206 Soluções - Porto Editora

TEMA 1: PROBABILIDADES E COMBINATÓRIA

1. Experiências aleatórias: A , C e D Experiência determinista: B

2.

3.1. 3.2.

4.1. O acontecimento B4.2. O acontecimento D4.3. Por exemplo, o acontecimento A

Tarefa 11.1.

1.2. 1.3. 111.4.1. , , ,

e

1.4.2.1. O acontecimento E 1.4.2.2. O acontecimento D1.4.2.3. O acontecimento B 1.4.2.4. O acontecimento A

2.1. 2.2.

5.

6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

7.1.

7.2.1. 7.2.2. 7.2.3. 7.2.4. 7.2.5.

Tarefa 21. W = {(1 , 0) , (1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (1 , 9) , (5 , 0) , (5 , 3),

(5 , 4) , (5 , 6) , (5 , 9) , (8 , 0) , (8 , 3) , (8 , 4) , (8 , 6) ,(8 , 9)}

2. A = {(1 , 0) , (5 , 0) , (5 , 3) , (5 , 4) , (8 , 0) , (8 , 3) , (8 , 4) , (8 , 6)}

B = {(1 , 0) , (1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (5 , 0) , (5 , 3) , (5 , 4) , (8 , 0)}C = {(1 , 0) , (5 , 4) , (5 , 6) , (8 , 9)}{(1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (1 , 9) , (5 , 6) , (5 , 9) , (8 , 9)}{(1 , 9) , (5 , 6) , (5 , 9) , (8 , 3) , (8 , 4) , (8 , 6) , (8 , 9)}

{(1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (1 , 9) , (5 , 0) , (5 , 3) , (5 , 9) , (8 , 0) , (8 , 3) , (8 , 4) , (8 , 6)}

3.

8.1.1. B e C 8.1.2. A e B8.2.1. 17 8.2.2. 268.2.3. 17 8.2.4. 258.3. Os acontecimentos A e B não são contrários porque,

embora , .

Tarefa 31.1. A afirmação é falsa. Os acontecimentos A e B são compa-

tíveis porque .

1.2. A afirmação é verdadeira. Os acontecimentos A e C sãocompatíveis porque .

1.3. A afirmação é falsa. Os acontecimentos B e C não sãocontrários porque .

2.1. “Em nenhum dos lados da peça há 4 pontos.”2.2. “A soma dos pontos dos dois lados da peça é maior ou igual

a 5 mas diferente de 6 .”

2.3. “Num dos lados da peça há 4 pontos e a soma dos pontosdos dois lados da peça é maior ou igual a 5 .”

3. E : ”A soma dos pontos dos dois lados da peça é igual a 2 .”

4.1. 3 4.2 84.3. 10 4.4 13

5.1. A peça II 5.2 A peça III 5.3. A peça I

Pág. 11

Pág. 12

W = {15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20}W = {azul, amarela, vermelha, verde}W = {35 , 50 , 60 , 75 , 100 , 110 , 125 , 150}

Pág. 13

Pág. 14

W = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11, 12}

A = {2 , 3 , 5 , 7 , 11} B = {10} C = {3 , 5 , 7}D = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12}

W = {2 , 3 , 6 , 12 , 18}W = {1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 , 36}

Pág. 15

4

75

12

3

8

A B

W

6

A © B = {2 , 5} A = {8 , 11 , 15}A ∂ B = {2 , 5 , 9 , 11 , 15}

Pág. 16

5

7

32

6

8

4

10

19

A B

C

W

A ∂ B = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 10}C = {4 , 5 , 7 , 8 , 9 , 10}B © C = {2 , 6}

Pág. 17

A =B =C =

Pág. 18

A ∂ B 0 WA © B = {}

Pág. 19

A © B 0 {}

A © C 0 {}

B ∂ C 0 W

W \B = {8 , 9}

A \C = {5 , 7} C \A = {1 , 6}

B \C = {(1 , 3) , (1 , 4) , (1 , 6) , (5 , 0) , (5 , 3) , (8 , 0)}

E = { }

206 SoluçõesN

EMA

12-P1 © Porto Editora

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

NEMA12_P1_F13_20115029_1P_20115029_TXTP1_P193_208 12/06/04 15:46 Page 206

9.1.1. 10% 9.1.2. 10%9.2. 36

10.1.

10.2.1. 41% 10.2.2. 9% 10.2.3. 75%

11. A máquina B

12.1.1. Falsa

12.1.2. Falsa

12.1.3. Verdadeira

12.2.1. 0,76 12.2.2. 112.2.3. 0,24 12.2.4. 0,76

Tarefa 41.

2. 0,666

3. No saco há 4 bolas vermelhas e 2 bolas pretas.

13. 84% de sucesso. À medida que aumenta o número de tes-tes realizados, a frequência relativa do sucesso da vacinatende para 0,84 .

14.1. ; ; ;

14.2. ; ; ;

15.2.1. 15.2.2. 15.2.3.

16.1. P (B) = 0,15 ; P (C) = 0,45 16.2. 016.3. 0,6 16.4. 1

17.1. 17.2. 17.2.

18.1. “Sair bola vermelha.”18.2. “Sair bola preta.”18.3. “Sair bola vermelha ou amarela.”18.4. “Não sair bola amarela.”

19.1. 12 bolas brancas19.2. Oito bolas pretas

20. 19

21.1. 21.2.

23.1. 23.2. 23.3.

Tarefa 51.1. 0,2 1.2. 0,6 1.3. 0,2

2.1. 2.2. 2.3. 0

2.4. 2.5. 2.6.

Tarefa 6

1.

2.1.1. 2.1.2.

2.2.1. 2.2.2.

2.3.1. 2.3.2. Os acontecimentos elementares são equiprováveis pois

têm a mesma probabilidade de ocorrer.

3.

11%4%

8%

9%14%

2%41%

A B

C

W

11%

Pág. 21

Pág. 22

Pág. 23

Pág. 26

W = {1 , 2 , 3} P ({1}) = 13 P ({2}) = 13 P ({3}) = 13W = {1 , 2 , 3} P ({1}) = 12 P ({2}) = 16 P ({3}) = 13

14

34

12

Pág. 2714

34

113

Pág. 28

15

715

Pág. 29

18

78

12

Pág. 30

18

18

38

38

78

Pág. 31

13

34

56

W = {6 , 8 , 12 , 24}

13

Pág. 20

207N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

N.º de experiências

Bola vermelha Bola preta

N.º de ocorrências

Freq. relativafr(V)

N.º de ocorrências

Freq. relativafr(P)

50 38 0,76 12 0,24

100 63 0,63 37 0,37

250 162 0,648 88 0,352

400 268 0,67 132 0,33

500 331 0,662 169 0,338

750 501 0,668 249 0,332

1000 665 0,665 335 0,335

*1 2 3 4

2 4 6 8

3 6 9 12

4 8 12 16

*2 3 4

2 6 8

3 6 12

4 8 12

NEMA12_P1_F13_20122906_1P_20122906_TXTP1_P193_208 11/27/12 11:54 AM Page 207

208 SoluçõesN

EMA

12-P1 © Porto EditoraFalam inglês Não falam

inglês

Falam português 62 20 82

Não falam português 100 18 118

162 38 200

A A

B 32 32 64

B 24 46 70

56 78 134

24.1. 10 000 24.2. 10-4

25.1.1. 25.1.2. 25.1.3.

25.2.

26.1. 0 26.2. 26.3.

27.1. 27.2. 27.3.

27.4. 27.5.

29.1. A e B não podem ser acontecimentos contrários porque.

29.2. 29.3.

30.1. Falsa 30.2. Verdadeira 30.3. Falsa

31. e

32.1. 32.2. 32.3.

34. 0,7 35. 0,2

Tarefa 7

1.1.

2.1. 0,4 2.2. 0,4

4.2. Por exemplo, A : ”Sair um ás.” e B : ”Sair uma carta decopas.”

36.1. 36.2. 36.3.

36.4. 36.5.

37.1. 37.2. 0 37.3.

38.1. e

38.2. Azul

39.1. A e B são incompatíveis pois .

39.2.1. 0 39.2.2.

40.1. : “Ter perdido o comboio dado que acordou tarde.” : “Ter acordado tarde dado que perdeu o comboio.”

40.2. 0,2

Tarefa 81.1.

1.2.1. 1.2.2. 1.2.3.

1.2.4. 1.2.5. 1.2.6.

2.1. A : ”Estar inscrito nos cursos gerais.” e B : ”Ser rapariga.”

2.2.1. 2.2.2. 2.2.3.

Tarefa 9

1.1. 1.2.

2.

Tarefa 10

1. Há dois casos favoráveis e 18 casos possíveis. .

2.1.

2.2.1. 2.2.2.

2.2.3. 2.2.4.

14

1118

34

415

Pág. 332960

3160

1221

188221

117

417

32221

Pág. 36

P (A) + P (B) 0 1P (A © B) ≤ 0,3P (A ∂ B) ≤ 0,8

P (A) = 13

P (B) = 23

Pág. 37

310

120

3760

Pág. 38

110

P (A © B) = 0,05

Pág. 39

12

23

34

35

12

16

13

Pág. 40

P (B|A) = 1 P (A|B) = 23

P (A © B) = 014

B|AA|B

Pág. 32 Pág. 41

3181

12

31100

919

5059

1041

2335

1667

3567

Pág. 42

512

16415

Pág. 43

P (B|A) = 19

2.ª extração1.ª extração

P (A1) = 2

P (V2|A1) = 2 = 2

P (V1) = 2

P (A2|A1) = 2 = 2

P (A2|V1) = 2

P (V2|V1) = 2

35

25

24

12

24

12

14

34

110

310

25

35


2.3.1. 2.3.2.

2.3.3. 2.3.4.

42.1. 42.2.

42.3. 42.4.

43.1. 43.2.

44.1. 0 44.2. 44.3.

45.

46.1. 0,14 46.2. 0,26 46.3. 0,325

47. 0,06

48.1. A e B são independentes. 48.2. 0,1

49. 0,35

51.1. 0,001 51.2. 0,027 51.3.

52.1.

52.2. A e B não são independentes porque P (A © B) 0 P (A) * P (B) .

54.2. 0,999

Tarefa 111.2. 85%

4.2.

5. P (C) = 0,8 e P (D) = 0,75 ou P (C) = 0,75 e P (D) = 0,8

Proposta 11.1. 1.2. 1.3.

2.1. A2.2.1. B e C 2.2.2. A e B 2.2.3. A e C

Proposta 21.1. 1.2. Não. P (Sair azul) 0 P (Sair verde)

2.1.

3.1. 3.2. 3.3.

Proposta 31.

2. Sara

Proposta 41. 16

2. ,

,

e Acontecimento elementar: C

3.1. A e B 3.2. A e D

4. Falsa

Proposta 51. A e B são compatíveis.

2. A e C não são compatíveis.

Proposta 61.

2.1. D 2.2. Não existe 2.3. C

3. A afirmação é verdadeira.

Proposta 71.1. : “Ocorre número ímpar não superior a 5 .”

1.2. : “Ocorre número ímpar ou número menor que 4 .”

1.3. : “Ocorre número não superior a 5 e não inferior a 4 .”

2.1. 2.2. 2.3. 1

Proposta 81. 27 bolas

2.1. 2.2. 2.3.

Proposta 91.1. 20

1.2. (verde, amarela) ; (vermelha, amarela) ; (preta, amarela) ;(azul, amarela)

1.3.

2.1. 25 2.2. 5 2.3.

Proposta 101.1. 1.2. 1.3.

1.4.

2.

12

12

34

14

Pág. 44

1328

528

813

49

13

611

Pág. 4512

34

4981

Pág. 46

Pág. 472764

320

Pág. 48

Pág. 49

34

Pág. 51

W = {1 , 2 , 3 , 4} W = {vermelha, amarela, azul}W = {2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8}

W = {azul, verde}

W = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}47

27

57

Pág. 52

W = {(E , E) , (E , N) , (N , E) , (N , N)}

A = {11 , 22 , 33 , 44}B = {12 , 14 , 22 , 24 , 32 , 34 , 42 , 44}C = {11} D = {21 , 31 , 32 , 41 , 42 , 43}

Pág. 53

W = { 1 ; 1,50 ; 2,50 ; 3}

A © B

A ∂ C

B ∂ C

29

89

Pág. 54

1039

1939

2039

35

45

A © C = { (2 , 1) , (3 , 1) , (3 , 2)}B © D = {(1 , 3) , (3 , 1)}A ∂ C = {(1 , 2) , (1 , 3) , (2 , 1) , (2 , 3) , (3 , 1) , (3 , 2) ,

(4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3)}A © C = {(4 , 1) , (4 , 2) , (4 , 3)}

P (A) = 12

; P (B) = 56

; P (C) = 12

; P (D) = 13

209N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

NEMA12-P1– 14


Proposta 11

Proposta 12 1.1. 20% 1.2. 44% 1.3. 86%

2.1. 20% 2.2. 33

Proposta 13 2. 0,25

Proposta 142. 0,56

Proposta 151. A e B não são independentes.

2.1. 0,5 2.2. 0,2

Proposta 16(B)

Proposta 171.1. I : II :

1.2. I : {amarela} e {azul} II : {1} , {2} , {3} , {4} e {5}

2. Experiência II

Proposta 181. (D) 2. (A)

Proposta 191. 63,22% 2. 35,86% 3. 97,50%

4. 96,55% 5. 26,67%

Proposta 201. 72,4% 2. 50,7%

Proposta 21

1. 2.

3. 4.

Proposta 221. 48,85%

2.

Proposta 23

1.

2.1. 0 2.2.

Parte 1 – Questões de escolha múltipla1. (B) 2. (D) 3. (A)

4. (C) 5. (B)

Parte 2 – Questões de resposta aberta

1.1. 1.2.

3.1.1. “O produto ser 4 .” e “O produto ser 2 .”

3.1.2. “O produto ser 1 .”

3.2.1. 0

3.2.2. 1

55. 180

56.1. 6 56.2. 15 56.3. 30

57.1. 100 57.2. 15

58.1. 24

58.2.1. 8 58.2.2. 16 58.2.3. 4

59.1. 10 000 59.2. 4096 59.3. 256

60. 3 486 784 401

Tarefa 121.1. 100 000

1.2.1. 2000 1.2.2.

2.1. 4000 € 2.2. 270

3.1. 6 760 000

61.1. 4920 61.2. 132 61.3. 79

62.1. 62.2.

63.1. 120 63.2.

64. 360

65.1. 20! 65.2. 6840

66.1. 120 66.2. 60 66.3. 12

67.1. 210

67.2.1. 67.2.2.

Pág. 55

34

Pág. 56

W = {amarela, azul} W = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}

Pág. 57

Pág. 58

16

1039

635

25

613

Pág. 59

1124

23

Pág. 60

Pág. 61

38

57

Pág. 62

Pág. 63

Pág. 64

Pág. 65

15

Pág. 66

7!3!

15!10!

Pág. 6715

Pág. 68

47

17

210 SoluçõesN

EMA



Tarefa 13

1.1.1. 12 1.1.2. 12

1.2.1. 1.2.2.

