2 Matematica e Raciocinio Logico

MATEMTICA E RACIOCNIO LGICO

Didatismo e Conhecimento 1


1. NUMERAO

Essa imagem mostra todos os conjuntos, sendo

Nmeros Naturais

Os nmeros naturais so o modelo matemtico necessrio para efetuar uma contagem.Comeando por zero e acrescentando sempre uma unidade, obtemos os elementos dos nmeros naturais:

= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, .A construo dos Nmeros Naturais- Todo nmero natural dado tem um sucessor (nmero que vem depois do nmero dado), considerando tambm o zero.Exemplos: Seja m um nmero natural.a) O sucessor de m m+1.b) O sucessor de 0 1.c) O sucessor de 1 2.d) O sucessor de 19 20.

- Se um nmero natural sucessor de outro, ento os dois nmeros juntos so chamados nmeros consecutivos.Exemplos:a) 1 e 2 so nmeros consecutivos.b) 5 e 6 so nmeros consecutivos.c) 50 e 51 so nmeros consecutivos.

- Vrios nmeros formam uma coleo de nmeros naturais consecutivos se o segundo sucessor do primeiro, o terceiro sucessor do segundo, o quarto sucessor do terceiro e assim sucessivamente.

Exemplos:a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 so consecutivos.b) 5, 6 e 7 so consecutivos.c) 50, 51, 52 e 53 so consecutivos.

- Todo nmero natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (nmero que vem antes do nmero dado).Exemplos: Se m um nmero natural finito diferente de zero.a) O antecessor do nmero m m-1.b) O antecessor de 2 1.c) O antecessor de 56 55.d) O antecessor de 10 9.Subconjuntos de Vale lembrar que um asterisco, colocado junto letra que simboliza um conjunto, significa que o zero foi excludo de tal conjunto.

= {1, 2, 3, 4, 5, . }



Nmeros Inteiros

Podemos dizer que este conjunto composto pelos nmeros naturais, o conjunto dos opostos dos nmeros naturais e o zero. Este conjunto pode ser representado por:

= { ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . }Subconjuntos do conjunto :

1) = ,3,2,1, 0, 1, 2, 3, . . 2)+ =0, 1, 2, 3, . 3) = ,3,2,1

Nmeros Racionais

Chama-se de nmero racional a todo nmero que pode ser expresso na forma

, onde a e b so inteiros quaisquer, com b0

Assim, os nmeros 5 = 51 0,33333 . (= 13) so dois exemplos de nmeros racionais.Nmeros Irracionais

Identificao de nmeros irracionais

- Todas as dzimas peridicas so nmeros racionais.- Todos os nmeros inteiros so racionais.- Todas as fraes ordinrias so nmeros racionais.- Todas as dzimas no peridicas so nmeros irracionais.- Todas as razes inexatas so nmeros irracionais.- A soma de um nmero racional com um nmero irracional sempre um nmero irracional.- A diferena de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero racional.-Os nmeros irracionais no podem ser expressos na forma , com a e b inteiros e b0.Exemplo: 5 - 5 = 0 e 0 um nmero racional.- O quociente de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero racional.

Exemplo: 8 : 2 = 4 = 2 e 2 um nmero racional.- O produto de dois nmeros irracionais, pode ser um nmero racional.

Exemplo: 5 . 5 = 25 = 5 e 5 um nmero racional.

Exemplo: radicais( 2,3) a raiz quadrada de um nmero natural, se no inteira, irracional.

Nmeros ReaisA reunio do conjunto dos nmeros irracionais com o dos racionais o conjunto dos nmeros reais.



Exerccios

1) (FCC 2012) Um atleta, participando de uma prova de triatlo, percorreu 120 km da seguinte maneira: 1/10 em corrida, 7/10 de bicicleta e o restante a nado. Esse atleta, para completar a prova, teve de nadar

(A) 18 km.(B) 20 km.(C) 24 km.(D) 26 km.

2)(Pref. Presidente Olegrio-Agente Administrativo 2011) O combustvel usado em automveis numa certa cidade composto de 3/5 de gasolina e 2/5 de lcool. Se o preo do litro de lcool 3/4 do preo do litro de gasolina e este custa R$3,00 cada litro, o preo do litro de combustvel ?

a) R$ 3,20b) R$ 2,58c) R$ 2,70d) R$ 3,28

3) (Pref. Itabaiana-PB 2010) Resolvendo a operao 3(1/2) + 5/3 1/8 se obtm como resultado um nmero real :A) menor que 3,041. B) maior que 3,0417 C) entre 3,041 e 3,04167. D) entre 3,41 e 3,4167. E) menor que 3,0406.

4) O valor de (1/2) + (1/3) + (1/6) :a) 1/11. b) 3/11. c) 5/11. d) 1.

Respostas1)CTotal do percurso:120Corrida: 110120 = 12Bicicleta:

710120 = 84Corrida+bicicleta=12+84=96Nado=1200-96=24km

2)CPara achar o preo do lcool: 34 3 = 94O preo do lcool no combustvel:

94 25 = 1820 = 910Gasolina: 35 3 = 95Portanto o preo do combustvel :

95 + 910 = 18 + 910 = 2710 = 2,7



3)C32 + 53 18Tirando o m.m.c:243624 + 4024 324 = 7324 = 3,04166 4)D12 + 13 + 16 = 3 + 2 + 16 = 66 = 1

2. NMEROS NATURAIS: MLTIPLOS, DIVISORES, DIVISIBILIDADE E RESTOS

Mltiplos e Divisores

Um nmero mltiplo de outro quando ao dividirmos o primeiro pelo segundo, o resto zero.Exemplo10 2 = 512 3 = 4O conjunto de mltiplos de um nmero natural no-nulo infinito e podemos consegui-lo multiplicando-se o nmero dado por

todos os nmeros naturais.

M(3)={0,3,6,9,12,...}

Os nmeros 12 e 15 so mltiplos de 3, portanto 3 divisor de 12 e 15.

D(12)={1,2,3,4,6,12}D(15)={1,3,5,15}Observaes:

- Todo nmero natural mltiplo de si mesmo.- Todo nmero natural mltiplo de 1.- Todo nmero natural, diferente de zero, tem infinitos mltiplos.- O zero mltiplo de qualquer nmero natural.

Divisibilidade

Em algumas situaes precisamos apenas saber se um nmero natural divisvel por outro nmero natural, sem a necessidade de obter o resultado da diviso. Neste caso utilizamos as regras conhecidas como critrios de divisibilidade. Apresentamos as regras de divisibilidade por 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Critrios de divisibilidade

Divisibilidade por 2



Um nmero divisvel por 2 se ele par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.Exemplos: O nmero 5634 divisvel por 2, pois o seu ltimo algarismo 4, mas 135 no divisvel por 2, pois um nmero

terminado com o algarismo 5 que no par.


Um nmero divisvel por 3 se a soma de seus algarismos divisvel por 3.Exemplos: 18 divisvel por 3 pois 1+8=9 que divisvel por 3, 576 divisvel por 3 pois: 5+7+6=18 que divisvel por 3, mas

134 no divisvel por 3, pois 1+3+4=8 que no divisvel por 3.


Um nmero divisvel por 4 se o nmero formado pelos seus dois ltimos algarismos divisvel por 4.Exemplos: 4312 divisvel por 4, pois 12 divisvel por 4, mas 1635 no divisvel por 4 pois 35 no divisvel por 4.


Um nmero divisvel por 5 se o seu ltimo algarismo 0 (zero) ou 5.Exemplos: 75 divisvel por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 no divisvel por 5 pois o seu ltimo algarismo no

0 (zero) nem 5.


Um nmero divisvel por 6 se par e a soma de seus algarismos divisvel por 3.Exemplos: 756 divisvel por 6, pois 756 par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 divisvel por 3, 527 no divisvel por

6, pois no par e 872 par mas no divisvel por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 no divisvel por 3.Divisibilidade por 7

Um nmero divisvel por 7 se o dobro do ltimo algarismo, subtrado do nmero sem o ltimo algarismo, resultar um nmero divisvel por 7. Se o nmero obtido ainda for grande, repete-se o processo at que se possa verificar a diviso por 7.

Exemplo: 165928 divisvel por 7 pois:8x2=1616592-16=16576

Repete-se o processo com este ltimo nmero.6x2=121657-12=1645

Repete-se o processo com este ltimo nmero.5x2=10164-10=154

Repete-se o processo com este ltimo nmero.4x2=815-8=7A diferena divisvel por 7, logo o nmero dado inicialmente tambm divisvel por 7.


Um nmero divisvel por 8 se o nmero formado pelos seus trs ltimos algarismos divisvel por 8.Exemplos: 45128 divisvel por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 no divisvel por 8 pois 321 no divisvel

por 8.




Um nmero divisvel por 9 se a soma dos seus algarismos um nmero divisvel por 9.Exemplos: 1935 divisvel por 9 pois: 1+9+3+5=18 que divisvel por 9, mas 5381 no divisvel por 9 pois: 5+3+8+1=17 que

no divisvel por 9.


Um nmero divisvel por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).Exemplos: 5420 divisvel por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 no termina em 0 (zero).


Um nmero divisvel por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem mpar Si um nmero divisvel por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, ento o nmero divisvel por 11.

Exemplos:

a) 1 3 5 Algarismos de posio mpar (Soma dos algarismos de posio mpar: 4 + 8 + 3 = 15.) 4 3 8 1 3 2 4 Algarismos de posio par (Soma dos algarismos de posio par:3 + 1 = 4)15 4 = 11 diferena divisvel por 11. Logo 43813 divisvel por 11.


Um nmero divisvel por 13 se o qudruplo (4 vezes) do ltimo algarismo, somado ao nmero sem o ltimo algarismo, resultar um nmero divisvel por 13. Se o nmero obtido ainda for grande, repete-se o processo at que se possa verificar a diviso por 13. Este critrio semelhante quele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invs de subtrao.

Exemplo: 16562 divisvel por 13? Vamos verificar.2x4=81656+8=1664Repete-se o processo com este ltimo nmero.4x4=16166+16=182Repete-se o processo com este ltimo nmero.2x4=818+8=26Como a ltima soma divisvel por 13, ento o nmero dado inicialmente tambm divisvel por 13.

Restos das divisesNa aplicao do carter de divisibilidade, o resto da diviso de um nmero qualquer por outro, cujo carter de divisibilidade

conhecemos, ser o mesmo resto encontrado na aplicao do carter pelo divisor considerado.

Exemplo: Qual o resto da diviso de 1938 por 11?

Soluo:Soma dos algarismos de ordem mpar = 9 + 8 = 17Soma dos algarismos de ordem par = 1 + 3 = 417 4 = 13 e 13 dividido por 11 deixa resto 2.



Teoria dos restos

Proposio 1. O resto da diviso de uma soma por um nmero o mesmo que o da diviso da soma dos restos das parcelas por esse mesmo nmero.

Exemplo: Qual o resto da diviso da soma 18 + 27 + 14 por 4?

