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Calculo Financeiro e Atuarial
Formador: Gabriel Silva
1
Rendas
Introduo
2 Gabriel Silva
Rendas
3 Gabriel Silva
Introduo
Uma renda corresponde a um conjunto de capitais (termos das rendas) vencveis em momentos equidistantes, podendo esses capitais ter valores constantes ou variveis.
O conceito de renda resulta da aplicao da equao de valor.
As rendas podem ser:
Imediatas/Diferidas;
Normais (Postecipadas ou Ordinarias)/Antecipadas;
Certas/Incertas;
Termos Constantes/Termos variveis (progr. Geom./Aritm.);
Inteiras/Fraccionadas;
Temporrias/Perpetuas.
Rendas Introduo
As Rendas podem diferir quanto ao momento de vencimento do primeiro termo:
Imediata
Valor actual refere-se ao inicio do 1 perodo de
renda 0 1 2 n-1 n
r r r r .........
.........
Diferida
Valor actual refere-se a perodo anterior ao do inicio do 1 perodo de
renda
0 1 2
r ....
.... n-1
r
n
r ....
4 Gabriel Silva
.... t
Rendas Introduo
As Rendas podem diferir quanto ao momento, dentro de cada perodo, em que a renda paga:
Termos Normais
Vencimento no fim do perodo a que respeitam
0 1 2 n-1 n
r r .........
.........
Termos Antecipados
Vencimento no inicio do perodo a que respeitam 0 1 2 n-1
r
n
r
.........
5 Gabriel Silva
.........
Rendas Introduo
As Rendas podem diferir quanto existncia de contingncias aleatrias associadas ao pagamento:
Certa
Pagamento dos termos da renda independente de
factos aleatrios 0 1 2 n-1 n
r r .........
.........
Incerta
Pagamento dos termos da renda ligados a factos
aleatrios 0 1 2 n-1 n
?
.........
6 Gabriel Silva
......... ? ? ?
r r
Rendas Introduo
As Rendas podem diferir quanto variabilidade dos termos:
Constantes
Valores dos termos constante ao longo do
tempo 0 1 2 n-1 n
r r .........
.........
Variveis
Valores dos termos diferentes ao longo do
tempo 0 1 2 n-1 n
r1
.........
7 Gabriel Silva
.........
r r
r2 rn-1 rn
Rendas Introduo
diferir quanto relao entre perodo da As Rendas podem renda e da taxa:
Inteira
Perodo da renda e da taxa coincidem
0 1 2 n-1 n
r r .........
.........
Fraccionada
Perodo da renda e da taxa no coincidem 0 1 2 n-1 n .........
.........
r r
r/m r/m r/m r/m r/m r/m r/m
8 Gabriel Silva
Rendas Introduo
As Rendas podem diferir quanto existncia de uma data fim para o pagamento:
Temporria
Nmero de termos limitado e conhecido 0 1 2 n-1 n
r r .........
.........
Perptua
Nmero de termos ilimitado
0 1 2
r
.....................
.................... r r
Vitalcia
Nmero de termos Limitado vida do
beneficirio (calculo actuarial)
0 1
r
2 n-1 n .........
......... r r
9 Gabriel Silva
Rendas
Alguns Tipos de Rendas
10 Gabriel Silva
Rendas
Temporrias
Imediatas
Termos Constantes
11 Gabriel Silva
Renda Imediata Temporria de n Termos Normais
e Constantes
Renda cujo valor actual refere-se ao inicio do 1 perodo de renda, com um nmero de termos
vencimento de cada termo ocorre no fim limitado (n), conhecidos e constantes, e o
do perodo a que respeitam.
0 1 2 n
1
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Normais
n-1
1 1 1 1 i 1 1 i 2
1 i (n1) 1 i (n )
1 1 i 1 i n2
1 i n1
Valor Actual
Gabriel Silva 12
Valor Acumulado
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Normais
r r r
1 i n .....
