2 Linguagem Matematica Aula 1

7/25/2019 2 Linguagem Matematica Aula 1

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Novo Modulo de MD Parte 0 Aula 1

Matem atica DiscretaParte 1: Topicos da Linguagem e da Logica Matematicas

Aula 1

Proposi coes, conectivos e simboliza cao

Sumario

1 Proposi coes 21.1 O conceito de proposicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Proposicoes atomicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Proposicoes moleculares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Conectivos l ogicos 112.1 Sintaxe dos conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Semantica dos conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Proposi coes componentes e simboliza cao 173.1 Esquemas de simbolizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2 Simbolizacao de proposicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Solu coes dos exerccios 25

Nesta aula vamos abordar os conceitos de proposic ao at omica , proposic ao molecu-lar , conectivo l ogico, valor de verdade e simbolizac ao de proposi c oes . Vamos enfocar,principalmente, a formac ao e a avaliac ao das proposicoes moleculares que sao obti-das a partir de proposicoes atomicas por meio de conectivos logicos. Ao nal destaaula, vamos ser capazes de:

classicar uma proposi cao como atomica ou molecular;

determinar as proposicoes atomica e os conectivos logicos que ocorrem em umaproposi cao molecular;


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simbolizar uma proposi cao de modo a exibir a sua forma l ogica .

Estas s ao habilidades essenciais para que possamos construir as tabelas de verdade

das proposi c oes simbolizadas , que sera o assunto da pr oxima aula.

1 Proposi coesUm dos conceitos basicos da Linguagem e da Logica Matem aticas e oconceito de proposi cao. Nesta aula, vamos abordar alguns aspectos es-peccos da formac ao e da avaliac ao de proposicoes.

1.1 O conceito de proposi cao

Em Matem atica lidamos com entes abstratos, como n umeros ou guras, e faze-mos determinadas armacoes (as vezes certas, as vezes erradas) sobre eles. Umaarma cao da Linguagem Matem atica e chamada uma proposic ao.

Exemplo 1 Por exemplo,

> 3. , O triangulo ABC nao e retangulo.

Se x e par, entao x2 e par. , Todo numero inteiro e racional.

sao proposicoes.

Sob o ponto de vista da L ogica Matematica, tres caractersticas das proposi coessao as mais relevantes:

1. cada proposi cao pode ser classicada de maneira exclusiva como verdadeira ou falsa em um dado contexto, isto e, dada uma proposi cao qualquer, ou ela everdadeira ou ela e falsa, mas nao e simultaneamente verdadeira e falsa;

2. cada proposi cao pode ser classicada de maneira exclusiva como at omica oumolecular , apenas pela maneira como ela esta escrita e n ao pelo seu signicado,

isto e, dada uma proposicao qualquer, ou ela e atomica ou ela e molecular,mas nao e simultaneamente at omica e molecular;

3. proposicoes podem ser combinadas entre si para formar proposi coes complexas,por meio de certas partculas da Linguagem Matem atica.

Exemplo 2 (a) A proposi cao > 3.

e verdadeira, dado que ela arma que o numero pi e maior do que o n umero tres e

que, de fato, e aproximadamente 3 , 14 . . . .


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A proposicaoO triangulo ABC nao e retangulo.

pode ser verdadeira, quando se refere a certos tri angulos; pode ser falsa, quando serefere a outros; mas ela nunca pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, quandose refere a um certo tri angulo.(b) Como veremos adiante, as proposicoes

> 3. , O triangulo ABC e retangulo.

sao classicadas como at omicas, enquanto que as proposicoes

Se x e par, entao x2 e par. , Todo numero inteiro e racional.

sao classicadas como complexas.

Observa coes importantes

(1) A parte da Linguagem Matem atica que estamos estudando pode ser vista comouma parte da Lngua Portuguesa, modicada pela reinterpreta cao de certos vocabu-los e pelo acrescimo de algumas palavras e smbolos. Por esta raz ao, em nossosestudos, alem de proposicoes sobre conteudos matem aticos, como

2 nao e um n umero racional.vamos considerar tambem proposi coes sobre outros conte udos, como

Socrates e homem. , Luiza e Mariana sao irmas.

Se ela e carioca, entao ela e brasileira. , Todo homem e mortal.

Estritamente falando, proposi coes deste tipo n ao fazem parte da Linguagem Mate-matica, pois n ao se referem a entes como numeros ou guras. Mas, como veremos

adiante, por tambem considerarmos proposi coes neste contexto mais amplo, estare-mos aptos a aplicar os metodos que vamos estudar a certos raciocnios que usamosno dia-a-dia.(2) Para que possa ser classicada como verdadeira ou falsa, uma express ao e/oufrase deve conter a ocorrencia de, pelo menos, um verbo. Este verbo exprime umaacao. Quando a a cao acontece, a proposi cao e verdadeira e quando a acao naoacontece, a proposi cao e falsa.

Por exemplo, express oes como

2, 2 + 3, Carolina, o professor de Carolina, log(x), x + y


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ou seja, os nomes , os pronomes , as constantes e as vari aveis da Linguagem Matem a-tica n ao sao proposicoes.

(3) Embora toda proposicao deva possuir a ocorrencia de pelo menos um verbo, asimples ocorrencia de um verbo em uma expressao e/ou frase n ao garante que elaseja uma proposi cao.

Por exemplo, a ora cao

Voce esta gostando de estudar Logica?

nao e classicada como proposi cao, embora tenha a ocorrencia de verbos.De uma maneira geral, oracoes interrogativas e oracoes exclamativas, como por

exemploQue assunto interessante!

nao sao consideradas como proposi coes.

(4) Em resumo:

(1) Uma proposic ao e uma expressao e/ou frase da Lin-guagem Matem atica que pode ser classicada como ver-dadeira ou falsa, em um dado contexto, e que pode sercombinada com outras proposicoes para formar novasproposi coes.(2) Para que possa ser classicada como uma proposicaouma express ao e/ou frase deve conter a ocorrencia depelo menos um verbo.

1.1.1 Exerccios

Neste exerccio voce deve reconhecer as express oes e/ou frases que s ao proposi-c oes . Determine quais das expressoes e/ou frases abaixo s ao proposicoes.

(i) 2 e primo. (ii) o primo de Mariana.(iii) x e y. (iv) (x, y ) esta no primeiro quadrante.(v) 5 4 = 21. (vi) Nos estamos estudando as proposicoes.(vii) x2 e negativo . (viii) O maior numero dentre 2, 3, 4 e 5.(ix)

1 + x n

2 . (x) Eu acho difcil reconhecer uma proposicao .


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1.2 Proposi coes atomicasVamos, agora, estudar as proposi coes um pouco mais detalhadamente,de modo a sermos capazes de distinguir as proposicoes at omicas dasproposi coes moleculares.

