2 O cálculO nas atividades cOtidianas - EJA - … 5 Ajudando no troco Ao comprar uma mercadoria de R$ 72,00, o cliente deu uma nota de R$ 100,00. Como o vendedor não tinha trocado,

No dia a dia, somos desafiados quase o tempo todo a operar com quantidades. Este é o tema desta Unidade, o cálculo e as diversas for-mas de calcular que usamos habitualmente.

O cálculo faz parte da vida das pessoas. Seria praticamente impossível viver no mundo atual sem ter de fazer contas.

2 O cálculO nas atividades cOtidianas

Para iniciar...

Agora pare e reflita sobre o que você tem feito nos últimos tempos.

• Alguma de suas atividades cotidianas ou profissionais envolve a realização de cálculos?

• Qual foi a última vez em que você precisou fazer uma conta?

• Em que situações temos de efetuar cálculos?

• Você consegue imaginar alguma profissão em que o cálculo é des-necessário?

• Em sua opinião, para que serve o cálculo?

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rial

137

Atividade 1 As palavras e os números

1. Escreva um pequeno texto sobre o que você sabe sobre cálculo.

2. Liste três tipos de trabalho nos quais é preciso realizar cálculos.

As modalidades de cálculo na escola, em casa e no trabalho

O cálculo encontra-se em praticamente todas as atividades pro-fissionais: do pedreiro, do marceneiro, do engenheiro, do bancário, do contador ou do economista, entre tantas outras. Todos fazem seus cálculos, de um modo ou de outro.

As atividades que exigem rapidez e precisão na realização de cál-culos utilizam ferramentas como calculadoras e softwares (progra-mas) de computador.

Entretanto, na maior parte das situações do cotidiano, os cál-culos não precisam ser exatos. Quando você vai à feira, se já sabe o que pretende comprar, não é necessário levar o dinheiro contado, até mesmo porque os preços podem ter variado. No entanto, é importante ter uma noção do que vai gastar: basta saber o valor aproximado. É assim também em outras atividades. O alfaiate, por exemplo, tem de ter uma ideia aproximada de quanto tecido vai precisar para fazer uma roupa – ele sabe que haverá retalhos e que existem casos em que remendos não poderão ser feitos.

0 . =

SET

ONMRC M- M+

PTAS %

1 24 5

7 5 -

+

3

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138

Matemática – Unidade 2

Na vida prática, na maioria das vezes, os cálculos são efetuados de quatro modos distintos:

• cálculo mental;

• cálculo escrito no papel;

• por estimativa;

• na calculadora ou no computador.

Nesta Unidade você vai explorar alguns procedimentos de cálculo mental e aprofundar seu conhecimento sobre o cálculo escrito, bus-cando compreender o porquê de cada uma de suas etapas.

Como calcular mentalmente o resultado de adições e subtrações

Os esquemas a seguir ilustram algumas estratégias de cálculo mental utilizadas para efetuar somas e subtrações na reta numérica.

Dito

Clarice

57

85

90807050

+3 +25

60 100

57

85

90807050

–2+30

60

87

100

Olga

77

57

85

908070

+20 +8

6050 100

Cálculo:

57 + 28

85 – 57

85 – 28


139

Atividade 2 Cálculos

1. Relacione cada forma de raciocínio às estratégias de cálculo:

Para calcular 85 – 57, procuro responder a

pergunta “quanto deve ser acrescentado a 57 para completar 85?”.

Procuro fazer contas que dão resultados redondos, por exemplo, 57 + 3 = 60.

Evito adições com reagrupamento, pre�ro somar números a dezenas completas,

como 60 + 25 = 85.

Portanto somei 3 + 25 = 28. Logo

posso concluir que 85 – 57 = 28.

Somo 57 + 20 = 77, uma adição simples

de se fazer mentalmente.

Somei no total 20 + 8 = 28.

Logo 57 + 28 = 85.

77 está próximo de 85 e ainda faltam 8.

O que �z: 57 + 30 – 2 == (57 + 30) – 2 = 87 – 2 = 85.

30 – 2 = 28.Logo 57 + 28 = 85 e ainda

85 – 28 = 57.

2. Escolha um dos procedimentos utilizados nos esquemas e calcule:

a) 315 – 248 = b) 237 + 175 =

Observe os esquemas de cálculo e explique como cada um racio-cinou para encontrar o resultado.

João

Pedro

Tereza

63

56

83

90807050 60

–7 –20

56

83

90807050

+3 –30

53

27

60

56

8320 30 40 50

+50+3 +3

60 70 80 90

Cálculo:

83 – 27

83 – 56

27 + 56

140


Atividade 3 Pratique resolvendo problemas1. Seu Marcos foi fazer uma entrega em outra cidade, que fica no

quilômetro 173 de certa estrada. No caminho, ele passou pela marca dos 95 km. Naquele momento, quantos quilômetros falta-vam para ele chegar a seu destino?

2. Seu Manuel tinha no caixa R$ 517,00 e pagou R$ 242,00 para um fornecedor de mercadorias. Quanto ele tem no caixa agora?

Atividade 4 Problemas de troco1. Uma pessoa comprou uma mercadoria de R$ 34,00 e pagou com

uma nota de R$ 100,00. Quanto ela deve ter recebido de troco?

2. Em outra loja essa pessoa comprou uma mercadoria que custava R$ 27,00, pagando com uma nota de R$ 50,00. Quanto ela rece-beu de troco?

3. Se um comprador tinha R$ 100,00 na carteira e comprou duas mercadorias, uma de R$ 34,00 e outra de R$ 27,00, quanto ainda lhe resta?


141

Atividade 5 Ajudando no troco

Ao comprar uma mercadoria de R$ 72,00, o cliente deu uma nota de R$ 100,00. Como o vendedor não tinha trocado, ele pediu ao comprador para facilitar o troco dando mais R$ 2,00. Quanto o ven-dedor deve devolver de troco para o cliente?

