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Ivone da Silva Salsa

Jeanete Alves Moreira

Marcelo Gomes Pereira

Autores

aula

08

Medidas de tendência central:média, mediana e moda

Matemática e RealidadeD I S C I P L I N A2ª Edição

Divisão de Serviços Técnicos

Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede”

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expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte.

27/06/2007

Salsa, Ivone da Silva.Matemática e realidade: interdisciplinar / Ivone da Silva Salsa, Jeanete Alves Moreira, Marcelo Gomes

Pereira. – Natal, RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2005.292 p.1. Métodos estatísticos. 2. Análise estatística. 3. Proporção e porcentagem. 4. Dados estaísticos. 5.

Medidas de dispersão. I. Moreira, Jeanete Alves. II. Pereira, Marcelo Gomes. III. Título.

ISBN 85-7273-287-X CDD 519.5RN/UF/BCZM 2005/47 CDU 519.22

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12ª Edição Aula 08 Matemática e Realidade

Apresentaçãoá vimos como é indispensável condensar adequadamente dados estatísticos para termos uma compreensão maior das informações sobre o fato ou fenômeno estudado. Agora, aprenderemos uma nova forma de resumi-los ainda mais através de medidas

estatísticas conhecidas como medidas de tendência central, as quais são usadas para representar a série pesquisada. Elas nos informam sobre o comportamento da variável que a originou, isto é, nos dão uma idéia da tendência de todo um conjunto de dados. Nesta aula, você aprenderá a calculá-las e interpretá-las. Estudaremos a média aritmética, a mediana e a moda, que são muito importantes na fundamentação de análises e interpretações de observações estatísticas.

J

Objetivos

Nosso propósito é que você aprenda a calcular, interpretar e compreender a utilização das medidas de tendência central na análise exploratória de um conjunto de dados. Esperamos também que seja capaz de saber escolher, dependendo da situação, qual dessas medidas deve ser usada.

2 Aula 08 Matemática e Realidade 2ª Edição

s medidas de tendência central são valores que, de certa forma, e de maneira condensada, trazem consigo informações contidas nos dados estatísticos – sejam eles, populacionais ou amostrais. Elas funcionam como uma espécie

de “medidas-resumo”, pois nos passam a idéia, digamos, do comportamento geral das observações estudadas. Podemos dizer ainda que elas são como valores de referência, em torno dos quais, os outros se distribuem. Quando estão associadas aos dados populacionais, são chamadas de parâmetros; quando são calculadas a partir de amostras, são denominadas estatísticas. Essa diferença ocorre porque os parâmetros são valores constantes (fixos), pois são calculados a partir de todos os dados de um certo conjunto, isto é, a população de interesse. Porém, se trabalhamos com amostras, as medidas estatísticas obtidas variarão de acordo com as observações que foram selecionadas. Por isso, elas não são valores fixos, pois dependem dos elementos da amostra particular que foi escolhida.

Veremos, agora, os conceitos e os cálculos de cada uma delas.

Média, mediana e moda:conceitos e cálculos

A

Portanto, sua média foi 7,2, concorda? Formalizando o que fizemos, definiremos a média da seguinte forma:

Média AritméticaHá dois casos a serem considerados no cálculo da média.

1º Caso – Quando tratamos com dados isolados ou não tabelados.

Por exemplo: suponha que suas notas em uma seleção para um curso de aperfeiçoamento foram 5,6; 4,8; 8,0; 8,6; 6,8; 9,4. Então, se todas têm o mesmo peso, sua média será:

Média Aritmética, ou simplesmente média, é uma medida que funciona como o pontode “equilíbrio” de um conjunto de dados, é representada pela letra grega (devemos ler“mi”), quando seu cálculo é feito a partir de todos os valores de uma população. Seusamos dados amostrais para obtê-la, é referida como (lemos “Xis barra”). É a medidade tendência central mais popular (desde o início de nossa vida escolar, já nos habituamoscom seu cálculo) e pelas suas propriedades matemáticas é bastante usada na EstatísticaInferencial.


