2. Matemática - Conteúdos e Métodos

7/26/2019 2. Matemtica - Contedos e Mtodos

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MATERIAL DIDTICO

MATEMTICA: CONTEDOS E

MTODOS

U N I V E R S I D A D E

CANDIDO MENDES

CREDENCIADA JUNTO AO MEC PELAPORTARIA N 1.282 DO DIA 26/10/2010

Impresso

e

Editorao

0800 283 8380

www.ucamprominas.com.br


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INTRODUO

O ensino da Matemtica geralmente provoca reaes antagnicas, tanto

naqueles que a ensinam, como naqueles que a aprendem: por um lado tem-se a

certeza de sua importncia; por outro, a insatisfao diante dos resultados

insuficientes obtidos em relao sua aprendizagem.

A importncia da Matemtica vista em seu amplo papel, pois permite

resolver os problemas da vida cotidiana, funciona como elemento fundamental na

construo de conhecimentos em outras disciplinas. Alm de interferir na

formao de outras capacidades intelectuais como o raciocnio dedutivo. Pode-sedizer que a Matemtica a chave de um portal para um mundo de mistrios a

serem revelados.

A insatisfao revela que existem desafios a serem superados, tais como

a necessidade de mudar o ensino centrado em procedimentos mecnicos, de

reformular objetivos, de rever contedos e de buscar metodologias mais

dinmicas, voltadas realidade. Se a Matemtica a chave que abre o portal

para um mundo de mistrios, seu ensino deve ensinar os alunos a forjarem essachave.

Cabe a cada professor enfrentar esses desafios. O presente manual um

instrumento que pretende estimular a busca das solues para o ensino dessa

disciplina, para que ela se torne um instrumento aplicvel na vida do aluno,

despertando seu interesse por esse mundo de mistrios.

Nesta apostila, abordaremos contedos matemticos e mtodos de

ensino para as quatro primeiras sries do Ensino Fundamental, baseando-nos

sempre no que preconizam os PCNs (Parmetros Curriculares Nacionais).

Os PCNs so os documentos norteadores do ensino no Brasil, foram

editados pelo Ministrio da Educao e Desporto, em 1997, e so vlidos at

hoje. Dentre seus objetivos, destacamos:

(...) fazer com que as crianas dominem os conhecimentos de quenecessitam para crescerem como cidados plenamente reconhecidos econscientes de seu papel em nossa sociedade. (...) apontar metas dequalidade que ajudem o aluno a enfrentar o mundo atual como cidado


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participativo, reflexivo e autnomo, conhecedor de seus direitos edeveres.

O documento nos lembra ainda que um referencial flexvel que permite(e recomenda) a sua adaptao realidade de cada regio brasileira,

respeitando-se a pluralidade cultural de nosso pas.


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UNIDADE 1 O CONHECIMENTO MATEMTICO

Surgida atravs das necessidades do homem na Antiguidade, aMatemtica transformou-se em um enorme sistema de disciplinas, tais como

clculo, geometria, probabilidade e estatstica. Assim como outras cincias, reflete

a realidade e as leis sociais, servindo como instrumento para o entendimento do

mundo da natureza.

So preceitos matemticos: a abstrao; a preciso; o rigor lgico; o

carter irrefutvel das concluses; alm do seu extenso campo de aplicao.

Abstrao matemtica refere-se ao tratamento das relaes quantitativas,

das formas espaciais e das propriedades dos objetos. uma caracterstica da

Matemtica trabalhar quase que exclusivamente com conceitos abstratos e suas

interrelaes. As demonstraes devem empregar conceitos abstratos, raciocnio

lgico e clculos.

Embora recorra-se muito ao empirismo para chegar a certos modelos

fsico-matemticos, o padro cientfico exige o uso de linguagem formal, lgica,

abstrata e universal para enunciar postulados e teoremas.

Resultados matemticos devem-se ater preciso e o raciocnio deve ser

desenvolvido com minuciosidade para que sejam convincentes e incontestveis.

Embora todo esse grau de abstrao seja pr-requisito do

desenvolvimento dos modelos fsico-matemticos, os resultados so aplicveis ao

mundo real, em outras cincias e nas prticas da vida diria. Exemplos so a

indstria, o comrcio e a rea tecnolgica.

A Matemtica ainda utilizada como ferramenta fundamental para o

desenvolvimento das demais cincias, tais como a Fsica, a Qumica e a

Astronomia. Mesmo em outras reas do conhecimento, embora parea de menor

uso, a Matemtica continua sendo fundamental. Exemplos so a Sociologia, a

Psicologia, a Antropologia, a Medicina, a Economia Poltica, entre outras.


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Em seus primrdios, a Matemtica se constitua de um conjunto de regras

isoladas, oriundas do empirismo e com ligao direta vida cotidiana, no se

tratando assim de um sistema unificado.

Aritmtica e Geometria foram formadas por conceitos que se

relacionavam e se completavam, tendo surgido das necessidades de se contar,

calcular e medir, dividir e organizar o espao.

O desenvolvimento da Geometria e da lgebra marcaram a ruptura com o

sistema inicial pragmtico, dando lugar sistematizao dos conhecimentos,

originando campos como a Geometria Analtica, a Geometria Projetiva, a lgebra

Linear e outros. O conceito de funo surgiu atravs do estudo de grandezas que

eram variveis com o tempo ou o espao e originou um novo ramo de estudos,

chamado de Anlise Matemtica.

A Matemtica tornou-se, por fim, uma cincia de estudo sobre as relaes

e interdependncias entre grandezas, abarcando um amplo campo de teorias e

modelos, alm de procedimentos de anlise, metodologias de pesquisa, de coleta

e de interpretao de dados.

Existem dois campos interdependentes da Matemtica, a chamadaMatemtica Pura e a Matemtica Aplicada. Por vezes, acontece de descobertas

no ramo da Matemtica Pura no terem uma aplicao imediata, porm, anos

mais tarde (ou mesmo dcadas) ocorre de, surpreendentemente, notar-se a

aplicabilidade de tais conhecimentos tericos em situaes reais. O inverso

tambm ocorre, quando situaes prticas acabam por aprofundar ou melhorar

certos conhecimentos tericos. Por isso dizemos que so interdependentes.

O conhecimento matemtico resulta de um processo que compreende

imaginao, contraexemplos, conjecturas, crticas, erros e acertos, sendo

apresentado por vezes de forma descontextualizada. apresentado dessa forma,

sem ser includo num contexto temporal e espacial, porque a preocupao dos

matemticos resume-se, na grande maioria das vezes, em comunicar resultados

apenas, sem se importar com o processo. Dessa forma, a Matemtica

desenvolve-se num processo conflitivo entre elementos contrastantes: concreto e

abstrato, particular e geral, formal e informal, finito e infinito, discreto e contnuo.


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Tais conflitos acabam por ser difundidos tambm no mbito do ensino,

gerando dificuldades no processo de ensino-aprendizagem.


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UNIDADE 2 CARACTERIZAO DA REA DEMATEMTICA

Aps compreender os objetivos gerais do ensino fundamental, preciso

entender as caractersticas da rea da Matemtica. Somente entendendo todos

os elementos envolvidos nessa dinmica de ensino-aprendizagem, que os

resultados sero satisfatrios. Um enxadrista s obtm grandes vitrias quando

conhece todas as peas do jogo de xadrez e seus respectivos movimentos, da

mesma forma, o professor ter grandes vitrias se conhecer bem a Matemtica e

o contexto em que ela se encaixa.

Seguem-se as caractersticas estudadas:

- a Matemtica fator importante para o exerccio da cidadania,

considerando-se que os conhecimentos cientficos e recursos tecnolgicos tm

um papel cada vez maior nas dinmicas sociais;

- a Matemtica precisa estar ao alcance de todos;

- o exerccio da Matemtica na escola deve levar a construo do

conhecimento e a sua aplicao na realidade sociocultural de cada comunidade;

- o ensino da Matemtica deve usar exemplos da realidade, trazendo das

pginas dos livros para o mundo real sua aplicao, deve deixar de ser teoria

pura e passar a ser teoria aplicada. Exemplo disso o uso da Matemtica para

planejar os gastos familiares;

- a aprendizagem em Matemtica est ligada compreenso. O aluno

deve interiorizar os conceitos e no apenas os decorar. Uma ferramenta

importante para trabalhar essas caractersticas so as atividades ldicas, com uso

de encenaes, brinquedos pedaggicos, visitas a estabelecimentos comerciais,

museus cientficos, entre outras;

- a seleo e organizao de contedos no deve ter como critrio nico

a lgica interna da Matemtica. Deve-se levar em conta sua importncia social e a

contribuio para a aprendizagem do aluno. Atividades em classe podem ser

utilizadas para levar ao aluno a compreender a inflao e seus impactos, bem

como os tributos;


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- o conhecimento matemtico deve ser apresentado aos alunos como

historicamente construdo e em permanente evoluo. Para ressaltar esse

aspecto podem ser utilizadas a ideia da evoluo dos computadores ou das

mquinas de calcular, trazendo para a turma bacos, calculadoras simples e

calculadoras especficas;

- recursos didticos como jogos, livros, vdeos, calculadoras,

computadores e outros materiais tm um papel importante no processo de ensino

e aprendizagem. Eles devem ser integrados em diferentes situaes, como as

apresentadas acima;

- a avaliao parte do processo de ensino e aprendizagem. Deve ser

dinmica e criativa, buscando avaliar todos os elementos envolvidos no

desenvolvimento intelectual e social dos alunos.


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UNIDADE 3 A MATEMTICA NO ENSINOFUNDAMENTAL

A Matemtica engloba um extenso campo de relaes, regularidades e

coerncias que despertam a curiosidade e instigam a capacidade de generalizar,

projetar, prever e abstrair, possibilitando a estruturao do pensamento e o

desenvolvimento do raciocnio lgico. Ela est presente em diversas situaes da

vida em sociedade, como nos clculos relativos a salrios, pagamentos e

consumo, na organizao de atividades como agricultura e pesca. Alm disso, ela

essencial para diferentes reas do conhecimento, estando relacionada em

estudos das cincias da natureza, das cincias sociais e estar presente na

composio musical, na coreografia, na arte e nos esportes.

Essa ampla gama do conhecimento matemtico deve ser explorada, de

forma ldica e pragmtica, levando aos alunos do ensino fundamental ao real

aprendizado da matemtica.

Ainda utilizando a metfora do jogo de xadrez, aps conhecer as peas, o

enxadrista passa a compreender as possveis manobras. Da mesma forma, apsentender os objetivos do ensino fundamental e as caractersticas da Matemtica,

o professor deve conhecer a relao ensino-aprendizagem, os elementos

dinmicos, as aes que devem ser tomadas para se chegar vitria: o ensino da

Matemtica de forma prazerosa e com altos resultados em aprendizagem.

As aes sugeridas para o professor so:

- estudar e interiorizar as principais caractersticas da Matemtica, de

seus mtodos, de suas ramificaes e aplicaes;

- conhecer a histria de vida dos alunos, sua vivncia de aprendizagens

fundamentais, seus conhecimentos informais sobre um dado assunto, suas

condies sociolgicas, psicolgicas e culturais;

- ter autoconhecimento e reconhecer suas facilidades e dificuldades no

ensino da Matemtica, uma vez que a prtica em sala de aula, as escolhas

pedaggicas, a definio de objetivos e contedos de ensino e as formas de

avaliao esto intimamente ligadas a essas concepes;


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- buscar auxlio com colegas e em demais fontes de suporte, para

minimizar e suplantar suas dificuldades, em busca da excelncia no ensino.

O aluno e a Matemtica

Alm de conhecer as medidas que devem ser adotados pelo professor,

preciso compreender a relao dos alunos com a Matemtica.

As situaes cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam uma

inteligncia essencialmente prtica, que permite reconhecer problemas, buscar e

selecionar informaes e tomar decises, logo, existe nos alunos uma ampla

potencialidade para a atividade matemtica. Sendo ela explorada pelo professor,

so obtidos resultados satisfatrios.

Entretanto, o ensino matemtico tem se voltado para aspectos tericos,

conhecimentos adquiridos sem contextualizao e sem aplicaes prticas.

Assim, toda a potencialidade dos alunos perdida e gerado um desinteresse

pela Matemtica.

necessrio compreender o potencial dos alunos para a resoluo deproblemas prticos, mesmo que razoavelmente complexos, e que eles buscam

estabelecer relaes entre o j conhecido e o novo, entre as disciplinas, entre o

ensinado e o cotidiano. Assim, uma Matemtica sem aplicao para eles uma

aprendizagem intil.

Quantas vezes o professor j escutou do aluno: Por que tenho que

aprender isso? Para que isso serve? O ensino da Matemtica deve responder a

essas perguntas, deve ser claro para o aluno a importncia da disciplina no seudia-a-dia. Esse um desafio que o professor deve superar ao planejar suas aulas,

buscando sempre as aproximar da realidade, com um conhecimento matemtico

aplicado.

O professor e o saber matemtico

A histria dos conceitos matemticos precisa fazer parte da formao dos

professores para que possam mostrar aos alunos a Matemtica como cincia que

no trata de verdades eternas, infalveis e imutveis, mas como cincia dinmica,


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sempre aberta incorporao de novos conhecimentos. Inclusive, preciso levar

o aluno a questionar as verdades que lhe so apresentadas.

O professor deve buscar novos conhecimentos e aplicar em sala de aula

prticas que levem a interiorizao da Matemtica pelos alunos.

A dinmica professor-aluno e aluno-aluno

H at pouco tempo, o ensino da Matemtica era aquele em que o

professor apresentava o contedo oralmente, partindo de definies, exemplos,

demonstrao de propriedades, seguidos de exerccios de aprendizagem, fixao

e aplicao, e pressupunha que o aluno aprendia pela reproduo. Se o aluno

reproduzia corretamente o ensinado, era evidncia de que ocorrera a

aprendizagem.

Pelas caractersticas dos alunos, j citadas, fica claro que esse modelo

ineficiente, ele no leva a construo do conhecimento, no existe a

aplicabilidade para o aprendido, levando ao esquecimento daquilo que foi

ensinado.

Atualmente, o aluno considerado protagonista na construo de sua

aprendizagem, o papel do professor ganha novas dimenses. Uma das novas

atribuies do professor a de organizador da aprendizagem e para

desempenh-la, alm de conhecer os elementos socioculturais, expectativas e

competncia cognitiva dos alunos, precisar escolher os instrumentos que

possibilitam a construo de conceitos e procedimentos, alm alimentar o

processo de resoluo, sempre tendo em vista os objetivos a que se prope

atingir.

Alm de organizar, o professor tambm desempenha o papel de consultor

nesse processo. Ele no aquele que expe todo o contedo aos alunos, mas

aquele que fornece as informaes pertinentes, que o aluno no tem condies

de obter sozinho.

Outra de suas funes como mediador, ao promover a confrontao das

propostas dos alunos, ao disciplinar as condies em que cada aluno pode intervir

para expor sua soluo, questionar, contestar. Assim, o professor ficaresponsvel por relacionar os procedimentos empregados e as diferenas


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encontradas, promover o debate sobre resultados e mtodos, orientar as

reformulaes e valorizar as solues mais adequadas.

Atua como controlador ao estabelecer as condies para a realizao das

atividades e fixar prazos, sem se esquecer de dar o tempo necessrio aos alunos.

Realizando o trabalho de incentivo busca pelo conhecimento.

Outro fator importante no ensino a interao entre alunos, que

desempenha papel fundamental na formao das capacidades cognitivas e

afetivas. Alm de proporcionar a construo da ideia de coletividade e trabalhos

em grupo, contribuindo para a formao cidad do aluno.

Para uma relao harmoniosa entre alunos e professores e um ensino daMatemtica prazeroso e com resultados, preciso todas as partes saibam e

reconheam seus papis, respeitando-se mutuamente.


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UNIDADE 4 OBJETIVOS GERAIS DO ENSINOFUNDAMENTAL

Para um melhor entendimento do papel da Matemtica na relao de

aprendizagem, necessrio que alguns elementos do ensino fundamental sejam

abordados, tais como seus objetivos gerais que devem proporcionar ao aluno:

- compreender o conceito de cidadania, sabendo quais so seus direitos,

deveres e seu papel como cidado, valorizando atitudes de solidariedade,

cooperao e repdio s injustias, respeitando o outro e exigindo para si o

mesmo respeito;

- saber posicionar-se de maneira crtica, responsvel e construtiva nas

diferentes situaes sociais, utilizando o dilogo como forma de mediar conflitos e

de tomar decises coletivas;

- conhecer o Brasil em suas diferentes dimenses sociais, materiais e

culturais;

- conhecer e valorizar a diversidade sociocultural brasileira, assim como a

de outros povos e naes, posicionando-se contra qualquer discriminao

baseada em diferenas culturais, de classe social, de crenas, de sexo, de etnia

ou outras caractersticas individuais e sociais;

- compreender o meio ambiente e o papel do ser humano como agente

transformador que pode contribuir ativamente para a melhoria dos aspectos

ecolgicos;

- ter autoconhecimento, compreendendo suas capacidades afetivas,

fsicas, cognitivas, ticas, estticas, de inter-relao pessoal e de insero social,

para agir com perseverana na busca de conhecimento e no exerccio da

cidadania, sabendo administrar os sentimentos de frustrao;

- conhecer e cuidar do prprio corpo, valorizando e adotando hbitos

saudveis como um dos aspectos bsicos da qualidade de vida e agindo com

responsabilidade em relao sua sade e sade coletiva;

- saber comunicar, utilizando as diferentes linguagens (verbal,matemtica, grfica, plstica e corporal);


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- saber utilizar diferentes fontes de informao e recursos tecnolgicos

para adquirir e construir conhecimentos;

- compreender a realidade, sempre buscando a resoluo de problemas

sociais, utilizando para isso o pensamento lgico, a criatividade, a intuio, a

capacidade de anlise crtica.


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identificar, mediante a observao e o dilogo, como o aluno est pensando, qual

caminho ele est tomando, e, dessa forma, mostra ao docente o que mudar em

seu ensino para atender s necessidades de aprendizado de cada discente.

Diferentes fatores podem ser causa de um erro. Por exemplo, um aluno

que erra o resultado da operao 121 12, pode no ter estabelecido uma

correspondncia entre os dgitos ao estruturar a conta; pode ter subtrado 1 de 2,

baseando-se na ideia de que na subtrao se retira o nmero menor do nmero

maior; pode ter colocado qualquer nmero como resposta por no ter

compreendido o significado da operao; pode ter utilizado um procedimento

aditivo ou contar errado; pode ter cometido erros de clculo por falta de um

repertrio bsico.