Assim como outras áreas do conhecimento, as Ciências Humanas lidam com muitos números. Isso porque, para in-vestigar os processos que estão por trás dos fenômenos sociais (como o racismo), as Ciências Humanas procuram primeiro quantificá-los, para posteriormente poder compará-los. Assim, por exemplo, os institutos de pesquisa oficiais perguntam a ne-gros e brancos qual é seu rendimento mensal. Desta pergunta, decorre o resultado: saber que no Brasil os negros recebem ren-dimentos inferiores aos brancos. Trata-se de uma informação que pode incentivar a realização de pesquisas que busquem as razões que determinam esse resultado e, com isso, desenvolver e implementar políticas de ação afirmativa, isto é, políticas que visem melhorar a condição de renda da população negra.

Além dos cálculos das pesquisas, que são estatísticos, as Ciências Sociais também trabalham com cálculos matemáticos para produzir, por exemplo, os indicadores sociais.

Indicadores sociais são índices calculados com base em nú-meros e taxas que revelam os processos sociais. As taxas sociais são relações entre dois números relacionados a algum fenôme-no social. Por exemplo, a taxa de alfabetização é o número de pessoas alfabetizadas em relação ao número total de pessoas em idade de alfabetização.

142


Nesta parede são colocados 23 tijolos no comprimento e 14 tijolos na altura.

No piso desta sala cabem 18 lajotas no comprimento e 14 lajotas na largura.

Multiplicação: métodos e estratégias

Reveja alguns procedimentos de como multiplicar e dividir.

Seu Raimundo trabalha na construção civil. Ele faz muitas coisas para colocar uma casa em pé. Por exemplo, na etapa de construção, assenta tijolos para construir uma parede, e na etapa de acabamento, coloca ladrilhos e lajotas.

• Como poderia ser feito o cálculo de quantos tijolos e lajotas seu Raimundo precisa para erguer a parede e forrar o piso?

A multiplicação é uma das operações mais utilizadas na construção civil. Pedreiros e mestres de obra usam a multiplicação para calcular o número de tijolos, lajotas ou ladrilhos que usam nas construções.

Há várias maneiras de se multiplicar. A forma mais comum, rápida e simples é usar uma calculadora. Mas mesmo usando uma calculadora, é importante saber o que se está fazendo para poder rea-lizar melhor a operação. É por isso que vamos aprofundar as várias maneiras de fazer uma multiplicação com compreensão.

O papel quadriculado é um bom recurso para ajudar a entender as etapas da multiplicação.

Como você pôde ver nas atividades realizadas pelo pedreiro, são comuns situações que envolvem o cálculo da área de um retângulo como esse:

14 cm

13 cm

• Qual é a área deste retângulo?

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rial

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143

Veja as etapas apresentadas a seguir de como fazer o cálculo usando o papel quadriculado.

4

3

10

10

10

+

3

+

+

10 x 10 = 100

10 x 10 10 x 4

3 x 10 3 x 4

10 4+

3 x 10 = 30 3 x 4 = 12

10 x 4 = 40

(10 + 3)

x (10 + 4)

12

40

30

100

182

13 x 14 = (10 + 3) x (10 + 4) = 100 + 30 + 40 + 12 = 182

C D U C D U C D UC D U C D U

1 4 6x 3

1 C + 4 D + 6 Ux 3

3 C + 1 2 D + 1 8 U 300 + 120 + 18 4 3 8

4 3 8

1 0 0 + 4 0 + 6x 3

1 4 6x 3

1 81 2 03 0 0

1 4 6x 3

Acompanhe agora algumas estratégias que mostram as etapas que você pode utilizar para calcular a multiplicação 146 x 3.

144


Atividade 6 Células “vazias”

1. Pratique completando os espaços vazios.

C D U200 + 50 + 7

x 6

+ + =

C D U

4 2 3

x 5

+

C D U+ +

x

2 100 + 350 + 56 = ?

c)

b)

a)

2. Seu Manuel estava fazendo uma multiplicação quando algumas gotas de tinta borraram a conta. Descubra que números foram cobertos pelas gotas de tinta.

A divisão

Há muitas maneiras de fazer a divisão entre dois números.

Quando a conta é muito simples, podemos realizá-la de cabeça ou no papel.

Por exemplo, se você sabe a tabuada do 7 de cabeça pode resolver a divisão 42 ÷ 7 facilmente: 42 ÷ 7 = 6, e dizemos que 6 é o quociente da divisão.

C D U4 3 8

x 64 8

+ 1 8 04 0 0

2 6 2 8


145

Também podemos usar o papel para resolver a divisão 91 ÷ 7:

No entanto, nas atividades do mundo do trabalho, como já foi dito no caso da multiplicação, é mais simples e rápido usar a calcula-dora. Mas mesmo ao usar uma calculadora, é importante entender a divisão que é feita para evitar erros, seja na hora de digitar os núme-ros ou na leitura e interpretação do resultado.

Você se lembra de como se faz uma divisão sem o auxílio de uma calculadora?

Por exemplo, determine o quociente e o resto da divisão de 885 por 7, usando lápis e papel. Verifique se você fez essa conta da mesma forma que seus colegas.

Para compreender melhor as etapas de como fazer uma divisão com lápis e papel, veja a descrição da solução de um problema.

Distribuindo a gorjeta

Depois de um fim de semana de muito movimento, 7 garçons fize-ram a divisão, em partes iguais, da gorgeta arrecadada em três dias de trabalho. Para tanto, eles adotaram as etapas a seguir.

• Primeiro, contaram todo o dinheiro, que somou R$ 885,00.

• Em seguida, distribuíram R$ 100,00 para cada um:

7 x R$ 100,00 = R$ 700,00.