Tabela 1 – Pontuação no teste objetivo de Matemática, na amostra das turmas da 8a série/manhã, na E. E. Nair Burégio, município de Carapeba, em abril de 2004.

Vimos que para calcular a média aritmética de um conjunto devemos somar todos os valores deste e dividir o resultado dessa adição pelo número de observações/valores.

OBS.: preste atenção à sutileza:

2º Caso – Quando os dados estão organizados emuma tabela de freqüências.

Começaremos com um exemplo, no qual as observações estatísticas são tabeladas, porém não agrupadas em intervalos. Retome a seguinte tabela, apresentada na aula 5.

se representam as observações de uma amostra da variável X, então, suamédia aritmética simples é definida como:

Podemos escrever essa expressão de forma simplificada, utilizando a letra gregamaiúscula sigma , devemos ler “sigma”, que é a notação usada para somatório. Ou

seja, representa a soma de todos os valores assumidos pela variável X, desde até

. Isso significa que o primeiro índice de é 1 e segue até o , este se encontra na partesuperior do . Assim, podemos escrever a fórmula da média como:

(equação 1)

Fonte: Dados fictícios.

Quando nos referimos à variável de interesse, a notação utilizada é X (maiúsculo). Quando são valores assumidos por ela, denotamos por x (minúsculo).

Pontuação (Xi)Nº de alunos

(fi) (Freqüênciaobservada)

xi fi

Total 372


De forma mais simplificada, podemos escrever:

Formalizando esse processo de cálculo da média, quando os dados estão tabelados, mas não agrupados, teremos:

logo, pontos ou, arredondando, temos pontos.

Para facilitar o cálculo da média, criamos, nessa tabela, uma coluna na qualregistramos o produto de cada um dos valores assumidos pela variável X por suasrespectivas freqüências. Quando somarmos esses produtos , o total representa asoma de todos os valores da distribuição (nesse exemplo, o resultado foi 372). A médiaserá obtida dividindo-se esse total pelo número de observações da amostra, n , ou seja, pelo

somatório das freqüências, .

sejam valores assumidos pela variável X e suas respectivasfreqüências. Nesse caso, a média é dada por:

Observe nessa tabela que a pontuação 4 (formalmente, temos, ) apareceu duasvezes . Assim, temos (isso é exibido na 3a coluna). Emrelação à pontuação 5 (ou seja, ), observamos 8 ocorrências ( ). Daí, de modosimilar, obtemos (confira na 3a coluna). Dessa forma, sucessivamente,calculamos todos os produtos . Isso é necessário porque a soma desses produtosrepresenta a soma de todos os valores da distribuição, sendo, assim, indispensável paraobtermos a média.

Portanto, nesse caso, para essa amostra a pontuação média, é dada por:

sendo (equação 2)


Atividade 1

Vamos ver o que aprendemos? Calcule a pontuação média no teste objetivo para a amostra das turmas da noite, cujos dados se encontram na aula 5, quando estudamos distribuição de freqüências.

Agora, exploraremos o cálculo da média para dados tabelados e agrupados em intervalos de classe.

Como não temos mais os valores originais, pois estes estão diluídos nas respectivas classes, usamos os pontos médios dos intervalos de classe, (xi’s,) para substituí-los. Nesse caso, o cálculo da média é basicamente o mesmo para dados tabelados e não agrupados que acabamos de expor. A única diferença é que os xi’s não são os valores originais, uma vez que quando agrupamos em intervalos, perdemos essa informação.

Então, como fazemos para encontrar a média? Nós calculamos o ponto médio (xi) e o consideramos como representante de todos os valores da classe correspondente i. A partir daí, teremos, pois, como calcular a média: tomamos os valores teóricos da variável, xi’s, e suas respectivas freqüências e aplicamos a mesma fórmula utilizada para dados tabelados não agrupados em classes.