O professor, identificando a causa do erro, pode planejar a interveno

adequada para auxiliar o aluno a avaliar o caminho percorrido. Para isso, ele deve

considerar as caractersticas peculiares de cada indivduo separadamente, bem

como o da turma. Deve buscar uma explicao que consiga esclarecer a dvida

de todos e no apenas da maioria.


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UNIDADE 6 OBJETIVOS GERAIS DE MATEMTICAPARA O ENSINO FUNDAMENTAL

opinio consensual de que no h caminhos predeterminados para se

ter um ensino matemtico de excelncia. Entretanto, existem objetivos gerais que

indicam esse caminho. Os objetivos gerais de Matemtica para o ensino

fundamental devem levar o aluno a:

- utilizar os ensinamentos matemticos para compreender e transformar o

mundo sua volta;

- ter interesse, curiosidade, esprito de investigao para resolverproblemas;

- observar os sistemas, em seus aspectos quantitativos e qualitativos, e

estabelecer o maior nmero possvel de relaes entre eles, utilizando para isso o

conhecimento matemtico (aritmtico, geomtrico, mtrico, algbrico, estatstico,

combinatrio, probabilstico);

- selecionar, organizar e produzir informaes relevantes, alm de

interpret-las e avali-las criticamente;

- resolver situaes-problema, justificando estratgias e resultados,

elaborando formas de raciocnio e processos, como deduo, induo, intuio,

analogia, estimativa, e utilizando conceitos e procedimentos matemticos, bem

como instrumentos tecnolgicos disponveis;

- estabelecer conexes entre temas matemticos de diferentes campos e

entre esses temas e conhecimentos de outras reas curriculares;

- ser capaz de construir o conhecimento e questionar ideias;

- trabalhar em grupo, aproveitando as sinergias da coletividade, alm de

aprender a respeitar opinies e criar consensos.


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UNIDADE 7 SELECIONANDO OS CONTEDOS DEMATEMTICA NO ENSINO FUNDAMENTAL

Buscando o alcance dos objetivos gerais de Matemtica do ensino

fundamental, essencial a seleo cuidadosa dos contedos que sero

trabalhados.

Seleo de contedos

Existe um consenso entre os estudiosos de que os currculos de

Matemtica para o ensino fundamental devam contemplar o estudo dos nmeros

e das operaes (no campo da Aritmtica e da lgebra), o estudo do espao e

das formas (no campo da Geometria) e o estudo das grandezas e das medidas.

A questo a ser enfrentada identificar quais conhecimentos,

competncias, hbitos e valores so relevantes para a educao e em que

medida contribuem para a construo e estruturao do pensamento lgico-

matemtico, da criatividade, da capacidade de anlise e de crtica, que soessenciais para o desenvolvimento intelectual do aluno. Alm disso, preciso

relacionar esses elementos com a construo da cidadania.

Blocos de contedos

Organizao de contedos

Aps selecionar os contedos para o ensino fundamental, eles devem ser

organizados em ciclos e, posteriormente, em projetos que devero ser

executados por cada professor ao longo do ano letivo.

Para a organizao de contedos preciso que se analise:

- as conexes que podem ser estabelecidas entre os diferentes blocos de

tal forma que o professor poder articular mltiplos aspectos dos diferentes

blocos, buscando a compreenso que o aluno possa atingir a respeito dos

princpios e mtodos bsicos do corpo de conhecimentos matemticos; alm


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disso, dever estabelecer ligaes entre a Matemtica, as situaes cotidianas

dos alunos e as outras reas do conhecimento, visando uma teoria aplicada;

- o enfoque maior ou menor que deve ser dado a cada elemento, ou seja,

quais pontos merecem mais ateno e quais no so to fundamentais;

- os nveis de aprofundamento dos contedos em razo das limitaes de

compreenso dos alunos, ou seja, levar em conta que um mesmo assunto ser

abordado em diferentes momentos da aprendizagem, com diferentes nveis de

aprofundamento, e sua consolidao ocorrer devido s diversas relaes

estabelecidas.

A seguir sero detalhados alguns contedos, que no necessariamentesero transpostos imediatamente para a prtica da sala de aula. Muitas vezes

tero que ser reinterpretados regionalmente, de acordo com os Estados e

Municpios e, localmente, variando de acordo com cada unidade escolar.

Nmeros e operaes

Ao decorrer do ensino fundamental, os conhecimentos numricos soconstrudos e interiorizados pelos alunos ao utiliz-los como instrumentos

eficazes para resolver determinados problemas e ao considerar suas

propriedades, relaes e a maneira como se configuram historicamente.

Durante esse processo, o aluno compreender que medida que a

humanidade teve que enfrentar problemas, foram criadas diferentes categorias

numricas: nmeros naturais, nmeros inteiros positivos e negativos, nmeros

racionais e nmeros irracionais. Ao se deparar com situaes-problema,envolvendo as operaes numricas, o aluno ir ampliar seu conceito de nmero.

Em relao s operaes, o trabalho a ser feito se focar no

entendimento dos diferentes significados de cada uma delas, nas relaes

existentes entre elas e no estudo do clculo, contemplando diferentes tipos: exato

e aproximado, mental e escrito.

Inicialmente ser desenvolvida uma pr-lgebra, apenas trabalhando com

conceitos e ideias gerais. Nas sries finais do ensino fundamental, os trabalhos


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algbricos sero ampliados, acrescentando situaes-problema, nos quais o

aluno reconhecer diferentes funes da lgebra, representar problemas por

meio de equaes e conhecer as regras para resoluo de uma equao.

Espao e forma

Os conceitos geomtricos so parte importante do currculo de

Matemtica no ensino fundamental, pois, atravs deles, o aluno compreende,

descreve e representa, de forma organizada, o mundo em que vive.

A Geometria permite se trabalhar com diversas situaes-problema e

um assunto pelo qual os alunos se interessaram naturalmente. O trabalho com

elementos geomtricos contribui para a aprendizagem de nmeros e medidas,

pois leva a criana a observar, notar semelhanas e diferenas, identificar

regularidades e irregularidades.

Alm disso, pode ser feito um trabalho a partir da explorao dos objetos

do cotidiano, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, que

permitir ao aluno estabelecer conexes entre a Matemtica e outras disciplinas.

Grandezas e medidas

No cotidiano, as grandezas e as medidas esto presentes em quase

todas as atividades realizadas, por isso desempenham papel importante no

currculo, ao mostrar claramente ao aluno a utilidade do conhecimento

matemtico na prtica.As prticas em que as noes de grandezas e medidas so utilizadas

proporcionam melhor compreenso de elementos relativos ao espao e s

formas. So ferramentas importantes para o trabalho com os significados dos

nmeros e das operaes, da ideia de proporcionalidade e escala, e para a

abordagem histrica.


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UNIDADE 8 MATEMTICA PARA O PRIMEIRO CICLO

Ensino e aprendizagem de Matemtica no primeiro ciclo

Os ingressantes no primeiro ciclo, tendo passado ou no pela pr-escola,

possuem noes informais sobre numerao, medida, espao e forma,

construdas em sua vivncia cotidiana. Essas noes matemticas sero

referncia para o professor na organizao das formas de aprendizagem.

As situaes que as crianas observam, como os pais fazendo compras,

a numerao das casas, os clculos que elas prprias fazem e as conexes que

conseguem estabelecer sero objetos de reflexo e de estudo em suas primeirasatividades matemticas na escola.

Assim sendo, antes de elaborar os planos de aulas, fundamental que o

professor faa um diagnstico do domnio que cada criana tem sobre o assunto

que vai trabalhar, quais so suas deficincias e quais as possibilidades e as

dificuldades de cada uma para estudar os temas propostos.

importante ressaltar que ter como ponto de partida os conhecimentos

que as crianas possuem no significa limitar-se a eles, pois funo da escola

elevar o nvel de aprendizado e proporcionar condies a elas de realizarem

conexes entre o que j conhecem e os novos contedos que sero

apresentados, possibilitando uma aprendizagem paulatinamente mais ampla.

Uma caracterstica relevante dos alunos deste ciclo que sua

participao nas atividades , de forma geral, bastante individualista, levando-os a

no observar a produo dos colegas. Dessa forma, imprescindvel que o

professor busque de forma ativa socializar as estratgias de abordagem de um

problema, ensinando a compartilhar conhecimentos e incentivando o trabalho em

grupo e convvio social.

O uso de representaes tanto para interpretar o problema como para

expressar sua estratgia de resoluo, tambm comum entre alunos do primeiro

ciclo. Essas representaes desenvolvem-se de formas pictricas, com detalhes

nem sempre pertinentes situao, para representaes simblicas,

aproximando-se cada vez mais das representaes matemticas. Esse


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desenvolvimento deve ser assistido pelo professor, que pode chamar a ateno

para as representaes, mostrar suas diferenas, as vantagens de algumas,

mostrar exemplos, entre outras tcnicas.

Para o melhor desenvolvimento do aprendizado desses alunos,

recomendado o uso de recursos de apoio como materiais de contagem (fichas,

palitos, tampinhas de garrafas, reproduo de cdulas e moedas), instrumentos

de medida, calendrios, embalagens, figuras tridimensionais e bidimensionais,

entre outros.

