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Triângulos ― classificação

Quanto aos ângulos Quanto aos lados

Acutângulo: possui três ângulos agudos.

Equilátero: três lados de mesma medida.

Obs.: os três ângulos internos têm

medidas de 60º.

Retângulo: possui dois ângulos agudos e

um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado

o teorema de Pitágoras:

hipotenusa2 = cateto2 + cateto2

Isósceles: dois lados de mesma medida.

Obs.: os ângulos opostos aos lados

congruentes também são de mesma

medida.

Obtusângulo: possui dois ângulos agudos

e um obtuso.

Escaleno: três lados de medidas

diferentes entre si.

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Triângulos - medidas de seus ângulos

Soma das medidas dos

ângulos internos

Teorema do ângulo externo

Condição de existência de um triângulo

a + b + g = 180º a + x = 180º b + g = x

A soma das medidas dos dois lados menores tem que ser maior que a medida do lado maior.

b + c > a

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Triângulos – cevianas e pontos notáveis

Ceviana Definição Ponto notável Figura

Mediana

É o segmento que tem como

extremidade um vértice do

triângulo e o ponto médio do lado

oposto a esse vértice.

Baricentro (G): é o ponto de

encontro das medianas do

triângulo; é o centro de

gravidade do triângulo.

Bissetriz

É o segmento que tem uma

extremidade em um vértice do

triângulo, divide o ângulo ao meio

e tem a outra extremidade no

lado oposto a esse vértice.

Incentro (I): é o encontro das

bissetrizes internas do

triângulo; é o centro da

circunferência inscrita no

triângulo, pois equidista dos

três lados.

Altura

É o segmento com uma

extremidade em um vértice e a

outra extremidade no lado oposto

ou no seu prolongamento,

formando com ele ângulos retos.

Ortocentro (H): é o ponto de

encontro das retas que contêm

as alturas, podendo pertencer

ao exterior do triângulo.

Mediatriz

Reta que passa pelo ponto médio

de um lado do triângulo e é

perpendicular a ele.

Circuncentro (C): é o ponto

de encontro das mediatrizes

dos lados do triângulo; é o

centro da circunferência

circunscrita ao triângulo, pois

equidista dos três vértices.

4

Congruência de triângulos

Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos.

1o caso: LAL Dois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente

3o caso: ALA Dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente

4o caso: LAAo Um lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente

2o caso: LLL Três lados congruentes

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Semelhança de triângulos

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são semelhantes.

1o caso: AA Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo também será.

3o caso: LAL Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados

proporcionais.

2o caso: LLL Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro.

Casos de semelhança:

Assim teremos:

= = =AB BC AC

constanteDE EF DF

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Relações métricas no triângulo retângulo

Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento perpendicular ao lado , com D em .

ADBC BC

Definições dos segmentos:

=

=

=

=

=

=

BC hipotenusa (medida "a")

AB cateto (medida "c")

AC cateto (medida "b")

BD projeção do cateto AB

sobre a hipotenusa (medida "m")

DC projeção do cateto AC

sobre a hipotenusa (medida "n")

AD altura relativa à

hipotenusa (medida "h")

Assim teremos: 2 2 2

2

2

2

= +

=

=

=

=

a b c

a h b c

b m a

c n a

h m n

7

Quadriláteros

Quanto aos

ângulos

Quanto às

diagonais

Quanto aos

lados

Paralelogramo

Ângulos opostos

congruentes e

ângulos

adjacentes

suplementares.

Encontram-se no

seu ponto médio.

Lados opostos

congruentes.

Retângulo

Quatro ângulos

retos.

São congruentes. Lados opostos

congruentes.

Losango

Ângulos opostos

congruentes e

ângulos

adjacentes

suplementares.

São perpendiculares

entre si e estão

contidas nas

bissetrizes dos

ângulos internos do

losango.

Quatro lados

congruentes.

Quadrado

Quatro ângulos

retos.

Encontram-se no

seu ponto médio e

são congruentes.

Quatro lados

congruentes.

São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.

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Quadriláteros

Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor.

Trapézio retângulo É todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases.

Trapézio isósceles É todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes.