27 AAP RPM 2 EM Professor

GOVERNO DO ESTADO DE SO PAULO

SECRETARIA DA EDUCAO

AVALIAO DA APRENDIZAGEM EM PROCESSO

Subsdios para o Professor de Matemtica

2a srie do Ensino Mdio

Prova de Matemtica

Comentrios e reComendaes

PedaggiCas

So Paulo1o Semestre de 2014

6a Edio

27

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Comentrios e Recomendaes Pedaggicas / Avaliao de Matemtica 2a srie do Ensino Mdio2

Avaliao da Aprendizagem em Processo

APRESENTAO A Avaliao da Aprendizagem em Processo se caracteriza como ao desen-volvida de modo colaborativo entre a Coordenadoria de Informao, Monito-ramento e Avaliao Educacional e a Coordenadoria de Gesto da Educao Bsica, que tambm contou com a contribuio de Professores do Ncleo Pe-daggico de diferentes Diretorias de Ensino.

Aplicada desde 2011, abrangeu inicialmente o 6 ano do Ensino Fundamental e a 1 srie do Ensino Mdio. Gradativamente foi expandida para os demais anos/sries (do 6 ao 9 ano do Ensino Fundamental e 1 a 3 srie do Ensino Mdio) com aplicao no incio de cada semestre do ano letivo.

Essa ao, fundamentada no Currculo do Estado de So Paulo, tem como obje-tivo fornecer indicadores qualitativos do processo de aprendizagem do educan-do, a partir de habilidades prescritas no Currculo. Dialoga com as habilidades contidas no SARESP, SAEB, ENEM e tem se mostrado bem avaliada pelos educa-dores da rede estadual. Prope o acompanhamento da aprendizagem das tur-mas e do aluno de forma individualizada, por meio de um instrumento de car-ter diagnstico. Objetiva apoiar e subsidiar os professores de Lngua Portuguesa e de Matemtica que atuam nos Anos Finais do Ensino Fundamental e no Ensino Mdio da Rede Estadual de So Paulo, na elaborao de estratgias para reverter desempenhos insatisfatrios, inclusive em processos de recuperao.

Alm da formulao dos instrumentos de avaliao, na forma de cadernos de provas para os alunos, tambm foram elaborados documentos especficos de orientao para os professores Comentrios e Recomendaes Pedag-gicas contendo o quadro de habilidades, gabaritos, itens, interpretao pe-daggica das alternativas, sugestes de atividades subsequentes s anlises dos resultados e orientao para aplicao e correo das produes textuais. Espera-se que, agregados aos registros que o professor j possui, sejam instru-mentos para a definio de pautas individuais e coletivas que, organizadas em um plano de ao, mobilizem procedimentos, atitudes e conceitos necessrios para as atividades de sala de aula, sobretudo, aquelas relacionadas aos proces-sos de recuperao da aprendizagem.

COORDENADORIA DE INFORMAO, MONItORAMENtO E AvALIAO EDuCACIONAL

COORDENADORIA DE GEStO DA EDuCAO BSICA


3Comentrios e Recomendaes Pedaggicas / Avaliao de Matemtica 2a srie do Ensino Mdio

Avaliao da Aprendizagem em Processo Matemtica

Nos dois segmentos (Ensino Fundamental Anos Finais e Ensino Mdio) ava-liados, as questes foram idealizadas de modo a atender habilidades j de-senvolvidas em perodos anteriores, seja no ano, ou no semestre letivo. Par-ticularmente no 6 ano (5 srie) do EF foram utilizadas as expectativas de aprendizagens contidas na grade do 5 ano (4 srie) do EF.

As questes apresentadas retratam uma parte significativa do que foi previsto no contedo curricular de Matemtica e podero permitir a verificao de al-gumas habilidades que foram ou no desenvolvidas no processo de ensino e aprendizagem.

Composio:

1. Anos/sries participantes: 6 ao 9 anos do Ensino Fundamental; 1 a 3 sries do Ensino Mdio.

2. Composio das provas de Matemtica: 10 questes objetivas e algumas dissertativas.

3. Matrizes de referncia (habilidades/descritores) para a constituio de itens das provas objetivas: Currculo do Estado de So Paulo.

4. Banco de questes: Questes inditas e adaptadas, formalizadas a partir das habilidades pres-critas no Currculo.

EquIPE DE MAtEMtICA



MATRIZ DE REFERNCIA PARA A AVALIAO DIAGNSTICA DE MATEMTICA

2 SRIE - ENSINO MDIO

N doitem Habilidades

1Saber reconhecer padres e regularidades em sequncias num-ricas ou de imagens, expressando-as matematicamente quando possvel.

2 Compreender a construo do grfico de funes do 1 grau, sa-bendo caracterizar crescimento, decrescimento e taxa de variao.

3

Compreender a construo do grfico de funes de 2 grau como expresses de proporcionalidade entre uma grandeza e o quadrado da outra, sabendo caracterizar os intervalos de cresci-mento, os sinais da funo e os valores extremos.

4 Saber utilizar em diferentes contextos as funes de 1 e de 2 graus, explorando especialmente problemas de mximos e mnimos.

5 Conhecer a funo exponencial e suas propriedades relativas ao crescimento ou decrescimento.

6 Saber resolver equaes e inequaes simples, usando proprie-dades de potncias e logaritmos.

7Saber usar de modo sistemtico relaes trigonomtricas funda-mentais entre os elementos de tringulos retngulos, em diferen-tes contextos.

8Conhecer algumas relaes trigonomtricas fundamentais em tringulos no retngulos, especialmente a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos.

9 Saber aplicar as propriedades dos polgonos regulares no proble-ma da pavimentao de superfcies.

10 visualizar as formas espaciais a partir de suas representaes pla-nas, tais como vistas e planificaes.

11 Saber utilizar, em diferentes contextos, funes de 1 e de 2 graus, explorando especialmente problemas de mximos e mnimos.

12Saber usar de modo sistemtico relaes trigonomtricas funda-mentais entre os elementos de tringulos retngulos, em diferen-tes contextos.



Habilidade:Saber reconhecer padres e regularidades em sequncias numricas ou de imagens, ex-pressando-as matematicamente quando possvel.

Questo 01 TesteSuponha que a sequncia de figuras abaixo continue seguindo sempre o mes-mo padro.

Figura 4Figura 3Figura 2Figura 1

Na figura de nmero n, a quantidade b de quadradinhos brancos pode ser dada pela expresso

(A) b = n.

(B) b = 2n.

(C) b = n2 n.

(D) b = n2.

Comentrios e recomendaes pedaggicasO reconhecimento de regularidades uma das habilidades mais importantes da matemtica e do pensamento humano em geral. esse reconhecimento que possibilita que faamos generalizaes, que possamos categorizar ob-jetos e nome-los etc. Por isso, desejvel que questes de observao de padres e regularidades sejam trabalhadas sempre que possvel.

