(2) Conceitos Básicos Da Teoria de Erros - Guidg.com

8/18/2019 (2) Conceitos Básicos Da Teoria de Erros - Guidg.com

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28/1/2013 – MEF: Conceitos básicos da teoria de erros.Tags: Medidas, cálculos com medidas, operações, exercícios resolvidos, análise e demonstrações.

I - Esse estudo requer conhecimento em Medidas, Algarismos significativos, Notação cientifica e Unidades SI.

II - Esse estudo é direcionado aos alunos que cursam a disciplina de Medidas Físicas da UDESC-CCT.

III - Correções e adaptações serão feitas regularmente, não use este estudo como fonte única de estudos.

Sumário

1 INTRODUÇÃO...................................................................................................................................................................2

2 CLASSIFICAÇÃO OU TIPOS DE ERROS .......................................................... .......................................................... 3

2.1 Erro de Escala ........................................................... ........................................................... .......................................3 2.2 Erro Sistemático..........................................................................................................................................................3 2.3 Erro Acidental (Erro Randômico ou Erro Aleatório) ........................................................... .......................................4 2.4 Erro máximo................................................................................................................................................................4

3 MEDIDAS INDIRETAS CONSIDERANDO ERROS DE ESCALA ......................................................... ...................5

3.1 Cálculo da Área (exemplo) ........................................................... ........................................................... ...................6 3.2 Cálculo do Volume (exemplo) ...................................................... ........................................................... ...................7

4 REGRAS BÁSICAS PARA MEDIDAS INDIRETAS.....................................................................................................8

5 MEDIDAS EXPERIMENTAIS.........................................................................................................................................9

5.1 Média (Valor mais provável) ........................................................ ........................................................... ...................9 5.2 Desvio médio .................................................. ............................................................ ..............................................10 5.3 Desvio padrão............................................................................................................................................................10

6 RESULTADO DE UM CONJUNTO DE MEDIDAS DE UMA GRANDEZA.................................................... .......11

7 ERRO RELATIVO ..........................................................................................................................................................13

8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR.......................................................... .......15


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1 INTRODUÇÃO

O objetivo das atividades em laboratório de um experimentador é fazer uma análise quantitativa de certaspropriedades do sistema observado. Esse estudo é feito através de repetidas medições de grandezas físicasde interesse do experimentador. É no processo de medições que entram os erros, pois absolutamentenenhum instrumento de medida é livre de erros, cabe então ao experimentador tratar adequadamente esses

erros. Entretanto não devemos confundir erro com engano, também chamado de erro grosseiro, esteúltimo aparecendo devido a falta de habilidade do experimentador, e é perfeitamente evitável, entãointerpretaremos neste curso o termo ERRO como aquele que não podemos evitar. Naturalmente não temmuito significado apresentar uma medida sem expressar o erro, uma vez que esta medida pode estar muitodistante do valor real da grandeza, contudo a teoria de erros também não nos da o valor real da medida, esim uma estimativa do erro máximo.Atualmente qualquer experimentador de medições não pode deixar de aplicar os métodos matemáticos detratamento dos dados experimentais, entretanto a estatística matemática não é perfeita, daí o fato de queaté agora não existem recomendações universalmente aceitas com respeito à apresentação de resultadosexperimentais. Para este curso, que direcionaremos a disciplina de MEF da UDESC-CCT Joinville,listaremos a seguir algumas das regras adotadas para a aplicação nas disciplinas de Física Experimental.


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2 CLASSIFICAÇÃO OU TIPOS DE ERROS

2.1 Erro de EscalaÉ o erro devido ao limite de precisão do instrumento de medida.

* Para este curso consideraremos o erro de escala como sendo igual à metade da menor medida.

* Os traços em vermelho mostram o erro de escala de cada régua.

A) Em uma régua decimetrada seria de 0,5 dm .B) Em uma régua centimetrada seria de 0,5 cm .C) Em uma régua milimetrada esse erro seria de 0,5 mm .

