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ROSÁRIO LAUREANO 1
Séries numéricas e funcionaisDesenv. de Taylor e de MacLaurin
— Caderno 3 —
––––––––––––––––––––––––––––––––-
�ANÁLISEMATEMÁTICA I - 2012/13 - 1o Sem.
� LEI / LETI / LEI-PL / LETI-PL––––––––––––––––––––––––––––––––-
� Elaborado por Rosário Laureano
� DM — Dpto de Matemática� ISTA — Escola de Tecnologias e Arquitectura
ROSÁRIO LAUREANO 2
1 Séries numéricasDada uma sucessão (un)n∈N de números reais,
(un) : u1, u2, u3, · · · un, un+1, · · · ,
(a cada número natural n está associado o termo un de ordem n) podemosconsiderar a adição de todos os seus termos, uma infinidade de parcelas. Éo que se pretende com o conceito de série numérica.
Definição 1 A série numérica de termo geral un, que se denota1 por∑
n≥1un, é a soma infinita dos termos da sucessão real (un)n∈N,
∑
n≥1
un = u1 + u2 + u3 + · · ·+ un−1 + un + un+1 + · · · .
Embora o termo geral da série seja o termo geral da sucessão (un)n∈N, asérie
∑
n≥1un é distinta da sucessão (un)n∈N que lhe está associada. Enquanto
na primeira os termos estão adicionados entre si, na segunda estão "soltos"como sequência ordenada.
Uma série numérica pode estar definida apenas para valores de n a partirde uma certa ordem k. Nesse caso, escreve-se
∑
n≥k
un = uk + uk+1 + uk+2 + · · ·+ uk + uk+1 + uk+2 + · · · .
Também se podem considerar séries numéricas com início em n = 0,∑
n≥0un.
1.1 Convergência e soma de uma série
Dada uma série numérica∑
n≥1un, pode acontecer que o limite
limn(u1 + u2 + u3 + · · ·+ un−1 + un)
exista como número real. Neste caso a série diz-se convergente e o valorreal S desse limite diz-se a soma da série. Caso contrário, se não existe esselimite ou se é +∞ ou −∞, então a série numérica diz-se divergente.
Classificar uma série numérica como convergente ou divergente é identi-ficar a sua natureza. Temos a seguinte definição rigorosa.
1Também por∞∑
n=1
un,∑
n∈N
un ou simplesmente∑
n
un.
ROSÁRIO LAUREANO 3
Definição 2 Dada uma série numérica∑
n≥1un, define-se a respetiva suces-
são das somas parciais por Sn =n∑
i=1ui, ou seja,
(Sn)n∈N : u1, u1 + u2, u1 + u2 + u3, . . . .
Se a sucessão das somas parciais (Sn)n∈N for convergente com limite S,
limnSn = lim
n(u1 + u2 + u3 + · · ·+ un−1 + un) = S,
então a série diz-se convergente e o valor S diz-se a soma da série. Se asucessão das somas parciais (Sn)n∈N for divergente (caso em que tende para+∞, tende para −∞ ou não tem limite), então a série diz-se divergente.
Deste modo, a sucessão das somas parciais (Sn)n∈N determina a naturezada série numérica. Note que a sucessão (Sn)n∈N de somas parciais é distintada sucessão (un)n∈N que define a série. À primeira corresponde a sequência
S1 = u1, S2 = u1+u2, S3 = u1+u2+u3, . . . Sn = u1+u2+· · ·+un, . . .
enquanto à segunda corresponde a sequência
u1, u2, u3, . . . un, . . . .
A convergência de uma série traduz-se no essencial por: "existe um valor realS que é a soma de todos os termos da série, termos estes que são em númeroinfinito; esse valor S acumula a totalidade dos termos e não é excedido poreles". Podemos até dizer que a série converge para essa soma S.
Existem séries numéricas que têm designações bem específicas dada aestrutura do seu termo geral. Vejamos alguns casos.
Série harmónica. A série numérica
∑
n≥1
1
n= 1 +
1
2+1
3+1
4+ · · ·+ 1
10+ · · · ,
é designada por série harmónica. Relativamente à sucessão (Sn)n∈Ndas somas parciais, prova-se que
S2n ≥ 1 + n ·1
2.
ROSÁRIO LAUREANO 4
Temos
limnS2n ≥ lim
n
(1 + n · 1
2
)= 1 +
(+∞ · 1
2
)= 1 +∞ = +∞,
o que mostra que a sucessão das somas parciais, da qual os termosS2n constituem uma subsucessão, não converge para um valor finito.Concluímos então que a série é divergente.