Para ilustrar esse cálculo, considere a Tabela 2 a seguir, referente às médias trimestrais de Matemática da amostra das turmas da 8a série da manhã.


Tabela 2 – Distribuição das médias trimestrais de Matemática, na amostra das turmas da 8a série/manhã, na E. E. Nair Burégio, município de Carapeba, em abril de 2004.

Notas (médias) Nº de alunos (fi) Ponto médio Xi xi fi

Total


Atividade 2

Calcule a média das notas trimestrais para a amostra das turmas da 8a série/manhã, na E. E. Nair Burégio, município de Carapeba cujos dados estão na tabela a seguir. Compare esse resultado com o que calculamos para a turma da manhã. O que você pode concluir sobre o desempenho dessas turmas?

Assim, nesse exemplo, teremos:

Daí:

.


A média, apesar de ser uma medida bastante utilizada para representar um conjunto dedados, tem uma desvantagem: ela é afetada por valores extremos. O que isso significa?Para calcular a média , é necessário somarmos todos os dados da série, ou seja, essamedida leva em conta todas as observações. Por isso, quando temos uma situação em queaparecem alguns valores, ou muito baixos, ou muito altos, se comparados com os demaiselementos da série (esses são os que chamamos de “extremos”), a média é influenciadapor eles.

Tabela 3 – Distribuição das médias trimestrais de Matemática, na amostra das turmas da 8a série/noite, na E. E. Nair Burégio, município de Carapeba, em abril de 2004.

Atenção!

Notas (médias) Nº de alunos (fi)

Total


Atividade 3

Considere os conjuntos que se seguem: A={2,3,5,6} e B={2,3,5,26}. Calcule a média para cada um deles e observe como o valor 26, no conjunto B, “puxou” a média para cima.

Mediana (Md) é definida como o valor que ocupa a posição central em um conjunto de dados ordenados. Conseqüentemente, ela tem a propriedade de dividir um conjunto de observações em duas partes iguais quanto ao número de seus elementos: o número de dados que são menores ou iguais à mediana é o mesmo que o número de dados que são maioresou iguais a ela. Dessa maneira, afirmamos que 50% das observações que compõem um conjunto qualquer de dados estatísticos são menores ou iguais à observação correspondente à sua mediana, e, conseqüentemente os 50% restantes, são observações maiores ou iguais a essa medida. Ao contrário da média, a mediana não é influenciada por valores extremos, visto que ela é uma medida essencialmente vinculada à posição que ocupa no conjunto ordenado. Assim, se algum valor for demasiado grande ou pequeno – valores extremos –, estes não afetarão o cálculo da mediana, já que não alterarão a ordem. Por exemplo, sejam os conjuntos A e B: A = { 1, 2, 1000 } e B = { 1, 2, 10 }. Em ambos, a mediana é 2, ou seja, ao se trocar o 10 por 1000, ela não sofreu alteração. Por isso, quando trabalhamos com observações que apresentam valores extremos, optamos por usar a mediana ao invés da média, pois ela representará melhor dados que têm essa característica.

Para encontrar a mediana em um conjunto qualquer de dados estatísticos, precisamos conhecer a posição que ela ocupa em relação aos n elementos ordenados desse conjunto.

Para tal, devemos considerar duas situações para as quais adotaremos distintos procedimentos:

Mediana (Md)

1o Caso – Quando os dados se apresentam isolados ou então quando estão tabelados, porém não agrupados em intervalos de classes.

Em tais circunstâncias, estamos diante de dados discretos, ou pelo menos, tratadoscomo tal, e, para encontrar a mediana, precisamos primeiramente construir o rol. Emseguida, devemos calcular o elemento mediano ( ). O que é isso? É a posição quea mediana ocupa no conjunto ordenado. Para obtê-la, é indispensável verificar se n (onúmero de observações do conjunto de dados) é par ou ímpar, pois, dependendo dessainformação, procederemos de maneira distinta.