1 i 1 1 i 2 C0
Com r=1:
n
1 ..... 1 i 1 i
C
1 i 1 i 1 1
1 i 2 .... 1 i n 1 1 2 0
Valor Actual (tambm designadas de rendas de actualizao)
0
Gabriel Silva 13
v 1 v 1
n 1 v n
v 1 n C a 1 i 1 1 i 2 .... 1 i n (1 termo) v
n|i
Estamos perante uma progresso geomtrica de:
- razo: 1 i v - 1 termo: 1 i n
- N termos: n
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Normais
i
1 1 i n A r .a r n|i n|i
n n n n n a v
1 i 1
i
1 i 1 1 1 i 1 i v 1
v 1 n|i
1 1 i
n
i
a n|i
i
Gabriel Silva 14
1 1 i n
v 1
v n 1 r .a r .v n r
n|i
Exemplo
Admita que ir receber 1000 por ano durante trs anos. Qual o valor actual destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10%? 0,1
3|10% 3|10% 2.486,9 1.000
1 (1,1)3
i r . r .a A
1 (1 i )n
Exemplo
Admita que entrega 5000 a uma seguradora como contrapartida de uma renda imediata de termos normais durante 4 anos. Qual o valor da renda considerando uma taxa de juro de 10%?
0,1 r .3,169 5.000 r
1 (1,1)4
3,169 r
5.000 1.577,35
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Normais
i
1 1 i n A r .a r n|i n|i
i
1 1 i n A r .a r n|i n|i
Gabriel Silva 15
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Normais
n C r .1 i n1
r .1 i n2 ..... r .1 i 1 r
Com r=1:
Valor Acumulado (tambm designadas de rendas de acumulao)
v 1
Gabriel Silva 16
1 1.
v 1
v 1
n n
C s 1 i n1 1 i n2 .... 1 i 1 1 1Termov n|i n
C 1 i n1 1 i n2 ..... 1 i 1 1 n
Estamos perante uma progresso geomtrica de:
- razo: 1 i v - 1 termo: 1
- N termos: n
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
i n|i 1 i n 1
r v 1
v n 1 r .s r
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Normais
1 i 1
i
v n 1 1 i n 1 1 i n 1 s 1. n|i v 1
1 i n 1 s
n|i i
i n|i n|i 1 i n 1
S r .s r
Gabriel Silva 17
Exemplo
Admita que ir receber 1000 por ano durante trs anos. Qual o valor acumulado destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10%? 0,1
3.310 (1,1)3 1
1.000 i
S r .s r (1 i )n 1
n|i n|i
Exemplo
Admita que ir receber 5000 daqui a 4 anos. Se em alternativa receber uma renda imediata de termos normais, qual ser o valor da renda considerando uma taxa de juro de 10%?
4,641 r
5.000 1.077,35
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Normais
1 i n 1 S r .s r
n|i n|i i
0,1 r .4,641
1,14 1 5.000 r
n|
i
1 i n 1 i
S r .s r n|i
Gabriel Silva 18
Renda Imediata Temporria de n
Termos Antecipados e Constantes
Renda cujo valor actual refere-se ao inicio do 1 perodo de renda, com um nmero de termos limitado (n), conhecidos e constantes, e o vencimento de cada termo ocorre no principio do perodo a que respeitam.
0 1 2 n
1
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Antecipados
n-1
1 1 1 1 i 1 1 i 2
1 i (n1)
1 i 1 i n2
1 i n1
1
1 i n
Valor Actual
Gabriel Silva 19
Valor Acumulado
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Antecipados
Com r=1:
Valor Actual
1 n 1 v (n1)
v n C a 1 1 i 1 1 i 2 .... 1 i (n1) (1 termo) v
Estamos perante uma progresso geomtrica de:
- razo: 1 i v - 1 termo:
- N termos: n
1 i (n1)
0 ..... 1 i n1
r
1 i 2 r
1 i 1 r
C r
1
n|i 0 v 1 v 1
Gabriel Silva 20
2 1 (n1) 1 i .... 1 i 1 1 i .....
