ESCOAMENTOS COM RE<1STOKES FLOW OU CREEPING FLOW

Escoamento de Stokes (homenagem à Stokes) é um tipo de escoamento onde a força de inércia (termos convectivos) são pequenos comparados com a força viscosa. O número de Reynolds é pequeno. Freqüentemente ocorre em situações onde a velocidade do fluido é baixa, a viscosidade é alta ou onde a dimensão característica do escoamento é pequena. Ele é aplicado na área de transporte de particulados e suspensões (emulsões, polímeros), meios porosos, lubrificação, dispositivos micro-eletromecânico entre outras áreas. Não deixe de assistir o filme

Low Reynolds Flows

O processo Re -> 0• Utilizando-se escalas típicas de escoamento viscosos:

2L

V* Re V* V* P* V*t *

• A eq. N-S (adimensional) apresenta um limite assintótico, quando Re ->0, para equação de Stokes;

*2 *

*

V P* Vt

*0

2* *0

V V U x=x *L

U LP P t = tL

• As eq. N-S. podem ser escritas na forma adimensional como:

• A dependência no tempo de V vem diretamente das C.C. que dependem do tempo; uma vez cessada a variação no tempo da C.C. o campo de V deixa de ser transiente.

O processo Re -> 0• A eq. N-S (adimensional) apresenta um limite assintótico, quando Re ->0, para equação de Stokes ou, Stokes é uma solução aproximada para N-S;

•Quando Re ->0 significa que as forças viscosas são muito maiores que as forças de inércia;

•A força motriz é a pressão que, por sua vez, é balanceada pelas forças viscosas.

• Aproximações da solução quando ReL -> 0 podem ser obtidas expandindo-se V em potências de Re (técnica de perturbação)

*2 *

*

V P* Vt

Campos de P e V Desacoplados

• No domínio de Stokes pode-se mostrar que os campos de V e P estão desaclopados;• Deixando de lado a forma adimensional das equações e considerando um caso sem c.c. variando no tempo, o gradiente de pressão está relacionado com o campo de velocidade por meio de:

• Além disto, o campo de velocidades deve satisfazer e equação da massa:

2P V g

V 0

Desacolplamento campo de PRESSÃO

• Tomando o divergente da Eq. Q. Movimento

• Reconhecendo que o escoamento é incompressível, divV=0;

2 2VVdiv P V P V

t t

2P 0

Desacoplamento campo de VELOCIDADE

• Tomando o rotacional da Eq. Q. Movimento

• Reconhecendo que, rot(gradP) =0 e aplicando novamente o rot

2 2VVrot P V P V

t t

2V

Vt

• porém, da identidade: 2V V V

4

22 2

(operador bi-harmonico)

VV

t

Desacoplamento campo de VELOCIDADE – casos 2D ou Axi-simétricos -

• Foi visto que a Eq. Quantidade de Movimento 2D ou axi-simétrico:

• Campos 2D ou axi-simétricos em regime permanente permitem a definição de uma função corrente e reduzem a vorticidade para uma componente apenas. Considere um escoamento no plano XY:

2

0

Pt

2z z

u v e u v y x y x

• A equação de Q. Movimento reduz para equação bi-harmônica da função corrente.

2 20

Equações de P e V Desacoplados

• Para regime permanente a solução do campo de pressão e de velocidade não dependem da viscosidade!

• A solução do campo de velocidades depende somente da forma do contorno e da distância .• O valor de estabelece uma proporção entre P e V:

4

2

V 0

P 0

2 2

V f r, geometria c.c.

P V P f r, geometria c.c.

r

Características das Eq. Stokes - LINEARIDADE

• As equações para V e P são lineares.

• Pode-se aplicar o princípio da superposição para V e P onde novos campos de V e P são determinados a partir da combinação linear de campos conhecidos.

• Note que a superposição linear não pode ser aplicada para escoamentos potenciais porque o campo de V é quadrático (exemplo: Eq. Bernoulli).

4

2

V 0

P 0

Características das Eq. Stokes - REVERSIBILIDADE

• O escoamento é reversível pq não há inércia. • Havendo a supressão da força externa o escoamento cessa; • Se a força externa for revertida o escoamento reverte;• Se o histórico de aplicação da força externa for repetido então o escoamento e sua história serão revertidos e a partícula de fluido re-traçará sua trajetória;

Kinematic reverse Re < 1 Kinematic irreverse Re > 1 Kinematic reverse Re < 1 (2)

Irreversibilidade do Escoamento com Inércia

Características das Eq. Stokes - SIMETRIA• O escoamento ao redor de corpos simétricos é simétrico pq a difusão de V se propaga a montante e a jusante com igual efetividade. • As formas das linhas de corrente a montante e a jusante coincidem.• Objetos simétricos não possuem esteiras.

