1.Resolução Teorema de Norton Seção 1.3

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1

O Teorema de Norton simplifica um circuito em termos de correntes.

Esse teorema pode ser usado para reduzir uma rede a um circuito

simples em paralelo com uma fonte de corrente. Esse circuito

simplificado ser composto por uma fonte de corrente, citada

anteriormente, com valor de corrente , e dois resistores em

paralelo a essa fonte, sendo um o Resistor de Norton, , e o outro

o externo.

O circuito equivalente ter a seguinte configurao

Teorema de Norton

NI

a

b

Onde o resistor externo sobre o qual deseja-se conhecer as informaes.

extR

NR extR

NI

NR


Lista 1

Seo 1.3


A)

No Teorema de Norton, retiramos o resistor desejado do circuito, e em seu lugar formado um

curto circuito, ento encontramos uma corrente que passa por ele. O procedimento para

encontrar pelo mtodo de Norton o seguinte: NI

Colocando a fonte de 1V em repouso e o resistor de 3 transformado em curto, iremos encontrar a

corrente que passa por ele, chamada de :

'NI

a

b

AIR

VI NN 2'

1

2'

*com o curto formado, a corrente

deixa de passar pelos resistores

riscados, pois o curto cria um

caminho livre para sua passagem.

*negativo pois IN

est contrria

corrente gerada

pela fonte.

0i

NI

a

b


Colocando a fonte de 2V em repouso e o resistor de 3 transformado em curto:

"NI

a

b

AIN2

1"

A corrente a que passa somente pelo resistor de 2, pois o de 1, riscado acima, no

receber corrente devido ao curto. Ento:

"NI

"' NNN III

A corrente que deseja-se encontrar a soma das parciais encontradas anteriormente: NI

AII NN2

3

2

12


O prximo valor a ser encontrado a , que encontrada colocando-se todas as fontes em

repouso, aps, considera-se uma corrente que sai de a e vai para b nos terminais do resistor

retirado. A ser a resistncia equivalente de todos os resistores por onde a corrente passar:

NR

NR

a

b

a

b

Os resistores riscados no recebem corrente devido ao curto gerado pela fonte de tenso em

repouso, logo os resistores que participaro sero o de 1 e o de 2 no riscados acima.

Resumindo o circuito, podemos consider-lo assim:

Os resistores esto em paralelo, logo a resistncia ser dada por: NR

2

11

1

NR

3

2NR


O circuito equivalente formado por uma fonte de corrente, com a corrente de sada igual ao valor

de calculado, ;o resistor de Norton tambm calculado, ; e o resistor retirado

anteriormente no circuito original, no qual deseja-se encontrar , os dois em paralelo: NI 3

2

3

33

2

2

3

3

2

0

i

A2

3

3

23

0i

a

b

Ai11

30

A corrente encontrada aplicando-se o divisor de corrente, pois ambos os resistores esto

em paralelo, logo a corrente se dividir proporcionalmente. A corrente, ento, que passa pelo

resistor de 3 :

0i

A2

3


Retirando o resistor e formando um curto em seu lugar, e j colocando a fonte de 1V em repouso:

Somente o resistor de 1 que no est riscado acima recebe corrente, logo:

*negativo pois IN

est contrria

corrente gerada

pela fonte. AIN 2

1

2'

Agora para encontrar a queda de tenso no resistor de 2 no circuito, o procedimento o mesmo,

ento, retirando o resistor e colocando um curto em seu lugar, podemos calcular a corrente

que passa no ramo: NI

'NI

a b

a b


"NI

a b

Colocando a fonte de 2V em repouso:

A corrente ser aquela que passa por todo o ramo esquerda da fonte. Para conhecer essa

corrente calculamos o resistor equivalente para aplicarmos a lei de Ohm, como feito abaixo:

"NI

a b

4

3

AII NN3

4"

4

3

1"

"NI

3

42NI

Somando os valores parciais de IN calculados:

AIN3

10


a b

A resistncia ser somente o valor equivalente do resistor de 1 em paralelo com o de 3: NR

a b

4

3

4

3NR

Podemos considerar ento o circuito equivalente abaixo:

Logo, o valor de ser: NR


Podemos ento montar o circuito equivalente:

Aii11

10'

24

3

3

10

4

3

'

A3

10

4

32

0e

a

b

Ve11

200

Para conhecer a tenso no resistor de 2, encontramos a corrente que est passando sobre

ele, e aps, aplicamos a lei de Ohm para conhecermos a tenso. Chamando de essa

corrente:

0e

'i

11

1020e

Aplicando a lei de Ohm:

'i


B)

Para encontrar : 0i

Colocando a fonte de 1V em repouso, e retirando o resistor de 3 onde se deseja encontrar a

corrente:

'NI

a

b

3

2eqR

AII NN 3'

3

2

2'

A corrente ser, ento, toda a corrente gerada pela fonte de tenso, ento: 'NI

a

b


"NI

a

b

O valor de mostrado abaixo: "NI

O curto gerado de a para b cria um caminho mais fcil para a corrente, assim, o resistor de 2

descartado, conforme mostrado acima, assim a corrente ser: "NI

AII NN 1"1

1"

Somando os valores encontrados, teremos:

AII NN 213


Para conhecer o valor de fazemos: NR

a

b

a

b

3

2

O valor desejado ser o equivalente dos dois resistores em paralelo. O circuito pode ser escrito da

seguinte maneira:

3

2NR


A2 3

23

Montando o circuito equivalente:

33

2

23

2

0

i

0i

a

b

Ai11

40

A corrente encontrada atravs do divisor de corrente, aplicando ento o mtodo temos: 0i


Para encontrar : 0e

Colocando-se a fonte de 1V em repouso, teremos:

a

b

'NI

Pelo curto, a corrente encontra um caminho mais simples, logo o resistor de 1 ser descartado,

a corrente desejada, ento, ser definida somente pelo resistor de 3:

AIN3

2'

a

b


a

b

"NI

Para encontrar teremos a seguinte configurao do circuito, colocando a fonte de 2V em

repouso:

"NI

Agora, o resistor de 3 ser descartado devido ao caminho mais simples no curto, a corrente

desejada ser a que passa pelo resistor de 1:

AII NN 11

1"

Somando-se os valores encontrados:

13

2NI

AIN3

5


a

b

Para encontrar teremos a seguinte configurao do circuito: NR

O valor desejado ser o equivalente em paralelo dos dois resistores.

O circuito com os valores equivalentes so:

a

b

4

3

4

3NR


A3

5

4

32

O circuito equivalente de Norton ser:

Aii11

5'

24

33

5

4

3

'

0e

a

b

Ve11

100

Para saber o valor de no resistor de 3 precisamos conhecer a corrente que est passando

sobre ele, chamando essa corrente de , a encontramos usando o divisor de corrente: 0e

'i

Aplicando a lei de Ohm encontramos , a corrente a ser usada encontrada acima: 0e 'i

11

520 e

'i


C)

Para encontrar : 0i

'NI

a

b

'NI

A corrente aquela que passa pelo resistor de 3, como os ramos esto em paralelo, a

tenso neste resistor conhecida, 2V , ento a corrente dada pela lei de Ohm:

'NI

AIN3

2'

a

b

Colocando inicialmente a fonte de 1V em repouso, para encontrar a corrente


a

b

"NI

Agora colocando a fonte de 2V em repouso:

O curto gerado pela fonte de 2V em repouso impede a passagem de corrente para o resistor de

3, logo, no h passagem de corrente onde est, ento seu valor zero. "NI

0"NI

Somando os valores encontrados:

03

2NI

AIN3

2


a

b

Com as duas fontes agora em repouso, encontraremos : NR

Se a corrente vai de a para b , somente o resistor de 3 participar, pois as duas fontes em

repouso geram curtos que impedem a corrente de passar pelos resistores que esto riscados

acima, logo:

3NR

A3

23 1

13

33

2

0

i

0i

a

b

Ai2

10

Montando o circuito equivalente, encontramos atravs do mtodo de divisor de corrente: 0i


Agora para encontrar : 0e

Vamos iniciar o processo obtendo

a b

a b

NR

Note que no h passagem da corrente imaginria de a para b devido ao curto gerado pelas

duas fontes de tenso em repouso, ento podemos cortar as resistncias riscadas. Com isso

teremos:

0NR

Como no possvel determinar um dos componentes do circuito equivalente, no h como

trabalhar no circuito usando o mtodo de Norton para encontrar o que se pede.