Em suas formas mais comuns, as proposic oes at omicas sao de dois tipos:

As da forma um sujeito e uma propriedade ;

As da forma dois sujeitos e uma rela c ao.Exemplo 3 (a) A proposi cao

2 e par.

e da forma um sujeito e uma propriedade. Nesta proposi cao, o sujeito e 2 e apropriedade e ser par.(b) A proposi cao

P e Q sao colineares.

e da forma dois sujeitos e uma rela cao. Nesta proposi cao, o primeiro sujeito e P ,o segundo sujeito e Q e a relacao e serem colineares.


(1) Na Linguagem Matem atica, existem proposicoes at omicas que envolvem maisde dois sujeitos. Em muitos casos, estas podem ser reescritas como proposicoesmoleculares (que estudaremos a seguir) formadas a partir de proposi coes atomicasque envolvem apenas dois sujeitos.

Por exemplo, a proposi cao

2 esta entre 1 e 3.

da aritmetica, possui tres sujeitos os n umeros 1, 2, 3 e pode ser reescrita como

1 < 2 e 2 < 3.

que e formada a partir das proposi coes

1 < 2. , 2 < 3.

que possuem apenas dois sujeitos, cada uma.Muitas vezes, n ao parece ser possvel reescrever uma proposicao at omica que

envolve mais de dois sujeitos como uma proposi coes molecular formada a partir de

proposi coes atomicas que envolvem apenas dois sujeitos.


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P esta entre Q e R .

da geometria do plano, possui tres sujeitos os pontos P , Q, R e nao parecepoder ser reescrita como uma proposicao molecular formada a partir de proposicoesat omicas que envolvem apenas dois sujeitos.

Para facilitar nossos estudos, vamos evitar, tanto quanto possvel, lidar com proposi c oes at omicas que envolvem mais de dois sujeitos.

(2) Em resumo:

(1) Em nossos estudos, vamos tratar principalemente

das proposic oes at omicas que podem ser de duas formas:(a) um sujeito e uma propriedade ou (b) uma rela caoaplicada a dois sujeitos.(2) Vamos evitar lidar com proposicoes at omicas queenvolvem mais de dois sujeitos

1.2.1 Exerccios

Neste exerccio voce deve distinguir as duas formas de proposi c oes at omicas: as da forma um sujeito e uma propriedade e as da forma dois sujeitos e uma rela c ao.Para cada proposicao abaixo, faca o que se pede:(1) Determine se ela e da forma um sujeito e um propriedade ou da forma doissujeitos e uma rela cao.(2) Se ela e da forma um sujeito e um predicado, destaque quem e o sujeito e queme a propriedade.(3) Se ela e da forma dois sujeitos e uma rela cao, destaque quem e o primeiro sujeito,quem e o segundo sujeito e quem e a relacao.

(i) Eu sou aluno. (ii) Carolina e Tutora .

(iii) Eu e Augusto somos amigos. (iv) 12 e racional.(v) P e Q estao em um mesmo plano. (vi) x + y = 8, ou seja,

x + y e igual a 8.(vii) A Lua e satelite da Terra . (viii) Colombo descobriu a Asia.(ix) AB e BC formam um angulo agudo. (x) e racional.

1.3 Proposi coes moleculares

Em suas formas mais comuns, as proposic oes moleculares sao de cinco tipos:

As obtidas pela aplica cao da partcula nao e o caso que a uma proposicao;


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As obtidas pela aplica cao da partcula e a duas proposicoes (nao necessari-amente distintas);

As obtidas pela aplica cao da partcula ou a duas proposicoes (nao neces-sariamente distintas);

As obtidas pela aplica cao da partcula se . . . entao a duas proposicoes (naonecessariamente distintas);

As obtidas pela aplica cao da partcula se, e somente se a duas proposicoes(nao necessariamente distintas).

Exemplo 4 (a) A proposi cao

Nao e o caso que 2 e par.

e molecular pois e obtida a partir da proposi cao

2 e par.

por aplica cao da partcula nao e o caso que.(b) A proposi cao

2 e par e x e primo.

e molecular pois e obtida a partir das proposi coes

2 e par. , x e primo.

por aplica cao da partcula e.(c) A proposi cao

Nao e o caso que 2 e par ou nao e o caso que 2 e par.


Nao e o caso que 2 e par. , Nao e o caso que 2 e par.

por aplica cao da partcula ou.(d) A proposi cao

Se 2 e par, entao 2 e o menor numero par.


2 e par. , 2 e o menor numero par.


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por aplica cao da partcula se . . . entao .(e) A proposi cao

2 e par se, e somente se, 2 e multilo de 2.


2 e par. , 2 e multiplo de 2.

por aplica cao da partcula se, e somente se.


(1) A diferenca principal entre as proposi coes atomicas e as proposicoes molecularese que as atomicas nao possuem ocorrencias explcitas de nenhuma das partculas:nao e o caso que, e, ou, se . . . entao, se, e somente se; enquanto que asmoleculares possuem.


2 e irracional.e at omica, enquanto que a proposicao

Nao e o caso que 2 e racional.e molecular.

O que estamos querendo enfatizar e que, do ponto de vista da L ogica Matematica,a classica c ao de uma proposi c ao como at omica ou molecular decorre da maneira como ela est a escrita e n ao do seu signicado .

Por exemplo, estritamente falando, a proposi cao

2 e mpar.

e at omica, embora, em certos contextos, ela tenha o mesmo signicado que a proposi-cao molecular

2 nao e par.

(2) Em uma proposi cao, a partcula nao vem, usualmente, escrita junto ao verboprincipal.

Por exemplo, ao inves de escrever a proposicao

Nao e o caso que Maria vai a feira.

usualmente, escrevemos

Maria nao vai a feira.


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(3) A ordem em que as proposi coes ocorrem escritas em uma proposi cao moleculare relevante.

Por exemplo, na proposi cao

2 e mpar e 5 e quadrado perfeito.

em primeiro lugar ocorre a proposi cao

2 e mpar.

e em segundo lugar ocorre a proposi cao

5 e quadrado perfeito.

J a na proposi cao5 e quadrado perfeito e 2 e mpar.


5 e quadrado perfeito.


2 e mpar.

Observe que as duas proposi coes sao equivalentes, pois tem o mesmo signicado,mas nem sempre isto acontece quando a ordem de duas proposi coes e trocada emuma proposi cao molecular formada a partir delas.


Se x e positivo, entao x2 e positivo.

nao e quivalente a proposicao

Se x2

e positivo, entao x e positivo. ja que a primeira e verdadeira, qualquer que seja o n umero real que x assumecomo valor, enquanto que a segunda e falsa quando x assume, como valor umnumero como 1.(4) Cada ocorrencia de uma mesma proposi cao em uma proposi cao molecular econtada como distinta.