Re < 1 Re > 1

Cara

cter

ística

s das

Eq.

Sto

kes -

SIM

ETRI

A• Solução numérica do escoamento viscoso através de um orifício circular (Re = 4aU/).

• As figuras mostram os contornos da função corrente e da vorticidade (Mills 1968)

• Re = 0 a vorticidade difunde-se igualmente a montante e a jusante.

•A medida que Re aumenta os contornos de e deixam de ser simétricos devido ao surgimento da inércia na solução.

Re = 0 & Cd = 0

Re = 10 & Cd = 0.463

Re = 50 & Cd = 0.69

Cara

cter

ística

s das

Eq.

Sto

kes –

Aus

ênci

a de

Es

teira

Re < 1

Re > 1

ESCOAMENTO EM CORPOS ESFÉRICOS

Coordenadas Esféricas e a Função Corrente de Stokes (simetria Azimutal )

Superfíciesf r, e g=

Os gradientes das superfícies

1 1, , e r r rSin

1g 0,0,rSin

r r

r 2

Velocidades :v

V g; v v r, ; v v r, ; 0

1 1v ; vr Sin rSin r

• Note que esta definição de automaticamente satisfaz a massa:

2r

2

r v Sin v1 1V 0r r rSin

Formulação: Vorticidade - (simetria Azimutal )

• O escoamento com simetria em só pode apresentar rotação (vorticidade , ) no plano (r,); isto é, reduz a uma única componente não nula, :

rrv v1 1Vr r r

• Formulação de Stokes:

2

2

VV

t

0t

22 2 2 2

1 1r sin t r r r r sin r sin

Laplaciano de um vetor em coordenadas esféricas (extraído de Batchelor)

0 0

0

Formulação: Função Corrente - (simetria Azimutal )

• A formulação função corrente é adequada para problemas 2D e axi-simetricos.• Ela pode ser obtida através:

(1) re-escrevendo a vorticidade em termos da função corrente de Stokes e (2) substituir a vorticidade na Eq. Q. Momento.

1. Substituindo as velocidades pela definição de Função Corrente:

2

2 2

1 sin 1rsin r r sin

Operador E2 2

22 2

sin 1Er r sin

21 Ersin

em função do operador

rrv v1 1r r r

Formulação: Função Corrente - (simetria Azimutal )

2. Expressando a vorticidade por na equação de Stokes

• Na ausência de c.c. variando no tempo (d/dt =0), expandindo as derivadas e simplificando os termos semelhantes:

2

22 2

1 sin 1 E =0 rsin r r sin

• O operador entre chaves é a definição de E2, então a formulação de Stokes reduz para a função bi-harmonica:

2 2E E =0

• Sua forma expandida contém muitos termos:

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

E E

sin 1 sin 1 sin 1 =0r r r sin r sin r r sin

2 2 22

E E E2r sin r sin r sin2 2 3 3

E1 1r sin t r r r r sin r sin

ESFERA DESLOCANDO-SE NUM FLUIDO ESTACIONÁRIO

Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)condições de contorno

aU • Esfera de raio ‘a’ deslocando-se na direção x

com velocidade U

2 2r a

1 - Ua sin 2

• Na superfície da esfera (r=a), todos os pontos se deslocam com velocidade U. A função faz a velocidade resultante, em (r=a), sempre U ,verifique!

• Na superfície (r=a), v = U.sin, condição de não deslizamento.

r a 2 2r

r 2r a

1v U sinr sin r

U v v1v U cos

r sin

• Longe da esfera o fluido está parado, = constante.

2 0 para r r

vr

U

v

Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)equação de transporte

• A função corrente deve satisfazer a equação E4=0. • Possível técnicas de solução: separação de variáveis. • Sugere-se como tentativa a função

• O operador E2, de acordo com proposto, assume a forma:

• A equação bi-harmonica

• Para satisfazer E4=0 é necessário que f”-(2/r2)f = 0, ou seja:

2 sin F r

2 2 22

2E sin F '' F sin f rr

4 22

2E sin f '' f 0r

2 Bf r Arr

(1)

(2)

(3)

Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)equação de transporte

• Substituindo Eq. (3) em (2)

• A função corrente , , é definida pelas constantes A, B, C e D :

2 2 2r a

3

22

r a

1 1 1 DUa sin Ua Ba2 2 2 a 3 1B Ua, D Ua

1 D 2 4Uasin Ua B r 2 a

2 4 22

2 B A B D F'' F Ar F r r r Crr r 10 2 r

2 4 2A B Dr, sin r r Cr10 2 r

• Que por sua vez serão determinadas pelas condições de contorno.• Como /r2 0 para r , então A = C = 0.• Aplicando as duas c.c. para r = a (não deslizamento) encontra-se:

Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)função corrente e campo de velocidade

• A função corrente :

• O campo de velocidades:

2 2

32 2

1 a rUa sin 3 ou 4 r a

1 a aUr sin 34 r r

2

r 2

2

1 1 a a rv U cos 3 r sin 2 r r a

1 1 a av Usin 3r sin r 4 r r

Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)distribuição de pressão

• O campo de pressão pode ser obtido resolvendo-se 2P = 0 entretanto não se conhece a priori o valor de P no contorno.

• Vamos calculá-lo a partir do campo de velocidades ou da vorticidade uma vez que esta já é conhecida:

• As componentes r e da equação de quantidade de momento:

2

3r 22

P V Psin0e ;0e ;B e sendo B Ua

r

2

2

P 1 sinsin Br r sin r

P 1 sinr Br r r r

Esfera se Deslocando no Fluido (Stokes 1851)distribuição de pressão

• A partir das componentes do gradiente de pressão pode-se determinar o campo de pressão:

• Integrando-se a expressão acima obtêm:

2

3 cosP P aU2 r

323 2 2

P Pdp dr dr

2cos dr sin d cos B Bd sendo B Uar r r

Características das Eq. Stokes – SIMETRIA & ANTI-SIMETRIA

• O escoamento num corpo simétrico apresenta uma distribuição de velocidade SIMÉTRICA

• O escoamento num corpo simétrico apresenta uma distribuição de PRESSÃO ANTI-SIMÉTRICA

• Distribuição de pressão na esfera (r =a) e em = 0 e 2

3 cosP P aU2 r

P

U

Aplic

ação

em

Tub

os d

e Pi

tot

• Tubos de Pitot ou tubos de impacto são empregados para medida de velocidade através da diferença de pressão entre o ponto de estagnação e a corrente livre.

• A pressão da corrente livre e a pressão de estagnação estão relacionadas por Bernoulli.

2s

sp 21

2

1P P U ou 2

P PC 1

U

• Cp = 1 é válido para Re >>1. Cp no ponto de estagnação da esfera (=0) para Stokes é:

s

pd

3 UP P 2 a6 6C

U(2a) Re

• Ignorar efeitos viscosos quando Re <1 em tubos de impacto resulta em erros pq os valores de Ps medidos são muito maiores daqueles que seriam medidos por Bernoulli devido a Re <1

Força de Arrasto na Esfera• A força de arrasto na esfera é resultante da soma das parcelas de arrasto devido ao atrito na superfície e a distribuição de pressão anti-simétrica. A componente X é:

ação das tensões

elemento de áreadA = (2asin)(ad)

r r a r a0 0

4 Ua 2 Ua

D sin dA (P P ) cos dA 6 Ua

4r

r

2

v v1 3 U ar sinForças de r r r 2 a rSuperfície 3 cosP P aU

2 r

• Observe que a distribuição de pressão representa 1/3 do arrasto total enquanto que a força viscosa os outros 2/3, mesmo que Re<<1!

Coeficiente de Arrasto da Esfera

Comparação Cd contra dados experimentais para vários Re, área colorida indica a faixa de validade da relação de Stokes

D

d d2 21d2

U 2a6 Ua 24C onde ReReU a

Generalização da Força de Arrasto É difícil encontrar soluções para escoamento ao redor de corpos que não apresentam a forma esférica, apesar disto pode-se generalizar alguns resultados, entre eles o arrasto no regime de Stokes:

i ij jD 4 K U d

• Di representa as componentes da força de arrasto• Kij é um tensor cujos coeficientes dependem somente da geometria do corpo• Uj é a velocidade relativa entre o corpo e o fluido• d uma dimensão característica do corpo.

A principal informação é que o arrasto no regime de Stokes é linear com U e à viscosidade.

