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CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 17 (01): 1201.1-17 2019

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MÉTODOS DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA:

BAYESIANISMO QUÂNTICO (QBISM) E MECÂNICA QUÂNTICA

DIFUSA (FUZZY)

METHODS OF RESEARCH IN MATHEMATICAL EDUCATION: QUANTUM BAYESIANISM (QBISM) AND

FUZZY QUANTUM MECHANICS (FUZZY)

Péricles César de Araujo1 e Sonia Barbosa Camargo Igliori2

1Doutor em Educação Matemática PUC-SP. Docente da UEFS, Endereço para correspondência Av.

Transnordestina, S/N-Novo Horizonte, UEFS-DEXA, CEP-44036-900 E-mail: [email protected].

2Doutora em Matemática PUC-SP. Docente do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da

PUC-SP. Endereço para correspondência: Rua Marquês de Paranaguá, 111 - Prédio 1 - 2º andar – Consolação,

CEP- 01303-050. E-mail: [email protected].

Em 2001, um grupo de pesquisadores começou a desenvolver um modelo para eliminar os paradoxos quânticos ou

coloca-los numa forma menos inquietante. O modelo, conhecido como bayesianismo quântico ou simplesmente

QBism, reescreve a entidade que vive no centro da estranheza quântica – a função de onda. Uma metáfora, um

modelo semelhante a esse, foi construído por meio de uma metodologia de pesquisa desenvolvida no âmbito da

Educação Matemática que avalia o uso de métodos mistos (qualitativos e quantitativos) para poder ampliar o grau de

confiabilidade dos resultados. O objetivo é refletir sobre a problemática de combinação de métodos de pesquisa,

tendo em vista a variabilidade e a imprecisão dos dados dessa área de investigação. Tradicionalmente a variabilidade,

aspecto aleatório dos dados, é analisada por meio de métodos quantitativos utilizando a Estatística Clássica, e a

imprecisão é geralmente analisada por meio de métodos qualitativos. A proposta deste artigo é apresentar uma

combinação de métodos utilizando a Estatística Bayesiana, Bayesianismo Quântico (QBism) e a Lógica dos

Conjuntos Difusos, evidenciando possíveis vantagens da mesma. Palavras chave: Pesquisa em Educação Matemática, Método Estatístico Bayesiano, Bayesianismo Quântico

(QBism), Conjuntos Difusos.

In 2001, a group of researchers began to develop a model to eliminate quantum paradoxes or put them in a less

disturbing form. The model, known as the quantum Bayesian or simply QBism, rewrites the entity that lives at the

center of quantum strangeness - the wave function. A metaphor, a model similar to this one, was constructed through

a research methodology developed in Mathematics Education which evaluates the use of mixed methods (qualitative

and quantitative) to increase the degree of reliability of the results. The objective is to reflect on the problem of

combining research methods, considering the variability and imprecision of the data of this area of research.

Traditionally the variability, random aspect of the data, is analyzed by means of quantitative methods using the

Classical Statistics, and the imprecision is usually analyzed through qualitative methods. The proposal of this paper is

to present a combination of methods using Bayesian Statistics, Quantum Bayesian (QBism) and the Logic of Fuzzy

Sets, evidencing possible advantages of the same.

Key words: Research in Mathematical Education, Bayesian Statistical Method, Quantum Bayesianism (QBism),

Fuzzy Sets.

1. INTRODUÇÃO

O Método Bayesiano e a Lógica dos Conjuntos Difusos, metodologias utilizadas no

desenvolvimento da tese de Araújo (2013), também, foi utilizado alguns conceitos desenvolvidos no

âmbito da Mecânica Quântica para justificar a combinação de métodos de pesquisa, tendo em vista a

incerteza, ou seja, a variabilidade e a imprecisão dos dados observados na pesquisa em Educação

Matemática. Por exemplo, o princípio da incerteza de Haisenberg, utilizado em Araújo (2013), um

princípio desenvolvido na Mecânica Quântica, isto é, algumas quantidades não podem ser conhecidas

simultaneamente. E ainda levamos em conta o princípio da incerteza de Heisenberg, Moraes e Torre

(2004, p. 27) que afirmam:

Associando o princípio da incerteza às descobertas relacionadas ao princípio da

complementaridade onda/partícula formulado por Niels Bohr, que explicou a natureza

complementar da matéria e a existência de superposição de estados quânticos, a física

mailto:[email protected]

Araújo e Igliori CADERNO DE FÍSICA DA UEFS 17 (01): 1201.1-17, 2019

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quântica reforçou ainda mais a impossibilidade de se determinar como uma situação

experimental se apresentará até o momento da interferência do observador.

Descobriu-se que o cientista já não podia distanciar-se do objeto para descrever os

mecanismos da natureza e que não era possível se eliminar o observador, mas sim

reintegrá-lo em sua intersubjetividade e restabelecer o seu diálogo com a natureza.

Como o Método Bayesiano, recentemente, vem sendo utilizado na Mecânica Quântica. Assim,

inicialmente, este artigo vai partir dessas constatações, observadas em Araújo (2013), também,

considerando Baeyer (2013, p 40):

Em 2001, um grupo de pesquisadores começou a desenvolver um modelo para

eliminar os paradoxos quânticos ou coloca-los numa forma menos inquietante. O

modelo, conhecido como bayesianismo quântico ou simplesmente QBism, reescreve a

entidade que vive no centro da estranheza quântica – a função de onda.