Acompanhe agora os seguintes exemplos:

Exemplo 1 – Para dados isolados

Suponha que estivéssemos interessados em calcular a mediana em relação ao resultado de um teste objetivo de conhecimentos gerais aplicado a um grupo de 7 alunos da 8a série/noite da E. E. Nair Burégio, município de Carapeba, em abril de 2004, cujas pontuações foram: 5, 8, 6, 3, 7, 5, 9. Começamos ordenando os valores. Eis o rol: 3, 5, 5, 6, 7, 8, 9.

Em seguida, calculamos a posição da mediana neste conjunto, ou seja, o elemento mediano (EMd). Nesse caso, n=7 (há sete observações portanto n é ímpar); então teremos:

Atenção: esse número 4 não é a mediana, ele significa que a pontuação mediana desse grupo de alunos será exatamente o 4o elemento no conjunto de dados ordenados, isto é:

Veremos cada caso:

• se n for ímpar

Quando n é ímpar haverá apenas um valor central no conjunto ordenado, cuja posição é calculada pela fórmula:

A mediana que representamos por Md será exatamente o valor que está nessa posição, considerando-se os n valores ordenados.

Escrevemos assim: (equação 03)

Essa expressão nos diz que a mediana é o valor x que se encontra na posição .

Desse modo, para encontrá-la, deveremos apenas localizar a observação que, na sérieordenada, ocupa essa posição. Não há, portanto, nenhum cálculo a mais a ser feito.

1o, 2o, 3o, 4o

Concluímos então que nesse conjunto, a mediana será: . Observe, ainda, queesse valor divide o conjunto, de modo que há tantos valores menores (ou iguais) quantomaiores (ou iguais) do que ele.


Idades (Xi) Nº de alunos (fi) F

Total

Exemplo 2 – Veremos agora como obter a mediana para dados tabelados, nãoagrupados em intervalos de classe.

Vamos encontrar a idade mediana dos 75 alunos que a Tabela 4, logo a seguir, exibe.


Temos um conjunto com as idades de 75 crianças (n = 75, logo, n é ímpar). OBS.: A variável idade é contínua. Porém, ela está sendo tratada como discreta, supondo-se que houve muitas repetições nos valores relacionados. O procedimento para calcular o elemento mediano (a posição da mediana) é o mesmo utilizado no exemplo 1. No entanto, como os dados estão tabelados, localizamos a mediana por meio das freqüências acumuladas (3a coluna dessa tabela), uma vez que, ao acumularmos as freqüências, estamos ordenando os dados.

Para n = 75 (n ímpar), o elemento mediano é:

Tabela 4 – Distribuição das idades de uma amostra de alunos do Ensino Fundamental II do turno matutino da E. E. Nair Burégio, município de Carapeba, em abril de 2004.

Esse resultado significa que, nessa série, a idade que ocupa a 38a posição é a mediana.Como localizamos o 38o valor? Analise a coluna das freqüências acumuladas “abaixo de”

. Você observará que a menor idade “10 anos" se repetiu 5 vezes, logo, o valor 10ocupou da 1a até a 5a posição nessa série ; além disso, 11 anos se repetiu 15vezes, dado que se encontra do 6o ao 20o lugar ; o número de alunos com12 anos foi 20 e sua freqüência acumulada foi , significando que essa idadeaparece desde a 21a até a 40a colocação. Portanto, a mediana, o valor que se encontra na38a posição é 12 anos. Escrevemos anos.

do 1º até o 5º

do 6º até o 20º

do 20º até o 40º

Atenção!

O elemento mediano, EMd, nos informa apenas sobre a posição da mediana na

série ordenada. Ele não é o valor dessa medida. Assim, somente após calculá-lo, podemos localizar tal posição no conjunto de dados ordenados.


se n for par

Nesse caso, haverá dois valores centrais, os quais se encontram nas posições:

A mediana em tais situações é definida como a média aritmética desses dois valores centrais. Portanto, quando n é par, devemos calcular essas duas posições e depois encontrar, na série ordenada, os dados a elas correspondentes, isto é,

Para um melhor entendimento, acompanhe os exemplos a seguir:

Exemplo 3Suponha a mesma situação do exemplo 1, acrescentando mais um dado: 5, 8, 6, 3, 7,

5, 9, 10. Portanto, agora temos um número par de observações (n = 8), logo, teremos dois elementos centrais nesse conjunto.

