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15 Integrais Mltiplas

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15.8 Integrais Triplas em

Coordenadas Cilndricas

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Integrais Triplas em

Coordenadas Cilndricas

Em geometria plana, o sistema de coordenadas polares

usado para dar uma descrio conveniente de certas

curvas e regies. A Figura 1 nos permite relembrar a

ligao entre coordenadas polares e cartesianas.

Figura 1

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Integrais Triplas em

Coordenadas Cilndricas

Se o ponto P tiver coordenadas cartesianas (x, y) e

coordenadas polares (r, ), ento, da figura,

x = r cos y = r sen

r2 = x2 + y2 tg =

Em trs dimenses, h um sistema de coordenadas,

chamado coordenadas cilndricas, que anlogo s

coordenadas polares e d descries convenientes de

algumas superfcies e slidos que ocorrem usualmente.

Como veremos, algumas integrais triplas so muito mais

fceis de calcular em coordenadas cilndricas.

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Coordenadas Cilndricas

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Coordenadas Cilndricas

No sistema de coordenadas cilndricas, um ponto P no

espao tridimensional representado pela triplo ordenada

(r, , z) onde r e so as coordenadas polares da projeo de P no plano xy e z a distncia orientada do plano xy a

P. (Veja a Figura 2.)

Figura 2

As coordenadas cilndricas de um ponto P

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Coordenadas Cilndricas

Para convertermos de coordenadas cilndricas para

retangulares, usamos as equaes

enquanto que para converter de coordenadas retangulares

para cilndricas, usamos

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Exemplo 1

(a) Marque o ponto com coordenadas cilndricas

(2, 2 /3, 1) e encontre suas coordenadas retangulares.

(b) Encontre as coordenadas cilndricas do ponto com

coordenadas retangulares (3, 3, 7).

SOLUO:

(a) O ponto com coordenadas cilndricas (2, 2 /3, 1) est marcado na Figura 3.

Figura 3

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Exemplo 1 Soluo

Das Equaes 1, suas coordenadas retangulares so

Logo, o ponto (1, , 1), 1) em coordenadas retangulares.

continuao

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Exemplo 1 Soluo

(b) Das Equaes 2 temos

Portanto, um conjunto de coordenadas cilndricas ( ,

7 /4, 7). Outro ( , /4, 7). Como no caso das coordenadas polares, existem infinitas escolhas.

continuao

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Clculo de Integrais Triplas com

Coordenadas Cilndricas

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Clculo de Integrais Triplas com

Coordenadas Cilndricas

Suponha que E seja uma regio do tipo 1, cuja projeo D

no plano xy tenha uma representao conveniente em

coordenadas polares (veja a Figura 6).

Figura 6

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Clculo de Integrais Triplas com

Coordenadas Cilndricas

Em particular, suponha que f seja contnua e

E = {(x, y, z) | (x, y) D, u1(x, y) z u2(x, y)}

Sabemos da equao que

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Clculo de Integrais Triplas com

Coordenadas Cilndricas

Mas tambm sabemos como calcular integrais duplas em

coordenadas polares. De fato, obtemos

A Frmula 4 a frmula para a integrao tripla em

coordenadas cilndricas. Ela nos diz que convertemos

uma integral tripla em coordenadas retangulares para

coordenadas cilndricas escrevendo x = r cos , y = r sen , deixando z como est, utilizando os limites apropriados de

integrao para z, r e , e trocando dV por r dz dr d.

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Clculo de Integrais Triplas com

Coordenadas Cilndricas

(A Figura 7 mostra como lembrar disto).

recomendvel a utilizao dessa frmula quando E for

uma regio slida cuja descrio mais simples em

coordenadas cilndricas e, especialmente, quando a funo

f (x, y, z) envolver a expresso x2 + y2.

Figura 7

Elemento de volume em coordenadas

cilndricas: dV = r dz dr d

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Exemplo 3

Um slido E est contido no cilindro x2 + y2 = 1, abaixo do

plano z = 4, e acima do paraboloide z = 1 x2 y2. (Veja a Figura 8.) A densidade em qualquer ponto proporcional

distncia do ponto ao eixo do cilindro. Determine a massa

de E.

Figura 8

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Exemplo 3 Soluo

Em coordenadas cilndricas, o cilindro r = 1 e o

paraboloide z = 1 r2 e podemos escrever

E = {(r, , z) | 0 2, 0 r 1, 1 r2 z 4}

Com a densidade em (x, y, z) proporcional distncia do

eixo z, a funo densidade

onde K a constante de proporcionalidade.

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Exemplo 3 Soluo

Portanto, a massa de E

continuao