Como a função de onda, representada por uma função de para qualquer instante , é o

centro da estranheza quântica. Dessa maneira, temos que definir a função de onda, de acordo com Baeyer

(2013), por meio de uma expressão matemática que descreve as propriedades do elétron. De uma maneira

convencional e considerando que a equação de Schrödinger que determina a para qualquer

tempo futuro, Griffiths (2011, p.2) apresenta a interpretação estatística:

Mas o que é exatamente essa ‘função de onda’ e o que ela faz por você quando

obtida? Afinal, uma partícula, por natureza, está localizada e um ponto, enquanto a

função de onda (como seu nome sugere) está distribuída no espaço (é uma função de

, para qualquer instante dado ). Como tal objeto representa o estado de uma

partícula? A resposta é fornecida pela interpretação estatística de Born sobre a

função de onda é a probabilidade de encontrar a partícula no ponto , no

instante , ou, amis precisamente,

Com a definição da função de onda , por meio de Griffithes (2011, p.11-15), o valor esperado

e comprimento da onda está relacionado como momento da partícula

por meio da fórmula de Broglie , constante de Planck. Esses resultados, podemos apresentar

quantitativamente o princípio da incerteza de Heisenberg, ou seja, , onde é o desvio-padrão

em (posição de uma partícula), e é o desvio-padrão em (momento ), ou seja, essa

desigualdade indica que sistemas identicamente preparados não produzem resultados idênticos.

Na abordagem de Araújo (2013), este estudo insere-se nas investigações sobre metodologia de

pesquisa em Educação Matemática entre aquelas que avaliam que o uso de métodos mistos (qualitativo e

quantitativo) pode ampliar o grau de confiabilidade dos resultados de uma particular metodologia, a

Engenharia Didática interpretada com uma Estatística Bayesiana. Baeyer (2016, p.131) afirma que:

Simplesmente, a principal tese do QBism é que as probabilidades quânticas são medidas numéricas dos

graus de crença. Nesse sentido, a partir de Baeyer (2013), a proposta é a de refletir sobre uma nova

realidade física, por meio do Bayesianismo Quântico ou simplesmente QBism (Quantum Bayesianism),

uma Estatística Bayesiana.

Quanto à combinação de métodos vale destacar o que consideram Strauss e Corbin (2008, p. 40).

Dizem eles: a combinação de métodos pode ser feita por razões suplementares, complementares,

informativas, de desenvolvimento e outras. A proposta apresentada neste artigo se sustenta em duas

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dessas razões: a de desenvolvimento e a de complementação. O desenvolvimento está proposto segundo a

perspectiva da metáfora conceitual de Lakoff e Johnson (2003) levando-se em consideração as críticas de

Otte (2008). E a ideia de complementaridade está em conformidade com os argumentos da Otte (2003).

No que se refere à pertinência do uso da metáfora, apoiamo-nos nas considerações de Leite (2010) sobre a

notável evolução de sua concepção culminando mesmo com o reconhecimento de sua função

epistemológica para ciência e para a matemática, com está ilustrado na Figura 1.

Figura 1: Metáfora e Matemática – distanciamentos e aproximações

Fonte: Leite (2010, p.100)

É fato de que a variabilidade, aspecto aleatório dos dados, é tradicionalmente analisada nas

pesquisas da Educação Matemática utilizando-se a Estatística Clássica, e a imprecisão dos dados é

geralmente analisada por meio de métodos qualitativos. Neste artigo propomos duas alterações

fundamentais: a utilização da Estatística Bayesiana para abordar a variabilidade ou aspecto aleatório, e da

Lógica dos Conjuntos Difusos para tratar a imprecisão. Isso se justifica, pois, a Estatística Bayesiana é

uma teoria que tem como base a definição subjetiva de probabilidade, atualizada por meio do Teorema de

Bayes. Assim, a Estatística Bayesiana, torna-se um suporte teórico para um método quantitativo na

análise da variabilidade dos dados, levando em conta também os aspectos subjetivos que envolvem a

pesquisa na área da Educação Matemática.

A Lógica dos Conjuntos Difusos tem como base a generalização da relação de pertinência

elementos / conjunto, essa lógica é adequada para tratar a imprecisão dos dados, porque os objetos

observados, no âmbito da pesquisa em Educação Matemática, não satisfazem de modo preciso aos

critérios de pertinência da Teoria Clássica de Conjuntos. Nesse sentido, Granik e Caulfield (2001)

mostram que a Mecânica Quântica pode ser considerada como uma Mecânica Difusa cuja lógica

subjacente é a Difusa, em contraste com a Lógica Clássica. Assim, os argumentos da Mecânica Clássica

podem ser vista como um limite nítido, ou seja, como uma Lógica Clássica com dois resultados possíveis:

. Enquanto, os argumentos da Mecânica Quântica são vistos com uma Lógica Difusa: .

Também com base nessas considerações, Granik e Caulfield (2001) afirmam que é possível chegar à

equação de Schroedinger diretamente da equação de Hamilton-Jacobi.