2.1. 30 240

3. A resposta correta é a A .

Tarefa 141.1. 40 320 1.2. 6720 1.3.

2.1. 2.2. 2.3.

3.1. 6 3.2. 2

68. 6 69. 35 70. 15 71. 1140

72. 1 233 225

73.1. 215 860 73.2. 2 403 500

73.3. 3 643 200 73.4. 8 106 300

74.1. 84 74.2. 504

75.1. 2916 75.2. 486 75.3. 36

76.1. 9375 76.2. 3840

Tarefa 15

2.1. 5040 2.2. 12

2.3. 180 2.4. 302 400

3.1. 672 672 000 3.2.

Tarefa 16

1.1.1. 36 190 440 1.1.2. 21 187 600

1.2. 2 118 760

2.1.

2.2.1. 2.2.2. 2.2.3.

Tarefa 17

2.1. 1440 2.2.

3. A afirmação é verdadeira.

Tarefa 181.1. 98 280

1.2.1. 1.2.2.

2.1. 220 2.2.

2.3.1. 2.3.2.

2.4.

3. 32

4.1. 70 4.2. 255

77.1. 176 77.2. 176 77.3. 210

78.1. 35

78.2. 1 , 33 e 528

78.3. 595 , 35 e 1

79. 165

80.1. 3 ; 7 80.2. 21

80.3. 6 ; 12 80.4. 5 ; 9

81. 252

82. 4

83.1. 13 83.2. 4096

84. 256 e 2048

85.1. 85.2.

Tarefa 191. a = 455 , b = 3003 e c = 1820

2. 1378

3.1. 3.2.

4.1. 4.2. 4.3.

86.1.

86.2.

86.3.

86.4.

87.1.

87.2.

25

310

Pág. 70

156

1360

13

115

Pág. 71

Pág. 72

Pág. 73

Pág. 74

1120

Pág. 75

835

47

135

221

Pág. 76

37

Pág. 77

15

35

355

111

922

11320

Pág. 79

Pág. 80

Pág. 81

1645

19

Pág. 82

13

29

111

5455

1955

Pág. 83

x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2 + 5x + 1

16 + 32x2 + 24x4 + 8x6 + x8

y6 - 12y5 + 60y4 - 160y3 + 240y2 - 192y + 64

32x5 - 80x4y + 80x3y2 - 40x2y3 + 10xy4 - y5

Pág. 84

32 + 80x2 + 80x4 + 40x6 + 10x8 + x10

27 - 27x + 9x2 - x3

Pág. 69

211N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra


88.1. 15x2 88.2. 20 88.3. Não existe

90.1. 90.2. 5670x4

91.2. 495

92.

93.

Tarefa 20

1.1.1. 1.1.2. 1.1.3.

1.2. 2.1. 64

2.2.1. 2.2.2. 2.2.3.

3.1. 0,504 3.2. 0,01 3.3. 0,112

Tarefa 211. 15

2.1. 2.2. 2.3.

Tarefa 221. 6

2.

Tarefa 23

1.1. 35 1.2.

2.1.

2.2.1. 2.2.2.

94.1. 16%

94.2.

95.1. m = 0,4

95.2.1. 0,4 95.2.2. 0,6 95.2.3. 1

96.1. A variável X pode tomar os valores 1 , 2 e 3 .

96.2.

97.

Tarefa 24

1.

2.1. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 e 6

2.2.

2.3. Antunes 2.4. 15 jogadas

3.1. 1 , 2 , 3 e 4

3.2.

4.1.

4.2.1. 4.2.2. 4.2.3.

98.1. 0 , 2 , 3 e 6

98.2.1.

98.2.2.

99.

100.

101. Dois dos vértices têm o número 1 e os outros dois têm osnúmeros 3 e 5 .

102. O jogo não é justo porque o valor médio não é igual a zero.

103.1.

103.2. 103.3.

52x3

Pág. 85

h (x) = 12x5 + 5

2x4 + 5x3 + 5x2 + 5

2x + 1

2

25

Pág. 86

156

38

2756

35

116

2764

964

Pág. 87

13

25

35

Pág. 88

P (A) = 33266

, P (B) = 313665

, P (C) = 77190

Pág. 89

1235

113

1210

221

Pág. 92

Pág. 93

47

Pág. 94

) 0,58) 0,78) 0,36

Pág. 95

Pág. 97

m = 2 e s ) 1,118

s = 0,9

Pág. 98

56

m ) 1333,33 e s ) 1863,39

212 SoluçõesN

EMA


Grau de satisfação 1 2 3 4 5

Frequênciarelativa 0,02 0,06 0,24 0,52 0,16

xi - 24 - 15 0 25 75

P (X = xi)16

16

13

16

16

xi 0 1 2 3 4 5 6

P (X = xi)1

1618

316

14

316

18

116

0 1 2 3 4 5 6 721C728C7

7C1 * 21C628C7

7C2 * 21C528C7

7C3 * 21C428C7

7C4 * 21C328C7

7C5 * 21C228C7

7C6 * 21C128C7

128C7

xi 0 1 2

P (X = xi)14

12

14

xi 1 2 3 4

P (X = xi)16

12

16

16

xi 0 2 3 6

P (X = xi)12

16

16

16

xi 0 500 2500 5000

P (X = xi)12

16

16

16

xi 0 2 3 6

P (X = xi) 0,525 0,175 0,155 0,145


104.1. 104.2. 104.3.

105.1. 105.2. 105.3.

106.1.106.2.

107. A afirmação é falsa.

108.

Tarefa 25

1.1.1. 0,4

1.1.2.

1.2.1. 1.2.2. 1.2.3.

2.

3.1. 3.2.

Tarefa 261.1. 0,384

1.2.

1.3. 48

2.1.1. 0,189 69 2.1.2. 0,225 16 2.1.3. 0,975 69

2.2. 3.1. 3.2. 3.3. 70

109.1. 109.2.

109.3. 109.4.

Tarefa 271.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.2. 18

2.1. 2.2. 2.3.

3.1. 3.2.

4.1. 4.2. ) 0,023

Tarefa 281.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.2. 3 1.3. 17

2.1. 2.2. 2.3.

3.1. 1707 3.2. 2218

3.3. 273 3.4. 274

Proposta 11. 24 2. 64 3. 24 4. 7 893 600

Proposta 21. 7776

2.1. 5184 2.2. 1296 2.3. 3888

Proposta 3676 000

Proposta 41. 300 2. 125 3. 100

Proposta 55 jogos

Proposta 61. 2187 2. 648

Proposta 71.1. 9 1.2. 6561 2.1. 24 2.2. 21

Proposta 81 073 741 824

Proposta 9Não

Proposta 10(B)

Proposta 11(B)

Proposta 121. (B) 2. (A)

Proposta 131. 504 2. 126 3. 1512

Proposta 141. 34 650

2.1. 2.2. 2.3.

964

2764

6364

) 0,33 ) 0,13 ) 0,05

0,096

Pág. 101

) 36%

Pág. 102

) 0,138 ) 0,276 ) 0,311

nC3 * 0,13 * 0,9n-3 nCk * 0,1k * 0,9n-k

Pág. 103

m = 0,6 e s ) 0,69

) 0,000 004

) 0,037 m = 6 e s ) 2,258

Pág. 108

) 68,3% ) 2,3%

) 15,9% ) 47,7%

Pág. 110

) 0,841 ) 0,023 ) 0,477

) 0,341 ) 0,465 ) 0,159

) 0,589 ) 0,033

) 0,309

Pág. 111

) 0,625 ) 0,067 ) 0,136

) 2,3% ) 50% ) 0,003%

Pág. 112

Pág. 113

Pág. 114

Pág. 115

1495

1355

255

Pág. 100

213N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

xi 0 1 2 3 4

P (X = xi) 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001

xi 0 1 2

P (X = xi) 0,1 0,6 0,3

xi 0 1 2 3

P (X = xi) 0,512 0,384 0,096 0,008

xi 0 1 2 3

P (X = xi) 0,512 0,384 0,096 0,008


Proposta 15

1. 2. 3.

Proposta 161. 720 2. 60 480 3. 30 240

Proposta 171.1. 56

1.2. Frente a frente: 8 ; lado a lado: 12

1.3. 16

2. 48

Proposta 181.1. 576 1.2. 432

2.1. 2.2.

Proposta 191.1. 625 1.2. 2000

1.3. 486 1.4. 1680

2.1. 24 2.2. 6

Proposta 20

1. 720 2. 240 3.

4.1. 4.2.

Proposta 21

1. 40 320 2.1. 2.2.

Proposta 22(D)

Proposta 23(B)

Proposta 241. 6 760 000

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

Proposta 251. 3 628 800

2.1. 2.2. 2.3.

Proposta 26

1. 2. 3.

Proposta 27(B)

Proposta 28(A)

Proposta 29(A)

Proposta 301. 552

2.1.1. 108 108 2.1.2. 72 072 2.1.3. 124 124

2.2.

Proposta 311.1. 1440 1.2. 4320

1.3. 1440 1.4. 432

2.1. 5

Proposta 32

1. 2.

Proposta 33

1.1. 1.2.

2.1. 50% 2.2. 50%

Proposta 34

2.1. 2.2. 2.3.

2.4. 2.5.

3. 50%

Proposta 361. (A) 2. (A)

Proposta 37(B)

Proposta 38(A)

Proposta 39(B)

Proposta 40(C)

21299

8311265

526

Pág. 116

13

136

Pág. 117

115

15

35

128

34

Pág. 118

633250

2435200

52310 000

1 - 25676

= 651676

Pág. 119

115

160

815

113145

94435

22145

Pág. 120

1858

Pág. 121

125

62125

130

12

Pág. 122

17

128

314

14

17

Pág. 123

Pág. 124

214 SoluçõesN

EMA



Proposta 41

1. 2.1. 1 2.2.

Proposta 42666 , 37 e 1 ; soma = 237

Proposta 441. 45x2

Proposta 451. 10x4 2. 240x4

Proposta 46(D)

Proposta 47(A)

Proposta 48(B)

Proposta 50

Proposta 51(D)

Proposta 52

Proposta 53

Proposta 54

1.

2.

Proposta 551. 24 2. 16,7%

3.

Proposta 56

1.1.

1.2. 1.3. 9,5 €

2.1.

2.2. 50%

Proposta 572.1. Valores da variável X : 10 , 11 , 12 , 13 e 14

2.2.

Proposta 58(B)

Proposta 59(C)

Proposta 601. 7% 2. 43%

Proposta 611. 0,5 2. 3.

Proposta 621. 1,8 * 105 peças

2.1. 47,7% 2.2. 46,5% 2.3. 69,1%

Proposta 63

1. 2.

3.1.

3.2. 3.3.

4.1. 4.2.

Parte 1 – Questões de escolha múltipla1. (A) 2. (A)

3. (A) 4. (C)

5. (B) 6. (A)

Pág. 126

m = 2,5 e s ) 1,28

Pág. 127

Pág. 128

18

m = 1,5 e s ) 1,118

Pág. 125

13

17

Pág. 129

56

59

Pág. 130

) 0,3414) 0,1587

Pág. 131

13

23

23

13

) 0,680) 0,329

Pág. 132

215N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

xi 2 5 8 10

P (X = xi) 0,2 0,5 0,1 0,2

xi 0 1 2 3

P (X = xi)14

14

14

14

xi 0 10 20 30

P (X = xi)23

16

19

118

xi 0 1 2 3

P (X = xi)18

38

38

18

xi 0 1 2 3

P (X = xi)14

14

14

14

xi 8 9 10 11

P (X = xi)16

13

13

16

yi 9 10 11 12

P (Y = yi)16

13

13

16


Parte 2 – Questões de resposta aberta1.1. 48 1.2. 72 1.3. 108

2.1. 2.2.

3.1. 3.2.

4.

5.1.

5.2. . No final de 50 jogadas estima-se que haja umprejuízo de 5 € .

TEMA 2: INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II

Tarefa 11. Nove pessoas

2.

3.1. f (x) = 3x , x å R0+

3.2.1. 729 3.2.2. 7

1. I – h ; II – f ; III – g ; IV – j

2.2.

O gráfico de g é simétrico do gráfico de f em relação aoeixo das ordenadas.

2.3. f é estritamente crescente e g é estritamente decres-cente.

3.1. a = 3 3.2. y = 3

4.1. ; ; assíntota horizontal: y = - 1

4.2. ; ; assíntota horizontal: y = 4

4.3. ; ; assíntota horizontal: y = 1

5. ; ; ;

6.1. 6.2. 6.3.

6.4. 6.5. 6.6.

7. < < < < a1,4 <

8.1. 8.2. 5 8.3.

8.4. 45 8.5. 25 8.6.

10.1. 10.2. x = - 4 10.3. x = - 5

10.4. 10.5. 10.6. x = 1

10.7. x = 1 10.8. x = - 2 › x = 0 10.9. x = - 1 › x = 0

10.10. 10.11.

10.12.

11.1. e 11.2.

12.1. 12.2.

12.3. 12.4.

12.5. 12.6.

12.7. 12.8.

13.1.1. 13.1.2.

13.2.

14.1. ;

14.2.

Tarefa 2

1.1.1. 1.1.2. 5 cm

1.2.1. 1.2.2.

1.3. 3,25 cm2

2.1. Df = R ; ; assíntota do gráfico de f : y = 6

Dg = R ; ; assíntota do gráfico de f : y = 0

2.2.1. 2.2.2.

2.2.3.

2.3. k = 12

Tarefa 31.1. A = 20 cm2 e P = 24 cm

Pág. 133

) 46% 1635

) 0,0001 ) 0,0234

711

m = - 0,1

Pág. 138

D (x) = 3x , x å N

Pág. 139

Pág. 140

Df = R D'f = ]- 1 , + ?[Dg = R D'g = ]- ? , 4[Dh = R D'h = ]1 , + ?[

Pág. 141

y = (√2 )x " d y = 4x " a y = ex " c y = px " b

10-3 7-2 232

5-4 4-2 (√3)-4

1a2

a-1 √3 a-2 a0 √a3

Pág. 142

15

13

√3

Pág. 143

x = 12

x = - 13

x = 73

x = 0 › x = 12

x = 13

x = - 1 › x = 12

- 2√6 2√6 ] - 2 , 7]

Pág. 144

x å [ - 4 , + ?[ x å ] - 3 , + ?[x å - ? , - 3

4 x å 1e , + ?

x å ] - ? , 0] x å [0 , 1]x å 32 , 9

2 x å [0 , 1]

- 12

12

A = [ - 1 , 0[D'f = ] - ? , 5] D'g = ]0 , e5]x å ] - √3 , √3[

Pág. 145

B 2 , 54

x = - 2 x = - 6

D'f = ]- ? , 6[D'g = ]0 , + ?[

x å [3 , + ?[ x å ]- ? , 0[x å ]- ? , 1[

Pág. 146

g f

y

x

1

O

216 SoluçõesN

EMA


xi - 4 1 3

P (X = xi) 0,3 0,5 0,2


1.2.1. A razão entre as áreas é .

1.2.2. A razão entre os perímetros é .

2.2. D'f2.3.1. 2.3.2.

3.1. 3.2.

3.3.