Por exemplo, na proposi cao

Se r e s sao perpendiculares, entao r e s sao perpendiculares.


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r e s sao perpendiculares.


r e s sao perpendiculares.

que e igual a anterior.O fato de uma proposi cao ser obtida pela aplica cao de um conectivo a duas

ocorrencias de uma mesma proposicao nem sempre nos autoriza a simplicar aproposi cao, eliminando uma das ocorrencias. Mas ha casos em que isso pode e deve ser feito.


Se Mariana esta acessando a Internet, entao Mariana esta acessando a Internet.

nao e equivalente a proposicao

Mariana esta acessando a Internet.

ja que a primeira e verdadeira em qualquer contexto, enquanto que a segunda podeser verdadeira em alguns contextos e falsa em outros. J a a proposic ao

Mariana esta acessando a Internet e Mariana esta acessando a Internet.

e equivalente a proposicao

Mariana esta acessando a Internet.

ja que ou ambas s ao verdadeiras ou ambas s ao falsas, em cada contexto em que s aoproferidas.

(5) Em resumo:

(1) Proposi c oes moleculares podem ser de cinco tipos,cada uma obtida pela aplicacao de uma das partculaespeciais nao e o caso que , e, ou, se . . . entao , se,e somente se, a outras proposi coes.(2) Para ser classicada como molecular, uma pro-posicao deve possuir ocorr encias explcitas de uma daspartculas nao e o caso que , e, ou, se . . . entao , se,e somente se.


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1.3.1 Exerccios

Neste exerccio voce deve ser capaz de distinguir as proposi c oes moleculares e

identicar as proposic oes at omicas a partir das quais elas s ao formadas .Para cada proposicao abaixo, faca o que se pede:(1) Determine se ela e atomica ou molecular.(2) Se ela for atomica, classique-a, de acordo com o Exerccio 1.2.1.(3) Se ela for molecular, destaque qual e a partcula e quais s ao as proposicoesa partir das quais ela e formada, especicando quem e a primeira proposic ao queocorre e quem e a segunda proposi cao que ocorre, quando for o caso. Lembre-seque no caso de proposicoes formadas a partir da partcula nao esta partcula eaplicada a uma unica proposi cao.

(i) Hoje e domingo.(ii) Eu nao terminei de pintar a cerca.(iii) Hoje deu praia e Mariana cou super feliz.(iv) x e par ou x e mpar .(v) Se Gerson come lagosta, entao Gerson ca feliz.(vi) x e racional se, e somente se, x pode ser escrito como uma fracao .(vii) 3 e menor do que 2.(viii) Este nao e um exerccio facil .(ix) A Terra e uma estrela e o Sol e um planeta.(x) Voce vai vender o livro ou voce vai me emprestar o livro.

(xi) Se o sol brilha, entao a grama seca.(xii) ABC e retangulo se, e somente se, ABC tem um angulo agudo.

2 Conectivos l ogicosVamos, agora, continuar nosso estudo das proposi coes, denindo osconectivos logicos. Um dos nossos principais objetivos nestas aulas e ode sermos capazes de, dada uma proposicao molecular, determinar comexatid ao as proposicoes at omicas e os conectivos logicos que ocorremnela.

O estudo da formac ao de proposicoes consiste em, dada uma proposi cao, de-terminar se ela e formada ou nao a partir de outras proposicoes (e, como veremos,especicar a maneira como ela e formada).

O estudo da avaliac ao de proposicoes consiste em, dada uma proposi cao (pro-ferida em um certo contexto) determinar se ela e verdadeira ou falsa (naquele con-texto).

As partculas nao, e, ou, se . . . entao, se, e somente se, sao chamadasconectivos l ogicos , quando sao usadas na forma cao e na avaliacao de proposicoes damaneira que ser a agora especicada.


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Em primeiro lugar, sempre que for conveniente, vamos simbolizar os conectivosde acordo com a tabela abaixo:

conectivo smbolonao e ou se . . . entao se e somente se Em segundo lugar, tambem para a nossa conveniencia, vamos simbolizar os valores de verdade , isto e, o verdadeiro e o falso, de acordo com a tabela abaixo:

valor smbolo

verdadeiro V falso F

Esta conven cao tem dois objetivos: (1) como veremos, ela simplica a forma caoe a avaliacao de proposicoes; (2) ela serve como um alerta permanente de que nalinguagem matem atica os conectivos nao, e, ou, se . . . entao , se, e somente se,e os valores de verdade verdadeiro e falso sao empregados de uma maneirapeculiar, diferente da maneira como eles sao usados em outras linguagens.

Vamos, agora, analisar o papel que cada conectivo desempenha na forma cao e naavalia cao de proposicoes. Proposi coes genericas ser ao denotadas pelas letras gregas

, , 1 , 1 , 2 , 2 , . . . ,

usualmente, indexadas por numeros naturais.

2.1 Sintaxe dos conectivos

Quanto a formacao de proposicoes por seu intermedio, os conectivos seguem asseguintes regras:

O nao e aplicado a uma proposicao e forma uma proposi cao, chamadaa negac ao de .

O e e aplicado a duas proposicoes e , nao necessariamente distintas etomadas na ordem dada, e forma uma proposi cao , chamada a conjun c aode e .

O ou e aplicado a duas proposi coes e , nao necessariamente distintas etomadas na ordem dada, e forma uma proposi cao , chamada a disjunc aode e .


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O se . . . entao e aplicado a duas proposicoes e , nao necessariamentedistintas e tomadas na ordem dada, e forma uma proposi cao , chamadaa implicac ao de por (observe a ordem em que as proposi coes sao men-cionadas).

O se, e somente se e aplicado a duas proposicoes e , nao necessariamentedistintas e tomadas na ordem dada, e forma uma proposi cao , chamadaa biimplicac ao de e .

2.2 Semantica dos conectivos

Quanto a avaliacao de proposi coes formadas por seu intermedio, os conectivosseguem as seguintes regras:

A negacao e verdadeira quando e falsa; a nega cao e falsa quando e verdadeira.

Esta regra e resumida na seguinte tabela, chamada tabela verdade do n ao :

V F F V

Na primeira coluna temos as duas alternativas possveis para o valor de verdade

de . Na segunda coluna temos as duas alternativas possveis para o valor deverdade de , cada um deles determinado a partir do valor de , de acordocom a regra acima.

A conjuncao e verdadeira quando e sao ambas verdadeiras; a conjuncao e falsa quando ao menos uma dentre e e falsa.

Observe que, desta maneira, e falsa quando e verdadeira e e falsa,quando e falsa e e verdadeira, e quando e sao ambas falsas.