Exemplo 1: Ao efetuar uma medida (diretamente) obteve-se o seguinte valor: 583,4mm , onde oalgarismo duvidoso é o 4 . Então como o erro de escala da régua milimetrada é de 0,5mm , a melhorapresentação da medida seria da seguinte forma:

2.2 Erro SistemáticoÉ o erro que perturba todas as medidas sempre da mesma forma, fazendo com que os valores obtidos seafastem do valor provável (positivamente ou negativamente) sempre em um sentido definido.

Exemplo 2: Como o erro sistemático segue um certo comportamento padrão, é possível detecta-lo eelimina-lo.

A) Como mostra a figura, um velocímetro analógico com o ponteiro torto para a direita sempre indicaráuma velocidade maior que a correta.

B) Uma balança de alta precisão que esteja com algum grão de poeira, ou até mesmo com um prato maispesado do que o padrão, sempre indicará uma medida maior do que a correta.

Esses são alguns dos inúmeros erros que podem ocorrer.

583,4F 0,5 mm


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2.3 Erro Acidental (Erro Randômico ou Erro Aleatório)

É aquele que ocorre totalmente ao acaso, portanto, sem qualquer sentido ou previsibilidade.

Esse erro é o resultado da soma de pequenas perturbações que são inevitáveis, tais como vibrações, calor,campos externos, oxidações, e outros fatores fora do controle do experimentador e, na maioria das vezes,de seu conhecimento. Esses erros são impossíveis de evitar, o que significa que temos que conviver comeles e aprender a tratá-los da maneira adequada.

2.4 Erro máximo

É também chamado de desvio da medida, e é representado por ∆x , é a soma de todos os erros.

erro máximo = ∆x =erroescala + errosistemático + erro randômico


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3 MEDIDAS INDIRETAS CONSIDERANDO ERROS DE ESCALA

A seguir apresentaremos um método para calcular a área e volume, de objetos que foram medidos eexpressos com erros de escala. Essas medidas que serão calculadas são chamadas medidas indiretas, edeve-se tomar cuidado com as operações envolvidas, e quanto à expressão final das medidas, para quecontenha o número adequado de algarismos significativos.

Considere que medimos com um paquímetro os três lados de um paralelepípedo, sendo esses lados: L1, L2e L3 .

As seguintes medidas foram obtidas:

Medida direta

com o instrumento

Precisão do

instrumento

(erro de escala)

L1 = 22,45mm ∆L1 = 0,05mm L2 = 46,85mm ∆L2 = 0,05mm L3 = 9,50mm ∆L3 = 0,05mm

As medidas obtidas podem ser escritas na seguinte forma:

Lx. = Lx F ∆Lx

*As letras que levam uma aspa (ex: A' ) indicam a inclusão do ∆A (desvio da medida ou erro).

Onde essa expressão indica que a medida Lx. (x pode ser um número ou letra, indica o nome damedida) é igual à própria medida Lx somada ou subtraída de ∆Lx que é o desvio da medida, neste casoé o erro de escala ou limite de precisão do instrumento de medida.

Com isso re-escrevemos as medidas na seguinte forma:

Lx. =

Lx F ∆

Lx L1' = (22,45 ± 0,05) mm L2' = (46,85 ± 0,05) mmL3' = (9,50 ± 0,05) mm

Agora que temos nossas medidas escritas na forma correta, como podemos calcular a área ou volume doparalelepípedo de maneira que inclua o desvio da medida? É o que veremos a seguir.


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3.1 Cálculo da Área (exemplo)Para obtermos a área neste caso consideramos as medidas L1' e L2' , multiplicando uma medida pela

outra ( A. = L1. A L2. ) .

A. = A F ∆A = L1. A L2. = L1 F ∆L1 A L2 F ∆L2

Multiplicando temos: A. = L1 L2 F L1 ∆L2 F L2 ∆L1 F ∆L1 ∆L2 Podemos desconsiderar os produtos de erro por erro (por resultar num valor infinitesimal).

Exemplo: ∆L1 ∆L2 , ∆L1 ∆L2 ∆L3 e etc.