Restaram R$ 885,00 – R$ 700,00 = R$ 185,00 para distribuir.

• Dessa vez, eles distribuíram R$ 20,00 para cada um:

7 x R$ 20,00 = R$ 140,00.

E ainda sobraram R$ 185,00 – R$ 140,00 = R$ 45,00.

• Depois, distribuíram R$ 5,00 para cada:

7 x R$ 5,00 = R$ 35,00.

Restando R$ 45,00 – R$ 35,00 = R$ 10,00.

91 7

– 70 10

21 3

– 21

0

13 é o quociente da divisão

146


• Ainda foi possível entregar mais R$ 1,00 para cada um:

R$10,00 – R$ 7,00 = R$ 3,00.

Cada um ficou com:

R$ 100,00 + R$ 20,00 + R$ 5,00 + R$ 1,00 = R$ 126,00

e os R$ 3,00 que restaram ficaram para a caixinha do fim de semana seguinte.

Veja como fica essa divisão da caixinha no dispositivo conhecido como “divisão na chave”:

Dividendo → 885 7 ← divisor

Subtrações sucessivas

– 700 100

O quociente é: 100 + 20 + 5 + 1 = 126

185 20

– 140

45 5

– 35

10 1

– 7

Resto → 3

Lembre-se de que o dividendo é a quantidade que tem de ser divi-dida pelo divisor. Se o resto é zero, dizemos que a divisão é exata, e o dividendo é múltiplo do divisor.

Algoritmo é uma palavra derivada do nome Al Khowarizmi, que foi um matemático árabe do século IX.

um algoritmo é uma espécie de receita que descreve como executar certa tarefa. Daí chamar de algoritmo da divisão a sequência de etapas que se devem executar para dividir um número pelo outro.

O resto sempre é menor que o divisor.

D = d x q + rr < d

D ÷ d = q, se r = 0

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Mar

shal

l - T

ribal

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Imag

es/

Alam

y-O

ther

imag

es


147

Atividade 7 Exercitando a operação de divisão

1. Quais das contas a seguir são divisões exatas?

a) 287 ÷ 7 g) 369 ÷ 6

b) 348 ÷ 2 h) 369 ÷ 9

c) 542 ÷ 4 i) 248 ÷ 4

d) 135 ÷ 5 j) 248 ÷ 8

e) 299 ÷ 9 k) 842 ÷ 4

f) 369 ÷ 3 l) 842 ÷ 8

2. Discuta com seus colegas como fazer para descobrir se uma divi-são é exata usando uma calculadora.

3. Quatro primos resolveram se associar em um pequeno negócio. Juntaram suas economias e deram certa quantia de entrada na compra de um carrinho de cachorro-quente (a ideia era vender cachorros-quentes nos finais de semana). O restante será pago em prestações. Eles combinaram que cada um trabalharia em um fim de semana. Ao final de um mês fizeram as contas:

Gastos Valores (em R$)

Prestação do carrinho 120,00

Pão 145,00

Salsicha 157,00

Mostarda 23,00

Molho de tomate 18,00

Gás 35,00

Nos quatro fins de semana do mês, eles arrecadaram um total R$ 1 346,00 com a venda dos lanches. Então, descontaram o que foi gasto e dividiram o lucro. Determine quanto cada sócio rece-beu de lucro na partilha.

148


Multiplicando e dividindo mentalmente

Há várias maneiras de fazer divisões usando o cálculo mental, com rapidez e segurança.

Atividade 8 Divisão por 10, 100 e 1 000

1. Use a calculadora e divida:

20 ÷ 10 = 200 ÷ 100 = 2 000 ÷ 1 000 =

30 ÷ 10 = 300 ÷ 100 = 3 000 ÷ 1 000 =

50 ÷ 10 = 500 ÷ 100 = 5 000 ÷ 1 000 =

70 ÷ 10 = 700 ÷ 100 = 7 000 ÷ 1 000 =

80 ÷ 10 = 800 ÷ 100 = 8 000 ÷ 1 000 =

120 ÷ 10 = 1 200 ÷ 100 = 10 000 ÷ 1 000 =

200 ÷ 10 = 2 000 ÷ 100 = 20 000 ÷ 1 000 =

450 ÷ 10 = 4 500 ÷ 100 = 45 000 ÷ 1 000 =

540 ÷ 10 = 5 400 ÷ 100 = 54 000 ÷ 1 000 =

2 000 ÷ 10 = 7 500 ÷ 100 = 75 000 ÷ 1 000 =

3 100 ÷ 10 = 21 000 ÷ 100 = 125 000 ÷ 1 000 =

6 780 ÷ 10 = 99 900 ÷ 100 = 213 000 ÷ 1 000 =

a) O que você descobriu?

b) Agora, descreva como você pode fazer mentalmente uma divi-são por 10, 100 e 1 000.

Potências de 10Os números 10, 100, 1 000, 10 000, e assim sucessivamente, são chamados

potências de 10. Elas são obtidas pelas seguintes multiplicações:100 = 10 x 101 000 = 10 x 10 x 10 10 000 = 10 x 10 x 10 x 10100 000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 101 000 000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10. . . . . . . . . . . = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x ...Saber isso facilita na realização do cálculo mental da multiplicação e da divi-

são. Para multiplicar ou dividir por 1 000, por exemplo, é só multiplicar ou dividir por 10 três vezes em seguida.


149

Multiplicando por 4 e por 8

Lembre-se de que: 4 = 2 x 2 e 8 = 2 x 2 x 2

Agora, acompanhe o esquema:

x4

13 x2 26 x2 52

x2 72

x8

9 x2 18 x2 36

Dividindo por 2, por 4 e por 8

Dividir por 2 não é muito complicado, pode-se fazê-lo decom-pondo mentalmente o dividendo. Veja os exemplos:

368 ÷ 2

300 ÷ 2 + 60 ÷ 2 + 8 ÷ 2

150 + 30 + 4

184

846 ÷ 2 = 800 ÷ 2 + 40 ÷ 2 + 6 ÷ 2 = 400 + 20 + 3 = 423

974 ÷ 2 = 450 + 35 + 2 = 487

Para dividir por 4, basta lembrar que 4 = 2 x 2. Sendo assim, é só calcular a metade da metade do número que se quer dividir por 4.

Acompanhe o esquema:

72 ÷2

÷4

÷236 18

Para dividir por 8 o procedimento é semelhante, basta lembrar que 8 = 2 x 2 x 2.

972 36 18÷2 ÷2

÷8

÷2

150


Multiplicando por 5 mentalmente

Desafio:

• Pense em um número natural de dois dígitos, multiplique-o mentalmente por 10 e depois divida o resultado por 2.

• Agora pegue o número que você havia pensado e multipli-que-o por 5.

• O que você descobriu a respeito dos resultados dos dois procedimentos?

• Repita o procedimento com outros números.

• Discuta com seus colegas o que está acontecendo.

• O que concluíram?

24 ÷2240 120x10

x5

• Discutam em grupo se essa regra funciona sempre.

• Justifique por que funciona.

O pensador, de Auguste Rodin.

Hum!5 = 10 ÷ 2

Você sabia que Auguste Rodin (1840-1917) foi um grande escultor francês?

Esse escultor fez parte do período estético chamado de simbolismo, que se consolidou na França no ano de 1886. Este movimento teve como objetivo expressar os sentimentos individuais pela arte. A escultura O pensador é feita de bronze, um material bastante utilizado por este artista, e tem duas versões. A primeira foi concluída em 1880 e a outra, em tamanho maior, foi finalizada em 1902. A de 1902 se encontra hoje no Museu Rodin, em Paris, na França.

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151

Atividade 9 A multiplicação e a divisão por meio de estratégias

1. Calcule usando o recurso das multiplicações sucessivas:

a) 27 x 4 =

b) 123 x 4 =

c) 33 x 8 =

d) 235 x 8 =

e) 125 x 8 =

f) 12 x 16 =

2. Calcule:

a) 56 ÷ 4 =

b) 76 ÷ 4 =

c) 96 ÷ 4 =

d) 120 ÷ 4 =

e) 92 ÷ 8 =

f) 236 ÷ 8 =

g) 500 ÷ 8 =

h) 984 ÷ 8 =

3. Calcule:

a) 56 ÷ 8 =

b) 96 ÷ 8 =

c) 120 ÷ 8 =

d) 152 ÷ 8 =

e) 200 ÷ 8 =

f) 272 ÷ 8 =

g) 600 ÷ 8 =

h) 1 000 ÷ 8 =

4. Multiplique por 5 usando a estratégia do cálculo mental:

a) 12 x 5 =

b) 23 x 5 =

c) 48 x 5 =

d) 136 x 5 =

e) 142 x 5 =

152


Divisões, adições e subtrações nas compras com desconto ou a prazo

Na loja Compretudo, todos os produtos estão sendo vendidos com descontos de 10%, que equivale à décima parte de seus preços iniciais.

Para calcular 10% basta dividir a quantia por 10.

Nos cartazes estão registrados os preços dos produtos sem o des-conto.

Jogo de panelas

70,00R$

Impressora

240,00R$

TV

240,00R$

Liquidi�cador

130,00R$

Computador

680,00R$

Calcule quanto será pago por cada produto com o desconto de 10%.

Veja como um cliente calculou o preço do liquidificador com o desconto:

10% de 130 é igual a 13.130–13=117.VoupagarR$117,00peloliquidificador.

O cálculo está certo. Explique por quê.

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153

Jogo de panelas

70,00R$

Impressora

240,00R$

TV

240,00R$

Liquidi�cador

130,00R$

Computador

680,00R$

10% de 130 é igual a 13.130 + 13 = 143.Vou pagar R$ 143,00 pelo liquidificador.

O cálculo está certo. Explique por quê.

Em algumas situações de compra e venda, o cliente tem de pagar um acréscimo ao preço da compra na forma de juros.

Suponha um tipo de oferta em que um produto pode ser pago à vista com desconto ou após um período.

Na loja Compreaqui, as mesmas mercadorias podem ser pagas no ato da compra, com 10% de desconto, ou depois de três meses, com um acréscimo de 10% sobre o preço sem desconto.

Calcule quanto será pago por cada produto com o acréscimo de 10%.

Veja como um cliente calculou o preço do liquidificador com o acréscimo de 10%:

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dito

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154


Atividade 10 A divisão e a multiplicação nas compras à vista e a prazo

1. Seu Antônio e Dona Maria resolveram comprar uma geladeira nova. A loja tem três planos de pagamento:

A: À vista, por R$ 845,00.

B: A prazo, com uma entrada de R$ 100,00 e 5 prestações de R$ 150,00.

C: A prazo, em 8 prestações de R$ 109,00.

Quantos reais a mais o casal vai pagar se optar pelos planos B ou C?

2. Depois de receber seu salário, João separa o dinheiro corresponden-te às despesas com aluguel, água, luz, gás, telefone, alimentação e transporte. O que sobra ele divide igualmente pelas quatro semanas do mês, para gastar com lazer e cultura. Calcule quanto ele dispõe para gastar na semana e no mês para cultura e lazer.

Dados: salário líquido do João = R$ 1 530,00.

Despesas Valores em reais (R$)

Aluguel 540,00

Luz 23,00

Água 11,00

Gás 9,00

Telefone 63,00

Alimentação 370,00

Lazer e cultura no mês ?

Lazer e cultura por semana ?