Como antes, primeiro ordenamos os dados:

3, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Para tanto, precisamos localizar o 4o e o 5o elemento. Nesse conjunto ordenado, aposição 4 corresponde ao valor 6 e em relação ao 5o elemento encontramos o valor 7.Conhecendo esses dois valores centrais, finalmente, calculamos a pontuação mediana:

e

ATENÇÃO! O cálculo dessa medida é feito tomando-se as duas observações centrais da sérieordenada de dados. Não se confunda: você não deve calculá-la com os valores obtidospelas expressões e , pois os resultados fornecidos por essas fórmulas representamapenas as posições centrais e não os valores que buscamos.

Depois, calculamos as duas posições centrais. Teremos então:

e

pontos.

e ;

com esses dois valores, calculamos a média e obtemos a mediana:

(equação 4)


Exemplo 4Consideraremos novamente a pontuação no teste objetivo de Matemática na amostra

das turmas da manhã, exibida na Tabela 5 a seguir:


Com essas informações, examinamos na tabela, as freqüências acumuladas paralocalizar essas posições (faremos isso de maneira análoga ao que fizemos no exemplo 2).

Tabela 5 - Pontuação no teste objetivo de Matemática, na amostra das turmas da 8a série/manhã, na E. E. Nair Burégio, município de Carapeba, em abril de 2004.

Sendo n par , precisaremos calcular as duas posições centrais. Em seguida,identificaremos quais valores correspondem a elas. Isso é feito a partir das freqüênciasacumuladas (3a coluna).

Essas posições são: 27a e 28a.

A Tabela 5 nos informa que 4 (o menor valor observado) se repetiu 2 vezes, assim, eleestá associado aos dois primeiros lugares: 1o e 2o. Em seguida, aparece 5, que ocorreu8 vezes e, portanto, ficou da 3a até a 10a posição (a freqüência acumulada desse dado,

, quer dizer “até o 10o lugar”). Prosseguindo, temos o 6 que apareceu 10 vezes,ficando da 11a a 20a posição. Veja que . Depois, observamos que o 7 tevefreqüência 15 e ocupou todas as posições desde a 21a até a 35a . Isto é: 21a,22a, 23a . . . 35a. Portanto, nessa série, a pontuação 7 é tanto o 27o, como o 28o elemento.

Assim,

pontos.


Total


2º Caso – Dados tabelados agrupados em intervalos de classes.

O que significam essas notações? Preste bem atenção:

A seguir, com o exemplo 5, mostraremos o que acabamos de expor e calcularemos a mediana, para esses casos.

Para este caso, não importa se n é par ou ímpar, pois estamos considerando a variávelestudada como sendo contínua. Nessa condição, a distribuição terá um único valor central

que será a mediana, cuja posição é dada por (lembre-se de que ).

Após calcular esse elemento mediano ( ), podemos, então, localizar na tabela,através das freqüências acumuladas , a classe na qual se encontra a referidamedida de tendência central. Esse procedimento é fundamental para o cálculo damediana, pois é exatamente essa classe (intervalo) que devemos ter como referência paraobter as informações numéricas necessárias, usadas na fórmula da mediana, que tem aseguinte expressão:

é o limite inferior dessa classe;é a freqüência acumulada anterior a esse intervalo;é a freqüência simples dessa classe;

é a amplitude desse intervalo.

equação 5

Conhecendo todos esses valores e ainda sabendo quanto vale o , já calculado,podemos finalmente encontrar a mediana.


Exemplo 5Considere os dados da Tabela 6, apresentada a seguir.


