2

1- Introdução: A Dinâmica é a parte da Mecânica que vem ainda dar continuidade ao estudo dos movimentos dos

corpos iniciado na Cinemática, porém tratando da “Força”, que é o agente causador do movimento ou

do término do mesmo.

A Dinâmica estabelece relações entre 3 grandezas a saber: a “Força”, a

“Massa” e a “Aceleração”. Se baseia nos trabalhos do físico e matemático

inglês, Isaac Newton (1642-1727), uma das maiores figuras da ciência de

todos os tempos. A Física Moderna ainda se apóia, em parte, sobre os

fundamentos erguidos por Isaac Newton.

Newton propôs suas três leis do movimento, conhecidas como princípios

fundamentais da mecânica (ou leis de Newton):

2 - Noção de força: Um dos elementos fundamentais para nosso estudo é a noção de força. Vamos tentar chegar ao

conceito de força com alguns exemplos:

a) Uma bola está parada num campo de futebol. O que deve fazer o jogador para pô-la em

movimento?

b) Uma bola foi chutada em direção ao gol. O que deve fazer o goleiro para segurá-la?

c) Uma bola foi lançada em direção ao gol com grande velocidade. Vendo que não pode segurá-la, o

que deve fazer o goleiro para impedir que entre no gol?

d) Um menino brinca com uma bola de barro. O que deve fazer para transformá-la num boneco?

Concluímos com esses exemplos que:

Nesses exemplos anteriores (itens a, b, c e d), vimos que a força é a causa que produz num corpo

uma variação e velocidade (ou de trajetória), isto é, uma aceleração. Esta aceleração possui a

mesma direção e sentido da força. Esse é o conceito de força, do ponto de vista da Dinâmica. Força e

aceleração são grandezas diretamente proporcionais. Maior a força, maior a aceleração.

Princípio de Inércia

Princípio de Massa

Princípio de Ação e Reação.

Deve aplicar-lhe uma força por meio de um chute.

Deve aplicar-lhe uma força que lhe tire o movimento.

Deve aplicar-lhe uma força que desvie sua trajetória.

Deve aplicar-lhe uma força que mude a sua forma.

Força é um agente capaz de:

Imprimir movimento a um corpo

Cessar o movimento de um corpo

Desviar a trajetória de um corpo

Mudar a forma de um corpo

Dinâmica

Introdução

1-Introdução

Introdução

2-Noção de Força

Isaac Newton (1642-1727)

3

F

“” significa somatória

Grandezas Escalares e Vetoriais Podemos dividir as grandezas físicas em dois grupos: o

das grandezas escalares e das grandezas vetoriais.

As grandezas escalares ficam perfeitamente

caracterizadas quando atribuímos a elas um valor numérico e a

unidade correspondente. São exemplos de grandezas escalares

a massa, o volume, a temperatura e a energia. Assim, ao

dizermos que a massa de um corpo é de 40 quilogramas (m =

40kg), essa informação basta, nada mais é preciso acrescentar

para ficar compreendido.

Já as grandezas vetoriais, além do módulo (valor

numérico seguido da unidade), necessitam de mais informações,

que são a direção e o sentido para uma perfeita compreensão.

São exemplos de grandezas vetoriais a velocidade, a

aceleração e a força. Assim, não basta dizer que a força tem

módulo de 50 Newtons (F = 50 N). É necessário também indicar

sua direção (vertical, horizontal por exemplo) e seu sentido (por

exemplo, de baixo para cima).

A força é uma grandeza vetorial, e do

mesmo modo também a aceleração, ou seja,

para ser bem definida devemos especificar sua

intensidade ou valor (seu módulo), sua direção

e seu sentido. Será representada, portanto,

por um vetor.

Assim, se num ponto material atua um

sistema de forças 1F

, 2F

...., nF

, a soma 1F

+

2F

+...+ nF

denomina-se resultante do sistema

de forças ou simplesmente força resultante, indicada por RF

.

1 - Complete:

a) Para por um corpo em movimento devemos aplicar-lhe um _________.

b) Para modificar o movimento de um corpo é preciso aplicar-lhe uma _______ a esse corpo.

c) Para parar um veículo em movimento é necessário aplicar-lhe uma _____ contrária a esse movimento.

d) Para esmagar (deformar) um corpo é necessário aplicar-lhe uma ___________.

e) Força é uma grandeza ___________ (escalar / vetorial).

f) Como grandeza vetorial, uma força possui ___________, ___________ e ___________.

g) Força e aceleração são grandezas ___________ (diretamente / inversamente) proporcionais.

h) Sempre que se aplica uma força resultante não nula a um corpo, este sofrerá uma ___________.

i) A força resultante e a aceleração possuem sempre o mesmo ___________ (módulo / sentido).

3 - Grandezas físicas que serão usadas:

Nesta unidade abordaremos a ação de forças em situações como na gravitação, no equilíbrio

estático etc. Sendo assim, a força poderá ser a gravitacional terrestre (chamada Peso – P), ou o

esforço sofrido por uma corda (um cabo ou corrente) é chamada de Tensão ou Tração – T); a força

de atrito em duas superfícies em contato aF ou a força resultante a soma de várias forças

atuantes sobre um corpo (chamada de Resultante – R, FR ou F).

As grandezas com as quais trabalharemos nesta unidade são:

Grandeza Representação Nome da unidade de

medida (SI)

Símbolo da unid.

de medida

Força F

normalforçaN

atritodeforçaF

TraçãoT

pesoforçaP

F

a

R resultanteforça

Newton

N

Massa m quilograma Kg

Aceleração a metro por segundo ao

quadrado

m/s2

Obs.: é usual se colocar uma seta sobre a letra

para representar que ela é uma grandeza vetorial.