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Reconhecemos essa importância e, numa perspectiva complementar, indicamos que a Estatística

Bayesiana não se atém apenas aos dados, isso porque é baseada na interpretação subjetiva de

probabilidade. Assim sendo também leva em consideração o ponto de vista do pesquisador, formalizando

o argumento de Kant, conhecimento nunca se dá de maneira neutra, isto é, como relação ao pesquisado a

substituição do adjetivo “observador” pela palavra “participante” (CAPRA, 2011, p. 150).

2. LÓGICA DIFUSA (FUZZY): A COMPLEMENTARIDADE ENTRE PROBABILIDADE E

GRAU DE ASSOCIATIVIDADE

As aplicações operacionais das Teorias Objetivas, Popper (2003 e 1993) estão associadas à

Estatística Clássica enquanto as Teorias Subjetivas têm aplicações operacionais nos Métodos Estatísticos

Bayesianos (PAULINO et al, 2003). A Estatística Clássica é caracterizada, no âmbito, das Ciências

Sociais como um procedimento expresso por fórmulas matemáticas e dados observados; isto é, uma

coleção de ferramentas misteriosas.

Métodos Estatísticos Bayesianos são fundamentados no Teorema de Bayes que revisa as

estimativas de probabilidade inicias. Segundo Lakatos (1999, p.99), o Método Bayesiano é

revolucionário. Os Métodos Estatísticos Bayesianos preservam aspectos de falseacionismo sofisticado ou

metodológico, segundo Popper, Lakatos e Gelman, e revisão de probabilidades, segundo Bayes e Kuhn.

Os problemas observados, no âmbito das Ciências Humanas, em particular na Educação Matemática, são

de natureza interdisciplinar. Portanto, adequados aos Métodos Bayesianos que cada vez mais são

utilizados nas soluções de problemas com tais caracterizações, possibilitando, assim, responder à questão

de relevância científica nas análises, como proposto por Popper, e não tornar a análise estatística somente

uma coleção de ferramentas.

Os conjuntos difusos são conjuntos cujos elementos têm graus de associativismo. Nos conjuntos

não difusos a relação de pertinência de elementos a um conjunto é binária, isto é, o elemento pertence ou

não ao conjunto, enquanto que na teoria de conjuntos difusos há uma avaliação gradual da pertinência do

elemento ao conjunto. A Lógica de Conjunto Difuso, ou simplesmente Lógica Difusa, tem como objetivo

representar o pensamento humano, ou seja, uma representação mais aproximada, ou melhor, ligar à

linguística e à inteligência humana, porque muitos conceitos são melhores definidos por palavras ou como

Zadeh (1995) definiu, variáveis linguísticas.

A partir da noção de conjuntos difusos Zadeh vai estender o conceito de probabilidade para um

evento difuso (fuzzy). Ele diz que nas experiências do dia a dia com frequência encontram-se situações

para as quais um “evento” é antes difuso do que um conjunto de pontos bem delimitados. E exemplifica

com os eventos em que há imprecisão nos significados das palavras e, portanto, difusos: “É um dia

quente” “x é aproximadamente igual a 5”, “em vinte jogadas de uma moeda há mais caras que coroas”

(ZADEH, 1968, p.421). Para Zadeh a extensão dos conceitos de evento e probabilidade para os conjuntos

difusos alarga o campo de aplicações da teoria das probabilidades.

A complementaridade foi definida em Bohr (1995) introduzindo a ideia de que: a natureza

humana é dotada de duas imagens assim com a onda e a partícula, elas são consideradas aspectos

complementares da matéria.


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Otte (2003) interpreta essa definição de Bohr no âmbito da Educação Matemática, indicando que

a complementaridade faz referência a símbolos e conceitos, em um duplo sentido, que se reajustam

reciprocamente que se integram para capturar os aspectos essenciais do desenvolvimento cognitivo e

epistemológico do conhecimento científico e conceitos matemáticos.

Zadeh (1995) propõe que a Lógica do Conjunto Difuso não é concorrente à Teoria de

Probabilidades, mas complementar. Para este estudo nos interessa essa perspectiva a da

complementaridade na combinação de probabilidade com a intensidade de pertinência. O universo da

pesquisa na Educação Matemática é caracterizado por uma acentuada heterogeneidade, dessa forma, faz

sentido uma partição difusa deste universo, em que cada dado, informação ou indivíduo pode ser membro

parcial de mais de um subconjunto deste universo (SULEMAN, 2009).

Na Lógica do Conjunto Difuso define-se a função associativismo, uma função que assume

valores no intervalo [0; 1], grau de pertinência. Não se trata de uma probabilidade, representa sim, uma

medida matemática da proporção da intensidade de pertinência.

Por outro lado, no Cálculo de Probabilidade há função de densidade de probabilidade que é

diferente da função associativismo, porque mede o grau de incerteza de tal pertinência. Outra diferença

entre a função de densidade de probabilidade e a função de associativismo, do ponto de vista matemático,

é que a função de densidade de probabilidade é normalizada. Normalizar é multiplicar por uma constante,

para que a área da região limitada pelo eixo das abscissas e a curva de densidade de probabilidade, seja 1.