Para que esse reconhecimento de regularidades acontea e seja expresso, necessrio dominar e utilizar alguma forma de linguagem. No caso dessa questo, o reconhecimento do padro e sua expresso algbrica precisam se conjugar para a correta resoluo.

A sequncia s est representada at a quarta figura, mas natural que se avance mais um pouco para averiguar a compreenso global da regularida-de. Esse um processo no guiado explicitamente pela questo, mas que o professor deve estimular em sala de aula quando trabalhar com questes desse tipo.



Figura 5

vamos organizar informaes por meio de uma tabela, para ter um panora-ma das vrias relaes que os alunos podem vir a observar na sequncia de figuras.

posio da figuraquantidade total de quadradinhos

quantidade de quadradinhos

cinzas

b: quantidade de quadradinhos brancos

Figura 1 1 12 = 1 1 1 1 = 0Figura 2 2 22 = 4 2 4 2 = 2Figura 3 3 32 = 9 3 9 3 = 6Figura 4 4 42 = 16 4 16 4 = 12Figura 5 5 52 = 25 5 25 5 = 20Figura n n n2 n n2 n

A linha correspondente figura n, claro, o objetivo da questo. Mas, para chegar l, h observaes anteriores. uma primeira constatao que n, alm de indicar a prpria posio da figura na sequncia, indica tambm a quantidade de quadradinhos que forma o lado das figuras.

Depois, h que se perceber que a quantidade total de quadradinhos da figu-ra o lado n ao quadrado. E, por fim, algo que pode ser percebido numrica ou visualmente que a quantidade de quadradinhos cinzas igual a n.

A partir da, fica fcil concluir que b = n2 n.



Grade de correo

Alternativa Interpretao

(A) b = n

possvel que o aluno no tenha compreendido o que foi pedido. Esta alternativa estaria correta se b representasse a quantidade de quadradinhos cinzas. Mas pode ser tam-bm que o aluno tenha escolhido esta alternativa mera-mente por sua simplicidade, na ausncia de compreenso real da questo.

(B) b = 2nEsta alternativa se adqua perfeitamente terceira figura da sequncia, mas no se ajusta s demais. Eventualmente, tendo percebido essa relao especfica, o aluno pode ter se precipitado na generalizao.

(C) b = n2 nResposta correta. O aluno percebeu o padro e soube es-crev-lo algebricamente. Ou, o que tambm satisfatrio, soube testar qual das alternativas se encaixa em todas as figuras da sequncia.

(D) b = n2 Aqui, o aluno expressou b como sendo a quantidade total de quadradinhos da figura. importante averiguar a corre-ta compreenso do significado de cada varivel.

Algumas referncias

O estudo da temtica em questo pode ser complementado ou retomado observando as respostas apresentadas nos seguintes materiais:

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, volume 1 Situao de Aprendizagem A Sequncias: padres e regularidades

2. lgebra: das variveis s equaes e funes. Eliane Reame de Souza; Maria Ignez de S. v. Diniz, CAEM IME uSP.



Habilidade:Compreender a construo do grfico de funes do 1 grau, sabendo caracterizar cresci-mento, decrescimento e taxa de variao.

Questo 02 TesteO CD (compact disc) foi inventado em 1979, comeou a ser comercializado em 1982 e rapidamente tornou-se muito popular. Para se ter ideia, em 1986 o n-mero de vendas chegou a 53 milhes e, a partir da, foi aumentando cerca de 60 milhes de unidades ao ano at 1992.

O grfico que melhor representa as vendas de CDs entre os anos de 1986 e 1992

y

x x

x x

y

y y

413 milhes

53 milhes

1986 1992

1986 1992 1986 1992

1986 1992

413 milhes

53 milhes

413 milhes

53 milhes

413 milhes

53 milhes

(A) (B)

(C) (D)

(Adaptada de CONNALLY E. et all. Functions Modeling Change. 2nd edition, John Wiley & Sons Inc., 2004.)



Comentrios e recomendaes pedaggicas

O estudo das funes um dos assuntos da matemtica onde fica mais evi-dente a necessidade de trabalhar, simultaneamente, com diversos tipos de representao: verbal, numrica, grfica, algbrica. A verdadeira apreenso do conceito s pode se dar quando ele cercado por esses diversos tipos de representao.

uma das mais importantes caractersticas de uma funo afim seu cresci-mento uniforme. O que caracteriza com exatido essa propriedade a taxa mdia de variao constante:

T.M.V. = f (x2) f (x1) = ax2 + b ax1 b = ax2 x1 x2 x1

Graficamente, isso se expressa por um acrscimo (ou decrscimo) constante em y, a cada unidade que se avana em x. A menos que o grfico seja uma reta, isso no acontece.

7

6

5

4

3

2

1

0

0-1 1 2 3 4

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

0 a 1 2 3 4 5

Na situao-problema apresentada, a expresso verbal da taxa mdia de va-riao constante a frase foi aumentando cerca de 60 milhes de unidades ao ano.



Grade de correo


(A)

Resposta correta. O aluno associou corretamente uma fun-o afim crescente, cujo grfico uma reta, taxa mdia de variao constante, expressa pela frase foi aumentando cer-ca de 60 milhes de unidades ao ano.

(B)

O aluno compreendeu corretamente o carter crescente da funo que associa o nmero de vendas de CDs ao tempo, ex-presso em anos. Porm, a informao foi aumentando cerca de 60 milhes de unidades ao ano no foi significativa para ele, a ponto de que associasse esse tipo de crescimento a uma funo afim, expressa graficamente por uma reta.

(C)

Nesta alternativa, pode-se observar o mesmo que na alterna-tiva anterior. Mas ainda h um equvoco adicional, de inter-pretao, ao associar os 53 milhes de CDs vendidos ao ano de 1982.

(D)Neste caso, o aluno no identificou o carter crescente da fun-o que modela a situao proposta ou, se identificou, no sabe qual a expresso grfica desse crescimento.

Algumas referncias

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, volume 2 Situao de Aprendizagem 1 Funes polinomiais de 1 grau: repre-

sentao grfica, proporcionalidade, crescimento e decrescimento

2. Funes elementares, equaes e inequaes: uma abordagem utilizando microcomputador. Maria Cristina B. Barufi; Maira Mendias Lauro, CAEM IME uSP.




Habilidade:Compreender a construo do grfico de funes de 2 grau como expresses de propor-cionalidade entre uma grandeza e o quadrado da outra, sabendo caracterizar os intervalos de crescimento, os sinais da funo e os valores extremos.

Questo 03 TesteA nica expresso algbrica que pode corresponder ao grfico abaixo

(A) y = - x2 + 2x + 8.

