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14/06/2012
1
Escoamento permanente
gradualmente variado
Prof. Msc. Robison Negri
Definição
Um escoamento é definido como gradualmente variado quando
os seus parâmetros hidráulicos variam progressivamente ao longo
da corrente. Quando as características variam bruscamente, diz-
se que o escoamento é bruscamente variado.
Remanso Ressalto Hidráulico
Aplicações
• A construção de uma barragem em um canal de
fraca declividade provoca uma sobrelevação do
nível d’água que pode ser sentida a quilômetros
da barragem, a montante. A nova linha d’água é
chamada de curva de remanso.
• Sendo y a altura d’água numa seção qualquer de
um escoamento variado e y0 a altura d’água no
escoamento uniforme, a diferença y-y0 é chamada
de remanso.
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Exemplos de aplicação
Linha de inundação de uma barragem
Calcular a elevação do nível d’água ocasionada por uma
barragem, estimando a área de inundação de terrenos
ribeirinhos que deverão ser desapropriados pela
companhia executora ou proprietária da obra.
Escoamento Gradualmente Variado
O movimento é gradualmente variado quando:
1. as profundidades variam gradual e lentamente
ao longo do conduto
2. as grandezas referentes ao escoamento, em cada seção, não se modificam com o tempo,
3. as distribuições de pressões são
hidrostáticas, de forma que as fórmulas do
escoamento uniforme podem ser aplicadas com aproximação satisfatória.
Pode ser …… Acelerado
Retardado
212121 ;; yyVVQQ
Hipóteses Simplificadoras
• Declividade do canal é pequena, de modo que a
altura d’água medida perpendicular-mente ao
fundo do canal pode ser confundida com a altura
d’água medida na vertical;
• Canal é prismático, ou seja, qualquer seção é
constante em forma e em dimensões;
• Distribuição de velocidades em uma seção é fixa,
isto é, o coeficiente de Coriolis pode ser
considerado igual a um;
• Distribuição de pressões em uma seção é
hidrostática, ou seja, existe paralelismo entre as
linhas de corrente do escoamento.
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Linha de energia
Io
Plano de referência
z1
z2
y1
y2
g
V
2
2
1
g
V
2
2
2
12
2
222
2
111
22H
g
Vyz
g
Vyz
12H
Equação Diferencial da Linha d’água
2
2
2gA
Q
dx
d
dx
dy
dx
dz
dx
dH
Jdx
dH I
dx
dz
dx
dy
dy
dA
Ag
Q
gA
Q
dx
d
3
2
2
2 2
22
2
2
2gA
QyzH
2
22
22 gA
Q
g
VComo:
A Energia é:
Ajustando fisicamente a diferencial….
BdyBdA
dx
dy
gA
BQ
gA
Q
dx
d3
2
2
2
2
Resulta em…..
dx
dy
gA
BQ
dx
dyIJ
3
2
3
2
1gA
BQ
JI
dx
dy
21 rF
JI
dx
dy
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Equação Diferencial do Escoamento
Gradualmente Variado
21 rF
JI
dx
dy
• Não Têm solução explícita, ou seja, não é
integrável para se achar a solução y = f(x), exigindo métodos numéricos para sua resolução.
Análise das Soluções 21 rF
JI
dx
dy
Regime do
Escoamento
Relação LE e
Declividade
Resposta Linha d’água
Y0 < Yc Fr > 1 I>J I-J>0 dy/dx <0 Decresce
Y0 > Yc Fr < 1 I>J I-J>0 dy/dx >0 Sobe
Y0 = Yc Fr = 1 I>J I-J>0 dy/dx = ∞ Sobe
Verticalmente
Y0 = Yc Fr = 1 I<J I-J<0 dy/dx = ∞ Sobe
Verticalmente
Y0 < Yc Fr > 1 I<J I-J<0 dy/dx >0 Sobe
Y0 > Yc Fr < 1 I<J I-J<0 dy/dx <0 Decresce
Y0 < Yc Fr > 1 I=J I-J=0 dy/dx =0 Não se Altera
Y0 > Yc Fr < 1 I=J I-J=0 dy/dx =0 Não se Altera
Inclinação da Linha de Energia
Jdx
dH JRCAQ h
hRAC
QJ
22
2
Diferentes fórmulas para C
61
8
8
1 6/1
k
RgC
f
gC
Rn
C
h
hManning
Universal
Manning
Universal
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Analisando as linhas d’água
21 rF
JI
dx
dy
hRAC
QJ
22
2
3
22
2
gA
BQ
gy
VF
m
r
0
2
4
6
8
10
12
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
J
y (m)
0
2
4
6
8
10
12
0 1 2 3y (m)
Fr
Analisando “J” e “Fr2”
Se y = y0 → J = I (escoamento uniforme)
Se y > y0 → J < I
Se y < y0 → J > I
Se y > yC → Fr2 < 1
Se y < yC → Fr2 > 1
Se y = yC → Fr2 = 1 (condições críticas)
Casos Particulares
21 rF
JI
dx
dy
0dx
dyJI
dx
dyFr 12
Escoamento Uniforme Escoamento Crítico
Classificação dos Canais Quanto à
Declividade
Canal de declividade fraca: I < Ic => y0 > yc
Canal de declividade forte ou rápida: I > Ic => y0 < yc
Canal de declividade crítica: I= Ic => y0 = yc
Canal de declividade Nula: I= zero => y0 = ∞
Canal de declividade Negativa: I< zero => y0 = Não Existe