Esta regra e resumida na seguinte tabela, chamada tabela verdade do e :

V V V V F F F V F F F F

Nas duas primeiras colunas temos as quatro alternativas possveis para osvalores de verdade de e , tomados em conjunto. Na terceira coluna temosos valores de verdade possveis para , sendo que o valor de em cadalinha e determinado de acordo com a regra acima, a partir dos valores que

e assumem naquela linha.


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A disjuncao e verdadeira quando ao menos uma dentre e e verdadeira;a disjun cao e falsa quando e sao ambas falsas.

Observe que, desta maneira, e verdadeira quando e sao ambasverdadeiras, quando e verdadeira e e falsa, e quando e falsa e everdadeira.

Esta regra e resumida na seguinte tabela, chamada tabela verdade do ou :

V V V V F V F V V F F F

Nas duas primeiras colunas temos as quatro alternativas possveis para osvalores de verdade de e , tomados em conjunto. Na terceira coluna temosos valores de verdade possveis para varphi , sendo que o valor de emcada linha e determinado de acordo com a regra acima, a partir dos valoresque e assumem naquela linha.

A implicacao e falsa quando e verdadeira e e falsa; a implica cao e verdadeira em todos os outros casos.Observe que, desta maneira,

e verdadeira quando e sao ambas

verdadeiras, quando e falsa e e verdadeira, e quando e falsa e e falsa.

Esta regra e resumida na seguinte tabela, que e chamada tabela verdade do se ...ent ao:

V V V V F F F V V F F V

Nas duas primeiras colunas temos as quatro alternativas possveis para os

valores de verdade de e psi , tomados em conjunto. Na terceira coluna temos os valores de verdadepossveis para , sendo que o valor de em cada linha e determinadode acordo com a regra acima, a partir dos valores que e assumem naquelalinha.

A biimplica cao e verdadeira quando e tem o mesmo valor deverdade; a biimplica cao e falsa quando e tem valores de verdadedistintos.


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Observe que, desta maneira, e verdadeira quando e sao ambasverdadeiras e quando e sao ambas falsas; e falsa quando everdadeira e e falsa, e quando e falsa e e verdadeira.

Esta regra e resumida na seguinte tabela, chamada tabela verdade do se e somente se :

V V V V F F F V F F F V

Nas duas primeiras colunas temos as quatro alternativas possveis para osvalores de verdade de e , tomados em conjunto. Na terceira coluna temos

os valores de verdade possveis para , sendo que o valor de emcada linha e determinado de acordo com a regra acima, a partir dos valoresque e assumem naquela linha.

Exemplo 5 Considere as proposi coes

O dia tem 24 horas. , 16 e igual a 4. ,Mario de Andrade escreveu Sagarana.

Sabemos que elas sao V , V e F , respectivamente. Baseados neste fato, temosque:(a) De acordo com a tabela do nao, as proposicoes

O dia nao tem 24 horas. , 16 nao e igual a 4. ,Mario de Andrade nao escreveu Sagarana.

sao F , F e V , respectivamente.(b) De acordo com a tabela do e, a proposi cao

O dia tem 24 horas e 16 e igual a 4.e V , enquanto que a proposi cao

O dia nao tem 24 horas e Mario de Andrade escreveu Sagarana.

e F .(c) De acordo com a tabela do ou, a proposi cao

O dia tem 24 horas ou 16 nao e igual a 4.


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e V , enquanto que a proposi cao

O dia nao tem 24 horas ou Mario de Andrade escreveu Sagarana.

e F .(d) De acordo com a tabela do se . . . entao, a proposi cao

Se o dia tem 24 horas, entao Mario de Andrade nao escreveu Sagarana.


Se 16 e 4, entao o dia nao tem 24 horas.e F .(e) De acordo com a tabela do se e somente se, a proposi cao

O dia tem 24 horas se, e somente se, Mario de Andrade nao escreveu Sagarana.


16 nao e 4 se, e somente se, o dia tem 24 horas.e F .


(1) Os conectivos podem ser aplicados sucessivamente, de maneira indiscriminada,na forma cao de proposicoes.Por exemplo, a partir da proposi cao

2 e irracional.podemos formar a proposi cao

Nao e o caso que 2 nao e irracional.por duas aplica coes sucessivas do conectivo nao .

(2) Os conectivos podem ser aplicados na formacao de proposicoes, independente-mente do signicado que elas possuem, isto e, o signicado das proposi c oes n ao s aolevados em conta quando elas s ao usadas na formac ao de outras proposic oes .

Por exemplo, a partir das proposicoes

2 e irracional. , Paris e a capital da Franca. ,podemos formar a proposi cao

Se 2 e irracional, entao Paris e a capital da Fran ca.(3) Em resumo:


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(1) As partculas especiais nao e o caso que, e, ou,se . . . entao , se, e somente se, sao chamadas conectivos l ogicos quando seu uso na Linguagem Matem atica eregido estritamente pelas regras sint aticas e semanticas

apresentadas acima.(2) A maneira como os conectivos l ogiccos sao empre-gados na formaa cao e na avaliaa cao e proposi coes e umpouco diferente da maneira como as parculas nao e ocaso que, e, ou, se . . . entao , se, e somente se, saousadas na Lngua Portuguesa.

2.2.1 Exerccios

Nestes exerccios, voce deve ser capaz de avaliar proposi c oes moleculares a partir dos valores das proposi c oes que as comp oem, aplicando as tabelas de verdade dos conectivos.

(a) Classicar cada proposicao abaixo como verdadeira ou falsa. Os Parenteses foram utilizados para facilitar a leitura das proposi c oes .

(i) ( 16 e um numero natural).(ii) (1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 ) ( 25 e um numero natural).(iii) (2 < 2) (2 = 2 ).(iv) (1 < 0)

(0 < 1).

(v) ( e um numero inteiro) ( e um numero racional).(b) Considerando que as seguintes proposi coes foram proferidas na Tutoria de saba-do, determine quais proposicoes abaixo sao V e quais sao F :

(i) Hoje nao e ter ca.(ii) Hoje e sabado e amanha e sexta .(iii) Hoje e sabado ou amanha nao e quinta .(iv) Se hoje e segunda, entao amanha e ter ca.(v) Hoje e sabado se, e somente se, depois de amanha e segunda.

3 Proposi coes componentes e simboliza caoAgora que somos capazes de distinguir proposi coes at omicas de pro-posicoes moleculares e de, dada uma proposi cao molecular, determinaras proposicoes atomicas e os conectivos logicos que ocorrem nela, vamosanalisar a maneira como as proposicoes sao formadas. Nosso objetivo eque, ao nal desta an alise, sejamos capazes de simbolizar a proposi cao,exibindo assim a sua forma l ogica .

