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INSTITUTO FEDERAL FARROUPILHA – CÂMPUS ALEGRETE Entre Monstros e Teoremas:

Explorando Saberes da Matemática

7

2. ENUMERAÇÃO POR RECURSO

Argumento

É a relação que associa um conjunto de

proposições p1, p2, p3, ... pn, chamadas premissas do

argumento, a uma proposição C, a qual chamamos de

conclusão do argumento.

No lugar dos termos premissa e conclusão

podem ser usados os correspondentes hipótese e

tese respectivamente.

Exemplos:

p1 : Todo golfinho é mamífero.

p2 : Ora, nenhum mamífero é peixe.

C : Logo, a golfinho não é peixe.

p : Todos os brasileiros são sul-americanos.

C : Logo, alguns sul-americanos são brasileiros.

p1 : João e Maria são alunos do cursinho.

C : Logo, João é alunos do cursinho.

Nas proposições, há alguns indicadores de

conclusão, os mais utilizados são o logo e o portanto.

A tabela abaixo mostra outros indicadores de

premissas e conclusões.

Indicadores de Premissa Indicadores de conclusão

pois por isso

porque por conseguinte

dado que implica que

como foi dito logo

visto que portanto

devido a então

a razão é que daí que

admitindo que segue-se que

sabendo-se que pode-se inferir que

assumindo que consequentemente

Lembrando que nem sempre as premissas e a

conclusão são precedidas por indicadores.

Validade de um argumento

A validade de um argumento dedutivo depende

da conexão lógica entre as premissas e a conclusão

do argumento e não do valor de verdade das

proposições que constituem o argumento. A validade é

uma propriedade diferente da verdade, a verdade é

uma propriedade das proposições que constituem os

argumentos (mas não dos argumentos). E a validade

é uma propriedade dos argumentos (mas não das

proposições). Sendo assim, pode-se ter as seguintes

combinações para os argumentos validos dedutivos:

a) Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira

Exemplo:

Todos os apartamentos são pequenos. (V)

Todos os apartamentos são lares. (V)

Portanto, alguns lares são pequenos. (V)

b) Algumas ou todas as premissas falsas e uma

conclusão verdadeira

Exemplo:

Todos os peixes têm asas. (F)

Todos os pássaros são peixes (F)

Logo, todos os pássaros tem asas. (V)

c) Algumas ou todas as premissas falsas e uma

conclusão falsa

Exemplo:

Todos os peixes têm asas. (F)

Todos os cães são peixes (F)

Logo, todos os cães tem asas. (F)

Todos os argumentos acima são validos, pois

se suas premissas fossem verdadeiras então as

conclusões também seriam.

Lembrando que um argumento é valido

somente quando todas as suas premissas forem

verdadeiras o que acarretará numa conclusão também

verdadeira. Portanto, um argumento é não valido se

existir a possibilidade de suas premissas serem

verdadeiras e sua conclusão falsa.



8

Silogismo

Um argumento formado por exatamente 3

proposições, sendo duas como premissas e a outra

como conclusão, é denominado silogismo.

Exemplos:

p1 : Todos os artistas são apaixonados.

p2 : Todos os apaixonados gostam de flores.

C : Todos os artistas gostam de flores.

p1 : Todos os apaixonados gostam de flores

p2 : Maria gosta de flores.

C : Maria é uma apaixonada.

Exercícios

1) Em uma empresa, o cargo de chefia só pode ser

preenchido por uma pessoa que seja pós-graduada

em administração de empresas. José ocupa um cargo

de chefia, mas João não. Partindo desse princípio,

podemos afirmar que:

a) José é pós-graduado em administração de

empresas e João também pode ser.

b) José é pós-graduado em administração de

empresas, mas João, não.

c) José é pós-graduado em administração de

empresas e João também.

d) José pode ser pós-graduado em administração de

empresas, mas João, não.

e) Nem José e nem João é pos graduado em

administração.

2) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o

jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o

passarinho canta. Logo:

a) o jardim é florido e o gato mia

b) o jardim é florido e o gato não mia

c) o jardim não é florido e o gato mia

d) o jardim não é florido e o gato não mia

e) nenhuma da alternativas anteriores.

3) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B.

Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto,

necessariamente que:

a) todo C é B

b) todo C é A

c) algum A é C

d) nada que não seja C é A

e) nenhuma das alternativas anteriores

4) Chama-se tautologia a toda proposição que é

sempre verdadeira, independentemente da verdade

dos termos que a compõem. Um exemplo de

tautologia é:

a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é

gordo

b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é

gordo

c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então

Guilherme é gordo

d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é

alto e Guilherme é gordo

e) nenhuma das alternativas anteriores.

5) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a

governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi

efetivamente cometido por um ou por mais de um

deles, já que podem ter agido individualmente ou não.

Sabe-se, ainda, que:

A) se o cozinheiro é inocente, então a governanta é

culpada;

B) ou o mordomo é culpado ou a governanta é

culpada, mas não os dois;

C) o mordomo não é inocente.

Logo:

a) a governanta e o mordomo são os culpados

b) somente o cozinheiro é inocente

c) somente a governanta é culpada

d) o cozinheiro e o mordomo são os culpados

e) falta dados para a conclusão do crime



9

6) Sabendo que as proposições p e q são verdadeiras

e que a proposição r é falsa, analise cada uma das

afirmativas abaixo.

I. p ~r q ~r

II. (p r) (q ~r)

III. (~p ~r) (~q ~r)

Tem valor verdadeiro(s) apenas a(s) afirmativa(s):

a) I. b) I, II. c) I, III.

d) II, III. e) I, II, III.

7) Considere as afirmativas referentes as proposições,

assinalando V nas verdadeiras e F nas falsas.

Sabendo-seque v(p) = V, v(q) = F e v(r) = F.

( ) v(p (~q r)) ~(q (p ~r))=V

( ) v((p ~q) r)) ~((q p) ~r)=F

( ) v((p ~q) r) ((q p) ~r)=V

A seqüência correta é

a) V V F

b) F V V

c) V F V

d) F V F

e) F F V

8) Das afirmativas abaixo quais são tautológicas.

I. p q (p q)

II. p (q ~q) p

III. p (q ~q) p

É (são) apenas:

a) I

b) I e II.

c) I e III.

d) II e III.

e) Todas.

9) Todo cavalo é animal. Logo:

a) Toda cabeça de animal é cabeça de cavalo.

b) toda cabeça de cavalo é cabeça de animal.

c) todo animal é cavalo.

d) nem todo cavalo é animal.

e) nenhum animal é cavalo.

10) Todos os marinheiros são republicanos. Assim

sendo:

a) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos

republicanos.

b) o conjunto dos republicanos contém o conjuntos dos

marinheiros.

c) todos os republicanos são marinheiros.

d) algum marinheiro não é republicano

e) nenhum marinheiro é republicano.

11) A seção “Dia a dia”, do Jornal da Tarde de 6 de

janeiro de 1996, trazia esta nota:

“Técnicos da CETESB já tinham

retirado até o fim da tarde de ontem, 75

litros da gasolina que penetrou nas

galerias de águas pluviais da Rua João

Boemer, no Pari, Zona Norte. A

gasolina se espalhou pela galeria

devido ao tombamento de um tambor

num posto de gasolina desativado.”

De acordo com a nota, a que conclusão se pode

chegar a respeito da quantidade de litros de gasolina

vazado do tambor para as galerias pluviais?

a) Corresponde a 75 litros.

b) É menor do que 75 litros.

c) É maior que 75 litros.

d) É impossível ter qualquer idéia a respeito da

quantidade de gasolina.

e) Se se considerar a data de publicação do jornal e o

dia do acidente vazaram 150 litros de gasolina.

12) Sejam a, b e c números reais distintos, sobre os

quais afirma-se:

I – Se b > a e c > b, então c é o maior dos três

números

II – Se b > a e c > a, então c é o maior dos três

números.

III – Se b > a e c > a, então a é o menor dos três

números.

É (São) correta(s) a(s) afirmativa(s):

a) I, somente. b) II, somente. c) III, somente.

d) I e III, somente. e) I, II e III.



10

13)Considerando as afirmativas abaixo, marque a

única opção logicamente possível:

I – Assinale a letra A, se E estiver certa.

II – Assinale a letra C, se B for incorreta.

III – A letra E será o gabarito, se D for a opção

verdadeira.

IV – Se D estiver correto, B também estará.

a) A b) B c) C d) D e) E

14) Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto

de gasolina e a banca de jornal, e o posto de gasolina

fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo:

a) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria.

b) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a

padaria.

c) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca

de jornal.

d) a padaria fica entre a sapataria e o posto de

gasolina.

e) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a

padaria.

Gabarito:

1) A 2) C 3) C 4) A 5) D 6) B 7) D 8) C

9) B 10) B 11) C 12) D 13) C 14) E

Exercícios Gerais

Para responder às questões números 01 a 05,

utilizes o alfabeto oficial que NÃO inclui as letras

K, W e Y.