Soluo:Soma dos restos das parcelas: 2 + 3 + 2 = 7 e 7 deixa resto 3 na diviso por 4. Portanto, o resto da soma de 18 + 27 + 14 por 4 ser 3.

Proposio2. O resto da diviso de um produto por um nmero o mesmo que o da diviso do produto dos restos dos fatores por esse nmero.

Exemplo: Qual o resto da diviso do produto 4735 x 28624 x 74652 por 9?

Soluo:Produto dos restos dos fatores: 1 x 4 x 6 = 24 e 24 deixa resto 6 na diviso por 9. Logo, o resto do produto 4735 x 28624 x 74652

por 9 ser 6.

Exerccios

1) Qual o menor nmero com dois dgitos que somando a 12345 o tornar um nmero divisvel por 9?

2) Um nmero divisvel por 9 e por 5. Se somarmos 315 a este nmero ele ainda continuar divisvel por 9 e por 5?

3) Numa diviso, o divisor 15, o quociente 11 e o resto o maior possvel. Ento o dividendo :a) 151b) 165c) 175d) 179e) 181

4) Qual o menor nmero que devemos subtrair de 61577 para que a diferena seja divisvel ao mesmo tempo por 5 e por 9?

5) Qual o menor nmero que devemos adicionar a 25013 para que a soma seja divisvel ao mesmo tempo por 3 e por 7?

Respostas

1) Somando os algarismos:1+2+3+4+5=15 dividido por 9 d resto 6Devemos encontrar o menor mltiplo de 9 com dois dgitos, que ao ser subtrado de 6, continue com 2 algarismos.Esse nmero o 18-6=12Ento o menor nmero para ser somado o 12.Tirando a prova:12345+12=123571+2+3+5+7=18:9=2

2) Sabemos que se a um nmero divisvel por n, somarmos n ou qualquer um dos seus mltiplos, o nmero resultante continuar sendo divisvel por n. Como 315 tambm divisvel por 5 e por 9, tal soma no afetar em nada a divisibilidade por tais nmeros.

3) Alternativa D

O divisor equivale a 15 e o quociente a 11 e o resto o maior possvel, ou seja, 14.Portanto, 11.15+14=1794) Um nmero que ao mesmo tempo divisvel por 5 e por 9, divisvel tambm por 45.O nmero 61577 seria divisvel por 45 se o resto da diviso fosse igual a zero, como no , o que precisamos fazer ento subtrair

de 61577 este resto, para que ele se torne um nmero divisvel por 45.61577 dividido por 45 igual a 1368, com um resto de 17. Logo: Devemos subtrair 17 de 61577 para que a diferena seja divisvel ao mesmo tempo por 5 e por 9.



5) 25013 dividido por 21, o produto de 3 por 7, igual a 1191, com um resto de 2.Se subtrairmos 2 de 25013, o resultado ser um nmero divisvel por 21, mas o enunciado diz que devemos adicionar e no

subtrair, ento devemos acrescentar 19, que o resultado de 21 2, para obtermos o prximo nmero aps 25013, que assim como ele tambm ser divisvel por 21.

Assim sendo:Devemos adicionar 19 a 25013 para que a soma seja divisvel ao mesmo tempo por 3 e por 7.

3. M.D.C. E M.M.C

Mximo Divisor Comum

O mximo divisor comum de dois ou mais nmeros naturais no-nulos o maior dos divisores comuns desses nmeros.Para calcular o m.d.c de dois ou mais nmeros, devemos seguir as etapas: Decompor o nmero em fatores primos Tomar o fatores comuns com o menor expoente Multiplicar os fatores entre si.

Exemplo: 15 = 3 524 = 2 3O fator comum o 3 e o 1 o menor expoente.m.d.c (15,24) = 3Mnimo Mltiplo Comum

O mnimo mltiplo comum (m.m.c) de dois ou mais nmeros o menor nmero, diferente de zero.Para calcular devemos seguir as etapas: Decompor os nmeros em fatores primos Tomar os fatores comuns e no-comuns com o maior expoente Multiplicar os fatores entre si

Exemplo:Assim, o mmc

Exerccios

1) Uma empresa de logstica composta de trs reas: administrativa, operacional e vendedores. A rea administrativa com-posta de 30 funcionrios, a operacional de 48 e a de vendedores com 36 pessoas. Ao final do ano, a empresa realiza uma integrao entre as trs reas, de modo que todos os funcionrios participem ativamente. As equipes devem conter o mesmo nmero de funcion-rios com o maior nmero possvel. Determine quantos funcionrios devem participar de cada equipe e o nmero possvel de equipes.

2) (PM AC 2012 - Funcab) Sendo D o Maior Divisor Comum entre os nmeros 525 e 1120, e M o Mnimo Mltiplo Comum entre eles, determine o valor de M - 250.D.

A) 8050B) 8750C) 16000D) 16835E) 16765



3) (Funcab -2012). Determine o MDC (Maior Divisor Comum) e o MMC (Mnimo Mltiplo Comum), nesta ordem, dos nmeros 60, 70 e 240.

A) 10 e 210B) 30 e 210C) 10 e 1680D) 15 e 1680E) 30 e 5040 4) (PUCSP) Numa linha de produo, certo tipo de manuteno feita na mquina A a cada 3 dias, na mquina B, a cada 4

dias, e na mquina C, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manuteno nas trs mquinas, aps quantos dias as mquinas recebero manuteno no mesmo dia.

5) Alguns cometas passam pela terra periodicamente. O cometa A visita a terra de 12 em 12 anos e o B, de 32 em 32 anos. Em 2006, os dois cometas passaram por aqui. Em que ano os dois cometas passaro juntos pelo planeta novamente?

Respostas

1) Encontrar o MDC entre os nmeros 48, 36 e 30.

Decomposio em fatores primos: EquipesO nmero de equipes ser igual a 19, com 6 participantes cada uma. 48 = 2 2 2 2 336 = 2 2 3 330 = 2 3 5

(30, 36, 48) = 2 3 = 6Determinando o nmero total de equipes:

48 + 36 + 30 = 114 114: 6 = 19 Equipes

O nmero de equipes ser igual a 19, com 6 participantes cada uma.

2) Alternativa A



Da,16800 250.35 = 16800 8750 = 8050

3) alternativa C

4) Temos que determinar o MMC entre os nmeros 3, 4 e 6.

MMC (3, 4, 6) = 2 * 2 * 3 = 12 Conclumos que aps 12 dias, a manuteno ser feita nas trs mquinas. Portanto, dia 14 de dezembro.

5)

2006+96=2102



4. NMEROS FRACIONRIOS E OPERAES COM FRAES

As fraes pertencem ao conjunto dos nmeros racionais e o uso delas est presente em diversas situaes matemticas.

Fraes EquivalentesPara encontrar fraes equivalentes, multiplicamos o numerador e o denominador da frao por um mesmo nmero natural

diferente de zero.Assim: , 2/4, 4/8, 3/6, 5/10 so algumas fraes equivalentes a 1/2

Simplificando Fraes

Cludio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que frao da pizza ele comeu?Cludio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 equivalente a 2/4. Assim podemos dizer que Cludio comeu 2/4 da pizza.A frao 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da frao 4/8 por 2 veja:4/8 : 2/2 = 2/4Dizemos que a frao 2/4 uma frao simplificada de 4/8.A frao 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter uma frao equivalente dividindo os dois termos da frao por

2 e vamos obter

Tipos de Fraes

a) Frao prpria : aquela cujo o numerador menor que o denominador.Exemplos : 2/3, 4/7, 1/8

b) Frao imprpria: a frao cujo numerador maior ou igual ao denominadorExemplo: 3/2, 5/5

c) Frao aparente: a frao imprpria cujo o numerador mltiplo do denominador

Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7

Representao Fracionria dos Nmeros Decimais

Trata-se do problema inverso: estando o nmero racional escrito na forma decimal, procuremos escrev-lo na forma de frao. Temos dois casos:

1) Transformamos o nmero em uma frao cujo numerador o nmero decimal sem a vrgula e o denominador composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do nmero decimal dado:

0,9 = 910

5,7 = 5710

0,76 = 76100

3,48 = 348100



Operaes com fraes

Adio e Subtrao

A adio ou subtrao de fraes requer que todas as fraes envolvidas possuam o mesmo denominador. Se inicialmente todas as fraes j possurem um denominador comum, basta que realizemos a soma ou a diferena de todos os numeradores e mantenha-mos este denominador comum.13 23 + 53 = 43

Vejamos agora este outro exemplo:

23 + 12 16Nesse caso, devemos achar o MMC.O MMC(2,3,6)=6, ento:

4 + 3 16 = 66 = 1Multiplicao

basta que multipliquemos os seus numerados entre si, fazendo-se o mesmo em relao aos seus denominadores.12 34 = 38Diviso

A diviso de fraes resume-se a inverso das fraes divisoras, trocando-se o seu numerador pelo seu denominador e realizan-do-se ento a multiplicao das novas fraes.23 : 45

Para realizar essa diviso, basta inverter:23 54 = 1012 = 56



Exerccios

1) Um grande depsito foi esvaziado a um tero da sua capacidade e mais tarde, do que sobrou foram retirados trs quartos. Sabe--se que o reservatrio ainda ficou com vinte mil litros de gua. Qual a capacidade total deste reservatrio?

2) Das figurinhas que eu possua, 3/7 eu perdi e 2/5 foram dadas ao meu irmo, ficando 72 delas comigo. Quantas figurinhas foram dadas ao meu irmo?

3) Um assentador de pisos consegue assentar todos os pisos de um salo em 24 horas. Um outro assentador consegue fazer o mesmo trabalho em 21 horas. Trabalhando juntos, conseguem realizar tal trabalho em quantas horas?

4) Para comprar um certo brinquedo, da quantia necessria Joo possui um tero e Maria possui um quarto. Dona Lurdes, a me deles, prometeu completar com os R$ 125,00 que faltam para eles completarem o valor. Quanto custa tal brinquedo?

5) Cinco oitavos de trs stimos do valor de uma multa de trnsito que Zeca p de chumbo recebeu, igual a R$ 75,00. Qual o valor da multa de trnsito referente infrao que Zeca p de chumbo cometeu?

Respostas

1)13 34 . 13 = 11220000112 = 240000 Temos que dividir por 1/12 porque se multiplicarmos, obtemos o que restava.

2) 37 + 25 = 29351 2935 = 635

72 356 = 420420 25 = 168

Foram dadas 168 figurinhas ao meu irmo.