Entretanto, se o aluno for capaz de realizar atividades sem o auxlio dos

materiais de apoio, importante que isso seja incentivado pelo professor, pois

demonstra um desenvolvimento do aprendizado.

Nesse ciclo, importante que o professor escreva textos sobre

concluses, comunique resultados, usando ao mesmo tempo elementos da lngua

materna e alguns smbolos matemticos, para que a linguagem matemtica no

se torne um cdigo indecifrvel para os alunos.

Objetivos de Matemtica para o primeiro ciclo

Neste ciclo, o ensino de Matemtica deve levar o aluno a:

- construir o entendimento do nmero natural a partir de seus diferentes

sentidos e contexto social;

- observar e compreender situaes-problema que envolvam contagens,

medidas e cdigos numricos;

- entender e realizar escritas numricas, levantando hipteses sobre elas,

com base na observao de regularidades, utilizando-se da linguagem falada, de

tcnicas informais e da linguagem matemtica;

- solucionar situaes-problema e desenvolver, a partir delas, os

significados das operaes fundamentais, buscando compreender que uma

mesma operao est relacionada a problemas diferentes e um mesmo problema

pode ser resolvido pelo uso de diferentes operaes;


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- desenvolver tcnicas de clculo (mental, escrito, exato, aproximado);

- pensar sobre a grandeza numrica, podendo utilizar a calculadora como

instrumento para produzir e analisar escritas;

- elaborar pontos de referncia para situar-se, posicionar-se e deslocar-se

no espao, assim como para identificar relaes de posio entre objetos no

espao; interpretar e fornecer instrues, usando termos adequados;

- notar semelhanas e diferenas entre objetos no espao, identificando

formas tridimensionais ou bidimensionais, podendo utilizar linguagem oral,

representaes pictricas e matemticas para se expressar;

- entender as grandezas mensurveis, como comprimento, massa,

capacidade;

- fazer uso de informaes sobre tempo e temperatura;

- utilizar instrumentos de medida, usuais ou no, estimando resultados e

os expressando por meio de representaes nem sempre convencionais;

- compreender o uso de tabelas e grficos para a leitura e interpretao

de informaes e elaborar maneiras pessoais de registro para comunicao.

Os contedos de Matemtica para o primeiro ciclo

No primeiro ciclo, as crianas estabelecem conexes que as aproximam

de alguns conceitos, elaboram procedimentos simples e desenvolvem

comportamentos diante da Matemtica.

Os conhecimentos das crianas no esto divididos em campos

(numricos, geomtricos, mtricos, entre outros), mas sim interconectados. Essa

forma de interdependncia deve ser mantida no trabalho do professor, uma vez

que as crianas tero melhores condies de entender o significado dos

diferentes contedos se forem capazes de perceber as relaes deles entre si.

Dessa maneira, embora o professor utilize os blocos de contedo como

referncia para seu trabalho, ele deve ensinar aos alunos deste ciclo da forma

mais integrada possvel.


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Em funo da diversidade das vivncias experimentadas pelas crianas

tambm no possvel determinar, de forma nica, uma sequncia em que os

contedos matemticos sero ensinados nem mesmo o nvel de aprofundamento

abordado.

Entretanto, o trabalho a ser desenvolvido no pode ser feito de maneira

improvisada, pois existem objetivos a serem atingidos. preciso um plano de aula

devidamente elaborado que considere as necessidades supervenientes durante o

ensino, como por exemplo, o enfoque em algum conceito que a turma tenha mais

dificuldade.

Tem-se como exemplo de abordagens que podem ser realizadas, o

conceito de nmero, que, de forma bastante simples, pode ser definido como

indicador de quantidade (aspecto cardinal). Sendo tambm um indicador de

posio (aspecto ordinal), que permite determinar o lugar ocupado por um objeto,

pessoa ou acontecimento em uma lista. Os nmeros tambm podem ser

trabalhados como cdigo, por exemplo: nmero de telefone e de placa de carro.

Essas abordagens no precisam ser apresentadas formalmente, podendo

ser identificadas nas vrias situaes do cotidiano dos alunos, para as quais oprofessor vai lhes chamar a ateno.

a partir dessas situaes cotidianas que os alunos elaboram as ideias

sobre o significado dos nmeros e comeam a desenvolver as escritas numricas,

de forma parecida ao que fazem em relao lngua escrita.

As escritas numricas podem ser apresentadas, sem que seja preciso

entend-las e examin-las. Isto , as caractersticas do sistema de numerao

so observadas, em grande parte por meio de exemplos do cotidiano, que so

problematizados para uma melhor insero na Matemtica. Essas situaes-

problema devem proporcionar resultados bsicos e servem para o aprendizado de

tcnicas operatrias convencionais.

No primeiro ciclo, sero abordados alguns dos significados das

operaes, tendo em destaque a adio e a subtrao, por serem as mais

bsicas e alicerce para o entendimento das demais.


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Com o passar do tempo, os alunos devem ser capazes de construir os

fatos bsicos das operaes (clculos com dois termos, ambos menores do que

dez), servindo de repertrio para suporte ao clculo mental e escrito. Da mesma

maneira, a calculadora ser usada como recurso, no para substituir a

aprendizagem de procedimentos de clculo pelo aluno, mas para ajud-lo a

entend-los.

Tambm so importantes no primeiro ciclo, as atividades geomtricas,

pois possibilitam aos alunos a capacidade de estabelecer pontos de referncia em

seu entorno, a encontra-se no espao, deslocar-se nele, dando e recebendo

instrues, compreendendo termos como esquerda, direita, distncia,

deslocamento, acima, abaixo, ao lado, na frente, atrs, perto, para descrever a

posio, elaborando itinerrios. Tambm importante o estudo das formas

tridimensionais e bidimensionais. Esses conhecimentos permitiro ao aluno

compreender o espao sua volta.

O sistema de grandezas tambm estudado nesse ciclo, no entanto, de

forma indireta, ao se fazer o estudo dos nmeros e das atividades geomtricas.

Uma vez que no objetivo deste ciclo a formalizao de sistemas de medida,

mas sim ensinar a compreenso do procedimento de medir, explorando para isso

tanto tcnicas pessoais quanto utilizando recursos de apoio, tais como balana,

fita mtrica e recipientes de uso frequente. Tambm interessante que durante

este ciclo se inicie o estudo de ideias sobre o tempo e um entendimento do

significado de indicadores de temperatura. Podendo ser utilizado para isso

relgios de ponteiros, relgios digitais e termmetros.

Em relao ao Tratamento da Informao, ser trabalhado neste ciclo o

estmulo aos alunos para questionarem, para estabelecerem relaes, para

desenvolverem justificativas e o esprito de investigao.

O propsito no a de que os alunos aprendam apenas a ler e a

interpretar grficos, mas que sejam capazes de compreender sua realidade,

usando conhecimentos matemticos.

Neste ciclo, imprescindvel que o professor estimule os alunos a

desenvolver atitudes de organizao, investigao e perseverana. Alm disso, fundamental que eles aprendam uma postura diante de seus trabalhos que os


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direcione a elaborao de justificativas e validaes de suas respostas e

reconheam que situaes de erro so comuns, e que a partir delas tambm se

pode aprender. Nessa dinmica que os elementos para o trabalho em grupo e

respeito mtuo comeam a se constituir.

Dessa forma, pode-se dizer que as caractersticas gerais do primeiro ciclo

so: o trabalho com atividades que possibilitem aos alunos terem noes das

operaes, dos nmeros, das medidas, das formas e espao e da organizao de

informaes e a criao de vnculos com os conhecimentos com que ele chega

escola. Nesse trabalho, fundamental que o aluno adquira confiana em sua

prpria capacidade para aprender Matemtica.


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UNIDADE 9 RECURSOS DE ENSINO

O ensino da Matemtica exige a contextualizao, a comparao entre asdisciplinas, o enfoque nos aspectos prticos da disciplina, demonstrando ao aluno

as aplicaes no cotidiano, levando-o a construir o conhecimento.

O ensino da Matemtica no ensino fundamental tem determinados

objetivos gerais, como os explicados acima, que devem ser alcanados. Para

tanto, so empregados diversos recursos, sendo alguns deles explicados a

seguir.

A histria da Matemtica como recurso para o ensino

Ao utilizar esse recurso, o professor pode mostrar a Matemtica como

uma criao humana, explicando as necessidades e preocupaes de diferentes

culturas, em diferentes momentos histricos.

Pode ser mostrada a evoluo dos algarismos, dos sistemas de medidas,

a influncia da Matemtica nas artes e na prpria formao cultural do pas.

As tecnologias da informao como recurso para o ensino

As tecnologias da informao esto cada vez mais presentes no cotidiano

das pessoas e dessa forma devem ser trazidas para a sala de aula como recursos

para o ensino e aprendizagem.

Apesar da resistncia por muitos educadores, estudos e experincias

evidenciam que a calculadora um elemento que pode contribuir para a melhoria

do ensino da Matemtica, pois pode ser usada como um instrumento motivador

na realizao de tarefas exploratrias e de investigao. Soma-se a isso a

possibilidade de novas dinmicas educativas, como a de levar o aluno a perceber

a importncia do uso dos meios tecnolgicos disponveis na sociedade

contempornea.