01) Complete a série: B D G L Q .......

a) R b) T c) V d) X e) Z

02) A D F I : C F H .....

a) I b) J c) L d) N e) P

03) ..........

I L NG :

F H J D

C EG A

a) M S O Q

b) J M O Q

c) J Q P L

d) J Q O M

e) G O M J

04)

B C F H M O O F C A C D F O R

A D G I Q V I D D F H I N O

C E H L R T ............. B D E L S T

a) T E C

b) ELT

c) TL

d) LE

e) TLE

05) Na figura abaixo cada retângulo vazio deve

conter um número de tal forma que, da segunda

camada para cima, o número de cada retângulo

seja sempre a soma dos números escritos nos

dois retângulos em que ele se apóia. Nestas

condições, qual será o valor de X?

a) – 35.

b) – 27.

c) – 10.

d) 8.

e) 17.



11

06) ........

......... ;

49

64 ;

36

25 ;

9

16 ;

4

1

a) 90

82

b) 100

81

c) 72

100

d) 72

99

e) 81

100

07) Observe a seqüência de triângulos

eqüiláteros:

Esses números, associados a cada um desses

triângulos, são chamados de números

triangulares. Desse modo, podemos dizer que o

oitavo número dessa seqüência é:

a) 45.

b) 36.

c) 32.

d) 28.

e) 21.

08)

a) 5.

b) 6.

c) 7.

d) 8.

e) 9.

09)

a) 19T

b) 20U

c) 21V

d) 22X

e) 23Z

10) Se considerarmos que cada valor expresso

nos círculos representa a soma dos números que

estão nos dois vértices que delimitam o

respectivo lado do triângulo, a soma dos valores

correspondentes aos vértices deste triângulo

será igual a:

a) 21. b) 25. c) 30. d) 35. e) 40.

11)

a) 160.

b) 135.

c) 120.

d) 108.

e) 100.



12

12) Continuando a seqüência 47, 42, 37, 33, 29,

26, ...... temos:

a) 21. b) 22. c) 23. d) 24. e) 25.

13) Considere a seguinte equivalência:

2 = J = % V = 5 = @ 8 = ? = X

& = L = 3 H = 7 = #

Agora relacione a coluna da esquerda com a

coluna da direita e assinale a opção que contém

a numeração correta.

( 1 ) J 3 # X V ( ) % L H 5 X

( 2 ) 2 H @ L 8 ( ) 2 H 3 ? @

( 3 ) J & 7 V ? ( ) J # V & X

( 4 ) % # L 8 5 ( ) % L 7 8 @

a) 3 4 2 1

b) 2 4 3 2

c) 3 2 4 1

d) 4 3 2 1

e) 1 4 3 2

14) No esquema abaixo é apresentado uma

seqüência de operações que devem ser feitas, a

partir de um numero X, até que se obtenha como

resultado final o número 75.

O número X está compreendido entre

a) 0 e 30.

b) 30 e 50.

c) 50 e 70.

d) 70 e 80.

e) 80 e 100.

15) Continuando a seqüência de letras F,

N, G, M, H, ......, temos, respectivamente:

a) O, P.

b) I, O.

c) E, P.

d) L, I.

e) D, L.

16) O esquema abaixo mostra, passo a passo, a

seqüência de operações a serem efetuadas a

partir de um certo número, a fim de obter o

resultado final 10,4.

O número que deve ser considerado como ponto

de partida está compreendido entre

a) 1000 e 1050.

b) 1050 e 1100.

c) 1100 e 1150.

d) 1150 e 1200.

e) 1250 e 1300.

17) Uma pessoa tem 7 bolas de mesmo peso e,

para calcular o peso de cada uma, colocou 5

bolas em um dos pratos de uma balança e o

restante junto com uma barra de ferro de 546

gramas, no outro prato. Com isso, os pratos da

balança ficaram totalmente equilibrados. O peso

de cada bola, em gramas, é um número

a) maior que 190.

b) entre 185 e 192.

c) entre 178 e 188.

d) entre 165 e 180.

e) menor que 170.



13

18) Na seqüência seguinte o número que

aparece entre parênteses é obtido segundo uma

lei de formação.

63 (21) 9; 186 (18) 31; 85 (?) 17

O número que está faltando é

a) 15.

b) 17.

c) 19.

d) 23.

e) 25.