Tabela 6 – Distribuição das médias trimestrais de Matemática, na amostra das turmas da 8a série/manhã, na E. E. Nair Burégio, município de Carapeba, em abril de 2004.

Para determinar a nota mediana desses alunos, devemos inicialmente, de modoanálogo ao que fizemos antes, encontrar a posição dessa medida, isto é, calcular o .Teremos que , independentemente de n ser par ou ímpar. Portanto, encontramos:

. (Não esqueça, n é o tamanho da amostra, logo )

Como os dados estão distribuídos por intervalos, esse resultado nos informa que amediana é o valor que, nessa distribuição, está situado no 27o lugar. Com essaindispensável informação, procuramos localizar a classe em que está a mediana (a quecontém a mediana) por intermédio das freqüências acumuladas . Analisando a terceiracoluna dessa tabela, descobrimos que a mediana está no intervalo . Como chegamosa essa conclusão? Porque, de acordo com as freqüências acumuladas, há 20 alunos comnotas abaixo de 7, ou seja, o vigésimo valor está no intervalo e depois vêm os 14elementos da classe que ocupam, portanto, as posições seguintes; isto é, desde a 21a

até a 34a posição. Logo, a 27a (que é a da mediana) faz parte do intervalo de .

Agora que já sabemos desse fato (o intervalo onde está a mediana), voltamos à Tabela6 e, em relação a esse intervalo, encontramos os valores:

, limite inferior da classe (onde está a mediana);, freqüência acumulada da classe (essa é a classe anterior à que contém a

mediana);, freqüência simples do intervalo ;

, tamanho do intervalo de classe.

Substituindo todos esses valores, e também aquele referente ao , na fórmula ,teremos que a nota mediana em Matemática na amostra das turmas da manhã é


Total

Classe Mediana FMd

Fant


Concluímos, portanto, que metade da turma (50%) obteve uma média igual ou inferior a 7,5 e o restante (os outros 50%) apresentou nota igual ou superior a 7,5 pontos.

Atividade 4

Calcule a nota mediana para a amostra da turma da noite (Tabela 3) e compare o resultado com a turma da manhã.

Moda (Mo)Por definição, a moda de um conjunto de dados é o valor que aparece mais vezes, ou

seja, é aquele que apresenta a maior freqüência observada. Há situações nas quais ela não é única, pois pode acontecer de se ter, em uma série estatística, duas ou mais observações que tenham se destacado de forma idêntica, isto é, que tenham ocorrido com a mesmafreqüência máxima. Então, conforme o caso, teremos distribuições bimodais (duas modas), trimodais ou multimodais. Também é possível acontecer que todos os elementos tenham apresentado exatamente o mesmo número de ocorrências. Isso significa que não há moda, pois nenhum dado se destacou; o conjunto é, então, chamado amodal.

Dentre as três medidas de tendência central, a moda é a única que pode ser usada quando as variáveis são qualitativas nominais (vimos isto na aula 2, lembra?). Por exemplo, se distribuíssemos os alunos da amostra da turma da manhã (do exemplo que estamos trabalhando) por sexo e obtivéssemos que 70% são meninas, poderíamos dizer que a moda é o sexo feminino, pois essa categoria apresentou a maior freqüência.

Da mesma forma que a mediana e a média, para se obter a moda, devemos considerar dois casos que a seguir especificamos.

1o Caso – Dados isolados não tabelados ou tabelados, porém não agrupados em intervalos de classes.

Nesses casos, a moda é obtida apenas por uma simples inspeção em relação àsrepetições dos valores. No caso das tabelas, observaremos as freqüências absolutassimples ( ). Procuramos, então, qual(is) o(s) valor(es) que apresenta(m) o maior númerode ocorrências (repetições). Este(s) valor(es) é (são) denominado(s) moda.