Introdução

3-Grandezas Usadas

Exercícios

4

no caso da aceleração também é possível expressá-la em quilômetros por hora ao quadrado

(km/h2) apesar de quase não ser usada esta unidade de medida.

as outras grandezas já estudadas na cinemática (velocidade, aceleração, espaço ou distância e o

tempo), como estão diretamente envolvidas na dinâmica, também poderão ser relembradas e

trabalhadas.

as unidades padronizadas no SI (Sistema Internacional de Unidades) para a Mecânica, são o

metro, o quilograma e o segundo (MKS).

alguns livros e apostilas representam o espaço como distância, trocando o “s” pelo “d”.

2. Escreva V nas sentenças verdadeiras e F nas falsas: a) ( ) O peso de um corpo é uma força. b) ( ) A unidade de massa é o Newton. c) ( ) Tração é um tipo de aceleração.

d) ( ) A soma de várias forças atuantes sobre um corpo é a força resultante FR. e) ( ) O peso pode ser expresso em quilograma (kg).

4. Equações usadas: As equações que usaremos são:

5. Princípios fundamentais da Dinâmica (leis de Newton):

5.1. Princípio de Inércia (1ª lei de Newton ou lei da inércia de Galileu): .

Exemplos:

Quando a resultante das forças que atuam sobre um corpo for nula, esse corpo

permanecerá em repouso ou em movimento retilíneo uniforme-MRU.

Deformação elástica- Lei de Hooke

Momento de uma força

Força motriz – sistema de roldanas

Vantagem mecânica

xkF .

dFM .

M

MF

RV

pesoou

resistenteforçaR

Força Peso

NFat .

Força de atrito

normalforçaN

atritodeecoeficient

Lei de massa

senPPx .

Plano inclinado

amFR .

nM

RF

2

gmP .

cos.PPy

Exercícios

Introdução

4-Equações Usadas

5-Princípios da Dinâmica-Leis de Newton

5

Exercícios –Lei da Inércia

a) quando uma pessoa está assentada na garupa de uma motocicleta, se o piloto arranca bruscamente,

se esta pessoa não se segura cai para trás; Na verdade a pessoa que

já estava em repouso tende por inércia a continuar nesse estado.

b) quando uma pessoa corre montada num cavalo e este pára de

repente, a pessoa tende a continuar o movimento para frente.

Apesar de se ter a impressão que ela é arremessada, mas na

verdade ela já estava em movimento e tende a continuar nesse

estado.

Na questão abaixo responda com “Sim” ou “Não” as afirmações:

3. Nas seguintes situações, verifique se o corpo está ou não em equilíbrio:

a) uma cadeira em repouso. _______

b) um pára-quedista descendo verticalmente com velocidade constante. _______

c) uma pedra em queda livre. _______

d) um trem composto de 40 vagões carregados, desenvolvendo velocidade constante em linha reta. ___

e) um automóvel fazendo uma curva com velocidade constante. _______

f) um trenzinho elétrico com velocidade constante num trilho circular. _______

Em cada uma das questões de 4 a 13 assinale a opção correta.

4. Não é necessária existência de uma força resultante atuando:

a) quando se passa do estado de repouso ao de movimento uniforme.

b) para se manter um objeto em MRU.

c) para manter um corpo em MCU (Movimento Circular Uniforme).

d) para mudar a direção de um objeto ou alterar o módulo de sua velocidade.

5. Ao desligar-se o motor de um carro em movimento, numa estrada plana, reta e sem imperfeições, ele

percorre uma distância e pára, devido:

a) às forças de atrito e de resistência do ar.

b) à falta de força sobre o carro.

c) à inércia.

d) à resultante das forças ser nula.

6. Um automóvel faz uma curva fechada em alta velocidade. A porta se abriu e o passageiro, que não

usava cinto de segurança, foi lançado para fora. O passageiro foi lançado para fora do automóvel

devido:

a) à inércia que os corpos possuem. c) ao princípio da ação e reação.

b) à atração que a Terra exerce sobre os corpos. d) ao fato de as forças de ação e reação não se

equilibrarem.

Sempre que um corpo estiver sujeito a uma força resultante não nula e, portanto, apresente

uma aceleração, ele não se encontra em equilíbrio. Por exemplo, uma pedra em queda livre

(desprezando os atritos e resistência do ar) estará sujeita à força gravitacional e terá uma

aceleração da gravidade e mesmo se estiver em movimento retilíneo não estará em equilíbrio.

No movimento da Terra em torno do Sol, mesmo apresentando velocidade constante

(constante em módulo), tem sua trajetória alterada a todo instante pela força centrípeta e

sendo assim, também não se encontra em equilíbrio. Toda partícula que se move em

movimento circular ou que descreve uma curva, não se encontra em equilíbrio.

Observações sobre equilíbrio de uma partícula

6

7. Quando um automóvel é freado bruscamente, uma pessoa, no banco dianteiro, pode bater com a

cabeça no vidro. Isto acontece porque:

a) o automóvel tem sua velocidade invertida.

b) o automóvel empurra a pessoa para a frente, pois a sua massa é maior.

c) a pessoa sofre menor aceleração, pois sua massa é menor.

d) o automóvel sofre a ação de um força externa que reduz sua velocidade, enquanto que a pessoa

tende a continuar com a sua velocidade pelo princípio da inércia.

e) a pessoa está em repouso em relação ao carro.

8. Uma mesa, em MRU, só pode estar sob a ação de uma:

a) força resultante não-nula na direção do movimento.

b) única força horizontal.

c) força resultante nula.

d) força nula de atrito.

e) força vertical que equilibre o peso.

9. Uma partícula se desloca ao longo de uma reta com aceleração nula. Nessas condições, podemos

afirmar corretamente que sua velocidade escalar é:

a) nula.

b) constante e diferente de zero.

c) inversamente proporcional ao tempo.

d) diretamente proporcional ao tempo.

e) diretamente proporcional ao quadrado do tempo.

10. Uma moto se move a 72 km/h numa estrada horizontal plana. A resultante de todas as forças que

agem na moto é zero. Nessas condições, a velocidade da moto:

a) diminuirá de forma constante.

b) diminuirá de forma variável.

c) aumentará de forma constante.

d) aumentará de forma variável.

e) continuará a ser de 72 km/h.