Séries de Dirichlet. Uma série numérica com a forma geral
∑
n≥1
un =∑
n≥1
1
nα,
é designada por série de Dirichlet. São convergentes se α > 1 edivergentes se α ≤ 1. Note que a série harmónica é um caso particularde série de Dirichlet (com α = 1).
Séries geométricas. Uma série numérica que tenha como termo geraluma progressão geométrica (p.g.) é designada por série geométrica.Recordemos que uma progressão geométrica é uma sucessão em quecada termo resulta da multiplicação do termo anterior por um valorconstante r. As séries geométricas têm a forma geral∑
n≥1
un =∑
n≥1
(a · rn−1
)= a+a·r+a·r2+a·r3+· · ·+a·rn−1+a·rn+· · ·
com a, r ∈ R e a �= 0. O número real r é a razão da série numérica e aé o valor do seu primeiro termo. O termo geral da sucessão de somasparciais é dado por
Sn = n · aquando r = 1 (trata-se da série de termo geral constante igual a a), eé dado por
Sn =a · (1− rn)1− r
quando r �= 1. Concluímos então que a série é convergente se rn
convergir para um número real (pois todos os outros elementos noquociente são constantes). Ora, se |r| < 1 (ou seja, se −1 < r < 1)temos limn rn = 0, logo a série é convergente e tem soma S igual a
S = limn
a · (1− rn)1− r =
a
1− r(1− lim
nrn)=
a
1− r =1o termo1− razão
Mas é divergente se |r| ≥ 1 (ou seja, se r ≤ −1 ∨ r ≥ 1) pois:
ROSÁRIO LAUREANO 5
� se r = 1 temos Sn = n · a→ +∞ · a = +∞,
� se r > 1 temos rn → +∞, e
� se r ≤ −1 não existe o limite de rn; mesmo quando r = −1 temos∑
n≥1
[a · (−1)n−1
]= a− a+ a− a+ a− · · ·
mas a sucessão das somas parciais
Sn =
a se n ímpar
0 se n par
não tem limite (note que a �= 0), logo a série é divergente.
Portanto, apenas quando −1 < r < 1 (i.e., |r| < 1) podemos escrever∑
n≥1
un =∑
n≥1
(a · rn−1
)= a+ a · r + a · r2 + a · r3 + · · · = a
1− r .
Proposição 3 Se as séries numéricas∑
n≥1un e
∑
n≥1vn são convergentes e
têm somas S e S′, respetivamente, então a série numérica∑
n≥1(un + vn)
também é convergente e tem soma S + S′.
Proposição 4 Se a série numérica∑
n≥1un é convergente e tem soma S
então a série numérica∑
n≥1(α ·un), com α ∈ R, também é convergente e tem
soma α · S.
Resulta das proposições anteriores que se duas séries numéricas∑
n≥1un e
∑
n≥1vn são convergentes e têm somas S e S′, respectivamente, então a série
numérica ∑
n≥1
(α · un + β · vn), com α, β ∈ R,
também é convergente e tem soma α · S + β · S′.
ROSÁRIO LAUREANO 6
Proposição 5 Se a série numérica∑
n≥1un é convergente e tem soma S e a
série numérica∑
n≥1vn é convergente e tem soma S′ então
∑
n≥1
(un ∗ vn) ≤ S ∗ S′.
1.1.1 Exercícios propostos
[No que segue TA significa Trabalho Autónomo.]
1. Justifique que a série numérica∑
n≥1
1√n
é divergente.
2. [TA] Mostre que a série numérica∑
n≥1
3
2né convergente e tem soma
S = 3.
3. Estude a natureza da série numérica∑
n≥13−n. Caso seja convergente,
determine a sua soma.
4. [TA] Proceda como no exercício anterior relativamente às séries numéri-cas
∑
n≥1
[5 (−3)−n
],∑
n≥1[3 (−1)n] e ∑
n≥13.
5. [TA] Mostre que a série numérica∑
n≥1
(3
2n+
1
4n2
)é convergente.
1.1.2 Soluções
3. É convergente. Tem soma S =1
2.
4. A série numérica∑
n≥1
[5 · (−3)−n
]é convergente e tem soma S =
5
4. As
séries numéricas∑
n≥1[3 (−1)n] e ∑
n≥13 são divergentes.