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Como exemplo de uma situao exploratria e de investigao que se

tornaria imprpria sem o uso de calculadora, poder-se-ia imaginar um aluno

sendo desafiado a descobrir e a interpretar os resultados que obtm quando

divide um nmero sucessivamente por dois (se comear pelo 2, obter 1; 0,5;

0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; 0,015625). Somente usando a calculadora, ele ter

condies de prestar ateno no que est acontecendo com os resultados e de

construir o significado desses nmeros.

Os computadores tambm podem ser utilizados como recursos para o

ensino da Matemtica, embora ainda no estejam amplamente disponveis para a

maioria das escolas, eles podem integrar muitas experincias educacionais.

O computador pode ser usado como instrumento de apoio para o ensino

(banco de dados, elementos visuais), mas tambm como fonte de aprendizagem

e como ferramenta para o desenvolvimento de habilidades. Exemplo so os

softwares educacionais que podem ser utilizados para trabalhos dirigidos no

intuito de testar conhecimentos e para levar o aluno a interagir com o programa

de forma a construir conhecimento.

Os jogos como recursos de ensino

Os jogos so ferramentas ldicas que mediante a articulao entre o

conhecido e o imaginado, auxiliam o autoconhecimento e o conhecimento dos

outros, alm de auxiliarem no entendimento de conceitos matemticos.

Existem diversos tipos de jogos que podem ser utilizados para o ensino.

Os jogos em que as aes so repetidas sistematicamente (jogos de exerccio)possibilitam compreenso, geram satisfao, formam hbitos que se estruturam

num sistema, fixando conceitos aprendidos com a teoria. So voltados para

crianas menores.

Os jogos em que as crianas aprendem a lidar com smbolos e a pensar

por analogia (jogos simblicos), possibilitam que os significados das coisas

passam a ser imaginados por elas. Assim, elas se tornam produtoras de

linguagens, criadoras de convenes, capacitando-se para se submeterem aregras e dar explicaes.


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Os jogos nos quais as crianas aprendem a lidar com situaes mais

complexas (jogos com regras), lhes possibilitam passar a compreender que as

regras podem ser combinaes que os jogadores definem; percebem tambm

que s podem jogar em funo da jogada do outro (ou da jogada anterior, se o

jogo for solitrio). Os jogos com regras so importantes, pois neles o fazer e o

compreender constituem faces de uma mesma moeda.

Os jogos trazem em sim um desafio genuno, que gera interesse e prazer

para os alunos. Alm disso, tambm possibilitam o trabalho em grupo e o

desenvolvimento da inteligncia emocional, ao ensinar a enfrentar a frustrao.

Por isso, importante que os jogos faam parte das prticas escolares, cabendo

ao docente analisar e avaliar os potenciais de educao dos diferentes jogos e o

aspecto curricular que se deseja desenvolver.

Resoluo de problemas

Ao longo dos ltimos anos, esta vem sendo uma tcnica amplamente

proposta e discutida.

Historicamente, a Matemtica foi construda para dar respostas a

perguntas oriundas de diferentes contextos e problemas de ordem prtica, tais

como diviso de terras, clculo de juros, entre outros. Muitos destes problemas

tm origem em outras cincias (Qumica, Biologia, Fsica, Astronomia). Outros

tm sua origem em problemas de investigao internos prpria Matemtica.

O que se observa hoje nas escolas que os problemas tem sua

funcionalidade educacional subestimada. So muitas vezes utilizados apenascomo ferramenta para fixao de contedo previamente ensinado, ao invs de

serem utilizados como uma forma de instigar e induzir construo do

conhecimento, despertando a curiosidade e a participao dos alunos.

Frequentemente, observa-se nas salas de aula a prtica de ensinar um

conceito para depois apresentar um problema e ento avaliar a capacidade dos

alunos de resolv-lo. Para os alunos submetidos a esse mtodo, resolver tais


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problemas no passa de fazer contas com os nmeros do enunciado, causando

desinteresse entre os mesmos.

Agindo dessa forma, o professor no est explorando a fundo o problema

matemtico, mas sim, transferindo o foco para os resultados. Consequentemente,

a matemtica no apresentada ao aluno como um sistema de conceitos e

ferramentas que permitem resolver problemas, mas sim como um desgastante

discurso simblico e abstrato, por vezes incompreensvel.

O professor que atua nessa linha de trabalho est agindo de maneira

tradicionalista, colocando o foco apenas nos resultados e limitando o aprendizado

do aluno repetio e reproduo, ao invs da criatividade e do raciocnio. um

enfoque minimalista que reduz os alunos a meros operadores de clculos, sem

despertar neles a verdadeira essncia da matemtica que o raciocnio lgico e

ordenado.

Diferentemente, o professor que atua colocando o foco no problema atua

de acordo com conceitos modernos, humanistas e construtivistas. Esse professor

coloca sempre o ponto de partida da atividade no problema, e no na definio.

No processo de ensino e aprendizagem, deve-se priorizar o desenvolvimento dacriatividade atravs da criao de estratgias de soluo de problemas, tornando

assim o aluno apto a lidar com situaes do cotidiano e com situaes futuras que

encontrar ao longo de sua carreira profissional, no o transformando em um

mero operador de contas.

S h efetivamente um problema se o aluno for levado a interpretar

enunciados e desenvolver estratgias de resoluo. Caso contrrio, estaremos

levando o aluno a trabalhar de forma mecnica, subestimando suaspotencialidades.

Uma forma interessante de se chegar ao resultado desejado utilizar de

aproximaes sucessivas. Comea-se a introduzir um contedo de forma mais

experimental e, progressivamente, vai-se estimulando o aluno a formalizar os

resultados obtidos at que se chegue ao conceito ou teorema que se pretendia

ministrar.


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Os conceitos matemticos so construdos articulados com outros

conceitos, atravs de uma srie de generalizaes e de retificaes. Interessante

notar que, dessa forma, o aluno no apenas estar construindo um conceito para

responder a um problema, mas sim, construindo conjuntos de conceitos que

passam a fazer sentido para ele quando confrontado com vrios problemas.

O mtodo da resoluo de problemas no deve ser encarado como uma

atividade paralela aprendizagem ou como aplicao da mesma, mas sim, como

um meio de se atingir o objetivo (aprendizagem).

Os problemas matemticos so situaes que demandam realizao de

uma srie de aes e operaes para atingir um resultado. A soluo no se

encontra disponvel inicialmente, mas possvel constru-la.

Na maioria das vezes, os problemas apresentados no constituem

problemas de verdade, porque no existe o real desafio, apenas o aluno est

sendo solicitado a utilizar dados do enunciado e manipular uma frmula j

fornecida.

Para que seja realmente considerado um problema, pressupe-se que o

aluno elabore um ou mais mtodos de resoluo, como por exemplo,simulaes, tentativas, hipteses, entre outros. necessrio que o aluno compare

seus resultados com o dos colegas, discutindo-os. necessrio ainda que ele

valide os procedimentos que utilizou, atravs de provas ou demonstraes.

Um ponto interessante a ser observado que, mesmo que o aluno tenha

compreendido a proposio e que consiga dar respostas corretas, aplicando os

procedimentos adequados, isso pode ainda no configurar que o aluno saiba

resolver problemas. O aluno pode apenas estar agindo de forma mecnica, por

ter sido assim treinado e decorado frmulas ou mtodos de resoluo prontos que

a ele foram oferecidos. Muito alm disso, resolver problemas requer a apropriao

do conhecimento. Requer que o aluno seja capaz de desenvolver seus prprios

mtodos ou estratgias de resoluo, mesmo que inicialmente falhos, mas que

possam conduzi-lo progressivamente a uma aproximao da resposta mais

adequada.


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Alm disso, desejvel que o aluno desenvolva habilidades que o

permitam testar e por prova os resultados obtidos. Tambm desejvel que ele

consiga testar os efeitos daquele caminho de resoluo que escolheu e que

possa comparar diferentes caminhos, entendendo que no existe uma maneira

nica de se resolver problemas. Trabalhando dessa forma, o valor correto da

resposta cede lugar ao valor do procedimento de resoluo.

De acordo com os PCNs:

O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua prpria resposta, aquestionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte denovos problemas, evidencia uma concepo de ensino e aprendizagemno pela mera reproduo de conhecimentos, mas pela via da aorefletida que constri conhecimentos.


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UNIDADE 10 CONTEDOS, CONCEITOS EPROCEDIMENTOS: NMEROS NATURAIS E

NUMERAO DECIMAL

Nmeros Naturais e Numerao Decimal

desejvel nesse tpico que o professor saiba desenvolver no aluno

diversas capacidades, tais como a de reconhecer nmeros em seu dia a dia;

utilizar diferentes estratgias de quantificao de elementos que estejam

agrupados em uma coleo, tais como a contagem, o pareamento, a estimativa e

a correspondncia de agrupamentos; utilizar diferentes estratgias de

identificao de nmeros em situaes de contagem ou medio; comparar e

ordenar colees por quantidade de elementos, alm de ordenar grandezas por

aspecto da medida; formular hipteses sobre grandezas numricas, seja pela

identificao da quantidade dos algarismos ou da posio por eles ocupada na

escrita numrica; ler, escrever, comparar e ordenar nmeros familiares ou

frequentes; observar critrios de classificao de nmeros (maior que, menor que,

entre a e b), alm de e de regras de seriao (mais 1, menos 1, dobro, metade,

etc); realizar contagens ascendentes e descendentes, seja de um em um, seja de

dois em dois, de cinco em cinco e outros, a partir de um nmero dado; identificar

a regularidade de sries numricas; utilizar calculadora para produo e

comparao de escritas numricas; organizar subagrupamentos para facilitar

contagem e comparao entre colees maiores; ler, escrever, comparar e

ordenar notaes numricas para compreender as caractersticas do sistema de

numerao decimal, a base, o valor posicional.