11. Uma pedra gira em torno de um apoio fixo, presa por uma corda. Em um dado momento, corta-se a

corda, ou seja, cessam de agir forças sobre a pedra. Pela lei de inércia, conclui-se que:

a) a pedra se mantém em movimento circular.

b) a pedra sai em linha reta, segundo a direção perpendicular à corda no instante do corte.

c) a pedra sai em linha reta, segundo a direção da corda no instante do corte.

d) a pedra pára.

e) a pedra não tem massa.

12. O módulo da força resultante necessária para manter um objeto em MRU é:

a) zero.

b) proporcional à massa.

c) proporcional à sua velocidade.

d) inversamente proporcional à sua massa.

e) inversamente proporcional à sua velocidade.

Exercícios

MRU: movimento retilíneo uniforme

7

13. Considere as seguintes proposições:

I) se um corpo estiver em repouso, assim permanecerá se a ele for aplicado um sistema nulo de duas

forças.

II) uma partícula que estiver em MRU, assim permanecerá se a ela for aplicado um sistema nulo de duas

forças.

III) uma partícula sob a ação de resultante nula de forças estará obrigatoriamente em repouso.

Está(ão) correta(s):

a) somente I.

b) somente II.

c) somente III.

d) I e II.

e) I e III.

5.2.Princípio de Massa (2ª lei de Newton ou princípio fundamental da Dinâmica)

Observe as figuras:

5.2.1 Força resultante

Força resultante (FR): seja uma partícula na qual estão aplicadas várias forças. Esse sistema de

forças pode ser substituído por uma única força, a força resultante, que é capaz de produzir na

partícula o mesmo efeito que todas as forças aplicadas.

FR = F1 + F2 + F3 + ... + FN

Cálculo de FR para duas forças quaisquer:

a) se as forças tiverem a mesma direção e sentido, basta somá-las. A

Resultante FR terá a mesma direção e sentido de qualquer uma delas;

a1 F1 a2 F2 A aceleração a1 do corpo de massa m é proporcional à força F1. A mesma massa m sob a ação de uma força F2 maior, produz uma aceleração a2 maior que a1.

Observe que os vetores aeF

possuem a mesma direção e o mesmo sentido.

A aceleração “a” de um corpo é proporcional à resultante das forças “ RF ” nele

aplicadas e tem mesma direção e sentido desta resultante.

a m F R

.

Exercícios

8

b) se as forças tiverem a mesma direção mas sentidos contrários, basta subtrair a menor da maior

- FR terá a mesma direção e sentido da maior delas (no caso, a caixa se moveria para esquerda);

c) se as forças forem perpendiculares entre si (formarem um ângulo de 90° entre elas), FR estará

na diagonal do paralelogramo formado por elas e será calculada utilizando-se o teorema de

Pitágoras (FR2 = F1

2 + F22);

5.2.2 Massa de um corpo Por experiência própria sabemos que os corpos que apresentam maior inércia são aqueles de

maior massa. Podemos, então, associar a massa de um corpo à sua inércia, dizendo que a massa de um

corpo é a medida numérica de sua inércia. No SI a massa tem como unidade padrão o quilograma.

Relação entre unidades:

1 grama = 1g = (1/1000) kg = 10-3kg; 1 tonelada = 1t = 1000kg = 103kg

A massa de um corpo é o quociente entre a força que atua no corpo e a aceleração que ela

produz nele, isso é:

A massa é uma característica do próprio corpo. Se um bloco de concreto possuir massa de 10kg

aqui na Terra, se for levado para a Lua, lá possuirá a mesma massa de 10kg.

Inércia: propriedade pela qual um corpo tende a permanecer em seu estado de repouso ou de

movimento. Baseado em suas experiências, Galileu atribuiu essa propriedade a todos os corpos.

5.2.3 Aceleração do corpo Invertendo-se a equação anterior obtemos o forma para o cálculo da aceleração que o corpo

adquire quando está sujeito a uma força resultante não nula:

14. Escreva V nas sentenças verdadeiras e F nas falsas

a) ( ) Se duplicarmos a força resultante aplicada sobre um corpo, sua aceleração duplicará.

b) ( ) Se uma força aplicada a um corpo de massa “m” produz uma aceleração “a”, a mesma força

aplicada a um corpo de massa “m/2” produzirá uma aceleração igual a “2a”.

c) ( ) A expressão matemática da 2ª lei de Newton é F = m / a.

d) ( ) A força resultante que atua sobre um certo corpo tem sempre a mesma direção, podendo ter

sentido contrário à aceleração do corpo.

e) ( ) A força resultante que atua sobre um corpo tem sempre a mesma direção e sentido da

a

F m

R

m

F a

R

Exercícios

NFR 36630

NFR 281240 NF 121 NF 402

RFNF 31

NF 42 NF

F

F

F

F

R

R

R

R

R

5

25

25

169

43

2

2

222

NF 62

NF 301

9

velocidade.

Exemplo 1 – Uma caixa de massa m = 20 kg, inicialmente em repouso, é submetida à ação de uma força

de intensidade F = 20N por uma pessoa. Qual a aceleração que a partícula adquire?

Exemplo 2 – Três pessoas A, B e C, ao empurrar um veículo com defeito exercem forças de 100N, 120N

e 140N respectivamente. Foi verificado que a aceleração adquirida pelo veículo foi de 0,2 m/s². Qual a

sua massa?

m = ??? a = 0,2 m/s²

15. Uma partícula de massa m = 2,0 kg, inicialmente em repouso, é submetida à ação de uma força de

intensidade F = 20N. Qual a aceleração que a partícula adquire?

16. Uma partícula de massa m = 4,5 kg, inicialmente em repouso, é submetida à ação de uma força de

intensidade F = 18N, Qual a aceleração que a partícula adquire?

17. Uma partícula de massa m = 15,0 kg, tem aceleração de 6m/s2. Qual o valor da força resultante que

atua sobre a partícula?

18. Um móvel tem aceleração de 12m/s2, ao ser submetido a uma força de 78N. Qual o valor de sua

massa?

