2. TRIÂNGULOS - REVISÃO

Nenhuma deficincia resiste ao trabalho - Bernardinho

MATEMTICA AFA/EN/EFOMM Prof. Luciano

TRINGULOS

EXERCCIOS 1. O ngulo do vrtice de um tringulo issceles mede 321532. Quanto medem os ngulos da base? 2. Um dos ngulos da base de um tringulo issceles mede 356. Calcular o ngulo do vrtice. 3. Um dos ngulos externos da base de um tringulo issceles mede 10252. Calcular o menor ngulo do tringulo. 4. Em um tringulo retngulo dois ngulos somam 1581230. Calcular os ngulos do tringulo. 5. Calcular o ngulo formado pelas bissetrizes dos ngulos de um tringulo retngulo issceles. 6. Calcular o ngulo obtuso formado pelas bissetrizes de dois ngulos de um tringulo eqiltero.

7. Em um tringulo retngulo um ngulo agudo 37

do

outro. Qual o valor do menor dos ngulos do tringulo? 8. Em um tringulo retngulo, os ngulos medem, em graus, respectivamente, x, 3x e 4x. Calcular o maior ngulo agudo. 9. Em um tringulo, o ngulo externo do maior ngulo igual a esse ngulo. Qual o valor de cada ngulo se o maior excede o menor de 673840? 10. Num tringulo escaleno um dos ngulos da base excede o outro de 12 e o ngulo externo do terceiro ngulo mede 154. Calcular o maior ngulo. 11. Num tringulo acutngulo um dos ngulos mede 87. A diferena entre os dois menores ngulos 25. Calcular os ngulos do tringulo. 12. Ache os ngulos de um tringulo ABC sabendo-se que o ngulo A metade de B, e este, o dobro de c.

13. Em um tringulo issceles, o ngulo do vrtice 15

do ngulo formado pelas bissetrizes dos ngulos da base. Qual o valor do menor ngulo interno? 14. Num tringulo acutngulo ABC a bissetriz BM e a altura BH fazem um ngulo de 20. Ache o maior dos ngulos do tringulo sabendo que B mede 60.

15. Num tringulo retngulo a mediana, relativa hipotenusa, forma com a bissetriz de um dos ngulos agudos um ngulo de 126. Calcular os ngulos agudos do tringulo. 16. O menor ngulo de um tringulo retngulo mede 30. Qual o ngulo obtuso formado pela mediana, traada do vrtice do ngulo reto com a hipotenusa? 17. Num tringulo issceles o ngulo externo desigual igual quinta parte da soma dos dois outros ngulos externos. Qual a medida do ngulo interno desigual? 18. Num tringulo retngulo issceles, calcular o ngulo que forma as bissetrizes externas de dois ngulos externos desiguais. 19. As medidas dos ngulos de um tringulo so, em graus, nmeros consecutivos. Calcular o ngulo oposto base, que maior lado. 20. Num tringulo ABC a diferena entre dois de seus ngulos 40. Achar o ngulo formado pela bissetriz e a altura traada do vrtice do terceiro ngulo. 21. Num tringulo retngulo, o ngulo formado pela bissetriz e a altura, traadas do vrtice do ngulo reto, mede 24. Qual o valor do menor ngulo interno? 22. Em um tringulo retngulo, a mediana e a altura traadas do vrtice do ngulo reto formam um ngulo de 18. Calcule os ngulos internos do tringulo. (Sugesto: A mediana, relativa hipotenusa, vale a metade desta.) 23. Num tringulo ABC, a bissetriz externa CF forma com a bissetriz interna BF um ngulo de 10 e a altura AH forma com a bissetriz interna AS um ngulo de 30. Calcular os ngulos do tringulo. (Sugesto: O ngulo de

AH com AS 1 B C2

e o ngulo de CF com BF A/2. 24. Num tringulo ABC, o ngulo A mede 432012. Calcular o ngulo formado pela bissetriz interna de B com a bissetriz externa de C. 25. Num tringulo retngulo, o ngulo formado pela altura e bissetriz traadas do vrtice do ngulo reto mede 314857. Calcular o ngulo formado pela altura e a mediana traadas, tambm, do vrtice do ngulo reto.