Operaes com Nmeros Naturais

desejvel neste tpico que o professor saiba desenvolver no aluno

diversas capacidades, tais como a de analisar, interpretar, resolver e formular

situaes-problema, compreendendo o significado das operaes, em especial

adio e subtrao; reconhecer que diferentes problemas podem ser resolvidos

pela mesma operao e que diferentes operaes resolvem um mesmo problema;


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utilizar sinais convencionais {+, -, x, :, =} para escrever as operaes; construir

fatos bsicos das operaes atravs de problemas; organizar os fatos bsicos

das operaes atravs de suas propriedades; utilizar decomposio de escritas

numricas para realizar clculo mental; calcular adio e subtrao seja por meio

de estratgias pessoais ou das tcnicas convencionais; calcular multiplicao e

diviso atravs de estratgias pessoais; utilizar estimativas para avaliar

resultados; usar calculadora para verificao e controle de clculos.

Espao e Forma


diversas capacidades, tais como a de localizar pessoas e objetos no espao,

tendo por base diferentes pontos de referncia; analisar o movimento de pessoas

e objetos no espao, baseando-se em diferentes pontos de referncia; descrever

a localizao e o movimento de pessoas e objetos usando sua prpria

terminologia; dimensionar espaos, analisar relaes de tamanho e de forma;

interpretar e representar a posio e a movimentao no espao com maquetes,

mapas, esboos, croquis ou itinerrios; observar formas geomtricas emelementos naturais e objetos criados pelo homem, apontando suas

caractersticas: arredondado ou no, simtrico ou no, entre outros; estabelecer

comparao entre objetos reais e geomtricos: redondos ou esfricos, cilindros,

cones, cubos, pirmides, prismas, sem usar obrigatoriamente a nomenclatura;

perceber semelhanas e diferenas entre cubo e quadrado, paraleleppedo e

retngulo, pirmide e tringulo, esfera e crculo; construir e representar.

Grandezas e Medidas


diversas capacidades, tais como a de comparar grandezas atravs de estratgias

pessoais ou de instrumentos de medida: fita mtrica, balanas, medidores de

volume, entre outros; identificar unidades de tempo: dias, semanas, meses,

bimestre, semestre, ano, utilizar calendrios; reconhecer cdulas e moedas

brasileiras e seus respectivos valores e possibilidades de troca; representar os


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elementos necessrios para se escrever e informar resultados de medidas

(unidades de medidas); saber ler as horas, comparar relgios digitais e

analgicos.

Tratamento da Informao


diversas capacidades, tais como a de ler e interpretar informaes de imagens;

coletar e organizar informaes; criar registros para comunicar informaes

coletadas; explorar a funo dos nmeros como sendo cdigos de organizao de

informaes (telefones, placas de carro, documentos de identidade, numerao

de roupas e calados); interpretar e elaborar listas, tabelas e grficos para

comunicar informaes obtidas; produzir textos a partir de grficos e tabelas.


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UNIDADE 11 MATEMTICA PARA O SEGUNDO CICLO

Ensino e aprendizagem de Matemtica no segundo ciclo

Diversos aspectos envolvendo o processo de ensino e aprendizagem,

tratados no item referente ao primeiro ciclo, tambm necessitam ser considerados

pelos professores do segundo ciclo. Entre esses aspectos, destaca-se a

importncia do conhecimento prvio do aluno como ponto de incio para a

aprendizagem, do trabalho com diversas teorias e representaes que as

crianas elaboram, da interconexo a ser estabelecida entre a linguagem

matemtica e a lngua materna e do uso de recursos didticos de suporte.Somando-se a esses aspectos, existem outros a serem considerados,

uma vez que as capacidades cognitivas dos alunos sofrem avanos significativos.

Eles comeam a estabelecer relaes de causalidade, o que os incita a

procuraras explicaes das coisas e suas finalidades. O raciocnio ganha maior

flexibilidade, o que lhes permite perceber transformaes. A reversibilidade do

pensamento possibilita a observao de que algumas caractersticas dos objetos

e das situaes permanecem e outras se modificam. Desse modo, passam aperceber regularidades e propriedades numricas, geomtricas e mtricas.

Tambm se amplia a possibilidade de compreenso de alguns significados das

operaes e das relaes entre elas. So capazes de perceber que algumas

regras, propriedades, padres, que identificam nos nmeros que lhes so mais

familiares, tambm valem para outros nmeros.

importante salientar que, apesar desses avanos, as generalizaes

so ainda bastante simples e esto ligadas capacidade de observar,experimentar, lidar com representaes, sem chegar, no entanto, a conceitos

formais.

Em comparao ao ciclo anterior, os alunos deste ciclo tm possibilidades

de maior concentrao e capacidade verbal para exprimirem com mais clareza

suas ideias e pontos de vista. Tambm so capazes de fazerem representaes

matemticas, utilizando-as com mais frequncia que as representaes pictricas.


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- obter dados e informaes, construir formas para organiz-los e

express-los;

- interpretar dados apresentados sob forma de tabelas e grficos e utilizar

essa linguagem como forma de comunicao;

- identificar os elementos de acontecimentos que podem ser previstos ou

no, a partir de situaes-problema, utilizando ferramentas estatsticas e

probabilsticas;

- desenvolver o significado das medidas, a partir de situaes do

cotidiano;

- fazer uso de procedimentos e instrumentos de medida usuais ou no,

identificando o mais adequado para a resoluo da situao-problema em

questo;

- fazer representaes de resultados de medies, utilizando os termos

convencionais para as unidades mais comuns dos sistemas de medida, comparar

com estimativas prvias e realizar conexes entre diferentes unidades de medida;

- desenvolver interesse para investigar, explorar e interpretar, em

diferentes situaes do cotidiano e de outras reas do conhecimento, os

elementos matemticos abordados no ciclo;

- resolver problemas, percebendo que para resolv-los preciso

compreender, propor e executar um plano de soluo, verificar e comunicar a

resposta.

Contedos de Matemtica para o segundo ciclo

No segundo ciclo, os alunos ampliam conceitos j estudados no ciclo

anterior, estabelecem conexes que os aproximam de novos conceitos,

aprimoram procedimentos conhecidos e constroem novos.

Se no primeiro ciclo, o trabalho do professor centrado na anlise das

hipteses construdas pelos alunos e na explorao dos mecanismos que

desenvolvem para resolver situaes-problema, neste ciclo, ele pode seguir nosentido de levar seus alunos a entenderem enunciados, terminologias e tcnicas


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Nesse ciclo, fundamental que a confiana do aluno em si prprio diante

da resoluo de problemas seja trabalhada, que haja valorizao das estratgias

pessoais e tambm das que so historicamente utilizadas pela Matemtica.


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UNIDADE 12 CONCEITOS, CONTEDOS EPROCEDIMENTOS:NMEROS NATURAIS, NUMERAO

DECIMAL E NMEROS RACIONAIS

Nmeros Naturais, Numerao Decimal e Nmeros Racionais


diversas capacidades, tais como a de reconhecer nmeros naturais e racionais

em seu contexto dirio; compreender e utilizar regras de numerao decimal para

ler, escrever, comparar e ordenar naturais e racionais; formular hipteses sobre

grandezas numricas, observando a posio dos algarismos decimais de um

nmero racional; estender regras do sistema de numerao decimal para facilitar

sua leitura e representao, tanto em forma racional como decimal; comparar e

ordenar nmeros racionais na forma decimal; localizar na reta numrica nmeros

racionais escritos na forma decimal; ler, escrever, comparar e ordenar

representaes fracionrias frequentes como 1/2, 1/3, 1/4, 2/3, 3/4, 1/10, entre

outros, reconhecer que os racionais admitem infinitas representaes na sua

forma fracionria, exemplo: 1/2 = 2/4 = 3/6 = 20/40 (...), entre outros; identificar

fraes equivalentes pela observao grfica; explorar diferentes significados de

fraes em problemas como parte-todo, quociente e razo; reconhecer o uso da

porcentagem no uso dirio.

Operaes com Nmeros Naturais e Racionais


diversas capacidades, tais como a de analisar, interpretar, formular e resolver

situaes-problema, compreender os diferentes significados das operaes que

envolvem nmeros naturais e racionais; reconhecer que diferentes problemas

podem ser resolvidos por uma nica operao, ou que diferentes operaes

tambm podem resolver um mesmo problema; resolver operaes por meio de

estratgias pessoais e de tcnicas convencionais; ampliar o repertrio das

operaes com nmeros naturais e desenvolver o clculo mental e escrito;

calcular adio e subtrao de racionais na forma decimal; desenvolver


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estratgias de verificao de resultados usando clculo mental e calculadora;

decidir sobre o uso do clculo mental exato ou aproximado ou da tcnica

operatria de acordo com o problema; calcular operaes simples de

porcentagem.

