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2008.1 - Modelagem No Espaço de Estados
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Plano Bsico
Autores:
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra
Universidade Federal do Cear
Departamento de Engenharia Eltrica
Programa de Educao Tutorial
Equaes Diferenciais
Fortaleza, 27 de agosto de 2008
Orientadores: Lus Paulo Carvalho dos Santos
Luiz Fernando Almeida Fontenele
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 2
Sumrio
Modelagem no Espao de Estados
Soluo de Equaes Diferenciais Homogneas
Conceito de Estabilidade e Estabilidade Assinttica
Transformada de Laplace
Soluo de Equaes Diferenciais No-Homogneas
Tcnica de Linearizao de Sistemas No-Lineares
Ciclos Limites
Caos e Atratores Estranhos
Anlise de estabilidade de Liapunov
Controlabilidade e Observabilidade
Aplicaes
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 3
Motivao
As equaes diferenciais so usadas:
para modelagem de problemas fsicos;
para a Anlise de comportamento de sistemas;
para o Projeto de Controladores;
Modelagem no espao de estados
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 5
Vantagens da Modelagem no Espao
de Estados
Permite a anlise e projeto de diversos tipos de sistemas
Sistemas No Lineares
Sistemas Variantes no Tempo
Sistemas com mltiplas entradas e sadas
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 6
Modelagem no Espao de Estados
Estado o menor conjunto de variveis de estado (LI) tais que o
conhecimento dessas variveis para t=t0 juntamente com o conhecimento da entrada para determina o conhecimento do sistema para qualquer instante ;
Variveis de Estado So aquelas que constituem o menor conjunto de variveis capazes
de determinar o estado de um sistema;
0t t
0t t
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 7
Modelagem no Espao de Estados
Espao de estados O espao n-dimensional cujos eixos so as variveis de estado;
Equaes de estado Um conjunto de n equaes diferenciais de primeira ordem,
simultneas, com n variveis, onde as n variveis a serem resolvidas so as variveis de estado;
Equao de Sada A equao algbrica que exprime as variveis de sada de um
sistema como combinaes lineares das variveis de estado e das entradas.
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 8
Modelagem no Espao de Estados
Considerando como as entradas do
sistema e como as sadas do sistema.
Definamos tambm as sadas das
variveis de estado
OBS: Geralmente, o nmero mnimo de variveis de
estado necessrio igual a ordem da equao diferencial
que descreve o sistema.
1 2( ), ( ),..., ( )ru t u t u t
1 2( ), ( ),..., ( )my t y t y t
1 2( ), ( ),..., ( )nx t x t x t
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 9
Modelagem no Espao de Estados
O sistema pode ser descrito
como:
As sadas do sistema podem
ser dadas por:
1 1 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( , ,..., ; , ... ; )
( , ,..., ; , ... ; )
( , ,..., ; , ... ; )
( )
( )
.
.
.
( )
(1)
n r
n r
n n n r
f x x x u u u t
f x x x u u u t
f x x x u u u t
x t
x t
x t
1 1 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2
1 2 1 2
( , ,..., ; , ... ; )
( , ,..., ; , ... ; )
( , ,..., ; , ... ; )
( )
( )
.
.
.
( )
(2)
n r
n r
m m n r
g x x x u u u t
g x x x u u u t
g x x x u u u t
y t
y t
y t
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 10
Modelagem no Espao de Estados
Definindo as seguintes matrizes e vetores:
1
2
( )
( )
.
.
.
( )n
x t
x t
x t
x(t)
1 1 2 1 2
2 1 2 1 2
1 2 1 2
( , ,..., ; , ... ; )
( , ,..., ; , ... ; )
.t
.
.
( , ,..., ; , ... ; )
n r
n r
n n r
f x x x u u u t
f x x x u u u t
f x x x u u u t
f(x,u, )
1
2
( )
( )
.
.
.
( )m
y t
y t
y t
y(t)
1 1 2 1 2
2 1 2 1 2
1 2 1 2
( , ,..., ; , ... ; )
( , ,..., ; , ... ; )
.t
.
.
( , ,..., ; , ... ; )
n r
n r
m n r
g x x x u u u t
g x x x u u u t
g x x x u u u t
g(x,u, )
1
2
( )
( )
.
.
.
( )r
u t
u t
u t
u(t)
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 11
Modelagem no Espao de Estados
As (1) e (2) podem agora ser manipuladas de modo a se
obter:
Se f e ou g forem explicitamente funes de t, o sistema
variante no tempo
( ) t Equao de Estadot f(x,u, ) x
( ) t Equao de Sadat y g(x,u, )
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 12
Modelagem no Espao de Estados
Para facilitar os clculos matemticos as funes f(t) e
g(t) podem ser linearizadas:
Onde A(t) chamada de matriz de estado, B(t) de matriz
de entrada, C(t) de matriz de sada e D(t) de matriz de
transmisso direta
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t t t t
t t t t t
A x B u
y C x D u
x
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 13
Modelagem no Espao de Estados
Se as matrizes A(t), B(t), C(t), D(t), ou seja, f e g no
dependerem de t, o sistema dado como linear e
invariante no tempo:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
t t t
t t t
Ax Bu
y Cx Du
x
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 14
Modelagem no Espao de Estados
Sistemas em que as entradas so nulas ou a matriz de
entrada nula so ditos homogneos
Esses sistemas homogneos so muito comuns em
problemas fsicos
( ) ( )t tAxx
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 15
Exemplo de Modelagam no Espao
de Estados
Obter uma representao no espao de estados se a corrente
atravs do resistor for a sada
Seleciona-se como varivel de estado as grandezas diferenciveis
dos elementos armazenadores de energia vC e iL:
v(t)
L
CR
iL(t) iC(t)
iR(t)
N 1
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 16
Exemplo de Modelagam no Espao
de Estados
vC e iL devem ser escritos em funo das variveis de
estado e da entrada:
Substituindo e isolando as variveis de estado:
A sada dada pela equao:
1 N 1
( ) Malha externa
C C L
L C
i v iR
v v v t
1 1
( )( )
C C LC L C
CL LC
dv dv iC v i v
dt R dt RC C
vdi di v tL v v t
dt dt L L
1R Ci v
R
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 17
Exemplo de Modelagam no Espao
de Estados
Colocando na forma matricial:
1 1 0( )
11 0
1 0
C C
L L
C
R
L
v vRC Cv t
i iLL
vi
R i
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Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 18
Anlise de Sistemas Lineares
Homogneos Invariantes no Tempo
Os prximos slides contero uma anlise da estabilidade
de sistemas lineares homogneos invariantes no tempo
atravs de um plano de fases e atravs da transformada
de Laplace. Ser usado para isso, exemplos de sistemas
de segunda ordem
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 19
Conceitos da Anlise do Plano de
Fases
geralmente utilizado em sistemas de primeira e
segunda ordem
O plano que tem como coordenadas x1 e x2 (Variveis
de Estado) chama-se plano de fase.
Com o tempo variando de zero a infinito, a soluo x(t)
pode ser representada geometricamente como uma curva
no plano de fase (trajetria).