Exemplo 3 – Uma caixa de massa m = 16 kg realiza um movimento retilíneo sofrendo a ação de duas

forças conforme a figura abaixo. Determine a aceleração da mesma.

Kg

N

m

Fa

20

20

a = 1m/s²

Solução

Exemplo

NF

FFFF

R

R

360140120100

321

m = 1800 kg

Solução Exemplo

2,0

360

a

Fm R

NF 241 NF 322

kg

N

m

Fa

NF

FFF

R

R

16

8

82432

12

a = 0,5 m/s² kg

Solução Exemplo a= ???

(força maior menos a

menor)

Exercícios

10

19. Uma partícula de massa m = 4,0 kg realiza um movimento retilíneo. Determine a aceleração da

mesma em cada caso abaixo:

20. Em cada caso seguinte determine o valor da aceleração dos corpos. Despreze os atritos.

Exemplo 4 – Duas caixas são puxadas horizontalmente por uma força de 50 N. Determine a aceleração

sofrida por elas e a tração T no fio que as une.

F= 28N a) b)

NF 292 NF 91

Exercícios

a) F = 10N b) F = 10N m = 2 kg mA = 2,5 kg mB = 2,5 kg F F c) F = 36 N d) F = 2N mA = mB = mC = 1 kg m = 20 kg F F e) F = 20N f) F = 100N mA = 4 kg mA = 10 kg, mB = 15 kg e mC = 15 kg mB = 6 kg F F g) F1 = 20N e F2 = 100N h) F1 = 12N e F2 = 36N mA

= 10 kg e mB = 30 kg

mA = 12 kg, mB = 4 kg e mC = 8 kg

F1 F2 F1 F2

A

B

A

B

C

A B

A B C

NT

T

amFT

sma

a

kg

N

m

Fa

B

10

2.5

.

/2

25

50

)205(

50

2

Solução Exemplo

A tração T é a força que o fio exerce sobre a caixa B. Por isto se usa a massa da caixa B.

11

21. Em cada caso seguinte determine o valor da aceleração das caixas e as trações nos fios que as une.

Despreze os atritos.

5.3. Princípio da Ação e Reação (3ª lei de Newton):

Qualquer uma das forças mencionadas poderá, indiferentemente, ser considerada a ação ou a

reação.

Exemplos:

1) quando uma pessoa empurra um armário,

o armário empurra a pessoa com uma força

igual e contrária.

3) Um bloco de peso P, apoiado sobre uma

superfície horizontal, exerce nela uma

força de compressão N’, perpendicular à

superfície. E temos portanto neste caso

que P=N’. A superfície reage sobre o

bloco, exercendo nele uma reação normal

N. Evidentemente, N e N’ têm o mesmo

Quando um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, o corpo B reage sobre A

com uma força de mesmo módulo, mesma direção e sentido contrário.

P

N

N’

Ação e Reação

Força N=N’

e como N’=P

a força Normal N=P

2) o movimento de um foguete (ou de um avião a jato)

é causado pela força de reação exercida pelos gases

que ele expele.

a) F = 30N b) F = 200N mA = 4 kg e mB = 6 kg mA = 10 kg e mB = 15 kg e mC = 15 kg T F T1 T2 F c) F1 = 10N e F2 = 70N d) F = 48N mA = 10 kg e mB = 30 kg mA = 12 kg, mB = 4 kg e mC = 8 kg

F1 T F2 F T1 T2

A B

A B C

A B

A B C

Exercícios

Obs.: as forças de ação e reação nunca se anulam uma vez que sempre

atuam em corpos diferentes.

12

módulo, mesma direção e sentido contrários.

4) Consideremos um ímã atraindo um prego (veja figura) com a força 2F (ação). Conforme a terceira lei

de Newton, o prego também atrai o ímã com a força 1F (reação) . As forças 1F e 2F possuem mesmo

valor(mesmo módulo), mesma direção e sentidos contrários.

Exemplo 5 – O corpo da figura, apoiado sobre o solo, possui peso de 30N. Qual o valor da força de

reação (normal “N”), sua direção e o sentido, que a superfície faz sobre o corpo?

22. Uma caixa repousa sobre o solo, possui peso

de 50N. Qual o valor da força de reação (normal

“N”), sua direção e o sentido, que a superfície

faz sobre o corpo?

23. Suponha agora que o corpo da figura anterior, apoiado sobre o solo, possua massa de 4 kg. Qual o

valor da força de reação (normal “N”), sua direção e o sentido, que a superfície faz sobre o corpo?

Considere g = 9,8 m/s2. Lembre-se de calcular o peso:

24. A mesa da figura exerce uma força de reação sobre

o corpo de 32 N.

Responda então:

a) Qual o nome usual dessa força? ________________

b) Qual o valor do peso do corpo? ________________

c) Desenhe as duas forças.

P =30N

N Solução Exemplo

Como a força normal N é reação ao peso P do corpo possuem mesmo valor. Direção: vertical

Sentido: para cima.

N=P= 30N

N S

Ação e Reação

1F 2F

ímã prego

P =50N

gmP .

Exercícios

Exemplos de pares de forças ação-reação:

a) Força peso: na interação da Terra com um corpo, o peso do corpo é a ação e a força que o corpo

exerce sobre a Terra é a reação;

b) Força de tração em fio: quando esticamos um fio ideal (inextensível e de massa desprezível), nas suas

extremidades aparecem forças de mesma intensidade chamadas forças de tração (T);

c) Força de reação normal: um corpo em repouso, apoiado numa superfície horizontal, aplica sobre esta

uma força F de compressão, cuja intensidade é igual à do seu peso. A superfície de apoio exerce no

corpo uma força N de reação, que por ser perpendicular às superfícies de contato é chamada força de

reação normal de apoio.

13

25. Um homem exerce uma força de 15 N para empurrar um veículo. Qual o valor da força que o veículo

exerce sobre o homem?