1 i n1 1 1
C0 1 1 i 1
1 i 2
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
i
n n
v 1
1 r .1 i 1 (1 i ) r .v n1 v
n|i r .a
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Antecipados
i i
v
1 1 i n 1 i
1 i 1 1 i
v 1
v n 1 1 i n 1 1 i 1 i 1n (n1) (n1) a n|i
i n|i
n|i
1 1 i 1 i . 1 i .a
n
a
i n|i n|i
r .1 i .an|i 1 (1 i )n
r .a r .1 i . A
Gabriel Silva 21
Exemplo
Admita que ir receber 1000 por ano durante
3|10% 3|10% 2.735,5
i 0,1 r .(1 i )
1 (1 i ) 1.000.(1,1)
1 (1,1) n 3
r .a
trs anos. Qual o valor actual destes recebimentos (feitos no A inicio de cada perodo), considerando uma taxa de juro de 10%?
Exemplo
Admita que entrega 5000 a uma seguradora como contrapartida de uma renda imediata de termos antecipados durante 4 anos. Qual o valor da renda considerando uma taxa de juro de 10%?
0,1 r .(1,1)3,169 r .3,4868 5.000 r .(1,1)
1 (1,1)4
3,4868
5.000 1.433,96 r
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Antecipados
i a
1 1 i n n|i n|i n|i
r .1 i .an|i 1 (1 i )n
i r .a r .1 i . A
n|
i
n|
i
r .1 i .an|i 1 (1 i )n
i r .a r .1 i . A
Gabriel Silva 22
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Antecipados
n C r .1 i n
r .1 i n1 ..... r .1 i 1
Com r=1:
Valor Acumulado
1
Gabriel Silva 23
v 1 v 1
n n
C s 1 i n 1 i n1 .... 1 i 1 1Termov 1 (1 i ) v n|i n
n C 1 i n
1 i n ..... 1 i 1
Estamos perante uma progresso geomtrica de:
- razo: 1 i v - 1 termo:
- N termos: n
1 i
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
i n|i
n|i
1 i n 1 r .1 i . r .1 i s
v 1
v n 1 r .s r .1 i
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Antecipados
i
n|i 1 i .s 1 i n 1 1 i
n 1
n
v 1 1 i . 1 i . 1 i . v 1 1 i 1
s n|i
n|
i
1 i s n|i s
n
n|i n|i n|i
r .1 i .s i1
1 i
1 i r .s r . S
Gabriel Silva 24
Exemplo
Admita que ir receber 1000 no inicio de cada ano durante trs anos. Qual o valor acumulado destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10%?
3.641 0,1
3
3|10%
1 1 1.000(1,1)
(1,1)
i r (1 i )
(1 i ) r (1 i )s
n
Exemplo
Admita que ir receber 5000 daqui a 4 anos. Se em alternativa receber uma renda imediata de termos antecipados, qual ser o valor da renda considerando uma taxa de juro de 10%?
5,1051
5.000 979,41 r
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos Antecipados
1 i n 1 s
n|i i
0,1 r .(1,1).4,641 r .5,1051
1,14 1 5.000 r .(1,1)
.. ..
S n|i r .s n|i r .1 i .s n|i
n|
i
n|
i
r .1 i .s n|i 1 i n 1
i r .1 i r .s S
Gabriel Silva 25
Renda Imediata Temporria de n Termos Normais
e Constantes
Rendas Renda Imediata (Termos Normais versus Antecipados)
Valor Actual Valor Acumulado
Renda Imediata Temporria de n
Termos Antecipados e Constantes
1 i n 1 s
n|i i
1 1 i
n
i a
n|i
n|
i
1 i .an!i a n|
i
1 i s n!i s
Gabriel Silva 26
Rendas
Temporrias
Diferidas
Termos Constantes
27 Gabriel Silva
Renda Diferida Temporria de n Termos Normais
e Constantes
Renda cujo valor actual anterior ao inicio do 1 perodo de renda, com um nmero de termos
vencimento de cada termo ocorre no fim limitado (n), conhecidos e constantes, e o
do perodo a que respeitam.