Uma famlia de trajetrias do plano de fase
correspondentes a varias condies iniciais chamada
de retrato de fase de um sistema.
Soluo de Equaes Diferenciais
Homogneas
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 21
Mtodo de Resoluo
Seja o seguinte sistema:
Supe-se solues da forma:
Substituindo (4) em (3)
( ) ( ) (3)t tx Ax
(4)rtex
0 (5)rt rte e
r
A
A I
r
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Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 22
Mtodo de Resoluo
Para sistemas de segunda ordem obtm-se a seguinte equao caracterstica:
Sendo
Tem-se:
Para diferentes tipos de autovalores h uma anlise distinta
11 12
21 22
a a
a a
A
11 12
21 22
2
11 22
det 0
0
( ) det( ) 0
r
a r a
a a r
r r a a
A I
A
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 23
Autovalores Reais Distintos e de
Mesmo Sinal (Negativo)
Soluo Geral:
Exemplo:
Polinmio Caracterstico:
Soluo:
Observaes: Como r2
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 24
Autovalores Reais Distintos e de
Mesmo Sinal (Negativo)
N Atrator Assintoticamente Estvel
-0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
TRAJETRIAS DO SISTEMA
x1
x2
-5 0 5-150
-100
-50
0
50
100
150
ESTABILIDADE DO SISTEMA
t
x1
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 25
Autovalores Reais Distintos e de
Mesmo Sinal (Positivo)
Soluo Geral:
Exemplo:
Polinmio Caracterstico:
Soluo:
Observaes:
Como r2>r1>0, as
trajetrias tem o mesmo
padro do caso anterior,
exceto que o sentido do
movimento se afastando
do ponto crtico
O ponto critico chamado
de fonte
1 2(1) (2)
1 2
r t r tc e c e x
1 1
2 4
A
2 5 6 0r r
2 3
1 2
1 1
1 2
t tc e c e
x
1 (1) (2) ( 2 1)1 2 ()r t r r te c c e x
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 26
Autovalores Reais Distintos e de
Mesmo Sinal (Positivo)
Fonte Instvel
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2
-1
-0.5
0
0.5
1
TRAJETRIAS DO SISTEMA
x1
x2
-5 0 5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
4 ESTABILIDADE DO SISTEMA
t
x1
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 27
Autovalores Reais Distintos e de
Sinais Opostos
Soluo Geral:
Exemplo:
Polinmio Caracterstico:
Soluo:
Observaes:
Se c2 =0, a soluo
permanece na reta de para
qualquer t. Como r1>0
|x|Inf quando tInf
Se c1 =0, a soluo
permanece na reta de
para qualquer t. Como r1
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 28
Autovalores Reais Distintos e de
Sinais Opostos
Ponto de Sela Instvel
-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
TRAJETRIAS DO SISTEMA
x1
x2
-5 0 5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10
4 ESTABILIDADE DO SISTEMA
t
x1
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 29
Soluo Geral:
Exemplo:
Polinmio Caracterstico:
Soluo:
Autovalores Repetidos com Dois
Autovetores Independentes (Neg)
(1)
Observaes:
A razo x1/x2 independe de
t, mas depende das
coordenadas de e de e
das constantes arbitrrias;
Logo toda trajetria est
contida em uma reta
contendo a origem;
O ponto crtico chamado
de n prprio ou ponto
estrela
1 0
0 1
A
2 2 1 0r r
1 2
1 0
0 1
t tc e c e
x
(1) (2)
1 2
rt rtc e c ex
(2)
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 30
Autovalores Repetidos com Dois
Autovetores Independentes (Neg)
N prprio Assintoticamente Estvel
-60 -40 -20 0 20 40 60
-60
-40
-20
0
20
40
60
TRAJETRIAS DO SISTEMA
x1
x2
-5 0 5-150
-100
-50
0
50
100
150
ESTABILIDADE DO SISTEMA
t
x1
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 31
Autovalores Complexos Com parte
Real Positiva
Soluo Geral:
Sendo os autovalores
Exemplo:
Polinmio Caracterstico:
Soluo:
2 2
4 1
A
(1) (2)1 2t tc e cos t isen t c e cos t isen t x
2 6 0r r
1 1
2 21 2
4 423 23 23 23
3 23 3 23
t t
c e cos t isen t c e cos t isen ti i
x
1,2r i
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 32
Autovalores Complexos Com parte
Real Positiva
Observaes: Sistemas com autovalores so geralmente da forma:
Na forma polar:
Diferenciando as duas equaes:
Substituindo as equaes (1 e 2) nas duas equaes (3 e 4) e em seguida integrando, obtm-se:
O ponto crtico chamado de fonte espiral
1,2ir
1 1 2 2 1 2 (1) (2)x x x x x x
x x
2 2 2
1 2 2 1 tg = x xr x x
2 21 1 2 2 1 2 2 1 1(3) sec (4)rr x x x x x x x x x
tr r r ce
0t
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 33
Autovalores Complexos Com parte
Real Positiva
Fonte Espiral Instvel
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
TRAJETRIAS DO SISTEMA
x1
x2
-5 0 5-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
ESTABILIDADE DO SISTEMA
t
x1
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 34
Autovalores Repetidos com um
Autovetor independente
Soluo Geral:
Exemplo:
Polinmio Caracterstico:
Clculo de
Soluo:
Observaes:
Quando t for muito grande o
termo ser dominante;
Quando autovalor tiver parte
real positiva o sistema ser
instvel, j se tiver parte real
negativa o sistema ser
assintoticamente estvel com
x1 e x2 tendendo a 0 por retas
tangentes ao autovetor ;
A origem chamada de n
imprprio
1 2( )rt rt rtc e c te e x
1 1
1 3
A
2 4 4 0r r
2
1 2
0.707 0.707 0
0.707 0.707 0.707
t rt rtc e c te e
x
1
r
A I
rtte
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 35
Autovalores Repetidos com um
Autovetor independente
N imprprio Instvel
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
TRAJETRIAS DO SISTEMA
x1
x2
-5 0 5-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8x 10
4 ESTABILIDADE DO SISTEMA
t
x1
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 36
Autovalores Complexos Com parte
Real Negativa
Soluo Geral:
Sendo os autovalores
Exemplo:
Polinmio Caracterstico:
Soluo:
1 3
3 1
A
2 2 10 0r r
1 23 3
3 3 3 32 3 2 3
t tcos t isen t cos t isen ti i
c e c e
x
1,2ir
(1) (2)1 2t tc e cos t isen t c e cos t isen t x
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 37
Autovalores Complexos Com parte
Real Negativa
Sorvedouro Espiral Assintoticamente Estvel
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
TRAJETRIAS DO SISTEMA
x1
x2
-5 0 5-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
ESTABILIDADE DO SISTEMA
t
x1
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 38
Autovalores Puramente Complexos
Soluo Geral:
Sendo os autovalores
Exemplo:
Polinmio Caracterstico:
Soluo:
0 2
2 0
A
(1) (2)1 2c cos t isen t c cos t isen t x
2 4 0r
1 21
2 2 2 21
icos t isen t cos t isen t
ic c
x
1,2r i
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 39
Autovalores Puramente Complexos
Sistemas com autovalores puramente complexo so do
tipo:
Logo:
Observaes:
Como e r=0 as trajetrias do sistema so crculos centrados
na origem na direo horria
O ponto crtico chamado de Centro
0
0
x x
0 tr r r ce c 0t
0
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 40
Autovalores Puramente Complexos
Centro Estvel
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
x1
x2
TRAJETRIAS DO SISTEMA
-5 0 5-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
t
x1
ESTABILIDADE DO SISTEMA
Conceito de Estabilidade e
Estabilidade Assinttica
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 42
Conceitos de Estabilidade e
Estabilidade Assinttica
Seja o seguinte sistema autnomo:
Seja x0 um ponto critico do sistema (f(x0)=0)
Ponto Crtico Estvel:
se dado um , existe um tal que toda soluo do
sistema ,que satisfaz, em :
Existe para todo t positivo e satisfaz:
x f(x)
0(0) x
0( )t x
0 0
( )tx 0t
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 43
Conceitos de Estabilidade e
Estabilidade Assinttica
Ponto Crtico Assintoticamente Estvel:
Deve ser estvel
Se existe um com , tal que, se satisfaz
Ento:
00 0 ( )tx
0
0(0) x
0lim ( )x
t
x
Transformada de Laplace
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 45
Transformada de Fourier
Sinais
Peridicos e aperidicos;
Contnuos;
Permite melhor compreenso das freqncias presentes
em um sinal;
Simplificao de operaes (convoluo).