3) 121 + 124 = 556Em uma hora eles conseguem assentar 5/561 565 = 11,2



1 hora-------60 minutos0,2----------xX=12 minutosEles assentam juntos em 11 horas e 12 minutos

4) 1 13 14 = 512125 125 = 300O brinquedo custa R$300,00

5) 75: 58 : 3775 85 73 = 280O valor da multa R$280,00

5. NMEROS DECIMAIS E DZIMAS PERIDICAS

Representao Decimal das Fraes

Tomemos um nmero racional qp

, tal que p no seja mltiplo de q. Para escrev-lo na forma decimal, basta efetuar a diviso do

numerador pelo denominador. Nessa diviso podem ocorrer dois casos:

1) O numeral decimal obtido possui, aps a vrgula, um nmero finito de algarismos. Decimais Exatos:

52

= 0,4

41

= 0,25

435

= 8,75

50153

= 3,06

2) O numeral decimal obtido possui, aps a vrgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente. Decimais Peridicos ou Dzimas Peridicas:

31

= 0,333...

221

= 0,04545...

66167

= 2,53030...



Exemplo 1

Seja a dzima 0, 333... .

Faamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros por 10: 10x = 0,333 Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da segunda:10x x = 3,333... 0,333... 9x = 3 a x = 3/9

Assim, a geratriz de 0,333... a frao 93

Exemplo 2

Seja a dzima 5, 1717... .Faamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .Subtraindo membro a membro, temos:99x = 512 x = 512/99Assim, a geratriz de 5,1717... a frao

99512

Classificando as Dzimas Peridicas em Simples e Compostas

A dzima peridica 0,1535353... composta, pois ela possui um ante perodo que no se repete, no caso o nmero 1, e um perodo formado pelo nmero 53, que se repete indefinidamente. Se fosse apenas 0,535353... teramos uma dzima peridica simples, pois ela possui apenas um perodo, 53, mas no um ante perodo.

Veja abaixo alguns exemplos:

Exemplos de Dzimas Peridicas Simples0,111... perodo igual a 10,252525... perodo igual a 250,010101... perodo igual a 010,123123123... perodo igual a 123

Exemplos de Dzimas Peridicas Compostas0,2333... ante perodo igual a 2 e perodo igual a 30,45222... ante perodo igual a 45 e perodo igual a 20,171353535... ante perodo igual a 171 e perodo igual a 350,32101230123... ante perodo igual a 32 e perodo igual a 0123

Exerccios

1) A dzima peridica simples 0,024024 pode ser escrita como:a) 24/99 b) 24/999 c) 240/299 d) 24/1000 e) 240/1000



2) Resolvendo a expresso

3) Resolva a expresso abaixo, apresentando a resposta na forma mais simples.

4) Tem-se que



5) Dada a dzima x=0,222..., ento o valor da expresso

a)67/103b)65/103c)67/105d)65/104e)67/104

Respostas

1) Alternativa BX=0,024024...1000x=24,024024...Subtraindo:999x=24X=24/999

2) Alternativa AA dizima 0,333... igual a: X=0,333...10x=3,333...9x=3X=1/30,3=3/10

Portanto

3)



4) Alternativa A

Y=0,242424...100x=24,242424...99x=24X=24/99

5) Alternativa AX=0,222...10x=2,222...9x=2X=2/9

SISTEMAS DE UNIDADE, NOTAO CIENTFICA E BASES NO

DECIMAIS

Sistemas de unidade

Para a Fsica como cincia da Natureza, fundamental a medio das grandezas utilizadas para descrever os aspectos do Univer-so que os fsicos aceitam como verdadeiros.

O processo de medida de uma grandeza fsica qualquer est associado ideia de comparao. Neste sentido, medir uma grandeza estabelecer o seu valor como mltiplo de certa unidade. Por exemplo, quando dizemos que o comprimento de uma das dimenses de uma mesa 2 m, estamos dizendo que esse comprimento equivale a duas vezes o comprimento correspondente unidade chamada metro.

O nome da unidade sempre escrito em letras minsculas. Os smbolos das unidades so entes matemticos e no abreviaturas. Por isso, eles no devem ser seguidos de ponto (exceto quando aparecem nos finais de frases) nem da letra s para formar o plural.

A tabela a seguir mostra as unidades de comprimento.



Unidades de Comprimentokm hm dam m dm cm mm

Quilmetro Hectmetro Decmetro Metro Decmetro Centmetro Milmetro1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os mltiplos do metro so utilizados para medir grandes distncias, enquanto os submltiplos, para pequenas distncias. Para medidas milimtricas, em que se exige preciso, utilizamos:

mcron () = 10-6 m angstrn () = 10-10 m

Para distncias astronmicas utilizamos o Ano-luz (distncia percorrida pela luz em um ano):Ano-luz = 9,5 1012 km

Massa

A subunidade grama do gnero masculino. Por isso, ao falar e escrever o quilograma ou seus mltiplos ou submltiplos, de-vemos fazer a concordncia correta. Por exemplo, escrevemos duzentos e um gramas ou trezentos e vinte e dois miligramas. Alm disso, no smbolo do quilograma (kg), a letra k minscula.

Unidades de Massa

kg hg dag g dg cg mg

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

SuperfcieA medida de superfcie sua rea e a unidade fundamental o metro quadrado(m).

Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade cem vezes maior que a uni-dade imediatamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma unidade at a desejada.

Unidades de reakm2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

QuilmetroQuadrado

HectmetroQuadrado

DecmetroQuadrado

MetroQuadrado

DecmetroQuadrado

CentmetroQuadrado

MilmetroQuadrado

1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

Volume

Os slidos geomtricos so objetos tridimensionais que ocupam lugar no espao. Por isso, eles possuem volume. Podemos encon-trar slidos de inmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre outras, mas todos iro possuir volume e capacidade.

Unidades de Volume

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

QuilmetroCbico

HectmetroCbico

DecmetroCbico

MetroCbico

DecmetroCbico

CentmetroCbico

MilmetroCbico

1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3



Capacidade

Para medirmos a quantidade de leite, sucos, gua, leo, gasolina, lcool entre outros utilizamos o litro e seus mltiplos e subml-tiplos, unidade de medidas de produtos lquidos.

Se um recipiente tem 1L de capacidade, ento seu volume interno de 1dm1L=1dm

Unidades de Capacidadekl hl dal l dl cl ml

Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Notao Cientfica

A notao cientfica uma outra forma de escrevermos nmeros reais recorrendo a potncias de 10.

Mantissa e Ordem de Grandeza

Ao escrevermos um nmero em notao cientfica utilizamos o seguinte formato:

Onde o coeficiente a um nmero real denominado mantissa, cujo mdulo igual ou maior que 1 e menor que10 e o expoente b, a ordem de grandeza, um nmero inteiro.

Exemplos de Nmeros Escritos em Notao Cientfica

Para escrevemos o nmero real n em notao cientfica precisamos transform-lo no produto de um nmero real igual ou maior que 1 e menor que 10, por uma potncia de 10 com expoente inteiro.

A mantissa obtida se posicionando a vrgula direita do primeiro algarismo significativo deste nmero.Se o deslocamento da vrgula foi para a esquerda, a ordem de grandeza ser o nmero de posies deslocadas.Se o deslocamento da vrgula foi para a direita, a ordem de grandeza ser o simtrico do nmero de posies deslocadas, ser

portanto negativa.

Veja como fica 2048 escrito na forma de notao cientfica:

2048 foi escrito como 2,048, pois 1 2,048 < 10.Como deslocamos a vrgula 3 posies para a esquerda, devemos multiplicar 2,048 por 103 como compensao.

Veja agora o caso do nmero 0,0049 escrito na forma de notao cientfica:

Neste caso deslocamos a vrgula 3 posies direita, ento devemos multiplicar 4,9 por 10-3. Veja que neste caso a ordem de grandeza negativa.

Bases no-decimais

Para expressarmos quantidades ou para enumerarmos objetos, por exemplo, utilizamos um sistema de numerao. Existem v-rios sistemas de numerao, mas o mais comum e que frequentemente utilizado por ns, o sistema de numerao decimal.

Neste sistema os nmeros so representados por um agrupamento de smbolos que chamamos de algarismos ou dgitos.No sistema decimal contamos com dez smbolos distintos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9



Exemplo:Podemos representar os nmeros da seguinte maneira1300=1 milhar + 3 centenas=1.10+3.1045=4 dezenas+5 unidades=4.10+5.10No entanto, ele no a nica base vlida ou usada.Os computadores utilizam a base 2 ( sistema binrio ).Qualquer sistema de numerao pode ser representado pela seguinte expresso geral:

Na expresso acima, d o nmero do sistema (0,1,2,3...) e b a base do sistema.

Tempo

A unidade fundamental do tempo o segundo(s). usual a medio do tempo em vrias unidades.

Exemplo: 4 dias 13 horas 28 minutos 17 segundos

Mudanas de unidades

Deve-se saber:1 dia=24horas1hora=60minutos1 minuto=60segundos

No exemplo dado, vamos transformar para segundos.A maneira mais simples de resolver fazendo regra de trs:

1 dia------24horas4 dias-----xX=24x4=96horas

96+13=109horas

1hora---60min109------xX=109x60=6540min

6540+28=6568 minutos

1min-----60s6568----xX=6568x60=394080s

Portanto, 394080+17=394097s

Converso sistemas no-decimais para decimais



Como vimos anteriormente, podemos expressar um mesmo nmero em diferentes bases.O nmero 9 na base 10 expressa-se como 1001 na base 2.Isto :

ExemploDa mesma forma, o numeral 2345 na base dez, na base sete ou base seis representa nmeros distintos, mas as regras para realizar

as operaes no mudam com a mudana de base.

Exerccios

1) Em uma estrada havia 9km de congestionamento. Quantos carros estavam em uma nica fila se cada carro ocupa um espao de 4,5m em mdia?

2) Quantos litros cabem em uma caixa dgua de 0,5m?

3) Uma tonelada de carne moda ser distribuda em bandejas de isopor que comportam 320g cada uma. Quantas bandejas sero necessrias?

4) Um caminho pipa carrega 3,5 kl de gua. Quantos gales de 5 litros so necessrios para engarrafar toda a gua?

5) No tanque de um automvel cabe 0,57hl de combustvel. Se o litro custa R$2,00, quanto se gastar para encher do tanque?

Respostas

1) 9km-9000 m

2) 1L-1dm0,5m=500dmPortanto, temos 500 l.

3) 1t-1000kg-1000000gPortanto,

4) 3,5kl-3500L



5) 0,57 hl-57 l

Gastar R$ 76,00

RAZES E PROPORES

Razo

Chama-se de razo entre dois nmeros racionais a e b, com b 0, ao quociente entre eles. Indica-se a razo de a para b por a/b ou a : b.

Exemplo:

Na sala do 1 ano de um colgio h 20 rapazes e 25 moas. Encontre a razo entre o nmero de rapazes e o nmero de moas. (lembrando que razo diviso)

Proporo

Proporo a igualdade entre duas razes. A proporo entre A/B e C/D a igualdade:

Propriedade fundamental das proporesNuma proporo:

Os nmeros A e D so denominados extremos enquanto os nmeros B e C so os meios e vale a propriedade: o produto dos meios igual ao produto dos extremos, isto :

A x D = B x CExemplo: A frao 3/4 est em proporo com 6/8, pois:

Exerccio: Determinar o valor de X para que a razo X/3 esteja em proporo com 4/6.Soluo: Deve-se montar a proporo da seguinte forma:



Exerccios

1) Durante um torneio uma equipe de futebol obteve o seguinte resultado: 40 vitrias, 24 empates e 16 derrotas. Qual a razo do nmero de vitrias para o nmero de partidas disputadas?

2) Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2013, 26 vitrias, 15 empates e 11 derrotas. Qual a razo do nmero de vitrias para o nmero total de partidas disputadas?

3) Um reservatrio com capacidade para 8m de gua, est com 2000L de gua. Qual a razo da quantidade de gua que est no reservatrio para a capacidade total do reservatrio? (Lembre-se que 1dm = 1L).

4) Um nmero a somado a um outro nmero b totaliza 216. a est para 12, assim como b est para 15. Qual o valor de a e de b?

5) A idade de Pedro est para a idade de Paulo, assim como 5 est para 6. Quantos anos tem Pedro e Paulo sabendo-se que as duas idades somadas totalizam 55 anos?

Respostas

1) nmero de partidas:40+24+16=80

2) nmero de partidas:26+15+11=52Razo:26/52=1/2

3)8m=8000dm2000/8000=1/4

4)

5)a=Pedro b=Paulo

a+b=55

b=30a=25Pedro tem 25 anos e Paulo tem 30 anos



ESCALAS

Escalas

As Escalas representam, de forma grfica, um mapa e a realidade do espao geogrfico real, com isso os mapas podem utilizar duas escalas, numrica ou grfica.

Usamos escala quando queremos representar um esboo grfico de objetos, da planta de uma casa ou de uma cidade, mapas, maquetes, etc.

- Escala numrica: representada em forma de frao 1/10.000 ou razo 1:10.000, isso significa que o valor do numerador o do mapa e o denominador o valor referente ao espao real.

Ex: 1:10.000, cada 1 cm no papel (mapa) corresponde a 10.000 cm no espao real.- Escala Grfica: Representa de forma grfica a escala numrica.

Cada unidade da escala, ou seja, 1 cm representa 50 km no espao real.

Exerccios

1) Um mapa est na escala 1:6000000. Se duas localidades esto representadas no mapa distncia de 14,2 cm, qual ento a distncia real entre as mesmas em quilmetros?

a)8,52 b)85,2 c)852 d)8250 e)85200

2) Um terreno tem 100 metros de comprimento e est representado numa planta por 10 centmetros. Ento sua escala de:a)1:1000b)1:2000c)1:100d)1:1500e)1:10000

3) Em um mapa desenhado na escala 1: 50.000, a distncia entre duas cidades de 4 cm. Se o mesmo mapa for desenhado na escala 1: 1.250.000, a distncia entre essas cidades ser de:

a)0,8cm b)0,16cm c)2cm d)12cm e)15cm

4) Num mapa, cuja escala 1:3.000.000, a estrada Belm-Braslia tem 67 cm. Calcular, em km, a distncia real:a)2100 b)2010 c)2280 d)1910 e)2233

5) Um prottipo foi desenhado na escala 1:100. Qual ser o comprimento desse prottipo se o modelo em tamanho real tem um comprimento igual a 4m?



Respostas

1) Alternativa C1--------600000014,2----xX=85200000cm=852km

2) Alternativa A100m=10000cm10:100001:1000

3) Alternativa B1-----500004-----xX=200000cm

1----1250000x----200000x=0,16

4) Alternativa B1----300000067---xX=201000000cm=2010km

5) 1----100x----400x=4cm

DIVISO PROPORCIONAL

Algumas situaes financeiras, ou somente casos envolvendo divises, so satisfatoriamente resolvidas utilizando a diviso pro-porcional. Essa diviso aplicada em situaes de partilha de heranas, formulao de inventrios, clculo de salrio proporcional aos dias trabalhados, entre outras inmeras situaes.

Diretamente Proporcionais

Para decompor um nmero M em partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, deve-se montar um sistema com n equaes e n incgnitas, sendo as somas X1+X2+...+Xn=M e p1+p2+...+pn=P.

A soluo segue das propriedades das propores:



Exemplo Carlos e Joo resolveram realizar um bolo da loteria. Carlos entrou com R$ 10,00 e Joo com R$ 15,00. Caso ganhem o pr-

mio de R$ 525.000,00, qual ser a parte de cada um, se o combinado entre os dois foi de dividirem o prmio de forma diretamente proporcional?

Carlos ganhar R$210000,00 e Carlos R$315000,00.

Inversamente Proporcionais

Para decompor um nmero M em n partes X1, X2, ..., Xn inversamente proporcionais a p1, p2, ..., pn, basta decompor este nmero M em n partes X1, X2, ..., Xn diretamente proporcionais a 1/p1, 1/p2, ..., 1/pn.

A montagem do sistema com n equaes e n incgnitas, assume que X1+X2+...+ Xn=M e alm disso

cuja soluo segue das propriedades das propores:

ExemploPara decompor o nmero 220 em trs partes A, B e C inversamente proporcionais a 2, 4 e 6, deve-se montar um sistema com 3

equaes e 3 incgnitas, de modo que A+B+C=220. Desse modo:



Exerccios

1) Trs trabalhadores devem dividir R$ 1.200,00 referentes ao pagamento por um servio realizado. Eles trabalharam 2, 3 e 5 dias respectivamente e devem receber uma quantia diretamente proporcional ao nmero de dias trabalhados. Quanto dever receber cada um?

2) Dois ambulantes obtiveram R$ 1.560,00 pela venda de certas mercadorias. Esta quantia deve ser dividida entre eles em partes diretamente proporcionais a 5 e 7, respectivamente. Quanto ir receber cada um?

3) Os trs jogadores mais disciplinados de um campeonato de futebol amador iro receber um prmio de R$ 3.340,00 rateados em partes inversamente proporcionais ao nmero de faltas cometidas em todo o campeonato. Os jogadores cometeram 5, 7 e 11 faltas. Qual a premiao referente a cada um deles respectivamente?

4) Um pai distribuiu 546 bolas de gude aos seus 2 filhos em partes diretamente proporcionais mdia final na disciplina de matemtica e em partes inversamente proporcionais ao nmero de faltas em todo o ano letivo. O primeiro filho teve mdia final 9 e faltou 8 vezes, enquanto que o segundo filho teve mdia final 8 e faltou 3 vezes. Quantas bolas de gude eles ganharam respectivamente?

5) Divida o nmero 124 em parcelas diretamente proporcionais a 11, 7 e 13.

Respostas

1) P1=2kP2=3kP3=5kP1+p2+p3=12002k+3k+5k=1200k=120p1=120.2=240p2=120.3=360p3=120.5=600Quem trabalhou 2 dias receber R$240,003 dias-R$360,005 dias- R$600,00

2) P1=5kP2=7kP1+p2=15605k+7k=1560k=130p1=130.5=650p2=130.7=910Os ambulantes iro receber R$650,00 e R$910,00, respectivamente.

3) P1=1/5kP2=1/7kP3=1/11kP1+p2+p3=3340



k=7700p1=7700.1/5=1540p2=7700.1/7=1100p3=7700.1/11=700A premiao ser respectivamente R$ 1.540,00, R$ 1.100,00 e R$ 700,00.

4) P1=9/8kP2=8/3kP1+p2=546

k=144p1=9/8.144=162p2=8/3.144=384O primeiro filho ganhou 162 bolas de gude e o segundo ganhou 384.

5) P1=11kP2=7kP3=13kP1+p2+p3=12411k+7k+13k=124K=4P1=11.4=44P2=7.4=28P3=13.4=52As parcelas procuradas so respectivamente 44, 28 e 52.

REGRA DE TRS SIMPLES OU COMPOSTA

Regra de trs simples

Regra de trs simples um processo prtico para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos trs deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos trs j conhecidos.

Passos utilizados numa regra de trs simples:

1) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espcie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espcies diferentes em correspondncia.

2) Identificar se as grandezas so diretamente ou inversamente proporcionais.

3) Montar a proporo e resolver a equao.Um trem, deslocando-se a uma velocidade mdia de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria

esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?



Soluo: montando a tabela:

1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)400-----------------3480---------------- x

2) Identificao do tipo de relao:Velocidade----------tempo400-----------------3480---------------- x

Obs.: como as setas esto invertidas temos que inverter os nmeros mantendo a primeira coluna e invertendo a segunda coluna ou seja o que est em cima vai para baixo e o que est em baixo na segunda coluna vai para cima

Velocidade----------tempo400-----------------X480---------------- 3

Regra de trs composta

Regra de trs composta utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos:

1) Em 8 horas, 20 caminhes descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhes sero necessrios para descarregar 125m3?

Soluo: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espcie e, em cada linha, as grandezas de esp-cies diferentes que se correspondem:

Horas --------caminhes-----------volume8----------------20----------------------1605------------------x----------------------125

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde est o x.Observe que:Aumentando o nmero de horas de trabalho, podemos diminuir o nmero de caminhes. Portanto a relao inversamente pro-

porcional (seta para cima na 1 coluna).Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o nmero de caminhes. Portanto a relao diretamente proporcional (seta

para baixo na 3 coluna). Devemos igualar a razo que contm o termo x com o produto das outras razes de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporo e resolvendo a equao temos:


Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando:


, onde os temos da ltima frao foram invertidos



Simplificando fica:

Logo, sero necessrios 25 caminhes

Exerccios

1)Em uma hora, 4 mquinas produzem 1200 parafusos. Nesse mesmo tempo, 3 mquinas produziro quantos parafusos?a) 800b) 900c) 1000d) 1100e) 1600

2) Uma torneira despeja 18 litros de gua em 9 minutos. Em 2 horas e 15 minutos despejar:a) 300b) 270c) 240d) 220e) 200

3) Um certo volume de medicao demora 6 horas para ser ministrado em um gotejamento de 12 gotas por minuto. Se o nmero de gotas por minuto fosse de 18 gotas, quanto tempo teria demorado a aplicao desta mesma medicao?

4) Uma famlia com 2 duas pessoas consome 12m3 de gua a cada 30 dias. Se mais uma pessoa com os mesmos hbitos de consumo se juntar a ela, quantos metros cbicos de gua eles consumiro em uma semana?

5) Um grupo de 10 trabalhadores descarregam 210 caixas de mercadoria em 3 horas. Quantas horas 25 trabalhadores precisaro para descarregar 350 caixas?

Respostas

1)bMquinas----------parafusos4-----------------12003---------------- xX=900

2)blitros----------minutos18-----------------9x---------------- 135X=270l

3)12gotas-----6horas 18gotas-----xQuanto mais gotas menos horas12 -----x18-------6X=4horas



4)P=pessoas V=volume D=dias

V P D12-----2-----30x-----3-------7

Ao aumentar o nmero de pessoas, aumenta o volumeDiminuindo o nmero de dias, diminui o volume.Portanto, so grandezas diretamente proporcionais

X=4,2Com 3 integrantes, a famlia ir consumir 4,2m.