0 1 k+n
Rendas Renda Diferida Temporria de Termos Normais
1 1 1 1 1 i
1 i (k n1) 1 i (k n )
1 1 i 1 i n1
Valor Actual
Valor Acumulado
k+1 ... k+n-1 2 k
Prazo k de diferimento
Gabriel Silva 28
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
Rendas Renda Diferida Temporria de Termos Normais
i
k k n
a 1 1 i 1 i an|i .1 i n|i k|
k k n
.1 i 1 i . 1 1 i
i r . a. r r an|i
n|i k| k| A
n|i
Valor Actual
Quando a renda de n termos diferida em k perodos, o valor actual corresponde ao valor actual de uma renda imediata, actualizada em k perodos para o momento zero.
Gabriel Silva 29
Exemplo
Admita que ir receber, daqui a 2 anos, 1000 por ano durante trs anos. Qual o valor actual destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10% e assumindo que os recebimentos ocorrem no final de cada perodo?
Rendas Renda Diferida Temporria de Termos Normais
i
k k n
1 1 i 1 i r .an|i .1 i r .k| a.n|i r k| An|i
0,1
Gabriel Silva 30
3|10% 2| 3|10% 2| 1,1 2.055,25 1 1,1 1.000 2
3
r . a. A
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
Rendas Renda Diferida Temporria de Termos Normais
i n|i n|i k|
1 i n 1 s s
i k| n|i k|
1 i n 1 s r .s r n|i n|i
S r .
Valor Acumulado
Quando a renda de n termos diferida em k perodos, o valor acumulado no final do prazo da renda corresponde ao valor acumulado de uma renda imediata.
Gabriel Silva 31
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
z
n z
k i
(1 i ) 1 i 1 s s
n|i n|i
n
k k i
z S 1 i z 1 i 1 r . s r .s r
n|i n|i n|i
Refira-se que no caso da renda ser diferida em k perodos e o levantamento do valor acumulado da renda de n termos diferida em z perodos, o valor acumulado dessa renda ao fim de n+z perodos ser dado por:
Gabriel Silva 32
Rendas Renda Diferida Temporria de Termos Normais
Renda Diferida Temporria de n
Termos Antecipados e Constantes
Renda cujo valor actual anterior ao inicio do 1 perodo de renda, com um nmero de termos
vencimento de cada termo ocorre no inicio limitado (n), conhecidos e constantes, e o
do perodo a que respeitam.
0 1 k+n
Rendas Renda Diferida Temporria de Termos Antecipados
1 1 1
1 i 1 (k n1) 1 i
1 i 1 i n1
Valor Actual
Valor Acumulado
k+1 ... k+n-1 2 k
Prazo k de diferimento
1
1 i n
Gabriel Silva 33
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
Rendas Renda Diferida Temporria de Termos Antecipados
i
k k n
1 1 i a (1 i ) 1 i (1 i ).an|i .1 i n|i k|
Valor Actual
Quando a renda de n termos antecipados diferida em k perodos, o valor actual corresponde ao valor actual de uma renda imediata de termos antecipados, actualizada em k perodos para o momento zero.
i k k
n
.1 i r .(1 i ). 1 i 1 1 i
i a r .(1 ) A r . an|i
n|i k| n|i k| .
Gabriel Silva 34
Exemplo
Admita que ir receber, daqui a 2 anos, 1000 por ano durante trs anos.
Qual o valor actual destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10% e assumindo que os recebimentos ocorrem no inicio de cada perodo?
Rendas Renda Diferida Temporria de Termos Antecipados
0,1 3|10% 2| 3|10% 2|
1,1 2.260,75 1 1,1 1.000.(1,1)) 2 3
r . a A
k k n
i a .1 i 1 i r .(1 ). 1 1 i
i r .(1 i ) r . a n|i
n|i k| k| A
n|i .