26. Na figura abaixo, se o bloco A exerce uma força F de intensidade 10 N, qual o valor da força que o

objeto B exerce sobre o objeto A?

5.4. Peso de um corpo Em torno da Terra há uma região chamada campo gravitacional, na qual todos os corpos sofrem

sua influência, que se apresenta em forma de um força. Essas forças de atração são denominadas

forças gravitacionais.

Desprezando-se resistência do ar, todos os corpos abandonados próximo à superfície da Terra

caem devido aos seus pesos, com velocidades crescentes, sujeitos a uma mesma aceleração, denominada

aceleração da gravidade. Sendo m a massa do corpo e g a aceleração da gravidade, podemos aplicar o

PFD (Princípio Fundamental da dinâmica) e obter o peso P do corpo:

A unidade do Peso no SI (Sistema Internacional de Unidades) é Newton (N), porém há uma

unidade também usada nos estudos físicos e na vida diária, o quilograma-força (kgf), mas não é

conveniente quando se trata de empregar a 2ª lei de Newton.

O peso de um corpo é uma grandeza vetorial que tem direção vertical orientada para o centro

da Terra e cuja intensidade depende do valor local de g.

Note que o peso e a massa são grandezas diferentes:

a) a massa é uma propriedade exclusiva do corpo; não depende

do local onde é medida;

b) o peso do corpo depende do local onde é medido.

Alterando-se a equação poderemos calcular também m e g. Veja abaixo:

e

Exercícios

B A

F

Peso é a força de atração gravitacional que a Terra exerce sobre um corpo.

g

Pm

m

Pg

A aceleração da gravidade

diminui com a altitude, e ao nível do

mar tem o valor de 9,8m/s². Apesar

disso costuma-se, para efeitos de

cálculos, considerar g = 10 m/s².

Nkgf 8,91

Cuidado! Na linguagem

cotidiana, massa e peso têm o

mesmo significado, mas, para a

física não, peso é a força da

gravidade no local.

g m P .

14

Np 130

Exemplo 5 – Um corpo de massa 15 kg está na

superfície da Lua cuja aceleração da

gravidade é g = 1,6m/s2. Determine o seu peso

nesse local.

Exemplo 6 – Imagine que um astronauta pudesse descer em Júpiter, onde a aceleração da gravidade é

g=26m/s² e, usando um dinamômetro, pesasse uma pedra, obtendo peso de 13kgf.

a) Qual o peso da pedra em Newton? Considere Nkgf 101

b) Qual a massa dessa pedra?

c) Qual seria o peso dessa mesma pedra no planeta Terra? Considere g=10 m/s².

27. Um corpo de massa 80 kg está na superfície de um planeta cuja aceleração da gravidade é g = 5m/s

2.

Determine o seu peso nesse planeta. 28. Uma pedra de massa 13 kg está na superfície de um planeta cuja aceleração da gravidade é g = 10m/s

2. Determine o seu peso nesse planeta.

29. Uma sonda espacial de peso 80 N está na superfície de um planeta cuja aceleração da gravidade é g = 5m/s

2. Determine a sua massa.

30. Um corpo de massa 4 kg está na superfície de um planeta e possui peso de 6,4 N. Determine a aceleração da gravidade nesse planeta.

31. A aceleração da gravidade próximo à linha do equador (latitude 90º) é de 9,832m/s², já no pólo

norte (latitude 0º) vale 9,780m/s². Calcule o peso de uma pessoa de 70 kg nesses dois locais.

32. Uma força resultante de 10 kgf atua num corpo em movimento acelerado. Qual o valor desta força

em Newton? Considere 1 kgf = 9,8 N.

Solução Exemplo

Exercícios

g =9,832 m/s²

latitute 90º

g =9,780 m/s²

latitute 0º

N P

P

g m P

24

6 , 1 . 15

.

10.1313

101)

kgf

entãoNkgfComoa

kgm 5

10.5

.)

P

gmPc

NP 50

Solução Exemplo

15

5.5. Medida de uma força Podemos medir a intensidade de uma força pela deformação que ela produz num corpo elástico.

O dispositivo utilizado é o dinamômetro, que em suas versões mais simples consiste numa mola helicoidal

de aço envolvida por um protetor. Na extremidade livre da mola há um ponteiro que se desloca ao longo

de uma escala. A mola é deformada elasticamente pela força cuja intensidade queremos medir. A cada

deformação corresponde uma intensidade de força, que é proporcional à deformação (Lei de Hooke).

Nas escalas dos dinamômetros

sempre deveria aparecer impresso

N ou kgf, que são as unidades de

medida de força. Entretanto, como

o kgf (unidade de força) e o

kg (unidade de massa) se equiva-

lem numericamente, os fabricantes

imprimem algumas vezes de forma

incorreta kg nos dinamômetros

usados no comércio. Além disso, em

linguagem popular, o dinamômetro costuma

ser chamado de “balança de mola”, o que também não é correto.

33. Você dispõe de uma balança e um dinamômetro para medir o peso de um pacote de cereal. Querendo

efetuar a medida de forma correta conforme as definições físicas, que instrumento você usaria?

Assinale a alternativa correta.

A( ) a balança;

B( ) o dinamômetro;

C( ) tanto faz, posso usar ambos;

D( ) em nenhum deles poderei medir o peso.

34. Um único peso de 45 N é ligado a um dinamômetro

que, por sua vez, é fixado a parede, como mostra a

figura. Qual seria neste caso a leitura do

dinamômetro? Marque a alternativa correta.

Considere g=10m/s². P=m.g

A( ) 45 kg

B( ) 4,5 kg

C( ) 450 N

D( ) 45 N

6. Deformação elástica Uma mola apresenta uma deformação elástica se, retirada a força que a deforma, ela retornar

ao seu comprimento e forma originais. Robert Hooke (cientista inglês), enunciou a seguinte lei, válida

para as deformações elásticas:

Dinamômetro

(versão simples)

Dinamômetro

(versão moderna)

Exercícios

DIN

4,5kg

A intensidade da força deformadora (F) é proporcional à deformação

(X).