ROSÁRIO LAUREANO 7
1.2 Alguns critérios de convergência para séries determos não-negativos
Ao contrário do que sucede com as séries geométricas, para a maioriadas séries numéricas
∑
n≥1un não é possível estabelecer a expressão analítica
do termo geralSn = u1 + u2 + · · ·+ un
da sucessão de somas parciais. Tal impede o cálculo do limite de Sn e aobtenção do valor da soma S da série, caso exista. No entanto, é usual fazerum estudo da série numérica por meios indirectos, através de critérios quepermitem identificar a sua natureza. É o que vamos considerar nesta secção.
Proposição 6 (Condição Necessária de Convergência, Critério Ge-ral de Convergência) Se a série numérica
∑
n≥1un é convergente então
(necessariamente)limnun = 0.
Proof. Temos Sn = u1+ u2 + · · ·+ un e Sn−1 = u1+ u2+ · · ·+ un−1 (paran > 1). Assim, para n > 1, temos
Sn − Sn−1 = u1 + u2 + · · ·+ un − (u1 + u2 + · · ·+ un−1) = un.
Dado que a série é convergente, existe o limite de Sn. Suponhamos quelimn Sn = l. Também limn Sn−1 = l, donde
limnun = lim
n(Sn − Sn−1) = l − l = 0
conforme se pretende demonstrar
Em consequência deste resultado (por contra-recíproco), se limn un �= 0então a série numérica
∑
n≥1un é divergente,
limn un �= 0 =⇒ ∑
n≥1un série divergente .
Por vezes, designamos esta implicação como Critério do Termo Geral.
NOTA: para uma série numérica∑
n≥1un ser convergente,NÃO BASTA
(não é suficiente) que o seu termo geral un convirja para 0 (como mostra o
ROSÁRIO LAUREANO 8
exemplo da série harmónica∑
n≥1
1
n). No entanto, tal é necessário conforme
afirma a proposição anterior.
Proposição 7 (Critério Geral da Comparação ou Critério da Com-paração-formulação 1) Sejam
∑
n≥1un e
∑
n≥1vn duas séries numéricas tais
que, a partir de certa ordem, se tem un, vn ≥ 0 e vn ≤ un. Então, aconvergência da série
∑
n≥1un implica a convergência da série
∑
n≥1vn,
∑
n≥1un série convergente =⇒ ∑
n≥1vn série convergente ,
e a divergência da série∑
n≥1vn implica a divergência da série
∑
n≥1un,
∑
n≥1vn série divergente =⇒ ∑
n≥1un série divergente .
Proposição 8 (Critério da Comparação-formulação 2) Sejam∑
n≥1un
e∑
n≥1vn duas séries numéricas tais que un ≥ 0 e vn > 0 para todo n ∈ N.
Se existe o limiteL = lim
n
unvn
e tem valor finito não-nulo (portanto L �= 0 e L �= +∞, ou ainda, 0 < L <+∞) então as duas séries têm a mesma natureza.
É frequente o uso de uma série de Dirichlet
∑
n≥1
1
nα
como série∑
n≥1vn. O valor conveniente para α ∈ Q é escolhido com base no
termo geral un da série∑
n≥1un de que se quer identificar a natureza. Também
as séries geométricas são usadas com frequência para comparação.
ROSÁRIO LAUREANO 9
Proposição 9 (Critério de Cauchy (da raíz)) Dada uma série numérica∑
n≥1un tal que un ≥ 0 para todo n ∈ N, suponha que o limite
L = limn
n√un
é finito ou +∞. Então a série é convergente se L < 1 e é divergente se L > 1ou L = 1+ (L = 1+ significa L = 1 e n
√un > 1). Quando L = 1− (que
significa L = 1 e n√un < 1) ou L = 1± (que significa L = 1 mas n
√un > 1
para alguns valores de n e n√un < 1 para outros valores de n intercalados
com os anteriores) nada se pode concluir sobre a natureza da série.
Proposição 10 (Critério de D’ Alembert (da razão)) Dada uma sérienumérica
∑
n≥1un tal que un > 0, para todo n ∈ N, suponha que o limite
L = limn
un+1un
é finito ou +∞. Então série é convergente se L < 1 e é divergente se L > 1ou L = 1+ (L = 1+ significa L = 1 e un+1/un > 1). Quando L = 1− (quesignifica L = 1 e
un+1un
< 1) ou L = 1± (que significa L = 1 masun+1un
> 1
para alguns valores de n eun+1un
< 1 para outros valores de n intercalados
com os anteriores) nada se pode concluir sobre a natureza da série.
1.2.1 Exercícios propostos
[No que segue TA significa Trabalho Autónomo.]