Gabriel Silva 35
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
Rendas Renda Diferida Temporria de Termos Antecipados
i k n|i n|i
1 i n 1 (1 i ) (1 i ).s s
i k k n|i n|i n|i
1 i n 1 r .(1 i ) r . s r .(1 i ).s S
Valor Acumulado
Quando a renda de n termos diferida em k perodos, o valor acumulado no final do prazo da renda corresponde ao valor acumulado de uma renda imediata.
Gabriel Silva 36
Renda Diferida Temporria de
n Termos Normais
e Constantes
Rendas Renda Diferida (Termos Normais versus Antecipados)
Valor Actual Valor Acumulado
Renda Diferida Temporria de
n Termos
Antecipados e Constantes
a a .1 i k n|i n|i k| n|i
1 i n 1 k s sn|i i
a (1 i ).a .1 i k n|i n|i k|
k n|i
1 i n 1 (1 i ).s (1 i )
n|i i s
Gabriel Silva 37
Rendas
39 Miguel Coelho
Perptuas
Termos Constantes
38
Gabriel Silva
Renda Imediata Perptua de
Termos Normais e Constantes
Renda cujo valor actual refere-se ao inicio do 1 perodo de renda (momento 0), com um nmero de termos Ilimitado, conhecidos e constantes, e o vencimento de cada termo ocorre no fim do perodo a que respeitam.
0 1 2
1
Rendas Renda Imediata Perptua de Termos Normais
1 1 1 1 i 1 1 i 2
1 i 3 1 i ( ) Valor
Actual
Gabriel Silva 39
3
.
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
Rendas Renda Imediata Perptua de Termos Normais
i A r .a r
1 |i |i
i
1 1 i 1 1 i 1
i
1 i 1 v 1
a v v 1
1 i
|i
1
i a
|i
Valor Actual
r i
Gabriel Silva 40
1 1 i 1 i
r 1 i 1 1 i 1
r .1 i v 1
v 1 r .a r .v
|i
Exemplo
Considere uma renda perptua de 1000 por ano. Qual o valor actual destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10% e assumindo que os recebimentos ocorrem no final de cada perodo?
Rendas Renda Imediata Perptua de Termos Normais
0,1
1 10.000 1.000
|10% |10% r .a A
i A r .a r
1 |i |i
Gabriel Silva 41
Renda Diferida Perpetua de
Termos Normais e Constantes
Renda cujo valor actual anterior ao inicio do 1 renda, com um nmero de termos conhecidos e constantes,
perodo de ilimitado, vencimento
e o de cada termo ocorre no fim do
perodo a que respeitam.
0 1
Rendas Renda Diferida Perptua de Termos Normais
1 1 1 1 1 i
1 i (k n1) 1 i ( ) Valor
Actual
k+1 ... k+n-1 2 k
Prazo k de diferimento
Gabriel Silva 42
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
Rendas Renda Diferida Perptua de Termos Normais
i
k
1 i a .1 i k 11 i k 1 1 i
i a.
|i |i k|
Valor Actual
i i k i k i k
r 11 i
1 r 1 1 i . A. r a r .a|i .1
|i . k| |i k|
i a.
11 i k |
i
k|
Gabriel Silva 43
Exemplo
Considere uma renda perptua de 1000 por ano que se inicia daqui a 3 anos. Qual o valor actual destes recebimentos, considerando uma taxa de juro de 10% e assumindo que os recebimentos que ocorrem no final de cada perodo?
Rendas Renda Imediata Perptua de Termos Normais
1 1.000 (1,1)3 10.000.(1,1)3 7.513,15
0,1 |10% |10% r .a A
i
k r 1 i
1 |
i
r . k| a. |i
k| A.