5) T=trabalhadoresC=caixasD=descarga

T C D 10---210----3 25----350---x

T C D 25----210----3 10----350---x

X=2As caixas podem ser descarregadas em 2 horas.

PORCENTAGEM

Porcentagem

Porcentagem uma frao cujo denominador 100, seu smbolo (%). Sua utilizao est to disseminada que a encontramos nos meios de comunicao, nas estatsticas, em mquinas de calcular, etc. A utilizao da porcentagem se faz por regra de 3 simples. Por exemplo, a vendedora de uma loja ganha 3% de comisso sobre as vendas que faz. Se as vendas do ms de outubro forem de R$ 3.500,00 qual ser sua comisso? Equacionando e montando a regra de 3 temos:



Logo, a comisso ser de R$ 105,00. Existe outra maneira de encarar a porcentagem, que seria usar diretamente a definio:

Logo 3% de R$ 3.500,00 seriam

Uma dica importante: o FATOR DE MULTIPLICAO.

Acrscimo

Se, por exemplo, h um acrscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor apenas multiplicando esse valor por 1,10, que o fator de multiplicao. Se o acrscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e assim por diante. Veja a tabela abaixo:

Acrscimo ou Lucro Fator de Multiplicao10% 1,1015% 1,1520% 1,2047% 1,4767% 1,67

Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos:

DescontoNo caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser: Fator de Multiplicao = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)

Veja a tabela abaixo:

Desconto Fator de Multiplicao10% 0,9025% 0,7534% 0,6660% 0,4090% 0,10

Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos:

Chamamos de lucro em uma transao comercial de compra e venda a diferena entre o preo de venda e o preo de custo.

Caso essa diferena seja negativa, ela ser chamada de prejuzo. Assim, podemos escrever:



Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:

Exemplo:O preo de venda de um bem de consumo R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preo de custo deste bem.

O valor do preo de custo :a) R$ 25,00 b) R$ 70,50 c) R$ 75,00 d) R$ 80,00e) R$ 125,00

Resoluo Ganho = lucro

Resposta: D

Exerccios

1) Ao comprar um produto que custava R$1500,00 obtive um desconto de 12%. Por quanto acabei pagando o produto? Qual o valor do desconto obtido?

2) Um guarda-roupa foi comprado a prazo, pagando-se R$ 2.204,00 pelo mesmo. Sabe-se que foi obtido um desconto de 5% sobre o preo de etiqueta. Se a compra tivesse sido vista, o guarda-roupa teria sado por R$ 1.972,00. Neste caso, qual teria sido o desconto obtido?

3) Ana passou a ganhar R$550,00 porque teve um aumento de 10%. Qual era seu salrio antigo?

4) (PCSP1205/001-AgentePolicia 2013) Um produto foi vendido com desconto de 10% sobre o preo normal de venda. Se ele foi vendido por R$ 54,00, o preo normal de venda desse produto

(A) R$ 59,40.(B) R$ 58,00.(C) R$ 60,00.(D) R$ 59,00.(E) R$ 58,40.

5) (VNSP1201/003-AssistAdmin-I 2012) Um arquiteto projetou uma Escola Infantil, utilizando 45% da rea total do terreno para o prdio que continha as salas de aula e 15% para as salas de projeo, biblioteca e laboratrios. Mesmo assim, sobrou uma rea de 900 m para ambientes de lazer. Podemos concluir que o terreno tinha um total, em m, de

(A) 3 250.(B) 3 000.(C) 2 750.(D) 2 450.(E) 2 250.



Respostas

1)

R$1500,00-R$180,00=R$1320,00O valor do desconto de R$180,00 e o valor do produto R$1320,00

2) Como um desconto:1-0,05=0,95

O preo do guarda roupa sem desconto R$2320,00O desconto obtido :R$2320,00-R$1972,00=R$348,002320------100%348--------xX=15%O desconto vista seria de 15%

3) Como um acrscimo de 10 %:O fator de multiplicao 1,1.Ento dividindo o salrio reajustado:

4) Alternativa C1-0,1=0,9

O preo de venda do produto R$60,00

5) Alternativa E45%+15%=60%900m=40%X----100%90040X=2250



TEORIA DOS CONJUNTOS: CONJUNTOS NUMRICOS; RELAES,

Conjunto est presente em muitos aspectos da vida, sejam eles cotidianos, culturais ou cientficos. Por exemplo, formamos con-juntos ao organizar a lista de amigos para uma festa agrupar os dias da semana ou simplesmente fazer grupos.

Os componentes de um conjunto so chamados de elementos.Para enumerar um conjunto usamos geralmente uma letra maiscula.Pode ser definido de duas maneiras: Enumerando todos os elementos do conjunto: S={1, 3, 5, 7, 9} Simbolicamente: B={x N|x



Exemplos N um conjunto infinito (O cardinal do conjunto N (#N) infinito ()); A = {, 1} um conjunto finito (#A = 2); B = {Lua} um conjunto singular (#B = 1) { } ou o conjunto vazio (# = 0)

Pertinncia

O conceito bsico da teoria dos conjuntos a relao de pertinncia representada pelo smbolo . As letras minsculas designam os elementos de um conjunto e as maisculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) :

V={a,e,i,o,u}A relao de pertinncia expressa por: aVA relao de no-pertinncia expressa por:bV, pois o elemento b no pertence ao conjunto V.

Incluso

A Relao de incluso possui 3 propriedades:1. Propriedade reflexiva: AA, isto , um conjunto sempre subconjunto dele mesmo.2. Propriedade antissimtrica: se AB e BA, ento A=B3. Propriedade transitiva: se AB e BC, ento, AC.

Operaes

UnioDados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem pelo menos um dos conjuntos a

que chamamos conjunto unio e representamos por: AB.Formalmente temos: AB={x|xA ou xB}Exemplo:A={1,2,3,4} e B={5,6}AB={1,2,3,4,5,6}

InterseoA interseo dos conjuntos A e B o conjunto formado pelos elementos que so ao mesmo tempo de A e de B, e representada

por : AB.Simbolicamente: AB={x|xA e xB}

Exemplo:A={a,b,c,d,e} e B={d,e,f,g}AB={d,e}

DiferenaUma outra operao entre conjuntos a diferena, que a cada par A, B de conjuntos faz corresponder o conjunto definido por: A B ou A\B que se diz a diferena entre A e B ou o complementar de B em relao a A. A este conjunto pertencem os elementos de A que no pertencem a B. A\B = {x : xA e xB}.



Exemplo:A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {5, 6, 7} Ento os elementos de A B sero os elementos do conjunto A menos os elementos que pertencerem ao conjunto B.Portanto A B = {0, 1, 2, 3, 4}.

Exerccios

1) Dados os conjuntos:A={1,2,3,4,5}; B={4,5,6}

Calcular:a) A B b) AB c) A-B

2) Numa escola h n alunos. Sabe-se que 56 alunos leem o jornal A, 21 leem os jornais A e B, 106 leem apenas um dos jornais e 66 no leem o jornal B. O valor de n :

a) 249 b) 137 c) 158 d) 127 e) 183

3) Em um grupo de 30 crianas, 16 tm olhos azuis e 20 estudam canto. O nmero de crianas desse grupo que tm olhos azuis e estudam canto :

a) exatamente 16.b) no mnimo 6.c) exatamente 10.d) no mximo 6.e) exatamente 6.

4) Numa escola de 630 alunos, 350 deles estudam Portugus, 210 estudam Espanhol e 90 estudam as duas matrias. Pergunta-se:a) Quantos alunos estudam apenas Portugus?b) Quantos alunos estudam apenas espanhol?c) Quantos alunos estudam Portugus ou Espanhol?d) Quantos alunos no estudam nenhuma das duas matrias?

5) Num grupo de estudantes, verificou-se que 310 leram apenas um dos romances A ou B; 270, o romance B; 80, os dois roman-ces, A e B, e 340 no leram o romance A. O nmero de estudantes desse grupo igual a:

a) 380 b) 430 c) 480 d) 540 e) 610



Respostas

1) a) A B={1, 2, 3, 4, 5, 6}b) AB={4, 5}c) A-B ={1, 2, 3}

2)

Leem jornal A=56-21=35Leem jornal B=106-35=71No leem o jornal B=66-35=31O valor de n :35+21+71+31=158

3)

(16-x)+x+(20-x)=30-x=-6x=6

4)



P=350-90=260E=210-90=120

Nenhuma das duas: 630-470=160a)350-90=260b)210-90=120c)260+90+120=470d)630-470=160

5)

B=270-80=190No A=340-190=150A e B=80A ou B=310-190=12O nmero de estudantes :190+80+120+150=540

FUNES DE PRIMEIRO E SEGUNDO GRAU

Funo 1 grau

A funo do 1 grau relacionar os valores numricos obtidos de expresses algbricas do tipo (ax + b), constituindo, assim, a funo f(x) = ax + b.

Note que para definir a funo do 1 grau, basta haver uma expresso algbrica do 1 grau. Como dito anteriormente, o objetivo da funo relacionar para cada valor de x um valor para o f(x). Vejamos um exemplo para a funo f(x)= x 2.

x = 1, temos que f(1) = 1 2 = 1x = 4, temos que f(4) = 4 2 = 2

Note que os valores numricos mudam conforme o valor de x alterado, sendo assim obtemos diversos pares ordenados, consti-tudos da seguinte maneira: (x, f(x)). Veja que para cada coordenada x, iremos obter uma coordenada f(x). Isso auxilia na construo de grficos das funes.

Portanto, para que o estudo das funes do 1 grau seja realizado com sucesso, compreenda bem a construo de um grfico e a manipulao algbrica das incgnitas e dos coeficientes.



Estudo dos Sinais

Definimos funo como relao entre duas grandezas representadas por x e y. No caso de uma funo do 1 grau, sua lei de for-mao possui a seguinte caracterstica: y = ax + b ou f(x) = ax + b, onde os coeficientes a e b pertencem aos reais e diferem de zero. Esse modelo de funo possui como representao grfica a figura de uma reta, portanto, as relaes entre os valores do domnio e da imagem crescem ou decrescem de acordo com o valor do coeficiente a. Se o coeficiente possui sinal positivo, a funo crescente, e caso ele tenha sinal negativo, a funo decrescente.

Funo Crescente a > 0

Funo Decrescente a < 0

Raiz da funo

Calcular o valor da raiz da funo determinar o valor em que a reta cruza o eixo x, para isso consideremos o valor de y igual a zero, pois no momento em que a reta intersecta o eixo x, y = 0. Observe a representao grfica a seguir:

Podemos estabelecer uma formao geral para o clculo da raiz de uma funo do 1 grau, basta criar uma generalizao com base na prpria lei de formao da funo, considerando y = 0 e isolando o valor de x (raiz da funo). Veja:

y = ax + by = 0ax + b = 0ax = bx = b/aPortanto, para calcularmos a raiz de uma funo do 1 grau, basta utilizar a expresso x = b/a.