(B) y = 2x2 8.

(C) y = x2 2x 8.

(D) y = 2x2 4x 16.

y

x-4

4

2

0

-2

-4

-6

-8

-2 0 2 4




O esboo do grfico de uma funo quadrtica, diferentemente do que acon-tece numa funo afim, exige a anlise de diversos parmetros. Numa funo afim, bastam dois pontos para que a reta fique inteiramente determinada. No caso da funo quadrtica, por dois pontos passam diversas parbolas e, mesmo aumentando a quantidade de pontos, isso pode no ajudar a carac-terizar o grfico.

importante, portanto, analisar caractersticas e pontos especiais do grfico: concavidade, razes, ponto em que corta o eixo das ordenadas e vrtice.

No caso desta questo, o esboo do grfico representa uma funo quadrti-ca de concavidade para cima (a > 0), razes 2 e 4, passando por (0, 8) e com vrtice de abscissa 1.

A anlise da concavidade j permite eliminar a alternativa (A). O estudo das razes permite eliminar (B). Resta analisar (C) e (D), mas, dentre essas, apenas (C) expressa uma funo que passa por (0, 8).

Grade de correo


(A) y = x2 + 2x + 8 O aluno provavelmente no associa o sinal do coefi-ciente de x2 concavidade da parbola.

(B) y = 2x2 8

Neste caso, o aluno no percebe os nmeros 2 e 4 como razes da funo. talvez no tenha assimilado o conceito de raiz. Ou pode ser que sua compreenso do plano cartesiano e sua leitura do grfico seja falha, de modo que no consiga perceber, nos pontos em que o grfico cruza o eixo das abscissas, a ordenada zero. Ou ainda, no sabe determinar as razes da fun-o que consta na alternativa.Em qualquer dos casos, ficam apontadas dificuldades importantes, que merecem ser revistas e trabalhadas.

(C) y = x2 2x 8

Resposta correta. O aluno identificou corretamente todos os parmetros que deviam ser avaliados. Ou, o que tambm satisfatrio e at equivalente, testou corretamente dos dados do grfico nas expresses al-gbricas das alternativas.

(D) y = 2x2 4x 16

Esta alternativa coincide em muitos aspectos com a al-ternativa correta, de modo que isso pode indicar certo domnio da habilidade que est sendo avaliada. No entanto, faltou exaurir os parmetros que precisavam ser analisados. A funo que tem tal expresso no tem grfico passando por (0,8).



Algumas referncias

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, volume 2 Situao de Aprendizagem 2 Funes polinomiais de 2 grau Situao de Aprendizagem 3 Mximos e Mnimos

2. Funes elementares, equaes e inequaes: uma abordagem utilizando microcomputador. Maria Cristina B. Barufi; Maira Mendias Lauro, CAEM.


Habilidade:Saber utilizar em diferentes contextos s funes de 1 e de 2 graus, explorando especial-mente problemas de mximos e mnimos.

Questo 04 TesteO preo, em reais, de uma pedra preciosa dado pelo quadrado de sua massa, em gramas. Assim, uma pedra de 7 gramas, custa R$ 49,00. Se essa pedra se partisse em dois pedaos de, por exemplo, 1 grama e 6 gramas, haveria um prejuzo de R$12,00, pois o preo que se poderia obter pelos dois pedaos juntos seria calculado assim: 12 + 62 = 37.

Desse modo, se a pedra de fato se partir em dois pedaos, o prejuzo mximo que se pode obter de

(A) R$ 20,00.

(B) R$ 24,00.

(C) R$ 24,50.

(D) R$ 29,50.

Comentrios e recomendaes pedaggicasOs problemas de mximos e mnimos so de fundamental importncia em diversas aplicaes da matemtica, tais como engenharia ou economia. A funo quadrtica um modelo que se ajusta bem a muitas dessas aplica-es, considerado o domnio adequado.

Nesta questo, a aplicao do modelo pode ser feita traduzindo a situao para a linguagem algbrica:

Massa do pedao 1: x gramas Preo: x2 reais

Massa do pedao 2: (7 x) gramas Preo: (7 x)2 = 49 14x + x2 reais



O prejuzo P obtido subtraindo de 49 reais o preo de cada novo pedao de pedra:

P = 49 x2 (49 14x + x2) = 2x2 + 14x

O grfico de P = 2x2 + 14x uma parbola de concavidade para baixo, indi-cando que, de fato, h um prejuzo mximo. usando a frmula para a abscis-sa do vrtice, sai que o prejuzo mximo quando x = 14/4 = 3,5 gramas. E, nesse caso, o prejuzo de P = 2 (3,5)2 + 14(3,5) = 24,50 reais.

Essa uma resoluo usual, do tipo que consta na maior parte dos ma-teriais didticos, mas h muitas variaes possveis. O aluno pode, por exemplo, calcular diretamente a ordenada do vrtice ou, ao contrrio, pode escolher um caminho indireto, calculando as coordenadas do vrti-ce por meio da mdia das razes da funo (0 e 7). Ou ainda, o aluno pode resolver o problema sem fazer uso da lgebra, mas analisando a variao numericamente:

Pedao 1 Pedao 2 Novo preo Prejuzo

1 grama 6 gramas 1 + 36 = 37 49 37 = 12

2 gramas 5 gramas 4 + 25 = 29 49 29 = 20

3 gramas 4 gramas 9 + 16 = 25 49 25 = 24

A partir da, se a anlise continuar se concentrando em nmeros inteiros, ento a tabela comear a repetir os valores de prejuzo. Isso pode fazer com que o aluno perceba uma tendncia, que : o prejuzo aumenta medida que as massas dos dois pedaos se aproximam. Como a massa no necessa-riamente um nmero inteiro, o equilbrio total se dar quando cada novo pedao tiver 3,5 gramas.

Pedao 1 Pedao 2 Novo preo Prejuzo

3,5 grama 3,5 gramas 12,25 + 12,25 = 24,50 49 24,50 = 24,50

Estratgias como essas devem ser valorizadas e recomendvel que o professor mostre sua relao com a abordagem usual, seu alcance e suas limitaes.



Grade de correo


(A) R$ 20,00

O aluno pode ter experimentado um nico par de valores para os novos pedao de pedra, tais como 2 e 5 gramas, caso em que, de fato, o prejuzo de 20 reais. No entanto, esse aluno pode no ter percebido a variao: as massas dos dois pedaos de pedra so desconhecidos e, portanto, a anlise deve observar como podem variar.

(B) R$ 24,00

O aluno pode ter utilizado a estratgia exposta nos comen-trios, porm sem se atentar para o fato de que a massa no uma grandeza discreta, de modo que no se pode limitar a anlise aos inteiros.