Gabriel Silva 44
Renda Imediata Perptua
Termos Normais e Constantes
Rendas Renda Perptua (Imediata versus Diferida)
Valor Actual
Renda Diferida Perptua
Termos Normais e Constantes
1
i a
|i
i a
11 i k |
i
k|
Gabriel Silva 45
Rendas
Temporrias
Imediatas
Termos Variveis
46 Gabriel Silva
Renda Imediata Temporria de n Termos Normais
Variando em Progresso Aritmtica
Renda cujo valor actual refere-se ao inicio do 1 perodo de renda (momento 0), com um nmero de termos limitado (n), conhecidos variando em progresso aritmtica, e o vencimento de cada termo ocorre no fim do perodo a que respeitam.
0 1 2 n
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Aritm.
t.1 i 1 t d 1 i 2
(n1) 1 n 1d 1 i
t nd t d 1 i n2
t.1 i n1
Valor Actual
Gabriel Silva 47
Valor Acumulado
1 nd 1 i n
Razo da progresso aritmtica = d
n-1
t n 1d 1 i
t d t t (n 1)d t nd
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Aritm.
t t d C
1 i n .....
t n.d
1 i 1 1 i 2 0
d t t t
t t d C
1 i n n.d
..... 1 i n
..... 1 i n
..... t n.d
1 i 2 1 i 1 1 i 2 1 i 1 1 i 2
0
Valor Actual
i i n|i
(a ) n|i
A a t
d n.d
n.d
T a n|i
- Razo da progresso aritmtica = d
- 1 termo da progresso aritmtica = t
i
n.d
i n|i
(a )
t n.d
A 1 1 i n d
i
Gabriel Silva 48
Exemplo
Admita que ir receber, uma renda composta por 5 termos normais anuais variando em progresso aritmtica de razo igual a 200, com um primeiro termo de 1000. Qual o valor actual desta renda considerando uma taxa de juro de 6%.
i
n.d
i n|i
(a )
t n.d
A 1 1 i n d
i
0,06
5(200)
0,06
200
0,06 5|6%
5(200)
1.000
1 1,065 A (a )
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Aritm.
5|6% A 5.799,27 (a )
Exemplo
Admita que tem uma divida que se liquida em 5 prestaes a vencer nos prximos 5 meses (500, 400, 300, 200, 100). Sabendo que taxa de juro de 2% ao ms, qual o valor actual da dvida.
0,02 0,02 0,02 5|2% 5(100) 5(100)
100 500
1 1,025
A (a )
5|2%
Gabriel Silva 49
A 1.432,70 (a )
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Aritm.
n C 1 i (n1)
t d 1 i (n2) ..... t n.d
Valor Acumulado
i
n.d n|i (a )
i
n|i
t d
S S
T S n|i
i n|i (a )
i i
d n.d t
1 i n 1 S
n
Gabriel Silva 50
C t.1 i (n1) 1 i (n2) .... 1 d 1 i (n2) ..... n.d
Exemplo
Considere uma renda composta por 5 termos anuais normais com um primeiro termo de 1000 e cujos termos seguintes decrescem a uma taxa anual de 200. Qual o seu valor acumulado considerando uma taxa de juro de 6%.
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Aritm.
i n|i
(a )
d n.d
i i t
1 i n 1 S
0,06 0,06 0,06
5(200)
200 1.000
5|6%
1,065 1 (a ) S
5|6%
Gabriel Silva 51
S 3.513,45 (a )
Renda Imediata Temporria de n Termos Normais
Variando em Geomtrica
Renda cujo valor actual refere-se ao inicio do 1 perodo de renda, com um nmero de termos limitado (n), conhecidos variando em progresso geomtrica, e o vencimento de cada termo ocorre no fim do perodo a que respeitam.
0 1 2 n
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Geom.
t.1 i 1 t.d 1 i 2
t.d 1 i n2
t.1 i n1
Valor Actual
Gabriel Silva 52
Valor Acumulado
Razo da progresso geomtrica = d
n-1
t.d n2 1 i
t.d t
t.d n2 1 i (n1)
t.d n2
t.d n1 1 i n
t.d n1
n1 t.d
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Geo.
t t.d t.d n2 t.d n1
C0 1 i 1
1 i 2 .....