155

Você estudou

Nesta Unidade você verificou que os números que nos cercam são muito utilizados para fazer cálculos. E aprendeu como fazer essas contas de diferentes maneiras: cálculo mental, estimando ou aproximando valores, usando uma calculadora (o que acelera, muitas vezes, o processo de obtenção de um resultado), ou ainda fazendo as operações no papel. Conhecendo essas e outras ma-neiras, você poderá escolher, dependendo da situação, o método que for conveniente.

Pense sobre

OIDHéoÍndicedeDesenvolvimentoHumanocriadopeloProgramadasNações unidas para o Desenvolvimento (PNuD). Ele varia de 0 (menor desenvol-vimento humano) a 1 (maior desenvolvimento humano). Este índice é composto pelo PIB (Produto Interno Bruto) per capita, pelo nível da educação (índice de analfabetismo e taxa de matrícula nos níveis de ensino) e pela longevidade (espe-rançadevidaaonascer).OPNUDcalculaoIDHdetodosospaíseseestabeleceum ranking, isto é, uma lista com os índices ordenados de forma decrescente. Países próximos a 1 possuem um desenvolvimento humano bastante elevado, enquanto países próximos a 0 possuem um índice de baixo desenvolvimento humano.

Emumalistade169países,em2010,comoIDHde0,69,oBrasilficouem73ºlugarnoranking,atrásdepaíseslatino-americanoscomoChile(0,78),México(0,75)ePeru(0,72).Nestalistaépossívelcompararmosaposiçãodeváriospaí-ses,constatandoextremoscomoaNoruega(Europa)comIDH0,93,consideradoum índice de desenvolvimento humano muito alto eZimbábue(África)comIDH0,14, índice de desenvolvimento humano baixo.

Fonte: PNUD. Disponível em: <http://www.pnud.org.br/pobreza_desigualdade/reportagens/ index.php?id01=3600&lay=pd>. Acesso em: 10 jan. 2012.

Quais são as lições que podemos obter dessa colocação do Brasil?

156


Vivemos em um mundo de formas. Nós as vemos e as sentimos com frequência, pois estão por todos os lados: na casa, nos carros, na rua, no bairro, no trabalho, nas coisas do cotidiano.

Nesta Unidade você vai explorar as formas geométricas presentes no dia a dia e também nas profissões.

Para iniciar...

Que formas geométricas você conhece? Faça uma lista por escrito das formas que você apontou e desenhe-as em seu caderno.

Agora forme um pequeno grupo com os colegas para trabalhar as questões a seguir.

• Comparem suas listas e seus desenhos.

• Observe as coisas a seu redor. O que você vê mais: formas retas ou formas curvas?

• Que coisas você conhece que têm formas retangulares?

• E formas curvas?

• Na natureza aparecem mais formas retas ou formas curvas?

• Por que você acha que o formato da maioria dos pratos e da bor-da dos copos é circular?

• Discuta com seus colegas e encontrem uma explicação para o fato de a maioria das mesas, portas e janelas terem a forma retangular.

• Em geral as cadeiras e mesas têm quatro pés. Discuta com seus colegas e explique o porquê disso.

Geometria e arte nas formas da cidade e nas coisas presentes no cotidiano

Nas grandes cidades do mundo contemporâneo, a arte geométrica pode ser apreciada em museus e em espaços públicos como ruas, praças, metrôs etc.

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Na cidade de São Paulo, por exemplo, a geometria pode ser apre-ciada na arquitetura dos edifícios, no traçado das ruas e avenidas, nas formas artísticas dos espaços públicos e em obras de arte.

Observe as formas geométricas a seguir.

Os edifícios e suas formas geométricas.

• Você identifica formas familiares nesse quadro?

• Que formas você vê nele? Descreva-as.

As formas coloridas que aparecem no quadro acima são deno-minadas polígonos. Você pode observar que eles diferem em diversos aspectos além da cor, mas têm características comuns relacionadas à forma: são todos planos, são fechados e formados por segmentos de reta, que, ao se encontrarem, formam ângulos.

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um polígono é uma figura geométrica plana e fechada delimitada por seg-mentos de reta.

A palavra polígono vem do grego e significa:

Poli + gono

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muitos ângulos

Observe que o polígono amarelo, ao lado, tem 6 lados e uma reen-trância; as figuras azul e vermelha têm quatro lados e são chamadas quadriláteros.

Os polígonos que têm 4 lados são chamados quadriláteros.

Quadri + látero

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4 lados

O retângulo é um quadrilátero que tem todos os ângulos iguais, pois seus lados são paralelos dois a dois.

Cadaumdos4ângulosinternosdoretângulosãoângulosretosquemedem90°.

A figura azul, ao lado, é especial e conhecida de todos, trata-se de um retângulo.

Franz Weissman. Diálogo, 1978. Escultura em aço, 4,4 m x 5,1 m x 1,5 m. Praça da Sé, São Paulo (SP).

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Durante uma semana, procure observar as formas geométricas que você vê na cidade em que mora ou trabalha. Registre-as depois, desenhando, fotografando ou simplesmente descrevendo-as.

Traga suas observações para a aula, mostre-as a seus colegas e ao professor, e compare-as com as contribuições que os demais trouxeram.

• Descreva as formas que você vê nos edifícios: fachadas, pisos, pilares, paredes etc.

• Que formas aparecem na cidade?

• Quais são as formas mais frequentes que você e seus colegas trouxeram?

As formas geométricas presentes nas atividades profissionais

A geometria está presente em praticamente todas as profissões. Agora você vai aprender um pouco mais sobre as formas no mundo do trabalho.

Atividade 1 A geometria e as ocupações

1. Forme um pequeno grupo com seus colegas e discutam:

a) O que cada um faz em seu trabalho?

b) Quais de vocês usam a geometria em suas atividades profis-sionais? De que forma?