16

A expressão matemática da lei de Hooke é:

Invertendo a equação também

Podemos calcular K e x.

Exemplo 7 – A constante elástica de uma mola é

de 30 N/cm. Determine a deformação sofrida

pela mola ao ser solicitada por uma força de

intensidade 120N.

35. A constante elástica de uma mola é 25 N/cm. 36.

Ao sofrer ação de uma força de 125N, qual é a

deformação sofrida?

37.

xkF .

F= força deformadora

x = deformação sofrida pela mola

k = constante de proporcionalidade caracte-

rística da mola (constante elástica da mola).

x

Fk

k

Fx e

Solução Exemplo

cmN

N

k

Fx

/30

120

cmx 4

Uma mola de suspensão de carro sofre

deformação de 5 cm sob ação de uma força de

2000 N. Qual a constante elástica dessa mola?

Uma mola é submetida à ação de uma força de

tração. O gráfico abaixo indica a intensidade

da força tensora em função da deformação x.

Determine: a) a constante elástica da mola;

b) a deformação x quando F=60N.

38. Uma mola tem constante elástica de 10

N/cm. Determine a força que deve ser

aplicada para que a mola sofra uma

deformação de 5cm.

Exercícios

X

17

NFa .

N

FaaF

N

7. Força de atrito ( atF )

Muitas vezes, quando puxamos (ou

empurramos) um objeto, ele não se move. Isto

acontece porque também passa a atuar sobre ele

uma outra força, a força de atrito ( ata FouF ).

Esta força aparece sempre que um corpo tende a

entrar em movimento.

É uma força de contato, de resistência aos

movimentos (ou à tentativa de movimento) entre

duas superfícies, devido à rugosidade entre elas.

Quanto mais rugosas maior o atrito e quanto menos rugosas (mais lisas) menor é o atrito.

Na figura ao lado, por exemplo, suponha que a pessoa tenha puxado a caixa com uma força F =

20 N. Se a caixa não se mover, é fácil concluir a força de atrito aF deve ter o mesmo módulo, a mesma

direção e sentido contrário à força F. Então aF = 20 N. Se a pessoa continuar puxando a caixa,

aumentando gradualmente a força F, haverá um momento em que a caixa começa a se movimentar.

Neste momento, o valor de F ultrapassou o valor de aF ( aF chegou a o valor máximo). Se a pessoa

exercer por exemplo uma força ligeiramente superior a 30 N para mover a caixa, a força de atrito aF

será igual a 30 N

Quando a força externa não é capaz de vencer a Fa (corpo parado), dizemos que se trata de

força de atrito estático; quando há movimento entre as superfícies, dizemos que se trata de força de

atrito cinético ou dinâmico (corpo em movimento).

A força de atrito aF entre duas superfícies é:

a) aproximadamente independente da área de contato;

b) aproximadamente proporcional à intensidade da força normal.

c) proporcional ao coeficiente de atrito (mi)

O fator é uma constante (adimensional) de proporcionalidade, chamada coeficiente de atrito que

depende do material dos corpos em contato e do polimento das superfícies.

Quando o corpo está na iminência do deslizamento, recebe o nome de coeficiente de atrito estático

(e); quando o movimento já se iniciou, o nome passa a ser coeficiente de atrito dinâmico (d).

Nos exercícios, se não for especificado e ou d, utiliza-se simplesmente o coeficiente de atrito e

admite-se e = d (experimentalmente, verifica-se que e d.). Ficando assim a equação:

Também podemos escrever: e

NFa 12

aF

F

Exemplo 8 – Uma pessoa tenta puxar uma pedra

exercendo uma força horizontal para direita de

200 N como mostra a figura. A pedra permanece

em repouso. Qual o módulo(valor) direção e

sentido da força de atrito?

aF =200N a pedra não se move.

Direção horizontal.

Sentido para esquerda.

Solução Exemplo

Exemplo 9 – Calcule a força de atrito do bloco

abaixo de massa 4 kg. Considere g = 10 m/s² e

= 0,3.

P = m.g = 4.10 = 40 N

N=P = 40N (ação e reação)

40.3,0. NFa

NFa 12

Exemplo Solução

4 kg

NF eesta .

NF cincina .

Força de atrito

estático.

Força de atrito

cinético.

18

NFa .N

Fa

NFa .

NFa .

2,0

4,0 aF

então

8. Plano Inclinado

Considere um corpo apoiado sobre um plano inclinado que forma um ângulo (alfa) com a

horizontal. Duas forças atuam no corpo: o peso P, vertical para baixo, e a reação normal do apoio N,

perpendicular ao plano inclinado. O peso atua de duas formas, fazendo-o descer (força xP ) e

comprimindo a superfície (força xP ), dizemos que ele pode ser decomposto nessas duas componentes,

uma PX, paralela ao plano, e outra PY, perpendicular ao plano

temos:

Note que:

39. Um bloco de massa 20 kg é puxado

horizontalmente por um barbante. O

coeficiente de atrito entre o bloco e o plano

horizontal de apoio é 0,25. Adota-se g = 10

m/s2. Determine o peso e a força de atrito.

20 kg

42. Um homem tenta empurrar um carro

exercendo uma força de 300 N em um certo

momento. O veículo não se movimenta.

a) Qual o valor da força de atrito neste

momento?

b) Essa força de atrito é estático ou cinético?

40. Uma caixa se movimenta estando sujeita a uma

força de atrito aF de 60 N. Sendo 120 N o peso da

caixa responda:

a) Qual o coeficiente de atrito entre as superfícies?

b) Essa força de atrito é estático ou cinético?

43. Calcule o que se pede nos casos indicados:

a) Calcule a força de atrito (força máxima).

Dados: g = 10 m/s²

NFa 60 F

41. Um veículo em movimento em uma estrada plana

e reta para após certo tempo se tiver seu motor

desligado sem que o motorista acione os freios. Qual

afirmativa abaixo justifica o fato de ter parado?