Ento, no h soluo para o desejado pelo mtodo de Norton. 0e


D)

Vamos proceder na obteno de . 0i

Este circuito possui uma fonte de corrente e uma de tenso, vamos colocar primeiramente a fonte

de corrente em repouso (lembrando que a fonte de corrente em repouso uma abertura no

circuito):

a b

'NI

O resistor de 4 est em paralelo com o curto, ento no h passagem de corrente por ele, nem

pelo resistor de 1 pois o circuito se encontra aberto...

a b


...ento a corrente que passa pelo resistor de 3, ignorando todos os outros. Pela lei de

Ohm:

'NI

AIN3

2'

a b

"NI

Colocando a fonte de tenso agora em repouso:

O curto em paralelo com os resistores de 3 e de 4 um caminho mais simples para a corrente,

ento eles no recebem corrente, ento o caminho que a corrente de 1A que sai da fonte percorre,

somente atravs do resistor de 1, j que ela no se divide em nenhum outro resistor:

a b

"NI

AIN 1"


Somando os valores obtidos:

AII NN3

51

3

2

a b

Colocando ambas as fontes em repouso agora, para obter : NR

Essa resistncia ser a equivalente entre os resistores de 3 e 4 , em paralelo, pois no resistor

de 1 no h passagem de corrente pois a fonte de corrente est em repouso.

*em paralelo

7

12NR


A3

5

7

122

O circuito equivalente de Norton ser:

27

123

5

7

12

0

i

0i

a

b

Ai13

100

Para saber o valor de basta aplicar o divisor de corrente: 0i


Encontrando agora : 0e

Colocando a fonte de corrente primeiramente em repouso:

a

b

'NI

A corrente aquela que est passando pelos resistores de 4 e 2 ( em paralelo), uma vez

que o resistor de 1, riscado acima, no participar dos clculos :

'NI

3

4

AII NN2

3'

3

4

2'

a

b


a

b

"NI

A corrente ser toda a corrente que sai da fonte de 1A ...

...pois o curto impede que os resistores de 4 e 2 recebam corrente, ento:

"NI

AIN 1"

12

3NI

O valor final ser:

AIN2

1


a

b

Para encontrar observe que o resistor de 1 no participar dos clculos pois no recebe

corrente, a resistncia de Norton ser o equivalente dos resistores de 4 e 2 em paralelo:

3

4

3

4NR

A2

1

3

43

3

33

43

4

2

1

0

e

0e

a

b

Ve13

60

Montando o circuito equivalente, dado pela lei de Ohm, a resistncia multiplicada pela

corrente que passa por ela, dada pelo divisor de corrente:

NR

0e

* a corrente

que passa pelo

resistor de 3


E)

Inicialmente, encontraremos : 0i


a

b

'NI

A corrente aquela que se divide para o lado esquerdo da fonte de corrente, pois ela est

em paralelo, logo sua corrente se dividir entre os ramos paralelos.

'NI

a

b


Ento, pelo divisor de corrente:

AII NN4

3'

26

16'

Colocando a fonte de corrente em repouso:

a

b

"NI

A corrente se dar pela lei de Ohm, aplicada somente ao resistor que est participando dos

clculos, 3 :

"NI

AIN3

1"

3

1

4

3NI

Agora, somando os valores das correntes encontrados:

AIN12

5


a

b

Calculando o valor de , observe que, com as fontes em repouso, teremos o ramo da

esquerda em paralelo com o ramo da direita, tomando a e b por base. NR

a

b

Somando os resistores em srie:

8

11

24NR

Ento, a resistncia desejada o equivalente dessas duas:


A12

5

11

244

Ento, montando o circuito equivalente:

411

2412

5

11

24

0i

0i

a

b

Ai34

50

Para saber o valor de basta aplicar o divisor de corrente: 0i


a b

'NI

Agora para obtermos : 0e

Colocando a fonte de corrente em repouso:

A corrente toda a corrente que sai da fonte de 1V, simplificando o circuito: 'NI

*em srie!!!

a b

'NI

8

3

8

a b


Ento, conhecemos aplicando a lei de Ohm: 'NI

AII NN8

3'

3

8

1'

a b

"NI

Colocando a fonte de tenso em repouso:

Agora dada atravs do divisor de corrente, ser a corrente que vai para a parte

esquerda da fonte, ignorando o resistor de 4 que no recebe corrente:

"NI

AII NN

4

3"

)15(2

115"

4

3

8

3NI


AIN8

9


a b

Encontrando agora a : NR

3

8NR

*em srie!!!