Velocidade Terminal de uma Esfera em Queda Livre num Fluido

Uma esfera caindo num fluido viscoso sob a ação da gravidade eventualmente atinge uma velocidade uniforme onde as forças gravitacionais que ela está submetida são equilibradas pela força hidrodinâmica que o fluido exerce. Esta velocidade é denominada por velocidade terminal. Considere: i) fluido com densidade e viscosidade e ii) raio da esfera, a e densidade da esfera e

Um balanço entre a força de empuxo e a força peso:

e2 2e

4 26 Ua g a U a g3 9

• Se o fluido for um gás, usualmente e >> , então: 2 e2U a g

9

• As expressões são válidas desde que Re <<1

Esfera em Queda Livre

• Para o regime de Stokes, V ~ D2

• Esferas com razão 2:1 de diâmetro apresentam uma razão de 4:1 para a velocidade!

e22 U a g9

ESCOAMENTO AO REDOR DE UMA ESFERA ESTACIONÁRIA

Esfera Estacionária e Fluido Escoando condições de contorno

a U • Fluido se aproximando da esfera na direção x com velocidade U

r ar a

0 e 0 r

• Na superfície da esfera (r=a), todos os pontos possuem velocidade nula (não deslizamento) portanto a (r=a) é uma linha de corrente e a v é nulo:

• Longe da esfera o fluido está se deslocando com velocidade U2 21

2 Ur sin para r

• O problema está determinado e pode-se, com as c.c., determinar novas constantes A,B,C e D.

• Porém, como o escoamento é linear a solução pode ser obtida por meio do princípio da superposição.

Esfera Estacionária e o Fluido Escoando condições de contorno

• A função corrente pode ser obtida somando-se ao da esfera se deslocando um correspondente ao campo uniforme em sentido contrário:

32 21 1 a 3 aUr sin 1

2 2 r 2 r

Esfera Estacionária e o Fluido Escoando condições de contorno

• A função corrente pode ser re-escrita na forma:3

2 21 a 3arUsin r2 2r 2

• Dentro do parêntesis o primeiro termo representa o escoamento uniforme e o segundo termo um doublet. Juntos eles representam a função corrente de um escoamento ausente de viscosidade sobre uma esfera.

• O terceiro termo é denominado por Stokeslet e representa a correção viscosa.

Esfera Estacionária e o Fluido Escoando condições de contorno

• As componentes das velocidades podem ser determinadas rapidamente somando-se a elas a velocidade uniforme (vr = -Ucos e v = Usin )

2

r

3

1 a a rv U cos 3 2 2 r r a

1 a av Usin 3 44 r r

• A distribuição de pressão tem o sinal invertido uma vez que o escoamento mudou de direção:

2

3 cosP P aU2 r

Linhas de Corrente para Esfera

• Observe as diferenças entre as linhas de corrente ao redor da esfera (se deslocando ou estacionária) para escoamento Potencial ou de Stokes.

• No escoamento de Stokes (o potencial também) há uma completa simetria entre as linhas de corrente para um plano que passa pelo equador. Isto é possível somente pq o escoamento não possui inércia. Para Re > 1 a falta de simetria manifesta-se na forma de esteiras e vórtices na traseira da esfera.

ESCO

AMEN

TO A

O R

EDO

R DE

U

MA

ESFE

RA D

E FL

UID

O

• Uma derivação interessante da solução de Stokes para a esfera é o escoamento ao redor de uma gota de fluido proposto por Rybczynski (1911) e Hadamard (1911) independentemente.

• Os escoamentos no interior da gota e externo a ela são identificados por (i) e (o)

• A solução parte das hipóteses : 1. Re <<1, 2. A tensão superficial tende a manter a forma esférica da

interface entre dois fluidos imiscíveis contra a tendência desta se deformar pela ação das forças viscosas.

3. O único efeito que a tensão superficial traz é causar uma descontinuidade na tensão normal na interface

o i 2P Pa

Esfera de Fluido: Condições de Contorno

o i

= para r = a r r

rv =Ucos e v -Usin para r

o i 0 para r a

(1) Assume-se que a gota está estacionária e o fluido externo se move com velocidade uniforme na direção de x positivo

(2) Na interface (r=a) vr = 0, i.e., interface esférica, e por sí só ela constitui uma linha de corrente (fluido não cruza a interface):

(3) Na interface (r=a) v é contínuo entre os dois meios,

(4) Na interface (r=a) a tensão tangencial é contínua entre os dois meios, o i

o i2 2

1 1 = para r = a r r r r r r

As quatro c.c. garantem uma solução para o sistema de equações

Esfera de Fluido: Solução Aplica-se a solução geral encontrada para a esfera no escoamento interno e externo:

• A c.c. para r requer que A=0 e C=(1/2)U• Na origem (r=0) demanda-se que a solução seja finita, F=H=0• As quatro constantes restantes são determinadas pela aplicação das c.c. restantes do problema.