(C) R$ 24,50 Resposta correta. O aluno utilizou com sucesso quer a es-tratgia usual, quer uma estratgia pessoal diferente.

(D) R$ 29,50

O aluno pode ter assinalado esta alternativa simplesmen-te porque a maior, uma vez que o problema perguntava pelo mximo prejuzo. Isso indica que o aluno no conside-rou a estrutura da situao problema como uma limitante para esse valor mximo.

Algumas referncias

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, volume 2 Situao de Aprendizagem 2 Funes polinomiais de 2 grau Situao de Aprendizagem 3 Mximos e Mnimos Situao de Aprendizagem 4 Situaes-problema: Modelos Mate-

mticos




Habilidade:Conhecer a funo exponencial e suas propriedades relativas ao crescimento ou decresci-mento.

Questo 05 TesteLeia as situaes descritas abaixo:

I. um imvel valoriza-se 20% a cada ano.II. uma colnia de bactrias duplica o nmero de bactrias a cada hora.

correto afirmar que

(A) ambas as situaes se referem a grandezas que crescem exponencialmente.

(B) apenas a situao I se refere a uma grandeza que cresce exponencialmente.

(C) apenas a situao II se refere a uma grandeza que cresce exponencialmente.

(D) nenhuma das situaes se refere a grandezas que crescem exponencialmente.


O que caracteriza uma funo exponencial o fator de crescimento constante. Num domnio discreto, isso equivale a observar uma PG, em que cada novo termo o anterior multiplicado pela razo constante, que seria esse tal fator de crescimento.

De modo geral, o domnio de uma funo exponencial pode ser todo o con-junto dos nmeros reais, ento possvel descrever esse fator de crescimento

constante pela razo f(x+1)f(x)

, obtida a partir de qualquer valor de x.

Nesta questo, ainda que o aluno desconhea a nomenclatura fator de cres-cimento, o que se espera que ele tenha internalizado a noo de que, se possvel obter f(x+1) multiplicando f(x) por uma constante, ento, produz-se uma potncia e, por esse motivo, tem-se uma funo exponencial:

f(x+1) = a f(x)

f(x+2) = a f(x+1) = a2 f(x)

f(x+3) = a f(x+2) = a3 f(x)

...

f(x+n)= a f(x+n 1) = an f(x)

Nesta questo, a situao II apresenta um fator de crescimento constante bastante evidente, j que a cada hora, o nmero de bactrias fica multiplica-



do por 2. A funo ser f(x) = n 2x, onde n a quantidade inicial de bactrias, que no foi explicitada, e x o tempo em horas.

A situao I demanda um pouco mais de elaborao. Se a cada ano o valor do imvel aumenta 20%, ento, a cada ano seu valor anterior deve ser multi-plicado por 1,2 (100% mais 20%). Assim, o fator de crescimento da funo constante e possvel escrever g(x) = v 1,2x, onde v o valor inicial do imvel, que no foi explicitado, e x o tempo em anos.

Grade de correo


(A) ambas as situa-es se referem a grandezas que crescem exponen-cialmente.

Resposta correta. O aluno identificou corretamente o tipo de crescimento envolvido nas duas situaes.

(B) apenas a situa-o I se refere a uma grandeza que cresce exponencialmente.

Numa situao de entendimento parcial das funes exponenciais, pouco esperado que o aluno tenha identificado corretamente a situao I como de cres-cimento exponencial, mas no a situao II, que tem suas caractersticas muito mais evidentes. interes-sante que o professor averigue se houve contextos especficos em que o aluno teve contato com esse tipo de funo. Ou, ainda, esta alternativa pode indi-car que o aluno respondeu aleatoriamente questo.

(C) apenas a situa-o II se refere a uma grandeza que cresce exponencialmente.

Esse um erro relativamente esperado, uma vez que a situao II constitui o tipo bsico de exemplo usado para abordar as funes exponenciais e traz suas ca-ractersticas muito mais evidenciadas. importante que o professor reconhea e aproveite esse conhe-cimento parcial para mostrar que a situao II tam-bm apresenta um crescimento exponencial, apesar de no haver pistas lingusticas indicando isso. Na situao I, a expresso duplica a cada hora uma pista lingustica, no sentido em que a prpria estru-tura verbal corresponde estrutura matemtica sub-jacente situao. Na situao II, a palavra aumento sugere adio e necessrio maior conhecimento para perceber a estrutura multiplicativa subjacente situao.

(D) nenhuma das situaes se refere a grandezas que cres-cem exponencial-mente.

O aluno que assinalou esta alternativa demonstra fal-ta e familiaridade com os exemplos mais corriqueiros de funo exponencial. importante que o professor retome o assunto mais globalmente.



Algumas referncias

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, volume 3 Situao de Aprendizagem 1 As potncias e o crescimento/decresci-

mento exponencial: a funo exponencial Situao de Aprendizagem 3 As funes com variveis no expoente: a

exponencial e sua inversa, a logartmica

2. Funes elementares, equaes e inequaes: uma abordagem utilizando micro-computador. Maria Cristina B. Barufi; Maira Mendias Lauro, CAEM IME uSP.

Habilidade:Saber resolver equaes e inequaes simples, usando propriedades de potncias e loga-ritmos.

Questo 06 Teste

Se 4x = 132

ento x um nmero

(A) negativo e inteiro.

(B) positivo e inteiro.

(C) negativo e no inteiro.

(D) positivo e no inteiro.


Esta questo predominantemente procedimental e o objetivo diagnos-ticar se o aluno consegue utilizar as definies e propriedades de potncia para resolver equaes exponenciais simples, cujos membros podem ser re-duzidos a potncias de mesma base. Por esse motivo, as alternativas no explicitam nmeros, evitando, assim, que o aluno teste as razes.

O trabalho com as definies e propriedades de potncia muitas vezes fica calcado na mera memorizao e, se for esse o caso, importante buscar uma reparao. A compreenso das propriedades, bem como a justificativa das definies, permite que o aluno possa apoiar-se em pequenas dedues, em vez de apoiar-se unicamente na memorizao de regras que podem lhe pa-recer arbitrrias. Por exemplo, a definio de potncia de expoente negativo no arbitrria, mas construda para que possam ser mantidas as boas pro-priedades que j valiam para expoentes naturais. vejamos:



Para manter a propriedade bx

by= bxy, devemos ter b y = b0y =

b0=

1by by

.

Outro modo de justificar essa mesma definio por meio da regularidade que se deseja manter:

b-1 b0 b1 b2 b3

b b b b

: b : b : b : b

H duas dificuldades bsicas a serem transpostas na resoluo da equao proposta aqui. A primeira a frao que aparece no segundo membro. preciso que o aluno saiba que essa frao pode ser escrita como uma po-tncia de expoente negativo. A segunda que, ainda que o aluno escreva corretamente a potncia 25, no outro membro no aparece imediatamente uma potncia de 2. Assim, o aluno ter de fazer a seguinte transformao: 4x = (22)x = 22x.