Funo Quadrtica

Em geral, uma funo quadrtica ou polinomial do segundo grau tem a seguinte forma:f(x)=ax+bx+c, onde a0 essencial que aparea ax para ser uma funo quadrtica e deve ser o maior termo.

Consideraes

Concavidade

A concavidade da parbola para cima se a>0 e para baixo se a 0, a parbola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mnimo V; quando a < 0, a parbola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de mximo V.

Em qualquer caso, as coordenadas de V so . Veja os grficos:



Imagem

O conjunto-imagem Im da funo y = ax2 + bx + c, a 0, o conjunto dos valores que y pode assumir. H duas possibilidades:

1 - quando a > 0,

a > 0

2 quando a < 0,

a < 0



Exemplo

Vamos construir o grfico da funo y = x2 + x:

Primeiro atribumos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

Exerccios

1) Um vendedor recebe mensalmente um salrio composto de duas partes: 1.000 a parte fixa, e uma parte varivel que corres-ponde a uma com comisso de 18% do total de vendas que ele fez durante o ms.

a)expressar a funo que representa seu salrio mensal.b) calcular o salrio do vendedor durante um ms, sabendo-se que vendeu 10.000 em produtos.

2) Um motorista de txi cobra R$ 3,50 de bandeirada (valor fixo) mais R$ 0,70 por quilmetro rodado (valor varivel). Deter-mine o valor a ser pago por uma corrida relativa a um percurso de 18 quilmetros.

3) O salrio de um vendedor composto de uma parte fixa no valor de R$ 800,00, mais uma parte varivel de 12% sobre o valor de suas vendas no ms. Caso ele consiga vender R$ 450 000,00, calcule o valor de seu salrio.

4) Qual a funo que representa o grfico seguinte?



(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

5) (UFRGS) Para que a parbola da equao y=ax+bx-1 contenha os pontos (-2; 1) e (3; 1), os valores de a e b so, respecti-vamente,

(A) e

(B) e

(C) e

(D) e

(E) e

Respostas1) a)S=1000+0,18V b) S=1000+0,18*10000 = 2800.00

2) Funo que define o valor a ser cobrado por uma corrida de x quilmetros: f(x) = 0,70x + 3,50. Valor a ser pago por uma corrida de percurso igual a 18 quilmetros.f(x) = 0,70x + 3,50 f(18) = 0,70 * 18 + 3,50 f(18) = 12,60 + 3,50 f(18) = 16,10



3) f(x) = 12% de x (valor das vendas mensais) + 800 (valor fixo) f(x) = 12/100 * x + 800 f(x) = 0,12x + 800 f(450 000) = 0,12 * 450 000 + 800 f(450 000) = 54 000 + 800 f(450 000) = 54 800 O salrio do vendedor ser de R$ 54 800,00.

4) Alternativa Ca>0 pois a concavidade est para cima.c=-9 - onde corta o eixo yo eixo x cortado em -3/2 e 3portanto:0=a(-3/2)+b(-3/2)-90=9a+3b-9

Multiplicando a primeira equao por- 4:

Somando as duas equaes9b+27=0b=-3 a=2y=2x-3x-95)Alternativa B

Multiplicando a primeira equao por 3 e a segunda por 2:

Somando:



NOES DE PROBABILIDADE E ESTATSTICA DESCRITIVA

Probabilidade

Considere os seguintes experimentos:-Lanamento de um dado-Lanamento de uma moedaMesmo se esses experimentos forem repetidos vrias vezes, nas mesmas condies, no poderemos prever o resultado.Um experimento cujo resultado, embora nico, imprevisvel, denominado experimento aleatrio.A Teoria da Probabilidade surgiu para tentar medir a chance de ocorrer um determinado resultado num experimento aleatrio.

Espao Amostral

O conjunto de todos os resultados possveis de um experimento aleatrio denominado espao amostral, que vamos indicar por E.-lanamento de um dado: E={1, 2, 3, 4, 5, 6}-lanamento de uma moeda:E={cara, coroa}Qualquer subconjunto do espao amostral chamado evento.

Probabilidade em Espaos Amostrais Finitos

Probabilidade de um evento A representa a chance de ocorrer um evento A. O valor p(A) igual ao nmero de elementos de A, dividido pelo nmero de elementos do espao amostral E.

Adio de probabilidades

Sejam A e B dois eventos de um espao amostral E, finito e no vazio. Tem-se:

ExemploNo lanamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um nmero par ou menor que 5, na face superior?SoluoE={1,2,3,4,5,6} n(E)=6Sejam os eventos A={2,4,6} n(A)=3 B={1,2,3,4} n(B)=4



Probabilidade Condicional a probabilidade de ocorrer o evento A dado que ocorreu o evento B, definido por:

Do exemplo anterior:E={1,2,3,4,5,6}, n(E)=6B={2,4,6} n(B)=3A={2}

ExemploCalcule a probabilidade de, jogando um dado ideal, obter um nmero maior que 4.SoluoE={1, 2, 3, 4, 5, 6}Evento:A={5, 6}

Estatstica DescritivaA estatstica descritiva a etapa inicial da anlise utilizada para descrever e resumir os dados. A disponibilidade de uma grande

quantidade de dados e de mtodos computacionais muito eficientes revigorou est rea da estatstica.

FrequnciasA primeira fase de um estudo estatstico consiste em recolher, contar e classificar os dados pesquisados sobre uma populao

estatstica ou sobre uma amostra dessa populao.

Frequncia Absoluta o nmero de vezes que a varivel estatstica assume um valor.

Frequncia Relativa o quociente entre a frequncia absoluta e o nmero de elementos da amostra.Na tabela a seguir, temos exemplo dos dois tipos:



Medidas de Tendncia CentralMdia aritmticaMdia aritmtica de um conjunto de nmeros o valor que se obtm dividindo a soma dos elementos pelo nmero de elementos

do conjunto.Representemos a mdia aritmtica por .A mdia pode ser calculada apenas se a varivel envolvida na pesquisa for quantitativa. No faz sentido calcular a mdia aritm-

tica para variveis quantitativas. Na realizao de uma mesma pesquisa estatstica entre diferentes grupos, se for possvel calcular a mdia, ficar mais fcil esta-

belecer uma comparao entre esses grupos e perceber tendncias.Considerando uma equipe de basquete, a soma das alturas dos jogadores :

Se dividirmos esse valor pelo nmero total de jogadores, obteremos a mdia aritmtica das alturas:

A mdia aritmtica das alturas dos jogadores 2,02m.Mdia Ponderada A mdia dos elementos do conjunto numrico A relativa adio e na qual cada elemento tem um determinado peso chamada

mdia aritmtica ponderada.

Exemplo

O peso mdio (mdia aritmtica dos pesos) dos 100 alunos de uma academia de ginstica igual a 75 kg. O peso mdio dos homens 90 kg e o das mulheres 65 kg.

a) Quantos homens frequentam a academia? b) Se no so considerados os 10 alunos mais pesados, o peso mdio cai de 75 kg para 72 kg. Qual o peso mdio desses 10 alunos?



Soluo

a) x=nmero de homens

100-x=nmero de mulheres

Portanto, 40 homens frequentam a academia

b) A=soma dos pesos dos 10 alunos mais pesados

A=1020

O peso mdio :

Mediana (Md)

Sejam os valores escritos em rol:

1. Sendo n mpar, chama-se mediana o termo tal que o nmero de termos da sequncia que precedem igual ao nmero de termos que o sucedem, isto , termo mdio da sequncia ( ) em rol.

2. Sendo n par, chama-se mediana o valor obtido pela mdia aritmtica entre os termos e , tais que o nmero de termos que precedem igual ao nmero de termos que sucedem , isto , a mediana a mdia aritmtica entre os termos centrais da sequncia (

) em rol.

Exemplo 1:Determinar a mediana do conjunto de dados:{12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}

Soluo:Escrevendo os elementos do conjunto em rol, tem-se: (3, 7, 10, 12, 18, 21, 23). A mediana o termo mdio desse rol. Logo:

Md=12



Resposta: Md=12.

Exemplo 2:Determinar a mediana do conjunto de dados:{10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.

Soluo: Escrevendo-se os elementos do conjunto em rol, tem-se:(3, 7, 10, 12, 18, 21, 23, 25). A mediana a mdia aritmtica entre os dois termos centrais do rol. Logo:

Resposta:

Moda (Mo)

Num conjunto de nmeros: , chama-se moda aquele valor que ocorre com maior frequncia.

Observao:A moda pode no existir e, se existir, pode no ser nica.

Exemplo 1:O conjunto de dados 3, 3, 8, 8, 8, 6, 9, 31 tem moda igual a 8, isto , Mo=8.

Exemplo 2: O conjunto de dados 1, 2, 9, 6, 3, 5 no tem moda.

Exemplo 3:O conjunto de dados 1, 5, 5, 5, 6, 7, 8, 8, 8 possui duas modas, 5 e 8, e chamada bimodal.

Medidas de dispersoDuas distribuies de frequncia com medidas de tendncia central semelhantes podem apresentar caractersticas diversas. Ne-

cessita-se de outros ndices numricas que informem sobre o grau de disperso ou variao dos dados em torno da mdia ou de qualquer outro valor de concentrao. Esses ndices so chamados medidas de disperso.

Varincia H um ndice que mede a disperso dos elementos de um conjunto de nmeros em relao sua mdia aritmtica, e que

chamado de varincia. Esse ndice assim definido:Seja o conjunto de nmeros , tal que sua mdia aritmtica. Chama-se varincia desse conjunto, e indica-se por , o nmero:

Isto :



Exemplo 1:Em oito jogos, o jogador A, de bola ao cesto, apresentou o seguinte desempenho, descrito na tabela abaixo:

Jogo Nmero de pontos1 222 18

3 134 24

5 26

6 20

7 19

8 18

a) Qual a mdia de pontos por jogo?b) Qual a varincia do conjunto de pontos?

Soluo:

a) A mdia de pontos por jogo :

b) A varincia :

Desvio padroDefinioSeja o conjunto de nmeros , tal que sua mdia aritmtica. Chama-se desvio padro desse conjunto, e indica-se por , o nmero:

Isto :

Exemplo:As estaturas dos jogadores de uma equipe de basquetebol so: 2,00 m; 1,95 m; 2,10 m; 1,90 m e 2,05 m. Calcular:a) A estatura mdia desses jogadores.b) O desvio padro desse conjunto de estaturas.



Soluo:

a) Sendo a estatura mdia, temos:

b) Sendo o desvio padro, tem-se:

Exerccios

1) No lanamento de um dado, determinar a probabiliade de se obter:a)o nmero 2b)um nmero parc) um nmero mltiplo de 3

2) Calcule a probabilidade de retirar 1 bola vermelha de uma urna contendo 3 bolas brancas, 2 vermelhas e 5 verdes.

3) Observe as notas de trs competidores em uma prova de manobras radicais com skates. Competidor A: 7,0 5,0 3,0 Competidor B: 5,0 4,0 6,0 Competidor C: 4,0 4,0 7,0

Sabendo que a mdia 5 para todos, calcule a varincia e o desvio padro.