26. Em um tringulo, um ngulo mede 201530. Calcular o ngulo obtuso formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ngulos. 27. Num tringulo, o ngulo formado pelas bissetrizes internas dos dois menores ngulos mede 155. Calcular o maior ngulo do tringulo. 28. Se a + x = 180, prove que x = y

29. Se a = 32

y e x = 59

a, calcule x

30. Num tringulo ABC, . Calcular o menor dos ngulos formados pela bissetriz AD com BC.

B C 90 = 31. Provar que num tringulo ABC, em que B = 3C, o ngulo x formado pela bissetriz e a altura, traadas do vrtice A, igual ao ngulo C. 32. Provar que, num tringulo retngulo, o dobro do maior ngulo agudo excede o ngulo x, formado pela altura e mediana relativas hipotenusa. 33. Prove que, em qualquer tringulo, um ngulo qualquer igual ao dobro do ngulo formado pelas bissetrizes dos dois outros ngulos diminudo de 180. 34. Num tringulo issceles ABC de base AC, traa-se a altura AH relativa ao lado BC. Provar que o ngulo HAC igual metade do ngulo ABC. 35. Demonstre que num tringulo retngulo, que tem um ngulo de 30, o menor cateto a metade da hipotenusa. 36. Provar que num tringulo retngulo, se o maior ngulo for o triplo do menor, o maior lado ser o dobro do menor. 37. Duas retas semi-retas Ox e Ou formam um ngulo de 60. Sobre Ox marquemos os pontos A e B tais que OA = k e OB = 2k. Consideremos tambm um ponto C, de Ou, ta que OC = 3k. Provar que o tringulo ABC issceles. Questes de Concurso 38. O ngulo externo da base de um tringulo issceles mede 12630. Qual o valor de cada ngulo interno desse tringulo?

39. O ngulo obtuso formado pelas bissetrizes dos ngulos agudos de um tringulo retngulo mede.......... 40. Qual o ngulo formado pelas bissetrizes dos ngulos agudos de um tringulo retngulo? 41. Num tringulo retngulo issceles, calcular o ngulo que formam as bissetrizes internas de dois ngulos desiguais. 42. Um dos ngulos de um tringulo issceles sendo 92, a sua bissetriz interna forma com a bissetriz interna de um outro ngulo, um ngulo obtuso de ............. graus. 43. Num tringulo acutngulo issceles um ngulo o qudruplo do outro. Qual o menor ngulo do tringulo? 44. O ngulo das bissetrizes da base de um tringulo issceles igual ao triplo do ngulo do vrtice. Qual o valor desse ngulo em graus? 45. Num tringulo retngulo a mediana relativa hipotenusa forma com essa hipotenusa um ngulo de 120. Determinar os ngulos agudos do tringulo retngulo. 46. Num tringulo retngulo ABC a diferena entre os ngulos agudos de 38. Calcule os dois ngulos formados pela hipotenusa BC com a mediana AM relativa hipotenusa. 47. Em um tringulo issceles ( ), qualquer dos ngulos iguais vale a tera parte da soma dos outros dois ngulos do tringulo. Calcule o menor ngulo formado pela bissetriz do ngulo interna A, com a bissetriz do ngulo externo em B.

A C=

48. Num tringulo issceles ABC o ngulo externo em (A) igual a um quinto da soma dos outros dois ngulos externos (em B e em C). Calcular os ngulos internos desse tringulo. 49. Num tringulo ABC, o ngulo A vale 60 e a sua bissetriz forma com o lado oposto BC dois ngulos cuja diferena 40. Os ngulos B e C do tringulo valem... 50. Sendo dado o tringulo ABC, tal que = 30,

= 80, transportam-se sobre AB os comprimentos AD e AE, iguais a AC. Depois ligam-se os pontos E e D a C. Calcular os ngulos ADC e BEC.

BC

51. Qual a soma das medidas dos ngulos assinalados na figura?



GRUPO II 1. Na figura, CDACAB == . Calcular a relao entre os ngulos e .

2. Na figura abaixo onde ABC um tringulo issceles de base BC e DEF um tringulo eqiltero, provar que x =

2zy + .

3. Sendo dado um tringulo ABC retngulo em A e de altura AH, une-se o ponto H aos pontos mdios E e F de AB e AC. Provar que o ngulo reto. FHE 4. ABC um tringulo issceles de base BC. Sobre o lado AB temos dois pontos M e P tais que AP > AM e sobre AC outros dois pontos N e Q tais que AQ > AN.