Espao e Forma


diversas capacidades, tais como a de descrever, interpretar e representar a

posio de pessoas ou objetos no espao, em diferentes pontos de vista; utilizar

malhas para representar a posio de uma pessoa ou um objeto; descrever,

interpretar e representar a movimentao de pessoas ou objetos no espao,

construir itinerrios; representar o espao por meio de maquetes; reconhecer

semelhanas e diferenas em corpos redondos (esfera, cone, cilindro e outros);

reconhecer semelhanas e diferenas entre prismas, pirmides e outros;

identificar elementos geomtricos como faces, vrtices e arestas; compor e

decompor figuras tridimensionais; identificar simetria; explorar planificaes;

identificar figuras poligonais ou circulares em superfcies planas; identificarsemelhanas e diferenas entre os polgonos, comparando nmero de lados,

ngulos; explorar caractersticas de figuras planas como a rigidez triangular, o

paralelismo e o perpendicularismo de lados; compor e decompor figuras planas,

identificar que qualquer polgono pode ser construdo a partir de figuras

triangulares; ampliar e reduzir figuras planas em malhas; perceber elementos

geomtricos na natureza e nas artes; representar figuras geomtricas.

Grandezas e Medidas


diversas capacidades, tais como a de comparar grandezas de mesma natureza,

escolhendo-se uma unidade de medida da mesma categoria do atributo a ser

medido; identificar grandezas mensurveis no dia a dia: massa, comprimento,

capacidade, superfcie, entre outras; reconhecer e utilizar unidades como metro,

centmetro, grama, quilograma, litro, mililitro, alqueire, entre outras; reconhecer e


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utilizar unidades de tempo e temperatura; estabelecer relaes entre unidades de

medida de uma mesma grandeza; reconhecer e utilizar medidas de tempo e fazer

converses simples; utilizar procedimentos e instrumentos de medida em

problemas; utilizar o sistema monetrio brasileiro para resolver problemas;

calcular permetro e rea de figuras em papel quadriculado e compar-los sem

uso de frmulas.

Tratamento da Informao


diversas capacidades, tais como a de coletar, organizar e descrever dados; ler e

interpretar dados por meio de tabelas, diagramas e grficos; produzir textos a

partir da interpretao desses grficos e tabelas; interpretar informaes de textos

jornalsticos, cientficos ou outros de jornais e revistas; obter e interpretar a mdia

aritmtica; explorar o conceito de probabilidades em problemas simples, utilizar

informaes previamente fornecidas para avaliar probabilidades; identificar

possveis maneiras de combinar elementos e contabiliz-las, segundo estratgias

pessoais.


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UNIDADE 13 AVALIAO (SEGUNDO CICLO)

Espera-se que o aluno possa resolver problemas relacionados a:

- nmeros naturais e racionais (forma fracionria ou decimal), a medidas e

ao significado das operaes, segundo estratgias pessoais, escolhendo

procedimentos de clculo, justificando seus procedimentos e escolhas. O aluno

deve saber ler, escrever, ordenar e identificar sequncias;

- localizar em intervalos nmeros naturais e racionais na forma decimal;

- calcular, com agilidade e estratgias pessoais ou convencionais,

sabendo distinguir as situaes que exigem resultado exato ou aproximado;

- escolher unidades de medida e instrumentos mais adequados a cada

problema, fazer estimativas simples sobre grandezas de comprimento, de

capacidade e de massa, saber ler, interpretar e produzir registros;

- identificar pontos de referncia e avaliar distncias em representaes

de espaos, utilizando adequadamente a terminologia usual referente a posies.

- identificar caractersticas das formas geomtricas, percebendo assemelhanas e diferenas entre as formas tridimensionais e bidimensionais

percebendo semelhanas e diferenas entre elas e reconhecer e apontar faces,

vrtices, arestas, lados e ngulos;

- colher e organizar informaes em tabelas e grficos, interpretando-os e

fazendo avaliaes e previses.


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UNIDADE 14 RECOMENDAES DIDTICAS

Nmeros Naturais

Instrumento til para resolver problemas e sua utilidade percebida

mesmo por crianas antes da fase escolar. Como exemplo, podemos citar as

habilidades que elas j demonstram de reconhecer nmeros de telefone, alguns

preos, numerao de calados, sua idade, datas, entre outros. A criana vai para

a escola com razovel conhecimento dos nmeros de 1 a 9 ou at maiores que j

lhe so familiares por aparecem com frequncia no seu dia-a-dia (como os

nmeros que vo de 1 a 30/31, por causa dos dias do ms).Por isso, atividades de leitura, escrita e ordenao de numricas devem

ter como ponto de partida nmeros que a criana j conhece.

Esse trabalho pode ser feito, por exemplo, em atividades do tipo:

elaborar um repertrio de situaes em que usam

nmeros no dia a dia;

recortar nmeros em jornais e revistas e tentar fazer aleitura deles (do jeito que souberem);

elaborar listas de nmeros de linhas de nibus do bairro,

de telefones teis, de placas de carros, e solicitar sua leitura;

elaborar fichas de nmeros referentes a si prprio (idade, data de

nascimento, tamanho do calado, seu peso, altura, quantidade de irmos, nmero

de amigos, entre outros);

trabalhar com o calendrio para registrar o dia do ms corrente e datas

importantes;

observar a numerao de sua rua, onde comea e onde termina,

registrar o nmero de sua casa e o da casa dos viznhos.

Na prtica escolar, tende-se a comear o processo de ensino-

aprendizagem dos nmeros atravs da formalizao do sistema decimal

mostrando-se as unidades, dezenas e centenas. Embora isso possa parecer


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natural do ponto de vista adulto (que j conhece as regras do sistema), observa-

se que os alunos apresentam dificuldades com essa prtica.

Dessa forma, entende-se atualmente que o trabalho inicial com

numerao deve ser feito utilizando-se as noes que a criana j traz consigo e

contextualiz-las para gradualmente introduzir o sistema formal de numerao

decimal.

muito importante que o professor permita aos alunos expor suas

hipteses sobre os nmeros, bem como sua escrita. Alguns alunos utilizam

justaposio de escritas organizando-as de acordo com a fala. Por exemplo, para

representar 135, escrevem 100 30 5 (cem/trinta/cinco). Essas hipteses

numricas constituem subsdios para que o professor trabalhe as atividades e

organize seu planejamento.

Algumas situaes favorecem a apropriao do conceito de nmero pelos

alunos. Uma delas lev-los a comparar duas colees do ponto de vista de suas

quantidades, organizando uma coleo com tantos objetos e outra que tenha o

dobro, o triplo, entre outros.

Outra situao situar algo numa listagem ordenada para lembrar aposio de um objeto numa linha, ou para ordenar sequncias de fatos do

primeiro ao ltimo. Os alunos sero instigados a utilizar diferentes estratgias,

como contagem, pareamento, estimativa, arredondamento, entre outras.

s vezes, os procedimentos de clculo contribuem para o

desenvolvimento da concepo de nmero. Por exemplo, identificar

deslocamentos (avano ou recuo) em uma pista graduada.

No trabalho com nmeros maiores ser necessrio explorar

procedimentos de leitura associados representao escrita. Pode-se recorrer

histria da numerao, trabalhar com bacos e calculadoras para intrigar o aluno

e facilitar o processo.


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Nmeros Racionais

O trabalho com os nmeros racionais (segundo ciclo) tem por objetivo

principal levar os alunos a perceber que os nmeros naturais no so suficientes

para resolver alguns problemas.

O professor deve explorar situaes em que o uso de nmeros naturais

no consegue exprimir a medida de uma grandeza ou resultados de uma diviso.

Assim, os alunos identificaro nos nmeros racionais a possibilidade de

responder novos problemas.

A ideia de nmero racional est relacionada diviso entre nmeros

inteiros, excetuando-se o caso em que o divisor zero. A aprendizagem dosnmeros racionais implica numa ruptura com as ideias construdas pelos alunos

anteriormente, acerca dos nmeros naturais, portanto demanda tempo, pacincia

e abordagem adequada.

Ao trabalhar com os nmeros racionais, os alunos enfrentam vrios

obstculos:

cada nmero racional tem infinitas representaes e escritas

fracionrias;

acostumados com a relao 9 >3, tero que construir escritas que lhes

parecem contraditrias, ou seja, 1/9 < 1/3;

o tamanho da escrita numrica, que antes era um bom indicador de sua

ordem de grandeza, agora j pode no fazer mais sentido. Por exemplo: a

comparao entre 2,5 e 2,25 j no obedece ao mesmo critrio;

se, ao multiplicar um nmero natural por outrodiferente de 0 ou 1, a expectativa era de encontrar um nmero maior que os dois

primeiros. J ao multiplicar 10 por 1/3, podero se surpreender ao ver que o

resultado menor que 10;

a sequncia de nmeros naturais permite os conceitos de sucessor e

antecessor. Para os racionais no, pois entre dois nmeros racionais sempre

haver outro racional. Por exemplo, o aluno dever perceber que entre 0,7 e 0,8

esto nmeros como 0,71, 0,715 ou 0,77.