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 46
Transformada de Fourier
Definio:
Onde representa as freqncias do sinal;
: ( ) ( )
1: ( ) ( )
2
j t
j t
Direta X j x t e dt
Inversa x t X j e d
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 47
Desvantagem
A Transformada de Fourier s poder ser utilizada
quando sua integral convergir, limitando sua utilizao;
Para poder resolver casos como este que usa-se a
Transformada de Laplace, que uma generalizao da
Transformada de Fourier
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 48
Transformada de Laplace
Definindo a Transformada de Laplace:
Podemos perceber que quando a Transformada
de Laplace ser igual a Transformada de Fourier, pois
Transformada de Laplace Inversa:
( ) ( ) ,stX s x t e dt s j
0
s j
1( ) ( )
2
j
st
j
x t X s e dsj
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 49
Regio de Convergncia (ROC)
Constitui em todos os valores de s que existe a
Transformada de Laplace, ou seja, a integral abaixo
deve convergir.
( ) ( ) ,stX s x t e dt s j
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 50
Regio de Convergncia
Ex.: Calcule a Transformada de Laplace de x(t):
( )( )
0 0
00 ( )( )
1.) ( ) ( )
1( ) ( ) ,
Regio de Convergncia (ROC):Re( )
2.) ( ) ( )
1( ) ( ) ,
Regi
at
s a tat st a s t
at
s a tat st a s t
x t e u t
eX s e u t e dt e dt
s a s a
s a
x t e u t
eX s e u t e dt e dt
s a s a
o de Convergncia (ROC):Re( )s a
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 51
Plano-s
um plano que representa os valores possveis de s para
um sinal ou sistema. Onde o eixo-x representa a parte
Real de s e o eixo-y a parte Complexa de s.
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 52
Plos e Zeros
Ao calcular a TL de um sinal podemos identificar para
quais valores a TL ser zero ou tender ao infinito. Esses
valores so, respectivamente, os Zeros e Plos de X(s).
Suas importncias sero vistas mais adiante.
2 3 2 1( ) 3 ( ) 2 ( )2 1 ( 1)( 2)
1: : 1
2
Lt t sx t e u t e u ts s s s
sPlos Zero s
s
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 53
Propriedades
Deslocamento no tempo
( )
{ ( )} ( ) , Se ,
( ) ( ) ( )
( ) ( )
st
s u s su s
Laplace s
L x t x t e dt u t t u
x u e du e x u e du e X s
x t e X s
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 54
Propriedades
Derivao no domnio do tempo
( ) ( )
( ) 1 1( ) ( )
2 2
( )( )
Laplace
j j
st st
j j
Laplace
x t X s
dx t dX s e ds sX s e ds
dt j dt j
dx tsX s
dt
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 55
Propriedades
Integrao no domnio do tempo
( ) ( ) ( )
1( ) , { } 0
1( ) ( ) ( ) ( )
t
Laplace
t
Laplace
x d u t x t
u t e ss
x d u t x t X ss
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 56
Propriedades
Convoluo
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Laplace
Laplace
st
st s
x t h t x h t d
x t h t x h t d e dt
x h t e dt d x e d H s
x t h t X s H s
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
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TL de funes elementares
0
00
Funo Impulso:
{ ( )} ( ) (0) 1
Funo degrau:
1{ ( )} ( )
st
stst st
L t t e dt e
eL u t u t e dt e dt
s s
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Resoluo de Equaes Diferenciais
utilizando a TL
Reduo de uma equao diferencial para uma equao
algbrica
Exemplo:
2
2
5 5 52 3 4
( ) ( ) 53 2 ( ) ( ), ( ) 5 ( )
5 5 3 2 ( ) ( )
( 1)( 2) 1 2
Laplaced y t dy t y t x t x t u tt dt s
s s Y s Y ss s s s s s s
25 5 5( ) ( )2 3 4
t ty t e e u t
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Transformada de Laplace Unilateral
Bilateral Quando os limites da integral da Transformada vo de a
Unilateral Quando os limites da integral da Transformada vo de 0 a ,
indicando que o sistema causal e, particularmente para sistemas com equaes diferenciais e coeficientes constantes indica que h condies iniciais diferentes de zero.
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Diferenciao da Transformada de
Laplace Unilateral
0
00 0
( ),
Aplicando o mtodo de integrao por partes
( ), e ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) (0 )
( )Portanto ( ) (0
st
st st
st st st
Laplace
dx te dt
dt
dx tu e dv du se dt v x t
dt
dx te dt e x t s x t e dt X s x
dt
dx tsX s x
dt
)
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Anlise de sistemas LTI usando a
Transformada de Laplace
Sistema Causal
A resposta ao impulso desse sistema dever ser zero para t
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Anlise de sistemas LTI usando a
Transformada de Laplace
Sistema Estvel
Definio: se o sistema for submetido a uma entrada limitada a
sada tambm ser limitada.
Logo, a resposta ao impulso deve ser absolutamente integrvel.
Prova:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t B
y t h x t d
y t h x t d
( ) ( )
Logo, para y(t) ser limitada
( )
y t B h d
h d
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Sistema estvel
Note que para a Transformada de Fourier convergir deve-se obedecer os critrios de Dirichlet, que so: A funo deve ser unvoca (injetora);
Ter um nmero finito de descontinuidades em um intervalo finito;
Ter um nmero finito de mximos e mnimos em um intervalo finito;
A funo deve ser absolutamente integrvel;
Portanto, se a Transformada de Fourier da resposta ao impulso de um sistema existe, este sistema estvel.