Como procuramos pelo maior desvio consideramos apenas a adição;

Colocamos entre parênteses as medidas multiplicadas pelos desvios;

E assim obtemos a expressão final:

A. = L1 L2 F L1 ∆L2 + L2 ∆L1

Substituindo os valores fornecidos na expressão temos:

A. = 22,45 A 46,85 F 22,45 A 0,05 + 46,85 A 0,05 = 1051 ,7825 F 1,1225 + 2,3425

Arredondando o produto de L1.L2 pela regra da multiplicação e divisão temos:

A. = 1052 F 3,465 mm2

Aqui temos um passo importante, o número de as do desvio é determinado após passarmos nossos

resultados para a notação científica, veja:

A. = 1,052 A103

mm2 F 0,00 3 465 A103mm2

Agora como temos três as após a vírgula no produto já arredondado L1.L2 , arredondamos o resultado

da multiplicação dos desvios também com três dígitos após a vírgula:

A. = 1,052 A103

mm2 F 0,003 A103mm2

E a apresentação final do resultado é dada na seguinte forma:

A. = 1,052 F 0,003 A103mm2


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3.2 Cálculo do Volume (exemplo)O método não se diferencia muito do cálculo da área. Para obtermos o volume neste caso consideramos as

medidas L1' , L1' e L1' e multiplicamos uma pela outra ( V' = L1' . L2' . L3' ).

V. = V F ∆V = L1. A L2. A L3. = L1 F ∆L1 A L2 F ∆L2 A L3 F ∆L3

Multiplicando a expressão já demonstrada pela grandeza L3' :

L1 L2 F L1 ∆L2 F L2 ∆L1 F ∆L1 ∆L2 A L3 F ∆L3

L1L

2L

3 F L1 L3 ∆L2 F L2 L3 ∆L1 F L3 ∆L1 ∆L2 F L1 L2 ∆L3 F L1 ∆L2 ∆L3 F L2 ∆L1 ∆L3 F ∆L1 ∆L2 ∆L3

Desprezando L3 ∆L1 ∆L2 , L1 ∆L2 ∆L3 , L2 ∆L1 ∆L3 , ∆L1 ∆L2 ∆L3 e considerando o maior erro

chegamos na expressão final:

V. = L1 L2 L3 F L1 L3 ∆L2 + L2 L3 ∆L1 + L1 L2 ∆L3

Substituindo os valores fornecidos na expressão temos:

V. = 22,45 A 46,85 A 9,50 F 22,45 A 9,50 A 0,05 + 46,85 A 9,50 A 0,05 + 22,45 A 46,85 A 0,05

= 9991,93375 F 10,66375 + 22,25375 + 52,589125 = 9991,93375 F 85,506625 mm3

Passamos os valores para notação científica;

Arredondamos seguindo a regra da multiplicação e divisão para L1 . L2 . L3 ;O procedimento é o mesmo do cálculo da área, veja:

9,9 9 f193375.103mm3 F 0,085506625A10

3mm3

Arredondando no dígito sublinhado temos: 9,99 A103mm3 F 0,0 85506625.10

3mm3

Como temos dois algarismos após a vírgula no resultado arredondado de L1 . L2 , o número de dígitos

após a vírgula no desvio também será dois. Seguindo as regras de arredondamento, temos:

9,99A

10

3

mm

3F

0,09A

10

3

mm

3

Mas a forma correta de se apresentar o resultado é: 9,99 F 0,09 A103

mm3 .

OBSERVAÇÃO: Essas soluções aparentam certo grau de dificuldade, mas na verdade são simples, nãose impressione com o volume de símbolos ou linhas, pois foram repetidos vários passos para um melhor

esclarecimento do método. Finalmente recomendamos que o estudante pratique o método, refazendo os

exercícios.