Sabendo-se que AM = MN = NP = PQ = QB = BC, pede-se calcular o ngulo . CAB 5. So dadas duas paralelas r e s. De um ponto A de r, traa-se perpendicular comum AC e uma oblqua AB. Uma secante traada de B intercepta AC em D e r em E de tal modo que ED = 2 AB. Se = qual a medida do ngulo ? CBA CBA 6. Num tringulo ABC retngulo, M o ponto mdio da hipotenusa BC. Traa-se por M uma perpendicular a BC que intercepta o maior cateto AB em N. Calcular os ngulos agudos nos seguintes casos: a) Supondo AN = AC b) Supondo AN = MN 7. Sendo dado um tringulo ABC traar a mediana relativa ao lado AB e por A uma reta que passa pelo

ponto D mdio da mediana e encontra BC no ponto E. Provar que CE = 1/3 BC. 8. Num tringulo ABC o ngulo formado pelas bissetrizes dos ngulos e C mede 105. Qual o menor ngulo formado pelas alturas traadas de B e C?

B

GRUPO III 1. A mediana de um tringulo: (A) divide esse tringulo em dois outros congruentes (B) perpendicular ao lado oposto (C) perpendicular bissetriz externa (D) coincide com a bissetriz interna se os dois lados

adjacentes forem congruentes (E) nada disso. 2. Em um tringulo retngulo: (A) existe apenas uma altura (B) no pode ser issceles (C) cada ngulo externo maior que o interno adjacente (D) as bissetrizes dos ngulos formam 45 com os lados

opostos (E) nada disso. 3. Os dois menores lados de um tringulo medem 14cm e 4cm. Qual dos nmeros abaixo pode representar a medida em cm do 3 lado? (A) 9 (B) 11 (C) 17 (D) 19 (E) NRA. 4. Os lados de um tringulo so: 10, x + 2, 12 2x. O nmero de valores inteiros possveis de x : (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) mais de 5. 5. Os lados de um tringulo so: 16 x, 2x + 2, x + 12. Sejam os conjuntos: A = {x R 10 < x < 15} B = {x R 0 < x < 15} C = {x R 5 < x < 10} D = {x R

21 x 13}

Diremos que x1 soluo, se para x = x1 o tringulo existe. (A) no existem solues em A. (B) x a soluo desde que x B.

(C) o tringulo existe para todo x C. (D) D o conjunto de todas as solues do problema. (E) N.R.A 6. Em um tringulo ABC, seja D o p da bissetriz interna de . Traa-se DE paralela a ABe EFparalela a CB . Ento: A) ECAE= (B) DCAE= (C) BDAE= (D) BFAE= (E) N.R.A 7. Em um tringulo ABC, as bissetrizes de B e C encontram-se em O. Traa-se DOE paralela a BC (D em AB e E em AC). Ento: (A) DE = AD + EC (B) DE = AE + BD (C) DE = BD + EC (D) DE = BC AD (E) NRA. 8. A soma das distncias do ponto P aos vrtices do tringulo da figura pode ser igual a:

(A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 18 (E) NRA. 9. Assinale a afirmativa falsa: (A) Se um polgono convexo P1 est contido no interior

de um polgono qualquer P2, o permetro de P1 menor que o de P2.

(B) Se, em um tringulo, uma ceviana ao mesmo tempo mediana e bissetriz, esse tringulo issceles.

(C) Em um tringulo issceles, as alturas relativas aos lados congruentes so congruentes.

(D) Em todo tringulo, cada ngulo interno o suplemento da soma dos outros dois.

(E) Uma das afirmativas anteriores falsa. 10. Se S = , considerando a figura abaixo, podemos afirmar que:

cba ++

(A) S = 180 (B) S = 80 (C) S = 140 (D) nada se pode afirmar sobre S (E) NRA. 11. Se S = , considerando a figura abaixo, podemos afirmar que:

fedcba +++++

(A) S = 360 (B) S = 540 (C) S = 420 (D) S varivel (E) NRA. 12. Da figura abaixo sabe-se que: 1) A 2) AM = AP 60Be80 ==3) BM = BQ 4) MP = MQ. O ngulo mede (A) 10 (B) 12 (C) 15 (D) 20 (E) NRA. 13. Da figura abaixo sabe-se que: 1) r // s 2) AM = AP 3) BM = BQ.