1. Mostre que são divergentes as séries numéricas∑
n≥1
2n,∑
n≥1
(−2)n ,∑
n≥1
(−1)n ,
e∑
n≥1
(−13
),∑
n≥1
(n+ 2
n+ 5
)2n,∑
n≥1
n+ 1
n.
ROSÁRIO LAUREANO 10
2. [TA] Por comparação, mostre que as séries numéricas∑
n≥1vn de termo
geral
vn =n
n3 + 1, vn =
1
n (n+ 1), vn =
3n− 1n3
e vn =1
2n + n
são convergentes enquanto que as séries numéricas∑
n≥1vn de termo
geral
vn =1
n− 1 (para n ≥ 2) e vn =1√
n cos2 n
são divergentes.
3. [TA] Usando um critério da comparação, mostre que as séries numéri-cas
∑
n≥1un de termo geral
un =2
n, un =
n− 3n2
e un = sin1
n
são divergentes enquanto que são convergentes as séries numéricas∑
n≥1un de termo geral
un =n
(n2 + 1) (n+ 5), un = n sin
1
n3 + 1e un =
n
n2 + 1lnn+ 2
n+ 5.
1.3 Convergência simples e absoluta de uma sérienumérica
Definição 11 Dada uma série numérica∑
n≥1un, a série de termos não-
negativos∑
n≥1|un| diz-se a sua série modular.
Definição 12 Uma série numérica∑
n≥1un diz-se absolutamente conver-
gente quando a série modular∑
n≥1|un| é convergente.
ROSÁRIO LAUREANO 11
A relação entre a natureza de uma série∑
n≥1un e da sua série modu-
lar∑
n≥1|un| é dada pela seguinte proposição (consequência do Critério da
Comparação-formulação 1).
Proposição 13 Uma série∑
n≥1un é convergente sempre que a sua série
modular∑
n≥1|un| o for,
∑
n≥1|un| série convergente =⇒ ∑
n≥1un série convergente .
Além disso, tem-se∑
n≥1
|un| ≥
∣∣∣∣∣∣
∑
n≥1
un
∣∣∣∣∣∣. (1)
Proof. Dadas as desigualdades
0 ≤ un + |un| ≤ |un|+ |un| = 2|un|
e o facto de ser convergente a série∑
n≥1|un|, concluímos pelo Critério da
Comparação-formulação 1 que a série numérica∑
n≥1(un + |un|) também é
convergente. Sendo∑
n≥1
un =∑
n≥1
(un + |un|)−∑
n≥1
|un|,
a série∑
n≥1un é convergente. A desigualdade (1) resulta da desigualdade
triangular (|a+ b| ≤ |a|+ |b|, para todo a, b ∈ R)
Dada a definição de série absolutamente convergente, podemos concluirda proposição anterior que toda a série absolutamente convergente é con-vergente.
Definição 14 Uma série numérica∑
n≥1un diz-se simplesmente conver-
gente.quando é convergente mas não absolutamente convergente, ou seja,a série numérica
∑
n≥1un é convergente mas a sua série modular
∑
n≥1|un| é
divergente.
ROSÁRIO LAUREANO 12
Dada a proposição anterior, concluímos que se uma série numérica éabsolutamente convergente então também é simplesmente convergente,
Convergência absoluta =⇒ Convergência simples .
Por contra-recíproco, conclui-se desta implicação que se∑
n≥1un não é
simplesmente convergente então também não é absolutamente convergente,
Não-convergência simples =⇒ Não-convergência absoluta .
NOTA: para que uma série numérica∑
n≥1un seja absolutamente conver-
gente, NÃO BASTA (não é suficiente) que seja simplesmente convergente(é necessário que também convirja a sua série modular
∑
n≥1|un|),
Convergência simples � Convergência absoluta ,
no entanto, tal é necessário.
1.4 Critérios de convergência para séries de termosnegativos e séries alternadas
Quando uma série∑
n≥1un é de termos negativos consideramos
∑
n≥1
un = −∑
n≥1
(−un) .
A série∑
n≥1un tem a mesma natureza que a série de termos positivos
∑
n≥1(−un)
e, caso seja convergente, tem soma de valor simétrico.
Definição 15 Uma série diz-se alternada se os seus termos alternam desinal, ou seja, se o seu termo geral un é produto do factor (−1)n por umfactor an não-nulo de sinal constante,
∑
n≥1
un =∑
n≥1
[(−1)n · an] .
ROSÁRIO LAUREANO 13
Além do Critério do Termo Geral, o critério seguinte é o mais utilizadono estudo da natureza de séries alternadas.
Proposição 16 (Critério de Leibnitz) Seja (an)n∈N uma sucessão de-crescente de termos positivos. A série alternada
∑
n≥1
un =∑
n≥1
[(−1)n · an]
é convergente se e só se an → 0.
