52

2.3.6 - Determinação de Raízes de Polinômios Polinômio é um caso particular de equação não-linear, portanto o que foi visto

para raízes de equações não-lineares pode ser estendido para polinômios. Será visto algumas características específicas de polinômios. Como viu-se, para a solução de raízes procura-se dividir o processo em duas fases: localização de raízes e determinação de raízes.

Localização de Raízes Teorema Fundamental da Algebra

Se )(xp for um polinômio de grau 1≥n ou seja no aaa ,...,, 1 , reais ou complexos, com 0≠na , então )(xp tem pelo menos um zero, ou seja ∃ um C∈α tal que

0)( =αp .

Regras de Sinal de Descartes a) Raízes Reais Positivas: O número de zeros reais positivos (pos) de um )(xp , com

coeficientes reais, não excede o número (v) de variações de sinal dos coeficientes e (v-pos) é inteiro, par e não negativo.

Exemplo: 1432)( 345 ++−−= xxxxxp

⎩⎨⎧

=→=−=→=−

=0220

2posposvseposposvse

v

b) Raízes Reais Negativas: Toma-se )( xp − e utiliza-se a regra para raízes positívas.

Exemplo: 1432)(

1432)(345

345

=−+−−=−

++−−=

xxxxxpxxxxxp

⎩⎨⎧

=→=−=→=−

=1230

3negnegvsenegnegvse

v

Teorema de Bolzano

Seja )(xp um polinômio com coeficientes reais ],[ bax∈ .

Se ∃→<⋅ 0)()( bpap um número impar de raízes reais em ],[ ba .

53

Se ∃→>⋅ 0)()( bpap um número par ou não existe raízes reais em ],[ ba . Determinação de Raízes

Como polinômios são casos particulares de equações não-lineares, todos os métodos da Bissecção, MIL, N-R e Secante já estudados também podem ser utilizados na determinação de raízes.

Método de Birge-Vieta

O método de Birge-Vieta é uma variante do método de Newton-Raphson e utilizado associado ao Método de Horner para o cálculo de valores de polinômios se torna computacionalmente mais eficiente. Se )(xp for um polinômio, o processo iterativo do Método de Newton-Raphson passa a ser:

RRxx kk −=+1

Onde:

R é o resta da divisão )(

)(

kxxxp

−

R é o resta da divisão )(

)('

kxxxp

−

Como viu-se os valores de R e R podem ser calculados de forma eficiente através do Método de Horner. Exemplo Obter utilizando o Método de Birge-Vieta uma raíz de 123 −+ xx , com 0=ox e três iterações, utilizando o Método de Horner.

1)2)0(()( −++= xxxxp Primeira Iteração

2

213131121110

1

)(

1

211

322

33

=

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=×+−=+==×+=+==×+=+=

==

R

xbabxbabxbab

ab

xp

ooo

o

oo

54

551232111

1)(

211

322

33' =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=×+=+==×+=+=

==R

xcbcxcbc

bcxp

o

oo

6,05211 =−=−=

RRxx o

Segunda Iteração

416,0

416,06,036,2136,26,06,02

6,06,0101

)(

11

1211

1322

33

1 =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=×+−=+==×+=+=

=×+=+===

R

xbabxbabxbab

ab

xp

oo

08,308,36,02,136,2

2,16,016,01

)(

1211

1322

33

1' =

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=×+=+==×+=+=

==R

xcbcxcbc

bcxp

465,008,3416,06,012 =−=−=

RRxx

Terceira Iteração

454,03 =x Exemplo: O preço à vista (PV) de uma mercadoria é R$ 300,00, que pode ser financiado com uma entrada (E) de R$ 100,00 e mais 04 (p) prestações mensais de R$ 80,00 (PM). Qual a taxa de juros (J).

JJ

PMEPV p−+−=

− )1(1

Exemplo – Determine a raiz do polinômio com 0=ox e utilizando o Método de Birge-Viete e o Método de Horner.

010005,35,2)( 2345 =++++−= xxxxxxp

55

Rxcbcxcbcxcbcxcbc

bc

Rxbbxbbxbbxbb

xbb

xxxxx

o

=+=

+=+=+=

=

=+=+=+=+=

+−==

=++++−

211

322

433

544

55

1

21

32

43

4

5

1000

5,25,35,2

01)0)0)0)5,35,2((((

2.3.7 - Determinação de Raízes Complexas Teorema

Se os coeficientes de p(x) são reais, então as raízes complexas deste polinômio são complexas conjugadas aos pares, isto é, se 111 jba +=α é um zero de p(x) com multiplicidade m, então 112 jba −=α também e uma raiz com multiplicidade m.

A partir do teorema, pode-se perceber que uma maneira de encontrar-se raízes complexas é determinar o polinômio do segundo grau que é formado pelo produto das raízes complexas conjugadas. Define-se então:

qpxxjbaxjbaxxd ++=−−⋅+−= 2)]([)]([)( sendo )(xd um fator quadrático de )(xp e p e q números reais. Assim, o polinômio genérico o

nn

nn axaxaxaxp ++++= −

− 11

1 ......)( , pode ser escrito da forma:2

)()()()........)(()( 1

22

2

xQxdxRbxbxbqpxxxp o

nn ++++++= −−

56

Se )(xp não for divisível por )(xd , tem-se um resto 21 rxr + . Se )(xp for divisível por )(xd , tem-se 021 == rr e as duas raízes de )(xd são raízes de )(xp .

Repetindo-se o processo em )(xQ , obtém-se mais duas raízes de )(xp . Assim sucessivamente até que )(xQ seja um polinômio de grau 2≤ .

Método de Lin

A idéia do Método de Lin é obter-se iterativamente os coeficientes p e q do polinômio do segundo grau )(xd e, assim, obter as raízes complexas conjugadas utilizando a fórmula de Báskara.

Algoritmo

1. Tomar valores iniciais kp e kq . 2. Procedimento Iterativo

a) Dividir on

nn

n axaxaxaxp ++++= −− 1

11 ......)( por kk qxpxxd ++= 2)( ,

através do método de Briot-Ruffini

21

3211

122

11

bqbpabbqbpab

bqbpabbpab

ab

kkoo

kk

nknknn

nknn

nn

−−=−−=

−−=−=

=

−−−

−−

M

b) Efetuar:

2

3111

21

bbqa

p

ba

q

kk

ok

++

+

−=

=

57

c) Calcular o desvio kkkk qqpp −+− ++ 11 . Se desvio<ε , então

112

++ ++ kk qxpx é o fator quadrático procurado e passe ao passo 3. Em caso contrário volte ao passo 2.

3. Aplique a fórmula de Báskara e obtenha duas raízes. 4. Dividir )(xp por 11

2++ ++ kk qxpx e volte ao passo 1 com 2−= nn .

5. Repetir o procedimento até que 2<n .

O método de Newton-Raphson pode também ser utilizado no cálculo de raízes complexas. Basta mudar o algoritmo para aritmética complexa e iniciar com uma solução inicial complexa.

Exemplo:

)()(

22)(22)(

'1

'

2

k

kkk xf

xfxx

xxfxxxf

−=

−=

+−=

+

Para um valor inicial jxo += 0 , tem-se:

jxjx

jxjx

0,10,19973,09983,0

975,0075,175,075,0

4

3

2

1

+=+=

+=+=