15.1. Falsa 15.2. Verdadeira

15.3. Verdadeira 15.4. Verdadeira

16. 1

17. 21

18.1. + ? 18.2. + ? 18.3. 0

18.4. 0 18.5. + ? 18.6. + ?18.7. - ? 18.8. - ?

19.1. 2 19.2. 5

19.3. 2 19.4. - 3

19.5. 19.6. - 3

19.7. - 1 19.8.

20.1.

20.2.

21. e

22.1. x = ln 2 22.2.

22.3. 22.4.

22.5. 22.6.

23.1. x = 36 23.2. x = 0,1

23.3. x = 5 23.4.

23.5. 8

24. A (0 , 1) ; B (log3 5 , 5) ; C (5, log3 5) ; D (1 , 0)

25.1. 4 25.2. - 2

26.2. k = 5

27.1. e

27.2. e

27.3. e

28.1. 28.2.

28.3. 28.4.

28.5. 28.6.

29. log4 0,1 < logp 1 < log4 5 < ln 5 < ln 7

30.1.

30.2.

31. b < a < c

32.1. 1 32.2. 0

32.3. 3 32.4. 1

33.2. f -1: ]- 2 , + ?[ "R x 1 1 + In (x + 2)

34.1. h-1: R"R+

x 1 ex-1

34.2. h-1: R" ]1 , + ?[

x 1 1 +34.3. h-1: ] 1 , + ?[\{2} "R\{0}

x 1

34.4. h-1: R\{0} "R+\{1}

x 1

Tarefa 4

1.1.

1.2.

12

1112

- 3 ∫a ) 1,82 b ) - 0,38

x å ]- ? , - 1] ∂ [2 , + ?[x å ]- 2 , 0[x å ]- 1 , 0[ ∂ 1

4 , + ?

Pág. 147

Pág. 148

Pág. 149

- 32

- 32

Pág. 150

A 2 , 92 B (log3 6 , 3)

x = - 1 + log3 5

x = 0 › x = ln 5 x = log2 3

x = 0 › x = ln 2 x = log3 4

x = √e

Pág. 151

Pág. 153

Dg = ]- 2 , + ?[ D'g = RDg = ]0 , + ?[ D'g = R+

0

Dg = ]0 , + ?[ D'g = R

] - 1 , + ?[ ]0 , + ?[\{9}

] - ? , - 2[ ∂ ]2 , + ?[ [1 , + ?[

0 , 12

[ - 1 , 2[

Pág. 154

] - ? , 0[[1 , + ?[

Pág. 155

e3 -x

2

1log2 (x - 1)

e1x

Pág. 156

loga (xy) = loga x + loga y

217N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

x a loga x

1 7 0

9 3 2

0,001 10 - 3

100 000 10 5

64 4 3

64 8 2

x a y = ax loga y

3 2 8 3

2 5 25 2

4 3 81 4

- 2 2 0,25 - 2

a x y loga A P = loga x + loga y

2 8 4 5 5

5 625 125 7 7

3 315 34 19 19

10 106 105 11 11

e e3 e7 10 10


2.1.

2.2.

35.1. ln e = 1 35.2. log3 1 = 0 35.3. log5 (5-p) = - p35.4. logp (p3) = 3 35.5. 3 = log4 64 35.6. 3log3 2 = 2

35.7. eIn b = b , (b å R+) 35.8.

36.1. 3 = log3 27 36.2. 3 = log2 8

37.1. log1,5 14 37.2. 37.3. log2 6

37.4. ln (2,5 e2) 37.5. log3 15

39.1. - 1 39.2. 3 39.3. 7

41.1. 12 41.2. 6 41.3. - 12

Tarefa 5

1.1. 1.2. 4,75

2.1. 0 2.2. 2,5 2.3. 3,5 2.4. 11

4. - 1

5.1. e

5.2. 5.3. ; não existe f (– 1) e

5.4. Não, porque .

6.1. 6.2. ]- 1 , 1[

44.1. x = 9 44.2. x = 25

44.3. x = 2 44.4. x = 1

44.5. x = e2 › x = e 44.6.

44.7. x = 8 44.8. x = - 4

45. a = 6

46. 4,5

47.1. ]3 , 4[ 47.2.

47.3. ]1 , + ?[ 47.4. ]0 , 1[

47.5. ]1 , 3[ 47.6. ]2 , 2e - 2[

47.7.

48.1. ]1 , + ?[ 48.2.

48.3. ]0 , e[

49.1.

49.2.1.

49.2.2.

50.1. x å ]1 , 3[ 50.2.

51.1. 51.2.

Tarefa 6

1.1. 27 404 € 1.2. 2003

2.1. 32 € 2.2. 35,32 € 2.3. ) 113,3 anos

2.4. O acréscimo de preço, de um ano para o outro, é dado por

log2 .

3.1. 1 litro 3.2. A afirmação é falsa.3.4. 9 horas

Tarefa 72.2. O pH vai diminuindo, tornando-se mais ácida a bebida.

2.3.1. ) 1,26 * 10-6 mol/l

2.3.2. A concentração de iões hidrogénio na água mineral éaproximadamente 13 vezes maior que a concentração deiões hidrogénio existente na água pura.

2.4. O pH sofre um aumento de uma unidade.

52. 22 53. 1013 54. 979

55.1. + ? 55.2. + ? 55.3. 0

56.1. + ? 56.2. 0 56.3. 0 56.4. 0

Tarefa 8

1.1. 1,7 bar 1.2. 4 horas, 55 minutos e 20 segundos

2.1. 1,6 mg/l

2.2. 0. Com o passar do tempo a concentração de fármacotende a desaparecer.

2.3. a ) 3,5 e b ) 22,5

Tarefa 9

1.1. e 1.2. ) 47,6 mg

1.3. 9 horas e 40 minutos

2.2.1. 6,80 m 2.2.2. 1,16 m

loga xn = n loga x

Pág. 157

√2 = ln (e√2)

log 34

Pág. 158

Pág. 159

- 92

Df = ]0 , + ?[ Dg = R\{0}f (x) = ln (4x4)

f (2) = g (2) = ln (64) g (- 1) = ln (4)

Df 0 Dg

h 12 = j 12 = - log3 2

x = - 1 › x = 13

Pág. 161

] - ? , 1 - √e[

1e , + ?

3 - √172

, 0 ∂ 3 , 3 + √17

2

Pág. 160

Pág. 162

Df = - ? , 0 ∂ 215

, + ?x å - ? , - 1

5 ∂ 1

3 , + ?

x å - 23

, 0 ∂ 215

, 45

x å 0 , 1eD'h = ]- ? , 2]D'g = ]0 , 16]

Pág. 163

1 + 99t + 4

Pág. 164

Pág. 165

Pág. 166

Pág. 167

Pág. 168

a = √4 2Q0 = 80

218 SoluçõesN

EMA


n x l = log2 x P = n log2 x log2 xn

3 2 1 3 3

4 8 3 12 12

5 16 4 20 20

6 256 8 48 48


Tarefa 10

1.1.

1.3. 10-2 W/m2

1.4. O nível de intensidade sonora sofre um acréscimo de 3 dB .

2.2.1. 2.2.2. 10

Tarefa 111. a = 2000

2. k ) 0,25

3.1. 902 3.2. 2000, porque .

3.3. Seis dias

3.4. Há possibilidade de 50% dos animais serem afetados, masnão 60% .

Tarefa 12

1.1. 2250

1.2. Aproximadamente 36 413

1.3. A afirmação é verdadeira, porque a reta de equação y = 90é uma assíntota horizontal do gráfico da função P .

2.1. 1500 2.2. 6473

2.3. 2017 2.4. Não. O número de ninhos tende para 9000 .

Proposta 1 (B)

Proposta 21. {- 6} 2. {3}

3. {1} 4. {3}

5. {- 2 , 0} 6. {5}

7. {1} 8. {9}

9. 10. {5}

Proposta 31. f – III ; g – II ; h – I

2. ; ;

3.1. Não existe 3.2. (0 , - 2) 3.3. (3 , 1)

4.1. 4.2.

Proposta 4

1.

2.

3.

Proposta 5

1.1. 1.2.

2. A = [- 1 , 0]

Proposta 6

1. ; B (0 , 2)

2.

Proposta 7

1.1. 1.2.

2. ; assíntota horizontal: y = 2

Proposta 81.1. f (x) = 3 + 3x +1 ; a = 1 ; b = 1

f (x) = 3 – 2 * 3-x +1 ; a = - 2 ; b = - 1

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

1.6.

1.7.

1.8.

2.

Proposta 92. 10 minutos e 51 segundos

n = log1,05 2,5A1

+ 1

Pág. 172

limt"+? N (t) = 2000

Pág. 173

Pág. 174

- 2 , 32

D'h = ]0 , + ?[D'g = ]- 3 , + ?[D'f = ]0 , + ?[

B = ]3 , + ?[A = ]0 , + ?[

Pág. 175

k = - 52

D'f = - 52

, + ?A 3 , 11

2

12

- 12

A - 14

, √4 8 - ? , - 1

6

47 , √7 26 - ? , 23

D'h = ]2 , + ?[

Pág. 176

f (x) = 3 - 3x+1 ; a = - 1 ; b = 1

f (x) = 3 + 3-x+1 ; a = 1 ; b = - 1

f (x) = 3 - 10 * 3x+1 ; a = - 10 ; b = 1

f (x) = 3 - 5 * 32x+1 ; a = - 5 ; b = 2

f (x) = 3 - 2 * 3-x+1 ; a = - 2 ; b = - 1

f (x) = 3 - 5 * 3-x+1 ; a = - 5 ; b = - 1

f (x) = 3 + 0 * 3x+1 ; a = 0 ; b = 1

f (x) = 3 + 0 * 32x+1 ; a = 0 ; b = 2

f (x) = 3 - 2 * 3-2x+1 ; a = - 1 ; b = - 2

f (x) = 3 - 3x+1 ; a = - 1 ; b = 1

f (x) = 3 - 2 * 3-x+1 ; a = - 2 ; b = - 1

f (x) = 3 + 2 * 3-x+1 ; a = 2 ; b = - 1

f (x) = 3 + 2 * 3x+1 ; a = 2 ; b = 1

f (x) = 3 - 2 * 3x+1 ; a = - 2 ; b = 1

f (x) = 3 - 2 * 3-0,5x+1 ; a = - 2 ; b = - 0,5

Pág. 169

219N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

Intensidade(watt por metro

quadrado, W/m2)

Nível daintensidade

sonora(decibéis, dB)

Limiar daaudibilidade 10-12 0

Sussurros 5 * 10-10 27

Trânsito intensonuma cidade 8 * 10-4 89

Martelopneumático 3 * 10-3 95

Música forte 0,1 110

Limiar da dor 1 120

Reator 794 149


Proposta 101.

2. e ; e ; e

3. ; assíntota: y = - 1

Proposta 112. 4. [- 2 , + ?[ 5. + ?

Proposta 121. f é não injetiva. Por exemplo, e .

2.

3. g ç f :

Proposta 131. 1000 peixes

2. Aproximadamente, 5926 peixes.

3. Seis. Com o passar do tempo, o número de peixes tendepara 6000 .

Proposta 142. 48 672 € 3. 5900 peças

Proposta 151. 3,80 ml

2. As condições (A) e (C) são satisfeitas e a condição (B) não ésatisfeita. O fármaco teve sucesso.

Proposta 16

1. 2. 2 3. 17,78 cm2

Proposta 17

1. e

2.

Proposta 181.

2. 11,7 cm2

Proposta 192. 2023

Proposta 201. - 6 2. 9 3. - 2

4. 5. 2 6. 1

Proposta 21(D)

Proposta 22(A)

Proposta 23(A)

Proposta 24(A)

Proposta 251. (A) 2. (D) 3. (B)

Proposta 261. 2,4 2. 3. 6,85

Proposta 271. x = - 6 2. x = 7 - e 3. x = 243

4. x = ln 8 5. x = 2

6.

7. 8.

9. 10. x = 4

Proposta 281. e ; e

2. e

3. Os gráficos intersetam-se nos pontos de coordenadas

(- 2 , 36) e .

4. A função f não é invertível dado que não é injetiva.

A função g admite como inversa a função g-1 definida por:

g- 1: R+ "R

Proposta 29(B)

Df = R D'f = R+ Dg = R D'g = R+ Dh = RD'h = ]- ? , 5[j (x) = 3x+2 - 1 ; D'j = ]- 1 , + ?[y = 3x " y = 3x - 1 " y = 3x+2 - 1

Pág. 177

D'f = ]- ? , 4[

0 0 12

f (0) = f 12D'f = ]0 , √8 e]

0 , 12 " Rx 1 √ex-2x2 - 1

Pág. 178

- 179

D'f = ]- ? , 5] D'g = ]0 , e5]x å ]- √3 , √3 [

g f

y

x

1

1 2

2

3

4

5

6

7

8

O-2-3 -1-1

h

f

y

x

1

1 2

234567

O-2-3-4 -1-1-2-3-4

Pág. 179

x å ]- ? , - 2 [ ∂ ]2 , + ?[

12

- 3730

x = - 2 › x = - 1 › x = 12› x = 2

x = e-3 › x = e2x = 0 › x = e2 - 3

x = 12› x = 3

D'g = R+Dg = RD'f = 19 , + ?Df = R

x = √52

x = - √52

12 , 3-3

2

x 1 - 13

log3 (x)

Pág. 180

Pág. 181

Pág. 182

220 SoluçõesN

EMA



Proposta 311. ]2 , 2 + e2] 2. ]1 , 4]

3. ]1 , 10[ 4. ]– 2 , – 1[ ∂ ]e2 - 2 , + ?[

Proposta 32

1.

2.1. A (1 + log2 3 , 0)

2.2. A(1 + log2 3 , 0)

3. ]- 3 , 1[

4.

Proposta 331. Por exemplo, k = 1

2. Por exemplo, k = - 2

3. Por exemplo, k = - 1

Proposta 342. 4,6 cm2

Proposta 35

1.

2.

Proposta 361. ln 4

2. Dg ç f =

3.

4.

Proposta 371.1. 1.2. A (2 , 0)

3.

4. a ) 0,84

Proposta 381. 500

2. N (t) = 500 * 2t

3. 64 000

4. 19 horas e 30 minutos

Proposta 391. 400 peixes

2. 0 . Com o passar dos dias, o número de peixes mortos nasmargens da ribeira tende a desaparecer.

3. 12 dias

Proposta 401. E = 101,5M + 11,4

2. ) 5,6 * 1024 ergs

3. M = 2,4

Proposta 411.1. ) 5728 anos 1.2. 15 600 anos 1.3. ) 135 mg

2.2. ) 3001 anos

Parte 1 – Questões de escolha múltipla1. (A)

2. (D)

3. (B)

4. (C)

5. (C)

Parte 2 – Questões de resposta aberta1.1. 900 m

1.2. Aproximadamente, 707 m .

1.3. 1 h

1.4. Aproximadamente, 1 h 57 min .

2.1. f e g não são iguais porque .

2.2. x = 8

3. k = 10,2

4.1.

4.1. P (2,4 ; 12,6)

h-1: - ? , 23 " Rx 1 1 - In (2 - 3x)

D'g = - ? , 4716

Dh = ]3 , + ?[

]- 1 , + ?[

x = 3e + 12e

g-1: R " 32 , + ?x 1 3 + ex

2

Df = ]1 , + ?[

a = √5 - 12

Pág. 187

Pág. 188

Pág. 189

Df 0 Dg

g (x) = x 9 - 3x2 ; x å ]0 , 4[

Pág. 183

Pág. 184

Pág. 185

Pág. 186

221N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

x - ? 1 - In 2 + ?h (x) - 0 +


242 SoluçõesN

EMA


TEMA 2 – INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL II(CONT.)

1.1.1. 1.1.2. 1.1.3. 1.1.4.

1.2.1. Por exemplo, .




Tarefa 1 1.1. e .

1.2. e .

1.3. e .

2.1. Existe.

2.2. Não existe porque .

2.3.1. 1

2.3.2. 2

3.1.

3.2.

3.3. 3

3.4. 0

2.2.1. 2.2.2. 4

3. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Verdadeira

4.1. 2

4.2.

4.3. 0

4.4. 1

5.1. (C)

5.2.

6.1.1. 2

6.1.2. 2

6.1.3. 2

6.1.4. 0

7.1.

7.2.

8.1. 3

8.2.

8.3. 6

9.1.

9.2.

9.3.

10.1.

10.2. 10.3. 0

Tarefa 2 1.1.1. 4 1.1.2. 1

1.2.

11.1. 2

11.2. 11.3. 11.4. 111.5. 211.6.

12.1.

12.2. 12.3. 12.4. 12.5. 12.6. 0

13.1. 17

13.2. 2

13.3. 13.4. 0

15.1.

16.1. 16.2. 16.3.

Pág. 9

2-

2+

3-

0+

an = 4 + 1n

an = 1n

an = 5 - 1n

an = - 2 - 1n2

Pág. 10

lim (f (vn)) = - 3lim (vn) = - ?lim (f (wn)) = + ?lim (wn) = 2+

lim (f (tn)) = - ?lim (tn) = 2-

limx"2

g (x) = 5

limx"4- g (x) 0 lim

x"4+ g (x)

+ ?- ?

Pág. 11

13

Pág. 12

- ?

- ?

Pág. 13

a = - 1

a = 2

Pág. 14

- 3

103+ ?- ?

- 16

- 1

Pág. 15

Pág. 16

- 8

- 3

√3

13+ ?- ?+ ?- ?

Pág. 17

+ ?

g (x) = 1 se x > 3- 1 se x < 3

+ ?+ ?+ ?

limx"2

f (x) = 4 limx"2

g (x) = 1

limx"2

f (x) + limx"2

g (x) = 4 + 1 = 5 limx"2

(f + g)(x) = 5

limx"2

f (x) * limx"2

g (x) = 4 * 1 = 4 limx"2

(f * g)(x) = 4

limx"2

f (x) - limx"2

g (x) = 4 - 1 = 3 limx"2

(f - g)(x) = 3

limx"2

f (x) : limx"2

g (x) = 4 : 1 = 4 limx"2

(f : g)(x) = 4


243N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

17.1. 117.2. 17.3. 17.4. 0

18.1.

18.2. Não porque .

19.2. 6

20.1.

20.2.

21.1.

21.2.

22.1.

22.2. 22.3. 22.4. 22.5.

23.1.

23.3.

24.1. 24.3. 4

25.1.

25.2.

26.1. 26.2. 26.3.

27.1. 27.2. 27.3. 27.4. 27.5. 1

27.6.

28.1. 28.2. 0

28.3. 0

29.1. 29.2. 0

30.1.

30.2. 030.3. 30.4. 1

30.5. - 1

30.6. 30.7.

31.1. .

31.2. .

31.3. .

32.1. Por exemplo, .



33.1. 033.2. - 1

33.3. 033.4.

Tarefa 3 1.1. Por exemplo, .

1.2. Por exemplo, .

1.3. Por exemplo, .

1.4. Por exemplo, .

2.1.

2.2.1. 1

2.2.2. - 1

2.2.3. 1

2.2.4. - 1

3.1.

3.2.1. 0

3.2.2. 0

3.2.3.

3.2.4.

4.1.

4.2.1. 0

4.2.2.

4.2.3.

4.2.4. 0

5.1.

5.2.

Pág. 18

- ?+ ?

Pág. 19

- 4

3456

- 15

Pág. 20

- 12

- 2

1

- 3

+ ?R+

0 \ {9}16

[- 3 , + ? [ \ {1}

14

- 2

Pág. 21

+ ?+ ?+ ?

Pág. 22

+ ?- ?- ?- ?

- ?

+ ?

- ?

Pág. 24

13

- ?

+ ?- ?n = 2 e a = 4

n = 1 e a å R \ {0}n > 2 e a > 0

f (x) = x - 1 e g (x) = x2

f (x) = - x2 + x - 5 e g (x) = 2x2 - 4

f (x) = x4 - 3x + 1 e g (x) = x2 - 1

Pág. 25

- ?

Pág. 26

g (x) = x4

g (x) = x3 - 2x + 1

g (x) = x2 + x - 3

g (x) = x2

R \ {0}

+ ?+ ?

R+ \ {e}

- ?+ ?

+ ?

limx"3- fg(x) = + ? e lim

x"4+ fg(x) = - ?

]- ? , 0[ ∂ 12 , + ?

f (x) = ln x + 1e se x > 0

1x - 1

se x ≤ 0

k = 1e3

Pág. 23


244 SoluçõesN

EMA


Tarefa 4 1.1. Operadora A

1.2.1. 0,08

1.2.2. 0,08

1.2.3. 0,08

1.3.1. 0,08

1.3.2. 0,14

1.3.3. 0,08

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

34. A função é descontínua para e para .

35.1. É contínua.

35.2. É descontínua.

35.3. É contínua.

36.1. 1

36.2. 2

36.3. 3

37.1. .

39. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Falsa

40.2.1. Verdadeira

40.2.2. Falsa

41.2.

43.1. As funções f e g não são contínuas em porquee .

43.2. II e III .

44.1. . Descontínua em .



46.1.1. 2

46.1.2. 3

46.1.3. - 2

46.2.1.

46.2.2. .

47.1. 47.2. Sim

Tarefa 5 1.1. e .

1.2. e .

2.2.1. 2,7 m

2.2.2. Houve paragens dos trabalhos nos 11.° e 12.° dias após oinício dos mesmos. Esses dias coincidiram com uma 5.a

feira e uma 6.a feira.

2.2.3. 80 m . A reta é assíntota horizontal do gráfico dafunção.

Tarefa 61. Em qualquer uma das modalidades poderia ter pago 3 €

por uma encomenda. Quanto à que custou 2,50 € foinecessariamente na modalidade A .

2. Entre 100 km e 300 km .

3. Não. Por exemplo, na modalidade B a quantia de 2,50 €não corresponde a qualquer distância.

48. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Verdadeira

50.1. Não

50.2. Não

50.2. Sim

54.

Tarefa 7 1.2. Por exemplo, , isto é, entre 5 h 15 min e

5 h 18 min.

2. I: Falsa; II: Falsa; III: Falsa; IV: Falsa.

3.2. Não, porque f não é contínua para .

Tarefa 8 1. O passeio da Rita demorou cerca de 16 minutos e o do

Pedro 12 minutos.

2. Aproximadamente, 72 m .

limx"4- g (x) = 2

g (4) = 2lim

x"4+ g (x) = 2

limx"4- f (x) = 2

f (4) = 2lim

x"4+ f (x) = 3

limx"4- j (x) = 2

j (4) = 5lim

x"4+ j (x) = 3

limx"4- h (x) = 2

h (4) = 3lim

x"4+ h (x) = 3

Pág. 28

x = 2x = - 1

Pág. 29

a = - 6 e b = √5

Pág. 30

Pág. 31

k = 12

Pág. 32

x = 1lim

x"1g (x) 0 g (1)lim

x"1f (x) 0 f (1)

Pág. 33

x = 0Df = Rx = 0

Pág. 34

- 2 se x å [- 2 , - 1[- 1 se x å [- 1 , 0[0 se x å [0 , 1[1 se x å [1 , 2[2 se x å [2 , 3[3 se x = 3

adddbdddc

f (x) =

x = - 1 ; x = 0 ; x = 1 ; x = 2 e x = 3

Dh = R \ {0}

Pág. 35

B (e , 3)A (0,7)

b = 7a = - 4e

y = 80

Pág. 36

Pág. 38

Pág. 39

k å ]- ? , 0[ ∂ ]1 , + ?[

Pág. 40

t å [5,25 ; 5,3]

x = 0

Pág. 41

Df = R \ {1}

Pág. 27

Df = ]- 2 , + ? [ \ {3} x = - 1

NEMA12_P2_F16_20122906_20122906_TXTP2_P241_256 03/01/13 9:44 AM Page 244

245N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

Tarefa 9 1.1.1.

1.1.2. 2

1.1.3. 4

1.1.4.

1.2. .

2.1.

2.3.1. 2.3.2.

2.4. Não

2.5.1. 2.5.2.

2.6. Sim

Tarefa 10 1. Experiência A : 4 °C ; experiência B : 2 °C

2. e . Significa que, se a

experiência se prolongasse no tempo, as temperaturas

aumentariam sempre tendendo para .

4.

Com o decorrer do tempo, as temperaturas tendem a aproximar-se.

55.1. A reta x = 2 não é assíntota e a reta é assíntota.

55.2. A reta y = 0 é assíntota horizontal.

56.1.

56.2.1.56.2.2. 2

56.2.3. 0

57.1. 57.2. 57.3. 2

57.4. 57.5. 0

57.6.

57.7. 0

58.1. 58.3.

59.1. É descontínua. A reta é assíntota vertical do grá-fico de f .

59.2.

60.1. 60.2. As retas e são ssíntotas do gráfico de h .

60.3. .

61. e .

62.1. 62.2. .

63.1. .

63.2. .

63.3. .

64. .

65.

66.1. 66.2.

67.1.

67.3.

67.4. .

68.1. A função que está associada a k = 1.

68.2. y = 2 e .

69.1. 69.2. .

Proposta 1 (B)

Proposta 2 1.1. 6 1.2. 1.3. 1.4. 11.5. 0

2.1. Por exemplo, .

2.2. Por exemplo, .

Proposta 3 (C)

Proposta 4 3. Não, porque .

Pág. 42

+ ?

- ?y = 2 e x = 0

R \ {- 1}- ?+ ?

- ?+ ?(x = - 1)

Pág. 43

limx"+? g (x) = + ?lim

x"+? f (x) = + ?

+ ?

Pág. 44

x = - 2

y = - 3

+ ?

Pág. 45

+ ?- ?

- ?

12

Pág. 46

x = - 2

y = x - 3

x = - 1

(2 , - 1)

Pág. 47

R \ {- 1}x = 1x = - 1

y = 2 e y = x

x = 1 ; y = x + 1

y = 2x

y = - 2 e y = - 3x - 2

y = - 2 e y = 3x + 1

y = 3 e y = 3x

Pág. 48

x = 0 ; y = 0 e y = 2x

x = e ; y = 0

y = 0x = 0

x = 0 ; y = 0 e y = - x + 1

Pág. 49

y = x + 2

x = 2 e y = - 13

R \ {2}

Pág. 50

- 2

- ?

k = 3

k = 1

Pág. 51

y = - x - 1

y = 3x e y = x

R \ {0}

g (x) = 0 se x = 0f (x) se x 0 3

limx"2- g (x) 0 lim

x"2+ g (x)

x(em minutos) f (x) = x2 + 3x + 4

x + 1g (x) = x + 2 f (x) - g (x)

10 12,18182 12 0,18182

50 52,03922 52 0,03922

100 102,01980 102 0,01980

200 202,00995 202 0,00995

300 302,00664 302 0,00664

… … … …


246 SoluçõesN

EMA


Proposta 5 1. (A)

2. (C)

Proposta 7 (C)

Proposta 8 (D)

Proposta 9 1. 0

2.

3. 0

4. 1

5.

6. 0

Proposta 10

1.

2. 0

3.

4.

5.

6.

Proposta 11

1.

2.

Proposta 12 1. 0

2.

3.

4.

5. 1

Proposta 13 1. 6

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Proposta 14 1.1. Verdadeira

1.2. Verdadeira

1.3. Verdadeira

2. Por exemplo,

Proposta 15 1.

3.

Proposta 16 1. Não, porque .

2. Não é contínua.

Proposta 17 1. A função g porque é descontínua para .

Proposta 18 1. 1

3.1. 3.2.

Proposta 19 (D)

Proposta 20 1. I. II.

III.

2. I. e III.

Pág. 52

+ ?

- ?

23

- ?

- 15

+ ?- ?

Pág. 53

m = - 20

m = 10049

182√3

3

+ ?

+ ?14

- 18

- ?- 1

+ ?32

- 110

Pág. 54

h (x) = 2 se x 0 1 ‹ x 0 - 1- 2 se x = - 11 se x = 1

Df = R \ {0}

k = - 52› k = 5

2

Pág. 55

limx"1- f (x) 0 lim

x"1+ f (x)

t = 4

k = 0k = 3 - log2 3

Pág. 56

O

y

x

2

5

31O

y

x

2

5

31

O

y

x

2

31


247N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

Proposta 21 2.

Proposta 25 (B)

Proposta 26 (D)

Proposta 27

Proposta 28 (B)

Proposta 29 1. Não. A função é contínua e tem domínio R .

2. 0 . O gráfico de f tem pelo menos uma assíntota oblíqua.

Proposta 30 1. 2.

Proposta 31 1.

3.

Proposta 32

1.

3.

1. (D)

2.1. (A) 2.2. (B)

3. (A)

4. (C)

5. (B)

1.2. Não, porque não existe .

1.3. Por exemplo, .

2.2.

3.1.1.

3.1.2.

3.3.

Tarefa 11 1.1. I: 10 h ; II: 11 h 30 min

1.2. 84 km/h

1.3. Não, porque .

2. 86 . Nas duas primeiras horas de viagem, o Ricardo per-correu, em média, 86 km por hora.

3. A afirmação á falsa. A velocidade média nas duas últimashoras é de 74 km/h e de todo o percurso é de 80 km/h .

4. 80 km/h

5. 86 ; 74 . No instante em que tinha decorrido 1 h a veloci-dade era de 86 km/h e no instante em que tinham decor-rido 4 h a velocidade era de 74 km/h .

6. Não. No instante em que se completaram duas horas deviagem a velocidade era de 82 km/h .

70.1. - 0,06 € por mês. Nos primeiros quatro meses as açõesdesvalorizaram, em média, 0,06 € por mês.

70.2. A afirmação é falsa. Apenas se pode afirmar que a cotaçãodas ações no final do 4.° e do 6.° mês é a mesma.

71. Por exemplo:

73. I: Falsa; II: Verdadeira; III: Verdadeira

74.1. 16 74.2. 8 74.4.

75.1.1. 1 75.1.2. 75.2.

Tarefa 12

1. 9 dB

2. 0,6 dB/100 rotações

3. 1,03 dB/100 rotações

4.