Remark 17 Quando se prova que uma série numérica alternada é con-vergente não podemos concluir que ela é absolutamente convergente. Énecessário identificar a natureza da sua série modular. Se esta for conver-gente então a série alternada é absolutamente convergente. No entanto, se asérie modular for divergente então a série alternada é apenas simplesmente
convergente. É o caso da série alternada∑
n≥1
[(−1)nn
]cuja série modular
é a série harmónica∑
n≥1
(1
n
). Este é o exemplo de uma série convergente
(simplesmente convergente) que não é absolutamente convergente, ou seja,
Convergência simples � Convergência absoluta .
Remark 18 Por vezes é vantajoso começar por identificar a natureza dasérie modular. Caso esta seja convergente fica provada a convergência ab-soluta da série alternada. É o caso da série
∑
n≥1
(−1)nn2
ou da série ∑
n≥1
sinn
2n.
No entanto, se a série modular for divergente apenas ficamos a saber que asérie alternada não é absolutamente convergente. Ela pode ser divergente,como é o caso da série ∑
n≥1
[n · (−1)n] ,
ROSÁRIO LAUREANO 14
ou simplesmente convergente, como é o caso da série
∑
n≥1
(−1)n√n.
1.4.1 Exercícios propostos
[No que segue TA significa Trabalho Autónomo.]
1. Averígue se a série∑
n≥1
[(−1)n + (−1)n+1
]é alternada. Mostre que é
convergente e tem soma S = 0.
2. Mostre que a série alternada∑
n≥1
(−1)nn
é simplesmente convergente.
3. Mostre que a série alternada∑
n≥1
(−1)nn2
é absolutamente convergente.
4. Mostre que a série alternada∑
n≥1[n(−1)n] é divergente.
5. [TA] Mostre que a série alternada∑
n≥1
(−1)n+2√n
é simplesmente con-
vergente.
6. [TA] Mostre que a série alternada∑
n≥1
[(−1)n+1 3
n!
]é absolutamente
convergente.
7. [TA] Mostre que são absolutamente convergentes as séries numéricas∑
n≥1un de termo geral
un =n (−1)n
(n2 + 1) (n+ 5), un = (−1)n+1 n sin
1
n3 + 1
e
un =n (−1)n+1n2 + 1
lnn+ 2
n+ 5.
8. [TA] Mostre que a série alternada∑
n≥1
[(−1)n+1 n
n+ 1
]é divergente.
ROSÁRIO LAUREANO 15
2 Séries funcionaisQuando o termo geral de uma série não depende apenas de n, mas
também de uma variável real x, a série diz-se uma série funcional (ousérie de funções). Uma das formas mais comuns de obter séries funcionaisé através do desenvolvimento de Taylor e de MacLaurin que tratamos napróxima secção.
2.1 Derivação e desenvolvimento de Taylor
Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real. Seja ainda aum ponto do seu domínio, a ∈ Df .
Definição 19 A derivada (de ordem 1 ou de 1a ordem) da função fno ponto a é
f ′(a) = limx→af (x)− f (a)
x− a ou ainda f ′(a) = limh→0f (a+ h)− f (a)
h,
sempre que este limite exista como número real.
Definem-se as derivadas de ordem superior a 1:
de ordem 2 : f ′′(x) = f ′[f ′ (x)
], também denotada por f (2)(x)
de ordem 3 : f ′′′(x) = f ′[f ′′ (x)
], também denotada por f (3)(x)
· · ·de ordem n : f (n)(x) = f ′
[f (n−1) (x)
].
Também se pode escrever f (1)(x) em vez de f ′ (x) e f (0)(x) em vez de f (x).
Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real e a ∈ Df umponto interior2 a Df . Seguindo a notação usual para derivadas de ordemsuperior a 1,
temos a seguinte definição3:
2Um ponto a é interior a Df se existe uma vizinhança de a contido em Df .3Também se pode escrever f (1)(x) em vez de f ′ (x) e f (0)(x) em vez de f (x).
ROSÁRIO LAUREANO 16
Definição 20 Se existem com valor real as derivadas até à ordem n + 1da função f em todos os pontos de uma vizinhança do ponto a, define-se odesenvolvimento de Taylor de ordem n de f no ponto a como sendo
f(x) = f(a) + f ′(a) · (x− a) + f′′(a)
2!· (x− a)2 + · · ·+ f
(n)(a)
n!· (x− a)n
︸ ︷︷ ︸Polinómio de Taylor de ordem n de f no ponto a
+Rn(x),
em que Rn(x) (designado por resto de Taylor de ordem n) é dado por
Rn(x) =f (n+1)(z)
(n+ 1)!· (x− a)n+1
para certo z compreendido entre x e a.