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O uso de calculadoras no dia a dia fez com que as representaes

decimais ficassem mais frequentes e familiares. Por isso, um trabalho

interessante consiste em utilizar calculadoras para o estudo de representaes

decimais. Convide o aluno a dividir na calculadora 1 por 2 ou 1 por 3 e pea pra

que ele tente explicar as escritas que aparecem no visor.

Uma outra atividade interessante utilizar o sistema monetrio, atravs

da juno de moedas de 5, 10, 25 e 50 centavos para formar o valor equivalente

de uma moeda inteira de 1 Real. Explicar aos alunos que as moedas menores

so fraes ou partes do valor da moeda de 1 Real.

O contato com representaes fracionrias menos frequente na vida

cotidiana e seu uso limita-se a metades, teros, quartos, nesse caso,

interessante trabalhar com receitas culinrias que envolvam as medidas de

xcara, xcara, 1/3 de xcara, colher de sopa, colher, entre outras. Ainda pode

ser explorado o conceito de frao em situaes tradicionais de diviso de um

chocolate ou de uma pizza em partes iguais para os amigos.

A construo de conceito de nmero racional requer a organizao de um

ensino que oferea diferentes significados e representaes ao aluno, o quedemanda certo tempo e dedicao. Trata-se de um trabalho que somente ser

iniciado no segundo ciclo e consolidado nos ciclos finais.

Operaes com Nmeros Naturais

Adio e subtrao

Os problemas aditivos e subtrativos so o aspecto inicial a ser trabalhado

na escola, juntamente ao trabalho de construo do conceito de dos nmeros

naturais. O trabalho conjunto de problemas aditivos e subtrativos, refere-se ao

fato de que compem uma mesma famlia. H estreitas conexes entre

problemas aditivos e subtrativos. Por exemplo, se temos a seguinte situao:

Pedrinho tinha 5 balas e ganhou mais algumas de seu amigo. Agora ele tem 13

balas.


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Observando-se as estratgias empregadas pelos alunos, pode-se notar

que s vezes a resposta encontrada por um procedimento aditivo e outras

vezes, subtrativo.

Isso mostra que os problemas nem sempre se classificam em funo

nica das operaes a eles relacionadas, e sim em funo dos procedimentos

utilizados, de acordo com quem os soluciona.

Geralmente h um consenso por parte dos professores de que os

problemas de subtrao so mais difceis para os alunos do que os problemas

aditivos, mas isso no necessariamente corresponde verdade, sendo

necessrio que o professor apenas atente didtica correta para que os alunos

entendam os dois tipos de problemas como sendo similares.

Pense nos seguintes exemplos:

- Joo deu 6 figurinhas a Jos e ainda ficou com 10 figurinhas. Quantas

figurinhas Joo tinha inicialmente?

Paulo tinha 10 figurinhas. Ele deu 6 figurinhas a Pedro. Com quantas

figurinhas ele ficou?

O primeiro problema resolvido por adio e se apresenta como

mais difcil do que o segundo, que resolvido por uma subtrao. E no

devemos estigmatizar a subtrao como sendo algo mais difcil.

A adio e a subtrao esto intimamente relacionadas, pois, para

calcular mentalmente 40-26, por exemplo, alguns alunos recorrem subtrao de

decompor o nmero 26, subtrair primeiro 20, e depois 6. Outros pensam no

nmero que se deve juntar a 26 para se ter 40, recorrendo assim a umprocedimento aditivo.

Dentre as situaes envolvendo adio e subtrao, podemos destacar

quatro grupos:

1) Situaes associadas ideia de combinao de dois estados para se

obter um terceiro, mais comumente identificada como uma ao de juntar.

Exemplo:


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Em uma classe h 10 meninos e 12 meninas. Quantas crianas h na

classe?

Nessa situao, possvel formular outras mudando-se a pergunta. As

novas situaes so identificadas como aes de separar ou tirar.

Exemplo:

Em uma classe h meninos e 12 meninas, no total temos 28 alunos.

Quantos meninos h na classe?

Em uma classe com 28 alunos no total, 15 so meninos. Quantas

meninas h nessa classe?

2) Situaes ligadas ideia de transformar, ou seja, alterar um estado

inicial.

Exemplos:

Pedro tinha 10 figurinhas. Ele ganhou 5 figurinhas no jogo. Quantas

figurinhas ele tem agora? transformao positiva.

Paulo tinha 27 figurinhas e ele perdeu 20 num jogo. Quantas figurinhas

ele tem agora? transformao negativa.

Cada uma destas situaes pode dar origem a outras:

Pedro tinha algumas figurinhas e ganhou 15 no jogo, ficando com 25.

Quantas figurinhas ele possua?

Joo tinha 16 figurinhas e ganhou algumas. Ficou com 26. Quantas

figurinhas Joo ganhou?

No comeo de um jogo, Pedro tinha algumas figurinhas e no decorrer

do jogo ele perdeu 10, terminando o jogo com 12 figurinhas. Quantas figurinhas

ele tinha no incio do jogo?

No comeo de um jogo, Paulo tinha 22 figurinhas. Ele terminou o jogo

com 9 figurinhas. O que aconteceu durante o jogo?

3) Situaes ligadas ideia de comparao:

Exemplo:


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Com essa interpretao, define-se papis diferentes para o multiplicando

e para o multiplicador, no sendo possvel trocar um pelo outro. No exemplo

dado, no se pode trocar o nmero de comprimidos pelo nmero de dias. Saber

distinguir qual o valor que se repete de qual o valor que representa o nmero de

repeties um aspecto importante para a resoluo dessas situaes.

Embora matematicamente a x b = b x a, nesse contexto que foi analisado

(dos comprimidos) isso no ocorre. A pessoa no poderia tomar 6 comprimidos

por 3 dias, embora o resultado ainda fosse 18 comprimidos. O professor deve ser

capaz de mostrar aos alunos que a propriedade comutativa existe, porm,

necessita de um contexto para fazer sentido, seno estaremos lidando

meramente com nmeros e matemtica pura, no aplicada.

Assim como foi visto no caso da adio e da subtrao, ressalta-se a

importncia de se trabalhar em conjunto problemas que explorem a multiplicao

e a diviso, j que h estreitas relaes entre as situaes que os envolvem.

Dentre as situaes de multiplicao e diviso, podemos destacar quatro

grupos:

1) Situaes associadas multiplicao comparativa.

Exemplos:

Paulo tem R$ 6,00 e Lara tem o dobro dessa quantia. Quanto tem

Lara?

Maria tem 8 selos e Joaquim tem 4 vezes mais selos que Maria.

Quantos selos tem Joaquim?

Dessas situaes de multiplicao comparativa, podemos formularsituaes que envolvam diviso.

Exemplo:

Lara tem R$ 20,00. Sabendo-se que ela tem o dobro de Pedro, quanto

tem Pedro?

2) Situaes associadas a comparao entre razes (proporcionalidade)


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(P, R) (P, A) (P, C) (B, R) (B, A) (B, C)

Esse resultado do nmero de combinaes possveis evidencia um

conceito matemtico importante, o de produto cartesiano.

Nesse exemplo a interpretao no diferencia os termos iniciais.

Combinar as saias com as blusas o mesmo que combinar as blusas com as

saias e isso pode ser expresso por 2 x 3 = 3 x 2.

A ideia de combinao tambm se faz presente em situaes

relacionadas com diviso:

Numa festa foi possvel formar 16 casais diferentes para a dana. Se

haviam 4 moas e todos os presentes danaram, quantos eram os rapazes?

Os alunos solucionam frequentemente esse tipo de problema por meio de

tentativas e erros, apoiadas em procedimentos multiplicativos, representando

graficamente o raciocnio:

Um rapaz e 4 moas formam 4 pares.

Dois rapazes e 4 moas formam 8 pares.

Trs rapazes e 4 moas formam 12 pares.

Quatro rapazes e 4 moas formam 16 pares.

Pode-se concluir que tais problemas cumprem importante papel no

sentido de propiciar oportunidades para as crianas de interagirem com os

diferentes significados das operaes. Isso as leva a reconhecer que um mesmo

problema pode ser resolvido por diversas operaes, bem como uma mesma

operao pode estar associada a diferentes problemas.

Operaes com Nmeros Racionais

Muitos dos significados das operaes que envolvem nmeros naturais

podem ser estendidos aos nmeros racionais.

Assim como a adio e a subtrao so trabalhadas em situaes de

transformao, combinao e comparao, tambm a multiplicao e a diviso


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so trabalhadas em diferentes situaes, como a razo, a comparao e a

configurao retangular.

Por exemplo diante da situao:

- Qual o permetro de uma figura retangular de 13,2 cm de um lado e

7,7 cm de outro?

O aluno pode recorrer a uma estimativa calculando um resultado

aproximado 2 x 13 + 2 x 8 que lhe daria uma boa referncia

para conferir o resultado.

A compreenso de deslocamento da vrgula para a direita ou para a

esquerda nos nmeros decimais pode ser facilitada se os alunos souberem

divizo e multiplicao mental por 10, 100 e 1000.

O clculo de porcentagem deve ser explorado de forma superficial nos

primeiros ciclos e aprofundado nos demais, com a apresentao de tcnicas

convencionais. Partindo da expresso dez por cento, o aluno pode calcular 35%

de 120, achando 10% de 120 (12) e 5% de 120 (6) e adicionando as parcelas 12

+ 12 + 12 + 6 = 42.


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REFERNCIAS

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