*OBS.: a volta equivalente
( )h d
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Sistema estvel
A Transforma de Fourier no grfico do plano-s
Como Portanto o eixo-jw
do grfico do plano-s equivale a Transformada de Fourier.
Conclui-se que se o eixo-jw pertencer a ROC, a Transformada de
Fourier convergir, a resposta ao impulso do sistema ser
absolutamente integrvel e, finalmente o sistema ser estvel
, se 0 logo s j s j
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Sistema estvel
Relao entre localizao de plos, causalidade e estabilidade
Ex.:
H trs regies de convergncia possveis
Logo, se o sistema causal e os plos esto localizados no semi-plano esquerdo do grfico do plano-s o sistema ser estvel e se os plos estiverem no semi-plano direito o sistema ser instvel.
Zero: 22Suponha ( )
Plos: 3 e 1( 3)( 1)
ssH s
s ss s
{ } 1 Causal e instvel
3 { } 1 No-causal e estvel
{ } 3 Anti-causal e instvel
e s
e s
e s
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Atratores
Atrator o conjunto de pontos no espao de fase para o qual um sistema dinmico tende a seguir.
Metaforicamente seria como se, no tempo infinito, a trajetria fosse atrada.
Atrator puntiforme: localizados em sistemas que atingem equilbrio estvel.
Atratores peridicos: localizados em sistemas com oscilaes peridicas, ciclos limites.
Atratores Estranhos: sistemas caticos
Ciclos Limites
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Ciclos Limites
Para solues peridicas de
sistemas autnomos
(invariantes no tempo) de
segunda ordem da forma:
Uma trajetria fechada no
plano de fase tal que outras,
seja por dentro ou por fora,
tendam a ela quando
chamada de ciclo limite.
x f x
t
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Classificao
O ciclo limite pode ser classificado como:
Estvel: Trajetrias nem se aproximam nem se afastam do ciclo
limite.
Assintoticamente estvel: todas as trajetrias se aproximam do
ciclo limite quando . Esse tipo de estabilidade comumente
chamado de estabilidade orbital.
Semi-estvel: as trajetrias de um lado se aproximam, enquanto as
do outro lado se afastam do ciclo limite quando .
Instvel: as trajetrias se afastam do ciclo limite quando .
t
t
t
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Teoremas
Nem sempre possvel verificar a existncia de um
ciclo limite. Para isso, existem 3 teoremas gerais para
verific-la.
Considere as funes F e G, tendo derivadas parciais
de primeira ordem contnuas em um domnio D do
plano xy.
Sejam: e
,dx
F x ydt
,dy
G x ydt
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Teoremas
Teorema 1 Uma trajetria fechada do sistema deve conter pelo menos um
ponto crtico em seu interior. Se este for nico, necessariamente, no de sela.
Tambm utilizado de maneira inversa: se uma regio no contem pontos crticos, no podem existir trajetrias fechadas inteiramente contidas na regio.
Teorema 2 Sejam as derivadas parciais de F e G em um domnio
simplesmente conexo D. Se Fx e Gy tem o mesmo sinal em todos os pontos de D, no existe trajetria fechada do sistema inteiramente contida em D.
Caos e Atratores Estranhos
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Caos Determinstico
Sistemas com modelagem simples mas com
comportamento complexo;
Sadas determinadas, mas hipersensveis s condies
iniciais;
Imprevisibilidade;
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Caos Determinstico
Esse fenmeno pode ser observado em modelagens com equaes diferenciais ordinrias no-lineares. Exemplos: Mecnica clssica, reaes qumicas, meteorologia, plasmas,
sistemas biolgicos, dinmica de populaes, circuitos eletrnicos, efeito borboleta, etc.
Dificuldades: Impreciso na previso de estados em longos intervalos de tempo
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Equaes de Lorenz
A partir do estudo da conveco do ar na atmosfera,
Lorenz chegou ao seguinte sistema de equaes:
( )dx
y xdt
dyrx y xz
dt
dzxy bz
dt
10, 2.667e 28b r
Tcnica de Linearizao de Sistemas
No-Lineares
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Sistemas Quase Lineares
Perturbaes nos coeficientes refletem em perturbaes
nos autovalores;
Os autovalores da matriz de coeficientes A determinam
o tipo de ponto crtico em x=0;
Situaes mais sensveis:
Quando os autovalores so imaginrios puros (centro), a
perturbao gera uma componente real podendo estabilizar ou
desestabilizar o sistema;
Quando os autovalores so reais e iguais (n), a perturbao muda
a trajetria do n e caso os autovalores sejam complexos e iguais,
a perturbao gera um ponto espiral;
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Tcnicas de Linearizao de
Sistemas
A linearizao uma aproximao em torno de um
ponto de operao, ela s pode levar predio do
comportamento do sistema em uma vizinhana deste
ponto
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Tcnicas de Linearizao de
Sistemas
Caso mais Simples:
srie de Taylor para : , com n = 1 e em torno do ponto
:
Fazendo uma aproximao linear:
Seja
Se a funo possui n variveis :
:f
z z
2 31( ) ( ) ( )( ) ( )( ) (( ) )2
f x f x f x x x f x x x O x x
( ) ( ) ( )( )f x f x f x x x
y x x
( ) ( ) ( )f x y f x f x y
1 1 1 1 1 1
1
( ,..., ) ( ,..., ) ( ,..., ) ... ( ,..., )n n n n n nn
f x y x y f x x f x x y f x x yx x
: nf
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Tcnicas de Linearizao de
Sistemas
Em notao vetorial:
Considerando n funes de n variveis
1
1 1
1 1 1
1
( ,..., )
( ,..., )
( ,..., )
T
n
n n n
nn
n
f x xx y
f x x y y f x x
yf x x
x
( ) ( )Tf f f x y x x y
1 11 1 1
1
2 2 2
1
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
T
nT
Tn nn n n
n
f ff f fx x
f f f
f ff f fx x
x xx y x x y
x y x x yf x + y f x y
x xx y x x y