Com isso, a função f de densidade de probabilidade satisfaz: a) , b)

.

Segundo Ragin (2000), os cientistas sociais enfrentam um dilema, quando realizam pesquisa

social, quanto ao método de pesquisa diretamente relacionado tanto à profundidade quanto à amplitude do

método. Os métodos de pesquisa qualitativos têm a propriedade da profundidade, enquanto os métodos

quantitativos a propriedade da amplitude. Ragin (2000) considera que o método de pesquisa etnográfico,

um método qualitativo para determinara a dimensão sócio – cultural da Educação Matemática, conforme

Gurgel (2012, p.1), é uma estratégia de profundidade. Nesse sentido, por meio da lógica difusa (fuzzy),

Spagnolo (2003) tenta compreender como é possível analisar e estudar os fenômenos do

ensino/aprendizagem da Matemática em situação multicuturais.

2.1 Lógica Difusa (Fuzzy) e Mecânica Quântica

Segundo Granik e Caulfied (1996), é possível mostra que a Mecânica Quântica pode ser

considerada como o que poderíamos chamar de uma mecânica "difusa" cuja lógica subjacente é a difusa,

em contraste com a lógica clássica "nítida". Portanto, a mecânica clássica pode ser vista como um limite

nítido de uma mecânica quântica “difusa”. Com base nessas considerações, é possível chegar à equação

de Schroedinger diretamente da equação de Hamilton-Jacobi. O elo entre essas equações é baseado no

fato de que uma trajetória única (“nítida”) de uma partícula clássica emerge de um continum de possíveis

caminhos entrando em colapso para uma única trajetória de acordo com o princípio da menor ação. Isto

pode ser interpretado como uma conseqüência de uma suposição de que uma "partícula" quântica "reside"

em cada caminho do contínuo de caminhos que colapsam em uma única trajetória (única) de um

movimento clássico observado. Uma função de onda é então tratada como uma função que descreve uma


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entidade determinística que possui um caractere difuso. Como consequência de tal interpretação, o

princípio da complementaridade e a dualidade onda-partícula podem ser abandonados em favor de um

micro objeto, determinístico difuso.

3. A ENGENHARIA DIDÁTICA CLÁSSICA, MÉTODO DA ESTATÍSTICA BAYESIANA E

BAYESIANISMO QUÂNTICO (QBISM)

A teoria da Engenharia Didática, um método qualitativo de pesquisa criado no âmbito da

Educação Matemática, foi elaborada numa analogia entre as ações da Didática da Matemática e do

trabalho de um Engenheiro. Isto é,

A noção de engenharia didática emergiu em didática da matemática no início dos anos

1980. Tratava-se de etiquetar com esse termo uma forma do trabalho: aquele

comparável ao trabalho do engenheiro que, para realizar um projeto preciso, se apoia

sobre os conhecimentos científicos de seu domínio, aceita submeter-se a um controle

de tipo científico, mas, ao mesmo tempo, se encontra obrigado a trabalhar sobre

objetos muito mais complexos que os objetos depurados da ciência e, portanto de se

atacar, praticamente com todos os meios que ele dispõe problemas que a ciência não

deseja ou não pode ainda se encarregar. (ARTIGUE, 1988, p. 283).

Ross e Onwuegbuzie (2012) propõem que pesquisadores em Educação Matemática poderiam

usar dados qualitativos na análise estatística, de maneira complementar. Considerando a definição de

Artigue(1988) e de forma complementar, Araújo e Igliori (2010) construiram um exemplo de método

misto, isto é, uma agregação do método quantitativo ao método qualitiativo da Engenharia Didática.

Neste item, o foco de interesse é a Engenharia Didática Clássica como uma metáfora conceitual

do Método Estatístico Bayesiano, conforme:

[...]metáfora na Matemática e na Educação Matemática, partindo da premissa de que

muitas equações A=B são metáforas, isto é, são construções teóricas somente

possíveis de serem concebidas a partir de uma perspectiva particular e inusitada de

estabelecimento de semelhança entre desiguais, de modo que a criatividade

matemática consiste em representar um objeto A como um outro objeto B para, desta

maneira, resolver um problema. Discutir a representação e comunicação com foco na

metáfora pode contribuir para uma compreensão diferente de como se desenvolvem as

idéias matemáticas, as particularidades de sua gênese, e particularmente o modo como

se dá a intercomunicação de tais idéias em contextos educativos. (LEITE E OTTE,

2010, p.87)

A Estatística Bayesiana é uma teoria que tem como base a definição subjetiva de probabilidade

que é atualizada por meio do Teorema de Bayes. O Teorema de Bayes para variáveis aleatórias discretas

por Bussab e Morettin (2002, p.311): Suponha que tenha os valores com probabilidades

a priori ; independente da experiência ou das informações dos

dados obsevados. Chamamos de a nova informação sobre , que é obtida de um modelo discreto. Então

o teorema de Bayes pode ser escrito:

, .

Então, temos é uma constante de normalização, as verossimilhanças

dependentes da experiência ou das informações dos dados observados são , e as

probabilidades a posteriori determinadas pelo teorema de Bayes são . Obtida


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essa distribuição a posteriori de , dada a nova informação da observação , podemos, por exemplo,

estimar como sendo a média dessa distribuição ou a moda (o valor que maximiza ).