4) O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no ltimo campeonato. A coluna da esquerda mostra o nmero de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele nmero de gols.

Se X, Y e Z so, respectivamente, a mdia, a mediana e a moda desta distribuio, entoA) X = Y < Z.B) Z < X = Y.C) Y < Z < X.D) Z < X < Y.E) Z < Y < X.



5) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada ms a probabilidade da mulher engravidar de 20%. Qual a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto ms de tentativas?

Respostas1)a) E={1, 2, 3, 4, 5, 6}A={2}, n(A)=1

b) B={2, 4, 6} n(B)=3

c) C={3,6} n(C)=2

2) n(E)=10n(A)=2

3) Competidor A

Competidor B

Competidor C



Desvio Padro calculado extraindo a raiz quadrada da varincia. Competidor A

Competidor B

Competidor C

4) Alternativa E0,0,0,0,0,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,4,4,5,5,7 A moda dada por zero, pois o termo que mais aparece.J a mediana devemos observar a quantidade de termos, que neste caso 20 e quando a quantidade par devemos pegar os ter-

mos que esto no meio e tirar a sua mdia aritmtica, o dcimo e o dcimo primeiro termo. Temos 10 termo => 2 e 11 termo => 2, logo a mdia entre eles dada por (2+2)/2 = 2.

E por ltimo a questo nos pediu a mdia, que neste caso a mdia ponderada.Ento: Mdia = (0.5 + 1.3 + 2.4 + 3.3 + 4.2 + 5.2 + 7.1) / 5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1Mdia = 45 / 20Mdia = 2,25No enunciado ele nomeou cada um dos elementos sendo a moda dada por Z, a mediana dada por Y e a mdia dada por X e assim:X = 2,25Y = 2Z = 0Logo, Z < Y < X.

5) Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um ms de 20%, que na forma decimal igual a 0,2. A probabilidade dela no conseguir engravidar igual a 1 - 0,2, ou seja, igual a 0,8.

Este exerccio trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela no engravida), ento a probabilidade de que todos eles ocorram, dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher s deve engravidar no quarto ms, ento a probabilidade dos trs meses anteriores deve ser igual probabilidade dela no engravidar no ms, logo:

0,1024 multiplicado por 100% igual a 10,24%.

Ento:A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto ms de 10,24%.



NOES DE LGICA

Lgica

A lgica est de tal modo incrustada na matemtica que s vezes ambas se fundem numa s estrutura.

Proposio

toda expresso que encerra um pensamento de sentido completo e pode ser classificada como V(verdadeira) ou F(Falsa).As proposies so indicadas por letras minsculas: p, q, r,..Os smbolos V e F so chamados de valores lgicos.A negao de uma proposio dada por : ~p(l-se no p).

Conectivo uma expresso que une duas proposies dando origem a uma outra proposio.a) e()

A proposio pq s ser verdadeira se ambas forem.b) ou ()

Precisa apenas que uma das duas seja verdadeira.

c) se..,, ento ()

d) se, e somente se()



Exerccios

1) Qual a negao da proposio nenhum homem imortal?a) existem homens imortais.b) existem homens mortais.c) nenhuma mulher imortal.d) todo homem mortal.e) todo homem imortal.

2) Na tabela abaixo, p e q so proposies

p q ?V V FV F VF V FF F F

A proposio composta que substitui corretamente o ponto de interrogao a) pqb) pqc) ~(pq)d) pqe) ~(pq)

3) Considere as seguintes premissas: Se todos os homens so sbios, ento no h justia para todos. Se no h justia para todos, ento todos os homens so sbios. Para que se tenha um argumento vlido, correto concluir que: (A) Todos os homens so sbios se, e somente se, h justia para todos. (B) Todos os homens so sbios se, e somente se, no h justia para todos. (C) Todos os homens so sbios e h justia para todos. (D) Todos os homens so sbios e no h justia para todos. (E) Todos os homens so sbios se h justia para todos.

4)Se todos os nossos atos tm causa, ento no h atos livres. Se no h atos livres, ento todos os nossos atos tm causa. Logo: a) alguns atos no tm causa se no h atos livres. b) Todos os nossos atos tm causa se e somente se h atos livres. c) Todos os nossos atos tm causa se e somente se no h atos livres. d) Todos os nossos atos no tm causa se e somente se no h atos livres. e) Alguns atos so livres se e somente se todos os nossos atos tm causa

5) A negao de Todos os filhos de Maria gostam de quiabo (A) nenhum dos filhos de Maria gosta de quiabo. (B) nenhum dos filhos de Maria desgosta de quiabo. (C) pelo menos um dos filhos de Maria gosta de quiabo. (D) pelo menos um dos filhos de Maria desgosta de quiabo. (E) alguns filhos de Maria no gostam de quiabo. Respostas1) Alternativa A2) Alternativa C3) Alternativa B4) Alternativa C5) Alternativa D



MATEMTICA FINANCEIRA

Matemtica FinanceiraA Matemtica Financeira possui diversas aplicaes no atual sistema econmico. Algumas situaes esto presentes no cotidiano

das pessoas, como financiamentos de casa e carros, realizaes de emprstimos, compras a credirio ou com carto de crdito, aplicaes financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras situaes. Todas as movimentaes financeiras so baseadas na estipulao prvia de taxas de juros. Ao realizarmos um emprstimo a forma de pagamento feita atravs de prestaes mensais acrescidas de juros, isto , o valor de quitao do emprstimo superior ao valor inicial do emprstimo. A essa diferena damos o nome de juros.

Juros SimplesChama-se juros simples a compensao em dinheiro pelo emprstimo de um capital financeiro, a uma taxa combinada, por um prazo

determinado, produzida exclusivamente pelo capital inicial.Em Juros Simples a remunerao pelo capital inicial aplicado diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de aplicao.A expresso matemtica utilizada para o clculo das situaes envolvendo juros simples a seguinte:J = C i n, onde:J = jurosC = capital iniciali = taxa de jurosn = tempo de aplicao (ms, bimestre, trimestre, semestre, ano...)Observao importante: a taxa de juros e o tempo de aplicao devem ser referentes a um mesmo perodo. Ou seja, os dois devem

estar em meses, bimestres, trimestres, semestres, anos... O que no pode ocorrer um estar em meses e outro em anos, ou qualquer outra combinao de perodos.

Dica: Essa frmula J = C i n, lembra as letras das palavras JUROS SIMPLES e facilita a sua memorizao.Outro ponto importante saber que essa frmula pode ser trabalhada de vrias maneiras para se obter cada um de seus valores, ou

seja, se voc souber trs valores, poder conseguir o quarto, ou seja, como exemplo se voc souber o Juros (J), o Capital Inicial (C) e a Taxa (i), poder obter o Tempo de aplicao (n). E isso vale para qualquer combinao.

MontanteO Montante a soma do Juros mais o Capital Inicial. Essa frmula tambm ser amplamente utilizada para resolver questes.M = C + JM = montanteC = capital inicialJ = jurosM=C+C.i.nM=C(1+i.n)

ExemploMaria quer comprar uma bolsa que custa R$ 85,00 vista. Como no tinha essa quantia no momento e no queria perder a opor-

tunidade, aceitou a oferta da loja de pagar duas prestaes de R$ 45,00, uma no ato da compra e outra um ms depois. A taxa de juros mensal que a loja estava cobrando nessa operao era de:

(A) 5,0%(B) 5,9%(C) 7,5%(D) 10,0%(E) 12,5%Resposta Letra e.

O juros incidiu somente sobre a segunda parcela, pois a primeira foi vista. Sendo assim, o valor devido seria R$40 (85-45) e a parcela a ser paga de R$45.

Aplicando a frmula M = C + J:45 = 40 + JJ = 5Aplicando a outra frmula J = C i n:5 = 40 X i X 1i = 0,125 = 12,5%



Exerccios

1) (FUNDATEC-Ag.administrativo-2013) Uma empresa foi multada por jogar resduos txicos em um rio, cujo valor da multa foi de R$45.000,00 mais R$1.500,00 por dia at que a empresa se ajustasse s normas que regulamentam os ndices de poluio. Sabendo que a empresa pagou R$79.500,00 de multa, o nmero de dias que levou para se ajustar s normas exigidas foi de

A) 10.B) 15.C) 23.D) 30.E) 35.

2) (FUNDATEC-Ag.administrativo-2013) Um emprstimo de R$ 50.000,00 ser pago no prazo de 5 meses, com juros sim-ples de 2,5% a.m. (ao ms). Nesse sentido, o valor da dvida na data do seu vencimento ser:

A) R$6.250,00.B) R$16.250,00.C) R$42.650,00.D) R$56.250,00.E) R$62.250,00.

3) (FAPEC-2013)Para que um capital dobre no sistema de juros simples, taxade 4% ao ms, ser necessrio quantos meses?a) 25 mesesb) 50 mesesc) 15 mesesd) 20 meses

4) Qual o montante de um capital de R$1000,00 aplicado taxa de 10% ao ano pelo prazo de 2 anos?

5) Luana aplicou R$12000,00 a juro composto de 6% ao bimestre. Que quantia ter aps 12 meses de aplicao?

Respostas

1) Alternativa CM=C+J79500=45000+JJ=34500

2) Alternativa DJ=CinJ=50000.0,025.5=6250M=C+JM=50000+6250=R$56250,00

3) Alternativa AM=C+J2C=C+JJ=CC=C.0,04.n



4) M=C(1+in)M=1000(1+0,10.2)M=1200O montante de R$1200,00

5)

M=17022,23t=6 por ter 6 bimestres em 12 meses

APLICAES E OPERAES COM INEQUAES

Inequao

Uma inequao uma sentena matemtica expressa por uma ou mais incgnitas, que ao contrrio da equao que utiliza um sinal de igualdade, apresenta sinais de desigualdade. Veja os sinais de desigualdade:

>: maior 2x 24x 2x > 2 122x > 14x > 14/2x > 7

Inequao-Produto

Quando se trata de inequaes-produto, teremos uma desigualdade que envolve o produto de duas ou mais funes. Portanto, surge a necessidade de realizar o estudo da desigualdade em cada funo e obter a resposta final realizando a interseco do conjunto resposta das funes.



Exemplo

a)(-x+2)(2x-3)



Exerccios

1) De acordo com o conjunto dos nmeros Reais, determine o valor de x na seguinte inequao produto: (2x + 1) (x + 2) 0.

2) Resolva, de acordo com os nmeros Reais, a inequao quociente dada por

3) Dada a inequao 2(x + 3) 4(x - 1), qual o menor nmero inteiro de trs algarismos que seja soluo?

4) Resolva: 3 (x+1) 3 x+4

5) Qual a soluo da inequao:

Respostas

1)

2)

3)2x+64x-4-2x-10x5Ento o menor nmero de trs algarismos o 100.