Como vimos ao nal da Secao 2, para avaliar uma proposicao molecular e essen-

cial que saibamos explicitar corretamente a maneira como ela e formada a partir


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das proposi coes atomicas que a compoem. Uma ferramenta que pode ser usada paraeste m e a simbolizac ao de proposi c oes moleculares, obtidas pela simbolizac ao das proposi c oes at omicas que as comp oem . Vamos, agora, estudar este processo de umamaneira detalhada.

Seja uma proposi cao e 1 ,2 , . . . , n proposicoes atomicas. Dizemos que 1 ,2 , . . . , n comp oem se e formada a partir de 1 ,2 , . . . , n pela aplicacao (umaou mais vezes, dependendo do caso) dos conectivos nao, e, ou, se . . . entao ese, e somente se.

Exemplo 6 (a) Seja a proposicao

Ela nao gosta de bebidas amargas.

A proposicao at omica que compoe e

Ela gosta de bebidas amargas.

De fato, e formada pela aplicacao do conectivo nao a esta proposicao at omica(b) Seja a proposicao

Esta chovendo ou esta fazendo sol.

As proposicoes que compoem sao

Esta chovendo. , Esta fazendo sol.

De fato, e formada pela aplicacao do conectivo ou a estas proposicoes atomicas.


(1) As proposicoes que compoem uma proposicao, por serem at omicas, nao possuem

ocorrencias de conectivos.Por exemplo, a proposi cao at omica que compoe a proposicao

Nao e o caso que x nao e primo.

ex e primo.

As proposicoes atomicas que compoem a proposicao

Se x nao e primo, entao x e igual a 1 ou x nao tem um fator proprio.


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saox e primo. , x e igual a 1. , x tem um fator proprio.

(2) Ocorrencias distintas de uma mesma proposi cao at omica, em uma dada proposi-cao, sao consideradas como distintas.Por exemplo, a proposi cao

Se 2 e par e 3 e par, entao 2 e par.

e formada a partir de duas proposi coes atomicas:

2 e par. , 3 e par.

Neste caso, a proposi cao at omica2 e par.

ocorre duas vezes na proposi cao molecular.

3.1 Esquemas de simboliza cao

Sejam 1 ,2 , . . . , n proposicoes at omicas. Um esquema de simbolizac ao para1 ,2 , . . . , n e um esquema da forma:

l1 : 1l2 : 2

...ln : n

onde l1 , l2 , . . . , l n sao n letras escolhidas no conjunto { p, q, r, s, p 1 , q 1 , r 1 , s 1 , . . .}.Seja uma proposi cao. Um esquema de simbolizac ao para e um esquema de

simbolizacao para as proposi coes atomicas que a compoem.



e at omica. Um esquema de simboliza cao para ela e

p : Ela gosta de bebidas amargas.

(b) A proposi caoEla nao gosta de bebidas amargas.

e molecular, formada pela aplica cao do conectivo nao a proposicao at omica



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que e a mesma dada em (a). Assim, um esquema de simbolizacao para ela tambeme

p : Ela gosta de bebidas amargas.

(c) A proposi caoNao e o caso que x nao e primo.

e molecular, formada pela aplicacoes sucessivas do conectivo nao a proposicaoat omica

x e primo.

Um esquema de simboliza cao para ela e

q : x e primo.

(d) A proposi caoEsta chovendo ou esta fazendo sol.

e molecular, formada pela aplica cao do conectivo ou as proposicoes

Esta chovendo. , Esta fazendo sol.


r : Esta chovendo.s : Esta fazendo sol.

(e) A proposi cao


e molecular, formada pela aplica cao sucessiva dos conectivos nao e se entao asproposi coes

x e primo. , x e igual a 1. , x tem um fator proprio.


p1 : x e primo. p2 : x e igual a 1. p3 : x tem um fator proprio.

(f) A proposicaoSe 2 e par e 3 e par, entao 2 e par.

e molecular, formada pela aplica cao dos conectivos e e se, . . . entao as proposicoes

2 e par. , 3 e par.


q 1 : 2 e par.q 2 : 3 e par.


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(1) Num esquema de simboliza cao para uma proposicao , cada uma das proposi coesat omicas que compoe deve ser denotada por uma letra diferente, escolhida noconjunto { p, q, r, s, p 1 , q 1 , r 1 , s 1 , . . .}.(2) Dada uma proposicao , ocorrencias distintas de uma mesma proposi c ao at omica em s ao consideradas como distintas, mas s ao denotadas pela mesma letra .


Eu vou e eu vou, e eu vou.

possui tres ocorrencias da proposi cao

Eu vou.

Um esquema de simboliza cao para ela e, simplesmente,

p : eu vou.

3.2 Simboliza cao de proposi coes

A simbolizac ao de uma proposi cao consiste na execucao de 3 passos:Passo 1) Determinar as proposicoes atomicas que compoem .Passo 2) Determinar um esquema de simbolizacao para .Passo 3) Reescrever (simbolizar) usando as letras empregadas no Passo 2 e osconectivos simbolizados , , , e , de modo a explicitar como eformada pela aplica cao dos conectivos as proposicoes atomicas que a compoe.



pode ter p : Ela gosta de bebidas amargas.

como um esquema de simboliza cao. Portanto, ela pode ser simbolizada por

p

(b) A proposi cao

Ela nao gosta de bebidas amargas.


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tambem tem p : Ela gosta de bebidas amargas.

como um esquema de simbolizacao. Observando a maneira como ela e obtida poraplica cao do conectivo nao a proposicao p, vemos que ela pode ser simbolizadapor

p

(c) A proposi caoNao e o caso que x nao e primo.

pode terq : x e primo.

como um esquema de simbolizacao. Observando a maneira como ela e formada pelaaplica cao sucessiva do conectivo nao a proposi cao q , vemos que ela pode sersimbolizada por

(q )

ou, simplesmente,

q

(d) A proposi caoEsta chovendo ou esta fazendo sol.

pode terr : Esta chovendo.s : Esta fazendo sol.

como um esquema de simbolizacao. Observando a maneira como ela e formada pelaaplica cao do conectivo ou as proposicoes r e s , vemos que ela pode ser simbolizadapor

r

s

(e) A proposi cao


pode ter p1 : x e primo. p2 : x e igual a 1. p3 : x tem um fator proprio.

como um esquema de simbolizacao. Observando a maneira como ela e formada pelaaplica cao sucessiva dos conectivos nao e se entao as proposicoes p1 , p2 e p3 ,vemos que ela pode ser simbolizada por

( p1 ) ( p2 p3 )


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(f) A proposicaoSe 2 e par e 3 e par, entao 2 e par.

pode ter q 1 : 2 e par.q 2 : 3 e par.

como um esquema de simbolizacao. Observando a maneira com ela e formada pelaaplica cao dos conectivos e e se, . . . entao as proposicoes q 1 e q 2 , vemos que elapode ser simbolizada por

(q 1q 2 ) q 1(g) A proposicao


pode ter p : Eu vou.

como um esquema de simbolizacao. Observando a maneira com ela e formada pelaaplica cao sucessiva do conectivo e a proposicao p, vemos que ela pode ser sim-bolizada por

( p p) p


(1) A simbolizacao de uma proposi cao deve mostrar corretamente de que maneiraa proposi cao foi obtida a partir das proposicoes at omicas que a compoem, poraplica coes dos conectivos.

