Definição Dado três pontos A, B e C não-colineares, chama-se

triângulo ABC a figura plana constituída pela reunião dos segmentos AB, AC e BC e pelos pontos interiores à região que eles determinam.

A

B

C

Elementos principais

A figura mostra o triângulo ABC. Nele, destacamos

A

B

C

a

b

c

os vértices A, B e C

os lados e suas medidas: AB = c, AC = b e BC = a

os ângulos internos A, B e C.

α

ângulo externo (α)

Quanto à medida de seus lados Triângulo escaleno

A

B

C

a

b

c

As medidas dos três lados são diferentes (a ≠ b, b ≠ c e a ≠ c)

As medidas dos três ângulo são diferentes A ≠ B ≠ C.

Quanto à medida de seus lados Triângulo isósceles

A

B C

xx

Pelo menos dois de seus lados são iguais (AB = AC = x).

o lado BC não-congruente aos outros, é chamado de base.

os ângulos B e C são os ângulos da base e o ângulo A é o ângulo no vértice.

Quanto à medida de seus lados Triângulo eqüilátero

A

B C

xx

Todos os lados são iguais (AB = AC = BC = x).

os ângulos A, B e C, também, são todos iguais (60º).

x

Quanto à medida de seus ângulos internos Triângulo acutângulo

A

B

C

As medidas dos três ângulos internos são agudos(A < 90º, B < 90º e C < 90º)

Quanto à medida de seus ângulos internos Triângulo retângulo

A B

C

A medida de um de seus ângulos internos é reto. (A = 90º)

O lado BC é chamado de hipotenusa; os outros dois são chamados catetos.

Quanto à medida de seus ângulos internos Triângulo obtusângulo

AB

C

A medida de um de seus ângulos internos é obtuso. (A > 90º)

Soma dos ângulos internos A soma dos ângulos internos de um triângulo é constante e

igual a 180º.

A

C

B

βr

α

A + B + C = 180º

α + C + β = 180º

α = A e β = B

⇒

r // AB

Medida do ângulo externo

Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não-adjacentes.

α

A

C

B

α + C = 180º

A + B + C = 180º

( I )

( II )

⇒

α + C = A + B + C

⇒

α = A + B

Medida do ângulo externo

Cada ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não-adjacentes.

f

A

C

B

e = A + B

g

e

f = A + C

g = B + C

Exemplo

Na figura abaixo, AC é bissetriz interna do triângulo ABD. Calcular a medida x do ângulo indicado.

B

A

D

76º 115º

C

x

y y76 + y = 115 y = 39º⇒

115 + y = x

115 + 39 = x

x = 154º⇒

Mediana

Une o vértice ao ponto médio do lado oposto.

B

A

CM

AM é mediana

BM = CM

⇒

M é o ponto médio do segmento BC.

Altura

Une o vértice ao lado oposto (ou a seu prolongamento) e é perpendicular à reta suporte desse lado.

B

A

CH

AH é altura

AH é perpendicular a BC

⇒

Bissetriz interna

Une o vértice ao lado oposto, dividindo o ângulo desse vértice em dois ângulos congruentes.

B

A

CS

AS é bissetriz

Mediatriz Chama-se mediatriz de um segmento AB a reta m

perpendicular a AB, passando pelo seu ponto médio.

A

m

BM A reta m é mediatriz

AM = BM

⇒

Triângulo isóscelesA

B C

xx

a altura AM relativa à base é também mediana e bissetriz interna.

M

Triângulo eqüiláteroA

B C

NP

Em cada vértice, a mediana, a altura e a bissetriz interna coincidem e são todas congruentes (AM = BN = CP).

M

Relacionando lados e ângulos A trigonometria tem sua origem na necessidade de

relacionar lados e ângulos de um triângulo.

a hipotenusa BC = a

A

B

C

a

b

c

o cateto AC = b

o cateto AB = c

A = 90º

B + C = 90º

Relacionando lados e ângulos

A

B

C

a

b

ca2 = b2 + c2

⍺

cateto oposto a ⍺hipotenusa

=sen ⍺ =ca

cateto adjacente a ⍺hipotenusa

=cos ⍺ =ba

β

Relacionando lados e ângulos

A

B

C

a

b

ca2 = b2 + c2

⍺

cateto oposto a ⍺=tg ⍺ =

c

bcateto adjacente a ⍺

β

os números sen ⍺ , cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões trigonométricas do ângulo ⍺ .

Exemplos

O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B.

12 16

A

BC

Teorema de Pitágoras

BC2 = AB2 + AC2

x2 = 162 + 122

x2 = 256 + 144

x2 = 400

x = 20

20

Exemplos

O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.

cateto oposto a B

hipotenusasen B = =

12

20=

3

5= 0,6

cateto adjac. a B

hipotenusacos B = =

16

20=

4

5= 0,8

12 16

A

BC20

Exemplos

O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.

cateto oposto a B

cateto adjac. a Btg B = =

12

16=

3

4= 0,75

12 16

A

BC20

Exemplos

Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm.

5 cm16

6 cm

x

y

tg y =6

5= 1,2 ⇒ y ≈ 50º

x + y = 90º

⇒ x ≈ 40º

β

Ângulos complementares

A

B

C

5

4

3

⍺ + β = 90º

⍺

tg ⍺ =3

4

⇒Os ângulos ⍺ e β são complementares

sen ⍺ =35

cos ⍺ =45

tg β =4

3sen β =

45

cos β =35

β

Ângulos complementares

A

B

C

a

b

c

⍺ + β = 90º

⍺

tg ⍺ =1

tg β

⇒Os ângulos ⍺ e β são complementares

sen ⍺ = cos β cos ⍺ = sen β

Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.

1tg

½ cos

½ sen

60º 45º 30º

√2/2

√2/2

√3/2

√3/2

√3/3 √3

Exemplos

A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y.

x16

y

30º

sen 30º =x

12

12 cm

⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm

cos 30º =y

12 ⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm

Exemplos

Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z.

30ºAB

C

D

xy

z 2 cm

60º

b/a

c/a

Identidades trigonométricas A partir do triângulo retângulo abaixo vamos

deduzir algumas dessas relações.

β

A

C

B

a

c

b

⍺

sen ⍺cos ⍺

= =b

a.

a

c=

b

c= tg ⍺

tg x =sen x

cos x

Exemplos Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é

igual a 3/5, determine o co-seno e a tangente desse ângulo.

sen2 x + cos2 x

⇒ 3

5+

2

cos2 x = 1

⇒ 9

25+ cos2 x = 1

⇒9

25–cos2 x = 1 =

25 – 9

25

⇒ cos x =

=16

25

± 4/5 ⇒ cos x = 4/5

Exemplos

Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.

tg x =sen x

cos x=

3

5

4

5

=3

4