5. 8720 rotações/minuto

]0,7183 ; 0,7184[

Pág. 57

Pág. 58

x = 0 ; y = 0

(y = 2x)

Pág. 59

P (1 , 4) - 1

Df = ]- ? , - 1[ ∂ ]0 , + ?[

- 1

B 52 , 1115

a ) 30,92

Pág. 60

Pág. 61

limx"1

f (x)

g (x) = 12x

y = x

R+ \ 1e x = 1

e ; y = 0

x ) 2,22

Pág. 62

d (5) = 400

Pág. 64

O

y

x

1

4

42-1

-2

Pág. 65

y = 6x - 17

- 1 y = x - 3

Pág. 67

)

Nível de ruído Rotações/min

Moderado 3500-5000

Alto 5000-8721

Muito alto 8721-10 000


248 SoluçõesN

EMA


Tarefa 13 1.1. . Quando o raio aumenta de 1 para 4 , o volume

aumenta, em média, unidades de volume por uni-dade de comprimento.

1.2. . Para um acréscimo de uma unidade no raio, naqueleinstante corresponderia um aumento de unidades novolume.

2.1. Sim

2.2. Não

2.3. 2.4.

3.1. 18 °C

3.2. Durante a 1.a hora.

3.3. = - 5,1875 °C/h

3.4. = - 1,75 °C/h

3.5. 4 °C

76.2. e . Não existe derivada em .

77.1.1.

77.1.2. 2

77.2. Não porque .

77.3. Sim. Toda a função derivável num ponto do seu domínio écontínua nesse ponto.

78.1. 1

78.2.

78.3.

79.1. Sim, porque não existe .

79.2.

79.3. São diferentes.

80.1.1.80.1.2.80.1.3.

80.1.4.

80.2.1. Negativo

80.2.2. Negativo

81.1.

81.2. 6

81.3.

81.4.

81.5.

82.1. 282.2. 6

82.3. 6

83. D =

84.1.

84.2.

84.3.

84.4.

84.5.

Tarefa 14 1. (B)

2. (A)

85.1.

85.2. 85.3.

85.4.

86.1. 86.2.

87.1.

87.2.

88.1. 88.2.

88.3.

88.4.

28p28 p

4 p4p

g'(1) = 1

y = - x - 2

t.m.v.[0 , 2]

T '(2)

Pág. 69

x = 1g'(1-) = - 1g'(1+) = 1

- 45

f '(5-) 0 f '(5+)

Pág. 70

y = 2x - 5

13

Pág. 71

limx"2

f (x)

+ ?

+ ?+ ?+ ?- ?

Pág. 72

- 12

116

- 2

- 14

Pág. 73

[- 3 , 5[ \ {- 1,3}

f ' : R \ {0} " Rx 1 - 2

x3

x 1 2x se x ≤ 12 se x > 1

f ' : R \ {2} " R

x 1 1 se x > 2- 1 se x < 2

x 1 6x - 1 se x > 0

1(x - 1)2 se x < 0

Pág. 74

Pág. 75

f '(x) = 12

f '(x) = - 3x2 + x

f '(x) = - 6x2 + 10x - 1

f '(x) = 92x2 - 1

2+√5

y = 6x - 1

y = - 4

- 75

a = 5

Pág. 68

Pág. 76

f '(x) = - 6x + 2

g'(x) = 3x2 - 8

f ' : R \ {1} " R

f ' : R \ {2} " R

f ' : R \ {0} " R

x 1 1

2√x - 1se x > 2

x + 1 se x < 2

h'(x) = - 52x4 + 3

2x2 + x

i'(x) = - 2x5 + 203x4 + 16x3


249N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

89.

90.1.

90.2.

91. 144

92.1.

92.2.

92.3.

92.4.

93.1.

93.2.

93.3.

93.4.

94. 8

95.1.

95.2.

95.3.

95.4.

95.5.

96. 3

97.1.

97.2.

97.3.

98.1. .

98.2. .

98.3. .

99.1. 3 99.2. 3

100.1.

100.2.

101.

102.1.

102.2.

103.

105.

106.1. 106.2. 1 106.3. 3

107.1.

107.2.

108.

109.1. 3 109.2.

109.3. 1 109.4.

109.5. 1

110.1.

110.2.

110.3.

110.4.

111.

112. ;

Tarefa 15 1.2.

1.3.

2.1.

2.2.

2.3.

4.1.

4.2.

- 10

- 2

12

Pág. 77

f '(x) = 4x3

f '(x) = 38x2

f '(x) = - 10 (1 - 2x)4

f '(x) = (3 - 12x)(x - 2x2)2

f '(x) = 3

2√3x - 1

f '(x) = 2x

3 √3 (x2 + 1)2

f '(x) = 3x + 2

√x + 1

f '(x) = 2

5 √5 (2x - 3)4

Pág. 78

y ' = - 3x2

y ' = 2(x - 2)2

y ' = x2 + 6x(x + 3)2

y ' = - 3x - 5(x - 1)3

y ' = - 32x2 1 - x

2x 2

Pág. 79

g + f : ]- ? , - 3] ∂ [3 , + ? [ " Rx 1 √x2 - 9

h + f : R \ {-√10 , √10} " Rx 1 1

x2 - 10f + h : R\{1} " R

x 1 1(x - 1)2 - 9

g (x) = x + 1 e f (x) = x2

g (x) = x - 1 e f (x) = 2 +√x

g (x) = x2 - 1 e f (x) = ex

g + f : [1 , + ? [ " Rx 1 √ln x

f + g : R+ " Rx 1 ln (√x)

Pág. 80

(h + j)'(x) = - 1

2x√x

f '(x) = 6 (3x - 1)

f '(x) = 1

2 (3 - x)√3 - x14

Pág. 81

1e

32

Pág. 82

f ' : R \ {0} " R

x 1 ex se x < 0

- ex se x > 0

f ' : R \ {0} " R

x 1 xex - ex + 1

2x2 se x < 0

6x + 12

se x > 0

P (ln 2 , 2)

Pág. 83

- 1

- 12

f '(x) = - 1x2 e

1x

f '(x) = 3x2 - x3

ex

f '(x) = ln 2 * ln 3 * 2x ln 3

f '(x) = p-2x - 2x p-2x ln p + p-x ln p

j '(1) = √3 ln 32

N '(t)N (t)

= 0,3N '(t) = N0 * 0,3 * e0,3t

Pág. 84

P (ln 4 , - 2 + e)

x = 2 + ln 4

f '(0) = - 2

- ln 63

x = 13

xA = - 1ln 2

yA ) 2,65


250 SoluçõesN

EMA


113.

114.

115.1. 0

115.2.

115.3. 0

115.4. 2

115.5.

116.1.

116.2.

116.3.

116.4.

116.5.

117.1.

118.

120.1.121.1.121.2.

Tarefa 16 1.1.

1.3.1. ;

1.3.2. ;

1.3.3. ; ;

;

1.4.

1.6.1.1. Se o gráfico II fosse o de f então seria positiva, oque não corresponde aos valores obtidos em 1.3.1. .

1.6.1.2. O gráfico IV corresponde a uma função ímpar e a fun-ção g' é uma função par.

1.6.2. f : I ; g : IV ; f ' : III ; g' : II

2. Por exemplo, ; h' é ímpar e j ' épar.

122.1.

122.2.

122.3.

123. Em I. A função f é a derivada da função g .

124.1.1. h

124.1.2. g

124.1.3. f

125. I: Verdadeira; II: Falsa; III: Falsa; IV: Verdadeira

126.1. g é estritamente decrescente em e eme é estritamente crescente em .

Mínimo relativo: 2 ; máximo relativo:

126.2. g é estritamente decrescente em e eme é estritamente crescente em .

Mínimo relativo: e

126.3. g é estritamente decrescente em e é estrita-

mente crescente em .

Mínimo absoluto:

127.1.

127.2.

128.1.

129. g é estritamente decrescente em e eme é estritamente crescente em .

Mínimo relativo: 2 ; máximo relativo: e

130. O João excedeu a velocidade permitida.

131. Passadas 5 horas.

Pág. 85

ln (1 + x)x se - 1 < x < 0

1 - 2x se 0 ≤ x ≤ 1ln x1 - x

se x > 1

addbddc

g (x) =

- 12

Pág. 86

12

12

f '(x) = ln x + 1

f '(x) = 1x + 2

f '(x) = 1x2 ln 2

- log2 xx2

f '(x) = ex ln x ln x + 2x

f '(x) = 1

x √ln x2

Dg = ]- ? , 2[

Pág. 87

f ' : R+ \ {1} " R

x 1 1x se x > 1

- 1x se 0 < x < 1

x = e

Dg = ]1 , + ? [

y = 0 ; x = 1

Pág. 88

Df = Dg = R

f '(1) = - 87 ; f '(- 1) = 8

7g'(1) = 1 + ln 2 ; g'(- 1) = 1 + ln 2

f '(2) = - 1619

; f '(- 2) = 1619

g'(2) = 85+ ln 5 ; g'(- 2) = 8

5+ ln 5

f '(- a) = 8a4a2 + 3

f '(a) = - 8a4a2 + 3

g'(- a) = ln (a2 + 1) + 2a2

a2 + 1g'(a) = ln (a2 + 1) + 2a2

a2 + 1

g' : R " Rx 1 ln (x2 + 1) + 2x2

x2 + 1

f ' : R " Rx 1 - 8x

4x2 + 3

f '(1)

h (x) = x2 + 1 e j (x) = 2x3

Pág. 89

]- ? , - 2[ ∂ {- 1 , 1 , 4}]- 2 , - 1[ ∂ ]1 , 3[

]- 1 , 1[ ∂ ]3 , + ? [ \ {4}

Pág. 90

Pág. 91

]2 , + ? []- ? , 0[]0 , 2[

103

]0 , 1[]- ?, 0[]1, + ? [

0 , 1e1e , + ?

- 1e

h'(t) < 0 , A t å [0 , 15]

- 0,15 m /min

Pág. 92

f ' : R " R

x 1 2x se x ≥ 0- 2x se x < 0

]0 , 1[]- ? , 0[]1 , + ? [


251N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

132.1. f é estritamente crescente em e é estrita-mente decrescente em .

Máximo absoluto: e

133.1. g é estritamente crescente em e é estrita-mente decrescente em .

Máximo absoluto:

133.2.

134.1. 134.2.

Tarefa 17 1.1. 1,56 cm2

1.2. Após 1 hora a área infetada estava a aumentar e ao fimde 3 horas estava a diminuir.

1.3. 0 . Com o decorrer do tempo a área infetada tende adesaparecer.

1.4. Se então a área infetada aumentou e se ,então a área diminuiu.

O valor máximo da área infetada foi de e ocorreu 2 horas após a picada.

2.2.

2.3.

Tarefa 18 1. Aproximadamente, .

2.

Tarefa 19 1.1. 109,60 €

1.2. Custo mínimo: 200 peças; custo máximo: 100 peças.

1.3. Aproximadamente, 0,31 Æ .

1.5. 280 peças.

2.

135.1. 135.2.

135.3.

136.1.

136.2.1.136.2.2.

137.1. Negativo 137.2. Positivo

137.3. Negativo 137.4. Negativo

138.1. Não. Se f fosse representada pelo gráfico II, teria a con-cavidade voltada para baixo o que implicaria que f ''fosse sempre negativa, o que não acontece.

138.2. Não. Se assim fosse, f '' teria de ser negativa em todo oseu domínio atendendo que f' é decrescente.

138.3. I: f '' ; II: f ' ; III: f

139.1. O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima eme em e voltada para baixo em .

Pontos de inflexão: e .

139.2. O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima eme voltada para baixo em .

Ponto de inflexão:

139.3. O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo eme em e voltada para cima em

.


140.2. O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima em

e em e voltada para baixo em

e em .

Pontos de inflexão:

, e .

141.

Tarefa 20 1.1. Aproxidamente, 2 mm .

1.2. 34 horas e 9 minutos.

1.3.

2.1. 20 toneladas.

2.2. Não.

2.3. 5,5 dias.

2.4. . Com o decorrer do tempo, o stock em

armazém tenderia para 100 toneladas.

Tarefa 21 1.1. No fim.

1.2. 19 horas

1.3. . Entre as 16 h 36 min e as 23 h 12 min ,aproximadamente, a percentagem de estudantes queouviu o programa foi não inferior a 65% .

1.4. Aproximadamente, 1 h .

2. .

]- ? , 1[]1 , + ? [

2e - 1

y = 0 ; y = - 2

- ln 2Dg' = R+

Pág. 94

t > 20 ≤ t < 2

8e cm2

37564

p √55 cm3 ; 136,5 cm3

x ) 294°

Pág. 95

63,2 m

d : [0 , 4] " Rx 1 1 + e-x(1 - 2x)

Pág. 96

PT = 5911 m ; custo: 492 337 Æ

Pág. 97

f ''(x) = 2(1 - ln x)x2f ''(x) = 2

(x - 1)3

f ''(x) = 2-x ln2 2

3 m /s

- 2 m /s2

- 2 m /s2

Pág. 98

Pág. 99

Pág. 100

]0 , 1[]1 , + ? []- ? , 0[(1 , - 3)(0 , - 2)

]- ? , - 1[]- 1, + ? [

- 1, - 2e

]1, + ? []- ? , - 1[]- 1 , 1[

(1, ln 2)(- 1, ln 2)

√62

, + ?- √62

, 00 , √6

2 - ? , - √62

√62

, - √6e2e (0 , 0)- √6

2 , √6e

2e - 2 ln 16

Pág. 101

D''(t) = - 0,016 * 1 - 0,006t2

(0,002t2 + 1)3 ; t ) 12,91h

P (4) < 48

limt"+? P (t) = 100

Pág. 102

P (9) > P (0)

]1 , + ? []- ? , 1[

Pág. 93

p ) 1,6 e q ) 8,2

P (t) = 38,06te-0,2t + 10a ) 38,06 ; b = 0,2 ; c = 10


252 SoluçõesN

EMA


142.1. f é par. 142.2. g é ímpar.

142.3. h não é par nem ímpar. 142.4. j é ímpar.

143. A função par é a g .

144.1.

144.2. f é contínua porque admite derivada finita em todos ospontos do seu domínio.

144.3.

144.4.

144.5.

145.1.

145.2.

145.3.

146.1.

146.2.

147.1.

147.2.

148. II

149. , e .

150.1.

y = 3

O

y

x

3

2

4-1-2-4

D'f = ]- 4 , 3]

Pág. 104

O

y

x

O 2

y

x

O 1 3

2

y

x

O

y

x

0,5

1

-0,5

-1V√3

-V√3

V√3-—4

V√3—4 f

O21

y

y = -x - 1

f

x

O1

y

f

x-1-2

3-—42-—3

Pág. 103

Pág. 105

O 1

1

y

f

x-1-1

C (0 , - 2)B - √22

, 0A √22

, 0

Pág. 106

n = 3

x - ? - 1 4 + ?f ' + 0 - 0 +f £ 3 ¢ - 2 £


253N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

151.1.

151.2.

151.3.

152.1.152.2.152.3.

153.2.

Proposta 1 1. 0,189 kg

2. 0,75 . No primeiro semestre de vida o peso do animalaumentou à razão de 0,75 kg/mês .

3. . No instante o peso está a aumentar àrazão de 0,12 kg/mês .

Proposta 2 2. 15 °C

3. . Nas duas primeiras horas, a temperaturado sumo baixou, em média, 5 °C por hora.

4. - 4 °C por hora. 5. A solução é 3 . Se a Ana deixar o sumo muito tempo no

frigorífico, este ficará a 3 °C de temperatura.

Proposta 3 1.1. 2 1.2. 0

2. Por exemplo, .

3. A afirmação é falsa. Só podemos afirmar que .

Proposta 4 1.1. Por exemplo, .

1.2. Por exemplo, .

1.3. Por exemplo, .

1.4. Por exemplo, .

2.1. 0 2.2.

Proposta 5 1. 14 km

2. 1 h 07 min

3. 10,24 km

4. ;

5. Não. Em intervalos de tempo iguais, os espaços percorri-dos são diferentes, como se pode observar a partir dosvalores obtidos na alínea anterior.

Proposta 6 1. . A distância percorrida durante a segunda

hora de viagem foi de 76 km .

2. . A velocidade média durante a viagem foi de84 km/h .

3. . No instante , a velocidade instantâneaera igual a 86 km/h .

Proposta 7

1.1.

1.2.

2.

Proposta 8

1.

2.

Proposta 9

1.

2.

Proposta 10

1.

2.

O 1

1

y

f

x

O

1

y

f

x

1—2

O 1

y

f

x

-1 2—e-

-1

Pág. 107

k = 3

k = 4

k = - 2

Pág. 108

x = ln √3

Pág. 110

t = 4P '(4) = 0,12

t.m.v.[0, 2] = - 5

[- 3 , - 1]

f (b) < f (a)

Pág. 111

[b , c]

[a , b]

[b , d]

[a , d]

f '(c) < f '(b) < f '(a)

t.m.v.[0,5 ; 1] = - 403

t.m.v.[0 ; 0,5] = - 383

d (5) - d (4) = 76

t.m.v.[0, 5] = 84

t = 2d'(2) = 86

Pág. 112

2323

y = 23x + 6

-√3

2√3

a = - 23

(0 , 2) ; 43 , 2227

Pág. 113

- 12

394

NEMA12_P2_F16_20115029_20115029_TXTP2_P241_256 12/06/19 13:19 Page 253

254 SoluçõesN

EMA


Proposta 11 1.

2.

3. pois o declive da reta tangente ao gráfico de f

no ponto de abcissa 2 é negativo.

Proposta 12 1. Sim 2.

Proposta 13 1. 3

2. 2

3. 5

4.

5.

Proposta 14 (D)

Proposta 15 (A)

Proposta 16 (A)

Proposta 17

1.1.

1.2.

2.1.

2.2.

Proposta 18

Proposta 19

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

Proposta 20 .

Proposta 21 1.1. 2 1.2.

Dg = ]- 1 , 2[ ∂ ]5 , + ? [

f '(2) < f '(3,7) < f '(- 1)

f '(2) = - 95

g'(1) = 1

Pág. 114

+ ?- ?

Pág. 115

y = - 3x - 263

y = - 3x + 2

- 13√3

√312

Pág. 116

y = 3x - 4

f ' : R " Rx 1 - 3x2 + 8x - 5

f ' : R " Rx 1 x3 + 2x2 - x - 1

f ' : R " Rx 1 12x3 - 9

2x2 - 8x + 2

f ' : R \ {0} " Rx 1 - 12

x3

f ' : R \ {1} " Rx 1 - 1

(x - 1)2

f ' : R " Rx 1 32x - 24

f ' : R " Rx 1 (6 - 6x) (2x - x2)2

f ' : R \32 , + ? " R

x 1 1

√2x - 3

f ' : R \ {0} " Rx 1 1

x2

f ' : R \ {3} " Rx 1 - 2x2 + 6x

(x - 3)5

f ' : R \ {- 1 , 1} " Rx 1 1 + 8x

(x2 - 1)2

x 1 3 se x > 2- 3 se x < 2

f ' : R \ 12 " R

x 1 2

3 √3 (2x - 1)2

x 1 - 1

(x + 1)2se x > 1

1(x + 1)2

se x < 1 ‹ x 0 - 1

x 1 -2

(x - 1)2se x > 1

3 se x < 1

x 1 - 1 se x < 0 › 0 < x < 21 se x > 2

f ' : R \ {0 , 2} " R

f ' : R \ {1} " R

f ' : R \ {- 1 , 1} " R

f ' : R \ {2} " R

y = - 95x + 33

5

a = 4 e b = 2

Pág. 117

- 1


255N

EMA

12-P

1 ©

Por

to E

dito

ra

2. Não é contínua em , portanto, não é derivável em.

3.

4.

Proposta 22

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Proposta 23

1.

2.

3. 2

4. 6

5. 2

6.

Proposta 24 1. f é estritamente decrescente em e em

; f é estritamente crescente em .

Mínimo absoluto: ; máximo absoluto: 1

2. f é contínua em R porque admite derivada finita emtodos os pontos do seu domínio.

3. O gráfico de f tem a concavidade voltada para baixo eme em .

O gráfico de f tem a concavidade voltada para cima eme em ;


Proposta 25 1. f é estritamente decrescente em R- e estritamente cres-

cente em R+ .

Mínimo absoluto igual a 2 (para ).

2.

4.

Proposta 27 (B)

Proposta 28 (C)

Proposta 29 (B)

Proposta 30 1.1.

1.2. y = ex - 2

2. f é estritamente decrescente em e estrita-mente crescente em .

3. ; Zeros:

Proposta 31 1. y = - x + e

2. Maximizante: ; minimizante:

3. O gráfico de g tem a concavidade voltada para cima em

e voltada para baixo em e em

.

Proposta 33

1.

2. Máximo absoluto:

3.

Proposta 36 1. g é estritamente crescente em e estritamente

decrescente em .

O máximo absoluto é (para ).

x = 1

f ' : R \ {1} " R

x 1 3x - 2

2√x - 1se x > 1

2x2 - x - 1x - 1

se x < 1

y = 134x - 25

4

f '(x) = 12x3 + 6x2

(3x + 1)2

f '(x) = 2e2x - 3

f '(x) = (1 - 2e2x)(x2 + 1) - 2x (x - e2x)(x2 + 1)2

f '(x) = 3e3x + 3x2

f '(x) = 33x - 1

f '(x) = ex(x2 - x - 1)(x2 + x)2

f '(x) = - 1x

f '(x) = 3x2 - 3ln 2 (x3 - 3x + 4)

f '(x) = ex2-3x (2x2 - 3x + 1)

f '(x) = x + 6x2 + 3x

f '(x) = exx - ln (ex + 1)(ex + 1)(ex + 1)x2

f '(x) = 1x ln 2

Pág. 118

√2

- 2

12

]- ? , - 1[]- 1 , 1[]1 , + ? [

- 1

]0 , √3 []- ? , -√3 [

]√3 , + ?[]-√3 , 0[

√3 , √32 -√3 , - √3

2

x = 0

+ ?f + g : R+ " R

x 1 ln x + 1 + 1x

Pág. 119

Pág. 120

Df = ]- ? , - 1[ ∂ ]3 , + ?[

]- ? , - 1[]3 , + ?[

1e ; e3Dh +g = R+

12

- 1

- ? , - 12- 1

2 , 2

]2 , + ? [

Pág. 121

1

√e, 1

2√e1e

x = 1

P (e , - e)

Pág. 122

]- ? , 3[]3 , + ?[

x = 3- 1e2


256 SoluçõesN

EMA


Proposta 37 1. Aproximadamente, .

2. 5 horas.

3.

Proposta 38

1. Aproximadamente, .

2. Aproximadamente, .

3. 40 minutos.

Proposta 39

1. Aproximadamente, 1,93 Æ .

2. Custo médio de 1000 litros de fertilizante, em milharesde euros.

3. 1 . Quando a produção tende para zero o custo de 1 milharde litros de fertilizante tende para 1000 Æ .

4. 2238 litros.

5. O lucro máximo é de 718 € quando a produção é de1718 litros.

1. (A)

2. (C)

3. (D)

4. (B)

5. (A)

6. (D)

1.3.1.

1.3.2. 0

2.1. 4 horas e 44 minutos.

2.3. Ponto de inflexão:

3.1. f é estritamente crescente em e em

e estritamente decrescente em

.

Máximo relativo igual a e

mínimo relativo igual a .

3.2.

4.2.

TEMA 3 – TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS

Tarefa 1

1.1.1.

1.1.2.

1.2.

1.3.

1.4.1.

1.4.2. › q ) 2,36 rad

2.2. 2.3.

1.1.

1.3.

2.1.

2.2.1.

2.2.2.

2.2.3.

3.1. 3.2.

3.3.

4.1. h é ímpar.

4.2. h é par.

4.3. h não é par nem ímpar.

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

Tarefa 2

1.1.1.

1.1.2.

1.2. 1.3.

167 m2

10 , 20e

0,0066 mg

4,61 mg

Pág. 123

Pág. 124

Pág. 125

+ ?

(1,41 ; 56,93)

]- ? , 2 -√2 []2 +√2 , + ?[]2 -√2 , 2 +√2 [

(para x = 2 -√2)2√2 - 2

e2-√2

(para x = 2 +√2)- 2√2 - 2

e2+√2

a = 1 ; b = 0 ; c = 0

k = 3

Pág. 129

12

√32

q = p2

A (q) = sin q

q = p4

› q = 3p4

q ) 0,78 rad

a ) 0,51 rad

10√2 cm

Pág. 130

P (cos a , sin a)

Pág. 131

Df = R[0 , 2]

- 3p4

; p4

x = 3p4

+ kp , k å Z

[- 2 , 4]

[1 , 2]

13 , 1

x = p7

+ 2kp › x = 6p7

+ 2kp , k å Z

x = - p6+ kp › x = 2p

3+ kp , k å Z

x = p6+ kp › x = - p

6+ kp , k å Z

x = p2+ 2kp › x = - p

6+ 2kp › x = 7p

6+ 2kp , k å Z

Pág. 132

12

√22

q = 0

A (q) = cos q

d = 10 + 3√152


257N

EMA

12-P

2 ©

Por

to E

dito

ra

1.4.1.

1.4.2.

2.2.1.

2.2.2.

2.2.3.

6.1.

6.3.

6.4.

8.2.

9.2. A afirmação é verdadeira porque .

9.3.

10.1. 1 10.2.

11.2.

Tarefa 3 1.1.1. 1 1.1.2.

1.2. Não 1.3.

1.4.1.

1.4.2.

2.2.

2.3.

12.2.

12.3.

13.1.

13.2.

13.3.

14.1. R14.2. 14.3.

16.1.

16.2. R16.3.

16.4.

17.1.

17.2.

17.3.

18.

Tarefa 4

1.1.

1.2. f : II ; g : I

1.3.

1.4. , , e

2.1.1.

2.1.2.

2.2.2.

19.1.

19.2.

20.1.1.

20.1.2.

20.2.

21.1.

21.2. 21.3. 2

22.1.

22.2.

23.1. 23.2. 23.3.

q = p6

q ) 0,80 rad3√34

√2 + 12

2 +√34

Pág. 133

P (cos a , sin a)

√72

d = 3√510

Pág. 135

3 - 2√23

0 ∫ D'f

x = p4+ 2kp , k å Z

- 1

p2 , p ∂ 3p2 , 2p

Pág. 136

√3

A (q) = tg q

q = p4

q ) 1,33 rad16√33

a = 3p4

Pág. 137

d = 2√3

sin a = 5√2626

Pág. 138

D = x å R : x 0 p4+ kp2 , k å Z

D = x å R : x 0 kp2 , k å Z

D = 0 , p4 ∂ p2 , p

]- ? , 1]

[2 , + ? [

D = x å R : x 0 5p6

+ kp , k å Z

x = - p6 ; x = 5p

6√1010

Pág. 139

x = p10

+ k p2 , k å Z

x = - p12

+ kp , k å Z

x å 0 , p4 , p , 5p4 , 2p

A - p2 , 0 ; B -p4 , 0 ; C p4 , 0 ; D

p2 , 0

Pág. 140

Ap6 , √32 ; Bp2 , 0 ; C5p6 , - √32

x å 0 , p6 ∂ p2 , 5p

6

A 1cos a , 0

B 1cos a , sin a

10837

Pág. 141

2p

a = - 6p5 e b = 14p

5

k = 5

k = 114

- 12

Pág. 142

2p34p

2p3a = p

4 , b = 11p

12 e c = 13p

12a = 4

37p6

13p2

a = - 4a = 3

41p6

15p2

NEMA12-P2-17


258 SoluçõesN

EMA


24.1.

24.2.

24.3.

24.4.

24.5. 24.6.

25.1.

25.2.

25.3.

25.4.

26. f : III ; g : II ; h : IV ; j : I

Tarefa 5 1.1.1. Simetria em relação a Ox .

1.1.2. Translação horizontal associada ao vetor .

1.2.

2.

3.1.

3.2.

Tarefa 6 1.1. Por exemplo, .

1.2. 43 cm e 37 cm 1.3. Três vezes.

2.1. Aproximadamente, 16 s . 2.2. Aproximadamente, 5 s .

2.3.

Tarefa 7

2.1.

2.2.

2.3. 6 s . De 6 em 6 segundos, o ponto P encontra-se namesma posição.

27. Basta pensar que é uma função periódica, tomando valo-res entre - 1 e 1 .

28.1. 0 28.2. 1 28.3.

28.4.

28.5. 0

29.1. 2 29.2. 1

29.3.

29.4. 10

29.5.

29.6.

29.7.

31.1. 2 31.2. 1

31.3.

31.4. - 131.5. 31.6. 31.7.

34.

35.1. - 1 35.2. 0

36.1. 1 36.2.

37.1.

37.2.

37.3.

37.4.

37.5.

38. .

39.2. 91

Pág. 143

2p2p3p2p2

3pp2

p8 , 0- p6 , 0- p6 , 02p3 , 0

Pág. 144

p4 , 0p

a = 3 e b = - 2

c = 2 e d = 12

8p3

Pág. 145

d (t) = 40 + 3 sin (0,5t)

p = 36p7

Pág. 147

w = p3 rad /s

5√22 , 5√22

Pág. 148

- ?p2

Pág. 149

- 13

74

- 416

Pág. 150

- 12

- ?- ?e

Pág. 151

45

Pág. 153

(0 , 1)

Pág. 154

f '(x) = 12- cos x

f '(x) = 2 cos (2x)

f '(x) = - px2cos px

f '(x) = 2x sin - x + p3 - x2 cos - x + p

3f '(x) = - p cos (px)

2√1 - sin (px)

a = 2p3 e b = 4p

3


259N

EMA

12-P

2 ©

Por

to E

dito

ra

40.1.

40.2.

40.3.

40.4.

40.5.

42.2.

43.1.

43.2.

43.3.

43.4.

43.5.

44.2.

Por observação da tabela conclui-se que h é decrescente

em e em .

44.3.

O gráfico de h tem a concavidade voltada para cima em

e voltada para baixo em . Não tem pontos

de inflexão.

45.2. A função tem um máximo relativo igual a para

e um mínimo relativo igual a para .

Tarefa 9 1.1.1. 0

1.1.2.

2.1.

2.3. Zeros de f ' :

2.4.

Tarefa 10

1.1.1. 1.3. 1.4. 1.5.

f é estritamente crescente em e é estri-tamente decrescente em , .

Máximo absoluto:

1.6.

O gráfico de g tem a concavidade voltada para baixo e nãotem pontos de inflexão.

2.1.

2.2.2.

2.2.3. Em ambos os casos, os limites representam a área dotriângulo [ABD] .

2.2.4.

Tarefa 11

1. Altura das colunas de reforço: 8 m Distância entre duas colunas consecutivas: aproximada-

mente, 6,28 m .

Altura da parte mais baixa do muro: aproximadamente,3,33 m .

Número de colunas de reforço: 26

Altura do muro no fim do mesmo: 3,35 m

f '(x) = 1 + 3cos2 (3x)

f '(x) = tg2 x + 2x tg xcos2 x

f '(x) = - 1

x2 cos2 1x

f '(x) = - 2 + 2 tg xcos2 x

f '(x) = 1 + x

2 cos2 x22

p2 , p0 , p2

2p - 4x = p

4- 2p + 4x = - p

4

Pág. 157

Pág. 156

f '(x) = - 3 tg (3x - p)A (p , p)

f '(x) = ecos x (1 - x sin x)

f '(x) = 2x cos (3x) - 3x2 sin (3x)

Pág. 155

f '(x) = - sin x2

f '(x) = 1x2sin 1x

12

B p2 , 0 e D 3p2 , 0

p2 ; 7p

6 ; 11p

6

C 7p6 , 3√32 e E

11p6 , - 3√3

2

Pág. 158

Df = R \ {x å R : x = 2kp , k å Z}x = 0 ; x = 2px = 2kp , k å Z

]0 + 2kp , p + 2kp[k å Z]p + 2kp , 2p + 2kp[

ln 2

121 +√34

q = p4

Pág. 159

0 , p2 p2 , p

x 0p2

p

h' s. s. - s. s. - s. s.

h s. s. + ?¢ 0+ s. s. 0- ¢ -? s. s.

x 0 p 2p

g' + 0 -

g £ ln 2 ¢

x 0 2p

g'' -

g {

x 0p2

p

h'' s. s. + s. s. - s. s.

h s. s. 8 s. s. { s. s.

x 0p2

7p6

11p6

2p

f ' + + 0 + 0 - 0 + +

f - 2 £ 0 £ 3√32

¢ - 3√32

£ - 2


260 SoluçõesN

EMA


Tarefa 12

1. 90 m

2. 1,5 s ; 4,5 s ; 7,5 s

3. 40 . Com o passar do tempo a altura tende a estabilizar eo concorrente ficará a 40 m do solo.

6. 12 m

Tarefa 13 1.1.1. Volume máximo: 2,75 l ; volume mínimo: 2,25 l 1.1.2. 2,5 l e 2,75 l

1.2. Inspiração

1.3. e

1.4.1. 1.4.2. 300

2.1. 4 vezes 2.2.

Tarefa 14 1.1. 0 1.2.

1.4.2.

2.2.

Proposta 1 (A)

Proposta 2 (C)

Proposta 3 (B)

Proposta 4 (A)

Proposta 5 (B)

Proposta 6 1. f : II ; g : I

2.

Proposta 7

2.

3. 252

Proposta 9

1.

2.1. 12 h ; 10 m 2.2. De 12 em 12 horas. 2.3.

Proposta 10 1.

2.

3.

4.

5.

Proposta 11

2.

3.1.

3.2.

Proposta 12

(D)

Proposta 13

(C)

Proposta 14

2.

3.

Proposta 15

1.1.

1.2.

Pág. 161

V '(15) = - p8) - 0,39 l /sV '(5) = p

8) 0,39 l /s

(5 ; 2,5) e (7 ; 2,5)

Pág. 162

Pp2 , 2a = p

3

y = 3x - 3p2

Pág. 164

Pág. 165

a = - p ; b = - p2 ; c = 5p

4 ; d = 5p

2

Pág. 160

xA ) 5,68 e xB ) 9,68

Pág. 163

t = 283 › t = 44

3

Pág. 166

d (t) = 12 - 2cos p6 t

t1 ) 3,48 e t2 ) 8,52

Pág. 167

Df = R2p3

x = 2p9

+ 2kp3 › x = 4p

9+ 2kp

3 , k å Z

0 ; 2p3 ; 4p3 ; 2p

y = - 6√3x + 10√33p + 14

p2+ √52

Df = x å R : x 0 p2+ kp , k å Z

y = 4√3x - 4√33p + p + 4

Pág. 168

A (1 , √3) e B92 , √3y = 4p

3x - 4p

3+ √3

Pág. 169

P√22 , √22 ; R0 , √22 ; Q√24 , 2√2 +√64

√38


261N

EMA

12-P

2 ©

Por

to E

dito

ra

3.1.

3.2.

5. .

Proposta 16 (D)

Proposta 17 (B)

Proposta 18 (A)

Proposta 19

1. (C)

2. (B)

Proposta 20

1.

2. 1

3. 2

4. 2

5. 4

6.

7.

8. 1

9. 2

10.

11.

12.

Proposta 21

1. 0

2. 3

3.

Proposta 22

1.1.

1.3.

2.2.

Proposta 23

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Proposta 25

1.1.

1.2.

2.

Proposta 26

1.

3.

Proposta 30

2.

3.

Proposta 31

2. A função f é crescente em e decrescente em

. Tem máximo absoluto igual a para .

4. Não. A função f '' é negativa em .

Proposta 32

1. .

3.

4. .

Pág. 170

25

1616

121212

Pág. 171

- p2

x = kp , k å Z

- 325

a = p3

p12 e 5p

12

a = p4

a = p3

f '(x) = 2 sin x cos2 x - sin3 x

f '(x) = - 2x sin (x2)(1 + cos x) + sin x cos (x2)(1 + cos x)2

f '(x) = 12 cos x2 +

2x2sin 2x

f '(x) = sin (2x) - 2x cos (x2)

f '(x) = esin x (cos2 x - sin x)

f '(x) = 11 + sin (2x)

Pág. 172

yA = 3

k = 3 ; xB = 3p2

k = 9

Pág. 173

B7p6 , 7p6

+√3 e C11p6 , 11p6

-√3

p2 , p2

Pág. 174

p8 , 12 ;

3p8 , 12 ;

5p8 , 12 ;

7p8 , 12

p2 , 0 ; 7p6 , - 3√3

4 ; 11p6 , 3√34

0 , p3 x = p

3√33p3, p

]0 , p[

Pág. 175

Pp2 , 1 e Q7p6 , 2 +√32

y ≥ 1 + sin (2x) ‹ y ≤ 1 - cos x ‹ p2≤ x ≤ 7p

6

p3 , 2 +√32 e Q 2p3 ,

2 -√32


262 SoluçõesN

EMA


Proposta 33

1.

2.2.

1. (B)

2. (A)

3. (D)

4. (B)

5. (A)

1.1. 8 cm 1.2. 0,25 s

2.1. 2.2.

3.1.

3.2.

3.3. II

3.4.

46.1.

46.2.

46.3.

46.4.

47.

48.1.

48.2.

48.3.

49.

50.1.

50.2. 50.3. 3

50.4. 50.5. 5

51.1. ;

51.2.1.51.2.2.51.2.3. 2

52.1. Bissetriz dos quadrantes ímpares. 52.2. Bissetriz dos quadrantes pares. 52.3. Eixo imaginário. 52.4. Reta paralela ao eixo real e que passa pelo afixo do número i .52.5. Circunferência centrada na origem do referencial e raio 2 .

53.1.

53.2.

53.3. 53.4.

54.1. 54.2. 54.3. 54.4.

55.1. A 55.2. B 55.3. C

56.1.

56.2.

Tarefa 15

1.2.1.

1.2.2.

k = - 1- 1

Mp4 , 2 e Rp2 , 0

p6

x = p6 › x = 5p

6

Pág. 180

x å {- 3i , 3i}

x å {0 , - 2√2 i , 2√2 i}x å {1 - i , 1 + i}

x å {3 -√2 i , 3 +√2 i}

Pág. 181

x = 5 e y = - 2x å R e y = - 1x = 2 e y 0 - 1

k = - 2

Pág. 182

√5

√10

3√2

Pág. 183

zA = 3 + 2i ; zB = 1 + 3i ; zC = - 2 + 4izD = - 2 ; zE = - 2i ; zF = 2 - 2i

√132√5

a = 2 e b = - 3a = ¿ 2 e b = 0a = - 2 e b å Ra = 0 e b = - 3

- 3 - i2 + 5i- 2i- 2

Pág. 184

zB = 2 + 4i

Pág. 177

Pág. 176

q ) 1,6 rad › q ) 2,3 rad

p3 ; p ; 5p

3

152

Pág. 185

P = 2√3 + 2

A = √2

z Re (z) Im (z)

3 + 5i 3 5

- 3i 0 - 3

7 7 0

- 2 + i - 2 1

2i 0 8

√2 i √2 0

-√3 - i -√3 - 1


263N

EMA

12-P

2 ©

Por

to E

dito

ra

2.1.

2.3.1.

2.3.2.

2.3.3.

2.4.1.

2.4.2.

2.4.3.

58.1. 58.2.

58.3.

58.4.

59.1. 59.2.

59.3.

60.1.

60.2.1. Simetria em relação à origem. 60.2.2. Simetria em relação ao eixo real.

61.1. 61.2. 61.3.

62.1. Semieixo real negativo62.2. Semieixo imaginário negativo62.3. Eixo real62.4. 3.° Q 62.5. 4.° Q

63.1. 63.2. 63.3. 63.4.

64.3. 3

65.1.

65.2.

65.3.

65.4.

65.5.

66.1.

66.2.

67.

68.

69.1. 69.2. 69.3.

70.1. 70.2. 70.3.

71.1. 71.2. 71.3. 71.4.


76.1.

76.2.

76.3. 76.4.

76.5.

77.1. Por exemplo,

77.2. Por exemplo,

Pág. 188

5 - 5i- 1 - 7i1 - 6i- 5 + 10i

Pág. 189

- 12- 12i

- 25- 15i

- 15+ 85i

23i

32+ 12i

√34

+ 14i

- √34

+ 14i

Pág. 190

v = 4√55

i

z2

Pág. 191

- 2i- 6i- 11 - 2ik = 4k = 2k = 4- 11 + 3i- 1 + i- 1 - i

Pág. 192

n = 2

Pág. 193

z å {0 , - i}z = - 3

5+ 65 i

z = - 1z å {0 , -√3 i , √3 i}

z å 1 -√7 i2

, 1 +√7 i

2 z = 1 + i ; z = - 2 - 2i ; z = 4 + 4i

Im (z)

Re (z)O

z = 1 - 2i ; z = - 2i ; z = - 5 - 2i

2 + i4 - i4 - 7

2i

- 2 + 72i

x = 3 e y = - 2x = ¿ 2 e y = - 3x = - 1

2 e y = 0

Pág. 187

zC = 2 + 4i

- 3 - i2i

9 - i

Pág. 186

√102

+ √102 i e - √10

2- √10

2 i

- 1 + 2i e - 1 - 2i

1 + 2i e - 1 + 2ia = 0 e b = 2 + √5

a å R e b = 2

a = - 23 e b = 3

zB = -√5 i

Im (z)

Re (z)O

-2


264 SoluçõesN

EMA


78.

79.

Tarefa 16

1.2.

2.

3.1.

3.2. 3.3.

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5. 4.6.

Tarefa 17 5.1. 5.2. 5.3.

Tarefa 18

1.

2.

3.1. 3.2.

3.3.

3.4.

4.1. 2.° Q porque a imagem geométrica de u é o ponto

.

4.2. A imagem geométrica de u pertence à circunferência C1 .

Tarefa 19 1.1. 2

1.2.

1.3.

1.4.1.

1.4.2.

1.5.

2.

3.

4.1.

4.2.

4.3. 0

4.4.

80.

Pág. 195

y = - x

k = √3 › k = -√3z = √2 -√2 i › z = -√2 + √2 i

Pág. 196

z = 2 + 2√3 i e w = 72+ 7√3

2 i

P (4 cos q , 4 sin q) e Q (7 cos q , 7 sin q)

q = p2

q = p

q å p , 3p2 q = p

4 › q = 5p

4

(- 2√3 , 2)

Pág. 198

tg q = √34p3

+ 2kp , k å Z

z1 = 2 cis 4p3 z1 = 2 cis - 2p3 z2 = 1 -√3 i

p2

p

a = - 212 e b = - 3

a = - 6 e b = - 3a = 6 e b = - 2z å {2 + i , 2 - i}z å 17 , -

57 i

z å {- 2i , i}z å - 13 iz å {0 , -√5 i , √5 i}z å {2 , - i , i}

a = - 52

Pág. 194

P (z) = (z - i) (z + i) (z - 2i) (z + 2i)

3p2

Pág. 199

zA = 2 cis p3 ; zB = 2 cis 2p3 ; zC = 2 cis 4p3 ; zD = 2 cis 5p3

x å {1 , -√2 i , √2 i}

Número complexo Módulo

Argumentopositivomínimo

Argumentoprincipal

1 + i √2p4

p4

- 2 + 2i 2√23p4

3p4

3 + √3 i 2√3p6

p6

1 + √3 i 2p3

p3

√102

- √102

i √57p4

- p4

-√2 -√6 i 2√24p3

- 2p3

3√32

- 32

i 3 11p6

- p6

Número complexo Módulo Argumento em

[0 , 2p[

z1 √13 0

z2 4p2

z3 2 p

z4 3 3p2

Imagem geométrica

Número complexo

A - w

B w

C w + 1

D 12

w

E w + i


265N

EMA

12-P

2 ©

Por

to E

dito

ra

81.1.

81.2.

81.3.

81.4.

81.5.

82.1.

82.2.

82.3.

82.4.

82.5.

82.6.

Tarefa 20

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

1.5.

2.1.

2.2.

2.3.

3.1. 3.2.

4.1. 4.2.

4.3.

83.2.

84.1.

84.2.

84.3.

84.4.

85.1.

85.2.

85.3.

86.1.

86.2.

86.3.

87.

88. 0 radianos.

89.1.

89.2.1.

89.2.2.

90.1. 3.° Q 90.2. 4.° Q 90.3. 1.° Q 90.4. 2.° Q

91. O ponto D .

92. ;

93.

95.1.

95.2.

95.3.

96.1.

96.2.

96.3. .

zA = 2 ; zB = - 1 +√3 i ; zC = - 1 -√3 i

zB = 2 cis 2p3 ; zD = 2 cis 7p6 ; zE = 2 cis 5p3 ; zF = 2 cis p6z = cis (p + a)

z = cis (- a)

z = cis p2 - aPág. 201

5p3

z = 2 cis p3 (1.° Q) ; - z = 2 cis 2p3 (2.° Q)

z = 3 cis 8p9 (2.° Q) ; - z = 3 cis p9 (1.° Q)

z = 2 cis - 3p4 (3.° Q) ; - z = 2 cis 7p4 (4.° Q)

z = cis 6p7 (2.° Q) ; - z = cis p7 (1.° Q)

a = p2

a å - 5p6 , p6

a = - 7p12

Pág. 202

cis p2√2 cis 39p20 6 cis 3p4

4 cis 11p15

Pág. 203

z = 2 cis p6 ; t =√24

+ √24 i

√6 -√24 + √6 +√2

4 icis 5p12

Pág. 204

zC = 3 cis 3p4 ; zD = 3 cis 9p10zE = 3 cis - p4 ; zF = 3 cis - p10z2

Pág. 205

12 cis - 17p21

z = 2√2 cis 3p4 z = 10 cis 11p6 z = cis p4z = 8√2 cis 4p3 z = √7 cis 3p2 z = √p cis (0)

Pág. 200

z = 3 cis p3w = 3 cis 2p3 z + w = 3√3 cis p2z - w = 3 cis 0

w = 3 cis 4p3 a å {4p , 14p , 24p}

a å 3p2 , 23p2 , 43p

2 a å p4 ,

21p4 , 41p

4 , 61p

4 , 81p

4

3p43p2p

4 cis 9p7 12 cis 11p21

5p4

p3

√6 +√24 + √6 -√2

4 icis p12sin p12 =

√6 -√24

e cos p12 =√6 +√2

4


266 SoluçõesN

EMA


Tarefa 21

1.1. ;

1.2.

1.5.

2.1. 2.2. 2.3. 2.4.

Tarefa 22 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5.

2.1.

2.2.1.

Tarefa 23

1.1.

3.

4.2.

4.3. Não

99.1. 99.2.

100.

101.1.

101.2. ;

102.1.

103.1.

103.2.

104.1.

104.2.1.

104.2.2.

104.2.3.

105.1.

105.2.

106.1. 4.° Q

106.2.

107.1.

107.2.

107.3.

108.1.

108.2.

108.3.

108.4.

108.5.

a = p4 ; b = 3p

4

zA = 2 cis p4 ; zB = 2 cis 11p12 ; zC = 2 cis 19p12 zA' = 2 cis p2 ; zB' = 2 cis 7p6 ; zC' = 2 cis 11p6 zA'' = 2 cis (p) ; zB'' = 2 cis 5p3 ; zC'' = 2 cis p3

Pág. 209

z1 = 2 cis 2p3 ; z2 = 2 cis 7p6 ; z3 = 2 cis

5p3

z = 16 + 16√3 i

Im (z)

Re (z)O2

z0z1

z2

Pág. 210

n = 532 cis p

(w1)3 = (w2)

3 ; z = 8i

Pág. 211

w = 2 cis 3p4 z0 = √4 2 cis 3p16 ; z1 = √4 2 cis 11p16 z2 = √4 2 cis 19p16 ; z3 = √4 2 cis 27p16 z = 16 cis p32 cis p21z0 = 2√2 cis p14 ; z1 = 2√2 cis

15p14

Pág. 212

cis p2cis p10cis 13p10 cis - 9p10

2 cis 31p24 n = 24

Pág. 213

17p15

z3 = 8 cis (p) ; z4 = 16 cis 4p3 Módulos: r = 2 ; argumentos: r = p

3

n = 3n = 5n = 8n = 11

Pág. 208

z1z4z5z1z4

z = 2 cis p3 ; z2 = 4 cis 2p3

Pág. 206

cis p3 ; cis (p) ; cis 5p3

√2 cis p8 ; √2 cis 5p8 ; √2 cis

9p8 ; √2 cis

13p8

2 cis 5p16 ; 2 cis 13p16 ; 2 cis

21p16 ; 2 cis

29p16

z å 4 cis 3p8 ; 4 cis 7p8 ; 4 cis

11p8 ; 4 cis

15p8

z å √4 2 cis 5p8 ; √4 2 cis 13p8

z å 0 ; cis p6 ; cis 5p6 ; cis

3p2

z å - 1 ; 0 ; 12 + √32 i ; 1

2- √32 i

z å √2 cis p12 ; √2 cis 7p12 ; √2 cis

13p12 ; √2 cis

19p12

(z = w)

wn = 12 cis p3n

w = 12

cis p3 w2 w3 w4 … w7 w8 … wn

Módulo 12

14

18

116

… 1128

1256

… 12n

Um argumentop3

2p3

3p3

4p3

… 7p3

8p3

…np3


267N

EMA

12-P

2 ©

Por

to E

dito

ra

109.1.

109.2.

110.1.

110.2. ;

Tarefa 24

1.

2.1.1.

2.1.2.

2.1.3.

2.1.4.

2.2.1.

2.2.2.

Tarefa 25 1.1. Ponto D1.2. Ponto A1.3. Ponto D1.4. Ponto C

2.

3.1. Ponto A3.2. Ponto F

4.1. 4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

111.1.

111.2.

111.3.

111.4.

112.1.112.2.

Im (z)

Re (z)O 4-4

8 (zA)2

(zE)2(zF)2

Im (z)

Re (z)O

-0,5

0,51-—4

1—zA 1—zE

1—zF

1—4

Pág. 216

AB = \zA - zB|= 2

A'(- 1 , -√3) ; B'(2 , 0) ; C'(- 1 , √3)

n = 6

z3 = √2 cis p2 ; z4 = √2 cis 5p6 z5 = √2 cis 7p6 ; z6 = √2 cis 3p2

Pág. 215

w = 2√2 cis 3p4 E'(2 , 0) ; F'(0 , - 2) ; A'(- 2 , 2)

E' (0 , 2) ; F' (- 2 , 0) ; A' (2 , - 2)

E'(1 , √3) ; F'(- 1 , √3) ; A'(1 -√3 , 1 +√3)E' (2 , 1) ; F' (0 , 3) ; A' (- 2 , - 1)

A (- 2 , 0) ; B (1 , -√3) ; C (1 , √3)

Pág. 214

\z|= 2Im (z) = 4\z|= 4 ‹ 0 ≤ arg (z) ≤ p

4

arg (z - zA) ≤ p4\z - zc|= \z - zB|

Pág. 217

Im (z)

Re (z)O2

Im (z)

Re (z)O 41

Im (z)

Re (z)O1

-2

Im (z)

Re (z)O

1

-1

\z|= 3\z - 3 + i|= 2


268 SoluçõesN

EMA


113.1.

113.2.

113.3.

114.1. Coroa circular centrada na imagem geométrica dee de raios 1 e 3 .

114.2. Mediatriz do segmento de reta de extremos e.




115.1.

115.2.

115.3.

115.4.

115.5.

116.1.

116.2.

116.3.

117.1. Semieixo real negativo. 117.2. Eixo imaginário. 117.3. Bissetriz do 2.° quadrante. 117.4. 1.° quadrante.

118.1.

118.2.

119.

Proposta 1 (C)

Proposta 2 (D)

Proposta 3 (B)

Proposta 4 (C)

Im (z)

Re (z)O 1-3 -1

Im (z)

Re (z)O

2

-1

Im (z)

Re (z)O 4

1

-2

-5

Im (z)

Re (z)O 2

-1

Im (z)

Re (z)O 4-1

Pág. 220

\z|≤ \z - 4 - 4i|- 1 ≤ Im (z) ≤ 1 ‹ - 2 ≤ Re (z) ≤ 2

\z|≤ \z - 3 - 3i| ‹ \z|≤ \z + 3 - 3i| ‹ Im (z) ≥ 0

Pág. 221

\z - 1 - 2i|< √5

\z - 2i|≤ 2 ‹ \z - 3i|> 1

\z - 3|< 5 ‹ \z + 3|< 5

Pág. 219

- 2 + i

(0 , 0)(4 , 0)

(0 , 1)(1 , 0)

(0 , - 1)(0 , 1)

(1 , - 1)(- 3 , 0)

p3≤ arg (z) ≤ p

25p4

≤ arg (z) ≤ 7p4

\z - 2 - 2√3 i|< 2√3 ‹ p3< arg (z - 2 - 2√3 i) < p

Pág. 224

Pág. 218

Pág. 225


269N

EMA

12-P

2 ©

Por

to E

dito

ra

Proposta 5 (A)

Proposta 6 1.1. 1.2. 1.3.

2.1. 2.° Q 2.2. 3.° Q

Proposta 8

1. A imagem geométrica do complexo z é o vértice C e aimagem geométrica do complexo w é o vértice H .

Proposta 9

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Proposta 10

2.

3.

Proposta 11

1.

2.

3.

Proposta 12

2. 23

Proposta 13

1.

Proposta 14

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Proposta 15

1.

2. " Simetria em relação ao eixo real

" Simetria em relação à origem do referencial

" Rotação de 90° centrada na origem

Proposta 16 (C)

z = 1 + 13 i

z å {- 3 + 2i , - 3 - 2i}

z å 0 , √62 - √62i , - √6

2+ √62i

z å √102 , - √102 , 2i , - 2i

z å {2 + i , 2 - i}z å {i , √5 i , -√5 i}

a = - 1 ; b = 2 ; c = - 6

z å {i , - i , 1 +√5 i , 1 -√5 i}

k = 14

k = - 1

k = - 16

Pág. 227

zB = 4 + 4i e zC = - 2 + 3i

z = 4√2 cis p4

z = 5 cis (p)

z = 6 cis 2p3

z = p cis p2

z = √2 cis 3p2

z = 2√3 cis 7p6

z = 2√2 cis 11p6

z = 2 cis 3p4

z = cis 5p6

z = √22 cis 3p4

Pág. 228

\z1|= √5 ; \z2|= 3 ; \z3|= √2

- 8 + 4i6 + 3i3 - i

Pág. 226

z = - 1 - iz = 5 + 5i

z = 13 i

Im (z)

Re (z)O 2

3

1

1

z2

z1z3

z1- z3iz2

Im (z)

Re (z)O

z2

z1

z1

z3

-z3

iz2

-


270 SoluçõesN

EMA


Proposta 17 (A)

Proposta 18 (C)

Proposta 19 (C)

Proposta 20

1.

2.

3.

Proposta 21

1.

2.

Proposta 22

2.

Proposta 23

2.

Proposta 24

Proposta 25

1.

2. .

Proposta 26

1.

4.

Proposta 27

1.

2.

Proposta 28

1.1.

1.2.

1.3.

1.4.

Proposta 29

1.

2.

3.

4.

5. ;

6. ;

Proposta 30

2.

Proposta 31

1.

2.

3.

Proposta 32

1.

2.

n = 3

z å √3 2 cis p12 ; √3 2 cis 3p4 ; √

3 2 cis 17p12

tg q = - 211

Pág. 230

B1 - 3√32

, 3 +√32

- 1 +√34

+ 1 +√34

i ; √22 cis 5p12

sin 5p12 =√2 +√6

4 e cos 5p12 =

- √2 +√64

z2 = - 3 + 4i ; z3 = - 4 - 3i ; z4 = 3 - 4i

w = 4√3 - 35

+ 3√3 + 45

i

n = 3

n = 6

Pág. 231

- 14- 14i

√28 cis 11p12

- 8 - 8√3 i

cis 5p14

z å 2 cis p4 ; 2 cis 3p4 ; 2 cis

5p4 ; 2 cis

7p4

z å √6 2 cis p12 ; √6 2 cis 3p4 ; √

6 2 cis 17p12 z å 0 , cis - p8 , cis

3p8 , cis

7p8 , cis

11p8

z å 0 ; 10√2 cis p20 ; 10√2 cis 9p20

10√2 cis 17p20 ;

10√2 cis 5p4 ;

10√2 cis 33p20

z å 612√2 cis p16 ; 612√2 cis 9p16

612√2 cis 17p16 ; 6

12√2 cis 25p16

Pág. 229

32 cis 4p3 ; - 16 - 16√3 i

4√2 cis 5p4

2 cis 23p15

z = - √34

+ 14i ; w = cis 5p3

- 16√3 + 16i

27√22

- 27√22

i

z1 = 3 cis 23p12 ; z2 = 3 cis 7p12

P = 9√3

Pág. 232

zC = - 2√3 - 2i ; zD = 32 - 3√32

i

z å 0 , 2 cis 0 , 2 cis p2 , 2 cis (p) , 2 cis 3p2

Im (z)

Re (z)O

BA

DC


271N

EMA

12-P

2 ©

Por

to E

dito

ra

Proposta 33 (C)

Proposta 34 (A)

Proposta 35 (C)

Proposta 36

‹‹

Proposta 37

1.

2.2.

Proposta 38

1.

2.

Proposta 39

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Pág. 234

Im (z)

Re (z)O

2

1

Im (z)

Re (z)O

3

1

-1

Pág. 233

\z - 3 + 2i|≤ √13 ‹ Im (z) ≥ - 2 ‹ \z|≥ \z - 3 + 2i|

zM = 3√32 cis q + p6

p12

≤ arg (z) ≤ 5p12 ‹ 3p

4≤ arg (z - zA) ≤ 13p

12

Im (z) = 2 ‹ 1 ≤ Re (z) ≤ 4

√2 ≤ \z|≤ 3 ‹ arg (z) = 3p4

2 Re (z) + 3 Im (z) ≥ 0

Im (z)

Re (z)O 2

1

Im (z)

Re (z)O

2

1

-1

Im (z)

Re (z)O

-2

2

Im (z)

Re (z)O4


272 SoluçõesN

EMA


7.

Proposta 40

1.

2. Pertence

Proposta 41

1.

2.

Proposta 42

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1. (B)

2. (A)

3. (C)

4. (D)

5. (B)

1.1. 1.2.

2.1.

2.2.

2.3.

3.

4.1.

4.2.

2 ≤ \z|≤ 3 ‹ - 3p4

≤ arg (z) ≤ p4

\z - 3 - 4i|≥ 2 ‹ p4≤ arg (z - 1) ≤ p

2 ‹ Im (z) < 4 ›

› \z - 3 - 4i|≤ 2 ‹ 0 ≤ arg (z - 1) ≤ p4

Pág. 236

Pág. 237

a = 1a å {- 3 , 3}

n = 7z3 = -√2 + √2 i

z5 = 2 cis 17p12

2 cis p2

√21

- √32

Im (z)

Re (z)O 1

1

\z + 2 - 4i|≤ \z - 2 - 2i| ‹ 2 ≤ \z - 2 - 4i|≤ 4

zC = 2 - 2√3 i e zA = 2 + 2√3 i

\z|≤ 4 ‹ Re (z) ≥ 2

Pág. 235

\z|≥ 1 ‹ \Re (z)|≤ 3 ‹ \Im (z)|≤ 3

\z - 3 - 2i|≥ 2 ‹ 3 ≤ Re (z) ≤ 5 ‹ 2 ≤ Im (z) ≤ 4

\z|≥ 2√2 ‹ p4≤ arg (z) ≤ p

2 › [\z|≤ 2√2 ‹ Im (z) ≤ 0]

\z|≤ √8 ‹ p4≤ arg (z) ≤ 11p

12


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206 Soluções - Porto Editora