Schoner(2000) afirma que Kant expressa uma ideia muito semelhante a de Bayes, na medida em

que postula que tem de haver alguma habilidade a priori, intelectual ou conhecimento, a fim de adquirir

novos conhecimentos a partir da observação.

Do ponto de vista de Gelman(2011), a abordagem clássica ou frequentista da estatística, em que

a inferência é centrada nos testes de hipóteses, está associada a uma filosofia em que a ciência é dedutiva

e segue doutrina de Popper de falsificação.

A inferência bayesiana é comumente associada com o raciocínio indutivo e com a ideia de que

um modelo pode ser destronado por um modelo concorrente, mas nunca pode ser diretamente falsificada

por um teste de significância. Gelman(2011) considera incorretos os argumentos que fazem associações

da inferência bayesiana só com o raciocínio indutivo, o que foi prejudicial à prática da Estatística

Bayesiana. Por meio de sua experiência, no uso e desenvolvimento de Métodos Bayesianos na área social

e ciências ambientais, Gelman(2011) tem encontrado maneiras para verificação do modelo e falsificação,

segundo Popper.

A distribuição a priori e a distribuição a posteriori são os fundamentos do Método Bayesiano.

Assim como análise a priori e análise a posteriori são os fundamentos da Engenharia Didática Clássica.

Também, podemos observar as considerações sobre análise a priori e análise a posteriori.

O aspecto subjetivo dos dois paradigmas, Método Bayesiano e a Engenharia Didática Clássica,

como os seus fundamentos distribuição a priori e a distribuição a posteriori e análise a priori e análise a

posteriori, respectivamente, são elementos semelhantes nos dois métodos. No âmbito da Estatística

Baysiana, há criticas ao Método Bayesiano Empírico porque é um método que utiliza dados empíricos

para determinar a distribuição a priori, informações externas. Como afirma Artigue (1988), a validação

da Engenharia Didática Clássica é essencialmente interna, fundada no confronto da análise a priori da

análise a posteriori. Neste sentido o a Engenharia Didática Clássica, também, critica o uso do método

empírico, mais um ponto de semelhança entre a Engenharia Didática Clássica e Método Bayesiano.

Observamos, também, que a Engenharia Didática Clássica expressa uma ideia que está de acordo

com os argumentos de Kant, assim como Kant expressa uma ideia muito semelhante aos argumentos de

Bayes, como afirma Schoner(2000). Portanto, há um vínculo de similaridade semântica entre os

fundamentos do Método Bayesiano e a Engenharia Didática Clássica. Portanto, consideramos que a

Engenharia Didática Clássica é uma metáfora conceitual segundo o que apresenta Leite (2010):

Nesse sentido, segundo a teoria da metáfora conceitual, “a essência da metáfora é

compreender e experienciar uma coisa em termos de outra” (LAKOFF & JOHNSON,

2002, p. 48) a partir de uma rede conceitual, que lembra um mapeamento ou um

morfismo entre coisas distintas. (LEITE 2010, p. 71-72)

Assim, observamos que a Engenharia Didática Clássica, com relação ao Método Bayesiano, é

uma metáfora conceitual porque a Engenharia Didática Clássica é potencial heurístico, pois pode agregar

aspectos da inferência do Método Bayesiano, no sentido de Leite (2010, p. 58) quando observa: [...]

potencial heurístico proporciona à metáfora uma importância cognitiva, visto que ela se torna relevante

para a geração de um novo conhecimento.


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Os aspectos subjetivos dos dois métodos nos remetem a teoria do conhecimento de Kant, que o

conhecimento nunca se dá de maneira neutra, como afirma Silveira (2002):

A teoria do conhecimento de Kant – a filosofia transcendental ou idealismo

transcendental ou idealismo transcendental – teve como objetivo justificar a

possibilidade do conhecimento científico dos séculos XVII e XVIII. Ela partiu da

constatação de que nem o empirismo britânico, nem o racionalismo continental

explicavam satisfatoriamente a ciência. Kant mostrou que, apesar de o conhecimento

se fundamentar na experiência, esta nunca se dá de maneira neutra, pois a ela são

impostas as formas a priori da sensibilidade e do entendimento, características da

cognição humana. (SILVEIRA 2002, p.28)

Da mesma forma que a Engenharia Didática Clássica, a Mecânica Quântica, segundo Baeyer

(2013), também, pode ser interpretada com uma Estatística Bayesiana por conta do aspecto subjetivo da

função de onda , isto é, a função de onda não tem uma realidade objetiva, segundo Baeyer (2013, p.40):

Na visão quântica convencional um objeto como um elétron é representado por uma

função de onda – expressão matemática que descreve suas propriedades. Para prever o

comportamento do elétron é preciso calcular a evolução temporal da sua função de

onda. O resultado do cálculo nada mais é que a probabilidade de o elétron ter uma

determinada propriedade (como está em um local, e não em outro). Mas surgem

problemas quando se considera a função de onda real.

Combinando as teorias quântica e probabilidade, o QBism propõe que a função de

onda não tem uma realidade objetiva. E ao negar essa realidade descreve a função de

onda como um manual do usuário, mera ferramenta matemática que observador

utiliza para toma decisão mais criteriosa sobre o mundo que o envolve – o mundo

quântico. Mais especificamente, observador utiliza a função de onda para determinar

usa crença pessoal de que um sistema quântico terá determinada propriedade,

pressupondo suas próprias escolhas e ações afetam o sistema com alguma incerteza

intrínseca.

Portanto, conforme Baeyer (2016), abreviatura de Bayesianismo Quântico, o QBism adapta

muitas das características convencionais da Mecânica Quântica à luz de uma compreensão revisada da

probabilidade, por meio, do Teorema de Bayes. A interpretação da probabilidade bayesiana, ao contrário

da probabilidade interpretada como limite de uma frequência relativa (objetiva), é definida como uma

medida numérica do grau de crença coerente (subjetiva) de um observador de um evento futuro que

ocorrerá ou de que uma determinada proposição é verdadeira. As vantagens da interpretação subjetiva de

probabilidade sobre a probabilidade frequentista são que ela é aplicável a eventos singulares, suas

estimativas de probabilidade podem ser atualizadas com base na aquisição de novas informações e podem

incluir, sem esforço, resultados frequentistas. Mas talvez o mais importante, grande parte da estranheza

associada à teoria quântica - a ideia de um átomo pode estar em dois lugares ao mesmo tempo, ou que os

sinais podem viajar mais rápido que a velocidade da luz, ou que o gato de Schrödinger possa estar

simultaneamente morto e vivo dissolve-se sob a lente do QBism.

No artigo de Caves et al (2001) resumem que, apesar de serem prescritas por uma lei

fundamental, probabilidades para sistemas quânticos individuais podem ser entendidas dentro da

abordagem Bayesiana. Argumentamos que a distinção entre probabilidades clássica e quântica não está

em sua definição, mas na natureza da informação que eles codificam. No mundo clássico, a informação

máxima sobre um sistema físico é completa no sentido de fornecer respostas definidas para todas as

possíveis perguntas que podem ser feitas ao sistema. No mundo quântico, a informação máxima não está

completa e não pode ser completada. Usando essa distinção, mostram que qualquer atribuição bayesiana

de probabilidade na mecânica quântica deve ter a forma da regra de probabilidade quântica, que a


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informação máxima sobre um sistema quântico leva a uma atribuição única de estado quântico e que a

teoria quântica fornece uma conexão mais forte entre probabilidade e frequência medida que pode ser

justificada classicamente.

4. MÉTODO ESTATÍSTICO BAYESIANO E A LÓGICA DOS CONJUNTOS DIFUSOS

A variabilidade foi abordada por meio do Método Estatístico Bayesiano, a imprecisão terá como

referencial teórico a Lógica dos Conjuntos Difusos. Neste sentido, considerando Viertl(2011), por meio

do argumento do Método Estatístico Bayesiano com Dados Difuso, podemos atualizar a probabilidade

condicional P(t/e) de Popper, agregando a probabilidade subjetiva e grau de pertinência entre os

elementos de um conjunto. Assim, corrigindo o erro de Popper, propomos uma solução alternativa ao

grau de corroboração, isto é, grau de pertinência por meio do Teorema de Bayes. Singpurwall e Booker

(2004) consideram que há benefícios no uso da Teoria da Probabilidade em Conjuntos Difusos por meio

do Teorema de Bayes porque é uma habilidade que permite lidar com diferentes tipos de incertezas que

podem surgir dentro do mesmo problema. Na Figura 2 está uma representação gráfica da síntese do

estudo apresentado neste artigo.

Figura 2. Dados Observados: Variabilidade e Imprecisão. Método Bayesiano

Fonte: Adaptado Viertl (2011, p.4 ).

4.1 Exemplo de Aplicação

As aplicações de Lógica do Conjuntos Difuso e Método Estatístico Bayesiano têm sido

observadas em várias áreas do conhecimento. Apresentaremos a seguir alguns exemplos de aplicação.

Ragin (2000) considera que as declarações teóricas em pesquisa social, na maioria das vezes

podem ser formuladas como declarações sobre conjuntos. Os métodos qualitativos e quantitativos têm

como propriedades a profundiade e amplitude, respectivamente. Ragin (2000) observa que há um meio

Dados Observados

Variabilidade Imprecisão

Método Estatístico Bayesiano Teoria dos Conjuntos Difusos

Método Estatístico Bayesiano com Dados Difusos


1201.10

termo entre elas e propôs uso de Lógica Difusa ou conjuntos difusos como um caminho alternativo para

análise de dados observados em pesquisas das Ciêncais Sociais.

Spagnolo (2003) tenta compreender como é possível analisar e estudar os fenômenos do

ensino/aprendizagem da Matemática em situação multicuturais.

Spagnolo e Gras (2004) propõem a utilização da Lógica Difusa no âmbito da Análise Estatística

Implicativa. No prefácio da edição digital do 5º Colóquio da A.S.I. (Analyse Statistique Implicative) é

respondida a seguinte pergunta: Análise Estatística Implicativa: uma vez mais, o que é?

