Escoamentos uniforme e gradualmente variado

Escoamentos uniforme e

gradualmente variado

Por definição, o escoamento uniforme (EU) ocorre quando:

• A profundidade, a área molhada, a velocidade, a rugosidade e a forma da seção transversal permanecem constantes;

• A linha de energia, a superfície da água e o fundo do canal são paralelos

O EU pode ocorrer em canais muito longos, retos e prismáticos

Nestes canais, a perda de carga devida ao escoamento turbulento é balanceada exatamente pelo decréscimo de energia potencial

Equações básicas

Idealizações:1) Escoamento permanente e uniforme;2) Escoamento à profundidade constante (profundidade normal);3) Escoamento incompressível;4) Escoamento paralelo e à declividade baixa

Continuidade, quantidade demovimento e energia

222111 ρAUρAU 2211 AUAU

Como A1 = A2

21 UU

Continuidade

Escoamento paralelo distribuição de pressão hidrostática

Quantidade de movimento

Inclinação do canal pequena q ≈ 0 q ≈ senq ≈ tgq ≈ Sb

12x UUρQR

Resultante das forças em x

12xBxS UUρQFF

forças de superfície

forças de corpo

Da equação da continuidade

0FF xBxS

força de corpo peso componente Wsenqforça de superfície força de atrito Ff

A força de pressão líquida é zero 0Wsenθ-Ff

WsenθFf

supwf AF τ

Para o caso do escoamento permanente, incompressível e uniforme

ΔH2g

Uz

γ

p

2g

Uz

γ

p 22

22

21

11

ΔH2g

Uzy

2g

Uzy

22

22

21

11

Para o escoamento permanente, incompressível e uniforme

b21 LSzzΔH • Perda de carga = desnível• As linhas: de energia, piezométrica e de fundo do canal paralelas

Equações de resistência

Equação de Chézy e de Manning

Assumindo tw proporcional à U2:Ff = kLPU2, onde P é o perímetro molhado

Equação de Chézy (1769)

Substituindo na equação da QM e sabendo que W=gAL (Aárea molhada)

RSkγ

U2

1

onde C = (g/k)1/2

RSCU

Equação de Manning (1889)

SRn1

U 32

De natureza completamente empíricaNo Sistema Internacional (SI)Relação entre C e n no SI:

61

Rn1

C

Estimação do coeficiente de

resistência

Aspectos teóricos e práticos

Supondo que os mesmos se comportem como o fator de atrito de Darcy-Weisbach

SL2gU

DL

fΔH2

Equação da energia

Substituindo D por 4R (lembrar que, para conduto circular, R=D/4)

A dificuldade primária no uso das equações é a determinação de C e n

2gU

4Rf

S2

8gf

Rn 61

f

8gC

C e n dependem de f depende de Re e de e

Mas é muito mais difícil determinar e em canaisA partir de um valor de Re f constante

aplicação das equações em escoamentos HR

Por causa dessa dificuldade utilizamos valores médios de n

Procura-se um coeficiente constante que leve em conta os fatores que o influenciam

• Rugosidade da superfície• Vegetação• Irregularidade do canal• Obstrução• Alinhamento do canal• Erosão e sedimentação• Cota e descarga

Método do SCS: incrementação

O Soil Conservation Service (SCS) desenvolveu um método que parte de um valor básico de n

O valor básico é tabelado e serve para um canal reto, uniforme e liso depois feitas correções no valor básico, considerando os fatores mencionadosTambém chamado método de Cowann = (n0 + n1 + n2 + n3 + n4) n5

básico

Irregularidades: erosões, assoreamentos, depressões,...

Variações de seção transversal

Obstruções: matacões, raízes, troncos,...

Vegetação: densidade, altura,...