Finalmente, como a funo exponencial bijetora, 22x = 25 implica 2x = 5. Ento, x = 2,5.

Grade de correo


(A) um nmero inteiro e negativo.

Embora a resposta esteja errada, esta alternativa pode indicar que o aluno reconhece que para que uma potncia de 4 se iguale a uma frao prpria, seu expoente precisa ser negativo.

(B) um nmero inteiro e positivo.

possvel que inteiros positivos sejam os nicos ex-poentes com os quais o aluno esteja familiarizado e que, apenas por isso, ele tenha assinalado esta alter-nativa. importante que o professor retome os signi-ficados das potncias com outros tipos de expoentes.

(C) um nmero no inteiro e ne-gativo.

Resposta correta. Possivelmente, o aluno resolveu a equao corretamente aplicando as propriedades e definies de potncia. Porm, como a alternativa no explicita a soluo da equao, importante que a resoluo da mesma seja discutida com todos.

(D) um nmero no inteiro e po-sitivo.

Neste caso, o aluno sequer percebeu que, para uma potncia de 4 igualar-se a uma frao prpria, o ex-poente necessariamente ter de ser negativo. Essa percepo importante, porque se apoia fortemen-te na compreenso do significado de um expoente negativo. importante retomar esse significado, para alm de retomar os procedimentos de clculo que le-vam soluo correta.



Algumas referncias

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, volume 3 Situao de Aprendizagem 1 As potncias e o crescimento/decresci-

mento exponencial: a funo exponencial Situao de Aprendizagem 4 As mltiplas faces das potncias e dos

logaritmos: problemas envolvendo equaes e inequaes em diferen-tes contextos.

Habilidade:Saber usar de modo sistemtico relaes trigonomtricas fundamentais entre os elemen-tos de tringulos retngulos, em diferentes contextos.

Questo 07 Teste um pedreiro utiliza uma escada de 2 metros para realizar obras em casas e apartamentos.

No manual de segurana, est escrito que a escada deve fazer com o cho um ngulo de cerca de 60, para evitar derrapagens.

2 m

60

x.

Sabendo que o cos 60 = 1/2, o pedreiro calculou que deve apoiar o p da es-cada a uma distncia da parede de

(A) 0,5 metro.

(B) 1 metro.

(C) 1,7 metro.

(D) 2 metros.




A chamada resoluo de tringulos uma importante ferramenta dentro e fora da matemtica. Afinal, calcular comprimentos e distncias uma das atividades mais essenciais no trato com o mundo fsico. A trigonometria tem nesse tipo de atividade muitas de suas motivaes e representa uma amplia-o do repertrio de resoluo de tringulos que se inicia no EFII, especial-mente com o estudo do teorema de Pitgoras.

Nesta questo, o contexto envolve um tringulo retngulo e, para determi-nar o comprimento desejado, ser necessrio fazer uso das razes trigono-mtricas. Especificamente, ser necessrio utilizar o cosseno de 60, que est dado no enunciado. Assim, a questo acaba por averiguar apenas a uso ade-quado do cosseno de um ngulo. No necessrio que o aluno represente o enunciado por meio de um desenho, nem necessrio que tenha memoriza-do o valor do cosseno, ainda que 60 seja um ngulo notvel.

Grade de correo


(A) 0,5 metro

Esta alternativa indica que, de modo irrefletido, o aluno to-mou o instrumento pelo objetivo, isto , tomou o cosseno pela distncia que se deseja determinar. importante que o professor chame a ateno para o fato de que as razes trigonomtricas so relaes e que no podem ser desenhadas na figura. O que de fato pode ser desenhado so os lados e os ngulos do tringulo.

(B) 1 metro Resposta correta. Aqui, o aluno percebeu que x/2 deve va-ler , de modo que x deve medir 1 metro.

(C) 1,7 metro

Esta alternativa pode indicar que o aluno conhece as ra-zes trigonomtricas e at mesmo seus valores aproxima-dos para os ngulos notveis, mas que complicou a reso-luo da questo ao trocar o cosseno pelo seno. De fato se tivssemos sen 60 = x/2, teramos x medindo aproxima-damente 1,7 metros.

(D) 2 metros

Se o aluno assinalou esta alternativa, pode ser que no te-nha a compreenso visual e estrutural da questo, tendo apenas transportado a medida da escada para o cho. preciso que o professor mostre, no desenho, visualmente mesmo, que a hipotenusa de 2m maior que qualquer um dos catetos. um compasso pode ajudar o aluno a testar esse fato de modo significativo, nesse e em outros tringu-los retngulos, por meio do transporte de segmentos.



Algumas referncias

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Fundamental 8 serie (9 ano), volume 3 Situao de Aprendizagem 4 Razes trigonomtricas dos ngulos

agudos

2. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, volume 4 Situao de Aprendizagem 1 Rampas, cordas, parsecs razes para

estudar tringulos retngulos

3. Atividades de laboratrio de Matemtica, coord: Elza F. Gomide e org.: Janice Cssia Rocha, CAEM IME uSP. Laboratrio 71 Teodolito

Habilidade:Conhecer algumas relaes trigonomtricas fundamentais em tringulos no retngulos, especialmente a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos.

Questo 08 Teste A Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos so resultados matemticos que nos ajudam a descobrir medidas desconhecidas num tringulo qualquer. Suas ex-presses so:

a b

c

a

sen =

b

sen =

c

sen

a2 = b2 + c2 2 . b . c . cos

Sabendo disso, no tringulo abaixo, o valor de x, em centmetros,

(A) 1/2

(B) 5

(C) 13

(D) 37

3 cm 120

4 cm

x




A Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos representa mais uma ampliao do repertrio de resoluo de tringulos. A partir dessas duas leis, ser possvel relacionar lados e ngulos de tringulos no retngulos.

A passagem delicada e de maior dificuldade nessa ampliao a atribuio de significado ao seno ou cosseno de um ngulo possivelmente obtuso. Afi-nal, natural que o aluno se pergunte: se o seno de um ngulo era o cateto oposto a esse ngulo dividido pela hipotenusa, dentro de um tringulo re-tngulo, o que significa obter o seno de, por exemplo, 120? No h nenhum tringulo retngulo contendo um ngulo de 120, tampouco catetos ou hi-potenusas para dividir.

Por esse motivo, importante que a passagem das razes trigonomtricas para as funes trigonomtricas, por meio do ciclo trigonomtrico, seja feita com bastante detalhe e cuidado.