A( ) devido a falta de força do motor;

B( ) devido à falta de aceleração;

C( ) devido à ação das forças de atrito;

D( ) devido à falta de reação da força motora.

m=5 kg

gmP .

b) Calcule a força de atrito, a força resultante e

a aceleração da caixa estando inicialmente em

repouso.

Dados: g = 10 m/s²

gmP .

amFR .

F= 32 N

m=8 kg

senPPx .

cos.PPy

Valores de seno e cosseno

são normalmente dados.

P

Exercícios

19

Note que a força de reação normal “N” é igual a yP .

A força que efetivamente acelera o corpo é xP .

Não havendo força contrária a xP ( força de atrito por exemplo), esta será a força resultante

e corpo descerá em movimento variado acelerado.

Exemplo 10 – Uma caixa é colocada sobre um

plano inclinado de 30º de inclinação. A massa da

caixa vale 6 kg e g = 10m/s². Calcule: o peso, a

força normal, a força xP e a aceleração.

86,030

5,030:

Cos

SenDados

NN

PN

PPN

NP

gmP

y

y

6,51

86,0.60

cos.

60

10.6.

2/65

30

305,0.60

.

smkg

Na

m

P

m

Fa

NP

senPP

xR

x

x

Solução Exemplo

44. Um corpo de massa m = 10kg está apoiado num

plano inclinado de 60º em relação à horizontal, sem

atrito, e é abandonado no ponto A, distante 20m do

solo. Supondo a aceleração da gravidade no local de

módulo g=10 m/s² , determinar:

o peso do bloco, a força Px, a aceleração com que o

mesmo desce o plano e o valor da força normal.

Exemplo 11 – Duas esferas são colocadas no alto

de um plano inclinado sem atrito conforme a

figura abaixo. Sobre o movimento de descida das

mesmas é correto afirmar que:

A( ) As duas descem com a mesma aceleração

chegando juntas ao solo.

B( ) A esfera maior chega primeiro ao solo.

C( ) A esfera menor chega primeiro ao solo.

D( ) As duas descem em movimento uniforme

(sem aceleração) chegando juntas ao solo.

A aceleração dos corpos não depende de suas

massas, só depende da gravidade e do ângulo

de inclinação, que possuem o mesmo valor para

ambas as esferas. Estas descerão então, em

movimento acelerado com a mesma

aceleração, chegando ao solo ao mesmo tempo.

senga

m

sengm

m

senP

m

Pa x

.

...

Solução Exemplo

5,060

86,060:

Cos

SenDados

Exercícios

45. Um carro é freado e suas rodas travadas

em uma rua inclinada. O mesmo se encontra em

repouso. É correto afirmar que:

A ( ) Ele possui aceleração constante.

B ( ) A força Px paralela ao plano é nula.

C ( ) A força Px paralela ao plano tem o mesmo

valor da força de atrito e a resultante é nula.

D ( ) Não existe atrito entre os pneus e o solo.

20

dFM .

9. Momento de uma força

É mais fácil desapertar um parafuso quando aplicamos a força cada vez mais distante do eixo de

rotação, mais próxima à extremidade da chave. Portanto há uma relação entre a força aplicada e a

distância do ponto de aplicação ao eixo de rotação. A grandeza física que relaciona essa distância

com a força aplicada é denominada momento (ou torque). Para a definição de momento,

consideremos a força F aplicada a uma chave encaixada na porca de um parafuso preso a um

suporte.

Matematicamente

é definido assim:

9.1. Momento resultante. Se um corpo está sob a ação de várias forças, o momento resultante desse sistema de forças em

relação a um ponto (OM) é a soma algébrica dos momentos das forças componentes em relação ao

mesmo ponto

46. A figura abaixo mostra um móvel sendo

empurrado numa rampa para o baú de um

caminhão de mudanças. Para que o esforço (força

exercida) seja menor é necessário que:

A ( ) A força Normal deve ser maior.

B ( ) A rampa seja menos inclinada possível.

C ( ) O atrito seja maior.

D ( ) A rampa seja mais inclinada possível.

47. Em qual delas é "mais fácil" carregar o bloco

de mesma massa? (despreze os atritos)

Trajetória - I Trajetória - II

Onde:

- F é a força (em Newton, N)

- d á distância do ponto de aplicação (em metro, m)

da força até o ponto O.

- M é o momento (em Newton metro, Nm).

positivo quando o giro tem sentido anti-horário

negativo quando o giro tem sentido horário

Momento de uma força em relação a um ponto O fixo,

é o produto da força F pela distância d até este ponto.

Exemplo 12 – Uma pessoa ao apertar uma porca exerce uma força de

52 N sobre uma chave de boca. Sendo de 30 cm a distância de sua mão

até o ponto O (eixo de giro), determine o momento.

):..(

6,15

3,0.52

.

3,030,030

horsent

NmM

M

dFM

moucm

Solução Exemplo

O

Exercícios

21

Exemplo 13 – Uma barra está fixada no ponto O,

podendo girar em torno do mesmo, está sujeita à

ação das forças 1F e 2F . Calcule o momento

resultante.

1,5 m 2 m

NF 81 NF 62

O

0

1212

)12(12

):..(12

2.6.

):..(12

5,1.8.

21

2

222

1

111

R

R

R

M

M

MMM

horsentNmM

dFM

horantsentNM

dFM

Solução Exemplo

Exemplo 14 – A figura a seguir representa uma

gangorra de 5 m de comprimento e está apoiada

em C. Na extremidade A um garoto de peso

400N. Qual deve ser do garoto B para que a

gangorra fique em equilíbrio na horizontal?

NP

P

P

P

pesooéforçaacasonestedFdF

EntãoMMforma

outradeouzeroserdevemomentosdos

somaaequilíbrioemestejabarraaquePara

600

2

1200

2.1200

2.3.400

)(..

:.:

,

2

2

2

2

2211

21

Solução Exemplo

48. Dê a expressão matemática que define o

momento de uma força F em relação a um pólo O.

