar o enunciado como uma função de uma variável (talves,geometricamente), achar o dominio da mesma.

2 Identificar o tipo de extremo a calcular.3 Aplicar os criterios da primeira ou segunda derivada para achar o

extremo solicitado.

Exemplo1 Achar dois números positivos tal que sua soma seja igual a 60 e o

produto seja máximo.

2 Um arame de comprimento L é dividido em duas partes de forma talque com uma parte forma-se um quadrado e com a outra umacircunferencia. Como deve ser esta divisão de forma tal que a somasdas áreas seja máxima?

8a Aula

Problemas de OptimizaçãoA solução de problemas práticos que implicam no seu enunciado aoptimização dos resultados requer:

1 Expressar o enunciado como uma função de uma variável (talves,geometricamente), achar o dominio da mesma.

2 Identificar o tipo de extremo a calcular.3 Aplicar os criterios da primeira ou segunda derivada para achar o

extremo solicitado.

Exemplo1 Achar dois números positivos tal que sua soma seja igual a 60 e o

produto seja máximo.2 Um arame de comprimento L é dividido em duas partes de forma tal

que com uma parte forma-se um quadrado e com a outra umacircunferencia. Como deve ser esta divisão de forma tal que a somasdas áreas seja máxima?

8a Aula