2a Lista de exercícios de matemática do 3o Bimestre

Sequências

1. Exiba, em cada caso, os cinco primeiros elementos da sequência de�nida pela fórmula de termo

geral (ou lei de formação) dada.

(a) an = n2 para n ∈ N, n ≥ 1;

(b) in = 2n− 1 para n ∈ N, n ≥ 1;

(c) cn = 3− 4n para n ∈ N, n ≥ 1;

(d) pn = 2n para n ∈ N, n ≥ 1;

(e) tn = n(n−1)2

para n ∈ N, n ≥ 1;

2. Exiba, em cada caso, os cinco primeiros elementos da sequência de�nida pela lei (ou fórmula) derecorrência dada.

(a)

{j1 = 1;

jn = jn−1 + 2 para n ∈ N, n ≥ 2;

(b)

{q1 = 2;

qn = 2qn−1 para n ∈ N, n ≥ 2;

(c)

{c1 = 3;

cn = cn−1 − 4 para n ∈ N, n ≥ 2;

(d)

{u1 = 0;

un = un−1 + n− 1 para n ∈ N, n ≥ 2;

3. Descubra, em cada caso, uma de�nição por lei de formação para a sequência dada.

(a) (4, 8, 12, 16, 20, . . . )

(b) (−3,−6,−9,−12,−15, . . . )(c) (−1, 1,−1, 1,−1, 1, . . . )(d) (2, 4, 8, 16, 32, . . . )

(e) (−3, 9,−27, 81,−243, . . . )

4. Descubra, em cada caso, uma de�nição por lei de recorrência para a sequência dada.

(a) (4, 8, 12, 16, 20, . . . )

(b) (−3,−6,−9,−12,−15, . . . )(c) (−1, 1,−1, 1,−1, 1, . . . )(d) (2, 4, 8, 16, 32, . . . )

(e) (−3, 9,−27, 81,−243, . . . )

2

Trigonometria no triângulo retângulo (Razões trigonométricas)

5. A partir dos dados presentes nas �guras, determine o que for pedido.

(a) senα = ?, cosα = ?, tgα = ?

(b) sen θ = ?, cos θ = ?, tg θ = ?

6. Um atirador de elite localiza-se no ponto T , no topo de um prédio de altura 40m, e observa o alvolocalizado no ponto A, no solo, de modo que o segmento AT forma com a horizontal um ângulo de21,8◦, conforme a �gura abaixo. Sabendo que tg 21,8◦ = 0,4, determine x e y.

7. Sabendo que tgα = 4, determine x na �gura abaixo.

8. Sabendo que cos 63◦ =

√5

5, determine sen 63◦, tg 63◦, sen 27◦, cos 27◦ e tg 27◦.

9. Determine x em cada caso:

(a) (b) (c)

(d) (e)

Progressões Aritméticas

10. Determine o 50o termo de cada uma das P.A. abaixo:

(a)

{a1 = 3;

an = an−1 − 4 para n ∈ N, n ≥ 2;

3

(b)

{b1 = 13;

bn = bn−1 + 5 para n ∈ N, n ≥ 2;

11. Dada a P.A. (−28,−23,−18,−13, . . . ), determine:

(a) O 25o termo.

(b) O termo geral.

12. Em uma P.A., o 1o termo vale 23 e o 16o vale 173. Qual a razão dessa P.A.?;) BONS ESTUDOS!

Soluções de alguns dos exercícios

1. (a) Teremos:

a1 = 12 = 1

a2 = 22 = 4

a3 = 32 = 9

a4 = 42 = 16

a5 = 52 = 25

Assim, a sequência é (1, 4, 9, 16, 25, . . . ).

Obs. Também é possivel organizar as informações na forma de uma tabela:

n an1 12 = 12 22 = 43 32 = 94 42 = 165 52 = 25

2. (b) Teremos:

q1 = 2(foi dado)

q2 = 2q1 = 2 · 2 = 4

q3 = 2q2 = 2 · 4 = 8

q4 = 2q3 = 2 · 8 = 16

q5 = 2q4 = 2 · 16 = 32

Assim, a sequência é (2, 4, 8, 16, 32, . . . ).

Obs. Também é possivel organizar as informações na forma de uma tabela:

n qn1 22 2 · 2 = 43 2 · 4 = 84 2 · 8 = 165 2 · 16 = 32

3. (a) Veja que todos os números são múltiplos positivos de 4. Assim, poderíamos pensar na seguinteregra:

an = 4n

De fato, usando essa regra, obtemos a1 = 4 ·1 = 4, a2 = 4 ·2 = 8, a3 = 4 ·3 = 12, a4 = 4 ·4 = 16e a5 = 4 · 5 = 20, portanto a regra an = 4n serve para os termos dados da sequência.

(c) an = (−1)n (veri�que!)

(d) an = 2n (veri�que!)

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4. (a) Veja que os números aumentam de 4 em 4, começando com 4. Assim, podemos usar a seguintede�nição por lei de recorrência:{

a1 = 4;

an = an−1 + 4 para n ∈ N, n ≥ 2;

De fato, usando essa regra, obtemos a1 = 4, a2 = 4 + 4 = 8, a3 = 8 + 4 = 12, a4 = 12 + 4 = 16e a5 = 16 + 4 = 20, portanto a de�nição dada serve para os termos dados da sequência.

(c) an = (−1)an−1 (veri�que!)

;) BONS ESTUDOS!