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Tcnicas de Linearizao de
Sistemas
Resumindo:
Seja o sistema:
Seja um ponto de equilbrio, ento:
Tomando
Se o ponto de equilbrio for na origem:
( ) f x + y f x Fy
x f(x(t))
nx
0f(x)
x(t) = x + y(t)
y = f(x + y(t)) f(x) + Fy(t) y Fy(t)
x Fx(t)
Anlise de estabilidade de Liapunov
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Anlise de Estabilidade de Liapunov
Funo Positiva Definida: V(x,t) definida em um domnio D contendo a origem;
e em todos os pontos de D;
Funo Negativa Definida: V(x,t) definida em um domnio D contendo a origem;
e em todos os pontos de D;
Funo Positiva Semidefinida: V(x,t) definida em um domnio D contendo a origem;
e em todos os pontos de D;
Funo Negativa Semidefinida; V(x,y) definida em um domnio D contendo a origem;
e em todos os pontos de D;
( , ) 0 V t x(0, ) 0 t V
(0, ) 0 t V
(0, ) 0 t V ( , ) 0 V t x
( , ) 0 V t x
(0, ) 0 t V ( , ) 0 V t x
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Anlise de Estabilidade de Liapunov
Se o sistema no linear, o segundo mtodo de
Liapunov bastante til, uma vez que no necessrio a
resoluo do mesmo;
O principio de Liapunov uma generalizao de dois
princpios fsicos para sistemas conservativos:
Uma posio de repouso estvel se a energia potncial um
mnimo local, caso contrrio instvel;
A energia total constante durante todo o movimento;
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Anlise de Estabilidade de Liapunov
A dificuldade dos teoremas de Liapunov est no fato de
no existir uma regra para a construo da funo de
Liapunov;
Geralmente em problemas fsicos considera-se a funo
de Liapunov como a energia total do sistema;
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Anlise de Estabilidade de Liapunov
Teorema de Liapunov Relacionado a Estabilidade:
Supondo um sistema descrito por:
,para todo t
Se existe uma funo escalar tendo as primeiras derivadas parciais
continuas e satisfazendo as seguintes condies:
V(x,t) positiva definida;
V(x,t) negativa definida;
Ento o ponto crtico na origem assintoticamente estvel
Se : para , ento o estado de equilbrio na
origem assintoticamente estvel de forma global
( ) ( , )t tx f x (0, ) 0t f
( , )V t x x
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Anlise de Estabilidade de Liapunov
Teorema de Liapunov Relacionado a Estabilidade:
Supondo um sistema descrito por:
,para todo
Se existe uma funo escalar tendo as primeiras derivadas parciais
continuas e satisfazendo as seguintes condies:
V(x,t) positiva definida;
V(x,t) negativa semidefinida;
V((t;x0, t0),t) no se anulando em para qualquer t0 e
qualquer
Logo o ponto crtico na origem assintoticamente estvel
globalmente
( ) ( , )t tx f x (0, ) 0t f 0t t
0x x0t t
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Anlise de Estabilidade de Liapunov
Teorema de Liapunov Relacionado a Estabilidade:
Supondo um sistema descrito por:
,para todo
Se existe uma funo escalar tendo as primeiras derivadas parciais
continuas e satisfazendo as seguintes condies:
V(x,t) positiva definida em uma certa regio ao redor da origem;
V(x,t) positiva definida na mesma regio;
Ento o ponto crtico na origem Instvel
( ) ( , )t tx f x (0, ) 0t f 0t t
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Estabilidade de Liapunov para Sistemas
Lineares Invariantes no Tempo
Seja o sistema:
Para o sistema ser positivo definido escolhe-se uma
possvel funo de Liapunov:
Onde P uma matriz positiva hermitiana (se x um vetor
real)
( ) TV x x Px
( )
( )
( )
T T
T T
T T T
T T
V
x x Px x Px
Ax Px x PAx
x A Px x PAx
x A P PA x
( ) ( )t tx Ax
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Pedro Andr Martins Bezerra 90
Estabilidade de Liapunov para Sistemas
Lineares Invariantes no Tempo
Pela definio de estabilidade assinttica Q deve ser
positiva definida:
Onde Q :
( ) TV x x Qx
( )T Q A P PA
Soluo de Equaes Diferenciais
No-Homogneas
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Quer-se resolver:
Supondo que a soluo seja na forma de uma srie de potncias vetoriais:
Substituindo a Equao (2) na equao (1)
Igualando os respectivos coeficientes:
A Matriz Exponencial
2( ) ... ... (2)kt t t t k0 1 2
x b b b b
2 2 32 3 ... ... ... ...k kt t t k t t t t t 1 2 3 k 0 1 2 3 kb b b b A b b b b b
2
1 1
3 3 2
...
1 1 1
2 2 !
k
k
3
1 0 3 2 0
2 1 0 k 0
b Ab b Ab A b
b Ab A b b A b
( ) ( ) (1)t tx Ax
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Pedro Andr Martins Bezerra 93
Substituindo t =0 na equao (2) obtm-se:
Devido a similaridade com a srie infinita de potncias
para uma exponencial escalar, essa matriz chamada de
exponencial:
Soluo final:
A Matriz Exponencial
(0) 0
x b
21 1... ...2! !
k tt t t ek
2 k AI A A A
21 1( ) ... ...2! !
kt t t tk
2 kx I A A A x(0)
( ) tt e Ax x(0)
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Solues de Equaes de Estado no
Homogneas (Por Transformada de Laplace)
Seja o seguinte sistema no Homogneo:
Aplicando a transformada de Laplace:
Multiplicando ambos os lados por :
( ) ( ) ( ) ()t t t x Ax Bu
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1
( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( )
( ) ( ) (0) ( ) ( )
s s s s s s s s
s s s s s s s s
s s s s s s
s s s s
I A X I A x I A AX I A BU
I A X I A AX I A x I A BU
I A I A X I A x I A BU
X I A x I A BU ()
( ) (0) ( ) ( ) ()s s s s X x AX BU
1( )s I A
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Pedro Andr Martins Bezerra 95
Solues de Equaes de Estado no
Homogneas (Por Transformada de Laplace)
Note que:
Logo, aplicando a transformada inversa de Laplace em:
Caso t0 seja diferente de 0:
21
2 3( ) ( ...)
I A As
s s s
I A
2-1 1[( ) ] ...
2!