Ento, vale: (A) 90 (B) 100 (C) faltam dados (D) varivel (E) N.R.A 14. Na figura, tem-se AB = AC e CD = CE.



Podemos afirmar que: (A) (B) 90 =+ = 2(C) (D) = 3 =

23

(E) NRA. 15. Na figura tem-se AB = AC e AD = DC = CB O ngulo mede: (A) 20 (B) 30 (C) 32 (D) 36 (E) 40. 16. O ngulo formado pelas bissetrizes internas dos ngulos e de um tringulo mede 50. Ento, o ngulo mede:

B

AC

(A) 80 (B) 100 (C) 130 (D) no existe o tringulo (E) NRA. 17. Em um tringulo retngulo, a altura e bissetriz relativas hipotenusa formam 14. O maior dos ngulos agudos mede: (A) 48 (B) 50 (C) 53 (D) 54 (E) N.R.A 18. Em um tringulo retngulo , a altura e mediana relativas hipotenusa formam 20. O maior dos ngulos agudos mede:

(A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 64 (E) N.R.A 19. Da figura sabe-se que: 1) PB = PR 2) QC = QR. Ento :

(A) maior que , sempre A

(B) igual a 2

CB+

(C) maior que 2

CB+, sempre

(D) igual a A(E) N.R.A 20. Da figura, sabe-se que D o p da bissetriz do ngulo reto do tringulo retngulo ABC. Se A DE perpendicular a BC , o ngulo :

(A) igual a c

(B) igual a 2

c90 +

(C) igual a 45 (D) maior que 45 (E) N.R.A 21. Se P um ponto qualquer da base BC de um tringulo issceles ABC, a soma das distncias de P aos lados congruentes constante e igual: (A) base BC (B) altura relativa a um dos lados congruentes (C) a um dos lados congruentes (D) no constante (E) N.R.A

22. A soma das distncias de um ponto P, interior a um tringulo eqiltero aos lados, constante e igual: (A) ao lado do tringulo

(B) a 32 do lado do tringulo

(C) altura do tringulo (D) no constante (E) N.R.A 23. O tringulo ABC da figura retngulo em . A AH a altura e ADe AE so as bissetrizes dos ngulos H B

e H C.

A

AConsidere as afirmaes: 1) D E = 45 A2) ADE issceles 3) BAE issceles 4) CAD issceles

Quantas esto certas? (A) nenhuma (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) todas 24. Um ponto A qualquer considerado sobre o lado Ox do ngulo x y da figura. OTraamos ento: 1) AB Oy 2) AQ//Oy 3) OPQ tal que PQ = 2 OA.

Se P B = 26, x y mede: O O (A) 61 (B) 66 (C) 72 (D) 78 (E) NRA.

25. Se ma a medida da mediana relativa ao lado a de um tringulo de lados a, b e c, ento:

(A) ma < a (B) ma > 2cb +

(C) ma = 2a (D) ma < 2

cb +

(E) N.R.A 26. Seja r perpendicular em B ao segmento AB da figura. Se P tal que B P = PBC, o tringulo ABP A

(A) sempre acutngulo (B) sempre retngulo (C) sempre obtusngulo (D) sempre issceles (E) N.R.A RESPOSTAS GRUPO I 1. 735214 2. 10948 3. 2544 4. 90, 681230 e 114730 5. 45 6. 120 7. 27 8. 6730 9. 90, 222120 e 673840 10. 83 11. 87, 59 e 34 12. 45, 90 e 45 13. 20 14. 80 15. 36 e 54 16. 120 17. 120 18. 6730 19. 61 20. 20 21. 21



22. 90, 54 e 36 23. 20, 110 e 50 24. 21406 25. 633754 26. 100745 27. 130 28. a + y = 180 a + y = a + x x = y 29. 60 30. 45 38. 5330, 5330 e 73 39. 135 40. 135 ou 45 41. 11230 ou 6730 42. 112 43. 20 44. 108 45. 60 e 30 46. 52 e 128 47. 2230 48. 120, 30 e 30 49.80 e 40 50. 55 e 35 51. 180 GRUPO III 1. D 2. E 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. D 9. E 10. C 11. A 12. A 13. A 14. C 15. D 16. A 17. E 18. B 19. D 20. D 21. B 22. C 23. D 24. D 25. D 26. B

Documents

2. TRIÂNGULOS - REVISÃO