233

2

o i

13 1 1B Ua , D Ua2 1 4 15 U 1E , G U2 a 1 4 1

é a razão de viscosidades, =

o 2 4 2

i 2 4 2

A B Dr, sin r r Cr , r a10 2 rE F Hr, sin r r Gr , r a10 2 r

Arrasto numa Esfera de Fluido A força de arrasto é determinada a partir da integral das forças normais e tangenciais que atuam na interface de modo similar ao problema da esfera sólida:

Casos limites:

1. Se i ou 0 reproduz a lei de Stokes, D=-6Ua

2. Se o>> i ou >> 1, simula uma bolha ascendendo num meio líquido, D=-4Ua

23

23

1D 6 Ua

1124Cd

Re 1

Aplicação do Princípio da Superposição

Um elipsóide com razão a:b apresenta coeficientes de arrasto distintos se o escoamento estiver paralelo ou normal ao seu eixo principal

a ab b4 3 2

F C Ub; Ct 6 ; Cn 65 5

A força de arrasto e os coeficientes para cada direção são dados por:

Para a>>b, corpo tipo agulha, Cn ~ 2Ct

Aplicação do Princípio da Superposição

Suponha que o elipsoide faça um ângulo com relação a corrente livre que possui velocidade U. Determine o arrasto

t t n nF C bU cos e F C bU sin

No regime de Stokes a força é linear com a velocidade:

U

2 22 2t n t nF F F bU C cos C sin

Queda livre de um corpo tipo agulha, Cn=2Ct

Durante a queda a força resultante na agulha deve ser igual a sua força de empuxo.

tn

t t

2C bUsinFtan 2 tanF C bU cos

ou cot 2 tan

Relação entre e

• ângulo da agulha com horiz.• - ângulo de U com a agulha• Fn, Ft, E – Forças normal, tan. e empuxo• U – velocidade de translação

Paradoxo de Whitehead• Escoamentos 2D (cilindros) a equação de transporte de Stokes P=2V não possui uma solução analítica exata; A c.c. no infinito não consegue ser satisfeita p/ geometria 2d.• Pode-se entender esta limitação fazendo-se uma analogia com problemas puramente difusivos em condução de calor em sólidos semi-infinitos

y=0, T=Tw mas y, T , não é possível atender c.c. T=T

2

1 22

T 0 T C y Cy

1 21 Tr 0 T C Lnr Cr r r

r=r0, T=Tw mas r, T , não é possível atender c.c. T=T

21 22

1 T 1r 0 T C Cr r r r

r=r0, T=Tw e r, T T, C2= T e C1 = ro(Tw- T)

Não Uniformidade Solução Stokes p/ domínios infinitosescoamentos não-confinados

• A aproximação de Stokes é válida para Re 0. Isto é verdade próximo da esfera, i.e. os termos inerciais são desprezíveis. • Entretanto, para r, os termos inerciais não são mais desprezíveis.• Escoamento Stokes numa esfera; é estimado na ordem de magnitude dos maiores termos de difusão e convecção

3

2

22

r

1 U aDifusão sinr sin a r

v U aConvecção vr a r

• A razão entre os termos:

Convecção Ua rDifusão a

Não Uniformidade Solução Stokes p domínios infinitosescoamentos não-confinados

• A razão dos termos mostra que mesmo para Re <<1, é possível que os termos inerciais sejam aos termos viscosos para r

• A solução de Stokes não é válida em regiões afastadas a esfera, a solução é não uniforme!

Convecção Ua rDifusão a

Stokes

Inércia ~ difusãoStokes não válido

Esfera

• A aproximação de Stokes é boa para uma região próxima do corpo. Por esta razão é que a teoria prevê muito bem o arrasto. Entretanto esta aproximação não pode ser aplicada para r .

Não Uniformidade Solução Stokes p/ domínios infinitosAproximação de Carl Wilhelm Oseen (* 1879; † 1944 )

• Oseen (1910) remove a não uniformidade na solução de Stokes e propondo uma aproximação para o termo convectivo:

• V é o campo de velocidades e U é a velocidade relativa do fluido ao corpo, neste caso U é uniforme. Oseen linearizou o termo convectivo permitindo que fosse obtido soluções analíticas.

2 U V P V

esferad

24 3Cd 1 Re ...Re 16

• A solução de Oseen é não-simétrica, apresenta esteira na esfera mas não uma região de separação.

Comparação solução de Oseen

Referências

• Batchelor, G.K., Introduction to Fluid Mechanics, Cambridge Press, 1967• Happel and Brener, Low Reynolds number hydrodynamics”, Martinus Nijhoff Publishers, 1963• White, F. M. , Viscous Flow, McGraw Hill• Lamb, Hydrodynamics, Dover, 1945• Clift, Grace and Weber, Bubbles, Drops and Particles, Dover, 1978• Panton, Incompressible Flow”, John Wyley, 1984• Taylor, G.I. , Low Reynolds Flow, NCFMF

FIM