Por exemplo, devido ao fato da vrgula ocorrer ap os a segunda ocorrencia do ena proposi cao


ela foi simbolizada acima como p(

p

p)

e nao como( p p) p

Observe que as duas proposi coes simbolizadas acima tem o mesmo signicado,mas isto nem sempre acontece quando mudamos a maneira como uma proposi cao eformada pela aplica cao dos conectivos as proposicoes atomicas que a compoe.


Se 2 e mpar, entao 1 e mpar e 3 e par.


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pode ser simbolizada como p (q r )

dado o esquema de simboliza cao: p : 2 e mpar .q : 1 e mpar .r : 3 e par .

Ela n ao pode ser simbolizada como

( p q )rpois enquanto a implica cao

Se 2 e mpar, entao 1 e mpar e 3 e par.

e V , a conjuncaoSe 2 e mpar, ent ao 1 e mpar; e 3 e par.

e F .

(2) Na pr atica, podemos dispensar o uso de ndices nas letras empregadas nas sim-bolizacoes. Sempre que possvel, empregaremos apenas as letras p ,q,r, s , pois naosera comum considerarmos a simboliza cao de proposicoes formadas a partir de maisde quatro proposi coes atomicas.

(3) Em resumo:

(1) A simbolizacao de uma proposi cao consiste, essen-cialmente, na execu cao de 3 passos:

1. Determinar as proposicoes at omicas que a com-poem;

2. Determinar um esquema de simbolizacao;

3. Reescrever a proposicao, usando o esquema, demodo a mostrar corretamente como a proposi caofoi formada.

(2) Ocorrencias distintas de proposi coes at omicas, emuma mesma proposi cao, devem ser contadas como dis-tintas, mas devem ser simbolizadas pela mesma letra.


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3.2.1 Exerccios

Simbolizar as proposi coes a seguir. Neste exerccio, para cada proposi c ao , voce

deve (1) apresentar uma chave de simbolizac ao para e (2) simbolizar de acordocom a chave apresentada.

(i) Eu gosto de Logica.(ii) Logica nao e difcil.(iii) Nao e o caso que 8 nao e maior do que 7.(iv) Matematica Discreta nao e facil e Matematica Discreta e interessante.(v) 25 nao e um quadrado perfeito e 25 nao e um multiplo de 5.(vi) Eu estudo bastante ou eu nao passo em Matematica Discreta.(vii) f esta bem denida e o graco de f e uma reta, ou f nao e contnua.(viii) Se ela aprende com facilidade, entao: eu vou estudar com ela e ela vaime ensinar a materia.(ix) Se x2 e mpar e x nao e diferente de 0, entao x nao e par.(x) Eu passo em Matematica Discreta se, e somente se, eu estudo bastante eeu tiro as minhas duvidas.(xi) n e um numero primo se, e somente se, n nao e igual a 1 e n nao possuifatores proprios.

4 Solucoes dos exerccios

S o estude as solu c oes ap os haver, realmente, tentado resolver os exerccios e,

caso n ao tenha conseguido, procurado ajuda com outros alunos e/ou com os tutores da disciplina.

Solu cao do Exerccio 1.1.1

(i) 2 e primo. e uma proposi cao, pois e classicada como verdadeira. Observe queesta proposi cao possui a ocorrencia do verbo ser .(ii) O primo de Mariana. nao e uma proposi cao, pois nao possui a ocorrencia deum verbo.(iii) x e y. nao e uma proposi cao, pois nao possui a ocorrencia de um verbo.(iv) (x, y ) esta no primeiro quadrante. e uma proposicao, pois pode ser classicadacomo verdadeira ou falsa, dependendo dos valores de x e de y. Observe que estaproposi cao possui a ocorrencia do verbo estar .(v) 5 4 = 21. e uma proposi cao, pois e classicada como falsa. Observe que estaproposi cao possui a ocorrencia do verbo ser .(vi) Nos estamos estudando as proposicoes. e uma proposi cao, pois e classicadacomo verdadeira. Observe que esta proposicao possui as ocorrencias dos verbos estar e estudar .


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(vii) x 2 e negativo. e uma proposi cao, pois e classicada como falsa, independente-mente ate do valor de x. Observe que esta proposi cao possui a ocorrencia do verboser .(viii) O maior numero dentre 2, 3, 4 e 5. nao e uma proposi cao, pois nao possui aocorrencia de um verbo. Observe que a express ao o maior numero dentre 2, 3, 4 e 5e, simplesmente, uma maneira elaborada de se referir ao n umero 5.(ix)

1 + x n

2 . nao e uma proposi cao, pois nao possui a ocorrencia de um verbo.Dados os valores de x e de n , a expressao e apenas uma maneira elaborada de sereferir a um certo n umero.(x) Eu acho difcil reconhecer uma proposicao. e uma proposi cao, pois pode serclassicada como verdadeira. Observe que esta proposi cao possui as ocorrencias dos

verbos achar e reconhecer .


(i) Eu sou aluno. (1) E uma proposi cao at omica da forma um sujeito e umapropriedade. (2) O sujeito e eu e a propriedade e ser aluno. Observe que apropriedade possui a ocorrencia do verbo ser .(ii) Carolina e Tutora. (1) E uma proposi cao at omica da forma um sujeito e umapropriedade. (2) O Sujeito e Carolina e a propriedade e ser tutora. Observeque a propriedade possui a ocorrencia do verbo ser .(iii) Eu e Augusto somos amigos. (1) E uma proposi cao at omica da forma doissujeitos e uma rela cao. (2) O primeiro sujeito e eu, o segundo sujeito e Augusto,e a relacao e serem amigos. Observe que a relacao possui a ocorrencia do verboser .(iv)

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e racional (1) E uma proposi cao at omica da forma um sujeito e uma pro-

priedade. (2) O sujeito e 1

2 e a propriedade e ser racional. Observe que a

relacao possui a ocorrencia do verbo ser .(v) P e Q estao em um mesmo plano. (1) E uma proposi cao at omica da forma dois

sujeitos e uma rela cao. (2) O primeiro sujeito e P , o segundo sujeito e Q, e arelacao e estarem em um mesmo plano. Observe que a rela cao possui a ocorrenciado verbo estar .(vi) x + y e igual a 8. Esta proposi cao da margem a duas leituras. Voce podeescolher qualquer uma delas como correta.