1 i n1
1 i n
Valor Actual
t d n 1 i n
d 1 i A .
1 i n n|i (g )
Gabriel Silva 53
n
d
1 i 1 i .....
1 i 1 i 1
n1
d n2 d n1
2 1 C0 t.
Exemplo
Considere uma renda composta por 5 termos anuais normais variando em progresso geomtrica de razo 1,05. Sabendo que o 1 termo igual a 1000 determine o valor actual considerando uma taxa de juro de 8%.
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Geo.
t . d 1 i
n n
1 i n d 1 i n|
i
(g ) A
. 1,085 5|8%
4.379,5 1,05 1,08
1.000 1,055 1,085 A (g )
Exemplo
Considere uma renda composta por 3 termos anuais normais variando em progresso geomtrica de razo 1,25. Sabendo que o 1 termo igual a 950 determine o valor actual considerando uma taxa de juro de 9%.
.
Gabriel Silva 54
950
1,093 3|9% 3.017,3
1,25 1,09
1,253 1,093 A (g )
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Geo.
n1 n2 (n2) (n1) t.d t.d ..... 1 i t.d t 1 i C0 1 i
Valor Acumulado
t
d n 1 i n
d 1 i (g ) S
n|i
Gabriel Silva 55
Exemplo
Considere uma renda composta por 5 termos anuais normais variando em progresso geomtrica de razo 1,05. Sabendo que o 1 termo igual a 1000 determine o valor acumulado considerando uma taxa de juro de 8%.
Rendas Renda Imediata Temporria de Termos em Prog. Geo.
5|8% 6.434,88
1,05 1,08
1,055 1,085 S 1.000. (g )
t
d n 1 i n
d 1 i (g ) S
n|i
Gabriel Silva 56
Rendas
Fraccionamento
57 Gabriel Silva
Valor Actual
= Valor actual de uma renda certa temporria, fraccionada de termos constantes normais, com perodo inteiro de 1 e sub-perodo de 1/m
n|i a (m )
n|i i (m ) i
a (m ) a . n|i
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
n|i i (m ) i
A(m ) r .a(m ) r .a . n|i n|i
Valor Acumulado
Rendas Fraccionamento Renda Imediata Temp. Term. Normais
n|i n|i i (m ) i
s (m ) s .
Caso os termos da renda no sejam unitrios, mas sim de valor r, teremos:
n|i i (m ) i
S (m ) r .s (m ) r .s . n|i n|i
i = taxa de juro efectiva do perodo inteiro
Gabriel Silva 58
= taxa de juro nominal do perodo inteiro (com m capitalizaes nos m sub-periodos)
(m ) i
Exemplo
Considere uma renda temporria (3 anos) termos normais inteiros e constantes de 800. Assumindo que a taxa de juro efectiva anual de 9%, calcule o valor actual dessa renda.
Rendas Fraccionamento Renda Imediata Temp. Term. Normais
n|
i
n|
i
. i
n|i i (m ) A(m ) r .a (m ) r .a
Exemplo
Considere a hiptese da renda ser fraccionada semestralmente. Calcule o valor actual dessa renda.
1 1 i n
i A r .a r
n|i n|i
0,09 3|9% 2.025
1 1,093 r .a 800
m 2
i (m ) i (2) i (2) 0,088
S 1 i 2 1 i iS 0,04403 iS
3|9% 0,088
2.025.
0,09 2.069,6 A
(2)
Gabriel Silva 59
Renda Imediata Termos Normais
Valor Actual Valor Acumulado
Rendas Sintese
Renda Imediata Termos Antecipados
n|
i
. i
n|i i (m ) a (m ) a
n|
i
. i
n|i i (m ) s (m ) s
1 m
i
i (m ) .1 i a(m ) a .
n|i n|i s
1 m
i
i (m )
n|i
(m
)
n|i
1 i s .
Gabriel Silva 60