Sempre que o resto Rn(x) seja próximo de 0, o polinómio
Pn(x) = f(a) + f′(a) · (x− a) + f
′′(a)
2· (x− a)2 + · · ·+ f
(n)(a)
n!· (x− a)n
é uma boa aproximação da função quando x é próximo de a, ou seja,
f(x) ≈ Pn(x) quando x ≈ a.
Trata-se da aproximação polinomial de Taylor da função f com erroRn(x) de ordem n+ 1.
Quando a = 0, o desenvolvimento
f(x) = f(0) + f ′(0) · x+ f′′(0)
2!· x2 + · · ·+ f
(n)(0)
n!· xn
︸ ︷︷ ︸Polinómio de MacLaurin de ordem n de f no ponto a
+Rn(x)
diz-se o desenvolvimento de MacLaurin de ordem n de f no ponto a.Assume-se que f (0)(a) = f(a). O factorial de n ≥ 1, que é denotado por
n!, é definido como
n! = n · (n− 1) · (n− 2) · · · · · 3 · 2 · 1.
Por convenção, o factorial de 0 é 1, 0! = 1.
Sempre que consideramos apenas um número finito n de termos no de-senvolvimento de Taylor (ou de MacLaurin), obtemos uma aproximação(polinomial) de Taylor (ou de MacLaurin) da função com erro deordem n+ 1.
ROSÁRIO LAUREANO 17
2.1.1 Exercícios propostos
[No que segue TA significa Trabalho Autónomo.]
1. Considere f(x) = (x+ 3)2, uma potência de x + 3. Utilize o desen-volvimento de MacLaurin para escrever a função f como potências dex.
2. [TA] Utilize o desenvolvimento deMacLaurin para obter um polinómiode ordem 3 que aproxime a função y = expx.
3. Utilize o desenvolvimento de MacLaurin para obter:
(a) um polinómio de ordem 5 que aproxime a função y = sinx.
(b) um polinómio de ordem 4 que aproxime a função y = cosx.
(c) Use a calculadora gráfica para comparar o gráfico da função y =sinx com o gráfico do polinómio obtido na alínea (a). Procedado mesmo modo usando os polinómios de MacLaurin de y = sinxde ordens inferiores (ordem 1, 2, 3 e 4).
(d) Use a calculadora gráfica para comparar o gráfico da função y =cosx com o gráfico do polinómio obtido na alínea (b). Procedado mesmo modo usando os polinómios de MacLaurin de y = cosxde ordens inferiores (ordem 1, 2 e 3).
4. [TA] Mostre que
lnx ≈ x− 1− 12(x− 1)2 + 1
3(x− 1)3 − 1
4(x− 1)4 .
2.1.2 Soluções
1. f ′(x) = 2 (x+ 3) , f ′′(x) = 2 e f (n)(x) = 0 para n ≥ 3. Temos então
f(x) = f(0) + f ′(0) · x+ f′′(0)
2· x2 + f
(3)(0)
3!· x3 + · · ·
= 9+ 6 · x+ 22· x2 + 0
3!· x3 + · · · = 9 + 6x+ x2.
2. Dado que (expx)′ = expx, temos
expx ≈ 1 + x+ 12x2 +
1
6x3.
ROSÁRIO LAUREANO 18
3. (a) Temos f ′(x) = f (5)(x) = cosx, f ′′(x) = − sinx, f ′′′(x) = − cosx,e f (4)(x) = sinx. O polinómio pedido é
x− 16x3 +
1
120x5.
3. (b) Dado que cosx = (sinx)′ obtemos da alínea anterior que
cosx ≈ 1− 12x2 +
1
24x4.
2.2 Séries de potências de x e de x− aConsideremos as séries de potências, um caso particular de séries fun-
cionais que constituiem uma certa generalização da noção de polinómio.
Definição 21 Chama-se série de potências de x a toda a série da forma∑
n≥1
un(x) =∑
n≥1
(vn · xn−1
)= v1 + v2 · x+ v3 · x2 + v4 · x3 + · · · .