Grau de meandrização

Ver Quadro 9.2, pág. 240 – Fund. de Eng. Hidráulica

Tabela de valores de n

Tabela publicada por Ven Te Chow em 1959. Possui uma relação extensa de valores, função do tipo de canal e das condições deste

Versões resumidas em todos os livros de hidráulica

As tabelas a seguir foram obtidas no livro Curso de Hidráulica, de Eurico Trindade Neves

Natureza das ParedesCondições

Muito

boas

Boas Regulare

s

Más

Tubos de ferro fundido sem revestimento 0,012 0,013 0,014 0,015

Idem, com revestimento de alcatrão 0,011

0,012*

0,013* -

Tubos de ferro galvanizado 0,013 0,014 0,015 0,017

Tubos de bronze ou de vidro 0,009 0,010 0,011 0,013

Condutos de barro vitrificado, de esgotos 0,011

0,013*

0,015 0,017

Condutos de barro, de drenagem 0,011

0,012*

0,014* 0,017

Alvenaria de tijolos com argamassa de cimento;

condutos de esgotos, de tijolos

0,012 0,013 0,015* 0,017

Superfícies de cimento alisado 0,010 0,011 0,012 0,013

Superfícies de argamassa de cimento 0,011 0,012 0,013* 0,015

Tubos de concreto 0,012 0,013 0,015 0,016

Valores de n para Condutos Livres Fechados

* Valores aconselhados para projetos

Valores de n para Condutos Livres Artificiais Aberto

Natureza das Paredes

Condições

Muito

boasBoas

Regulare

sMás

Condutos de aduelas de madeira 0,010 0,011 0,012 0,013

Calhas de pranchas de madeira

aplainada0,010

0,012*0,013 0,014

Idem, não aplainada 0,011

0,013*0,014 0,015

Idem, com pranchões 0,012

0,015*0,016 -

Canais com revestimento de concreto 0,012

0,014*0,016 0,018

Alvenaria de pedra argamassada 0,017 0,020 0,025 0,030

Alvenaria de pedra seca 0,025 0,033 0,033 0,035

Alvenaria de pedra aparelhada 0,013 0,014 0,015 0,017

Calhas metálicas lisas

(semicirculares)0,011 0,012 0,013 0,015

Idem corrugadas 0,0225 0,025 0,0275 0,030

Canais de terra, retilíneos e

uniformes0,017 0,020 0,0225* 0,025


Valores de n para Condutos Livres Artificiais Aberto (continuação)

Natureza das Paredes

Condições

Muito boas Boas Regulares Más

Canais abertos em rocha, uniformes 0,025 0,030 0,033* 0,035

Idem, irregulares; ou de paredes de pedras 0,035 0,040 0,045 -

Canais dragados 0,025 0,0275* 0,030 0,033

Canais curvilíneos e lamosos 0,0225 0,025* 0,0275 0,030

Canais com leito pedregoso e vegetação nos

taludes0,025 0,030 0,035* 0,040

Canais com fundo de terra e taludes

empedrados0,028 0,030 0,033 0,035


Arroios e Rios

Condições

Muito

boasBoas

Regulare

sMás

(a) Limpos, retilíneos e uniformes 0,025 0,0275 0,030 0,033

(b) Idem a (a), porém com vegetação e pedras 0,030 0,033 0,035 0,040

(c) Com meandros, bancos e poços pouco profundos,

limpos0,035 0,040 0,045 0,050

(d) Idem a (c), águas baixas, declividades fracas 0,040 0,045 0,050 0,055

(e) Idem a (c), com vegetação e pedras 0,033 0,035 0,040 0,045

(f) Idem a (d), com pedras 0,045 0,050 0,055 0,060

(g) Com margens espraiadas, pouca vegetação 0,050 0,060 0,070 0,080

(h) Com margens espraiadas, muita vegetação 0,075 0,100 0,125 0,150

Valores de n para Condutos Livres Naturais Abertos (Arroios e Rios)

Outros métodos

Medição de velocidades e Características das Seções

- Determinação das cotas de fundo, das características hidráulicas e da velocidade média de duas seções, separadas de uma distância ∆x

- Aplicação da equação da energia para cálculo da declividade da linha de energia