Na primeira leitura, temos: (1) E uma proposi cao at omica da forma um sujeitoe uma propriedade. (2) O sujeito e x + y e a propriedade e ser igual a 8.Observe que a rela cao possui a ocorrencia do verbo ser . Na segunda leitura, temos:(1) E uma proposi cao at omica da forma dois sujeitos e uma rela cao. (2) O primeiro


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sujeito e x + y, o segundo sujeito e 8, e a relacao e serem iguais. Observe quea relacao possui a ocorrencia do verbo ser .(vi) A Lua e satelite da Terra. Esta proposi cao da margem a duas leituras. Vocepode escolher qualquer uma delas como correta.

Na primeira leitura, temos: (1) E uma proposi cao at omica da forma um sujeitoe uma propriedade. (2) O sujeito e Lua e a propriedade e ser satelite da Terra .Observe que a rela cao possui a ocorrencia do verbo ser . Na segunda leitura, temos:(1) E uma proposi cao at omica da forma dois sujeitos e uma rela cao. (2) O primeirosujeito e Lua, o segundo sujeito e Terra , e a relacao e ser satelite de. Observeque a relacao possui a ocorrencia do verbo ser .(viii) Colombo descobriu a Asia. Esta proposi cao da margem a duas leituras. Vocepode escolher qualquer uma delas como correta.

Na primeira leitura, temos: (1) E uma proposi cao at omica da forma um sujeitoe uma propriedade. (2) O sujeito e Colombo e a propriedade e descobrir a Asia.Observe que a rela cao possui a ocorrencia do verbo descobrir . Na segunda leitura,temos: (1) E uma proposi cao at omica da forma dois sujeitos e uma rela cao. (2) Oprimeiro sujeito e Colombo, o segundo sujeito e Asia, e a relacao e descobrira. Observe que a rela cao possui a ocorrencia do verbo ser .(ix) AB e BC formam um angulo agudo. (1) E uma proposi cao at omica da formadois sujeitos e uma rela cao. (2) O primeiro sujeito e AB , o segundo sujeito e BC ,e a relacao e formar um angulo agudo. Observe que a rela cao possui a ocorrenciado verbo formar .(x) e racional. (1) E uma proposi cao at omica da forma um sujeito e umapropriedade. (2) O sujeito e e a propriedade e ser racional. Observe que arelacao possui a ocorrencia do verbo ser .


(i) Hoje e domingo. (1) Esta e uma proposi cao at omica. (2) Ela e da forma umsujeito e uma propriedade. O sujeito e hoje e a propriedade e ser domingo. H a

uma outra leitura para esta proposi c ao? (ii) Eu nao terminei de pintar a cerca. (1) Esta e uma proposicao molecular. (3)Possui uma ocorrencia da partcula nao . Ela e formada a partir da proposi caoEu terminei de pintar a cerca.(iii) Hoje deu praia e Mariana cou super feliz. (1) Esta e uma proposicao molecular.(3) Possui uma ocorrencia da partcula e. Ela e formada a partir da primeiraproposi cao Hoje deu praia e da segunda proposi cao Mariana cou super feliz.(iv) x e par ou x e mpar. (1)(1) Esta e uma proposi cao molecular. (3) Possui umaocorrencia da partcula ou. Ela e formada a partir da primeira proposi cao x e

par e da segunda proposicao x e mpar .


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(v) Se Gerson come lagosta, entao Gerson ca feliz. (1) Esta e uma proposicaomolecular. (3) Possui uma ocorrencia da partcula se . . . entao . Ela e formadaa partir da primeira proposi cao Gerson come lagosta e da segunda proposicaoGerson ca feliz.(vi) x e racional se, e somente se, x pode ser escrito como uma fracao. (1) Esta e umaproposi cao molecular. (3) Possui uma ocorrencia da partcula se e somente se. Elae formada a partir da primeira proposi cao x e racional e da segunda proposicaox pode ser escrito como uma fracao .(vii) 3 e menor do que 2. (1) Esta e uma proposicao at omica. (2) Ela e da formaum sujeito e uma propriedade. O sujeito e 3 e a propriedade e ser menor do que2. H a uma outra leitura para esta proposi c ao? (viii) Este nao e um exerccio facil. (1) Esta e uma proposicao molecular. (3) Possuiuma ocorrencia da partcula nao . Ela e formada a partir da proposi cao Este eum exerccio facil.(ix) A Terra e uma estrela e o Sol e um planeta. (1) Esta e uma proposicao molecular.(3) Possui uma ocorrencia da partcula e. Ela e formada a partir da primeiraproposi cao A Terra e uma estrela e da segunda proposi cao O Sol e um planeta.(x) Voce vai vender o livro ou voce vai me emprestar o livro. (1) Esta e uma proposicaomolecular. (3) Possui uma ocorrencia da partcula ou. Ela e formada a partir daprimeira proposi cao Voce vai vender o livro e da segunda proposicao Voce vai meemprestar o livro.(xi) Se o sol brilha, entao a grama seca. (1) Esta e uma proposicao molecular. (3)Possui uma ocorrencia da partcula se . . . entao . Ela e formada a partir da primeiraproposi cao O sol brilha e da segunda proposicao A grama seca.(xii) O triangulo ABC e retangulo se, e somente se, o triangulo ABC tem um anguloagudo. (1) Esta e uma proposicao molecular. (3) Possui uma ocorrencia da partculase, e somente se. Ela e formada a partir da primeira proposi cao O triangulo ABC e retangulo e da segunda proposicao O triangulo ABC tem um angulo agudo.


(a) (i) Como a proposicao 16 e um numero natural e V , temos que a proposi cao (

16 e um numero natural) e F .(ii) Como a proposi cao 1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 e V e a proposicao 25 e um numeronatural e V , temos que a proposi cao (1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 ) ( 25 e um numeronatural) e V .(iii) Como a proposi cao 2 < 2 e F e a proposicao 2 = 2 e V , temos que aproposi cao (2 < 2) (2 = 2) e V .(iv) Como a proposi cao 1 < 0 e F e a proposicao 0 < 1 e V , temos que a

proposi cao (1 < 0) (0 < 1) e V .


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(v) Como a proposi cao e um numero inteiro e F e a proposicao e um numeroracional e F , temos que a proposi cao ( e um numero inteiro) ( e um numeroracional) e V .(b) Como a Tutoria aconteceu no sabado, temos:(i) A proposic ao Hoje e terca e F . Logo, a proposicao Hoje nao e ter ca. e V .(ii) A proposi cao Hoje e sabado e V e a proposicao Amanha e sexta e F . Logo,a proposicao Hoje e sabado e amanha e sexta e F .(iii) A proposi cao Hoje e sabado e V e a proposicao Amanha e quinta e F .Assim, a proposicao Amanha nao e quinta . e V . Logo, a proposicao Hoje esabado ou amanha nao e quinta e V .(iv) A proposi cao Hoje e segunda e F e a proposicao Amanha e ter ca e F . Logo,a proposicao Se hoje e segunda, entao amanha e ter ca e V .A proposicao Hoje e sabado e V e a proposicao Depois de amanha e segunda eV . Assim, a proposicao Hoje e sabado se, e somente se, depois de amanha e segundae V .