tts t e 2
AAI A I A
L
( ) [ ] (0) [ ] ( )t ts e e s A AX x BUL L
0
0
( ) ( )
0( ) ( ) ( )t
t t t
tt e t e t d
A Ax x Bu
( ) ( )
0( ) (0) ( )
tt tt e e t d
A Ax x Bu
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Exemplo de Soluo de um Sistema de
Equaes Diferenciais no Homogneo
Obtenha a resposta temporal do seguinte sistema:
Sabe-se que a soluo geral para o sistema :
v(t)
L
CR
iL(t) iC(t)
iR(t)
N 1
1 1 0( )
11 0
1 0
C C
L L
C
R
L
v vRC Cv t
i iLL
vi
R i
( ) ( )
0( ) (0) ( )
tt tt e e d
A Ax x Bu
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Pedro Andr Martins Bezerra 97
Exemplo de Soluo de um Sistema de
Equaes Diferenciais no Homogneo
Primeiro deve-se achar a soluo do sistema
homogneo:
A matriz de transio de estados dado por:
Logo:
( )( ) (0)tt e Ax x
-1 1[( ) ] ts e AI AL
1 1 1 1 1 100( )
0 1 1 10 0
s ss RC C RC C RC Cs
s s sL L L
I A
22 211
12 11
1( )
det( )
a as
a as
I AI A
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Pedro Andr Martins Bezerra 98
Supondo R=0.2, C=1, L=0.25
Exemplo de Soluo de um Sistema de
Equaes Diferenciais no Homogneo
-1
2
11
( )1 1 1
sC
ss ss L RC
RC LC
I A
-1
2
1
1 ( 1)( 4) ( 1)( 4)1( )
4 5 4 55 4
( 1)( 4) ( 1)( 4)
s
s s s s ss
s ss s
s s s s
I A
4 4
-1 1
4 4
1 4 1 4
3 3 3 3[( ) ]
1 4 4 1
3 3 3 3
t t t t
t
t t t t
e e e e
s e
e e e e
AI AL
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Pedro Andr Martins Bezerra 99
Substituindo na equao de x(t) e calculando as
convolues:
Exemplo de Soluo de um Sistema de
Equaes Diferenciais no Homogneo
( ) ( )
0
( ) 4( ) ( ) 4( )
( )
04 ( ) 4( )
( ) (0) ( )
1 4 1 4
03 3 3 3( ) (0) ( )
1 4 4 1 4
3 3 3 3
tt t
t t t t
tt
t t t t
t e e d
e e e e
t e d
e e e e
A A
A
x x Bu
x x u
4
( )
4
4 4
3 3( ) (0)
16 15
3 3
t t
t
t t
e e
t e
e e
Ax x
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Pedro Andr Martins Bezerra 100
Exemplo de Soluo de um Sistema de
Equaes Diferenciais no Homogneo
Por fim:
Caso as condies iniciais
sejam nulas:
4 4 4
4 4 4
1 4 1 4 4 4
(0)3 3 3 3 3 3
(0)1 4 4 1 16 15
3 3 3 3 3 3
t t t t t t
C C
t t t t t tL L
e e e e e ev v
i ie e e e e e
4
4
4 4
3 3
16 15
3 3
t t
C
t tL
e ev
ie e
420 201 03 3
c t t
r r
l
vi i e e
R i
Controlabilidade e Observabilidade
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Pedro Andr Martins Bezerra 102
Controlabilidade de Estado
O processo dito completamente controlvel se cada
varivel de estado pode ser controlada para atingir um
certo objetivo em um tempo finito;
Considere o sistema de tempo contnuo:
O sistema dito controlvel em t=t0 se possvel
construir um sinal de controle no limitado que
transferir um estado inicial para qualquer estado final
em um intervalo de tempo finito
( ) ( ) ( ) (1)t t t x Ax Bu
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Pedro Andr Martins Bezerra 103
Controlabilidade de estado
Considerando t0=0, a soluo da Equao (1) :
Aplicando a definio:
Sabe-se que:
Substituindo (3) em (2) tem-se:
( ) ( )
0( ) (0) ( )
tt tt e e t d
A Ax x Bu
11 1( ) ( )
10
( ) 0 (0) ( )t
t tt e e d
A A
x x Bu1
0(0) ( ) (2)
t
e d A
x Bu
1
0
( ) (3)n
t k
ke a
A A
11
00
(0) ( ) ( )n t
k d
kx A B a u
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Pedro Andr Martins Bezerra 104
Controlabilidade de estado
Para facilitar a visualizao:
A equao (4) pode ser arranjada da seguinte forma:
Se o sistema completamente controlvel, dado
qualquer estado inicial x(0), a equao (4) deve ser
satisfeita. Ou seja, a matriz no singular
1
0( ) ( )
t
k d ka u
0
111
0
(0) (4)n
k n
i
k
B AB A
kx A B
1nB AB A
Observabilidade
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Pedro Andr Martins Bezerra 106
Observabilidade
O processo dito completamente observvel se todo
estado x(0) pode ser pode ser determinado a partir da
observao de y(t) durante um intervalo de tempo finito.
Considere o sistema de tempo contnuo:
O sistema dito observvel em t=t0 se possvel
determinar um sistema com certa entrada a partir da
observao de sua sada durante um intervalo de tempo
finito.
( ) ()
+ ()
t t t
t t t
x Ax Bu
y( ) = Cx Du
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Pedro Andr Martins Bezerra 107
Observabilidade
A importncia do conceito de observabilidade se d pela
no acessibilidade por mediao direta no controle por
realimentao de estado, sendo necessrio ento estimar
a varivel de estado no mensurvel para construir sinais
de controle.
Como feito anteriormente, observe que:
Logo:
( ) ( )
0( ) (0) ( )
tt tt e e d
A Ax x Bu
( ) ( )
0( ) (0) ( )
tt tt e e d
A Ay C x C Bu Du
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Pedro Andr Martins Bezerra 108
Observabilidade Completa em
Tempo Contnuo
Observe que :
Logo:
Como as matrizes A, B, C e D so conhecidas, assim
como u(t), a sada y(t) conhecida.
( ) ( )
0( ) (0) ( )
tt tt e e d
A Ax x Bu
( ) ( )
0(0) ( )
tt te e d
A Ay(t) C x C Bu Du
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Pedro Andr Martins Bezerra 109
Verificao da condio de
Observabilidade Completa
Sejam:
O sistema completamente estvel se a matriz
tiver posto n, ou se tiver n vetores colunas linearmente
independente.
Obs: Lembre-se que a adjunta de B igual a sua conjugada
transposta.
( )
+
t t t
t t t
x Ax Bu
y( ) = Cx Du
1
* * * n
* *
C A C A C
* TB B
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Pedro Andr Martins Bezerra 110
Verificao da condio de
Observabilidade Completa
Tambm possvel verificar se um sistema
completamente estvel no domnio da freqncia.
Se na funo de transferncia ou matriz de transferencia
no houver cancelamento, o sistema completamente
observvel.
Se houver, no possvel afirmar nada sobre sua
observabilidade.
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Pedro Andr Martins Bezerra 111
Exemplo
Verificando a observabilidade no exemplo do circuito
anteriormente utilizado. Utilizando o sistema obtido,
observe:
v(t)
L
CR
iL(t) iC(t)
iR(t)
N 1
1 1 0( )
11 0
1 0
C C
L L
C
R
L
v vRC Cv t
i iLL
vi
R i
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Pedro Andr Martins Bezerra 112
Exemplo
Observe que Linearmente Independente,
logo, o sistema completamente observvel.
1 1 0( )
11 0
1 0
C C
L L
C
R
L
v vRC Cv t
i iLL
vi
R i
1 1
1 0
1 0
RC C
L
R
A
C
2* *
11/R =
10
R C
RC
*C A C
2* *
*
11 1 1
1 10 0
1
0
RC L R CRA C
C RC
R
C
* * *
C A C
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Exemplo
Veja novamente:
Como no houve cancelamento, verifica-se a completa
observabilidade do sistema.