Exemplo 7Vamos considerar os seguintes conjuntos e verificar se em cada um existe moda,

especificando o seu valor:

A = {2, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9}

B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}

C = {2, 2, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 7, 8, 8, 9, 9}

D = {2, 2, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7}

Em B e em D, nenhum valor se destacou, pois em cada um deles seus respectivos elementos se apresentaram com a mesma freqüência (em B, todos têm apenas uma ocorrência e em D, todos se repetem duas vezes). Logo, B e D não têm moda; são chamados de amodais.

Observe que em A, o dado que mais se repetiu foi 7 (ele apareceu mais vezes). Assim,7 é a moda. Escrevemos .

Em C, há dois valores que apareceram com a (mesma) maior freqüência: o 2 e o 5(cada um deles se repetiu 4 vezes). Portanto, o conjunto é bimodal com modas: e

Exemplo 8Retornaremos agora à Tabela 5, apresentada nesta aula. Qual a pontuação

modal dos alunos?

2º Caso – Dados tabelados agrupados em intervalos de classes

Para responder a essa pergunta, basta apenas você examinar a coluna das freqüênciasabsolutas simples, e verificar qual foi a maior delas. Observe que a freqüência máximaobservada ( ) foi 15. Esse valor (15) não é a moda, ele apenas indica que a moda é iguala 7,0 ( ). Isso quer dizer que a nota 7,0 foi a que mais ocorreu no conjunto dedados, ou seja, foi a mais repetida entre as notas obtidas pelos alunos no teste objetivo deMatemática.

Classe Modal – É aquela que apresenta a maior freqüência em uma distribuição.

Moda Bruta ( ) – É definida como o ponto médio da classe modal. Essa éa maneira mais simples para se encontrar a moda e, em geral, nos dá um valoraproximado dela.

Moda calculada pelo método de Czuber – Esse método considera, além da freqüênciasimples da classe modal ( ), as freqüências dos intervalos adjacentes ao modal(anterior e posterior). A fórmula proposta por Czuber para obter a moda é:

Nesse caso, tem sentido falar em


Tomando-se o intervalo que contém a moda, como referência, temos:

é o limite inferior dessa classe;é a diferença entre a freqüência simples desse intervalo e a freqüência simples do

intervalo anterior à da classe modal . Isto é: ;é a diferença entre a freqüência simples da classe modal e a freqüência simples do

intervalo posterior à da classe modal . Ou seja: ;é o tamanho desse intervalo.

Moda Bruta (o método mais simples) é o ponto médio da classe .

Temos que: (limite inferior) e (limite superior). Logo, o ponto médiodesse intervalo será:

.

Conseqüentemente, a pontos;

Moda por Czuber (o mais elaborado)

Sabendo que é o intervalo modal (de referência), então, o anterior é e oposterior é . Consultando a tabela, temos as freqüências de cada uma dessas classes,as quais são:

.

O símbolo é a letra grega chamada delta. Temos aí (lemos: “delta um”) e(“delta dois”). Vamos ver o que eles significam, nessa equação?

(equação 6)

Vamos encontrar a moda pelos dois métodos, bruta e Czuber, a partir dos dados daTabela 6. Ela exibe as notas de Matemática da amostra da 8a série/manhã. Para ambos osmétodos, o primeiro passo é identificar a classe modal. Não esqueça que a classe modalé aquela na qual está registrada a maior freqüência simples. Faça agora uma inspeção nacoluna dessas freqüências e verifique qual é a máxima. Confira: o resultado foi 14, vocêconcorda? Concluímos que a classe modal é , pois esse intervalo apresenta essamaior ocorrência. Tomando-o como referência, temos todos os elementos necessáriospara obtermos a moda pelos dois processos, ou seja,


Daí,

é o limite inferior da classe ;

é o tamanho do intervalo.

Teoricamente, a interpretação que damos é que 7,75 foi a nota que mais se repetiu nessa amostra.

Aplicando-se a fórmula, temos que a moda nessa amostra é:

Atividade 5

Calcule a nota modal para a amostra da turma da noite (Tabela 3) e compare o resultado com a da manhã. O que você pode concluir sobre o desempenho dos alunos, a partir desses dois resultados?