4)3x+3-3x+42x4x2S{xR|x2}



x-3=0 x=3 x-5=0 x=5Para valores x



ClassificaoAs progresses aritmticas podem ser classificadas de acordo com o valor da razo r.r0, PA crescenter=0 PA constante

Propriedades das Progresses Aritmticas

-Qualquer termo de uma PA, a partir do segundo, a mdia aritmtica entre o anterior e o posterior.

-A soma de dois termos equidistantes dos extremos igual soma dos extremos.

Termo Geral da PAPodemos escrever os elementos da PA(a1, a2, a3, ..., an,...) da seguinte forma:

Observe que cada termo obtido adicionando-se ao primeiro nmero de razes r igual posio do termo menos uma unidade.

Soma dos Termos de uma Progresso AritmticaConsiderando a PA finita (6,10, 14, 18, 22, 26, 30, 34).6 e 34 so extremos, cuja soma 40

Numa PA finita, a soma de dois termos equidistantes dos extremos igual soma dos extremos.Usando essa propriedade, obtemos a frmula que permite calcular a soma dos n primeiros termos de uma progresso aritmtica.



ExemploUma progresso aritmtica finita possui 39 termos. O ltimo igual a 176 e o central e igual a 81. Qual o primeiro termo?

SoluoComo esta sucesso possui 39 termos, sabemos que o termo central o a

20, que possui 19 termos sua esquerda e mais 19 sua

direita. Ento temos os seguintes dados para solucionar a questo:

Sabemos tambm que a soma de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.A. finita igual soma dos seus extremos. Como esta P.A. tem um nmero mpar de termos, ento o termo central tem exatamente o valor de metade da soma dos extremos.

Em notao matemtica temos:

Assim sendo:O primeiro termo desta sucesso igual a -14.

Progresso GeomtricaDenomina-se progresso geomtrica(PG) a sequncia em que se obtm cada termo, a partir do segundo, multiplicando o anterior

por uma constante q, chamada razo da PG.ExemploDada a sequncia: (4, 8, 16)

q=2

ClassificaoAs classificaes geomtricas so classificadas assim:

- Crescente: Quando cada termo maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1.- Decrescente: Quando cada termo menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1.- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrrio ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0.- Constante: Quando todos os termos so iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante tambm uma PA de razo r = 0.

A PG constante tambm chamada de PG estacionaria.- Singular: Quando zero um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.



Termo Geral da PGPelo exemplo anterior, podemos perceber que cada termo obtido multiplicando-se o primeiro por uma potncia cuja base a

razo. Note que o expoente da razo igual posio do termo menos uma unidade.

Portanto, o termo geral :

Soma dos Termos de uma Progresso Geomtrica Finita

Seja a PG finita de razo q e de soma dos termos Sn:

1 Caso: q=1

2 Caso: q1

Exemplo

Dada a progresso geomtrica (1, 3, 9, 27,..) calcular:a) A soma dos 6 primeiros termosb) O valor de n para que a soma dos n primeiros termos seja 29524

Soluo

a)

b)



Soma dos Termos de uma Progresso Geomtrica Infinita

1 Caso:-1



3) an = a1 + (n 1)ra20 = 150 + (20 1)50a20 = 150 + 19 50a20 = 150 + 950a20 = 1100O valor da prestao no ltimo ano ser de R$ 1 100,00.

4)(L, 4L, L)

Portanto, a rea 1616=256

5)a1=100; r=2

O preo do automvel R$12700,00



OPERAES COM MATRIZES, LOGARITMOS, RAZES E RADICAIS,

FATORAO ALGBRICA

MatrizChama-se matriz do tipo m x n, m N* e nN*, a toda tabela de m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas.

Indica-se a matriz por uma letra maiscula e colocar seus elementos entre parnteses ou entre colchetes como, por exemplo, a matriz A de ordem 2x3.

Representao da matrizForma explicita (ou forma de tabela)A matriz A representada indicando-se cada um de seus elementos por uma letra minscula acompanhada de dois ndices: o

primeiro indica a linha a que pertence o elemento: o segundo indica a coluna a que pertence o elemento, isto , o elemento da linha i e da coluna j indicado por ij.

Assim, a matriz A2 x 3 representada por:

Adio de Matrizes

Sejam A= (aij), B=(bij) e C=(cij) matrizes do mesmo tipo m x n. Diz-se que C a soma de A com B, e indica-se por A+B.Dada as matrizes:

,portanto

Propriedades da adioComutativa: A + B = B + A Associativa: (A + B) + C = A + (B + C) Elemento neutro: A + O = O + A = A Elemento Oposto: A + (-A) = (-A) + A = O Transposta da soma: (A + B)t = At + Bt

Subtrao de matrizes

Sejam A=(aij), B=(bij) e C=(cij), matrizes do mesmo tipo m x n. Diz-se que C a diferena A-B, se, e somente se, C=A+(-B).



Multiplicao de um nmero por uma matrizConsidere:

Multiplicao de matrizesO produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)m x p por uma matriz B = (bij)p x n uma matriz C = (cij)m x n, de modo que cada

elemento cij obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos.

Dada as matrizes:

Matriz InversaSeja A uma matriz quadrada de ordem n. Uma matriz B chamada inversa de A se, e somente se,

Exemplo:Determine a matriz inversa de A.

Soluo

Seja

Temos que x=3; y=2; z=1; t=1

Logo,



Logaritmo

Considerando-se dois nmeros N e a reais e positivos, com a 1, existe um nmero c tal que:

A esse expoente c damos o nome de logaritmo de N na base a

Ainda com base na definio podemos estabelecer condies de existncia:

Exemplo

Consequncias da Definio

Propriedades



Mudana de Base

ExemploDados log 2=0,3010 e log 3=0,4771, calcule:a)log 6b) log1,5c) log 16

Soluo

a) Log 6=log 23=log2+log3=0,3010+0,4771=0,7781

b)

c)

Equaes Logartmicas

Utilizando as propriedades operatrias, podemos resolver equaes que envolvem logaritmos. A resoluo de equaes logart-micas se d em trs etapas bsicas:

1. Estabelece-se a condio de existncia2. Resolve-se a equao utilizando as propriedades operatrias3. Faz-se a interseo entre a soluo encontrada e as condies de existncia

Exemplo

Resolva a equao:

Condio de Existncia

Da definio, temos:

Como x satisfaz a condio de existncia:



Radicais

Radiciao a operao inversa a potenciao

Casos

1. Se m par, todo nmero real positivo tem duas razes:

2. Se m mpar, cada nmero tem apenas uma raiz:

3. n = 1

Se n = 1, ento 1 a = a

1 10 = 10, porque 101 = 104. n par e a < 0

Considere como exemplo a raiz quadrada de -36, onde a = -36 (negativo) e n = 2 (par).No existe raiz quadrada real de -36, porque no existe nmero real que, elevado ao quadrado, d -36.No existe a raiz real de ndice par de um nmero real negativo.

Propriedade dos Radicais

1 Propriedade:

Considere o radical 5555 133

3 3 ===

De modo geral, se ,, *NnRa + ento:

aan n =

O radical de ndice n de uma potncia com expoente tambm igual a n d como resultado a base daquela potncia.



2 Propriedade:

Observe: ( ) 5.35.35.35.3 21

21

21

===

De modo geral, se ,,, *NnRbRa ++ ento:

nnn baba .. =

Radical de um produto Produto dos radicais

O radical de ndice inteiro e positivo de um produto indicado igual ao produto dos radicais de mesmo ndice dos fatores do radicando.

3 Propriedade:

Observe: 32

3

232

32

21

21

21

==

=

De modo geral, se ,,, ** NnRbRa ++

ento:

n

nn

ba

ba=

Radical de um quociente Quociente dos radicais

O radical de ndice inteiro e positivo de um quociente indicado igual ao quociente dos radicais de mesmo ndice dos termos do radicando.

4 Propriedade:

Observe: 3 232

128

12 8 3333 ===

Ento: 12 83 23 212 8 3333 == e

De modo geral, para ,,, *NnNmRa + se p *N , temos:

pn pmn m aa . .=

Se p divisor de m e n, temos:

pn pmn m aa : :=

Multiplicando-se ou dividindo-se o ndice e o expoente do radicando por um mesmo nmero natural maior que zero, o valor do radical no se altera.



Simplificao de Radicais

1 Caso

O ndice do radical e o expoente do radicando tm fator comum. De acordo com a 4 propriedade dos radicais podemos dividir o ndice e o expoente pelo fator comum.

Exemplo

Dividindo o ndice 9 e o expoente 3 e 6 por 3, temos:

3 23:9 3:63:39 63 2.2.2 aaa ==

2 Caso

Os expoentes dos fatores do radicando so mltiplos do ndice. Considere o radical ,.n pna com ,+ Ra*Nn e .Zp

Temos:

pnpn

n pn aaa ==.

.

Assim, podemos dizer que, num radical, os fatores do radicando cujos expoentes so mltiplos do ndice podem ser colocados fora do radical, tendo como novo expoente o quociente entre o expoente e o ndice.

Exemplo

44282482482 9..3..3..381 abbabababa ====

3 Caso

Os expoentes dos fatores do radicando so maiores que o ndice, mas no mltiplos deste. Transforma-se o radicando num pro-duto de potncias de mesma base, sendo um dos expoentes mltiplos do ndice;

Exemplo

ababababbaaba b2242435 ....... ===

Fatorao AlgbricaFatorar uma expresso algbrica significa escrev-la na forma de um produto de expresses mais simples.

Casos de fatorao Fator Comum: Ex.: ax + bx + cx = x (a + b + c) O fator comum x. Ex.: 12x - 6x+ 3x = 3x (4x - 2x + 1) O fator comum 3x Agrupamento: Ex.: ax + ay + bx + by Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum. (ax + ay) + (bx + by) Colocar em evidncia o fator comum de cada grupo a(x + y) + b(x + y) Colocar o fator comum (x + y) em evidncia (x + y) (a + b) Este produto a forma fatorada da expresso dada Diferena de Dois Quadrados: a b = (a + b) (a b) Trinmio Quadrado Perfeito: a 2ab + b = (a b) Trinmio do 2o Grau: Supondo x1 e x2 razes reais do trinmio, temos: ax + bx + c = a (x - x1) (x - x2), a0



Exerccios

1) Calcule A + B sabendo que A = e B =

2) Calcule o Log3 5 sabendo que o Log3 45 = 3,464974?

3) Considerando-se Log7 10 = 1,1833. Qual o Log7 70?

4) Simplifique o radical .

5) Verifique se 16b 24b + 25 quadrado perfeito.

Respostas

1)A + B = + =

=

2)

3)

4)

Ento:

5) Existem dois termos quadrados: 16b e 25.

e

2 . 4b . 5 = 40b No corresponde ao termo restante do trinmio.

Logo, 16b 24b + 25 no um trinmio de quadrado perfeito.



19. RACIOCNIO LGICO: ESTRUTURAS LGICAS, LGICA DE ARGUMENTAO:

ANALOGIAS, INFERNCIAS, DEDUES E CONCLUSES, LGICA SENTENCIAL (OU

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2 Matematica e Raciocinio Logico