Para cada valor fixo de x, a série de potências∑
n≥1
(vn · xn−1
)dá lugar a
uma série numérica. Em geral, existem valores de x que conduzem a sériesnuméricas convergentes (absolutamente ou simplesmente) e valores de x queconduzem a séries numéricas divergentes. Como exemplo, consideremos asérie de potências de x
∑
n≥1
un(x) =∑
n≥1
xn−1 = 1 + x+ x2 + x3 + x4 + · · ·
em que vn = 1 para todo n ∈ N. Para x = 2 temos a série numérica∑
n≥1
un(2) =∑
n≥1
2n−1 = 1+ 2 + 4 + 8 + 16 + · · ·
que é divergente (o termo geral não tende para 0), enquanto para x = 1/2temos a série numérica
∑
n≥1
un
(1
2
)=∑
n≥1
(1
2
)n−1= 1 +
1
2+1
4+1
8+1
16+ · · ·
ROSÁRIO LAUREANO 19
que é absolutamente convergente (é uma série geométrica de razão 1/2 ∈]−1, 1[, tal como a sua série modular).
Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real tal que 0 ∈ Dfum ponto interior a Df . Quando existem as derivadas de f de todas asordens no ponto x = 0, o desenvolvimento de MacLaurin conduz à série depotências de x
f(x) = f(0) + f ′(0) · x+ f′′(0)
2!· x2 + · · ·+ f
(n)(0)
n!· xn + · · ·
=∑
n≥0
f (n)(0)
n!· (x)n (série de MacLaurin de f ).
A série de MacLaurin de f é uma boa representação da função f para osvalores de x que conduzem a uma série numérica convergente. Consideremosentão a proposição seguinte que define o domínio de convergência de sériesde potências de x.
Definição 22 O conjunto de valores de x para os quais a série de potências
∑
n≥1
un(x) =∞∑
n=1
(vn · xn−1
)
é convergente diz-se o domínio de convergência pontual (ou apenasdomínio de convergência) da série. Quando o domínio de convergênciaé um intervalo, a metade do comprimento desse intervalo diz-se o raio deconvergência da série.
Os critérios de Cauchy e de D’ Alembert podem ser usados directamentepara obter o domínio de convergência de uma série de potências, aplicadosao termo geral com módulos. Contudo, em consequência desses mesmoscritérios, é válido o seguinte resultado para determinação do domínio deconvergência.
Proposição 23 A cada série de potências de x,∑
n≥1
un(x) =∑
n≥1
(vn · xn−1
),
ROSÁRIO LAUREANO 20
está associado um número real R ≥ 0 ou R = +∞ tal que se x ∈ ]−R,R[(ou seja, se |x| < R) então a série numérica correspondente é absolutamenteconvergente e se x ∈ ]−∞,−R[ ∪ ]R,+∞[ (ou seja, se |x| > R) a sérienumérica correspondente é divergente. O valor de R é dado pelo quociente
R =1
L
em que L é o valor do limite superior
L = limn
n√|vn|.
Quando existe, o limite
L = limn
∣∣∣∣vn+1vn
∣∣∣∣
tem o mesmo valor que o limite limn n√|vn|. Neste caso, também podemos
obter L por esse limite.
Este resultado não permite concluir a natureza da série de potênciaspara x = R e x = −R (ou seja, para |x| = R). Para estes valores de x énecessário um estudo particular, ou seja, substituir na série de potências avariável x por R e por −R e estudar as séries numéricas respetivas,
∑
n≥1
un(R) =∑
n≥1
(vn ·Rn−1
)e
∑
n≥1
un(−R) =∑
n≥1
[vn · (−R)n−1
].
Após o estudo destas séries numéricas, os valoresR e−R são ou não incluídosno domínio de convergência, mesmo que nestas séries a convergência sejaapenas simples.
Se R = 0 (caso em que L = +∞) então o domínio de convergência dasérie de potências é D = {0}. Se R = +∞ (caso em que L = 0+) então odomínio de convergência da série de potências é D = R.
Quando R é um número real (portanto, quando R é finito) então Rcorresponde ao raio de convergência da série de potências. Dado o exposto,
o raio de convergência da série de potências∞∑
n=1
(vn · xn−1
)corresponde ao
limiteR =
1
limnn√|vn|
ROSÁRIO LAUREANO 21
e, caso exista, ao limite
R =1
limn
∣∣∣∣vn+1vn
∣∣∣∣
=1
limn|vn+1||vn|
= limn
|vn||vn+1|
= limn
∣∣∣∣vnvn+1
∣∣∣∣ .
Consideremos agora o caso mais geral de séries de potências de x− a.
Definição 24 Chama-se série de potências de x − a a toda a série daforma ∑
n≥1
un(x− a) =∑
n≥1
[vn · (x− a)n−1
].