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4 REGRAS BÁSICAS PARA MEDIDAS INDIRETAS

A seguir os métodos para resolução de operações com medidas diretas, apresentado o erro propagado da

medida. Considere as seguintes medidas: x = x f f

F ∆x ; y = y f f

F ∆y ; c (uma constante), veja abaixo como

ficam as operações entre as mesmas:

Adição: x + y = x ff

F ∆x + y

f f

F ∆y = x

f

+ y

f f

F ∆x + ∆y

Subtração: x@ y = x ff

F ∆x @ y ff

F ∆y = x f

@ y ff

F ∆x + ∆y

Multiplicação: xA y = x ff

F ∆x A y f f

F ∆y = x f

A y ff

F x f

∆y + y f

∆x

OBSERVAÇÃO: Em multiplicações de erro por erro (para dois ou mais fatores), o mesmo é

desconsiderado, por ser um valor tendendo a zero (muito pequeno).

Multiplicação por uma constante: xA c = x f

F ∆x A c = x f

A cF ∆ x A c

OBSERVAÇÃO: As regras para Divisão, Potenciação, Logaritmação, Exponenciação, Funçõestrigonométricas... , são obtidas através da equação do erro indeterminado, procure por “Propagação deerros” na seção de Medidas Físicas do site para ver a teoria.


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5 MEDIDAS EXPERIMENTAIS

Considere que, durante a realização de uma série de medidas, não ocorreram erros grosseiros, nem errossistemáticos, e que os erros de escala foram menores que os erros aleatórios, então todas as fontes deerros contribuíram para aumentar ou diminuir, aleatoriamente, o valor da grandeza física observada. Oexperimentador é, portanto, obrigado a avaliar corretamente o erro aleatório, e incluí-lo nos dados obtidos

no experimento.A seguir, vamos introduzir uma “receita” da Teoria de Erros, baseada no procedimento estatísticousualmente indicado para o tratamento de medidas experimentais, que deverá ser seguida para informar oresultado de uma série de medidas de certa grandeza física.

5.1 Média (Valor mais provável)

OBSERVAÇÃO: As seguintes definições continuam valendo para as próximas expressões.

x ff

: Média ou valor mais provável;

n : Número de medidas;

Σ : Somatório (a soma será indicada pelos índices n , i , e xi neste caso);

i = 1 : Indica a partir de onde começamos a somar, neste caso a partir da medida de número 1.

xi : É o nome da medida, onde (x) pode ser uma letra qualquer e (i) define um número para essamedida (para o caso de ser mais de uma);

x1 + x2 + x3…+ xn : Soma das medidas;

x f f=

1n ffX

i = 1

n

xi =x1 + x2 + x3 +…+ xn

n ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff f : Expressão final da média ou valor mais provável.

Leitura: A média (ou valor mais provável), é a média aritmética das medidas, isto é, a soma de todas asmedidas dividida pelo número de medidas.

OBSERVAÇÃO: Em caso de duvidas com os símbolos, consulte a Notação Sigma.


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5.2 Desvio médio

∆x f ff ff

: Desvio médio;

∆xi: Desvio da medida. Obtém-se através da diferença de xi por x

f ∆xi = xi@ x

ff . E finalmente é

adotamos o módulo do desvio da medida, já que procuramos pelo maior desvio, que representamos

assim: |∆xi | = | xi@

x ff| , nesta forma chama-se desvio absoluto da medida.

∆x ff ff

=1

n ffffX

i = 1

n

|∆xi |

f g=

1

n ffffX

i = 1

n

| xi@ x f f

|

f g=

| x1@ x ff

| + | x2@ x f

| + | x3@ x f

| +…+ | xn@ x ff

|

n ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff ff

Interpretação da expressão: O desvio médio é a soma dos desvios absolutos dividida pelo número de medidas.

5.3 Desvio padrão

σx: Desvio padrão (letra grega sigma minúscula)

σx = 1

n@1

fffffffffffffffffffffXi = 1

n

∆x` a2s wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 1

n@1

fffffffffffffffffffffXi = 1

n

xi@ x fff2s wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= x1@ x

fff2+ x2@ x

fff2+ x3@ x

fff2+…+ xn@ x

fff` a2n@1

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffv uuutwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Interpretação da expressão: o desvio padrão é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos desviosdivididos por uma unidade a menos que o número de medidas.