1 1 0( )
11 0
1 0
C C
L L
C
R
L
v vRC Cv t
i iLL
vi
R i
s s s s
s s
X AX BU
Y CX
s
s
X B
U s A
s
s
YC
X
s
s
Y CB
U s A
Aplicaes
Levitao Magntica
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Levitador Magntico
O objetivo do sistema controlar a posio da bola
ajustando a corrente nas bobinas atravs da tenso de
entrada e(t):
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Principio de Funcionamento
Principio de funcionamento:
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Modelagem Matemtica
Modelo Matemtico:
Analisando o equilbrio de
foras existente na bola:
A bobina pode ser modelada
como uma resistncia em srie
com uma indutncia:
2 2
2
( ) ( )
( )
d y t i tM Mg
dt y t
( )( ) ( )
di te t Ri t L
dt
e(t) R i(t)
L
Mg
i(t)2/y(t)
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Modelo no Espao de Estados
Definindo as variveis de estado:
Pode-se escrever as seguintes equaes de estado:
1
2
3
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
x t y t
dy tx t
dt
x t i t
1
2
( )( )
dx tx t
dt
2 2
3 32 2
1 1
( ) ( )( ) ( ) 1
( ) ( )
x t x tdx t dx tM Mg g
dt x t dt M x t
3 3
3 3
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
dx t dx t e t Re t Rx t L x t
dt dt L L
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Pedro Andr Martins Bezerra 119
Linearizao do Sistema
Linearizando o sistema:
Primeiramente define-se um ponto de equilbrio para a posio:
Define-se os outros pontos de equilbrio a partir do primeiro:
1 1( ) Constantex t x
1
2
dx (t)= =0 Constante
dtx
222 2
31
2 2
1
3 1
( )( )( ) ( )
( ) ( )
( ) Constante
x td x td y t i tM Mg M Mg
y t x tdt dt
x t Mgx
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Linearizao do Sistema
Linearizando o sistema em torno dos pontos de
equilbrio determinados:
A matriz de estado pode ser obtida pelo jacobiano. Seja:
1 11 2
12 2
3 3 3
2 2
1 11
13 3
( ) ( )( ) ( ) 0 1 0
( )1( ) 0 2
( )
( ) ( )( )( ) ( ) 0 0
n
n n
n
f ff x tx x
x t x xf g
M x t MxMx
f fe t R Rx xf x t
L L L
x xx
x A
x xx
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Linearizao do Sistema
Com mais algumas manipulaes:
2
3 3
2
1 1 11
0 1 00 1 0
0 2 0 2
0 0 0 0
x x g g
Mx x MxMx
R R
L L
A 3 1( )x t Mgx
0
0
1
L
B
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Pedro Andr Martins Bezerra 122
Modelagem Completa
Considerando nossa sada a posio da bola, o sistema
completo representado no espao de estados :
1 1
2 2
1 1
3 3
1
2
3
0 1 00
0 2 0 ( )
1
0 0
( ) 1 0 0
x xg g
x x e tx Mx
x xR
LL
x
y t x
x
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Modelagem Completa
Substituindo os valores:
L = 10 mH
R = 1 Ohm
M = 0.765625 kg
g = 9.8 m/s2
1 1
2 2
3 3
1 1
2 2
3 3
0 1 00
9.8 9.80 2 0 ( )
0.05 0.05 0.765625100
0 0 100
0 1 0 0
196 0 32 0 ( )
0 0 100 100
x x
x x e t
x x
x x
x x e t
x x
1x = 0.05m
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Pedro Andr Martins Bezerra 124
Estabilidade e Controlabilidade
Estabilidade Segundo Liapunov
O sistema instvel segundo Liapunov, uma vez que no
possvel encontrar uma matriz P real positiva definida tal que ,
onde Q uma matriz positiva definida qualquer
Apesar de ser instvel o sistema controlvel e observvel para a
varivel y(t):
T A P PA Q
1
0 0 3200
0 3200 320000
100 10000 1000000
nB AB A
2
* * *
1 0 0
0 1 0
196 0 32
* *C A C A C
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Resoluo do Sistema
Calculemos a soluo do sistema:
0 0 0 1 0 1 0
( ) 0 0 196 0 32 196 32
0 0 0 0 100 0 0 100
s s
s s s
s s
I A
1
s 1 32
(s-14)(s+14) (s-14)(s+14) (s + 100) (s + 14) (s - 14)
196 s -32s( )
(s - 14) (s + 14) (s - 14) (s + 14) (s + 100) (s + 14) (s - 14)
10 0
s+100
s
I A
( ) ( )
0( ) (0) ( )
tt tt e e d
A Ax x Bu
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Pedro Andr Martins Bezerra 126
Resoluo do Sistema
14 14 14 14 14 14 100
-1 1 14 14 14 14 14 14 100 ( )
100
1 1 1 1 4 4 8
2 2 28 28 399 301 2451
1 1 8 8 800[( ) ] 7 7
2 2 57 43 2451
0 0
t t t t t t t
t t t t t t t t
t
e e e e e e e
s e e e e e e e e
e
AI AL
( ) ( )
0
14( ) 14( ) 14( ) 14( ) 14( ) 14( ) 100( )
( ) 14( ) 14( ) 14( ) 14( ) 14( ) 14(
( ) (0) ( )
1 1 1 1 4 4 8
2 2 28 28 399 301 2451
1 1 8 8( ) (0) 7 7
2 2 57 43
tt t
t t t t t t t
t t t t t t
t e e d
e e e e e e e
t e e e e e e e
A A
A
x x Bu
x x) 100( )
0
100( )
0800
0 ( )2451
1000 0
tt t
t
e d
e
u
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Pedro Andr Martins Bezerra 127
Resoluo do Sistema
14( ) 14( ) 100( )
( ) 14( ) 14( ) 100( )
0
100( )
4 4 8
399 301 2451
8 8 800( ) (0) 100 ( )
57 43 2451
t t t
tt t t t
t
e e e
t e e e e d
e
A
x x u
14 14 100
( ) 14 14 100
100
200 200 200 200
2793 2107 61275 1225
400 400 800(0)
399 301 2451
1
t t t
t t t t
t
e e e
e e e e
e
Ax
14 14 14 14 14 14 100
14 14 14 14 14 14 100
100
14 14
1 1 1 1 4 4 8
2 2 28 28 399 301 2451 0.051 1 8 8 800
( ) 7 7 02 2 57 43 2451
9000 0
2399
200 200
2793 2107
t t t t t t t
t t t t t t t
t
t
e e e e e e e
t e e e e e e e
e
e e
x
100
14 14 100
100
200 200
61275 1225
400 400 800
399 301 2451
1
t t
t t t
t
e
e e e
e
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 128
Resoluo do Sistema
14 14 14 14 14 14 100
14 14 14 14 14 14 100
100
14 14
1 1 1 1 4 4 8
2 2 28 28 399 301 2451 0.051 1 8 8 800
( ) 7 7 02 2 57 43 2451
9000 0
2399
200 200
2793 2107
t t t t t t t
t t t t t t t
t
t
e e e e e e e
t e e e e e e e
e
e e
x
100
14 14 100
100
200 200
61275 1225
400 400 800
399 301 2451
1
t t
t t t
t
e
e e e
e
-2 14 -1 14 -3 100 -1
14 14 -1 100
100
( ) 9.2847 10 1.2491 10 4.4885 10 1.6327 10
( )-1.7487 1.2999 4.4885 10
1.3752( )
t t t
t t t
t
y te e e
dy te e e
dte
i t
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Pedro Andr Martins Bezerra 129
Controlador PID
Esto presentes as melhores caractersticas dos
controladores PI e PD
0
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ti
p i d p d
kde tu t k e t k e d k k e s e s sk e s
dt s
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Pedro Andr Martins Bezerra 130
Controlador PID
Termo de caracterstica integral:
Reduz ou elimina erros estacionrios;
Acaba reduzindo a estabilidade e o amortecimento do sistema;
Termo de caracterstica derivativa
Antecipa a ocorrncia do erro;
Aumenta o amortecimento do sistema;
Sensvel a rudos
Resumo das caractersticas:
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Pedro Andr Martins Bezerra 131
Diagrama de Blocos do Sistema
Controlado
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Pedro Andr Martins Bezerra 132
Sistema Controlado
1
planta 3 2
-3200(s) =[ ( ) + ]
(s +100s -196s-19600)s G C I A B D
Aplicaes
Conversor CC Buck-Boost
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Pedro Andr Martins Bezerra 134
Devido a grande utilizao de tenso contnua em equipamentos
eletrnicos, viu-se a necessidade de obter maiores conhecimentos
sobre conversores CC.