Qual medida de tendência central devemos usar?

Acabamos de explicar três medidas estatísticas conhecidas como Medidas de Tendência Central ou Medidas de Posição. Elas têm a finalidade, como já comentamos no início desta aula, de sintetizar as informações de um conjunto de dados resumindo-as em um único valor. Uma vez que o objetivo das três é semelhante, talvez você agora esteja se perguntando: quando devo usar a média? E a moda? E a mediana?

Se estamos diante de uma situação na qual essas três medidas apresentam o mesmo valor, tal fato nos informa que a distribuição dos dados é simétrica; quando resultam em valores diferentes, porém muito próximos, indica que a forma dessa distribuição é aproximadamente simétrica. Nesses casos, optaremos por qualquer uma das três: média, moda ou mediana. Nos demais casos, devemos analisar as especificidades da situação estudada e escolher entre elas a mais adequada. A seguir, apresentamos um quadro de resumo que irá ajudá-lo a optar por uma das três, embora nada o impeça de calcular todas elas.


Média Mediana Moda

• Quando a distribuição dos

dados é aproximadamente

simétrica e não apresenta

valores extremos, devemos

escolher a média, pois essa

medida possui propriedades

matemáticas mais fortes e é

muito usada para estimar a

média da população quando se

faz inferências. Além disso, é

fácil de ser calculada e a mais

popular dentre essas medidas

• Quando há valores

discrepantes no

conjunto de dados,

devemos preferir a

mediana, pois ela é

uma medida que não

é afetada por valores

extremos.Podendo

assim representar

bem esses valores.

• Quando trabalhamos

com variáveis qualitativas

nominais, a moda é a única

medida de tendência central

que podemos obter. Além

disso, quando queremos

evidenciar o valor que mais

apareceu (se repetiu) em um

conjunto de dados, também

usamos a Moda.

ResumoNesta aula, conhecemos as medidas de tendência central: média aritmética, mediana e moda. Vimos que elas servem para resumir informações sobre um conjunto de dados ajudando-nos a descrevê-los. Estudamos seu cálculo, considerando valores isolados e também quando estão organizados em tabelas de freqüências (agrupados ou não). Além disso, enfatizamos a interpretação de tais medidas, explicando, inclusive, as peculiaridades de cada uma e orientando a escolha adequada, de acordo com as especificidades da situação pesquisada.

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Auto-avaliaçãoPergunte a vinte pessoas entre seus familiares e/ou vizinhos, a idade de cada um e forme uma amostra (de tamanho n = 20). Organize esses dados em uma tabela e calcule a idade média, a mediana e a idade modal dessa amostra.

Procure saber a temperatura mensal do seu município durante todos os meses do ano de 2004. Com esses 12 dados, determine as temperaturas média, mediana e modal do referido ano.

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ReferênciasBARBETTA, P. A. Estatística aplicada às ciências sociais. Florianópolis: Ed. da UFSC, 2002.

BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. 4.ed. São Paulo: Atual, 1987. (Métodos quantitativos).

LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. Tradução de Cyro de C. Patarra. São Paulo: Prentice Hall, 2004.

TOLEDO, G. L.; OVALLE, I. I. Estatística básica. 2.ed. São Paulo: Atlas, 1986.

TRIOLA, M. F. Introdução à estatística. Tradução Alfredo Alves de Farias. 7.ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.

VIEIRA, S. Introdução à bioestatística. 3.ed. Rio de Janeiro: Campus, 1980.

Responda, justificando com seus argumentos, às questões seguintes:

a) quando você não deve escolher a média para representar seu conjunto de observações estatísticas?

b) toda distribuição tem moda e mediana?

c) quando seus dados forem qualitativos nominais, podemos usar como medida de tendência central:

a média?

a mediana?

a moda?

d) em que situação acontece de se ter a média, a moda e a mediana iguais? Dê um exemplo.

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