OBSERVAÇÃO: A partir do conhecimento do desvio padrão, podemos calcular o erro aleatórioprovável. Neste curso consideraremos que o erro aleatório provável é o desvio padrão, isto é:

errorandômico

=σ x


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6 RESULTADO DE UM CONJUNTO DE MEDIDAS DE UMA GRANDEZA

Procedimento:

I - Realização das medidas;

II - Cálculo da média ou valor mais provável;

III - Cálculo dos desvios de cada medida em relação à média;IV - Cálculo dos quadrados dos desvios de cada medida

V - Cálculo do desvio padrão da medida

VI - Informação do resultado no seguinte formato:

L ffFσ x =

1

n

ffffXi = 1

n

xi

f gF

1

n@ 1` a fffffffffffffffffffffX

i = 1

n

∆x` a2v uut

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwl mLL MM

Exemplo seguindo o procedimento descrito acima:

I) Considere que realizamos dez medidas (n) de objetos idênticos com uma régua centimetrada:

II ) Agora realizamos o cálculo da média ou valor mais provável (não carregaremos as unidades cm para

aliviar a notação):

L f f

=1

10 fffffffX

i = 1

10

Li

j k=

L1 + L2 + L3 + L4 + L5 + L6 + L7 + L8 + L9 + L1010

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

241,0 + 241,2 + 241,3 + 240,6 + 241,3 + 241,7 + 241,1 + 240,9 + 240,5 + 240,8

10

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff f

2410,4

10 f ff ff ff ff ff

= 241, 0 f4

Seguindo as regras de arredondamento: L ff= 241,0 .

...

i Li (cm)

1 241,0

2 241,2

3 241,3

4 240,6

5 241,3

6 241,7

7 241,18 240,9

9 240,5

10 240,8


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III) Agora calculamos os desvios de cada medida ( ∆Li ) em relação à média, ou seja, é só obter a

diferença e colocar o valor em módulo.

IV) Calculamos os quadrados dos desvios obtidos no terceiro passo:

i ∆Li = | Li@L ff

| (cm) ∆Li

2

cm2

1 0,0 0,0

2 0,2 0,04

3 0,3 0,09

4 0,4 0,16

5 0,3 0,09

6 0,7 0,49

7 0,1 0,01

8 0,1 0,01

9 0,5 0,2510 0,2 0,04

IV*) Este passo não está incluso na lista de procedimentos, mas realizaremos o cálculo do desvio médio

para o esclarecimento do mesmo:

∆L ff ff f

=1

10 fffffffX

i = 1

10

|∆Li |j k= 1

10 fffffffX

i = 1

10

| Li@L f f

|j k=| L1@L

f f| + | L2@L

ff f| + | L3@L

ff| + …+ | L10@L

f f|

10 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

∆L fffffffff= 0,0 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + 0,3 + 0,7 + 0,1 + 0,1 + 0,5 + 0,210

ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff= 2,810 ff ff= 0 ,28 = 0,3cm

O desvio médio contribui positivamente como negativamente na medida, de modo que se pode comunicar

o resultado na forma: L = L ffF ∆L f ff ff

= 241,0F 0,3 cm .

i Li (cm) ∆Li = | Li@L ff

| (cm)

1 241,0 0,0

2 241,2 0,2

3 241,3 0,34 240,6 0,4

5 241,3 0,3

6 241,7 0,7

7 241,1 0,1

8 240,9 0,1

9 240,5 0,5

10 240,8 0,2


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V) Cálculo do desvio padrão da medida, que consideraremos como sendo o erro aleatório:

σL =1

9` a ffffffffX

i = 1

10

∆x` a2

v uutwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

=1

9` a ffffffffX

i = 1

10

Li @L ffffb c2v uut

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww=

L1@L f ff2

+ L2@L ff2

+ L3@L ff2

+…+ L10@L ff2

9 fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff fffffffffffffffffffffffffffffffffv uuutwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

σL =

0,0 + 0,04 + 0,09 + 0,16 + 0,09 + 0,49 + 0,01 + 0,01 + 0,25 + 0,04b c

cm2

9 fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffv uutwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