49. Calcule o momento resultante em relação ao

ponto O nos casos abaixo:

a) b) c)

F = 2N O d = 3m F = 1N

O O d = 1m F = 8N d = 9m d) O e) O f) O F1 1m 3m 3m 5m F1 F2 1m 1m F2 = 5N F2 F1 = 10N e F2 = 5N F1 = 10N F1 = F2 = 1N

Exercícios

22

10. Máquinas simples

O homem com suas descobertas e criações, lentamente começou a compreender a natureza e

aprendeu a controlá-la, mesmo que de forma limitada, e aproveitá-la.

Para levantar e locomover grandes pesos acima de sua capacidade muscular, o homem criou

instrumentos que facilitam sua ação, ampliando a força aplicada.

Esses instrumentos são muitas vezes chamados de máquinas simples. Podemos citar como

exemplos: alicates, pinças, chaves de fenda, saca-rolhas, torneiras, sistema de polias , etc..

10.1. O que é uma alavanca

Os operários costumam usar uma barra rígida apoiada quando desejam deslocar um corpo pesa,

como uma grande pedra, por exemplo. Essa barra rígida, usada como se mostra na figura, é uma

máquina simples denominada alavanca.

O peso da pedra que o homem deseja

deslocar é denominado força resistente (R) e o

esforço feito por ele na alavanca, força

potente(P). Você pode observar na figura que a

barra encontra-se apoiada em um suporte

denominado ponto fixo ou ponto de apoio(A).

10.2. Tipos de alavanca

De acordo com as posições da força potente, da força resistente e do ponto de apoio, as

alavancas costumam ser classificadas em:

-Alavanca interfixa, quando o ponto de fixo (ponto de apoio) está situado entre a força

potente e a força resistente.

-Alavanca inter-resistente, quando a força resistente está situada entre o ponto de apoio e a

força potente.

-Alavanca interpotente, quando a força potente está situada entre o ponto de apoio e a força

de resistente

50. A que distância do apoio central, deve

assentar a pessoa B para que a barra fique em

equilíbrio na horizontal?

51. Na figura a baixo temos uma chave de boca

sendo acionada por duas forças FA e FB.

Calcule o momento de cada uma delas e o

momento resultante.

Exercícios

23

.

10.3. Talha exponencial (sistema de polias)

Provavelmente você já viu um operário usando uma polia ou um sistema de polias para elevar um

peso a uma certa altura. Este é chamado também de uma máquina simples e consiste em uma roldana

fixa, e ao menos uma roldana móvel.

A força necessária para se levantar o peso é calculada assim:

nM

RF

2

Sendo: - MF força motriz ou motora

- R → força resistente ou peso

- n → número de roldanas móveis

Exemplo 15 – Na figura do exercício, um peso de

400N será levantado pelo sistema de roldanas.

Calcule a força necessária para tal.

NF

F

PFou

RF

móvelroldanauman

nn

200

2

400

2

400

22

)(1

1

Solução Exemplo

Exemplo 16 – Uma força de 20 N levanta uma

caixa em um sistema de roldanas. O sistema é

composto por 4 roldanas. Qual o peso da caixa?

NP

P

PP

PF

fixaemóveisroldanasn

n

160

8.20

8220

2

)13(3

3

Solução Exemplo

Exemplos

24

52. Calcule o que se pede nos sistemas a seguir:

Obs.: os sistemas estão em equilíbrio; o atrito e as massas das roldanas e dos fios são desprezíveis.

c) d)

F = ? F = ? P = 80N P = 200kgf

a) b) F = 100N F = ?? P = ?? P = 1200N

Exercícios

25

Respostas

1 – a) força

b) força

c) força

d) força

e) vetorial

f) módulo, direção e sentido

g) diretamente

h) aceleração

i) sentido

2 – a) v b) F c) F d) V e) F

3 - letras (a), (b) e (d): sim;

letras (c), (e) e (f): não.

4 - b

5 - a

6 - a

7 - d

8 - c

9 - b

10 - e

11 - b

12 - a

13 - d

14 – a) V

b) V

c) F

d) F

e) F

15 – a = 10 m/s²

16 - a = 4 m/s²

17 – F = 90 N

18 – m = 6,5 kg

19 – a) a = 7 m/s²

b) a = 5 m/s²

20 – a) a = 5 m/s²

b) a = 2 m/s²

c) a = 12 m/s²

d) a = 0,1 m/s²

e) a = 2 m/s²

a) a = 2,5 m/s²

21 – a) a = 3 m/s²

T = 12 N

b) a = 5 m/s²

1T = 50 N

2T = 125 N

c) a = 1,5 m/s²

T = 25 N

d) a = 2 m/s²

1T = 24 N

2T = 16 N

22 - N = 50N

Direção: vertical Sentido: para cima

23 - N = 39,2 N

Direção: vertical Sentido: para cima

24 - a) Normal

b) P = 32N c) N

P

25 – F = 15N

26 – F = 10N

27 – P = 400N

28 – P = 130N

29 – m = 16kg

30 – a = 1,6m/s²

31 – Pólo norte

P = 688,24N

Equador

P = 684,6N

32 – F = 98N

33 – b

34 - d

35 – x = 5cm

36 – k = 400N/cm

37 – a) k = 60 N/m

b) x = 1 m

38 – F = 50N

39 – P = 200 N

Fa = 50 N

40 – a) = 0,5

b) cinético

41 – c

42 – a) Fa = 300 N

b) estático

43 – a) Fa = 10 N

b) Fa = 32 N

RF = 0 N

a = 0 m/s²

44 – P = 100 N

Px = 86 N

a = 8,6 m/s²

N=Py= 50 N

45 – c

46 – b

47 – Trajetória II

48 – M = F.d

49 – a) RM 2 Nm

b) RM -24 Nm

c) RM 0 Nm

d) RM 5 Nm

e) RM 5 Nm

f) RM 2 Nm

50 – d = 4 m

51 - FAM 6 Nm

FBM 8 Nm

RM 14 Nm

52 – a) P = 800 N

b) F = 300 N

c) F = 5 N

b) F = 25 kgf