Na busca da essência da questão da origem do desenvolvimento da Análise Estatística

Implicativa, Régis Gras e Jean-Claude Régnier consideram que “neste momento (ela)

designa um campo teórico central sobre o conceito da implicação estatística ou mais

precisamente sobre o conceito de quase – implicação para destingi-la da implicação

da lógica de domínio da lógica e da matemática. O estudo da concepção de quase –

implicação e tanto um objeto matemático, dentro de campo das probabilidades e da

estatística, que permitem construir os objetos teóricos que instrumentalizam um

método de análise de dados” (Gras et al (2009, p.6) apud (Régnier et al, 2010, p. 4).

Spagnolo e Gras (2004) consideram importante adequar a Análise Estatística Implicativa a uma

nova epistemologia por meio da representação implicação fuzzy. Essa nova perspectiva está implementada

no software CHIC 3.1. Análise Estatística Implicativa é um método de classificação de dados

fundamentada na Estatística Clássica. Assim, a variabilidade, o aspecto aleatório da incerteza, no âmbito

da Análise Estatística Implicativa, segue a abordagem da Estatística Clássica. A Estatística Clássica está

fundamentada na interpretação de probabilidade por meio da frequência relativa. Por outro lado, Spagnolo

e Gras (2004) propõem utilizar a implicação fuzzy na imprecisão dos dados, o aspecto difuso da incerteza.

Portanto, software CHIC 3.1 utiliza a Estatística Clássica e a implicação fuzzy para fazer a classificação

dos dados por meio de árvores de classificação e grafos de implicação.

Suleman (2009) expõe duas aplicações do Método Estatístico Bayesiano com Dados Difusos,

utilizando a Análise Bayesiana Empírica para dados observados em Portugal. Já foi observado que há

criticas ao Método Bayesiano Empírico porque é um método que utiliza de dados empíricos para

determinar a distribuição a priori. Mas, alguns pesquisadores, como Suleman (2009), utilizam a Análise

Bayesiana Empírica pela facilidade computacional por conta do software GoM desenvolvido pela

DSISOFT (www.dsisoft.com). As duas aplicações apresentadas por Suleman (2009, p. 213-259) são:

acidentes domésticos e perfis de competência bancária. A competência bancária é exemplo que apresenta

alguma relação com a pesquisa em Educação Matemática devido à variável Grau de Escolaridade. A

variável Grau de Escolaridade comporta três categorias: 1: “Formação inferior ao 12º ano”; 2 “Formação

igual ao 12º ano”; 3: “Formação superior ao 12º ano”. Assim, o universo é então particionado em três

classes caracterizadas inicialmente pela formação acadêmica dos seus membros. Suleman (2009) afirma

que:

Os dados analisados não são conclusivos quanto a Educação como promotora de

competências. Os aspectos relativos ao papel da instituição no aproveitamento de

capacidades não puderam ser contabilizados. O debate entre qualificação e

competência mantém assim toda a atualidade. (SULEMAN 2009, p. 258).

4.2 Bayesianismo Quântico (Qbism) e Mecânica Quântica Difusa (Fuzzy)

Este exemplo foi apresentado por Araújo (2013), com o objetivo de usar os resultados

apresentados por meio do Bayesianismo Quântico (Qbism) e Mecânica Quântica Difusa (Fuzzy). Assim,

http://www.dsisoft.com/


1201.11

nesse sentido, será feita uma metáfora conceitual por meio da Figura 3, Gato de Schrödinger: Gato de

Schrödinger é uma experiência mental, frequentemente descrita como um paradoxo, desenvolvida pelo

físico austríaco Erwin Schrödinger, em 1935. O gato está em uma caixa fechada – um pesquisador

apresenta sua a priori - em seguida o pesquisador abre a caixa – dado observado - por meio do Teorema

de Bayes, o pesquisador construiu sua a posteriori. Assim, o Gato de Schrödinger, pode ser considerado

com um experimento bayesiano.

Figura 3: Gato de Schrödinger

Fonte: wikipedia.org

Baeyer (2016, p. 138) afirma que: QBism salva o gato de Schrödinger. Também apresenta uma

descrição desse experimento:

Um gato vivo está trancado em uma caixa junto com um arranjo de Rube Goldberg

que consiste em um contador Geiger, um átomo recém-renderizado radioativo por

bombardeio de nêutro, um martelo e um frasco de gás venenoso. Quando o átomo

decai, como deve acontecer, o contador Geiger clica e emite um sinal elétrico, que

aciona o martelo, que quebra o frasco, que libera o gás, que mata o gato,

instantaneamente e sem dor. Baeyer (2016, p.138)

Arefi et al (2010, p. 3), partir da noção da confiabilidade definida por Lawless (2003, p. 337),

apresentam um exemplo ilustrativo do Método Estatístico Bayesiano com Dados Difusos (Fuzzy),

descrito a seguir. Na Tabela 1 estão indicados os dados observados, os quais representam os tempos de

vida “ Gato de Schrödinger” (em 1000 km) de pastilhas, de freios a discos dianteiros selecionados de

maneira aleatória de um conjunto de 40 carros (mesmo modelo), que foram monitoradas por uma rede de

concessionárias.