19) Em quatro das alternativas que seguem, os

pares de números apresentam uma característica

comum. A alternativa cujo par NÃO tem tal

característica é

a) (6; 36)

b) (9; 54)

c) (11; 63)

d) (12; 72)

e) (15; 90)

20) Considere que os termos da seqüência

( 5, 12, 10, 17, 15, 22, 20, .....) obedecem a

uma lei de formação. Assim, o termo que vê após

o número 20 é

a) menor que 25.

b) maior que 30.

c) a metade de 52.

d) o triplo de 9.

e) par.

21) Uma companhia de ônibus realiza viagens

entre as cidades de Corumbá e Bonito. Dois

ônibus saem simultaneamente, um de cada

cidade, para percorrerem o mesmo trajeto em

sentido oposto. O ônibus 165 sai de Corumbá e

percorre o trajeto a uma velocidade de 120 km/h.

Enquanto isso, o 175 sai de Bonito e faz a sua

viagem a 90 km/h. Considerando que nenhum

dos dois realizou nenhuma parada no trajeto,

podemos afirmar que

I - Quando os dois se cruzarem na estrada, o

ônibus 175 estará mais perto de Bonito do que o

165.

II - Quando os dois se cruzarem na estrada, o

ônibus 165 terá andado mais tempo do que o

175.

a) Somente a hipótese (I) está errada.

b) Somente a hipótese (II) está errada.

c) Ambas as hipóteses estão erradas.

d) Nenhuma das hipóteses está errada.

e) Depende do referencial adotado.

22) Um certo jogo consiste em colocar onze

pessoas em círculo e numera-las de 1 a 11. A

partir da pessoa que recebeu o número 1,

incluindo-a, conta-se de 3 em 3, na ordem natural

do números, e cada 3ª pessoa é eliminada, ou

seja, são eliminadas as pessoas de números 3,

6, etc. Depois de iniciada, a contagem não será

interrompida, ainda que se complete a volta,

Nesse caso, a contagem continua normalmente

com aqueles que ainda não foram eliminados.

Vence quem sobrar. O vencedor é a pessoa de

número:

a) 2 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

23) Em um quarto totalmente escuro, há uma

gaveta com 3 pares de meias brancas e 4 pares

de meias pretas. Devido à escuridão, é

impossível ver a cor das meias. Quantas meias

devem ser retiradas para que ser tenha certeza

de que, entre as meias retiradas, haja pelo

menos um par de meias pretas?

a) 8

b) 6

c) 5

d) 4

e) 2



14

24) Uma loja de artigos domésticos vende garfos,

facas e colheres. Cada um desses artigos tem

seu próprio preço. Comprando-se 2 colheres, 3

garfos e 4 facas, paga-se R$ 13,50. Comprando-

se 3 colheres, 2 garfos e 1 faca, paga-se R$

8,50. Pode-se afirmar que, comprando-se 1

colher, 1 garfo e 1 faca, pagar-se-á , em reais:

a) 3,60

b) 4,40

c) 5,30

d) 6,20

e) 7,00

25) Na Consoantelândia, fala-se o consoantes.

Nessa língua existem 10 letras: 6 do tipo I e 4 do

tipo II.

As letras do tipo I são: b, d, h, k, l, t

As letras do tipo II são: g, p, q, y.

Nessa língua, só há uma regra de acentuação:

uma palavra só será acentuada se tiver uma letra

do tipo II precedendo uma letra do tipo I.

Pode-se afirmar que:

a) dhtby é acentuada.

b) pyg é acentuada.

c) kpth não é acentuada.

d) kydd é acentuada.

e) btdh é acentuada.

26) Observe a figura abaixo e verifique que a

faixa é formada por três linhas de quadrinhos, em

que a primeira e a terceira linha são formados

apenas por quadrinhos brancos. A segunda linha

alterna quadrinhos brancos com quadrinhos

pretos.

O número de quadrinhos brancos necessários

para formar uma faixa completa, de acordo com

a figura, mas contendo 60 quadrinhos pretos é:

a) 292.

b) 297.

c) 300.

d) 303.

e) 480.

27)

a) b)

c) d)

e)



15

28) Observe a série de figuras. Veja que ao final

da série, há espaço para ser colocada mais uma

figura. Abaixo da série você encontrará cinco

figuras. Escolha a que completa corretamente a

série e assinale a alternativa correta.

a)

b)

c)

d)

e)

29) Na seqüência de quadriláteros abaixo, as

células pretas foram colocadas obedecendo a um

determinado padrão.

Mantendo esse padrão, o número de células

brancas na Figura V será

a) 101.

b) 99.

c) 97.

d) 83.

e) 81.

30) As pedras de dominó mostradas abaixo

foram dispostas, sucessivamente e no sentido

horário, de modo que os pontos marcados

obedeçam a um determinado critério.

Com base neste critério, a pedra de dominó que

completa corretamente a sucessão é

a)

b)

c)

d)

e)

31) Os quadrados abaixo têm todos o mesmo

tamanho.

Em qual deles a região sombreada tem a maior

área?

a) I.

b) II.

c) III.

d) IV.



16

e) V.

32) Em cada linha do quadro abaixo, as figuras

foram desenhadas obedecendo a um mesmo

padrão de construção.

Segundo esse padrão, a figura que deverá

substituir corretamente o ponto de interrogação é

a)

b)

c)

d)

e)

33) Qual das cinco se parece menos com as

outras quatro?

a)

b)

c)

d)

e)_

34) Considere a figura abaixo.

Supondo que as figuras apresentadas nas

alternativas abaixo possam apenas ser

deslizadas sobre o papel, aquela que coincidirá

com a figura dada, é

a)

b)

c)

d)

e)



17

35) Na figura abaixo, é dada uma grade do “jogo

da velha”, no qual X e O representam duas

jogadas assinaladas.

A alternativa em que duas jogadas assinaladas

NÃO são equivalentes às que são mostradas na

grade dada é

a)

b)

c)

d)

e)

36) Considere a figura abaixo:

Supondo que as figuras apresentadas nas

alternativas abaixo possam ser deslizadas sobre

o papel, aquela que coincidirá com a figura dada

é

a) b) c)

d) e)

37) Considera a seqüência de figuras:

Mantendo-se esse comportamento, a alternativa

que corresponde a V figura é

a)

b)

c)

d)

e)

38) Qual das cinco representa a melhor

comparação?

a)

b)

c)

d)

e)



18

39) Das 5 figuras abaixo, 4 delas têm uma

mesma características geométrica em comum,

enquanto uma delas NÃO tem essas

características.

Afigura que NÃO possui a característica comum

às outras é

a) I.

b) II.

c) III

d) IV.

e) V.

40) Qual dos cinco desenhos representa a

melhor comparação?

a)

b)

c)

d)

e)

41) Qual dos cinco desenhos se parece menos

com os outros quatro?

a) b) c)

d) e)



a)

b)

c)

d)

e)

43) Qual das cinco figuras se parece menos com

as outras quatro?

a)

b)

c)

d)

e)



19

44) Nos dados habitualmente usados em jogos, a

soma dos pontos de duas faces opostas deve ser

sempre igual a 7. Assim, por exemplo, todas as

vistas possíveis de um dado cuja face da frente

tem 1 ponto marcado estão representados

abaixo.

As figuras que representam todas as vistas

possíveis de um dado que tem 3 pontos na face

da frente é

a)

b)

c)

d)

e)

45) Qual dos cinco se parece menos com as

outras quatro?

a)

b)

c)

d)

e)


com os outros?

a)

b)

c)

d)

e)



a)

b)

c)

d)

e)

48) Qual das figuras a seguir não pertence a

série?

a)

b)

c)

d)

e)



20

49) Sobre uma superfície plana têm-se 3 blocos

iguais empilhados, com 13 faces expostas,

conforme mostra a figura abaixo.

Se forem empilhados 25 desses blocos, o

número de faces expostas será

a) 125. b) 121. c) 111. d) 105. e) 101.

50) Qual das cinco figuras representa a melhor

comparação?

a) b) c)

d) e)

51) Um quadrado de madeira é dividido em 5

pedaços como mostra a figura:

Todas as figuras a seguir podem ser obtidos por

meio de uma reordenação dos 5 pedaços,

EXCETO uma. Indique-a.

a) b)

c) d)

e)

52) Observe a figura seguinte:

Qual figura é igual à figura acima representada?

a) b) c)

d)

e)

01) D 02) C 03) D 04) E 05) A 06) B 07) B

08) A 09) A 10) A 11) B 12) C 13) A 14) A

15) D 16) A 17) C 18) A 19) C 20) D 21) C

22) C 23) A 24) B 25) D 26) D 27) E 28) E

29) A 30) E 31 E 32) B 33) D 34) B 35)B

36) B 37) A 38) C 39)B 40) B 41) E 42) B

43) B 44) B 45) E 46) D 47) D 48) D 49) E

50) C 51) D 52) D

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