σL =1,18cm2

9 ff ff ff ff ff ff ffs wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 0,131111111cm2q wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww= 0, 3 62092683cm= 0,4cm

VI) Finalmente informamos o resultado na forma que inclui o erro aleatório, que consideramos como

sendo o próprio desvio padrão:

L = L ffFσL = 241,0F 0,4 cm

7 ERRO RELATIVO

Em inúmeras situações são feitas medições para comparar com um valor anteriormente definido. Isto se

chama erro relativo, ou seja, é a relação de erro entre uma medida realizada e uma medida anteriormente

definida como padrão. Apenas para o conhecimento apresentaremos o erro absoluto para cada uma das

medidas, pois o mesmo pode levar ao que chamamos de desinformação, ou informação enganosa.

∆xabsoluto = xlido@x referênciaLL MM

Agora trataremos do erro percentual, este sim de grande importância. Abaixo a expressão para o mesmo,

lembrando que o erro relativo percentual como qualquer outro erro, pode contribuir positivamente como

negativamente em relação ao valor definido como padrão.

ε% =

xlido@ xreferência

LLLMMM

xreferência

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffA 100%

Exemplos:

Em uma indústria de papel, considere as seguintes medidas definidas como padrão para uma folha de

papel do tipo ofício:

Dados referenciais:

Largura: 215,900mm

Altura: 279,400mm

Espessura: 0,010mm

...


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Para verificar a qualidade da produção, um técnico pega uma folha como amostra e com um micrômetro

(instrumento de medida de alta precisão), obtém os seguintes dados:

Dados obtidos:Largura: 215,404mm

Altura: 280,002mm

Espessura: 0,011mm

Obtendo o erro absoluto de cada medida:

∆x largura = 215,404@ 215,900LLL MMM= @ 0,496LLL MMM= 0,496mm

∆xaltura = 280,002@ 279,400LLL MMM= 0,602LLL MMM= 0,602mm

∆xespessura = 0,011 @ 0,010LL MM

= 0,001LL MM

= 0,001mm

Pelo erro absoluto concluímos que o maior erro está na altura, seguido da largura e espessura

respectivamente.

Obtendo o erro relativo percentual de cada medida:

ε%largura =

215,404@215,900LLL MMM

215,900

ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ffA 100% = 0,22 9 f735988 …% = 0,230%

ε%altura

=

280,002@279,400LLL MMM

279,400 f ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff

A 100% = 0,21 5 ff461703 …% = 0,215%

ε%espessura =

0,011@ 0,010LLL MMM

0,010 f ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff ff

A 100% = 10,000 000 000 0…% = 10%

Para chegar ao resultado final, basta que você use os critérios de arredondamento, outra nota é que o

resultado é adimensional (não leva unidade de medida), isto é carece de significado físico. Observamos

agora que o maior erro está na medida da espessura, e bem maior comparado aos outros erros obtidos.

Comparando ao erro absoluto também vemos diferença, e finalizando concluímos que o erro absoluto

reduz tudo á uma mesma linguagem, a percentagem de erro com relação ao valor definido como padrão.

Em muitas situações além de se obter a média ou valor mais provável ( x f

), também é interessantecalcular-se o erro percentual, uma vez que exista um valor definido como padrão, isto é:

ε% =

1

n

fffffXi = 1

n

xi @ x referência

LLLLLLMMMMMM

xreferência

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffA 100% =

x fff

@ xreferência

LLL MMMx

referência

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffA 100%

OBSERVAÇÃO: Normalmente todo esse conteúdo mais os conceitos de Algarismos Significativos,Critérios de arredondamento e Notação científica são cobrados em uma prova, após a prova segue-se para

Propagação de Erros (consultar o arquivo do site, seção de Medidas Físicas).


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8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS E LEITURA COMPLEMENTAR

(1) Apostila do curso: Medidas e Algarismos Significativos, Física Experimental.

(2) Notas de aula do curso de Medidas Físicas (MEF), Licenciatura em Física / UDESC – CCT.

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(2) Conceitos Básicos Da Teoria de Erros - Guidg.com