2. Alguém de seu grupo tem algum amigo ou parente que utiliza muito a geometria no trabalho? Como?

3. Faça um levantamento das palavras que vocês acham que se rela-cionam com a geometria.

160


Geometria na marcenaria

A marcenaria é uma das profissões que mais utiliza os conheci-mentos geométricos. Para construir uma simples mesa, o marceneiro tem de fazer o corte da madeira empregando formas geométricas.

Se o tampo da mesa é retangu-lar, o marceneiro tem de cortá-lo de modo que os lados sejam paralelos e que os ângulos dos cantos da mesa sejam ângulos retos, também conhe-cidos como ângulos de 90°. Depois, precisa cortar os pés de modo que tenham a mesma medida para que a mesa fique equilibrada e estável.

O corte de uma porta, apesar da simplicidade da forma retangu-lar, tem de ser bem preciso, para ela poder encaixar no seu batente.

Como você pode observar, a forma retangular é especial. Veja que podemos imaginá-la dividida ao meio de dois modos, como indicado na figura ao lado. Essa é uma proprie-dade das figuras simétricas, que serão estudadas mais adiante. Por isso, mui-tos marceneiros testam sua produção encaixando a porta de vários modos.

O corte da porta tem de ser pre-ciso: seus lados opostos devem estar paralelos e todos os ângulos devem ser retos.

Esta é a representação gráfica de ângulo reto:

• Faça uma lista de coisas do cotidiano que têm o formato retangular.

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Construindo um ângulo reto dobrando papel

É muito fácil construir um ângulo reto apenas dobrando-se uma folha de papel.

O ângulo reto

O ângulo reto é muito utilizado no mundo do trabalho. Com ele, fica mais fácil produzir objetos, aparatos e construções.

Para cortar várias peças retangulares a partir de uma tábua de madeira, basta programar a serra para fazer cortes paralelos.

Ao utilizá-lo, fica fácil armazenar caixas e peças retangulares. O ângulo de 90° permite aglomerar caixas ou peças retangulares sem deixar vãos.

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Construa um ângulo reto de papel e use-o para verificar os cantos de sua carteira, de seu caderno e de outros lugares da sala de aula em que os ângulos retos possam estar presentes.

O ângulo reto nas coisas da casa

Para fazer molduras, portas e janelas com encaixes que se ajustem sem deixar vãos, o marceneiro corta a peça de madeira em um ângulo bem determinado.

Observe o encaixe do canto superior esquerdo.

A justaposição das duas ripas de madeira, como se observa na figura, forma um ângulo reto.

Atividade 2 identificando os ângulos

1. Sabendo que os ângulos internos de um retângulo são retos (me-dem 90°), e observando a figura anterior, responda: Qual é a medida do ângulo de encaixe da moldura?

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2. Seu Ferreira é serralheiro. Ele trabalha com chapas e vigas de me-tal para fabricar portões, janelas, esquadrias, boxes de banheiro, molduras e muitas outras coisas do dia a dia. Seu Ferreira proje-tou uma bandeja com um formato especial (veja a figura a seguir), para que elas possam ser colocadas lado a lado sobre uma mesa sem que se amontoem umas sobre as outras durante o almoço ou o jantar. O segredo da bandeja de seu Ferreira está nos ângulos de corte. Observe que os cantos de duas bandejas vizinhas formam um ângulo reto.

90º = ângulo reto

a) Reúna-se em dupla e estudem a forma da bandeja.

b) Listem tudo o que puderem observar sobre os lados e os ângulos.

c) Determinem a medida, em graus, dos quatro ângulos internos da bandeja.

164


Os ângulos e a divisão da circunferência

Há mais de 5 000 anos, os povos da Mesopotâmia desenvolveram as primeiras noções que temos hoje de calendário.

Da observação do movimento das estrelas no céu, das várias fases da Lua e das estações do ano eles sabiam que a Terra levava 365 dias e “uns quebrados” para dar uma volta completa em torno do Sol. Definiram o ano como tendo 360 dias mais cinco dias de festividades, em que eram celebradas as colheitas do ano. Essas festas também eram chamadas de “feiras” – é por isso que a palavra “feira” aparece no final do nome de 5 dias da semana.

Foi a partir desse fato que surgiu a ideia de dividir a volta com-pleta da circunferência em 360 partes iguais, cada uma das partes medindo 1° (lê-se um grau).

Mapa da Mesopotâmia, planície compreendida entre os rios Tigre e Eufrates, que hoje corresponde, aproximadamente, ao território do Iraque.

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360º 180º 90º

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Fonte: IBGE.


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O ângulo reto é o ângulo de 90° (a quarta parte da volta completa). É o ângulo que observamos nos cantos dos retângulos, nas portas, paredes etc.

Dizemos que a direção de um fio de um prumo apontado para o centro da Terra e a linha do horizonte são perpendiculares. E duas retas ou segmentos de reta perpendiculares formam um ângulo reto.

• Descubra ângulos retos em formas geométricas e na posição das coisas a seu redor.

• Explique por que as paredes e o chão de um edifício devem formar, em geral, um ângulo reto.

O triângulo e os profissionais

O triângulo é uma figura geométrica conhecida por todos. Para muitos é o polígono mais simples, por ser o que tem o menor número de lados.

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Motoristas e músicos o conhecem muito bem. Entretanto, são profissionais como o pedreiro, o mestre de obras, o carpinteiro, o marceneiro e o arquiteto, entre outros, que o utilizam levando em conta suas propriedades geométricas.

Para saber que propriedades são essas, experimente formar figu-ras geométricas com palitos e percevejos.

Qualdasfigurasficamais“firme”quandoconstruídacompalitosdesorveteepercevejos nas junções?