- Cálculo de n médio porx

z-zJ

21

g

UygUy 22

22

2

21

1

U

Rn

21

32

Jh

Estimativa a partir da Granulometria

Equação de Meyer-Peter e Muller (1986), aplicável em leitos com proporção significativa e material graúdo

6190038,0 dn

Canais de rugosidade composta

Algumas vezes temos que estimar o valor de n equivalente ou representativo de uma seção, cuja rugosidade varia ao longo do perímetro

O que se faz então é dividir o perímetro em N partes, cada uma das quais com seu valor de n

Depois, calcula-se o n equivalente ne

Horton (1933) mais utilizadaEinstein e Banks (1950)U1 = U2 = ... = UM

Ponderação pelo perímetro molhado

32

N

1i

3/2ii

e P

nP

n

Ver exemplo 9.6, pág 243 – Fund. Eng. Hidr.

Descarga normal em canais de seção composta

Quando o escoamento atinge a planície de inundação, P aumenta mais rapidamente que A R, V e Q decrescem

Alternativas:1) Ponderar n pela área de cada subseção;2) Calcular a condutância hidráulica em cada

subseção e depois somá-las

Esta situação é computacionalmente correta, mas não fisicamente: o método anterior pode fornecer estimativa ruim superestimar n

nRA

K32

Ponderação pela área

A

Ann

N

1iii

e

Soma de condutâncias hidráulicas

SKQ

N

1iiKK i

2/3ii

i n

RAK

1

2/311

1 n

RAK

2

2/322

2 n

RAK

Ver exemplo 9.7, pág 245 – Fund. Eng. Hidr.

Coeficientes de Coriolis e Boussineq para seções compostas (Chadwick e Morfett, 1993)

m

i i

i

m

ii

m

ii

A

K

K

A

12

3

3

1

2

1

m

i i

i

m

ii

m

ii

A

K

K

A

1

2

2

1

1

Cálculos com o escoamento

permanente e uniforme

Dois casos práticos:1) Verificação do funcionamento hidráulico2) Dimensionamento hidráulico

Caso 1 Qual a capacidade de condução de um canal de determinada forma, declividade e rugosidade, sabendo qual é a profundidade?

Caso 2 Quais as dimensões que deve ter o canal, de determinada forma, rugosidade e declividade para conduzir uma determinada vazão?

Qual a profundidade normal (yN ou y0)?

nSR

U3

2

Sn

ARQ

32

Exemplo 9.1 – Fund. de Eng. Hidráulica, pág. 230

Um canal trapezoidal revestido com grama, com inclinação dos taludes de 1(V):2(H), base de 7,00m e declividade de 0,06%, apresenta um coeficiente de rugosidade de Manning 0,025. determinar a vazão transportada, em regime uniforme, sabendo-se que nesta situação a profundidade normal é de 5,00m.


Calcular a capacidade de vazão e determinar o regime de escoamento do ribeirão Arrudas, em Belo Horizonte, sabendo-se que a declividade média neste trecho é de 0,0026 m/m, sendo seu coeficiente de rugosidade avalizado em 0,022.

1) Verificação do funcionamento hidráulico

nSR

U3

2

Sn

ARQ

32

Condutância hidráulica ou fator de conduçãoDeterminação da profundidade normal por

tentativa e erro ou gráficos

Sn

ARQ

32

S

nQAR 3

2

Função de yN

constante

2) Dimensionamento hidráulico

Supondo um canal trapezoidalA = (b + zy)yP = b + 2y (1+z2)1/2

32

35

32

32

PA

PA

AAR

y

bz

1

S

nQ

z12yb

y2yb

32

2

35

35

Para resolver: adotam-se valores de yN, até igualar os ladosOu constrói-se um gráfico y x AR2/3 e localiza-se o ponto desejado que satisfaça o lado direito

Pode-se utilizar de gráficos adimensionais. Por exemplo, para um canal de seção trapezoidal:yN/D ou yN/b x AR2/3/D ou AR2/3/b

Métodos numéricos também podem ser usados (Newton, Bisecção,...)