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Classificação dos perfis
Dá-se o nome de remanso ao perfil da linha formada pela superfície livre do canal
Dependendo da declividade do fundo do canal pode-se ter 12 tipos de curvas para a linha d’água (superfície livre)
Os tipos de curva são determinados comparando-se a profundidade crítica com a normal em cada seção considerada
Escoamento Permanente Gradualmente Variado
Declividade
Profundidade
Descrição Curvas
Tipo Quantidade
Io< Ic yo> yc
Declividade fraca
(mild slope) M 3 curvas
Io> Ic yo< yc
Declividade forte (steep slope)
S 3 curvas
Io= Ic yo= yc Declividade Crítica C 2 curvas
Io= 0 Declividade nula
(horizontal) H 2 curvas
Io< 0 -
Declividade negativa
(aclive)
A 2 curvas
Tipos de Curvas de Remanso
Io>0
Escoamento Permanente Gradualmente Variado
(em canais com declividade fraca)
Zona Curva Profundidade Escoamento Tipo de Remanso
M1 y > yo > yc Subcrítico Elevação
M2 yc < y < yo Subcrítico Depressão
M3 y < yc < yo Supercrítico Elevação
1
2
3
Exemplo: M1
21 rF
JI
dx
dy
1Fryy
y
c
0
IJy0
)(
)(
dx
dy
Curva Crescente
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Exemplo: M2
21 rF
JI
dx
dy
1Fryy
y
c
0
IJy0
)(
)(
dx
dy
Curva Decrescente Exemplo: M3
21 rF
JI
dx
dy
1Fryy
y
c
0
IJy0
)(
)(
dx
dy
Curva Crescente
Escoamento Permanente Gradualmente Variado
(em canais com declividade forte)
Zona Curva Profundidade Escoamento Tipo de Remanso
S1 y > yo > yc Subcrítico Elevação
S2 yc < y < yo Subcrítico Depressão
S3 y < yc < yo Supercrítico Elevação
1
2
3
Exemplo: S1
21 rF
JI
dx
dy
1Fryy
y
c
0
IJy0
)(
)(
dx
dy
Curva Crescente
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Exemplo: S2
21 rF
JI
dx
dy
1Fryy
y
c
0
IJy0
)(
)(
dx
dy
Curva Crescente Exemplo: S3
21 rF
JI
dx
dy
1Fryy
y
c
0
IJy0
)(
)(
dx
dy
Curva Crescente
Escoamento Permanente Gradualmente Variado
(em canais com declividade crítica)
Zona Curva Profundidade Escoamento Tipo de Remanso
C1 y > yo = yc Subcrítico Elevação
- - Não existe esta zona
C3 y < yo = yc Supercrítico Elevação
1
2
3
Escoamento Permanente Gradualmente Variado
(em canais com declividade nula)
Zona Curva Profundidade Escoamento Tipo de Remanso
- Não existe esta zona
H2 y > yc Subcrítico Depressão
H3 y < yc Supercrítico Elevação
1
2
3
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Escoamento Permanente Gradualmente Variado
(em canais em aclive)
Zona Curva Profundidade Escoamento Tipo de Remanso
- Não existe esta zona
A2 y > yc Subcrítico Depressão
A3 y < yc Supercrítico Elevação
1
2
3
Perda de Carga Localizada
Deformabilidade da Superfície
Livre – Remanso de jusante à
montante.
Ganho de energia x equilíbrio.
Perda de Carga Localizada
Singularidades
1. Exemplo de caso: ressalto hidráulico
O ressalto hidráulico é uma desaceleração brusca do
escoamento em regime torrencial (supercrítico), passando ao
regime fluvial (subcrítico).
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Singularidades
1. Exemplo de caso: ressalto hidráulico
A soma das forças externas na direção do escoamento seja
igual à diferença entre os empuxos hidrostáticos das
extremidades do volume de controle.
Singularidades
1. Exemplo de caso: ressalto hidráulico
A partir da equação de conservação de energia, aplicada
entre as seções 1 e 2, calcula-se a perda de carga no ressalto
hidráulico:
Singularidades
1. RESSALTO HIDRÁULICO
A partir da equação de conservação de energia, aplicada
entre as seções 1 e 2, calcula-se a perda de carga no ressalto
hidráulico:
Singularidades
2. ALARGAMENTO DE SEÇÃO
A partir dos princípios de conservação de energia e da
quantidade de movimento, pode-se conduzir o seu
equacionamento.:
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Singularidades
3. ESTREITAMENTO DE SEÇÃO
A partir dos mesmos princípios:
Kest = coeficiente de perda de carga devido ao estreitamento de
seção que depende fundamentalmente da geometria da transição.
Singularidades
4. REBAIXAMENTO DE NÍVEL
A partir dos mesmos princípios:
Singularidades
4. PILARES DE PONTE
Singularidades
5. CONFLUÊNCIAS
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Singularidades
5. CONFLUÊNCIAS
Singularidades
6. BIFURCAÇÕES
Singularidades
7. EMBOQUES EM NÍVEL
Singularidades
7. EMBOQUES EM NÍVEL