Atividade 3 Recortes geométricos

1. Recorte canudos de plástico com as seguintes medidas: 3 cm, 4 cm, 5 cm e 6 cm e forme sobre a mesa um quadrilátero.

2. Compare sua construção com a de algum colega. Vocês fizeram a mesma figura?

3. Agora escolha apenas três pedaços de canudos, de 4 cm, 5 cm e 6 cm, por exemplo, e construa um triângulo.

4. Compare-a novamente com a construção de algum colega. O que você descobriu?

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5 cm

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A ripa transversal forma uma estrutura triangular que dá mais estabilidade à porteira, deixando-a inflexível.

A rigidez do triângulo

O triângulo é o único polígono rígido. Sua rigidez é levada em conta por marceneiros e carpinteiros para dar firmeza à construção de estruturas de telhados (chamadas tesouras), portões, estantes, cadei-ras, escadas e inúmeros objetos e aparatos que requeiram estabilidade e resistência.

A propriedade de rigidez do triângulo é aplicada na construção de portões e porteiras.

Estrutura instável Estrutura instável Estrutura estável

Tesoura simples Tesoura com lanternim

Tesoura simples com escoras Tesoura com lanternim

Tesoura com tirantes e escoras Tesoura sem linha

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Os triângulos constituídos com o entrelaçamento de vigas de madeira dão mais estabilidade ao corrimão da ponte.

Pesquise estruturas presentes no cotidiano em que a propriedade de rigidez do triângulo é usada para lhes dar estabilidade.

Os agrimensores egípcios e os arquitetos que construíram as pirâmides sabiam que uma corda com 13 nós, igualmente espaçados, formavam um triângulo de lados 3, 4 e 5, em que um dos ângulos era necessariamente um ângulo reto.

Pavimentando as ruas com polígonos

O que estes objetos têm em comum?

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Observe as figuras a seguir. O que elas têm em comum?

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Não é difícil perceber que uma característica comum a essas figuras são seus 8 lados.

• Um polígono que tem 8 lados é chamado octógono, e dizemos que sua forma é octogonal.

Apesar de as figuras 1 e 2 terem formas octogonais, podemos observar algumas diferenças entre elas. Por exemplo, na figura 1 todos os lados e todos os ângulos são iguais, enquanto na figura 2 há lados e ângulos com medidas diferentes.

• Um polígono é regular quando tem todos os lados e ângulos iguais.

A forma regular é preferida em geral porque facilita o processo de produção e amplia as possibilidades de armazenamento. Observe que foi utilizada tanto na placa de sinalização como no relógio e na caixa de pizza, apresentados anteriormente.

É possível observar outras características do octógono regular.

Discuta com seus colegas que outras características e propriedades geométricas têm o octógono regular.

Octógono paulistano

Na cidade de São Paulo, parte dos pisos que recobrem as ruas e avenidas centrais se assemelha ao mapa do Estado de São Paulo, e tem o formato de um octógono.

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A vantagem desse octógono é ser autoencaixável, ou seja, é possível pavimentar as calçadas “infinitamente”, utilizando-se a mesma forma.

Os operários constroem esses pisos das calçadas em São Paulo com lajotas de três tipos.

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Pintem as figuras a seguir para produzir pavimentações que se repitam, mantendo o mesmo padrão.

Geraldo de Barros. Jogo de dados, painel, 1981. Estação Clínicas do Metrô, São Paulo (SP).

Há outras formas usadas na pavimentação de pisos e no ladrilha-mento de banheiros e cozinhas.

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O hexágono

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A mais comum é a de ladrilhos e lajotas em formato hexagonal.

O hexágono regular é um polígono especial que pode ser obser-vado nas construções feitas pelo homem e também na natureza, como nos favos de mel produzidos pelas abelhas.

É bastante utilizado na construção civil, pois possibilita recobrir um piso ou uma parede plana com melhor aproveitamento das peças, sem deixar espaços.

Como construir um hexágono regular com régua e compasso.

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Atividade 4 Desafios com hexágonos

1. Construa um hexágono regular a partir de uma circunferência de raio medindo 3 cm. Para realizar esta tarefa use como referência o esquema apresentado na página 172.

2. Use a régua para decompor cada hexágono da imagem, conforme as orientações a seguir:

a) dois quadriláteros iguais;

b) três quadriláteros iguais;

c) seis triângulos iguais;

d) um retângulo e dois triângulos iguais;

e) um triângulo equilátero e três triângulos iguais;

f) dois triângulos diferentes e um quadrilátero.

Simetria

Uma característica importante das formas geométricas é a de ter ou não simetria.

• O que as imagens a seguir têm em comum?

Borboleta. Caixa de pizza octogonal.

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Malabarismo feito no ar. Silhueta de duas pessoas.

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Atividade 5 As letras e a simetria

1. Quais das letras ao lado têm eixo de simetria?

2. Quais das letras do alfabeto têm eixo de simetria horizontal?

3. Quais das letras do alfabeto têm eixo de simetria vertical?

Letra A maiúscula. Torre de transmissão vista de baixo.

Fachada de igreja. Forma em uma plantação de trigo.

Compare as figuras da borboleta e da letra A. É possível traçar uma reta que divida cada figura em duas partes espelhadas? Dizemos que esta reta é o eixo de simetria da figura.

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Quantos eixos de simetria têm:

a) um quadrado:

b) um retângulo:

c) um hexágono regular:

d) um octógono regular:

Empacotando com geometria

Para empacotar uma caixa de sapatos podemos usar conhecimen-tos de geometria.

4. Alguns polígonos são simétricos.

Qual o tamanho da folha de papel de embrulho que deve ser usada para embalar a caixa de sapatos, de modo a evitar desperdícios?

Para responder a essa questão vamos fazer uma discussão sobre a planificação da caixa.