Sabemos, entretanto, que, em muitas propostas curriculares e livros didti-cos, justamente por sua utilidade, a Lei dos Senos e a Lei dos Cossenos apre-sentada antes do estudo do ciclo trigonomtrico. Nesse caso, recomenda-se colocar o problema com clareza para o aluno, para que, ao menos, esteja ciente de que existe uma pendncia de compreenso a respeito do assunto pendncia essa que, no caso, s ser resolvida mais adiante.

Nesta questo, necessrio aplicar corretamente a Lei dos Cossenos para determinar a medida de um dos lados do tringulo. O lado desconhecido o lado oposto ao ngulo conhecido, o que costuma facilitar a aplicao da lei, j que a incgnita aparece quase isolada num dos membros da equao:

x2 = 32 + 42 2 3 4 cos120

x2 = 25 24 cos120

Ento, para determinar o cosseno de 120, preciso conhecer a relao cos(180 - x) = cos(x) ou visualiz-la no ciclo trigonomtrico. Assim, se con-clui que cos120 = cos60. E, por fim, preciso conhecer o cosseno de 60, informado na questo 7, de modo que o aluno mais atento pode concluir a resoluo mesmo sem ter memorizado esse valor.

x2 = 25 24 cos120

x2 = 25 24 (0,5)

x2 = 25 + 12

x = 37



Grade de correo


(A) 1/2

comum que, dependendo do contexto, os alunos troquem a ordem das operaes numa expresso numrica. Essa pode ter sido a origem do erro contido nessa questo, pois o aluno pode ter subtrado 24 de 25 antes de multiplicar por cos120.

x2 = 25 24 cos120 = 1cos120 Erro.

Neste caso, tambm teria se equivocado quanto ao sinal, ou teria tentado ajustar o erro situao.

Porm, esse erro indica mais um problema: o aluno desco-nhece ou no fez relao desta questo com a condio de existncia de um tringulo. No possvel que, somando a medida de dois lados, no se alcance a medida do terceiro lado, e 3 + 1/2 < 4.

(B) 5

Esta alternativa pode indicar que o aluno memorizou o trin-gulo pitagrico 3,4,5 e, indiscriminadamente, aplicou este co-nhecimento aqui, sem atentar para o fato de que o tringulo em questo no retngulo.

(C) 13

Esta alternativa pode indicar um erro de sinal no cosseno de 120. interessante notar que, se o aluno conhece o tringulo pit-gorico 3,4,5, ele pode concluir que, abrindo mais os catetos, de modo a aumentar o ngulo reto para 120, o lado oposto a esse ngulo tambm deveria aumentar. Mas 13 < 5 e, assim, ele poderia identificar que cometeu um erro de clculo.

(D) 37 Resposta correta. O aluno possivelmente seguiu correta-mente todos os passos da resoluo.

Algumas referncias

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, volume 4 Situao de Aprendizagem 2 Dos tringulos circunferncia: vamos

dar uma volta? Situao de Aprendizagem 4 A hora e a vez dos tringulos no retn-

gulos



Habilidade:Saber aplicar as propriedades dos polgonos regulares no problema da pavimentao de superfcies.

Questo 09 TesteO nmero total de pentgonos regulares necessrios para formar a roda

(A) 4.

(B) 6.

(C) 8.

(D) 10.


Problemas de pavimentao de superfcie por meio de polgonos regulares costumam exigir o conhecimento dos ngulos internos desse tipo de polgo-no. Em princpio, necessrio saber que, num polgono de n lados, a soma dos ngulos internos dada por Si = (n 2)180 e que, portanto, a medida i um ngulo interno desse polgono dada por

i = (n 2)180

n

Nesta questo, conclui-se, com isso, que cada ngulo interno do pentgono regu-lar tem 108. Assim, vejamos o que acontece num dos vrtices internos roda:

108

108



Assim, x + 108 + 108 = 360, donde se conclui que x = 144. usando a mes-ma frmula, podemos agora descobrir qual o polgono regular interno roda:

144 =

(n 2)180n

144n = 180n 360

n = 10

Portanto, o polgono regular interno roda um decgono e isso significa que so necessrios 10 pentgonos regulares para formar a roda.

Porm, h outras abordagens possveis. O aluno pode estimar o nmero de pentgonos visualmente, por simetria. Se ele percebe o alinhamento entre os lados do segundo e do ltimo pentgono da figura, pode concluir direta-mente que so necessrios 10 pentgonos para formar a roda.

Grade de correo


(A) 4O aluno pode ter raciocinado ou visualizado corretamente, mas talvez tenha interpretado errado o enunciado. 4 o nmero de pentgonos que faltam para completar a roda.

(B) 6

Esta alternativa pode indicar um erro de interpretao si-milar ao da alternativa a, com o adicional de um erro de visualizao da simetria. Como aparecem 6 pentgonos desenhados e a parte j formada da figura est prxima da metade, o aluno pode ter suposto que faltavam mais 6.

(C) 8Esta alternativa , em certo sentido, a mais discrepante do esperado. Convm investigar se houve alguma hiptese equivocada ou se o aluno assinalou aleatoriamente.

(D) 10 Resposta correta. interessante que o professor discuta os possveis mtodos de resoluo e a relao entre eles.



Algumas referncias

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, volume 4 Situao de Aprendizagem 3 Polgonos e circunferncias: regularida-

des na inscrio e circunscrio

2. Atividades de laboratrio de Matemtica, coord: Elza F. Gomide e org.: Ja-nice Cssia Rocha, CAEM IME uSP. Laboratrio 42 ngulos dos polgonos

Habilidade:visualizar as formas espaciais a partir de suas representaes planas, tais como vistas e planificaes.

Questo 10 TesteA figura abaixo um molde que permite montar um dado em formato de cubo, com as faces numeradas de 1 a 6.

1 2

3

A B

C

Sabendo que, nesse dado, faces opostas devem ter valores que somam 7, as faces A, B e C devem apresentar, respectivamente, os valores:

(A) 4, 5 e 6.

(B) 5, 4 e 6.

(C) 5, 6 e 4.

(D) 6, 5 e 4.


A habilidade avaliada nesta questo, diferentemente de todas as demais questes desta avaliao, no est descrita no Currculo de Matemtica para a 1 srie do Ensino Mdio. No entanto, sua incluso se justifica em funo da nfase, dada na 2 srie, geometria espacial.

A geometria espacial trata de objetos tridimensionais, mas, de modo geral, tais objetos so representados bidimensionalmente, no plano do papel, do livro, do caderno e da lousa. Ento a compreenso dos objetos de estudo da geometria espacial passa pela habilidade de transitar entre as representa-es planas desses objetos: perspectivas, vistas e planificaes.