As calculadoras científicas atuais podem também resolver este tipo de problema

Exercício: calcular yN de um canal trapezoidal: largura de fundo de 3m, declividade 0,0016, n = 0,013. Ele tem que ter a capacidade de transportar 7,1m3/s. O talude é de 1,5:1 y A(m2) P(m) R(m) AR2/3

2,30 14,84 9,22 1,61 20,37

2,32 15,03 9,27 1,62 20,75

2,34 15,23 9,33 1,63 21,13

2,36 15,43 9,38 1,65 21,51

2,38 15,64 9,44 1,66 21,90

2,40 15,84 9,49 1,67 22,29

2,42 16,04 9,54 1,68 22,68

2,44 16,25 9,60 1,69 23,08

Valor da constante

08,23S

nQ

Em uma planilha, faz-se variar y

Gráficos Auxiliares


Um canal trapezoidal, com largura de base de 3m e taludes laterais 1:1, transporta 15m3/s. Pede-se calcular a profundidade de escoamento, sabendo-se que a rugosidade é de 0,0135 e a declividade é de 0,005m/m.


Determinar a curva auxiliar de cálculo (y x AR2/3) para uma seção tipo Sudecap, com largura de 12m, profundidade total de 5m e taludes da base triangular de 1:3. Calcular a profundidade de escoamento para uma vazão de 100m3/s, supondo uma declividade de 0,1%.

Seções Circulares

Muito utilizadas em redes de esgoto e drenagem pluvial

Cálculo hidráulico facilitado através do uso de tabelas auxiliares e das equações:

21381,0ID

nQp

21324,0ID

nU p

y

y


Dimensionar uma galeria circular em tubos pré-moldados de concreto para uma vazão de 1200 l/s, implantada com declividade de 1,5%, sendo que o tirante de água está limitado a 80% do diâmetro e a velocidade máxima de escoamento é 4,5m/s

Seções de perímetro molhado mínimo e

vazão máxima

1) Determinar a forma geométrica2) Determinar as dimensões

Procedimento simples rápido do ponto de vista hidráulico

O dimensionamento de um canal tem por objetivos:

Mas envolve outros fatores técnicos, construtivos e econômicosPresença de avenidas construídas ou projetadasLimitação de profundidade (lençol freático, etc.)...

Procuram eficiência hidráulica e econômica (superfície de revestimento é mínima)

Entretanto, o resultado pode ser:1) Seções profundas custos de escavação

maiores, de rebaixamento de NA, não compensando a economia no revestimento

2) velocidades médias incompatíveis com o revestimento

3) Seções com b << y dificuldades construtivas

As seções de perímetros molhados mínimos ou vazão máxima

A área e o perímetro molhados são:A = (b + zy)yP = b + 2y (1+z2)1/2

y

bz

1Utilizando a razão de aspecto m = b/y

2zy)y(mA

Trapézio de perímetro molhado mínimo

Derivada de P em relação a m e igualando a zero

zz12m 2

substituindo na fórmula de P

Isolando y

yz12mP 2

zm

Az12mP 2

Ou ainda zz12yb 2

Para um canal retangular 2yb

y

yy

b


Dimensionar um canal retangular em concreto (n=0,015), com declividade de 0,0018 m/m, para funcionar em condições de máxima eficiência conduzindo 50m3/s

Algumas recomendações de

projeto

1) O projetista deve prever o “envelhecimento” do canal nprojeto = 10 a 15% maior que ntabelado

2) Deixar uma folga de 20 a 30% acima do nível máximo de projeto, sobretudo para canais fechados

3) Preferir o método de soma de condutâncias hidráulicas para cálculo de seções compostas

SKQ

N

1iiKK

i

2/3ii

i n

RAK

As subseções são divididas por linhas verticais imaginárias, não computadas para o cálculo de Pi

1

2/311

1 n

RAK

2

2/322

2 n

RAK

4) A velocidade média num intervalo que evite deposições e erosões (tabela a seguir)

5) Observar a inclinação máxima dos taludes

Exemplo 9.1 – Hidráulica Básica (Porto), pág. 279



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Escoamentos uniforme e gradualmente variado