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Quando desmontamos uma caixa de papelão, como a de creme den-tal, descolando as partes coladas, podemos observar que ela foi recortada de uma única folha de papelão, isto é, de uma superfície plana. Por isso dizemos que, ao desmontá-la, planificamos a caixa.

Planificação de uma caixa de creme dental.


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• E na hora de amarrar a caixa, quanto barbante é necessário?

• Observe o esquema a seguir, em que o barbante circunda a caixa por seu comprimento, altura e largura.

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Para embrulhar uma caixa, o papel de embrulho deve levar em conta as dimensões da caixa (comprimento, largura e altura).

Se o empacotador dispuser de apenas 2 metros de barbante, é possível amarrar a caixa? Leve em conta as dimensões da caixa para determinar o comprimento de barbante necessário para amarrá-la.

Suponha que você tenha de embrulhar uma caixa de sapatos com as seguintes medidas: 32 cm de comprimento, 18 cm de largura e 12 cm de altura.

• Qual entre os papéis a seguir é suficiente para embrulhar a caixa?

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O cubo e as planificações do cubo

O cubo é uma figura tridimensional que tem características muito especiais. Trata-se de um sólido com muitas simetrias e cujas faces são quadrados (6 ao todo). Todos os ângulos de um cubo são retos. Ele tem 8 vér-tices (“cantos”) e suas quinas, chamadas ares-tas, são 12.

Os dados mais conhecidos têm a forma cúbica. Eles são e foram utilizados em jogos muito antigos, encontrados na Índia e no Egito há mais de 4 000 anos.

Em muitos países o açúcar que usamos no café da manhã tem a forma cúbica. Para adoçar um cafezinho, bastam dois torrões de açúcar como esse.

Descreva rapidamente o que você vê na figura ao lado antes que o cubo derreta!

Esse cubo de madeira formado por 1 000 cubinhos de 1 cm de lado é usado nas esco-las para que as crianças aprendam o sistema de numeração decimal e as operações arit-méticas.

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Como você pôde observar, muitos objetos têm o formato de cubo. Essa forma serve para fazer muitas coisas e aparece em vários lugares: nos edifícios e obras da cidade, nas coisas do cotidiano, em casa e no trabalho, nas embalagens, nas artes etc.

Uma das aplicações do cubo está na produção de embalagens.

As pessoas que trabalham com embalagens produzem caixas a partir de uma planificação. Eis um exemplo de planificação do cubo.

Existem 11 planificações diferentes do cubo.

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Atividade 6 As planificações do cubo

1. Observe a imagem a seguir.A

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J K

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M

C D F G

3. No exercício anterior foram mostradas 8 planificações do cubo. Com a planificação apresentada no Exercício 1, você já conhece 9 delas. Descubra as outras duas planificações do cubo.

Você estudou

Nesta Unidade você pôde conhecer melhor as formas geométricas que nos cercam. Muitas delas são polígonos, figuras com muitos ângulos. Um exemplo que você observou nesta Unidade foram os polígonos que possuem quatro lados, chamados quadriláteros. Você estudou, também, o retângulo, que é um quadrilátero com 4 ângulos retos. Outro polígono bastante clássico é o triângulo, o único rígido entre eles. Octógonos e hexágonos também foram estudados nesta Unidade.

a) Imagine o cubo montado a partir desta planificação.

b) Quais são as faces opostas, ou seja, que ficam paralelas no cubo, quando montado?

2. Entre as figuras a seguir, 8 são planificações do cubo. Descubra quais são elas, e discuta com seus colegas quais não são planifica-ções, explicando o porquê.


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Pense sobre

Você já reparou nas formas geométricas presentes na arquitetura?

Desde os tempos mais remotos, a construção de casas segue padrões da geometria: ocas circulares, casas com formatos de quadriláteros. Será que a forma geométrica influencia na sensação que se tem dentro do espaço produ-zido? O que ela tem a ver com a visão de mundo e a cultura de um dado povo?

Como você deve ter percebido observando as imagens, o uso das formas geométricaspodeservirparaacolheraspessoas,comonocasodaMarquisedo Parque do Ibirapuera, na cidade de São Paulo, ou para reprimir a mobili-dade delas, como no caso do presídio.

Nas cidades da Grécia Antiga, os cidadãos se encontravam nas ágoras para debater o futuro da polis (cidade). Cada cidadão tinha direito de defender suas razões para que determinada ação fosse tomada ou não. Assim, o destino comum, que era público, era decidido. A arquitetura circular demonstra um espaço que não tem cantos, que não exclui quem está lá, e que possibilita a todos ver quem está no centro.

Por outro lado, a arquitetura, com suas formas geométricas, pode servir paraoprimir.UmfilósofodoséculoXXchamadoMichelFoucault(1926-1984)estudou as estruturas de poder das sociedades modernas, entre elas, o presídio, o manicômio e a escola. Ele demonstrou como toda a arquitetura desses espa-çospodeserconstruídapara“sustentar”umpodervigilante(atorredevigi-lância, as dependências do manicômio, a sala do diretor de escola) e manter os corpos sob controle. Segundo Foucault, séculos de repressão externa imposta aos impulsos provenientes de nossos corpos nos tornaram autorreprimidos, isto é, nós mesmos passamos a controlar nossos impulsos naturais para aten-der às necessidades do ambiente.

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Edifício sede da Petrobrás, localizado no Rio de Janeiro (RJ), projetado em 1967.

Oca indígena Kalapalo, localizada no parque indígena do Xingu (MT).

Vista aérea de presídio, Aracaju (SE).

Edifício do Museu de Arte de São Paulo Assis Chateaubriand (MASP), inaugurado em 1947.

Ágora do século 2 d.C., na cidade de Palmira, antiga cidade da Síria.

Vista aérea da Marquise do Parque do Ibirapuera, São Paulo (SP).

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Catedral de Maringá (PR).

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