Dessas possveis representaes, as perspectivas so s mais fieis quilo que realmente vemos e esto bastante presentes num mundo que cada vez mais representado nas telas planas da televiso, do computador, dos impressos etc. As vistas e planificaes no esto to presentes no dia a dia, mas so de fundamental importncia para o estudo dos objetos da geometria espacial. No poderemos calcular a rea superficial de um cone, por exemplo, sem a habilidade de transitar entre este objeto e sua planificao.

Nesta questo, pretende-se verificar se o aluno consegue imaginar o cubo (hexaedro regular) a partir de sua planificao, identificando faces que fica-ro opostas. uma possibilidade imaginar que a face de nmero 3 continua no plano do papel, enquanto as demais vo, gradativamente se dobrando no espao. Assim, verifica-se que a face de nmero 2 ficar oposta da letra A. Em seguida, imaginando a continuidade do movimento de fechar o cubo, verifica-se que B e 1 ocuparo faces laterais opostas. C fechar o cubo, fi-cando na posio oposta face de nmero 3. Como faces opostas devem apresentar soma 7, temos:

Face Oposta a Deve ter valorA 2 5B 1 6C 3 4

claro que, tomando como referncia inicial outra face, a sequncia de con-cluses provenientes do movimento imaginado outra. No entanto, sempre se poder concluir que os pares de faces opostas so A e 2, B e 1, C e 3.

Grade de correo


(A) 4, 5 e 6

Esta alternativa pode indicar uma interpretao equivoca-da do problema proposto. O aluno talvez tenha apenas fei-to a correspondncia entre a sequncia alfabtica A, B e C e a sequncia numrica crescente 4, 5 e 6.

(B) 5, 4 e 6

Esta alternativa pode indicar que o aluno conseguiu identi-ficar que as faces A e 2 so opostas, de modo que A deve ter valor 5. Porm, no conseguiu prosseguir com o restante da montagem mental do cubo, errando as demais faces.

(C) 5, 6 e 4Resposta correta. Possivelmente o aluno conseguiu imagi-nar corretamente a montagem do cubo, indicando dom-nio da habilidade avaliada.

(D) 6, 5 e 4

talvez o aluno tenha identificado tomado por pares de opostos A e 1, B e 2, C e 3, simplesmente por conta da ordem alfabtica e da ordem numrica crescente. A partir disso, concluiu que A deveria valer 6, B deveria valer 5 e C, 4.



Algumas referncias

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Fundamental 5 srie (6 ano), volume 3 Situao de Aprendizagem 2 Planificando o espao

2. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Fundamental 6 srie (7 ano), volume 2 Situao de Aprendizagem 4 Classificao, desenho e montagem de

poliedros

3. Experiencias Matemticas 5 srie Atividade 6 Geometria: slidos geomtricos Atividade 11 Os prismas Atividade 12 Prismas e alturas

Habilidade:Saber utilizar, em diferentes contextos, funes de 1 e de 2 graus, explorando especial-mente problemas de mximos e mnimos.

Questo 11 AbertaExiste uma infinidade de retngulos com permetro 18 metros. quais so a lar-gura x e a altura y daquele que, dentre todos, tem a maior rea? Justifique sua resposta.

x

y


Aqui, novamente temos um problema de mximos e mnimos que deve ser modelado por uma funo quadrtica. Porm, esta questo acaba por exigir tambm o conhecimento dos conceitos de rea e permetro que, espera-se, estejam consolidados no aluno ingressante do 2 ano EM. De todo modo, preciso ficar atento s vrias camadas de contedos e habilidades que toda questo apresenta, para poder extrair informao dos erros dos alunos, visando contribuir para sua real aprendizagem.



A resoluo usual desta questo consiste no seguinte:

Dimenses do retngulo: x e y

Permetro: 2x + 2y = 18 metros x + y = 9 metros

rea: A = xy = x(9 x) = x2 + 9x

Desse modo, a rea de um retngulo de permetro 18 metros, varia confor-me a funo quadrtica A = x2 + 9x. Calculando a abscissa do vrtice dessa funo, temos 9/2 = 4,5. Portanto, nessas condies, o retngulo de maior rea aquele que tem x = y = 4,5 metros. Esse fato pode ser generalizado: fixado um permetro, o retngulo de maior rea um quadrado.

uma outra possibilidade de resoluo para o problema no algbrica, mas passa pela percepo de que, se o permetro do retngulo 18 metros, a soma de suas duas dimenses deve ser 9 metros. Assim, as seguintes tenta-tivas podem ser organizadas:

Largura (m) Altura (m) rea (m2)1 8 82 7 143 6 184 5 20

A partir da, mantendo as tentativas no conjunto dos nmeros naturais, as reas comeam a se repetir, de modo que no necessrio avanar.

Se o aluno limitar sua anlise aos nmeros naturais, no chegar resposta correta do problema. Porm, se perceber a tendncia sugerida pela tabela, poder verificar que equilibrando totalmente a largura e a altura, obtm-se a maior rea: 4,5 x 4,5 = 20,25.

Assim, o retngulo de maior rea um quadrado de lado 4,5 metros.

uma dificuldade que pode aparecer nesta questo a definio de quadrado e de retngulo. possvel que, sozinhos, os alunos ainda no tenham obser-vado a incluso:

QUADRADOSRETNGULOS

Por fim, esta questo tem exatamente a mesma estrutura matemtica de ou-tra questo constante desta avaliao, a da pedra preciosa que se quebra, ainda que os contextos e valores sejam completamente distintos. Naquela questo, o exemplo dado no enunciado pode levar o aluno a abordar o pro-



blema com uma anlise numrica, enquanto nesta questo o enunciado pre-tende induzi-lo a uma abordagem algbrica.

Por meio das duas questes, o professor pode ter uma avaliao global do domnio que o aluno tem da habilidade avaliada. Pode ser, por exemplo, que o aluno tenha resolvido ambos os problemas por meio da anlise numrica, indicando que ele talvez no saiba expressar algebricamente suas ideias com relao ao assunto. importante lembrar que uma funo uma relao que pode ser expressa em diferentes linguagens: numrica, algbrica, grfica ou at mesmo verbal. importante que o professor valorize as diversas lingua-gens e ajude o aluno a fazer relao entre elas. Assim, se um aluno resolveu algebricamente esta questo, interessante que o professor mostre a anlise numrica que poderia ter sido feita. Se resolveu por meio da anlise numri-ca, importante que o professor mostre a abordagem algbrica e at mesmo o grfico que expressa tal relao. Melhor ainda pedir que os alunos com-parem entre si suas resolues, com a conduo do professor.

Grade de correo

Respostas corretas

As respostas corretas possivelmente foram obtidas por algu-ma das duas abordagens expostas nos comentrios acima.

Respostas parcialmente corretas

Se o aluno usou a abordagem algbrica, h diversos pas-sos nos quais um erro de clculo, de ateno, de frmula etc poderia conduzir a uma resposta errada. No entanto, mesmo com uma resposta errada, pode haver uma com-preenso global do problema, o que muito importante.