Conversor buck-boost: Alimentado por uma fonte de tenso
contnua, regulada ou no, fornece tenso contnua regulada de
polaridade oposta, de magnitude diferente ou igual.
A tenso regulada atravs do chaveamento de tenso contnua,
atravs de equipamentos de potncia.
Buck-Boost
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Pedro Andr Martins Bezerra 135
Consideraes
Resistncias internas dos componentes nulas.
As variveis de estado so a corrente sobre o indutor de entrada e a
tenso sobre o capacitor de sada.
Condies iniciais nulas.
Uma funo de chaveamento q(t), que admite 2 valores apenas
utilizada:
O valor mdio de q(t) em um perodo de tempo denominado razo
cclica (D)
0 ; para chave aberta ( )
1; para chave fechadaq t
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Pedro Andr Martins Bezerra 136
Modelagem
Para q = 1:
Para q = 0:
0 0
0
inLvdi
dt L
dv v
dt R C
0
0 0
0
L
L
vdi
dt L
dv vi
dt C R C
Pontos crticos:
0 0Li v
0 0Li v
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Pedro Andr Martins Bezerra 137
Modelagem
Somando as equaes e
limitando sua existncia com a
funo de chaveamento, obtm-
se:
Simplificando:
0
0 0 0
0 0
1
1
inL
L
v vdiq q
dt L L
dv v v iq q
dt R C R C C
0
0 0
0
11
1
Lin
L
div q v q
dt L
dv viq
dt C R C
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Pedro Andr Martins Bezerra 138
Modelagem
Considerando
simplifica-se a expresso, facilitando sua visualizao.
Assim, pode-se representar o sistema por matrizes:
1 1
22
0
1
2
10 1 1
1 11 0
1 0
0 1
in
qx x qL
vLx
qxC R C
xy
x
1 1
00 2 2
LL
dii x x
dx
dvv x x
dx
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Pedro Andr Martins Bezerra 139
Modelagem
As matrizes esto da forma , tal que:
0
10 1 1
1 1
1 0
1 0
0 1
qqL
L
qC R C
A B
C
( )
+
t t t
t t t
x Ax Bu
y( ) = Cx Du
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Pedro Andr Martins Bezerra 140
Modelagem
Para q = 1 (chave fechada), tem-se os pontos crticos:
Considere:
R = 19,2
L= 0,44mH
C = 100F
Vin=u1=180V
0
1 2
0
0
Li v
x x
0
0 0 1
10
0
1 0
0 1
L
R C
A B
C
11
22
0
1
1
dxu
dt L
dxx
dt R C
1
520.83
2
409.1Lt
o
x i kt A
x v e V
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Pedro Andr Martins Bezerra 141
Modelagem
Para q = 0 (chave aberta),
tem-se os pontos crticos:
0
1 2
0
0
Li v
x x
0
10
0
1 1 0
1 0
0 1
L
C R C
A B
C
(1)
(2)
0.0235 0.4297
0.9027
0.0235 0.4297
0.9027
i
i
1
1
3
3
0.2604 4.702 10
0.2604 4.702 10
i
i
De autovalores e
autovetores:
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Pedro Andr Martins Bezerra 142
Modelagem
0 2 4 6 8 10-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
TRAJETRIAS DO SISTEMA
x1
x2
0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
ESTABILIDADE DO SISTEMA
t
x2
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Pedro Andr Martins Bezerra 143
Concluso
A modelagem no espao de estado de sistemas facilita a
resoluo de equaes diferenciais de ordem elevada;
Importncia na anlise do comportamento de sistemas
Estabilidade / Estabilidade assinttica / Instabilidade;
Observabilidade;
Controlabilidade;
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 144
Bibliografia
OLIVEIRA, Demercil S.; TOMASELLI, Luis C., Estudo de um conversor cc-cc buck boost, Florianpolis/UFSC
OPPENHEIM A. V. e WILLSKY A. S., Signals & Systems (2 edio), Ed. Prentice-Hall, 1997.
SANTOS, E.M.; Caos no circuito de Chua-Matsumoto. USP
Sobrenome, nome, titulo, endereo, data, hora com minutos
NUNES, Ana; GAMA, M. T. Dinmica no-linear e caos, http://cftc.cii.fc.ul.pt/PRISMA/capitulos/capitulo2/modulo1/topico3.php, 28/08/08, 13:00;
SANTOS, E. P.; Introduo Teoria do Caos, http://www2.ufpa.br/ppgf/IISPF/inicio_arquivos/min1part1.pdf, 28/08/08, 13:00;
BARROSO, M. S.; Alguns sistemas caticos, http://www.geocities.com/marciosantosbarroso/texto3.htm, 28/08/08, 13:00.
OGATA, K., Engenharia de controle moderno. 3a Edio, Prentice-Hall do Brasil, Rio de Janeiro, 1995. Franklin, G. F.; Powell, J. D;
Dcio Haramura Junior
Guilherme Martins Gomes Nascimento
Pedro Andr Martins Bezerra 145
Bibliografia
BOYCE, W.E. e DIPRIMA, R.C., Equaes diferenciais elementares e problemas de valores de contorno. 7 ed. LTC, 2001;
GOMES, Rafael. Um experimento para ilustrar o sistema de levitao eletromagntica utilizado em trens MAGLEV. UFRJ;
ZUBEN,Von. Tcnicas de Linearizao de Sistemas. FEEC/Unicamp;
SOUSA, Bruno; MARQUES, Srgio. Controlo de um Sistema de Levitao Magntica. ESTT;
LOTUFO, Francisco A. Controle PID. FEG;
MELO, Marco. Ensino de sistemas de controle usando aplicaes reais em engenharia eltrica.UPM;
DOS SANTOS, Juliana; BONFIM, Lcia. Algumas Aplicaes e Teoria Qualitativa das Equaes Diferenciais Ordinrias. FAMAT/UFU.
MEZA, Magno. Introduo ao ao controle de sistemas no lineares. UFRJ