Solu cao dos Exerccio 3.2.1

(i) Eu gosto de Logica.Proposi cao at omica da forma um sujeito e uma propriedade. Um esquema de sim-bolizacao para ela pode ser

p : Eu gosto de Logica.

Portanto, ela pode ser simbolizada por

p

(ii) Logica nao e difcil.Negacao, formada por aplica cao do conectivo nao a proposicao at omica

Logica e difcil.

Assim, (1) um esquema de simboliza cao para ela pode ser

p : Logica e difcil.

Portanto, (2) ela pode ser simbolizada por

p

(iii) Nao e o caso que 8 nao e maior do que 7.


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Negacao, formada por duas aplicacoes sucessivas do conectivo nao a proposicaoat omica

8 e maior do que 7.

Assim, (1) um esquema de simboliza cao para ela pode ser

p : 8 e maior do que 7.

Portanto, (2) ela pode ser simbolizada por

( p)

(iv) Matematica Discreta nao e facil e Matematica Discreta e interessante.Conjun cao, formada por aplica cao do conectivo e as proposicoes

Matematica Discreta nao e facil , Matematica Discreta e interessante.

A primeira e uma negacao, formada por aplica cao do conectivo nao a proposicaoat omica

Matematica Discreta e facil.

Assim, (1) um esquema de simboliza cao para a proposi cao pode ser

p : Matematica Discreta e facilq : Matematica Discreta e interessante

Portanto, (2) a proposi cao pode ser simbolizada por

( p)q

(v) 25 nao e um quadrado perfeito e 25 nao e um m ultiplo de 5.Conjun cao, formada por aplica cao do conectivo e as proposicoes

25 nao e um quadrado perfeito , 25 nao e m ultiplo de 5.

A primeira e uma negacao, formada por aplica cao do conectivo nao a proposicaoat omica

25 e um quadrado perfeito.

A segunda tambem e uma nega cao, formada por aplica cao do conectivo nao aproposi cao at omica

25 e um multiplo de 5.

Assim,, (1) um esquema de simboliza cao para a proposi cao pode ser

p : 25 e um quadrado perfeito

q : 25 e um multiplo de 5


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( p)(q )

(vi) Eu estudo bastante ou eu nao passo em Matematica Discreta.Disjuncao, formada por aplica cao do conectivo ou as proposicoes

Eu estudo bastante , Eu nao passo em Matematica Discreta.

A primeira e uma proposicao at omica da forma um sujeito e uma propriedade. Asegunda e uma negacao, formada por aplica cao do conectivo nao a proposicaoat omica

Eu passo em Matematica Discreta.


p : Eu estudo bastante.q : Eu passo em Matematica Discreta.


p(q )

(vii) f esta bem denida e o graco de f e uma reta, ou f nao e contnua.Disjuncao, formada por aplica cao do conectivo ou as proposicoes

f esta bem denida e o graco de f e uma reta , f nao e contnua.

A primeira e uma conjuncao, formada por aplica cao do conectivo e as proposicoesat omicas

f esta bem denida , O graco de f e uma reta.

A segunda e uma negacao, formada por aplica cao do conectivo nao a proposicaoat omica

f e contnua.

Assim, (1) um esquema de simboliza cao para a proposi cao pode ser p : f esta bem denida.q : O graco de f e uma reta.r : f e contnua.


( pq )r

(viii) Se ela aprende com facilidade, entao: eu vou estudar com ela e ela vai me ensinar

a materia.


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Implica cao, formada por aplica cao do conectivo se . . . entao as proposicoes

Ela aprende com facilidade,

Eu vou estudar com ela e ela vai me ensinar a materia.

A primeira e uma proposicao at omica da forma um sujeito e uma propriedade. Asegunda e uma conjuncao, formada por aplica cao do conectivo e as proposicoesat omicas

Eu vou estudar com ela , Ela vai me ensinar a materia.


p : Ela aprende com facilidade.q : Eu vou estudar com ela.r : Ela vai me ensinar a materia.


p (q r )(xi) Se x2 e mpar e x nao e diferente de 0, entao x nao e par.Implica cao, formada por aplica cao do conectivo se . . . entao as proposicoes

x 2 e mpar e x nao e diferente de 0 , x nao e par.

A primeira e uma conjuncao, formada por aplica cao do conectivo e a proposicaoat omica

x 2 e mpar

e a proposicao molecularx nao e diferente de 0.

Esta ultima, por sua vez, e uma negacao, formada por aplica cao do conectivo nao

a proposicao at omicax e diferente de zero.

J a a segunda proposi cao e uma nega cao, formada por aplica cao do conectivo naoa proposicao at omica

x e par.


p : x2 e mpar.q : x e diferente de zero.

r : x e par.


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( p(q )) (r )(x) Eu passo em Matematica Discreta se, e somente se, eu estudo bastante e eu tiro asminhas duvidas.Biimplicacao, formada por aplica cao do conectivo se, e somente se as proposicoes

Eu passo em Matematica Discreta , eu estudo bastante e eu tiro as minhas duvidas.

A primeira e atomica da forma um sujeito e uma propriedade. A segunda e umaconjun cao, formada por aplica cao do conectivo e as proposicoes moleculares

Eu estudo bastante , Eu tiro as minhas duvidas.


p : Eu passo em Matematica Discreta.q : Eu estudo bastante.r : Eu tiro as minhas duvidas.


p (q r )(xi) n e um numero primo se, e somente se, n nao e igual a 1 e n nao possui fatores

proprios.Biimplicacao, formada por aplica cao do conectivo se, e somente se as proposicoes

n e um numero primo , n nao e igual a 1 e n nao possui fatores proprios.

A primeira e atomica da forma sujeito propriedade. A segunda e uma conjun cao,formada por aplica cao do conectivo e as proposicoes

n nao e igual a 1 , n nao possui fatores proprios.

Esta primeira proposic ao e uma nega cao, formada por aplicacao do conectivo naoa proposicao

n e igual a 1.

J a esta segunda, e uma negacao, obtida por aplicacao do concentivo nao aproposi cao

n possui fatores proprios.


p : n e um numero primo.q : n e igual a 1.

r : n possui fatores proprios.


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( p

((

q )

(

r ))

c 2010 Marcia Cerioli e Petrucio VianaCoordena cao da Disciplina MD/CEDERJ

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2 Linguagem Matematica Aula 1