Se o aluno usou uma abordagem numrica, pode ter se li-mitado a analisar os valores inteiros e, assim, pode ter con-cludo que o retngulo de maior rea o de 4 m por 5 m. Ou ainda, a falta de compreenso de que um quadrado um retngulo pode t-lo feito descartar a resposta correta.

importante que o aluno tenha respondido ao problema. Caso apresente a resoluo correta, sem uma resposta cla-ra questo que foi colocada, o professor deve assinalar isso, assim como no caso de uma resposta sem resoluo.

Respostas incorretas

O desconhecimento ou a falta de clareza a respeito dos conceitos de rea e permetro podem ser um motivo para uma abordagem muito equivocada.

tambm a ausncia de boas estratgias de resoluo tra-duo para a linguagem algbrica ou anlise numrica da variao constituem um diagnstico para o professor. uma grande variedade de estratgias precisa ser explora-da e os alunos devem ser estimulados a construir suas pr-prias estratgias de resoluo de problemas.



Algumas referncias

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, volume 2 Situao de Aprendizagem 2 Funes polinomiais de 2 grau Situao de Aprendizagem 3 Mximos e Mnimos Situao de Aprendizagem 4 Situaes-problema: Modelos Matemticos


Habilidade:Saber usar de modo sistemtico relaes trigonomtricas fundamentais entre os elemen-tos de tringulos retngulos, em diferentes contextos.

Questo 12 Abertaquando subimos uma escada de alvenaria convencional, nos movemos para frente e para cima ao mesmo tempo.

Dizemos que o ngulo de inclinao da escada.

Sendo assim, subindo uma escada cujo ngulo de inclinao 45, para cada metro que avanamos na horizontal, quantos metros subimos? Justifique sua resposta.




Este problema no exige que o aluno conhea os nomes das razes trigono-mtricas, no entanto, explora fundamentalmente seus significados. Na reali-dade, explora o significado da tangente de um ngulo.

O aluno que j conhece a tangente e que j memorizou seu valor para os ngulos notveis, deve associar esse conceito situao-problema dada. En-to, poder concluir que, como tg45 = 1, para cada metro que se avana na horizontal, sobe-se 1 metro.

Porm, mesmo o aluno que no conhece a tangente pode resolver a ques-to, contanto que tenha clareza de que um tringulo retngulo contendo um ngulo de 45 equivale a metade de um quadrado, obtida a partir da diagonal. Assim, a horizontal e a vertical so congruentes.

Grade de correo

Respostas corretas

O aluno pode ter resolvido o problema por meio do conhe-cimento da tangente de 45, concluindo que, avanando um metro, sobe-se tambm 1 metro. Ou, conforme j foi citado, pode modelar a situao a partir da diagonal de um quadrado, chegando mesma concluso.

Respostas incorretas ou parcialmente corretas

uma possibilidade que o aluno associe este problema s razes trigonomtricas, mas confunda-se com relao qual delas deve ser usada. Ou ainda, pode trocar os valores das razes trigonomtricas para os ngulos notveis.

Neste ltimo caso, importante que o professor retome os valores das razes trigonomtricas de 30, 45 e 60, justificando-os a partir das propriedades geomtricas do quadrado e do tringulo equiltero:

45

30

60

A frmula mnemnica tradicionalmente usada para que o aluno memorize esses valores no desaconselhada, po-rm, por si, carece de significado.

Por fim, muito importante, especialmente nesse tipo de questo em que praticamente no h clculos que o professor reforce a necessidade de justificar a resposta, com palavras, com esquemas etc. Sem justificativa, a reso-luo no deve ser considerada completamente correta, independentemente da correo da resposta.



Algumas referncias

1. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Fundamental 8 srie (9 ano), volume 3 Situao de Aprendizagem 4 Razes trigonomtricas dos ngulos agudos

2. Caderno do Professor: Matemtica Ensino Mdio 1 srie, volume 4 Situao de Aprendizagem 1 Rampas, cordas, parsecs razes para estudar tringulos retngulos

3. Atividades de laboratrio de Matemtica, coord: Elza F. Gomide e org.: Ja-nice Cssia Rocha, CAEM IME uSP. Laboratrio 71 Teodolito



Avaliao da Aprendizagem em Processo Comentrios e Recomendaes Pedaggicas Matemtica

Coordenadoria de Informao, Monitoramento e Avaliao EducacionalCoordenadora: Ione Cristina Ribeiro de Assuno

Departamento de Avaliao EducacionalDiretor: William Massei Assistente tcnica: Maria Julia Filgueira Ferreira

Centro de Aplicao de AvaliaesDiretora: Diana Yatiyo MizoguchiEquipe Tcnica DAVED participante da AAPAdemilde Ferreira de Souza, Cyntia Lemes da Silva Gonalves da Fonseca, Juvenal de Gouveia, Patricia e Barros Monteiro, Silvio Santos de Almeida

Coordenadoria de Gesto da Educao BsicaCoordenadora: Maria Elizabete da Costa

Departamento de Desenvolvimento Curricular e de Gesto da Educao BsicaDiretor: Joo Freitas da Silva

Centro do Ensino Fundamental dos Anos Finais, Ensino Mdio e Educao ProfissionalDiretora: valria tarantello de Georgel

Equipe Curricular CGEB de Matemtica Carlos tadeu da Graa Barros, Ivan Castilho, Joo dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de S, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias, vanderley Aparecido Cornatione

Elaborao do material de MatemticaAline dos Reis Matheus, Cristina Cerri, Martha Salerno Monteiro, Raul Antnio Ferraz e Rogrio Osvaldo Chaparin

Validao, Leitura e Reviso Crtica

Equipe Curricular CGEB de MatemticaCarlos tadeu da Graa Barros, Ivan Castilho, Joo dos Santos, Otavio Yoshio Yamanaka, Rodrigo Soares de S, Rosana Jorge Monteiro, Sandra Maira Zen Zacarias, vanderley Aparecido Cornatione

Professores Coordenadores dos Ncleos PedaggicosAgnaldo Garcia, Clarice Pereira, Emerson de Souza Silva, Everaldo Jos Machado de Lima, Geverson Ribeiro Machi, Joo Accio Busquini, Lade Leni Lacerda N. Moleiro Martins, Luciana vanessa de Almeida Buranello, Maria Josilia Silva Bergamo Almeida, Mrio Jos Pagotto, Renata Erclia Mendes Nifoci, Silvia Igns Peruquetti Bortolatto, Sueli Aparecida Gobbo Arajo e Zilda Meira Aguiar Gomes

Reviso de TextoAdemilde Ferreira de Souza



Anotaes


Documents

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