Tabela 1- Tempos de vida (em 1000 km) de pastilhas de freios a discos dianteiros

Nº Dado Nº Dado Nº Dado Nº Dado Nº Dado

1 86,2 9 45,1 17 52,1 25 54,2 33 59,0

2 32,4 10 41,0 18 56,4 26 81,3 34 62,4

3 45,5 11 36,7 19 42,2 27 51,6 35 34,4

4 22,7 12 22,6 20 40,0 28 38,8 36 50,2

5 48,8 13 81,7 21 61,5 29 53,6 37 50,7

6 42,8 14 102,5 22 42,7 30 80,6 38 64,5

7 73,1 15 28,4 23 46,9 31 45,9 39 33,8

8 59,8 16 31,7 24 33,9 32 50,6 40 56,7

Fonte: Arefi, et al (2010, p. 3).


1201.12

Suponha que o tempo de vida “Gato de Schrödinger” das pastilhas de freios tem uma função de

densidade de probabilidade exponencial representada por:

com , é a média do tempo de vida das pastilhas de freios. Essa função, também, é utilizada

na Lei de Decaimento Radioativo, segundo Caruso e Oguri (2016, p.282): Em outras palavras, a mudança

de um sistema por emissão radioativa em qualquer instante é sempre proporcional à qualidade da

substância que que compõe o sistema e que permanece inalterada. Logo, uma distribuição exponencial

pode ser utilizada para modelar tempo de vida no âmbito da teoria da confiabilidade ou sobrevivência do

“Gato de Schrödinger”. Segundo Colosimo e Giolo (2006, p.1): Em análise de sobrevivência, a variável

resposta é, geralmente, o tempo até a ocorrência de um evento de interesse. Este tempo é denominado

tempo de falha, podendo ser o tempo até a morte do paciente, bem como até a cura ou recidiva de uma

doença. Portanto, podemos observar que os conceitos confiabilidade e sobrevivência são equivalente, ou

seja, uma metáfora conceitual.

A caixa está fechada, um especialista, apresenta uma a priori “Gato de Schrödinger”, acredita

que o valo de encontra-se no intervalo [40;50] com possibilidade 1, isto é, o gato estará

simultaneamente vivo e morto. Além disso, acredita que é menor do que 40, mas nunca abaixo de 30, o

gato estará vivo. E maior que 50, mas nunca acima de 60, o gato estará morto. Assim, a distribuição

trapezoide de número difuso (fuzzy) modela a opinião a priori do especialista, da seguinte forma:

Essa distribuição a priori modela o “Gato de Schrödinger”, ou seja, vivo, morto/vivo e morto. Só

a Lógica Difusa (Fuzzy) permite esse tipo de modelagem.

Portanto, a possibilidade a posteriori, baseada no produto da T-norma é obtida por:

Com .

Por meio de um método analítico, verificamos uma combinação da Teoria da Probabilidade com

a Teoria da Possibilidade, utilizando o Método Bayesiano. O Método Bayesiano tem uma estrutura que

permite a incorporação de dados difusos, assim, abordando diferentes tipos de incertezas que podem

surgir dentro do mesmo problema. A modelagem da opinião a priori do especialista por meio de uma

distribuição de possiblidade é outra solução para o problema recorrente da determinação prática da


1201.13

distribuição a priori. O problema da determinação na prática da distribuição a priori foi observado por

Paulino et al (2003, p. 76), já citado.

5. CONCLUSÃO

A combinação de métodos não é novidade. Mas o que torna nossa proposta inédita é o fato de

tratar o problema no âmbito da pesquisa em Educação Matemática por meio da sua própria linguagem, a

Matemática, utilizando novas ferramentas, a Lógica dos Conjuntos Difusos e o Método da Estatística

Bayesiana. Nesse sentido, também, verificamos que é possível uma abordagem equivalente na Mecânica

Quântica por meio do Bayesianismo Quântico (QBism) e da Mecânica Quântica Difusa (Fuzzy). Nesta

proposta se considera o aspecto dual dos dados observados no âmbito da pesquisa em Educação

Matemática e na Mecânica Quântica, isto é, a variabilidade e a imprecisão dos dados. Com isso, a Lógica

dos Conjuntos Difusos e o Método da Estatística Bayesiana podem agregar a aspectos quantitativos aos

métodos qualitativos que são utilizados na pesquisa dos fenômenos ou problemas reais da Educação

Matemática e da Mecânica Quântica, problemas caracterizados por representações epistemológicas,

histórico-epistemológicas e comportamentais. Por conseguinte, o Método Estatístico Bayesiano é uma

boa prática estatística que tem interseção com as ideias de Popper, Kuhn e Lakatos. E por fim, reforçamos

que é nossa crença que os argumentos apresentados no artigo, como pretendíamos, podem contribuir com

as reflexões sobre o uso dos métodos mistos na pesquisa da Educação Matemática e na Mecânica

Quântica, assim, a consequente melhoria da confiabilidade dos resultados da pesquisa nessa área.

Portanto, conforme Bayer (2016, p. 225): Mas ainda é cedo. Um dos atributos mais importantes

de uma nova ideia científica é que deve ser heurística, levando a novas pesquisas, inspirando novas ideias

e perguntas.

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