A resistncia desejada ser o equivalente do resistor de 4 em paralelo com todos os outros que

esto em srie, ento:

A8

9

3

83

3

33

83

8

8

9

0

e

0e

a

b

Ve17

270

* corrente que

passa pelo

resistor de 3



F)

Neste circuito, para encontrar o valor de ,vamos comear identificando o valor de : NR0i

Colocando todas as fontes em repouso, e retirando-se o resistor de 1:

a b

a b

Observe que no h caminho de a para b, pois a fonte de corrente em repouso impede a

passagem da corrente imaginria saindo de a. Isso implica em:

0NR

Como no conseguimos definir o valor de para esse circuito, no necessrio proceder

com o resto do mtodo, pois para esse circuito no possui soluo por Norton. NR

0i


Agora procedendo na obteno de . Comearemos tambm definindo primeiramente: NR0e

a b

a b

Retirando o resistor, e colocando todas as fontes em repouso:

Novamente no teremos como definir , pois a fonte de 1A obstrui a passagem da corrente

imaginria. Ento, se no possvel definir : NR

NR

0NR

Ento, o circuito no tem soluo por Norton, para a determinao de . 0e


G)

Comeando o exerccio determinando : 0i

a

b

a

b

'NI

Colocando a fonte de 2A em repouso:

A corrente a corrente sobre o resistor de 2, aplicando o divisor de corrente: 'NI

AII NN3

1'

21

11'



a

b

"NI

A corrente a corrente sobre o resistor de 1, aplicando o divisor de corrente: "NI

AII NN 1"11

12"

AII NN3

21

3

1

O valor final de : NI

a

b

Para o valor de note que, com as fontes em repouso, o circuito assume a seguinte

configurao: NR

*em srie. *em srie.


Aps a associao em srie, os circuitos esto em paralelo, a dada pelo equivalente entre

eles:

5

6NR

NR

A3

2

5

63

35

65

6

3

2

0i

0i

a

b

Ai21

40


Atravs do divisor de corrente:


Encontrando agora o valor de : 0e

a b


a b

'NI

Observando essa configurao do circuito, a disposio dos resistores fica da seguinte forma: o de

3 em paralelo com o de 1, depois o equivalente em srie com o outro resistor de 1, e tudo fica

em paralelo com o ltimo resistor de 1.

*em paralelo...

...o equivalente

em srie com

esse...

...finalmente o equivalente dos

ltimos em paralelo com este.

A2 1 4

71

4

3

necessrio determinar a corrente que primeiro se divide nessa configurao dos dois resistores

em paralelo. Chamando essa corrente de : 'i

'i


Aii11

8'

4

71

21'

Aplicando o divisor de corrente:

a b

'NI

Essa a corrente que mais uma vez se dividir entre os resistores de 3 e o de 1.

A corrente desejada aquela que passa pelo resistor de 1, observe na figura abaixo: 'NI

AII NN11

6'

13

11

83

'

Por meio do divisor de corrente:


a b

"NI


Faremos o mesmo processo, precisamos encontrar os resistores equivalentes e descobrir a

corrente que se divide, para conhecer . Os resistores esto dispostos da seguinte forma: "NI

a b

"NI

*em srie...

...a srie est

em paralelo

com esse...

...e o equivalente deles em

paralelo com este.

Fazendo as operaes com os equivalentes:

A115

6

a b

"NI

O valor da corrente desejada aquela que vai para os resistores que equivalem a . 5

6"NI


AII NN11

5"

15

6

11"

Aplicando o divisor de corrente:

Somando os valores encontrados, podemos determinar : NI

11

5

11

6NI

AIN 1

a b

Agora, determinando a resistncia equivalente : NR

*esses dois em srie...

...que esto em

paralelo com

esse.


A12

a b

13

Fazendo a soma da srie, teremos essa configurao.

Onde o resistor de 2 est em paralelo com o de 3, que esto em srie com o de 1.

Logo teremos:

15

6NR

5

11NR

A1 5

112

2

25

115

111

0

e

0e

a

b

Ve21

220

O circuito equivalente ser:


H)

Vamos encontrar primeiramente .

a b

0i

Como o circuito possui 3 fontes, teremos 3 parciais do valor total de , e devemos trabalhar

apenas com uma, colocando as outras duas em repouso.

Colocando as fontes de 1A e de 2V em repouso:

NI

a b

'NI

AIN3

1'Devido ao curto, somente o resistor de 3

receber corrente. Pela lei de Ohm:


a b

"NI

Colocando ambas as fontes de tenso em repouso:

Como temos um curto nos terminais da fonte, nenhum componente recebe corrente, ento a

corrente procurada a mesma da fonte: "NI

AIN 1"

a b

'''NI

Agora com as fontes de 1V e 1A em repouso:

AIN3

2'''

A corrente aquela que passa pelo resistor de 3, como a fonte de tenso est em

paralelo com os ramos do circuito, aplicando a lei de Ohm conhecemos a corrente procurada:

'''NI


a b

Colocando todas as trs fontes em repouso:

3NR

Somando as parcelas encontradas:

3

21

3

1NI

AIN3

2

Os resistores de 5 e 2 no recebem a corrente imaginada para determinao da .Logo o

nico resistor que participar o de 3: NR


A3

23 1

13

3

23

0i

0i

a

b

Ai2

10



Encontrando agora :

a b

0e

Colocando as fontes de 1A e 2V em repouso:

a b

'NI

AIN 1'

a b

"NI

Colocando as duas fontes de tenso em repouso:


AIN 1"

O valor de toda a corrente que sai da fonte, pois ela est ligada a um curto impedindo que

os componentes recebam corrente, ento:

"NI

Colocando agora as fontes de 1V e 1A em repouso.

a b

'''NI

O valor de encontrado pela lei de Ohm, uma vez que conhecemos a tenso no ramo

esquerda da fonte: '''NI

AIN 2'''


211 NI

AIN 2


a b

Determinando agora a resistncia , colocando todas as fontes em repouso. NR

O curto impede a passagem da corrente que imaginamos de a para b nos resistores de 5 e

2, ento, o valor procurado somente o resistor de 1.

1NR

A2 1 3

331

120

e

0e

a

b

Ve2

30



I)

Encontrando de incio: 0i

a

b


a

b

'NI

*em paralelo

*em

srie

A corrente dada pela lei de Ohm, usando os resistores equivalentes:

AII NN15

8'

8

15

1'

'NI


a

b

"NI


A disposio dos resistores a mesma, mudando somente o valor da tenso quando aplicarmos a

lei de Ohm:

AII NN15

16"

8

15

2"

Somando agora os valores obtidos:

15

16

15

8NI

AIN15

8


a

b

Para encontrar a resistncia temos: NR

Os trs ramos esto em paralelo, ento, ser o equivalente em paralelo dos resistores: NR

5

23

15NR

A15

8

23

152

223

1523

15

15

8

0i

0i

a

b

Ai61

80



a

b

Encontrando agora . 0e


a

b

'NI

Com a fonte disposta dessa forma, teremos dos quatro resistores, dois paralelos entre si, e os

equivalentes de cada par em paralelo em srie. Fazendo-se as equivalncias, teremos um circuito

com os valores abaixo:

4

3

3

2'e

Precisamos encontrar a queda de tenso no resistor que equivale a 3/4 , para depois encontrarmos a corrente . Chamaremos a queda de tenso de : 'NI 'e


Atravs do divisor de tenso, temos:

Vee17

18'

3

2

4

3

24

3

'

Essa tenso comum aos resistores de 1 e 3. Pela lei de Ohm agora possvel encontrar ,

que a corrente que passa pelo resistor de 1:

'NI

AII NN17

18'

1

17

18

'

a

b

"NI


Devemos proceder da mesma maneira, encontrando uma tenso no resistor equivalente. Ento:

4

3

3

2"e


Aplicando o divisor de tenso, temos:

Vee17

9'

3

2

4

3

14

3

'

Calculando a corrente que est sobre o resistor de 1:

AII NN17

9"

1

17

9

"

Somando os valores parciais para obter o total: NI

17

9

17

18NI

AIN17

9


a

b

Colocando as duas fontes em repouso agora, vamos calcular : NR

Temos trs resistores em paralelo, calculando a equivalente:

a

b

11

6

11

17NR


A17

9

11

174

4

11

174

17

9

11

17

0

e

0e

a

b

Ve61

360



J)

Comeando a anlise por : 0i

a b

A fonte em repouso cria um curto que

impede a passagem de corrente pelo

resto do circuito em paralelo, logo, se no

existe corrente passando por :

a b

'NI

0'NI


'NI


a b

"NI


4

3

A tenso para os dois ramos em paralelo com a fonte a mesma, ento, a corrente que

vai para o ramo da esquerda, e dada pela lei de Ohm:

"NI

AII NN3

4"

4

3

1"

3

40NI

Somando os valores obtidos:

AIN3

4


a bPara calcular : NR

Quando colocamos as fontes em repouso, o resistor de 1, riscado no circuito acima, no recebe

corrente, ento, a resistncia a equivalente do resistor de 3 e 1 em paralelo: NR

4

3NR

A3

4

4

34

44

33

4

4

3

0i

0i

a

b

Ai19

40



a b

Calculando agora : 0e

Vamos comear esse exerccio encontrando a resistncia . NR

a b

No possvel determinar a resistncia desejada, pois o curto impede a passagem da corrente

imaginria. Ento:

0NR

Se no possvel determinar , esse circuito no tem soluo por Norton na determinao

de . 0e

NR

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