Seja f : Df ⊆ R → R uma função real de variável real e a ∈ Df umponto interior aDf . Quando existem as derivadas de f de todas as ordens noponto x = a, o desenvolvimento de MacLaurin conduz à série de potênciasde x− a
f(x) = f(a) + f ′(a) · (x− a) + f′′(a)
2!· (x− a)2 + · · ·+ f
(n)(a)
n!· (x− a)n + · · ·
=∑
n≥0
f (n)(a)
n!· (x− a)n (série de Taylor de f no ponto a),
Cada uma das séries de Taylor (conforme o ponto x = a tomado) é umaboa representação da função f para os valores de x que conduzem a umasérie numérica convergente. Consideremos então a proposição seguinte quedefine o domínio de convergência de séries de potências de x− a.
Proposição 25 A série de potências∑
n≥1
[vn · (x− a)n−1
]é convergente
para os valores de x que verifiquem x ∈ ]a−R, a+R[ (ou seja, |x− a| < R)e divergente para x ∈ ]−∞, a−R[ ∪ ]a+R,+∞[ (ou seja, |x− a| > R) emque R é dado por
R =1
Lcom
L = limn
∣∣∣∣vn+1vn
∣∣∣∣ ou L = limn
n√|vn|.
Se |x− a| > R então a série de potências é divergente.
ROSÁRIO LAUREANO 22
Para x = a−R e x = a+R (ou seja, |x− a| = R) é necessário um estudoparticular.
2.2.1 Exercícios propostos
1. Considere a série de potências
´∑
n≥1
xn−1 = 1+ x+ x2 + x3 + x4 + · · · .
(a) Use o Critério da Razão de D’Alemberg para mostrar que odomínio de convergência da série de potências é o intervalo ]−1, 1[.
(b) Dado que, para cada x ∈ ]−1, 1[, a série de potências de x dálugar a uma série geométrica, obtenha
∑
n≥1
xn−1 =1
1− x.
2. Obtenha os seguintes desenvolvimentos de MacLaurin e mostre, peloCritério da Razão de D’Alemberg, que estes são válidos para todo ox ∈ R:
(a) expx =∑
n≥1
[1
(n− 1)!xn−1
]
(b) sinx =∑
n≥1
[(−1)n−1(2n− 1)!x
2n−1
]
(c) cosx =∑
n≥1
[(−1)n−1(2n− 2)!x
2n−2
]
.
3. [TA] Mostre que série de potências de x
∑
n≥1
un(x) =∑
n≥1
xn
[3 + (−1)n]2n,
tem o intervalo ]−4, 4[ como domínio de convergência.
4. Determine o domínio de convergência das seguintes séries de potênciasde x :
ROSÁRIO LAUREANO 23
(a)∑
n≥1un(x) =
∑
n≥1
xn
n!
(b)∑
n≥1un(x) =
∑
n≥1(n! · xn)
(c) [TA]∑
n≥1un(x) =
∑
n≥1
(−1)n · xnn · 2n
(d) [TA]∑
n≥1un(x) =
∑
n≥1
x2n−1
2n− 1
(e) [TA]∑
n≥1un(x) =
∑
n≥1
xn√nn.
5. [TA] Determine o domínio de convergência das seguintes séries depotências de x− 2 :
(a)∑
n≥1un(x− 2) =
∑
n≥1
[n(x− 2)n−1
]
(b)∑
n≥1un(x− 2) =
∑
n≥1
[(−1)n (x− 2)
2n+1
(2n+ 1)!
].
6. [TA] Mostre que D = [0, 2] é o domínio de convergência da série depotências
∑
n≥1
un(x− 1) =∑
n≥1
(x− 1)nn2
.
7. [TA] Determine os valores de x ∈ R para os quais os seguintes de-senvolvimentos em série de potências convergem para as respectivasfunções:
(a) 1 + x2 +1
2x4 +
1
6x6 + · · ·+ x
2n
n!+ · · · = exp(x2)
(b)1
2− 14(x− 2) + 1
8(x− 2)2 − · · ·+ (−1)n−1 (x− 2)
n−1
2n+ · · · = 1
x
ROSÁRIO LAUREANO 24
2.2.2 Soluções4. (a) Dconv = R.
4. (b) Dconv = {0}.
4. (c) Dconv = [−2, 2[ mas a convergência é simples em x = 2.
4. (d) Dconv = ]−1, 1[.
4. (e) Dconv = R.
5. (a) Dconv = ]1, 3[ .
5. (b) Dconv = R.
7. (a) Para todo o x ∈ R.
7. (b) Para x ∈ ]0, 4[ .
